Chuyên đề hình học oxy ôn thi THPT QG phần 3

TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Phần 3. Hình thang, tứ giác nội tiếp và hình chữ nhật
(50 bài tập kèm lời giải chi tiết)
A. Phương pháp
Thực ra mỗi bài toán hình học toạ độ đều chứa đựng trong bản chất của nó một bài toán
phẳng. Nhưng đề bài toán lại không đề cập đến bài toán phẳng đó. Nên phán đoán và giải
quyết bài toán phẳng trong bài toán hình học toạ độ luôn là một vấn đề khá hấp dẫn. Với bài
viết này tôi muốn thông qua các bài toán cụ thể hình thành cho học sinh khả năng phán đoán
bài toán hình học phẳng có trong bài toán hình học toạ độ thông qua hình phẳng vẽ biểu thị
chính xác, các giả thiết phẳng đã cho và kết luận của bài toán hình học toạ độ.
1/ Phán đoán bài toán phẳng thông qua hình phẳng biểu thị
Để phán đoán được bài toán phẳng trong bài toán hình học toạ độ theo cách này đòi hỏi học
sinh phải thực hiện được hai yêu cầu sau
+/ Vẽ hình phẳng biểu thị một cách chính xác các giả thiết hình học phẳng đã cho của bài
toán.
+/ Căn cứ vào kết luận của bài toán để xét xem bài toán phẳng mà ta dự đoán nếu giải quyết
được thì có tìm được kết quả của bài toán hình học toạ độ không.
2/ Phán đoán bài toán phẳng thông qua giả thiết phẳng đã có và kết luận của bài toán
hình học toạ độ.
Để phán đoán được bài toán phẳng trong bài toán hình học toạ độ theo cách này thì học sinh
cần thực hiện những yêu cầu sau
+/ Vẽ hình phẳng biểu thị một cách chính xác các giả thiết hình học phẳng đã cho của bài
toán.
+/ Căn cứ vào kết luận của bài toán và các giả thiết phẳng đã cho để phán đoán xem cần tìm
được một giả thiết mới nào từ các giả thiết phẳng đã cho thì bài toán hình học toạ độ được
giải quyết
B. Bài tập vận dụng
Các bài tập vận dụng sau đây tác giả lấy từ các đề thi thử THPT QG trên
Thư viện Đề thi & Kiểm tra - Thư viện trực tuyến ViOLET. Xin chân thành cảm ơn các
bạn đã đóng góp nhiều đề thi hay đặc biệt là các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng

hay, phù hợp với bài viết này.
GV: Ngô Quang Vân

1


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Bài 1. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang vuông
ABCD , vuông tại A và B, có đỉnh C (0; 2) và AD  3BC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của
 24

16 

A trên đường chéo BD . Điểm M  ;   là điểm thuộc đoạn HD sao cho 2 HM  MD .
 13 13 
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D của hình thang vuông ABCD biết đỉnh A thuộc đường thẳng
d  : x  y  1  0 .
Giải
C

B

I

H

M
E

D

A

HM HE 1
EM 1

 
 và EM
HD HA 3
AD 3
// AD Suy ra tứ giác BCME là hình bình hành, Suy ra CM // BE
- Dễ thấy E là trực tâm tam giác BAM  BE  AM  CM  AM
 
Vì A thuộc (d) nên tọa độ A(a; a  1) , mà CM  AM  AM .CM  0  a  3  A  3; 4 
 1 
 3 1
Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD  CI  CA  I   ; 
4
 4 2
- Đường thẳng BD đi qua I và M , suy ra BD : 2 x  3 y  0
- Phương trình AH : 3 x  2 y  1  0 , mà H là giao điểm của hai đường thẳng BD và AH
 1 
 
 3 2
Suy ra H   ;  . Mà HD  3HM  D  6; 4  , CB  DA  B  3;2 
3
 13 13 
Bài 2. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang
- Gọi E là điểm trên đoạn AH sao cho 2HE = EA, khi đó

1
2

1 1
4 2

ABCD với AB // CD có diện tích bằng 14, H ( ; 0) là trung điểm của cạnh BC và I ( ; ) là
trung điểm của AH. Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D
thuộc đường thẳng d: 5 x  y  1  0 .
GV: Ngô Quang Vân

2


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Giải
A

B
I
H

D

M

C

 Vì I là trung điểm của AH nên A(1;1)
 AH 

13
.
2

 Phương trình AH là: 2 x  3 y  1  0 .

Gọi M  AH  CD thì H là trung điểm
của AM  M(-2; -1).
Giả sử D(a; 5a + 1) (a > 0). Ta có:
 ABH  MCH  S ABCD  SADM  AH .d ( D, AH )  14  d ( D, AH ) 

28
13



 Hay 13a  2  28  a  2(vì a  0)  D(2;11) . Vì AB đi qua A(1;1) và nhận MD  (4;12) làm 1


VTCP  AB có 1VTPT là n(3; 1) nên AB có pt là: 3x  y  2  0
Bài 3. (Đề thi thử THPT QG - THPT Bố Hạ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình
2
3

chữ nhật ABCD có tâm I(1;3). Gọi N là điểm thuộc cạnh AB sao cho AN  AB . Biết
đường thẳng DN có phương trình x + y - 2=0 và AB=3AD. Tìm tọa độ điểm B.
Giải

A

N

B

I
C

D
GV: Ngô Quang Vân

3


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Đặt AD  x ( x  0)  AB  3 x, AN  2 x, NB  x, DN  x 5, BD  x 10

Xét tam giác BDN có cos BDN


BD 2  DN 2  NB 2 7 2

2 BD.DN
10

Gọi n(a; b)(a 2  b 2  0) là vectơ pháp tuyến của BD, BD đi qua điểm I(1;3),
PT BD: ax  by  a  3b  0

 
  cos(n, n ) 
cos BDN
1

3a  4b
7 2
 24a 2  24b 2  50ab  0  
10
a b 2
 4a  3b
+) Với 3a  4b , chon a=4,b=3, PT BD:4x + 3y - 13 = 0, D  BD  DN  D (7; 5)  B ( 5;11)
|ab|
2

2



+) Với 4a  3b , chon a=3,b=4, PT BD:3x + 4y - 15 = 0, D  BD  DN  D ( 7;9)  B (9; 3)

Bài 4. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.

Hai điểm B và C thuộc trục tung. Phương trình đường chéo AC: 3x + 4y – 16 = 0. Xác định
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đã cho, biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
ACD bằng 1.
Giải

A

B

D

C

Ta có C là giao điểm của trục tung và đường thẳng AC nên C(0;4) .
Vì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD bằng 1 nên bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác ABC cũng bằng 1 .
Vì B nằm trên trục tung nên B(0;b). Đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với
BC  Oy : x  0 nên AB : y = b .
16  4b 
Vì A là giao điểm của AB và AC nên A
;b .


3



Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có
GV: Ngô Quang Vân

4


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

2S ABC
r


AB  BC  CA

16  4b
3

4
2
b4
1
3

 b4 .
2
4
5
3
16  4b
 16  4b 
b
b
b4

4


4

2
b4 

 (b  4)  

3
3
3
 3 
b  4.

Theo giả thiết r = 1 nên ta có b = 1 hoặc b = 7 .
Với b = 1 ta có A(4;1), B(0;1). Suy ra D(4;4) .
Với b = 7 ta có A(-4;7), B(0;-7). Suy ra D(-4;4) .
Bài 5. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang
ABCD vuông tại A và D có AB  AD  CD , điểm B (1; 2) , đường thẳng BD có phương trình là
y  2  0 . Đường thẳng qua B vuông góc với

BC cắt cạnh AD tại M . Đường phân giác

 cắt cạnh DC tại N . Biết rằng đường thẳng MN có phương trình
trong góc MBC
7 x  y  25  0 . Tìm tọa độ đỉnh D .

Giải

Tứ giác BMDC nội tiếp
  BDC
  DBA
  450
 BMC

 BMC vuông cân tại B, BN là phân giác trong MBC

 M , C đối xứng qua BN
4
 AD  d ( B, CN )  d ( B, MN ) 
2
Do AB  AD  BD  AD 2  4
a  5
BD : y  2  0  D ( a; 2) , BD  4  
 a  3

Vậy có hai điểm thỏa mãn là: D (5; 2) hoặc D (3; 2)
Bài 6. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có
AB=2BC. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD; E,F lần lượt là trung điểm đoạn
CD và BH. Biết A(1;1), phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E có tung
độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D.
GV: Ngô Quang Vân

5


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Giải
G

A

B

F
H

D

C

E

Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CD, BH AB. Ta chứng minh AF  EF .
Ta thấy các tứ giác ADEG và ADFG nội tiếp nên tứ giác ADEF cũng nội tiếp, do đó
AF  EF .
Đường thẳng AF có pt: x+3y-4=0. Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ
17

 x  5
 17 1 
 F  ;   AF 

 5 5
y  1

5
1
2
AFE  DCB  EF  AF  2 ;
2
5
 3 x  y  10


x  3y  4

2

32
5

2

8
51  8
 17  
E  t ;3t  10   EF    t     3t   
5
5 
5 5

19
 19 7 
 5t 2  34t  57  0  t  3  t 
hay E  3; 1  E  ; 
5
 5 5
2

Theo giả thiết ta được E  3; 1 , pt AE: x+y-2=0. Gọi D(x;y), tam giác ADE vuông cân tại D
 x  1   y  1   x  3   y  1
 AD  DE


 AD  DE
 x  1 x  3   y  1 y  1

2

nên

2

2

2

x  1
x  3
 y  x  2



hay D(1;-1)  D(3;1)
 x  1 x  3  0
 y  1  y  1

Vì D và F nằm về hai phía so với đường thẳng AE nên D(1;-1).
Khi đó, C(5;-1); B(1;5). Vậy B(1;5); C(5;-1) và D(1;-1).
Bài 7. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có
A(1;5), AB  2 BC và điểm C thuộc đường thẳng d : x  3 y  7  0 . Gọi M là điểm nằm trên
tia đối của tia CB, N là hình chiếu vuông góc của B trên MD. Tìm tọa độ các điểm B và C
5 1
2 2

biết N ( ; ) và điểm B có tung độ nguyên.
Giải

GV: Ngô Quang Vân

6


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Gọi I  AC  BD . Do BN  DM  IN  IB  ID  IN  IA  IC  ANC vuông tại N
A

B
I

D

C

N

M



Đường thẳng CN qua N   ;  và nhận NA   ;  là pháp tuyến nên có phương trình:
 2 2
2 2
7 x  9 y  13  0 . Do C  CN  d  C  2; 3
Gọi B  a; b  . Do AB  2 BC và AB  BC nên ta có hệ phương trình:
5 1

7 9

 a  1 a  2    b  5  b  3  0


2
2
2
2
 a  1   b  5   4  a  2    b  3 
 a  5, b  1
Giải hệ trên suy ra 
 a   7 , b   9 (ktm)
5
5

Vậy B  5; 1 , C  2; 3.

Bài 8. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật
ABCD.Gọi M là điểm đối xứng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên
MD.Tam giác BDM nội tiếp đường tròn (T) có phương trình: ( x  4)2  ( y  1)2  25 .Xác định
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là:
3 x  4 y  17  0 ; đường thẳng BC đi qua điểm E(7;0) và điểm M có tung độ âm
Giải
+(T) có tâm I(4;1);R=5
+ Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM và N,C là chân các đường cao nên chứng
minh được :IM  CN
+ Lập ptđt IM qua I và IM  CN : 4(x-4)+3(y-1)=0  4x+3y-19=0
 M(7; 3)
 M(1;5) (loai)

+ M là giao điểm (T) với IM : 

+Đường thẳng BC qua M,E có pt : x=7
GV: Ngô Quang Vân

7


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

A
B
I
C

D

E
N
M

+ C là giao điểm BC và NC => C(7 ;1)
+ B đối xứng M qua C => B(7 ;5)
+ Đường thẳng DC qua C và vuông góc BC : y=1
 D(9;1)
 D(1;1)

D là giao điểm (T) và DC : 

Vì B,D
nằm cùng phía với CN nên D(-1 ;1)
 
+Do BA  CD => A(-1 ;5)
Bài 9. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật
9
2
của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của  ADH là : 4 x  y  4  0 . Viết

ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm M ( ;3) là trung điểm
phương trình đường thẳng BC.
Giải

Gọi K là trung điểm của HD.
Ta chứng minh AK  KM .
Thật vậy gọi P là trung điểm của AH.
Ta có PK song song và bằng nửa AD
 PK  AB .
GV: Ngô Quang Vân

8


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Mà AH  KB do đó P là trực tâm của tam giác ABK.
 BP  AK
mà BPKM là hình bình hành nên KM song song BP
 AK  KM
9

2

Phương trình đường thẳng KM: đi qua M ( ; 3 ) và vuông góc với AK: 4 x  y  4  0 nên
MK có pt: x  4 y 

15
0.
2

Do K  AK  MK  Toạ độ K ( 1 ; 2 ) .
2

Do K là trung điểm của HD mà H(1; 2) nên D(0; 2)  pt của BD: y – 2 = 0
AH đi qua H(1; 2) và vuông góc với BD nên AH có PT: x - 1 = 0 và A  AK  AH  A(1;
0). BC qua M (

9
; 3 ) và song song với AD nên BC có PT là: 2x + y – 12 = 0.
2

Bài 10. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ
nhật ABCD có E, F lần lượt thuộc các đoạn AB, AD sao cho EB  2EA; FA  3FD , F(2;1) và
tam giác CEF vuông tại F. Biết đường thằng x  3y  9  0 qua hai điểm C, E. Tìm toạ độ
điểm C biết C có hoành độ dương.
Giải
 C
 (vì cùng phụ với góc F
 ),
AEF và DFC có: F
1

1
2
D
  900  AEF  DFC
A
AE AF EF mà
AB



AE 
,
3
DF DC FC
3AD
AD
AB 3 . Do đó:
DF 
,AF 


4
4
AD 4
EF AE

 1  EF  FC  EFC vg cân tại
FC DF

B

C

F

H

Gọi H là hình chiếu củaF trên EC. Khi đó:

1

E

CF  2FH  2d(F,CE)  2 5
Gọi C(3t  9; t) với t  3 (vì x C  0 ).

x-3y-9=0
1
A

Ta có: CF  2 5  CF 2  20

2
D
F(2;1)

 t  1
 (3t  7)2  (t  1)2  20  t 2  4t  3  0  
 t  3 (L)
Với t  1  C(6; 1) . Vậy C(6; 1)

Bài 11. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ
 6 7

nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của A lên BD là H   ;  , điểm M(-1;0) là trung
5 5




điểm của BC và phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH là 7x + y - 3 =
0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
GV: Ngô Quang Vân

9


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Giải

Bài 12. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD
vuông tại A, B và AD = 2BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo
BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử H  1;3 , phương trình đường thẳng
5 
AE : 4 x  y  3  0 và C  ; 4  . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.
2 

Giải
- Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I
Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK  AE.

GV: Ngô Quang Vân

10


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

C

B
H
K

I

E
D

A
1
2

+) K là trung điểm của AH nên KE   AD
hay KE   BC
Do đó: CE  AE  CE: 2x - 8y + 27 = 0
Mà E  AE  CE  E   ;3  , mặt khác E là trung điểm của HD nên D  2;3
2
3





- Khi đó BD: y - 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(-1; 1).
- Suy ra AB: x - 2y +3=0. Do đó: B(3; 3).
KL: A(-1; 1), B(3; 3) và D(-2; 3)
Bài 13. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình
chữ nhật ABCD . Gọi H (6; 1) là hình chiếu của A lên đường chéo BD . Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của BH và CD . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN có phương trình:
( x  5) 2  ( y  2) 2  50 và phương trình đường thẳng chứa BD là: x  2 y  4  0 . Tìm tọa độ các
đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết A có hoành độ lớn hơn 5 và D có tung độ âm.
Giải
8

A

B
6

4

M
2

15

10

5

5

4

D

N

6

8

GV: Ngô Quang Vân

15

H

2

C

10

11


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Chứng minh được tứ giác ADNM nội tiếp đường tròn đường kính AN .

(Có ít nhất 4 cách chứng minh, học sinh có thể trình bày một trong 4 cách)
Từ đó suy ra tọa độ điểm D là nghiệm của hệ:
  x  2

( x  5) 2  ( y  2) 2  50
y  3

H (6; 1)

  x  10
x  2 y  4  0

  y  3

Vì D có hoành độ dương nên D (10; 3)
Do đó M (2;3) .Ta có M là trung điểm của HB nên B (10; 7)
Đường thẳng đi qua H (6; 1) và vuông góc với BD có phương trình: 2 x  y  13  0
 x  4

( x  5)  ( y  2)  50
 y  5
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 

  x  10
2 x  y  13  0

  y  7
2

2

Vì A có tung độ dương nên A(10; 7)
Từ đó suy ra C (10; 3) .
Kết luận: Tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là A(10; 7), B (10; 3), C (10; 3), D(10; 7)
Bài 14. (Đề thi thử THPT QG - Đa Phúc -HN) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình
thang ABCD vuông tại B và C có AB >CD và CD = BC. Đường tròn đường kính AB có
phương trình x2 + y2 – 4x – 5 = 0 cắt cạnh AD của hình thang tại điểm thứ hai N. Gọi M là
hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng AB. Biết điểm N có tung độ dương và đường
thẳng MN có phương trình 3x + y – 3 = 0, tìm tọa độ của các đỉnh A, B, C, D của hình thang
ABCD.
Giải

D

C

N

A

M I

B

N1
GV: Ngô Quang Vân

12

TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

+) N  MN(C) => tọa độ N là nghiệm của hpt:
1 12
3 x  y  3  0
,
do
N
có
tung
độ
dương
nên
N
(
; ), N1 (2; 3) .
 2
2
5 5
 x  y  4 x  5  0
 => N
  BDM
  45o => MN là đường phân giác góc BNA
+) Tứ giác BMND nội tiếp  BNM
1

là điểm chính giữa cung AB  IN  AB với I(2;0) là tâm của (C) => AB: y = 0.
1

của đt AB và (C) => A(-1;0) và B(5;0)

+) M = MNAB => M (1;0),A,B là các giao điểm

hoặc A(5;0) và B(-1;0). Do IM cùng hướng với IA nên A(-1;0) và B(5;0) .
+) AN: 2x – y + 2 = 0, MD: y = 1 => D = ANMD => D(1;4).
 
MB  DC => C(5;4).

Bài 14. (Đề thi thử THPT QG - Quỳnh Lưu 1) Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật
3 3
ABCD, E(5;0) là hình chiếu của B lên AC. Biết F(0;2), I  ;   lần lượt là trung điểm của
2 2
AE và CD. Viết phương trình của đường thẳng CD.
Giải

A

B
F

P
E

D

I

C

Kẻ FP  BC tại P, FP  BE  H . Ta có H là trực tâm của  FBC và FH / / AB ,
1

FH  AB  FH / / IC và FH  IC  FICH là hình bình hành.
2
Do CH  BF  IF  BF
BF  FI  BF : 3 x  7 y  14  0
BE  FE  BE : 5 x  2 y  25  0
GV: Ngô Quang Vân

13


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

3 x  7 y  14  0
B  BF  BE  Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 
 B (7;5)
x
y
5

2

25

0

AC đi qua E và F => AC : 2 x  5 y  10  0
t  0( L)
 
C đt AC => C  5t ;2  2t  . Do CB.CI  0   87
t 

 58

=> C(7,5; -1) => CD : 2 x  24 y  39  0
Bài 15. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

D(4; 5), M là trung điểm đoạn AD, đường thẳng CM có phương trình x  8 y  10  0 . Điểm B
nằm trên đường thẳng d : 2 x  y  1  0, y  2 . Tìm toạ độ A, B, C
1
C
Giải

A

B
I

K
M
G

H
C

D
Ta có DK  d ( D, CM ) 

26
.
65
2

3

1
3

G ọi G là trọng tâm tam giác ADC  DG  DI  BD  BG  2GD .
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, D lên CM


BH BG
52

 2  BH  2d ( D, CM ) 
DK GD
65

b  2
52
B  d1  B(b; -1-2b)  BH 


b  70
65
65
17

Vì B, D nằm khác phía đối với CM nên b = 2  B (2; 5)  I (3; 0)
17b  18

GV: Ngô Quang Vân

14


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

C  CM  C (8c  10; c ) (c < 2).
c  1

 

Có CB.CD  0  65c 2  208c  143  0  

 c  143

65

.

Do c < 2 nên C(-2; 1), A(8; -1)
Vậy A(8; 1), B(2; 5), C(2;1)
Bài 16. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD có
hai đáy là AD và BC, biết AB = BC, AD = 7. Đường chéo AC có phương trình x  3 y  3  0 ,
điểm M(-2; -5) thuộc đường thẳng AD. Viết phương trình CD biết B(1; 1).
Giải
B

C

F

A
D

M

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ABCD nội tiếp đường tròn.
 . Gọi E là
  CAD
 nên AC là đường phân giác trong góc BAD
Mà AB = BC = CD  BAC
điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD
Ta có pt (BE): 3 x  y  4  0  F  ;    E (2; 2)
2 2
pt (AD): 3 x  4 y  14  0  A(6;1) .
3

1

Ta có D thuộc AD nên D (2  4t ; 2  3t ) . AD = 7 suy ra t 

12
2
hoặc t 
. Do B, D nằm về
5
5

2 16 
 . Vì BC // AD nên BC có phương trình 3x - 4y + 1 =
5 5 

hai phía của AD nên D  ;

0  C (3; 2)  AB  5, CD  13 suy ra ABCD không phải là hình thang cân, mâu thuẫn với
giả thiết. Vậy bài toán vô nghiệm.
Bài 17. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD với
CD = 2AB. Đường thẳng AC, BD lần lượt có phương trình x  y  4  0, x  y  2  0 . Biết toạ
độ các đỉnh A, B đều dương và diện tích hình thang bằng 36, tìm toạ độ các đỉnh của hình
thang
Giải
15
GV: Ngô Quang Vân


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

A

B

I

D
H

K

C

ACD  450 , suy ra tam giác AHC vuông cân tại H

Ta có AC  BD  IDC vuông cân tại I nên 
 AH  HC  HK  KC 

3
AB .
2

AB  CD
9
9
AH  AB 2  36  AB 2  AB 2  16
2
4
4
Ta có I  AC  BD suy ra toạ độ điểm I(3; 1)
S ABCD 

Gọi A(a; 4-a), B(b; 2- b).
 IA  IB

Ta có 

2
 AB  16

suy ra toạ độ hai điểm A(1; 3), B(5; 3)




Do C  AC  C(c; 4-c ). Mà DC  2 AB  D (c  8; 4  c)
Ta có IC = ID suy ra toạ độ C(7; -3), D(-1; -3)
Vậy A(1; 3), B(5; 3), C(7; -3), D(-1; -3)
Bài 18. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác
ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Đỉnh B thuộc đường thẳng  có phương trình
x  y  5  0 . Các điểm E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D và B lên AC . Tìm
tọa độ các đỉnh B, D biết CE  5 và A  4;3 , C  0; 5 .
Giải
A
B
F
I
H
D

GV: Ngô Quang Vân

E

C

16


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Gọi H là trực tâm tam giác ACD, suy ra CH  AD nên CH || AB
(1)
(2)
Mặt khác AH||BC ( cùng vuông góc với CD )

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCH là hình bình hành nên CH=AB
(3)
  BAF
 (so le trong)
Ta có: HCE
(4)
Từ (3) và (4) suy ra: HCE  BAF (cạnh huyền và góc nhọn). Vậy CE = AF.
  DCB
  900 nên E , F nằm trong đoạn AC .
Vì DAB
Phương trình đường thẳng AC: 2 x  y  5  0 .
a  5
a  3

Vì F  AC nên F  a; 2a  5 . Vì AF  CE  5  

Với a  5  F  5; 5 (không thỏa mãn vì F nằm ngoài đoạn AC)




Với a  3  F  3;1 (thỏa mãn). Vì AF  EC  E 1; 3

BF qua F và nhận EF (2; 4) làm một véc tơ pháp tuyến, do đó BF có phương trình:
x  2 y  5  0 . B là giao điểm của  và BF nên tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:
x  2 y  5  0
x  5
 B  5;0 



x  y  5  0
y  0



Đường thẳng DE qua E và nhận EF (2; 4) làm một véc tơ pháp tuyến, DE có phương trình:
x  2y  5  0 .

Đường thẳng DA qua A và nhận AB (1; 3) làm một véc tơ pháp tuyến, DA có phương trình:
x  3y  5  0 .
D là giao điểm của DA và DE nên tọa độ D là nghiệm của hệ phương trình:
x  2 y  5  0
 x  5
 D  5;0  . Kết luận: B  5;0  , D  5;0 


x  3y  5  0
y  0

Bài 19. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang

cân ABCD có diện tích bằng

45
, đáy lớn CD nằm trên đường thẳng (d) : x - 3y - 3 = 0. Biết
2

hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm I(2 ;3). Viết phương
trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương.
Giải

GV: Ngô Quang Vân

17


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Bài 20. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ
nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng (d): x + 3y + 7 = 0 và A(1;5). Gọi M là điểm nằm
trên tia đối của tia CB sao cho MC = 2BC, N là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng
 5 1

MD. Xác định tọa độ các đỉnh B và C biết rằng N   ;  .
 2 2
Giải

GV: Ngô Quang Vân

18


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3



BC   a  2; b  3 



19
 17

 2 a;   2 b 
2
 2


MN  

Bài 21. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ

nhật ABCD , biết phân giác trong góc 
ABC đi qua trung điểm M của cạnh AD, phương trình
đường thẳng BM là (d) : x - y + 2 = 0, điểm D thuộc đường thẳng (d1) : x + y - 9 = 0, điểm
E(-1 ;2) thuộc đường thẳng AB và điểm B có hoành độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình
chữ nhật.
Giải
GV: Ngô Quang Vân

19


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

GV: Ngô Quang Vân

20

TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

I là trung điểm của AC suy ra C(5;1).
Bài 22. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang
45
. Phương trình hai cạnh đáy AB: x - 3y + 1 = 0 và CD: 2x - 6y +
8
 7
17 = 0. AD và BC cắt nhau tại điểm K(2;6). Hai đường chéo cắt nhau tại điểm I  1;  . Xác
 3

ABCD có diện tích bằng

định tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD.
Giải

Khoảng cánh giữa AB và CD là d 

15
40

1
45
3 10
Diện tích hình thang S  ( AB  CD)d 
 AB  CD 
(1)
2
8
2

A, B là giao điểm của (C) và đường thẳng AB suy ra A, B có tọa độ là (2;1), (-1;0)
GV: Ngô Quang Vân

21


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Bài 23. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ

nhật ABCD có các cạnh AB và AD tiếp xúc với đường tròn (C): (x + 2)2 + (y - 3)2 = 4.
 16 23 
;  và điểm N thuộc trục Oy. Xác định tọa độ các
 5 5 

Đường chéo AC cắt (C) tại điểm M  

đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm A có hoành độ âm và điểm D có hoành độ dương,
diện tích tam giác AND bằng 10.
Giải

Đường tròn (C) cắt trục Oy tại điểm N(0;3)  MN 

8 5
và phương trình MN : x + 2y - 6
5

= 0. Giả sử đường tròn (C) tiếp xúc với AB, AD tại điểm G và F  AGIF là hình vuông 
AF = IF = 2. AMN là cát tuyến của (C) và AF là tiếp tuyến của (C)  AM.AN = AF2 = 4. Vì

 

A MN  A(6 - 2a ; a) và AM. AN  4 (A nằm ngoài M và N)
 16

 23

 6  2a   2a  6     a   3  a   4
 5

 5


 

GV: Ngô Quang Vân

22


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Bài 24. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ

nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: 2x + y + 5 = 0 và A(-4;8). Gọi M là điểm đối
xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ điểm
B và C, biết rằng N(5;-4).
Giải

GV: Ngô Quang Vân

23


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Bài 25. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang

cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có
phương trình x + 2y - 6 = 0 và tam giác ABD có trực tâm H(-3;2). Tìm tọa độ các đỉnh C và
D.
Giải

GV: Ngô Quang Vân

24


TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN OXY HAY ÔN THI THPT QUỐC GIA - Phần 3

Bài 26. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang
ABCD có AD//BC, AD = 2BC, đỉnh B(4;0). Phương trình AC: 2x - y - 3 = 0, trung điểm E

của AD thuộc : x - 2y + 10 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang đã cho biết rằng
  2.
cot ADC

Giải

B

C

A

GV: Ngô Quang Vân

D

25