Giải tích số- Dành cho sinh viên chuyên ngành toán.

GIẢI TÍCH SỐ- DÀNH CHO SINH VIÊN CHUYÊN NGÀNH TOÁN.
-PHẦN I: Lí thuyết và Ví dụ cụ thể.
-PHẦN II: Bài tập.
-Phần I:
-Số gần đúng và sai số
+Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
+Các loại sai số: sai số mô hình, dữ liệu, phương pháp, tính toán.
-Nội suy đa thức:
Tìm đa thức P(x) có bậc không quá n sao cho P(xi) = yi với i =0,1,...,n.
*Khi f :

[a;b] → R

;

yi = f(xi) , i= 0,...,n

P được gọi là đa thức nội suy cấp n của f.
-Đa thức nội suy Lagrange:

∏(x − x )
P ( x) = ∑ y .
, j = 0,..., n
(
x
−
x
)
∏
n

n

j =0

i

i≠ j

j

i≠ j

j

i

- Ví dụ 1:
Viết đa thức nội suy Lagrange của f(x) = ex ứng với 3 mốc nội suy -1; 0; 1.
-Giải:
Ở đây ta có xi, i=0,1,2 tương ứng đề cho là:

x0 =-1; x1 = 0;

x2 =1.

Ta tính yi theo công thức yi = f(xi) , i= 0,...,n. y0= f(x0)=f(-1)=1/e; y1 =1; y2 =e.
Thay vào công thức trên ta có:

∏ (x − x )
∏ (x − x )

∏ (x − x )
P ( x) = y .
+y.
+y.
(
x
−
x
)
(
x
−
x
)
∏
∏
∏ (x − x )
2

0

i≠ 0

Ở đây

i

i≠0

1

0

i

i

i ≠1

i ≠1

2

1

i

i

i≠2

i≠ 2

2

x0 =-1; x1 = 0; x2 =1 và y0 = 1/e; y1 = 1; y2 = e.

i

Ta đi đến kết quả:

P2 ( x) = y0 .

( x − x0 ).( x − x2 )
( x − x0 ).( x − x1 )
( x − x1 ).( x − x2 )
+ y1.
+ y2 .
( x0 − x1 ).( x0 − x2 )
( x1 − x0 ).( x1 − x2 )
( x2 − x0 ).( x2 − x1 )

Vậy :

1 ( x − 0).( x − 1)
( x − (− 1)).( x − 1)
( x − ( − 1)).( x − 0)
P2 ( x) = .
+ 1.
+ e.
e (− 1 − 0).(− 1 − 1)
(0 − (− 1)).(0 − 1)
(1 − ( − 1)).(1 − 0)
hay:

1 x.( x − 1)
( x + 1).( x − 1)
( x + 1).x
P2 ( x) = .

+ 1.
+ e.
.
e
2
−1
2
-Sai số của xấp xỉ qua đa thức nội suy Lagrange:
Giả sử f khả vi cấp (n+1) trên [a;b]. Pn là đa thức nội suy của f ứng với (n+1) mốc
nội suy xi , i=0,...,n ; xi∈ [a;b].Ta có công thức sai số:

f ( x) − Pn ( x) ≤

M n +1
. Wn +1 ( x) , ∀x ∈ [a; b]
(n + 1)!

Trong đó:
n

Wn +1 ( x) = ∏ ( x − xi )
i =0

M n +1 = sup f n +1 ( x ) , x ∈ [a; b]
- Ví dụ 2: Tính sai số của Ví dụ 1
-Giải:
Ta áp dụng công thức
Ở trên n=2 ta cần tính

M n +1 = M 3 = sup f 3 ( x) , x ∈ [-1;1]

Ta có f ’(x) = ex ,

f ’’(x) = ex,

f ’’’(x) = ex


M3 = e.
Thay vào công thức ta có:

M3
. W3 ( x) , ∀x ∈ [-1;1]
3!
e
f ( x) − P2 ( x ) ≤ . ( x − x0 ).( x − x1 ).( x − x2 )
6
e
f ( x) − P2 ( x ) ≤ . ( x + 1).x.( x − 1)
6
f ( x) − P2 ( x ) ≤

Chọn x ∈ [-1;1] t suy ra được sai số cụ thể.
-Đa thức nội suy Newton.
+Định nghĩa tỷ sai phân:
Cho hàm f xác định trên [a;b]
-Cho x, y ∈ [a;b], x ≠ y, tỷ sai phân cấp 1 của f ứng với 2 mốc x, y là:

f [ x, y ] =

f ( y ) − f ( x)

y−x

Tỷ sai phân cấp 2 của f ứng với 3 mốc x, y, z là:

f [ x, y , z ] =

f [ y , z ] − f [ x, y ]
z−x

Một cách quy nạp, giả sử tỷ sai phân cấp (n-1) được định nghĩa, ta có tỷ sai phân
cấp n với (n + 1) mốc x0, ... , xn

f [ x0 , x1 ,..., xn ] =

f [ x1 ,..., xn ] − f [ x0 ,..., xn −1 ]
xn − x0


-Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kì
n

k −1

k =1

i =0

Pn ( x ) = f ( x0 ) + ∑ f [ x0 ,...,x k ].∏ ( x − xi )
Đa thức Pn(x) xác định bởi công thức trên chính là đa thức nội suy của f ứng với
(n + 1) mốc x0,..., xn.Biễu diễn trên gọi là đa thức nội suy Newton.

Ví dụ 1:
-Viết đa thức nội suy Newton cho hàm f(x)= 2x ứng với 3 mốc -2, 0, 1.
Giải:
Ở đây ta có xi, i=0,1,2 tương ứng đề cho là:

x0 =-2; x1 = 0;

x2 =1.

Ta tính yi theo công thức yi = f(xi) , i= 0,...,n. y0= f(x0)=f(-2)=1/4; y1 =1; y2 =2.

Pn ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ].( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ].( x − x0 ).( x − x1 )
Ta có:

1
−1
f (−2) − f (0) 4
3
f [−2, 0] =
=
=
−2 − 0
−2
8
f [0,1] =

f (0) − f (1)
=1
0 −1

f [−2, 0,1] =

f [0,1] − f [ −2, 0] 5
=
.
1 − (−2)
24

Thay vào ta được:

Pn ( x ) =

1 3
5
+ .( x + 2) + .( x + 2).x
4 8
24

- Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều.
+Định nghĩa sai phân:
Cho hàm f xác định trên [a;b] và cho trước h ∈ ¡


-Sai phân cấp 1 của f tại x, ứng với bước sai phân h là:

∆f ( x, h) = f ( x + h) − f ( x )
Khi h được xác định, không có sự nhầm lẫn, ta viết:

∆f ( x, h) = ∆f ( x)
-Sai phân cấp 2 của f tại x:

∆ 2 f ( x, h) = ∆(∆f )( x, h) = f ( x + 2h) − 2 f ( x + h) + f ( x)
Một cách quy nạp, sai phân cấp n của f tại x:

∆ n f ( x, h) = ∆(∆ n −1 f )( x, h)
-Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều:
Xét f(x) xác định trên [a;b]. Cho (n + 1) mốc x0,..,xn ∈ [a;b] cách đều.
xi = x + ih, i=0,...,n
Ở đây h = x1 – x0 = x2 – x1 = ...
Đặt x = x0 + th ⇔ t =

x − x0
h

Từ công thức đa thức nội suy Newton tổng quát và mối liên hệ giữa sai phân và tỷ
sai phân ta có công thức nội suy Newton với các mốc cách đều sau:

∆ j f ( x0 ) j −1
Pn ( x) = Pn ( x0 + th) = f ( x0 ) + ∑
.∏ (t − i )
j
!
j =1
i =0
n

Ví dụ 2:
Viết công thức nội suy Newton của f(x) = 2x với 3 mốc -1; 0; 1.
Giải:
Ta thấy các mốc nội suy cách đều

x1 – x0 = x2 – x1 = 1 = h
Đặt x = x0 + th = -1 + t.
Bảng sai phân:


X

Y

-1

1/2

SAI PHÂN CẤP 1

SAI PHÂN CẤP 2

1/2
0

1

1/2
1

1

2

Vậy ta có:

P2 ( x) = P2 ( −1 + t ) =

1 1
1 1
+ t + . .t (t − 1)
2 2
2! 2

-Sai số của nội suy đa thức Newton giống như sai số của nội suy đa thức Lagrange.
-Tích phân số (Tính gần đúng tích phân).
Xét tích phân Riemann
b

I = ∫ f ( x)dx
a

Với f [a;b] → ¡ khả tích.
Cần tính gần đúng tích phân I
1.Phương pháp hình thang:
*Phương pháp xấp xỉ hình thang cơ bản:
Xấp xỉ f(x) trên [a;b] bằng đa thức nội suy bậc nhất P1(x) với 2 mốc a,b.
b

b

a

a

I = ∫ f ( x)dx ≈ ∫ P1 ( x )dx =
b

Đặt S n = ∫ P1 ( x)dx =
a

Ví dụ 1:

b−a
( f (a ) + f (b)) .
2

b−a
( f (a ) + f (b))
2


Dùng công thức hình thang tính gần đúng tích phân sau:
1

I = ∫ (1 + x 3 )dx
0

Giải:
f(x) = 1 + x3, a = 0, b = 1, f(0) = 1, f(1) = 2
Áp dụng công thức hình thang cơ bản ta có:
1

I = ∫ (1 + x 3 )dx ≈
0

1− 0
3
( f (0) + f (1)) =
2
2

-Công thức sai số:
Giả thiết f khả vi cấp 2 trên [a;b] và M 2 = sup f ''( x ) , x ∈ [a; b] .
Từ sai số công thức nội suy đa thức ta suy ra sai số của phương pháp hình thang cơ
bản:

M 2 .(b − a)3
I − Sn ≤
12
Ví dụ 2:
Tính sai số của tích phân ở Ví dụ 1:
Giải:
M 2 = sup (1 + x3 ) '' = 6 x = 6, x ∈ [0;1]

M 2 .(b − a )3 6.1 1
I − Sn ≤
=
= .
12
12 2
*Công thức hình thang tổng quát:
Chia [a;b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia: x0,...,xn

xk = a +

k (b − a )
, k = 0,..., n
n

n

xk

k =1

xk −1

I = ∑ Ik ; Ik =

∫

f ( x)dx, k = 0,..., n

Đặt yk = f(xk)
Áp dụng công thức hình thang cơ bản cho từng Ik ta suy ra được công thức hình
thang tổng quát:

I≈

b−a
( y0 + 2 y1 + 2 y2 + ... + 2 yn −1 + yn ) .
2n

Đặt S n =

b−a
( y0 + 2 y1 + 2 y2 + ... + 2 yn −1 + yn )
2n

Ta có công thức sai số cho công thức tổng quát:

M 2 .(b − a )3
I − Sn ≤
12n 2
1.Công thức parabol (Simson ):
*Công thức parabol cơ bản:
Xấp xỉ f(x) qua đa thức nội suy cấp 2 P2(x) ứng với 3 mốc a, (a+b)/2, b.
b

I ≈ ∫ P2 ( x )dx =
a

Đặt S n =

b−a 
a+b

f
(
a
)
+
4

f
(
) + f (b) 

6 
2


b−a 
a+b

f
(
a
)
+
4
f
(
) + f (b)  .

6 
2


Ví dụ 1:
1

dx
.

1 + x2
0

Xét tích phân I = ∫

Dùng công thức parabol cơ bản để tính gần đúng tích phân trên.
Giải:


f(x) = 1/(1+x2)

, a = 0, b = 1, f(0) = 1, f(1/2) = 4/5, f(1) = 1/2

Áp dụng công thức parabol cơ bản ta có:
1

dx
1− 0
0 +1
47
≈
[
f
(0)
+
4
f
(
)
+

f
(1)]
=
1 + x2
6
2
60
0

I =∫

-Công thức sai số:
(4)
Giả thiết f khả vi cấp 4 trên [a;b] và M 4 = sup f ( x) , x ∈ [a; b] .

Ta có công thức sai số:

M 4 .(b − a )5
.
I − Sn ≤
2880
Ví dụ 2:
Tính sai số của tích phân ở Ví dụ 1:
Giải:
M 4 = sup f

(4)

24(1 + 5 x 4 − 10 x 2 )
x =

= 24, x ∈ [0;1]
(1 + x 2 )5

M 4 .(b − a )5
24
.
I − Sn ≤
=
2880
2880
*Công thức parabol tổng quát:
Chia [a;b] thành 2n phần bằng nhau bởi các điểm chia: x0,...,x2n

i (b − a )
, i = 0,..., 2n
2n
yi = f ( xi )

xk = a +

Áp dụng công thức parabol cơ bản trên mỗi đoạn con [x2i,x2i+2 ] suy ra được công
thức parabol tổng quát:

I≈

b−a
( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 ... + 2 y2 n − 2 + 4 y2 n −1 + yn ) .
6n

Đặt S n =

b−a
( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 ... + 2 y2 n −2 + 4 y2 n −1 + yn )
6n

Ta có công thức sai số cho công thức tổng quát:

M 4 .(b − a )5
.
I − Sn ≤
2880n 4
-Xấp xỉ đều bởi đa thức.
* Bài toán xấp xỉ tốt nhất trên không gian định chuẩn.
Cho ( X, . ) là không gian định chuẩn. Cho M ⊆ X là tập con đóng khác rỗng của
X.
Ta có x ∈ X. Ta muốn xấp xỉ x bằng một phần tử z ∈ M.
Một cách tự nhiên và hợp lý, ta xấp xỉ x bởi phần tử z ∈ M sao cho:

x − z = Inf x − y = d ( x, M ), y ∈ M
+ z∈ M thỏa công thức trên được gọi là một xấp xỉ tốt nhất của x trong M.
- Bài toán xấp xỉ đều:
Xét không gian định chuẩn C[a; b] , không gian các hàm liên tục trên [a; b] của
chuẩn đều.

f

∞

= max f ( x) , x ∈ C[a; b], f ∈ C[a; b]

+Gọi Pn ⊆ C[a; b] là không gian tất cả các đa thức bậc nhở hơn hoặc bằng n.
+Với

f ∈ C[a; b]

, xấp xỉ tốt nhất của f trong Pn được gọi là xấp xỉ bậc n của f trên

[a; b]. Cụ thể, p ∈ Pn là xấp xỉ đều bặc n của f nếu:

f −p

∞

= min f − q

KH
∞

= En ( f ), q ∈ Pn .

* Giả sử [a; b] là đoạn đối xứng [a; b] = [-b; b]. (Ví dụ [-2; 2] là đoạn đối xứng)
Xấp xỉ đều tốt nhất của hàm chẵn trên [-b; b] là đa thức chẵn.
Xấp xỉ đều tốt nhất của hàm lẻ trên [-b; b] là đa thức lẻ.


2

Ví dụ: Xấp xỉ đều tốt nhất của f ( x) = e x trên đoạn [-1; 1] là đa thức chẵn.
*Xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất:

- Thường xét cho hàm lồi (f” > 0) hoặc lõm (f” < 0).
Xét hàm

f ∈ C[a; b]

.

P1 = {α 0 + α1 x; α 0 , α1 ∈ ¡ } .
Gọi r ∈ P1 là xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất

r ( x) = α x + β ;α , β ∈ ¡
- f là hàm lồi trên đoạn [a; b] thì f đạt cực đại tại a, b và đạt cực tiểu tại a < x1 < b.
-f là hàm lõm trên đoạn [a; b] thì f đạt cực tiểu tại a, b và đạt cực đại tại a < x1 < b.

α=

f (a ) − f (b)
a −b

α = f '( x1 ) ⇒ x1

β=

f (a ) + f ( x1 ) − α ( x1 + a )
.
2

(Xem kĩ phần bài tập dạng này trong bài Ôn tập và bài tập giải tích số.)
-Giải xấp xỉ phương trình(Giải gần đúng phương trình).
*Sự tồn tại nghiệm.

Xét phương trình 1 ẩn (thực) f(x) = 0, x ∈ [a; b] (1)
Trong đó f là hàm 1 biến thực xác định trên [a; b] .
-Định lý Cauchy-Bonzano:
Nếu f là hàm lồi liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì (1) có một nghiệm trong
(a;b) .
-Định lí điểm bất động:
Giả sử g : [a;b] → [a; b], liên tục thì tồn tại x0 ∈ [a; b], g(x0) = x0.


Điểm x0 gọi là điểm bất động của g.
- Định nghĩa khoảng tách nghiệm:
Ta nói (a; b) là khoảng tách nghiệm của (1) nếu (1) có duy nhất nghiệm trong
(a; b).
*Phương pháp chia đôi:
Xét phương trình (1) với giả thiết f liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0

∆ 0 = [a; b], c=

a +b
2

+ Nếu f(c) = 0 ⇒ c là nghiệm.
+ Nếu f(a).f(c) < 0 ⇒ ∆1 = [a; c] chứa nghiệm.
+ Nếu f(c).f(b) < 0 ⇒ ∆1 = [c; b] chứa nghiệm.
Lặp lại quá trình trên cho ∆ 0 , ∆1 ,... ta được 1 trong 2 trường hợp sau:
+TH1: Sau hữu hạn bước tìm được nghiệm.
+TH2: Xây dựng được dãy các đoạn ∆ n = [a n ; b n ], n= 0,1,2,... thỏa:
- ∆ 0 ⊇ ∆1 ⊇ ...
- bn − an =

b−a
2n

-Nghiệm ξ của (1) trong [a n ; b n ] .
Khi dừng ở bước thứ n, ta xấp xỉ nghiệm ξ bằng:

cn =

an + bn
2

Sai số xấp xỉ: ξ − cn ≤
*Phương pháp lặp đơn:

b−a
2n +1


Phương pháp: Xét (1). Đưa (1) về bài toán tìm điểm bất động của g
g(x) = x , x ∈ [a; b].
Xuất phát từ x0 ∈ [a; b].X ây dựng dãy {xn } theo công thức truy hồi
xn+1 = g(xn), n= 0,1,2,...
*Phương pháp Newton:
Xét (1).Giả sử f khả vi trên [a; b].Dãy Newton xấp xỉ của (1) được định nghĩa:

 x0 ∈ [a; b]

f ( xn ) , n = 0,1, 2,... .

x

=
x
−
n
+
1
n

f '( xn )

Ở đây giả thiết rằng f‘(xn) ≠ 0 , n=0,1,2,...
Phần bài tập chương này các bạn xem ở bài Ôn tập va bài tập giải tích số.
Lưu ý: Trong bài sử dụng các công thức ttrong phần MathType.
Tải phần mềm MathType về máy để xem bài (nếu chưa có).