chuyên đề tích phân megabook

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những hàm số
thƣờng gặp

Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thƣờng gặp

 dx  x  C


x  dx 

1

x  1
 C   1
 1



dx



x



ax

a dx 
 C 0  a  1
ln a
cos xdx  sin x  C



 sin xdx   cos x  C
x

1

 cos


2

x

 du  u  C

 d ax  b  a ax  b  C

 x  ln x  C x  0
 e dx  e  C
x

Nguyên hàm của những
hàm số hợp





dx  tan x  C

ax  b dx  1 ax  b  C   1
a  1
dx
1
 ln ax  b  C x  0
ax  b a
1
e axb dx  e axb  C
a
1
cosax  b dx  sin ax  b   C
a
1
sin ax  b dx   cosax  b   C
a
1
1
dx  tanax  b   C
2
a
cos ax  b 
 1



 sin ax  b dx   a cotax  b  C
1

1
dx   cot x  C
sin 2 x

1



u  du 

 u  ln u  C u  0
 e du  e  C
du
u

u

au
 C 0  a  1
ln a
cos udu  sin u  C



 sin udu   cos u  C
a u dx 

1

 cos

2

u

1

 sin

2

u  1
 C   1
 1

2

u

du  tan u  C

du   cot u  C

I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2

b

f[u(x)]u/ (x)dx ta thực hiện các bước sau:

Để tính tích phân
a

Bƣớc 1. Đặt t = u(x) và tính dt u/ (x)dx .
Bƣớc 2. Đổi cận: x a
t u(a)
, x

b

t

u(b)

.

b

f[u(x)]u/ (x)dx

Bƣớc 3.

f(t)dt .

a
e2

Ví dụ 7. Tính tích phân I
e

dx
.
x ln x
Giải
Đặt t

x

e

ln x

t
2

I
1

dt

1, x
dt
t

e2

ln t

Vậy I

2
1

ln 2 .
1



dx
x
t

ln 2 .

2


4

cos x
dx .
(sin x cos x)3

Ví dụ 8. Tính tích phân I
0

Hƣớng dẫn:
4

4

cos x
I
dx
(sin x cos x)3
0
3
ĐS: I
.
8

0

1
(tan x

3

Ví dụ 9. Tính tích phân I

1)

dx
x) 2x

(1

1
2

3

dx
. Đặt t
cos2 x

.

3

tan x

1

.

Hƣớng dẫn:
2x 3
Đặt t
3
ĐS: I ln .
2
1

3
1

Ví dụ 10. Tính tích phân I
0

x
dx .
x

Hƣớng dẫn:

3
1

Đặt t
ĐS: I

3

3

x
x

3

t2 dt
; đặt t
(t2 1)2

8

1

tan u

2.

Chú ý:
1

3
1

Phân tích I
0

x
dx , rồi đặt t
x

1

x sẽ tính nhanh hơn.

2. Đổi biến số dạng 1
b

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính

 f ( x)dx

ta thực hiện các bước sau:

a

Bƣớc 1. Đặt x = u(t) và tính dx  u / (t )dt .
Bƣớc 2. Đổi cận: x  a  t   , x  b  t   .
b

Bƣớc 3.





 f ( x)dx   f [u(t )]u (t )dt   g (t )dt .
/

a

1
2

Ví dụ 1. Tính tích phân I
0

1
1

x2

dx .
Giải

Đặt x

sin t, t

x

0

2

t

;

0, x

dx

2

1
2

2


t

cos tdt

6


6

I
0

6

cos t
dt
1 sin2 t

6

cos t
dt
cos t

0

Vậy I

6

dt

t 06

0

6

.

2

Ví dụ 2. Tính tích phân I

x2 dx .

4
0

Hƣớng dẫn:
Đặt x 2 sin t
ĐS: I
.
1

dx
.
1 x2

Ví dụ 3. Tính tích phân I
0

Giải
Đặt x

tan t, t

x

2

0

t
4

;

2

0, x

0

Vậy I
3 1

Ví dụ 4. Tính tích phân I
0

x

2

1

dx
2x

2

.

2

.

4

t

dt
0

.

Hƣớng dẫn:
3 1

I
0

Đặt x
ĐS: I

x

dx
2x

2

1

3 1

2

0

1

.
2

dx
.
4 x2

Ví dụ 5. Tính tích phân I
0

ĐS: I

2

dx
.
(x 1)2

tan t

12

.
3 1

Ví dụ 6. Tính tích phân I
0

x

2

dx
2x

ĐS: I

.
12

3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lƣợng giác
2

cos2 x sin 3 xdx .

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I

4

4

tan2 t 1
dt
1 tan2 t

I

(tan2 x

dx

0

Hƣớng dẫn:
3


4

.

1)dt

0

6

.


Đặt t

cos x
2
.
15

ĐS: I

2

cos5 xdx .

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I
0

Hƣớng dẫn:
Đặt t sin x
8

ĐS: I
.
15
2

cos4 x sin2 xdx .

Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I
0

Giải
2
4

I

cos x sin xdx
0

1
16

2

1
4

2

2

cos x sin 2xdx
0

2

(1

1
8

cos 4x)dx

0

2

0

(1

0

dx
cos x sin x

1

cos 4x)dx

x
16

sin2 2xd(sin 2x)

32

1
4

0

2

Vậy I
Ví dụ 14. Tính tích phân I

2

1
16

2

2

cos 2x sin2 2xdx
0

sin3 2x

24

1
sin 4x
64

2

32

0

.

.

.

Hƣớng dẫn:
x
.
2
ln 2 .

Đặt t

tan

ĐS: I

Biểu diễn các hàm số LG theo t  tan

2t
1 t2
2t
a
;
cos
a

; tan a 
.
: sin a 
2
2
2
1 t
1 t
1 t2

3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân I
0

xdx
.
sin x 1
Giải
t
dx

, x

Đặt x
x 0
t
0

I

(
sin(

0

dt
2

0

t
sin
2

t
cos
2

2

4

0

t)dt
t) 1

dt
sin t 1
dt
t
cos2
2

sin t

0

I

dt
t 0

I

2

1

0

2

4

0

4


cos

2

1

dt

dt
sin t 1
t
2

d

t
sin t

4
t
2

2
4

tan

t
2

4

.
0


Vậy I

.

Tổng quát:

xf(sin x)dx

2

0

2

Ví dụ 16. Tính tích phân I

0

f(sin x)dx .
0

sin2007 x
dx .
sin2007 x cos2007 x
Giải
Đặt x

x
sin2007

0

I
2

0

sin2007

2

t

2

t

2
cos2007

t

t

2

dx

, x

dt
t

2
2

t

2

0

cos2007 t
dx
sin2007 t cos2007 t

dx

0

2

Mặt khác I

J

dx

2

0

(2). Từ (1) và (2) suy ra I

.

4

Tổng quát:
2

0

2

sinn x
dx
sinn x cosn x

6

Ví dụ 17. Tính tích phân I
0

0

cosn x
dx
sinn x cosn x
6

sin2 x
dx và J
sin x
3 cos x

0

4

,n

.

cos2 x
dx .
sin x
3 cos x

Giải

I

3J

I

J

1

3 (1).

6

0

Đặt t

x

dx
sin x

3

Từ (1) và (2) I

3 cos x

1
2

dx

0

dx
sin x

3

1
ln 3 (2).
4
1
3
1
, J
ln 3
4
16
1
ln(1 x)
dx .
1 x2
0

dx  I

dt

6

3
ln 3
16

Ví dụ 18. Tính tích phân I

J

Đặt x

x
4

I
0

0

1

3
4

.

tan t

Giải
dx

(1

tan2 t)dt

t

0, x

1

t

ln(1 tan t)
1
1 tan2 t

4
4

tan2 t dt

ln(1
0

5

tan t)dt .

J (1).


Đặt t

t

u

4

0

u

4

dt

, t

du
u

4

0

0

4

I

ln(1

tan t)dt

ln 1

tan

u du

4

0
4
4

1
1

ln 1
0

4

tan u
du
tan u

4

ln
0

2
du
tan u

1

4

ln 2du

ln 1

0

tan u du

4

0

Vậy I
4

Ví dụ 19. Tính tích phân I

8

ln 2

I.

ln 2 .

cos x
dx .
2007 x 1

4

Hƣớng dẫn:
Đặt x
t
ĐS: I

2
.
2

Tổng quát:

Với a > 0 ,

0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn

f(x)
a

x

1

dx

f(x)dx .
0

và thỏa f( x)

Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên

;

2f(x)

cos x .

2

Tính tích phân I

f(x)dx .
2

Giải
2

f( x)dx , x

Đặt J

t

dx

dt

2

x

t

2

2

, x

2

I

t

2

2

2

f( t)dt

J

3I

J

2I

2

f( x)
2

2

2

cos xdx

2

cos xdx
0

2

6


2.

2f(x) dx

thì


2
.
3

Vy I
3.3. Cỏc kt qu cn nh

a

f(x)dx

i/ Vi a > 0 , hm s f(x) l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ

0.

a
a

a

f(x)dx

ii/ Vi a > 0 , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ

2

a

f(x)dx .
0

iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim)
2

(n

1)!!
, neỏ
u n leỷ
n !!
.
(n 1)!!

. , neỏ
u n chaỹ
n
n !!
2

2

cosn xdx

sin n xdx

0

0

Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4 !! 2.4; 5!! 1.3.5;
6!! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10 .
2

Vớ d 21.

cos11 xdx

10 !!
11!!

sin10 xdx

9 !!
.
10 !! 2

0
2

Vớ d 22.
0

2.4.6.8.10
1.3.5.7.9.11

256
.
693

1.3.5.7.9
.
2.4.6.8.10 2

63
.
512

II. TCH PHN TNG PHN
1. Cụng thc
Cho hai hm s u(x), v(x) liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú
uv /

u/ v uv/
uv / dx u/ vdx uv/ dx
b

d uv

vdu

b

udv

d(uv)

vdu

a
b

uv

b
a

a

b

vdu

udv

a

udv
a
b

b

udv

a

b

uv

a

b
a

vdu .
a

Cụng thc:
b

b

udv

uv

b
a

vdu (1).

a

a

Cụng thc (1) cũn c vit di dng:
b

b
/

f(x)g (x)dx

f(x)g(x)

a

b
a

f / (x)g(x)dx (2).

a

2. Phng phỏp gii toỏn
b

f(x)g(x)dx ta thc hin

Gi s cn tớnh tớch phõn
a

Cỏch 1.
7



Bƣớc 1. Đặt u

g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

f(x), dv

b

du

/

vdu phải tính được.

u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân

a

Bƣớc 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
b

b

b

P(x) sin axdx,

i/ Nếu gặp
a
b

a

a

P(x) ln xdx thì đặt u

ii/ Nếu gặp

eax .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u

P(x) cos axdx,
ln x .

a

Cách 2.
b

b

f(x)G/ (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2).

f(x)g(x)dx

Viết lại tích phân
a

a
1

xex dx .

Ví dụ 1. Tính tích phân I
0

u

Đặt

Giải
du

x
x

dv

e dx

ex

v

1

dx

(chọn C

0)

1
x

xe dx

xe

x 1
0

ex dx

0

e

1)ex

(x

1
0

1.

0

Ví dụ 2. Tính tích phân I

x ln xdx .
1

Giải
Đặt

u
dv

e

xdx
e

1

x2
2

v

x2
ln x
2
1

x ln xdx

dx
x

du

ln x

1
2

e

xdx

e2

1

1
4

.

2

ex sin xdx .

Ví dụ 3. Tính tích phân I
0

Giải
Đặt

u
dv

sin x

du

ex dx

ex

v

2

2

ex sin xdx

I

cos xdx

ex sin x

ex cos xdx

2
0

0

0

u

Đặt

dv

cos x

du

ex dx

v

8


sin xdx
ex

e2

J.

P(x) .


2

2

ex cos xdx

J

ex cos x

e x sin xdx

2

0

0

1

I

0

I

e2

( 1

I)

e2

I

1
2

.

Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
2

4

Ví dụ 7. Tính tích phân I

cos xdx .
0

Hƣớng dẫn:
2

Đặt t

x

I

2

t cos tdt

2.

0

e

Ví dụ 8. Tính tích phân I

sin(ln x)dx .

1

ĐS: I

(sin1

cos1)e
2

1

.

III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phƣơng pháp giải toán
1. Dạng 1
b

Giả sử cần tính tích phân I

f(x) dx , ta thực hiện các bước sau
a

Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

b

Bƣớc 2. Tính I

x1

0

a

x
f(x)
x1

f(x) dx

x2

b

f(x)dx

a

a

b

x2
0
f(x)dx

f(x)dx .

x1

x2

2

x2

Ví dụ 9. Tính tích phân I

3x

2 dx .

3

Giải
Bảng xét dấu
x2

x
3x

3

1

I

2
0

1
0

2
2

x

2

3x

x2

2 dx

3

1

59
.
2

Vậy I

9


3x

2 dx

59
.
2


2

Ví dụ 10. Tính tích phân I

4 cos2 x

5

4 sin xdx .

0

ĐS: I

2 3

2

.

6

2. Dạng 2
b

Giả sử cần tính tích phân I

f(x)

g(x) dx , ta thực hiện

a

Cách 1.
b

Tách I

b

f(x)

b

g(x) dx

f(x) dx

a

g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.

a

a

Cách 2.
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2

Ví dụ 11. Tính tích phân I

x

x

1 dx .

1

Giải
Cách 1.
2

2

I

x

x

1
0

1 dx

x dx
1

2

xdx

(x

0

0

1

x2
2

1)dx

1

2

0

1 dx

(x

1)dx

1

1

x2
2

x
1
2

1

xdx
1

x2
2

2

2

x2
2

x
1

x

0.
1

Cách 2.
Bảng xét dấu
x
x
x–1

–1
–
–

0

I

0
0

1

+ 
–
0

2
+
+

1

x

x

2

1 dx

1

x

x

1 dx

0

x

0

1

x

x

1 dx

1

1

2

x
x 0
Vậy I 0 .

x

2
1

0.

3. Dạng 3
b

Để tính các tích phân I

b

max f(x), g(x) dx và J
a

bước sau:
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x)
Bƣớc 2.
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x)
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x)

min f(x), g(x) dx , ta thực hiện các
a

f(x)

g(x) trên đoạn [a; b].

f(x) và min f(x), g(x)
g(x) và min f(x), g(x)
10


g(x) .
f(x) .


4

max x2

Ví dụ 12. Tính tích phân I

1, 4x

2 dx .

0

Đặt h(x)

x

2

Giải
4x

1

x2

2

4x

3.

Bảng xét dấu
x
h(x)

0

1
0

+

1

3
0

–

4
+

3

I

x

2

4

1 dx

4x

0

x2

2 dx

1

80
.
3

1 dx

3

80
.
3

Vậy I
2

min 3x , 4

Ví dụ 13. Tính tích phân I

x dx .

0

Giải
4 x

x

Đặt h(x)

3

3x

x

4.

Bảng xét dấu
x
h(x)
1

1
0

–

2

3x dx

I

0

+
x

4

0

2

3
ln 3

x dx

1

1
0

2
ln 3

Vậy I

2

x2
2

4x

2
ln 3

1

5
.
2

5
.
2

IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phƣơng pháp giải toán
1. Dạng 1
b

b

f(x)dx

Để chứng minh

0 (hoặc

a

x

f(x)dx

0 ) ta chứng minh f(x)

0 (hoặc f(x)

a

a; b .
1
3

Ví dụ 14. Chứng minh

x 6 dx

1

0.

0

Giải
1

Với x

0; 1 : x

6

3

1

1

x

6

3

0

1

x 6 dx

0.

0

2. Dạng 2
b

b

f(x)dx

Để chứng minh

g(x)dx ta chứng minh f(x)

a

g(x) với x

a; b .

a
2

Ví dụ 15. Chứng minh
0

1

dx
sin10 x

2

0

1

dx
.
sin11 x
Giải

Với x

0;

2

:0

sin x

1

0

11


sin11 x

sin10 x

0 ) với


sin10 x

1

sin11 x

1
2

Vậy

1
sin10 x

1
2

dx
sin10 x

1

0

0

0

1
.
sin11 x

1

dx
.
sin11 x

1

3. Dạng 3
b

Để chứng minh A

f(x)dx

B ta thực hiện các bước sau

a

Bƣớc 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m

f(x)

b

Bƣớc 2. Lấy tích phân A

m(b

a)

f(x)dx

M(b

a)

B.

a
1

Ví dụ 16. Chứng minh 2

x2 dx

4

5.

0

Với x

0; 1 : 4

Giải
x2
5

4

2

4

x2

5.

1

Vậy 2

x2 dx

4

5.

0

3
4

Ví dụ 17. Chứng minh

4

dx
2 sin2 x

3

.

2

4

Giải
Với x

4

1

3

1 3
2 4

;

3
2
:
4
2

2 sin2 x

sin x

1

1
2

3

2

3
4

4

3

dx
2 sin2 x

3

dx
2 sin2 x

4
3
4

Vậy

4

1
sin2 x 1
2
1
1
2 sin2 x

1

2

3
4

4

.

4
3

3
Ví dụ 18. Chứng minh
12

cotx
dx
x

1
.
3

4

Xét hàm số f(x)

x
/

f (x)

2

sin x
x2

Giải
cotx
, x
x

4

;

ta có

3

cotx
0

12


x

4

;

3

.

M.


f

f(x)

3

3

f

cotx
x

4

3

3
3

x

4

4

4

x

;

;

4

cotx
dx
x

4

cotx
dx
x

1
.
3

3

3

3

4

.

4
3

3
Vậy
12

4

4. Dạng 4 (tham khảo)
b

Để chứng minh A

f(x)dx

B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện

a

f(x)
Bƣớc 1. Tìm hàm số g(x) sao cho

g(x) x

a; b

b

f(x)dx

b

g(x)dx

B

B.

a

a

h(x)
Bƣớc 2. Tìm hàm số h(x) sao cho

f(x) x

a; b

b

A

b

h(x)dx

A

f(x)dx .
a

a

Ví dụ 19. Chứng minh

2
2

2
2

dx
1 x2007

0

4

.

Giải
Với x
1
2

1

x2

0;
1

2
2

2
:0
2

x2007

x2007

1

1
1 x2007

1

2
2

2
2

dx
1 x2007
0
0
dx
Đặt x sin t

dx
.
1 x2
0
cos tdt

dx

x

0
2
2

0

Vậy

t

4

dx
1 x2
2
2

2
2

0, x

2
2

0

0

1
2

x2

t

4

cos tdt
cos t

dx

1 x2007

13


4

4

.

.

1
1

x2


3

Ví dụ 20. Chứng minh

1

1

xdx
x
2

2

1

.
2
1
Giải
0; 1 : 2 1
x2 2 1
3
x
x
x
2
3 1
2 1
x
2 1

4

2

0

Với x

1

0

Vậy

1

xdx
3 1
3

0
1

1
4

1

xdx
2
x
2

1

xdx
x
2

0

xdx
.
2 1

0

2

2

1
2

1

1

.

V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
b

y

f(x), x

a, x

b và trục hoành là S

f(x) dx .
a

Phƣơng pháp giải toán
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
b

f(x) dx .

Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
a

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x
Giải
Do ln x 0 x
1; e nên
e

e và Ox.

e

S

ln x dx

ln xdx

1

x ln x

1

e
1

1.

1

Vậy S 1 (đvdt).
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
x2 4x
Giải
Bảng xét dấu
x 0
1
3
y
–
0
+
0
1

3, x

0, x

3

S

x

2

4x

x2

3 dx

0

4x

3 dx

1
1

3

x
3

2x

2

x3
3

3x
0

Vậy S

8
(đvdt).
3

2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trƣờng hợp 1.
14


3

2x

2

3x
1

8
.
3

3 và Ox.


Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
b

y

f(x), y

g(x), x

b là S

a, x

f(x)

g(x) dx .

a

Phƣơng pháp giải toán

Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)

g(x) trên đoạn [a; b].
b

f(x)

Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

g(x) dx .

a

2.2. Trƣờng hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y

f(x), y

g(x) là S

f(x)

g(x) dx . Trong đó

phương trình f(x) g(x) a
b .
Phƣơng pháp giải toán
Bƣớc 1. Giải phương trình f(x) g(x) .
Bƣớc 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn

f(x)

Bƣớc 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của

,

;

.

g(x) dx .

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x
x 0, x 2 .
Giải
Đặt h(x) (x3 11x 6) 6x2
x3 6x2 11x 6
h(x) 0
x 1 x 2 x 3 (loại).
Bảng xét dấu
x 0
1
2
h(x)
–
0
+ 0

1

S

2

x

3

6x

2

11x

x3

6 dx

0

6x2

11x

6 dx

1

4

x
4

2x

11x
2

3

1

2

4

x
4

6x
0

2x

3

11x2
2

2

6x
1

5
.
2

5
Vậy S
(đvdt).
2
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x 6, y
Giải
3
11x 6) 6x2
x3 6x2 11x 6
Đặt h(x) (x
h(x) 0
x 1 x 2 x 3.
Bảng xét dấu
x 1
2
3
h(x) 0
+ 0
–
0

2

S

3

x

3

6x

2

11x

x3

6 dx

1

2

15


6x2

11x

6 dx

6x2 .

6, y

6x2 ,


x4
4

2x

2

11x2
2

3

x4
2x 3
4
1
(đvdt).
2

6x

1

Vậy S
Chú ý:
Nếu trong đoạn
thức

f(x)

;

phương trình f(x)

g(x) dx

f(x)

3

11x2
2

2

g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công

g(x) dx .

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x3 , y 4x .
Giải

3
Ta có x
4x
x
2 x 0 x
0

x3

4x dx

2

4x dx

0

0

4

x
4

2

4

x
2x

2x2
4
2
Vậy S 8 (đvdt).
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4 x
Giải
2
Ta có x
4 x
3 0
t2 4t 3
t 1
x
1
x
2

t

2

2

x3

S

3

x

3

8.
0

3 và trục hoành.
0, t
1

x

3

x

x

2

4 x

3 dx

3

x2

2

3

4x

3 dx

0

1

3

x

2

4x

x2

3 dx

0

x3
3

4x

3 dx

1
1

3

x3
2x2 3x
3
0
1
16
Vậy S
(đvdt).
3
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
x2 4x 3 và y
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
x2 4x 3
x 3
x 3 0
x 0
x2 4x 3 x 3
.
x 5
2
x
4x 3
x 3

2

2x2

3x

Bảng xét dấu
x

2

0

3

S
2

1
.
2

6x

x
4x

0
3

+

1
0

–

3
0

16


5
+

16
.
3

x

3.


1

3

S

x

2

5

5x dx

x

0

2

3x

x2

6 dx

1

x3
3

1

5x2
2

x3
3

0

3

3x2
2

x3
3

6x
1

5

5x2
2

3

109
.
6

3

109
Vậy S
(đvdt).
6
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
x2 1 , y
x
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
x2 1
x
5
t2 1
t 5, t
x
t
x
0
t
x
0
t2 1 t 5
x
t 3
t2 1
t 5

S

5x dx

3

5.

0

3

3

x

2

1

x

5 dx

x2

2

3

1

x

5 dx

0

Bảng xét dấu
x
x

0

2

1
0

–

1

3
+

1

S

3

2

x

2

x

x2

4 dx

0

x
3

2

3

x

6 dx

1
1

2

x

2

3

x2
2

x
3

4x
0

3

6x
1

73
.
3

73
(đvdt).
3

Vậy S

Chú ý:
Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).

B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY
1. Trƣờng hợp 1.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y

f(x)

0 x

b

x

a và x

b (a

f 2 (x)dx .

b) quay quanh trục Ox là V
a

Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x2 y2
R2 quay quanh Ox.
Giải
R2
x
R.
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2
2
2

2
2
2
2
Phương trình (C) : x
y
R
y
R
x
R

R

V

R

2

x

2

dx

R

2

R2

2
0

R2 x

3

x
3

R

0

17


4 R3
.
3

x2 dx

a;b , y

0,

4 R3
(đvtt).
3

Vậy V

2. Trƣờng hợp 2.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x

0 y

c;d , x

g(x) , x

a và

g(y)

0,

d

y

c và y

d (c

g2 (y)dy .

d) quay quanh trục Oy là V
c

x2
y2
Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : 2
a
b2
Giải
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là

x2
a2

Phương trình (E) :
b

V

a

y2
b2

b

2

Vậy V

3

1
x2

y
a2

b

a2

2
0

b.
a 2 y2
b2

a 2 y2
dy
b2

R

a y
4 a2 b
.
3

3b2 0
4 a2 b
(đvtt).
3

a2 y

2

y2
b2

1

a 2 y2
dy
b2

2

1 quay quanh Oy.

3. Trƣờng hợp 3.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y
x
b (a b, f(x) 0, g(x) 0 x
a; b ) quay quanh trục Ox là
b

f 2 (x)

V

g2 (x) dx .

a

Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y
Ox.
Giải
x 0
x 0
Hoành độ giao điểm
.
x 1
x4
x
1

V

x2 , y2

x quay quanh

1

x

4

x4

x dx

0

x dx

0

1 5
x
5
Vậy V

1 2 1
3
.
x
2
10
0
3
(đvtt).
10

4. Trƣờng hợp 4.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x
y d (c d, f(y) 0, g(y) 0 y

c; d ) quay quanh trục Oy là

g(y) , y

c và

d

f 2 (y)

V

g2 (y) dy .

c

Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x
quay quanh Oy.
18


y2

5, x

3

y

Giải
Tung độ giao điểm

y2

5

y2

5

3

y

y

y

1
2

.

2

V

2

3

y

2

dy

1
2

y4

11y2

6y

16 dy

1

y5
5

2

11y3
3

3y

2

16y
1

153
.
5

153
(đvtt).
5

Vậy V
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
1

1
1
1
10
1. Tính I=  1  x  dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: S  1  C101  C102  ...  C1010
2
3
11
0
1

2. Tính: I   x 1  x  dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:

19

0

1
1 1 1 2
1 18 1 19
S  C190  C19
 C19  ... 
C19  C19 .
2
3
4
20
21
1
2

1
3

3. Chứng minh rằng: 1  Cn1  Cn2  ... 

1
2n 1  1
Cnn 
n 1
n 1

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin x  cos x , biết rằng F      ln 2
sin x  cos x
 4
2. Tính các tích phân sau:
e
A= 2 x  5 - 7 x dx
2



2

x

1

2

B=  x 2 -1 dx

C= 2 x ln 2dx

0

-2

3. Tính các tích phân sau:

3

A= e3 cos x sin xdx

0

e
4
B=  ln xdx
1

C*=

x

2 3



5

dx
x x2  4

2

x
dx
x -1
1 1

D*= 

4. Tính các tích phân sau:

e

I=  sin(ln x) dx
x
1

J=

10

4

K=  lg xdx

dx
 sin 2 x cot x

1

6



ln 5

L=  x dx x
3

ln 3 e  2e

M=

2


0

cos x  4 sin x
2


2

C= 
0

2

sin 2 xdx

sin 2 x
dx
(1  cos 2 x)2

5. Tính các tích phân sau:

19

2

N= 
1

dx
x -9
2


1

dx

A= 

4 - x2

0

ln 2



D=

B=

0

3


3

3

1- e x
dx
1  ex

4

dx
2
x 3

C=  16 - x 2 dx
0

2
dx
x 1

E= 

2

2

6. Tính các tích phân sau:

B*=  x sin x dx
2

e2

A=  ln x dx
x
1

0

ln x
dx
2
1 x

1  cos x

D = cos(ln x)dx

1

x2  1
 4 dx
1 1  x
1

3x 4  2 x
E= 
dx
x3
1
2

e

*

2

C*= 

F 
*

7. Tính:




4

A=  cos xdx
2

0

e

F= 
1

ln x  1
dx
x

1

2

B=  cos3 xdx

C=  xe x dx

0
2

0
4

G=  x 1  2 x 2 dx

H=  x 1  2 xdx

0

0

4

D= 

e

1

2

I= 
1

2

x

dx
x

x
dx
x 1

E=  x ln xdx
1
1

x

dx
2
0 1 x

J= 

8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a. x=1; x=e; y=0 và y= 1  ln x

b. y=2x; y=3x và x=0

x

c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=  .
3

9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với
đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1
khi nó quay quanh:
a) Trục Ox.
b) Trục Oy.

Hết

20