Hình học không gian trong đề thi đại học

GiÆo ViŒn :

ồHThức Thuận

0973.74.93.73

Hình học không gian cổ ñiển trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức)
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SD =

3a
. Hình
2

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ñáy (ABCD) là trung ñiểm của cạnh AB. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBD).
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của AB, suy ra SH ⊥ ( ABCD ) .
Do ñó: SH ⊥ HD . Ta có

(

)

SH = SD 2 − DH 2 = SD 2 − AH 2 + AD 2 = a
1
3

Suy ra VS . ABCD = .SH .S ABCD =

a3
3

/>
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên BD và E
là hình chiếu vuông góc của H lên SK. Ta có
 BD ⊥ HK
⇒ BH ⊥ ( SHK )

 BD ⊥ SH

Suy ra BD ⊥ HE mà HE ⊥ SK ⇒ HE ⊥ ( SBD )
Ta có: HK = HB.sin KBH =

HS .HK

a 2
. Suy ra HE =
4

HS 2 + HK 2

=

a
3

Do ñó: d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) ) = 3HE =

2a
3
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm của cạnh AB, góc giữa ñường thẳng A’C và
mặt phẳng ñáy bằng 600. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (ACC’A’).
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của AB, A ' H ⊥ ( ABC ) và A ' CH = 600
Do ñó A ' H = CH .tan A ' CH =
trụ là VABC . A' B 'C ' =

3a
. Do ñó thể tích khối lăng
2

3 3a 3
8

Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC; K là hình
chiếu vuông góc của H lên A’I. Suy ra
HK = d ( H , ( ACC ' A ' ) )

Ta có: HI = AH .sin IAH =

3a
1
1

1
52
3 13a
;
=
+
= 2 ⇒ HK =
2
2
2
4
HK
HI
HA '
9a
26

- Trang 1 -

/>

Giáo Viên :

Hồ Thức Thuận

0973.74.93.73

Do ñó: d ( B; ( ACC ' A ') ) = 2d ( H ; ( ACC ' A ') ) = 2 HK =

3 13a

13
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014

Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng bên SBC là
tam giác ñều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA, BC.
Hướng dẫn giải
BC a
=
2
2
2
3a
1
a
SH ⊥ ( ABC ) , SH =
và S∆ABC = BC. AH =
2
2
4
1
3a 3
Thể tích của khối chóp là VS . ABC = SH .S∆ABC =
3
24

Gọi H là trung ñiểm của BC, suy ra AH =

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SA, Suy
ra HK ⊥ SA .

Ta có BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ HK
Do ñó: HK là ñường vuông góc chung của BC và SA.
1
1
1
16
3a
=
+
= 2 . Do ñó: d ( BC ; SA ) = HK =
2
2
2
HK
SH
AH
3a
4
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013
Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại A, ABC = 300 , SBC là tam giác ñều cạnh a và

Ta có

mặt bên SBC vuông góc với ñáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
ñiểm C ñến mặt phẳng (SAB)
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của BC, suy ra SH ⊥ BC . Mà ( SBC )
vuông góc với ( ABC ) theo giao tuyến BC, nên

SH ⊥ ( ABC )

Ta có:
a 3
a
; AC = BC sin 300 = ;
2
2
a 3
AB = BC.cos 300 =
2
1
a3
Do ñó: VS . ABC = SH . AB. AC =
6
16
BC = a ⇒ SH =

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung ñiểm của BC nên HA = HB . Mà SH ⊥ ( ABC ) , suy ra
SA = SB = a. Gọi I là trung ñiểm của AB, suy ra SI ⊥ AB

- Trang 2 -

/>

Giáo Viên :Hồ Thức Thuận

Do ñó: SI = SB 2 −

0973.74.93.73

AB 2 a 13
3V
6V
a 39
=
. Suy ra : d ( C ; ( SAB ) ) = S . ABC = S . ABC =
4
4
S ∆SAB
SI . AB
13
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt SAB là tam giác ñều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng
cách từ A ñến mặt phẳng (SCD) theo a.
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của AB, suy ra SH vuông góc với AB
và SH =

a 3
.
2

Mà mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
theo giao tuyến AB, nên SH ⊥ ( ABCD ) .
1
3

Do ñó: VS . ABCD = SH .S ABCD =

a3 3
6

Do AB song song với CD và H thuộc AB nên
d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) )

Gọi K là trung ñiểm của CD và I là hình chiếu vuông góc
của H trên SK. Ta có: HK ⊥ CD .
Mà SH ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SHK ) CD ⊥ HI . Do ñó: HI ⊥ ( SCD )
Suy ra: d ( A, ( SCD ) ) = HI =

SH .HK

=

a 21
7

SH 2 + KH 2
Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013

Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với ñáy,
BAD = 1200 , M là trung ñiểm của cạnh BC và SMA = 450 . Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ D ñến mặt phẳng (SBC)
Hướng dẫn giải
BAD = 1200 ⇒ ABC ⇒ ∆ABC ñều
a 3

a3 3
⇒ AM =
⇒ S ABCD =
2
2
∆SAM vuông tại A có SMA = 450 ⇒ ∆SAM vuông tại
a 3
A SA = AM =
2
1
a3
Do ñó: VS . ABCD = SA.S ABCD =
3
4
Do AD song song với BC nên d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC) )

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM
 AM ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( SAM )
 SA ⊥ BC

Ta có: 
⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH

Ta có: AH =

AM 2 a 6
a 6
=
⇒ d ( D, ( SBC ) ) =

2
4
4
Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2013

Cho lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có AB = a và ñường thẳng A’B tạo với ñáy một góc bằng
- Trang 3 -

/>

Giáo Viên :

Hồ Thức Thuận

0973.74.93.73

600. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AC và B’C’. Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và ñộ dài MN
Hướng dẫn giải
AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' BA là góc giữa A’B với ñáy.

Suy ra: A ' BA = 600 ⇒ AA ' = AB. tan A ' BA = a 3
Do ñó VABC . A ' B 'C ' = AA '.S∆ABC =

3a 3
4

Gọi K là trung ñiểm của cạnh BC.
Suy ra ∆MNK vuông tại K, có
AB a

= , NK = AA ' = a 3
2
2
a 13
Do ñó: MN = MK 2 + NK 2 =
2
MK =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012

Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 HB . Góc giữa hai ñường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai
ñường thẳng SA và BC theo a
Hướng dẫn giải
Ta có: SCH là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). Suy ra
SCH = 600
a
6
a 7
a 21
HC = HD 2 + CD 2 =
, SH = HC. tan 600 =
3
3

Gọi D là trung ñiểm của cạnh AB. Ta có: HD = , CD =

a 3
2

1
1 a 21 a 2 3 a 3 7
VS . ABC = .SH .S ∆ABC =
.
=
3
3 3
4
12

Kẻ Ax song song với BC, gọi N và K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H lên Ax và SN. Ta có BC song song với mặt
3
2

phẳng (SAN) và BA = HA
Nên d ( SA, BC ) = d ( B, ( SAN ) ) = d ( H . ( SAN ) )

3
2
Ta cũng có: Ax ⊥ ( SHN ) ⇒ Ax ⊥ HK . Do ñó: HK ⊥ ( SAN ) ⇒ d ( H , ( SAN ) ) = HK

AH =

2a
a 3
, HN = AH .sin 600 =
, HK =
3

3

SH .HN
SH + HN
2

2

=

a 42
a 42
vậy d ( SA, BC ) =
12
8

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012
Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC với SA = 2a , AB = a . Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A lên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( ABH ) . Tính thể tích của
khối chóp S.ABH theo a
Hướng dẫn giải

- Trang 4 -

/>

Giáo Viên :

Hồ Thức Thuận

0973.74.93.73

Gọi D là trung ñiểm của cạnh AB và O là tâm của tam giác
 AB ⊥ CD
nên AB ⊥ ( SCD ) , Do ñó AB ⊥ SC
 AB ⊥ SO

ABC. Ta có 

Mặt khác SC ⊥ AH , Suy ra SC ⊥ ( ABH )
a 3
a 3
a 33
, OC =
nên SO = SC 2 − OC 2 =
2
3
3
2
SO.CD a 11
1
11a
Do ñó: DH =
=
⇒ S ∆ABH = AB.DH =
SC
4
2
8

Ta có: CD =

Ta có: SH = SC − HC = SC − CD 2 − DH 2 =

7a
1
7 11a 3
. Do ñó: VS . ABH = SH .S∆ABH =
4
3
96

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012
Cho hình hộp ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân
A ' C = a . Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng
(BCD’) theo a
Hướng dẫn giải

Tam giác A’AC vuông cân tại A và A ' C = a nên
A ' A = AC =

a
a
. Do ñó: AB = B ' C ' =
2
2

1
1
a3 2

VABB 'C ' = B ' C '.S ∆ABB ' = B ' C '. AB.BB ' =
3
6
48

Gọi H là chân ñường cao kẻ từ A của tam giác A’AB. Ta
có
 AH ⊥ A ' B
⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) . Nghĩa là :

 AB ⊥ BC
AH ⊥ ( BCD ') ⇒ AH = d ( A, ( BCD ') )

Ta có:

1
1
1
a 6
= 2+
Do ñó: d ( a, ( BCD ') ) = AH =
2
2
AH AB AA'
6

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2012
Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a 2, SA = SB = SC .
Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC
theo a.

Hướng dẫn giải
Gọi H là trung ñiểm của BC ⇒ HA = HB = HC

Kết hợp với giả thiết

SA = SB = SC ⇒ SH ⊥ BC , ∆SHA = ∆SHB = SHC

 SH ⊥ ( ABC )

0
 SAH = 60

Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
AC = AB = a 2 ⇒ BC = 2a ⇒ AH = a

Tam giác SHA vuông
1 1
3a3
SH = AH × tan 600 = a 3 ⇒ VS . ABC = . AB. AC.SH =
3 2
3

- Trang 5 -

/>

Hồ Thức Thuận

Giáo Viên :

0973.74.93.73

Gọi O;R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Suy ra O
thuộc ñường thẳng SH, nên O thuộc mặt phẳng (SBC). Do ñó: R là bán kính ñường tròn
ngoại tiếp tam giác SBC. Xét tam giác SHA ta có: SA =
có ñộ dài cạnh bằng 2a. Suy ra : R =

SH
= 2a ⇒ ∆SBC là tam giác ñều
sin 600

2a
2a 3
=
0
2 sin 60
3

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2011
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt
phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung ñiểm của
AM; mặt phẳng qua SM và song song với B, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai
ñường thẳng AB và SN theo a
Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông
góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ ( ABC ) .
AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒ SBA là góc giữa hai

mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng
(ABC) ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = AB. tan SBA = 2a 3
Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt
AC tại N. ⇒ MN // BC và N là trung ñiểm của
BC
AB
= a; BM =
=a
2
2
( BC + MN ) BM = 3a 2 .
Diện tích : S BCNM =
2
2
1
Thể tích VS . BCNM = S BCNM .SA = a 3 3
3
Kẻ ñường thẳng ∆ ñi qua N, song song với AB. Hạ AD ⊥ ∆ ( D ∈ ∆ ) ⇒ AB // ( SND )

AC. MN =

⇒ d ( AB; SN ) = d ( AB, ( SND ) ) = d ( A, ( SND ) ) .

Hạ AH ⊥ SD ( H ∈ SD ) ⇒ AH ⊥ ( SND ) ⇒ d ( A, ( SND ) ) = AH
 AH ⊥ SD
⇒ d ( AB, SN ) = AH =
 AD = MN = a

Tam giác SAD vuông tại A: 

SA. AD
SA2 + AD 2

=

2a 39
13

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011
Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = A, AD = a 3 . Hình
chiếu vuông góc của ñiểm A1 lên mặt phẳng (ABCD) trung với giao ñiểm của AC và BD.
Góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích của khối lăng trụ ñã
cho và khoảng cách từ ñiển B1 ñến mặt phẳng ( A1 BD ) theo a.
Hướng dẫn giải
Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. ⇒ A1O ⊥ ( ABCD )

OE ⊥ AD
 A1 E ⊥ AD

Gọi E là trung ñiểm của AD ⇒ 

Suy ra A1EO là góc giữa hai mặt phẳng

( ADD1 A1 ) và (ABCD) ⇒ A1EO = 600
- Trang 6 -

/>

Giáo Viên :

Hồ Thức Thuận

0973.74.93.73
AB
a 3
tan A1 EO =
2
2
2
= AB. AD = a 3

Suy ra: A1O = OE. tan A1 EO =
Diện tích ñáy S ABCD

Thể tích VABCD. A ' B ' C ' D ' = S ABCD × A1O =

3a 3
2

Ta có

B1C // A1 D ⇒ B1C // ( A1 BD )

⇒ d ( B1 , ( A1 BD ) ) = d ( C , ( A1 BD ) ) = CH

Suy ra d ( B1 ( A1 BD ) ) = CH =

CD.CB
CD + CB
2

2

=

a 3
2

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2011
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a , mặt
phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC = 300. Tính thể
tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ ñiểm B ñến mặt phẳng (SAC) theo a.
Hướng dẫn giải

Hạ

SH ⊥ BC ⇒ ( SBC ) ⊥ ( ABC )

⇒ SH ⊥ BC ; SH = SB.sin SBC = a 3
12
Diện tích: S ABC = BA.BC = 6a 2
1
3

Thể tích VS . ABC = S ABC .SH = 2a 3 3
Hạ

HD ⊥ AC ( D ∈ AC ) , HK ⊥ SD ( K ∈ SD )

⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK = d ( H , ( SAC ) ) .

BH = SB.cos SBC = 3a ⇒ BC = 4 HC

⇒ d ( B, ( SAC ) ) = 4d ( H , SAC )

Ta có AC = BA2 + BC 2 = 5a; HC = BC − BH = a ⇒ HD = BA.
HK =

SH .HD
SH 2 + HD 2

=

HC 3a
=
AC 5

3a 7
.
14

Vậy d ( B, ( SAC ) ) = 4 HK =

6a 7
7

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2011
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300 . Gọi M là trung ñiểm
của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a
Hướng dẫn giải

- Trang 7 -

/>

GiÆo ViŒn :

ồHThức Thuận

0973.74.93.73

 SA ⊥ BC
⇒ SB ⊥ BC
 AB ⊥ BC

Ta có 

Do ñó: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng SBA = 300
1
1
VS . ABM = VS . ABC = SA. AB.BC
2
12

BC = AB = a; SA = AB. tan 300 =

Vậy VS . ABM =

a 3

3

a3 3
36

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung
ñiểm của các cạnh AB và AD; H là giao ñiểm của N và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai ñường
thằng DM và SC theo a.
Hướng dẫn giải

Thể tích của khối chóp S.CDNM
SCDNM = S ABCD − S AMN − SBC
1
1
AM . AN − BC.BM
2
2
2
2
2
a a
5a
= a2 − −
=
8
4
8
= AB 2 −

1
3

Vậy VSCDNM = SCDNM .SH =

5 3a 3
24

Khoảng cách giữa hai ñường thẳng DM và SC.
∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN kết hợp với ñiều kiện
DM ⊥ SH ⇒ DM ⊥ ( SHC )

Hạ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) ⇒ HK là ñoạn vuông góc chung của DM và SC.

Do ñó: d ( DM , SC ) = HK


CD 2 2a
HC
=
=

CN
5
2 3a

Ta có : 
⇒ d ( DM , SC ) =
19

2 3a
 HK = SH .HC
=
2
2

19
SH + HC

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2010:
Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có AB = a , góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và
(ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích của khối lăng trụ ñã
cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Hướng dẫn giải

- Trang 8 -

/>

Giáo Viên :

Hồ Thức Thuận

0973.74.93.73

Thể tích khối lăng trụ.
Gọi D là trung ñiểm của BC ta có:
BC ⊥ AD ⇒ BC ⊥ A ' D ⇒ ADA ' = 600
3a
a2 3

Ta có: AA ' = AD.tan ADA ' = ; S ABC =
2
4
3
3a 3
Do ñó: VABC . A ' B 'C ' = S ABC × AA ' =
8

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra:
GH // AA ' ⇒ GH // ( ABC )

Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
GABC, ta có I là giao ñiểm của GH với ñường
trung trực của AG trong mặt phẳng (AGH.
Gọi E là trung ñiểm của AG, ta có:
R = GI =

GE.GA GA2
=
GH
2GH

Ta có
AA ' a
a 3
7a 2
= ; AH =
; GA2 = GH 2 + AH 2 =
3

2
3
12
2
7a
2 7a
Do ñó: R =
× =
2.12 a 12
GH =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2010
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu
vuông góc của ñỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là ñiểm H thuộc ñoạn AC, AH =

AC
. Gọi
4

CM là ñường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung ñiểm của SA và tính thể tích
của khối tứ diện SMBC theo a
Hướng dẫn giải

Chứng minh M là trung ñiểm của SA.
a 2
a 14
; SH = SA2 − AH 2 =
4
4
3a 2

HC =
; SC = SH 2 + HC 2 = a 2 ⇒ SC = AC
4
AH =

Do ñó: tam giác SAC cân tại C, Suy ra M là trung ñiểm
của SA
Tính thể tích của khối tứ diện SBCM.
M là trung ñiểm của SA suy ra
1
1
S SCA ⇒ VSBCM = VB.SCA = VS . ABC
2
2
3
1
a 14
⇒ VSBCM = S ABC × SH =
6
48
S SCM =

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2010
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc
với mặt phẳng ñáy, SA = SB, góc giữa ñường thẳng SC và mặt phẳng ñáy bằng 450 . Tính
thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
- Trang 9 -

/>

Giáo Viên :

Hồ Thức Thuận
Hướng dẫn giải

0973.74.93.73

Gọi I là trung ñiểm của AB. Ta có
SA = SB ⇒ SI ⊥ AB. Mà hai mặt phẳng
(SAB) và mặt phẳng (ABCD) vuông góc
với nhau nên suy ra SI ⊥ ( ABCD )
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD bằng
SCI = 450 , Suy ra
SI = IC = IB 2 + BC 2 =

a 5
2

Thể tích của khối chóp là
1
a3 5
VS . ABCD = SI .S ABCD =
(ñơn vị thể tích)
3
6

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2009:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a , CD = a ;
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung ñiểm của cạnh AD. Biết hai
mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp

S.ABCD theo a
Hướng dẫn giải
( SIB ) ⊥ ( ABCD )
⇒ SI ⊥ ( ABCD )

( SIC ) ⊥ ( ABCD )

Kẻ
IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI = 600

Diện tích hình thang ABCD : S ABCD = 3a 2
Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI
3a 2
3a 2
bằng
, suy ra S∆IBC =
2
2
2S
3 5a
3 15a
2
BC = ( AB − CD ) + AD 2 = a 5 ⇒ IK = ∆IBC =
⇒ SI = IK . tan SKI =
BC
5
5
3
1
3 15a

Thể tích của khối chóp S.ABCD: V = S ABCD .SI =
3
5

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2009:
Cho hình trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB ' = a , góc giữa ñường thẳng BB’ và mặt phẳng
(ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600 . Hình chiếu vuông góc của B’ lên
mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC
theo a
Hướng dẫn giải

- Trang 10 -

/>

Giáo Viên :

H
Hồ Thức Thuận

0973.74.93.73

Gọi D là trung ñiểm của AC và G là trọng
tâm của tam giác ABC ta có
B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' BG = 600


a 3
 B ' G = BB '.sin B ' BG =
2 ⇒ BD = 3a


4
 BG = a

2

Tam giác ABC có:
ΑB 3
AB
AB
, AC =
⇒ CD =
2
2
4
3 AB 2 AB 2 9a 2
3a 13
9a 2 3
Ta lại có: BC 2 + CD 2 = BD 2 ⇒
+
=
⇒ AB =
; S ∆ABC =
4
16
16
26
104
3
1

9a
Thể tích của khối tứ diện A’ABC: VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.S∆ABC =
3
208
BC =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2009:
Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a; AA ' = 2a; A ' C = 3a . Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C’, I là giao ñiểm của AM và
A’C. Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng
(IBC)
Hướng dẫn giải
Hạ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ; IH là ñường

cao của tứ diện IABC.
Suy ra IH // AA ' ⇒

IH
CI 2
2
4a
=
= ⇒ IH = AA ' =
AA ' CA ' 3
3
3

AC = A ' C − A ' A2 = a 5; BC = AC 2 − AB 2 = 2a
1
Diện tích tam giác ABC: S∆ABC = AB.BC = a 2

2

Vậy thể tích của khối tứ diện IABC:
1
4a 3
V = IH .S ∆ABC =
3
9
Hạ AK ⊥ A ' B ( K ∈ A ' B ) . Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC Suy ra AK ⊥ ( IBC )

Khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (IBC) là AK
AK =

2 S ∆AA ' B
=
A' B

AA '. AB
A ' A2 + AB 2

=

2a 5
5

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2009:
Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có AB = a, SA = a 2. Gọi M, N và P lần lượt là trung ñiểm
của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng ñường thẳng MN vuông góc với ñường thẳng
SP. Thính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP
Hướng dẫn giải

- Trang 11 -

/>

Giáo Viên :

Hồ Thức Thuận

0973.74.93.73

Ta có MN song song với CD và SP vuông góc với
CD suy ra MN vuông góc với SP
Gọi O là tâm của ñáy ABCD. Ta có :
SO = SA2 − OA2 =
VAMNP

a 6
2

1
1
1 1
a3 6
2
= VABSP = VS . ABCD = . SO. AB =
4
8
8 3
48

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2008:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của ñỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm
của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai ñường
thẳng AA’, B’C’
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của cạnh BC. Suy ra

 A ' H ⊥ ( ABC )


1
1 2
a + 3a 2 = a
 AH = BC =

2
2
Do ñó: A ' H 2 = A ' A2 − AH 2 = 3a 2 = 3a 2 ⇒ A ' H = a 3
1
a3
Vậy VA '. ABC = A ' H × S∆ABC = (ñơn vị thể tích)
3
2

Trong tam giác vuông A’B’H có:
HB ' = A ' B '2 + A ' H 2 = 2a nên tam giác B’BH cân tại
B’

ðặt ϕ là góc giữa hai ñường thẳng AA’ và B’C’ thì ϕ = B ' BH . Vậy cos ϕ =

a
1
=
2.2a 4

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2008:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a , SB = a 3 và mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, BC.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng SM và
DN.
Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AB, suy ra SH ⊥ ( ABCD ) . Do ñó, SH là ñường cao
của hình chóp S.BMDN
Ta có: SA2 + SB 2 = a 2 + 3a 2 = AB 2 nên tam giác SAB là tam giác vuông tại S. Suy ra
AB
a 3
= a. Do ñó tam giác SAM là tam giác ñều, suy ra SH =
2
2
1
Diện tích của tứ giác BMDN là S BMDN = S ABCD = 2a 2
2
1
a3 3
Thể tích của khối chóp S.BMDN là V = SH × S BMDN =
(ñvtt)
3

3
SM =

- Trang 12 -

/>

Giáo Viên :
Hồ Thức Thuận
Kẻ ME song song với DN ( E ∈ AD )

0973.74.93.73

a
2

Suy ra AE = . ðặt α là góc giữa hai ñường thẳng
SM và DN. Ta có ( SM , ME ) = α . Theo ñịnh lý ba
ñường vuông góc ta có : SA ⊥ AE
Suy ra:
SE = SA2 + AE 2 =

a 5
a 5
, ME = AM 2 + AE 2 =
2
2

 SME = α


a

Tam giác SME là tam giác cân tại E nên 
2 = 5
cos α =
5
a 5


2

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2008:
Cho lăng trụ ñứng tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh
bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM, B’C
Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B
1
2

Thể tích của khối lăng trụ là VABC . A ' B 'C ' = AA '× BC = a 2. .a 2 =

2 3
a (ñvtt)
2

Gọi E là trung ñiểm của BB’. Khi ñó mặt phẳng (AME)
song song với B’C nên khoảng cách giữa hai ñường thẳng
AM, B’C bằng khoảng cách giữa B’C và mặt phẳng

(AME)
Nhận thấy, khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (AME) bằng
khoảng cách từ C ñến mặt phẳng (AME)
Gọi h là khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (AME). Do ñó
tứ diện BAME có BA, BM,BE ñôi một vuông góc với
nhau nên:
1
1
1
1
1
1
4
2
7
a 7
=
+
+
⇒ 2 = 2 + 2 + 2 = 2 ⇒h=
2
2
2
2
h
BA BM
BE
h
a
a

a
a
7

Vậy: khoảng cách giữa hai ñường thẳng B’C và AM bằng

a 7
7

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2008:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang, BAD = ABC = 900 ; AB = BC = a , AD = 2a ,
SA vuông góc với ñáy và SA = 2a . Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SD. Chứng minh
rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.
Hướng dẫn giải

Ta có: MN là ñường trung bình của tam giác SAD, suy ra MN song song với AD và
MN =

 MN // BC
1
AD ⇒ 
⇒ BCNM là hình bình hành (1)
2
 MN = BC
- Trang 13 -

/>

Giáo Viên :

Hồ Thức Thuận

0973.74.93.73

Mặt khác
 BC ⊥ AB
⇒ { BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ BM

 BC ⊥ SA

( 2)

Từ (1) và (2) ta suy ra BCNM là hình chữ nhật
Ta có:
S BCNM = 2 S ∆BCM ⇒ VS .BCNM = 2VS .BCM
1
1
1
1
a3
VS . BCM = VC .SBM = CB.S ∆SBM = CB.S ∆SAB = CB. SA. AB =
3
6
6
2
6
3
a
Vậy Vs. BCNM = (ñvtt)
3

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học A-2007
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB,BC,CD .
Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP
Hướng dẫn giải

Gọi H là trung ñiểm của AD. Do tam giác SAD là
tam giác ñều nên SH vuông góc với AD.
Do mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên SH vuông góc với BP (1).
Xét hình vuông ABCD ta có:
∆CDH = ∆BCP ⇒ CH ⊥ BP ( 2 )

Từ (1) và (2) ta suy ra BP ⊥ ( SHC )
Vì
 MN // SC
⇒ ( AMN ) // ( SHC )

 AN // CH
⇒ BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM

Kẻ MK vuông góc với mặt phẳng (ABCD), (K
thuộc vào mặt phẳng (ABCD)). Ta có:

1
2

Vì MK = SH =

a 3
; SCNP
4

1
VCMNP = MK .SCNP .
3
2
1
a
3a 3
= CN × CP =
⇒ VCMNP =
(ñvtt)
2
8
96

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học B-2007
Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a.. E là ñiểm ñối xứng
của D qua trung ñiểm của SA, M là trung ñiểm của AE, N là trung ñiểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai ñường thẳng MN và AC
Hướng dẫn giải

Gọi P là trung ñiểm của SA. Ta có MNCP là hình bình hành nên MN song song với mặt
phẳng (SAC). Mặt khác, BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) nên BD vuông góc với MN

- Trang 14 -

/>

Giao Vien :

Ho Thuc Thuan

0973.74.93.73

Vì MN song song với mặt phẳng (SAC)
nên
d ( MN , AC ) = d ( N , ( SAC ) )

1
1
a 2
d ( B; ( SAC ) ) = BD =
2
4
4
a 2
Vậy d ( MN ; AC ) =
4
=

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học D-2007
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang ABC = BAD = 900 , BA = BC = a; AD = 2a . Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chóp vuông góc của A lên
SB. Chứng minh tam giác SCD là tam giác vuông và tính theo a khoảng cách tứ H ñến mặt
phẳng (SCD)
Hướng dẫn giải

Gọi I là trung ñiểm của AD. Ta có: IA = ID = IC = a ⇒ CD ⊥ AC . Mặt khác, CD ⊥ SA , Suy ra
CD vuông góc SC nên tam giác SCD là tam giác vuông tại C.
Trong tam giác vuông SAB ta có:
SH SA2
SA2
2a 2
2
= 2 = 2
=
=
2
2
2
SB SB
SA + AB
2a + a
3
Gọi d1 , d 2 lần lượt là khoảng cách từ B và

H ñến mặt phẳng (SCD) thì
d 2 SH 2
2
=
= ⇒ d 2 = d1
d1 SB 3
3

Ta có:
d1 =

3VB.SCD SA × S BCD
=
S SCD
S SCD

S BCD =

1
1
AB.BC = a 2
2
2

1
1
SC.CD =
SA2 + AB 2 + BC 2 . IC 2 + ID 2 = a 2 2
2
2
a
2
a
Suy ra d1 = . Vậy khoảng cách từ H ñến mặt phẳng (SCD) là d 2 = d1 =
2
3
3
S SCD =

.
+ ðặc biệt trong năm học 2015-2016, trung tâm mở ra chương trình khuyến học như sau:

- Miễn phí ñến học một tuần ñể khẳng ñịnh chất lượng
- Giảm ngay 20% học phí tháng ñầu tiên khi ñến học
- Tặng ngay 20% học phí tháng ñầ
ọc viên khác giới thiệu 1 học viên ñến học
- ðược sự giảng dạy trực tiếp của thầy cô giáo ñầy kinh nghiệm luyện thi
- Phòng học thoáng mát, yên tỉnh tuyệt ñối.
- ðược phép học tăng cường khi chưa hiểu bài
ðến tham quan và ñăng ký học tại ñịa chỉ trên hoặc tìm hiểu thông qua số ñiện thoại:0973.74.93.73
Trân trọng và chúc các em học sinh sức khỏe và may mắn

- Trang 15 -

/>

- Trang 16 -