Hình Oxy_Các bài toán về hình chữ nhật và tam giác_Nguyễn bá Tuấn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.98 MB, 65 trang )
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
2015 - 2016
(fb: />
TUYỂN TẬP HÌNH OXY VÀ CÁCH GIẢI
2: Các bài toán về hình chữ nhật)
ệ
/>
Trang 1
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHỮ NHẬT - ĐỀ BÀI
Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD có A 3;1 , C : x 2 y 5 0. Trên tia đối CD lấy điểm E sao
cho CE=CD. Biết N 6; 2 là hình chiếu cuả B xuống BE. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D.
Bài toán 2: Cho hình chữ nhật ABCD có B d1 : 2 x y 2 0, C d2 : x y 5 0 . Hình chiếu của B lên
2
AC là H. Biết M ; , K 9; 2 lần lượt là trung điểm của AH và CD. Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ
5 5
nhật biết xC 4 .
Bài toán 3: Tr ng
g c của
lên
giác
là
t
iể
y-
ng tọa độ y c
n c ữ n ật
c điể
là n c iếu u ng
9
ư ng tr n đư ng trung tuyến t
của ta
( ;3) là trung điể c n
2
iết ư ng tr n c n
.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân t i A 1;3
iểm D thuộc AB sao cho AB=3AD. Hình chiếu của B
1 3
lên CD là H. Biết M ; là trung điểm của HC. Tìm tọa độ điểm C biết B : x y 7 0
2 2
5. Tr ng
y
à điể
t
ng tọa độ
ọi
c iếu u ng g c của
y c
là điể
trên đư ng t ng
n
n c ữ n ật
c điể
trên tia đối của tia
T
tọa độ các điể
Bài toán 6: Tr ng t
ng tọa độ y c
n c ữ n ật
y
à ọi là điể đối ng của
ua
đư ng t ng
T tọa độ điể
à
iết r ng (5;-4)
t uộc đư ng t ng :
a c
à
là
iết
n
5 1
( ; ) .
2 2
c điể
t uộc đư ng t ng
là n c iếu u ng g c của trên
Bài toán 7: Trong m t ph ng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; 7) , M là điểm sao cho
MB 3MA
iểm C thuộc đư ng th ng d : x y 4 0
ư ng th ng đi ua DM c
7 x 6 y 57 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết điểm B c
ư ng tr n
àn độ âm.
Bài toán 8: Trong m t ph ng tọa độ , cho hình chữ nhật có . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên .
Trên tia đối của lấy điểm sao cho . Biết ư ng tr n đư ng th ng và diện tích ABCD =6. Tìm tọa độ
đỉnh của hình chữ nhật, biết c tung độ ư ng à
ng trùng ới gốc tọa độ.
Bài toán 9: (THPT Lý Thái Tổ).
Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật
c đư ng phân giác trong góc ABC đi ua
trung điểm M của c n
đư ng th ng
c
ư ng tr n x y 2 0 điểm D n trên đư ng
th ng : x y 9 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉn
đư ng th ng
c
àn độ âm và
đi ua E (1, 2) .
Bài toán 10: (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1)
/>
Trang 2
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
Trong m t ph ng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có . Tam giác SAD là tam giác vuông cân t i
đỉnh S và n m trên m t ph ng vuông góc với m t đáy
Tín t ể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa ai đư ng th ng SA và BD.
Bài toán 11: (Nguyễn Công Trứ - 2015). Trong m t ph ng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có B , C
thuộc trục tung
ư ng tr n đư ng chéo AC: 3x 4y 16 0 Xác định tọa độ đỉnh A , B , C biết r ng
án ín đư ng tròn nội tiếp tam giác ABC b ng 1.
Bài toán 12: (THPT Võ Nguyên Giáp)
Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên
AC, M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH, trên đ n CD lấy K sao cho MNCK là hình bình hành.
9 2
Biết M ; , K (9; 2) à các đỉnh B, C lần lượt n trên các đư ng th ng 2 x y 2 0 và
5 5
àn độ đỉnh C lớn n T tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
x y 5 0
Bài toán 13: Tr ng
t
lần lượt là trung điể của
T tọa độ điể
.
ng tọa độ
à
y c
n c ữ n ật
iết điể
c
ư ng t ng
iện tíc
c
ng 2 2
ọi
ư ng tr n là: 2 2
y-
Bài toán 14: Tr ng t
ng tọa độ y c
n c ữ n ật
c
: 2x+y điểm I(-3;2)
thuộc đ n BD sao cho IB=2ID. Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết xD 0 và AD=2AB.
Bài toán 15: Tr ng
t
ng tọa độ
y c
n c ữ n ật
đư ng tr n (C): (x 2)2 ( y 3)2 4 đư ng c
iết c n
c t đư ng tr n
n trên trục tung Xác địn tọa độ các đỉn của n c ữ n ật
điể
c
àn độ ư ng à ta giác
c iện tíc
ng 10.
à
t i các điể
iết đỉn
Bài toán 16: Tr ng t
ng ới ệ tọa độ y, cho n c ữ n ật
lượt là trung điể các c n
à
là điể đối ng của
ua
n ật
iết
à t
yc tung độ ư ng.
c
T
c
tiế
c ới
16 23
( ; ) à
5 5
àn độ
à
ọi
à lần
tọa độ các đỉn
n c ữ
Bài toán 17: Xuân Trư ng. Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Gọi là điểm
đối x ng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD. Tam giác BDM nột tiế đư ng tròn
T c
ư ng tr n ( x 4)2 ( y 1)4 25 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết
ư ng tr n đư ng th ng CN là 3x 4 y 17 0 đư ng th ng
tung độ âm.
đi ua điểm E (7, 0) à điểm M có
Bài toán 18: RƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I – Lần 3
Trong m t ph ng với hệ to độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AD 2 AB . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của các c nh AD, BC Trên đư ng th ng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đ n th ng
MK . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết K 5; 1
ư ng tr n đư ng th ng ch a c nh AC là
2 x y 3 0 à điểm A c tung độ ư ng
Bài toán 19: (VTED)
Trong m t ph ng to độ Oxyz cho hình chữ nhật ABCD. Gọi
là c n đư ng cao h t đỉnh A lên
BD và E, F lần lượt là trung điểm của
à
ư ng th ng đi ua F à uông góc với AE có
/>
Trang 3
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
ư ng tr n -4y+5=0. Tìm to độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm A thuộc đư ng th ng
∆:x + y – 1 = 0.
Bài toán 20: (tạp chí toán học tuổi trẻ)
Trong m t ph ng với hệ to độ y c
n t i
c t I
à
iểm M(0;1/3)
thuộc đư ng th ng AB, N(0;7) thuộc đư ng th ng CD. Tìm to độ điểm P biết (BP) =5(BI) với điểm B
c tung độ ư ng
Bài toán 21: Trong m t ph ng tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật
c
ư ng tr n đư ng th ng:
AB: x – y
ư ng tr n đư ng th ng BD: x - 7y + 14 = 0. Viết
đư ng th ng AC, biết đư ng th ng
đi ua điểm M (2;1).
ư ng tr n tổng quát của
Bài toán 22: rường THPT Bố Hạ-Lần 2
Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;3). Gọi
AB sao cho AN
2
AB . Biết đư ng th ng
3
c
ư ng tr n
là điểm thuộc c nh
y-2=0 và AB=3AD. Tìm tọa độ
điểm B.
Bài toán 23: RƯỜNG THCS –
Tr ng
t
ng
Đ
D – Lần 1
y, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích b ng 15. ư ng th ng
c
16 13
x 2 y 0 . Trọng tâm của tam giác BCD có tọa độ G ; . Tìm tọa độ A, B, C, D biết
3 3
lớn n
Bài toán 24: RƯỜ
SĨ
ư ng tr n
c tung độ
Ê - Lần 2
Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD c điểm C thuộc đư ng th ng
d : 2 x y 5 0 và A( 4; 8). Gọi E là điể đối x ng với B qua C, F(5; 4) là hình chiếu vuông góc của
B trên đư ng th ng ED. Tìm tọa độ điểm C và tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Bài toán 25: RƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ - Lần 2
Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của lên đư ng
6 7
th ng BD là H ; , điểm M(1; 0) là trung điểm c n
à ư ng tr n đư ng trung tuyến k t
5 5
A của ta
giác
c
ư ng tr n là 7x y 3 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHỮ NHẬT –
/>
ƯƠ
ẢI
Trang 4
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD có A 3;1 , C : x 2 y 5 0. Trên tia đối CD lấy điểm E sao
cho CE=CD. Biết N 6; 2 là hình chiếu cuả B xuống BE. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D.
Hướng dẫn
N(6;-2)
B
A(-3;1)
I
E
C
D
Do N nhìn BD dưới 1 góc vuông nên N thuộc đường tròn đường kính BD=> N thuộc đường tròn
đường kính AC (do ABCD là hình chữ nhật).
AN .NC 0
x 7
=> AN NC => tọa độ C là nghiệm của hệ
C 7;1
C
y 1
Mặt khác AB//CE=> ANCE là hình bình hành => AC//BE
BN có phương trình y+2=0 vậy tọa độ B là nghiệm của hệ:
B 6; 2 N
B BN 0
B 2; 2
B
2;
2
AB
.
BC
0
AB DC D 6; 4
Bài toán 2: Cho hình chữ nhật ABCD có B d1 : 2 x y 2 0, C d2 : x y 5 0 . Hình chiếu của B
2
lên AC là H. Biết M ; , K 9; 2 lần lượt là trung điểm của AH và CD. Tìm tọa độ các đỉnh hình
5 5
chữ nhật biết xC 4 .
Hướng dẫn:
N
A
B
+ Dựa vào hình vẽ nhận định MB MK
+ Ta chứng minh MB MK 1 bằng cách
M
D
tạo ra hình chữ nhật KNBC (N là trung điểm của AB).
H
K
C
Ta đi chứng minh MN MC 2 .
Xét tam giác AHB có MN là đường trung bình lên MN//BH.
Mặt khác BH AC => MN AC => M thuộc đường tròn đường kính NC
Do KNBC là hình chữ nhật nên=> M thuộc đường tròn đường kính KB=> MB MK .
/>
Trang 5
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
MB.MK 0
Vậy tọa độ B là nghiệm của hệ:
B 1; 4
B d1
C 9; 4
KB.KC 0
Tọa độ C là nghiệm của hệ:
C 9; 4
C
4;
1
L
C
d
2
=> tìm được tọa độ H là hình chiếu của B xuống MC
=> tìm được tọa độ A qua M là trung điểm của AH
=> tìm được tọa độ D (do AB DC )
Bài toán 3: Trong mat phang toa đo y cho h nh chư nhat ABCD co đi m H ( 2 la h nh chi u
9
vuong goc cua A l n BD i m M ( ;3) la trung đi m canh BC phương tr nh đương trung tuy n
2
A cua tam giac ADH la +y- =0 i t phương tr nh canh BC.
HD
A
+ Gọi N n, 4 4n là trung điểm HD
tư
D
CM : AN vuông góc NM
N
Cách 1: Sử dụng PP HCN di động như trong bài trên
Cách 2: Sử dụng vecto:
H
+ Có 2 tam giác: ABH và DBA đồng dạng
B
AH HB
AH . AB HB. AD
AD AB
M
C
+ Ta nhận thấy AN vuông góc với MN: Thật vậy:
AN
1
AH .NC AD.NB AD.NC
4
1
AH . ND DC AD.NB AD. ND DC
4
1
AH .DC AD.NB AD.ND
4
1
1
AH . AB AD.HB AH . AB.cos BAH AD.HB.cos HBC
4
4
1
AH . AB.cos BAH AD.HB.cos BAH 0
4
1
1
1
AH AD ; NM NB NC AN .MN AH AD NB NC
2
2
4
9
1
1
MN .u AN 0 n .1 4.1 4n 0 n N ;2
2
2
2
=>Toạ độ D(0;2). Có A AN , AH HD A(1;0)
Có B HD, AB AD B(5;2)
/>
Trang 6
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
=> pt đường BM là (chính là pt đường BC): 2x+y-12 = 0
Cách 3: + Ta có 2 Tam tam giác : ABC và AHD đồng dạng.
Lại có M và N lần lượt là trung điểm của 2 cạnh tương ứng BC và HD
Do đó ta cũng sẽ có tam giác ABM và AHN đồng dạng
Nên ANB AMB => tứ giác ABMN nội tiếp => AN vuông góc NM.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tại A 1;3
iểm D thuộc AB sao cho AB=3AD. Hình chiếu của B
1 3
lên CD là H. Biết M ; là trung điểm của HC. Tìm tọa độ điểm C biết B : x y 7 0
2 2
Hướng dẫn:
Chứng minh BM AM
Tạo ra hình chữ nhật AEBF bằng cách: Kẻ đường thẳng d qua A
và //BC, CD giao với d tại F, E là trung điểm BC.
A
F
1
AF AD 1
AF BC BE AF / / AE
BC BC 2
2
D
mà AEB 900 =>AEBF là hình chữ nhật.
Ta chứng minh ME MF :
H
Xét tam giác BHC có có ME là đường trung bình => E//BH, mà BH
vuông góc với FC => ME MF
Như vậy M thuộc đường tròn đường kính EF=>M thuộc đường
tròn đường kính AB (Do AEBF là hình chữ nhật)
M
B
C
E
=> BM AM B 4; 3
DM : x y 1 0 H 1;0 C 2; 3
5. Trong mat phang toa đo
+ y+ =0 va đi m A(
y, cho h nh chư nhat ABCD co đi m C thuoc đương thang d:
oi M la đi m nam tr n tia đoi cua tia CB sao cho MC=2BC, N la h nh
5 1
chi u vuong goc cua B tr n đương thang MD T m toa đo cac đi m B va C i t N ( ; ) .
2 2
HD
+ Gọi tọa độ điểm C 7 3c; c
+ Ta có IN ID IA IB IC
A
I là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác ABCND
có đường kính là AC và BD
=>góc ANC=900
7
5 9
1
=> AN .NC 0 =>
(7 3c ) (c ) 0
2
2 2
2
/>
D
N
I
B
C
Trang 7
M
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
=>tìm được toạ độ điểm C(2;-3)
+ Gọi B(a,b )=> toạ độ điểm M (
6 a 9 b
;
)
2
2
6 3a
9 3b
.(a 1)
.(b 5) 0
2
2
11 a
5 10 3b
1
- NB vuông góc với NM =>
.(a )
.(b ) 0
2
2
2
2
Tìm được toạ độ điểm B
-
có AB vuông góc với BM =>
Bài toán 6: Trong mat phang toa đo y, cho h nh chư nhat ABCD co đi m C thuoc đương thang
d:2 +y+ =0 va A(oi M la đi m đoi ưng cua B qua C, N la h nh chi u vuong goc cua B tr n
đương thang MD T m toa đo đi m B va C Bi t rang N(5;-4)
HD
Các bạn làm tương tự như bài tập 3.
N
Điểm mấu chốt là ta đi chứng minh AN vuông góc với NC
A
Giải : Gọi tọa độ C(c;-5-2c)
Ta có BN vuông với ND
D
I
do đó N thuộc đường tròn đường kính BD
B
C
M
nên N thuộc đường tròn đường kính AC
=> AN vuông NC => 9.(c 5) 12.(5 2c 4) 0 =>C(1;-7)
AC song song với NM, C là trung điểm của BM
Do đó AC đi qua trung điểm của BN
Lại có AC vuông với BN => N và B đối xứng nhau qua AC => B(-4;-7)
Yếu tố khoảng cách, vecto
Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; 7) , M là điểm sao cho
MB 3MA
iểm C thuộc đường thẳng d : x y 4 0
ường thẳng đi qua DM có phương trình
7 x 6 y 57 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết điểm B có hoành độ âm.
Giải :
+) Gọi I là giao điểm của AC và DM .
Do AM // DC nên áp dụng Ta – let ta được:
AI AM AM 1
AI 1
AC 5 AI
CI DC
AB 4
AC 5
AC (c 5; c 11)
C (c; c 4) d
+) Gọi 7a 57
7a 15
I a; 6 DM
AI a 5;
6
/>
M
A
B
I
D
C
Trang 8
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
c 5 5(a 5)
c 1
c 5a 20
Khi đó AC 5 AI
7a 15
21 C (1;5)
6
c
35
a
141
c
11
5.
a
6
5
7t 15
7t 57
+) Gọi M t;
DM AM t 5;
Khi đó :
6
6
xB 5 4.(t 5)
xB 4t 15
14t 51
3MA MB 0 AB 4 AM
7t 15
14t 51 B 4t 15;
3
yB 7 4.
yB
6
3
14t 30
AB 4t 20; 3
=>
CB 4t 16; 14t 66
3
+) Ta có: AB CB AB.CB 0 (4t 20)(4t 16)
(14t 30)(14t 66)
0
9
B(3; 3)
t 3
17t 132t 243 0
69 89
t 81 B ;
17 17
17
Do B có hoành độ âm nên ta được B(3; 3) .
2
xD 1 5 (3)
x 9
D
D(9;1)
+) ABCD là hình chữ nhật nên CD BA
yD 5 7 (3)
yD 1
Vậy B(3; 3), C(1;5), D(9;1) .
Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(0; 2)
ọi H là hình chiếu
vuông góc của B lên AC Trên tia đối của BH lấy điểm E sao cho BE AC Biết phương trình
đường thẳng DE : x y 0 và diện tích ABCD =6 Tìm tọa độ đỉnh C của hình chữ nhật, iết B có
tung độ dương và D hông trùng với gốc tọa độ
Hướng dẫn:
Kẻ EF AD tại F và EF cắt BC tại K .
Khi đó ta có:
B1 B4
A1 B4
K
F
E
B1 A1 .
( ACB 900 )
Mặt khác BE AC , suy ra :
B
A
BK AB KF AF
BKE ABC
EF DF
KE BC KE AD
H
Suy ra FED vuông cân tại F nên ADE 450
Gọi n1 (a; b) là vecto pháp tuyến của AD ,
D
C
(với a 2 b2 0 ) và n2 (1; 1) là vecto pháp tuyến của ED
/>
Trang 9
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
Khi đó ta có: cos ADE cos n1 , n2 cos 45o
n1.n2
n1 . n2
a b
1
2
2
a b2 . 2
a 0
(a b)2 a 2 b2 ab 0
b 0
+) Với a 0 , chọn b 1 ta được phương trình AD : y 2 0
y 2 0
Khi đó tọa độ điểm D là nghiệm của hệ
x y 2 D(2; 2)
x y 0
Suy ra phương trình AB : x 0 . Gọi B(0; b) AB với b 0 , hi đó:
S ABCD AD. AB 6 2. b 2 b 5 hoặc b 1 (loại), suy ra B(0;5)
7
Trung điểm của BD có tọa độ I 1; , cũng là trung điểm của AC C (2;5)
2
+) Với b 0 , chọn a 1 ta được phương trình AD : x 0
x 0
Khi đó tọa độ điểm D là nghiệm của hệ
x y 0 D(0;0) O (loại)
x y 0
Vậy C (2;5) .
Bài toán 9: (THPT Lý Thái Tổ).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác trong góc ABC đi
qua trung điểm M của cạnh AD, đường thẳng BM có phương trình x y 2 0 , điểm D nằm trên
đường thẳng : x y 9 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh B có hoành độ
âm và đường thẳng AB đi qua E (1, 2) .
Hướng dẫn:
+ Kẻ đường thẳng đi qua E vuông góc với BM tại H và cắt AC tại E’ H là trung điểm EE’
1 3
Phương trình EH là: x y 1 0 , H EH BM H ,
2 2
ì H là trung điểm của EE’ E '(0,1)
+ Giả sử B(b, b 2) BM (b 0) BE (1 b, b), BE ' (b, 1 b)
b 0 (l )
Mà BE BE ' BE.BE ' 0 2b(1 b) 0
b 1(t / m) B(1,1)
+ Phương trình cạnh AB là x 1
Giả sử A(1, a) AB(a 1); D(d ,9 d )
d 1 9 a d
Do M là trung điểm AD M
,
2
2
Mặt khác M BM
d 1 9 a d
2 0 a 2d 6 0 (1)
2
2
/>
Trang 10
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
+ Ta có AD (d 1,9 d a), AB (0,1 a)
Mà AB AD AD. AB 0 a d 9 0 (2)
a 4 A(1, 4)
Từ (1) và (2) ta có:
b 5 D(5, 4)
Do AB DC C (5,1)
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A(1, 4), B(1,1), C (5,1), D(5, 4)
Bài toán 10: (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD 2AB 2a . Tam giác SAD là tam giác
vuông cân tại đỉnh S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
Hướng dẫn:
Ta có
1
2 5
cos ACD
cos ACH
2
5
5
5
sin ACH
cos ACD
5
5
2 5
sin ACD
5
3
sin HCD sin(ACD ACH)
5
tan ACB
Ta có d(H,CD)
18 2
18 2 5
HC
. 6 2
5
5 3
31
65
c, c
5
5
Gọi C(c,c 10) CH
31
2
65
2
c 5
Ta có c c 72 73 C(5, 5)
c
5
5
5
Phương trình BC :(x 5) (y 5) 0 x y 0
Gọi B(b, b) ta có BC CH 6 6 BC2 72 (b 5)2 (b 5)2 72
b 11(l)
B(1,1)
b 1
Tìm được A(2, 4) , D(8, 2)
Bài toán 11: (Nguyễn Công Trứ - 2015). Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có B , C
thuộc trục tung, phương trình đường chéo AC: 3x 4y 16 0 Xác định tọa độ đỉnh A , B , C biết
rằng án ính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1.
Hướng dẫn:
/>
Trang 11
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
*C là giao điểm của AC và Oy C(0; 4)
*Gọi B(0, b)
* Phương trình AB : y b ( do Ab vuông góc BC Oy)
16 4b
,b
3
*A là giao điểm của AB và AC A
*Gọi r là án ính đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ta có :
2S ABC
S pr r
AB BC CA
*r 1 b4 3
2
4
b4
1
3
b4
4
5
3
b4 b4 b4
3
3
b 1 A(4,1), B(0,1),C(0, 4), D(4, 4)
b 7 A( 4,7), B(0,7),C(0, 4), D( 4, 4)
Bài toán 12: (THPT Võ Nguyên Giáp)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên
AC, M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH, trên đoạn CD lấy K sao cho MNCK là hình bình hành.
9 2
Biết M ; , K (9; 2) và các đỉnh B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng 2 x y 2 0 và
5 5
x y 5 0 , hoành độ đỉnh C lớn hơn Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Hướng dẫn:
+ MN là đường trung bình của tam giác HAB suy ra MN song song AB và MN
1
AB
2
1
1
AB CD suy ra K là trung
2
2
điểm của CD và N là trực tâm của tam giác BCM, do đó CN MB mà MK song song NC nên
MK MB
+ MNCK là hình bình hành nên CK song song MN; CK MN
9
8
36 8
+ B d : 2 x y 2 0 B b; 2b 2 , MK ; , MB b ; 2b
5
5
5 5
Mà MK .MB 0
52
52
b
0 b 1 B(1; 4)
5
5
+ C d ' : x y 5 0 C (c; c 5),(c 4), BC (c 1; c 9), KC (c 9; c 7)
c 9
C (9; 4)
Mà BC.KC 0 (c 1)(c 9) (c 9)(c 7) 0
c 4( L)
Vì K (9; 2) là trung điểm của CD và C (9; 4) suy ra D(9;0)
Gọi I là trung điểm của BD thì I (5; 2) và I là trung điểm của AC nên A(1;0)
/>
Trang 12
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
Bài toán 13: Trong mat phang toa đo
y, cho h nh chư nhat ABCD co di n t ch ang 2 2
lan lươt la trung đi m cua BC va CD i t đi m M(0
=0 T m toa đo đi m A.
oi M, N
ương thang AN co phương tr nh la: 2 2 +y-
Hướng dẫn
Ta có S ABM S ADN
1
1
S ABCD ; SCMN S ABCD
4
8
A
B
3
3
3
S AMN S ABCD .2 2
2
8
8
4
M
1
3
3 2
2 AN
Ta có d M , AN 1, S AMN d M , AN . AN
2
4
2
Giả sử các cạnh HCN là AD=a, DC= b
D
N
C
S ABCD a.b 2 2
a 2, b 2
2
DC 2
2
b 9
2
2
a
a
,b 4
AD
4
2
2
2
ặt A( x, 4 2 x 2) MA2 x2 (3 2x 2)2
Với a 2, b 2 MA 3 => x 2 x
Với a
2
3
2
129
19 2
2
, b 4 MA
x
x
2
8
12
4
8
19 2 29
2
, ); A(
,5)
Vậy có điểm A thỏa mãn đề bài : A( 2, 0); A( 2, ); A(
3
12 12
4
Bài toán 14: Trong mat phang toa đo y, cho h nh chư nhat ABCD co AD: 2x+y - =0, điểm I(-3;2)
thuộc đoạn BD sao cho IB=2ID. Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết xD 0 và AD=2AB.
HD
AD 2 AB BD AD 2 AB 2 4 AB 2 AB 2 AB 5
AD
2
cos ADB
DB
5
+ ta viết pt đườngDB qua điểm I và hợp với AD 1 góc ADB;cos ADB
+ Gọi vtpt của DB là (a,
2
5
hi đó ta có :
/>
Trang 13
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
cos ADB
2
| 2a b |
5
22 12 . a 2 b 2
4 a 2 b 2 4a 2 4ab b 2
b 0
3b 4ab
b 4 a
3
2
+Với b=0 => pt BD: x+3=0=> D(3, 7) B(3,
A(0,1), C( 3,
+Với b
1
)
2
11
)
2
4
4
a ptBD : a x 3 a y 2 0 3x 4 y 1 0
3
3
7
+ tìm được toạ độ điểm D là giao của BD với AD : D(1,-1)=> B(5, )
2
Bài toán 15: Trong mat phang toa đo
y, cho h nh chư nhat ABCD Bi t canh AB va AD ti p uc vơi
16 23
đương tron (C): (x 2)2 ( y 3)2 4 , đương ch o AC cat đương tron (C tai cac đi m M ( ; ) va
5 5
N nam tr n truc tung Xac đinh toa đo cac đ nh cua h nh chư nhat ABCD, i t đ nh A co hoanh đo am
va đi m D co hoanh đo dương va tam giac AND co di n t ch ang 10.
HD
A
Vì N thuộc trục tung nên N(0,3)
D
M
Phương trình MN là +2y=6
E
Vì AB,AD tiếp xúc với (I) mà AB vuông góc với AD nên
AI= R 2 2 2
I
13
ặt A 6 2a, a => AI 8 (8 2a) (a 3) a 5 a
5
2
2
N
2
B
C
Lấy nghiệm a 5, A 4,5 => AN AN 20 d ( D, AN ) 20
Phương trình AD, qua A 4,5 và tiếp xúc với (I) là y 5
Phương trình AN là x 2 y 6s nên d ( D, AN )
x4
5
ặt D x,5
20 x 6 x 14 (loại x=-14)
1
1
Vậy D 6,5 => C 5, ; B 4,
2
2
Bài toán 16: Trong mat phang vơi h toa đo y, cho h nh chư nhat ABCD co AB=2AD oi M va N
lan lươt la trung đi m cac canh AD va BC K la đi m đoi ưng cua M qua N T m toa đo cac đ nh h nh
chư nhat ABCD i t K( - va pt AC: 2 +y- =0, A co tung đo dương.
HD
/>
Trang 14
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
+ Ta có AC AD 2 CD 2
CD 2
5
CD 2
CD
4
2
CD
2
cos AIM cos ACD
AC
5
=>Viết được phương trình đường thẳng MN qua K
hợp với đường AC 1 góc có cos AIM
2
5
A
M
B
N
K
I
D
C
(chú ý đoạn này ta sẽ có 2 pt đường MN, ta sẽ loại 1 trường hợp sau)
1 13
9 7
7 19
=> phương trình KI là x+4y=11 Toạ độ điểm I ( , ) => N ( , ), M( , ) vì K(5,-1)
5 5
5 5
5 5
16
1
2
6
4
IN 2 IA2 5 ( x )2 (2 x ) 2 => x x
5
5
5
5
5
6 3
4 7
14 7
Nếu A( , ), C ( , ) B( , ); D( 4, 7)
5 5
5 5
5 5
6 3
4 7
14 7
Nếu C( , ), A( , ) D( , ); B( 4, 7)
5 5
5 5
5 5
Bài toán 17: Xuân Trường. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là
điểm đối xứng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD. Tam giác BDM nột tiếp
đường tròn (T có phương trình ( x 4)2 ( y 1)4 25 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
ABCD biết phương trình đường thẳng CN là 3x 4 y 17 0 đường thẳng BC đi qua điểm E (7,0) và
điểm M có tung độ âm.
Lời giải
+ (T) có tâm I (4,1); R 5
+ Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM và N, C là chân các đường cao nên chứng minh
được IM CN
+ Lập ptđt IM qua I và IM CN :4( x 4) 3( y 1) 0 3x 3 y 19 0
M (7, 3)
+ M là giao điểm (T) với IM:
M (1,5) (l )
A
+ ường thẳng BC qua M,E có phương trình x 7
B
+ C là giao điểm BC và NC C (7,1)
+ B đối xứng M qua C B(7,5)
+ ương thẳng DC qua C và vuông góc BC: y 1
I
C
D
E
N
M
D(9,1)
D là giao diểm (T) và DC:
D(1,1)
Vì B,D nằm cùng phía với CN nên D(1,1)
/>
Trang 15
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
+ Do BA CD A(1,5)
Bài toán 18: TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I – Lần 3
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AD 2 AB . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AD, BC Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của
đoạn thẳng MK . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết K 5; 1 , phương trình đường thẳng chứa cạnh
AC là 2 x y 3 0 và điểm A có tung độ dương
Lời giải
Ta có CAD DKM CAD DKM .
Mà DKM KDM 90 KDM DAC 90 AC DK .
A
M
D
Gọi AC DK I .
13
x
2
x
y
3
0
5
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ
x 2 y 7 0
y 11
5
I
B
N
C
Ta có 3KD 5KI D 1; 3
Gọi v c tơ pháp tuyến của AD là n a; b , a 2 b2 0 .
cos DAC
K
2a b
b 0
2
2
2
2a b 4 a 2 b 2
5
5
5 a 2 b2
3b 4a
Từ đó AD: = hoặc 3x+4y+9=0
Với AD: x=1. Suy ra A(1;1) (thỏa mãn). Với AD: 3x+4y+9=0.
27
(loại).
5
Suy ra y A
DC: y=-3. Suy ra C(3;-3);
CB: x=3. Suy ra B(3;1)
Bài toán 19: (VTED)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxyz cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H( 2 là chân đường cao hạ từ đỉnh A
lên BD và E, F lần lượt là trung điểm của DH và BH ường thẳng d đi qua F và vuông góc với AE có
phương trình -4y+5=0. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm A thuộc đường thẳng
∆:x + y – 1 = 0.
A
B
Lời giải:
Gọi M là chân đường vuông góc hạ AE.
à K là trung điểm AH
K
H
P
N=AH ⋂ FM và P = BK ⋂ AE
N
M
H
E
/>D
Trang 16
C
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
Trong ∆ADH có
=> KE ⫽ AD => KE ⏊ AB
Trong ∆ABE có
=> K là trực tâm ∆ABE
=> BK ⏊ AE mà FM ⏊ AE suy ra FM ⫽ BK hay FN ⫽ BK
Trong ∆HKB có
=> NK=NH hay N là trung điểm của HK
+) Gọi N(4a-5;a) d => K(8a-11;2a-2) =>A(16a-23;4a-6)
Mà A∊ d suy ra 16a – 23 + 4a – 6 – 1 = 0 a= => A(1;0)
ường thẳng AE đi qua A và vuông góc d có phương trình
+ y -4 = 0
ường thẳng BD đi qua H(1;2) và vuông góc với AH có phương trình là y – 2 = 0
–
Toạ độ điểm E là nghiệm cảu hệ
=> E( ;2) => D(0;2)
ường thẳng AB đi qua A và vuông góc với AD có phương trình -2y-1=0
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ
Ta có
=
=> B(5;2)
=> C(4;4)
Bài toán 20: (tạp chí toán học tuổi trẻ)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
y, cho hình thoi ABCD có tâm I(2
và AC=2BD
thuộc đường thẳng AB, N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tìm toạ độ điểm P biết
có tung độ dương
iểm M(0; )
=5
với điểm B
Lời giải:
1
PT đường thẳng AB qua M có dang ax b ( y ) 0 a 2 b2 0 , suy ra PT đường thẳng CD
3
qua N và song song với AB là ax b y 7 0 Do đường thẳng AB và CD đối xứng nhau qua
tâm I nên ta có:
2
2a 3 b
2a 6b
a 2 b2
a 2 b2
2
2a b 2a 6b 0
3
2a b 2a 6b 3a 4b
Chọn a = và = ta được pt AB: 4x-3y-1=0
Do ABCD là hình thoi nên AC ⏊ BD, do đó tan
=
1
AI AC
=2 => cos AB; BD
BI BD
5
PT đường thẳng BD qua I có dạng m x 2 n y 1 0 m2 n2 0 .
/>
Trang 17
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
Ta có cos(AB,BD)=
4m 3n
5 m n
2
2
5 m2 n2 16m2 24mn 9n2
11m2 24mn 4n2 0 m 2n hoặc m n
Chọn (m=2 và n=-1) hoặc (m=2 và n=-
ta được PT BD: 2x-y-3=0 hoặc PT BD: 2x-11y+_7=0
1 3
Do B có tung độ dương và B cũng là giao điểm của AB và BD nên B ; .
5 5
Theo giải thiết
=5
1
11
54
xp
5.
xp
5
5
5
yp 3 5. 2
yp 13
5
5
5
54 13
=> P ;
5 5
Bài toán 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng:
AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x - 7y + 14 = 0. Viết phương trình tổng quát của
đường thẳng AC, biết đường thẳng AC đi qua điểm M (2;1).
Lời giải
-
VTCP của đường thẳng AB: v1 = (2 ;1)
-
VTCP của đường thẳng BD: v 2 = (7 ;1)
-
Gọi VTCP của đường thẳng AC là v3 = (a ;b), với a 2 + b 2 0.
Gọi I là giao điểm của AC và BD,suy ra tam giác ABI cân tại I
Suy ra Cos(BAI) = Cos(ABI)
v3 .v1
=
v3 v1
v1 .v 2
v1 v 2
2a b
a b . 5
2
2
=
15
5. 50
2(2a + b) 2 = 9(a 2 + b 2 )
a b
a 2 - 8ab + 7b 2 = 0
a 7b
+ a = b ,suy ra một VTCP của đường thẳng AC: v ' = (1;1)
PTCT của đt AC:
x 2 y 1
PTTQ của AC: x –y -1 = 0
1
1
+ a = 7b, suy ra một VTCP của đường thẳng AC: v ' ' = ( 7;1),suy ra không tồn tại phương trình
đường thẳng AC vì v ' ' cùng phương với v 2 .
Vậy PTTQ của AC: x – y -1 = 0.
Bài toán 22: Trường THPT Bố Hạ-Lần 2
/>
Trang 18
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;3). Gọi N là điểm thuộc cạnh
AB sao cho AN
2
AB . Biết đường thẳng DN có phương trình +y-2=0 và AB=3AD. Tìm tọa độ
3
điểm B.
Lời giải
ặt AD x( x 0) AB 3x, AN 2 x, NB x, DN x 5, BD x 10
Xét tam giác BDN có cos BDN
BD 2 DN 2 NB 2 7 2
2 BD.DN
10
Gọi n(a; b)(a 2 b2 0) là v ctơ pháp tuyến của BD, BD đi qua điểm I(1;3),
+) Với 3a 4b , chon a=4,b=3, PT BD:4x+3y-13=0
+) Với 3a 4b , chon a=4,b=3, PT BD:4x+3y-13=0
D BD DN D(7; 5) B(5;11)
+) Với 4a 3b , chon a=3,b=4, PT BD:3x+4y-15=0
PT BD: ax by a 3b 0
cos BDN cos(n, n1 )
| ab|
a 2 b2 2
3a 4b
7 2
24a 2 24b2 50ab 0
10
4a 3b
Bài toán 23: TRƯỜNG THCS – THPT ĐÔNG DU – Lần 1
Trong mat phang
y, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15. ường thẳng AB có phương
16 13
trình x 2 y 0 . Trọng tâm của tam giác BCD có tọa độ G ; . Tìm tọa độ A, B, C, D biết B có
3 3
tung độ lớn hơn
Lời giải
d (G; AB)
10
3 5
BC 5 AB 3 5
ường thẳng d qua G và vuông góc với AB là : 2 x y 15 0
Gọi N d AB N (6;3) NB
1
AB 5
3
b 2
B(2b; b) AB NB2 5
B(8; 4)
b 4
BA 3BN A(2;1)
3
AC AG C (7;6)
2
CD BA D(1;3)
/>
Trang 19
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
Bài toán 24: TRƯỜNG THPT NGÔ SĨ LIÊN- Lần 2
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng
d : 2 x y 5 0 và A( 4; 8). Gọi E là điểm đối xứng với B qua C, F(5; 4) là hình chiếu vuông góc của
B trên đường thẳng ED. Tìm tọa độ điểm C và tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Lời giải
Ta có C d : 2 x y 5 0 nên C(t; –2t – 5).
Ta chứng minh điểm A, B, C, D, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD. Do tứ giác ABCD là
hình chữ nhật thì AC cũng là đường kính của đường tròn trên, nên suy ra được AFC 900
AC 2 AF 2 CF 2 . Kết hợp với gt ta có phương trình:
(t 4)2 (2t 13)2 81 144 (t 5)2 (2t 1)2 t 1 .
Từ đó ta được C(1; –7).
Từ giả thiết ta có AC // EF, BF ED nên BF AC, do C là trung điểm BE nên BF cắt và vuông góc với
AC tại trung điểm.
Suy ra F đối xứng với B qua AC, suy ra ∆ABC = ∆AFC
S ABC S AFC S ABCD 2S AFC 75 (đvdt
Bài toán 25: TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ - Lần 2:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của A lên
6 7
đường thẳng BD là H ; , điểm M(1; 0) là trung điểm cạnh BC và phương trình đường trung
5 5
tuyến kẻ từ A của tam giác ADH có phương trình là 7x y 3 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ
nhật ABCD.
Lời giải
Gọi N, K lần lượt là trung điểm của HD và AH NK // AD và NK
1
AD.
2
Do AD AB NK AB.
Mà AK BD K là trực tâm tam giác ABN.
A
Suy ra BK AN (1)
ì M là trung điểm BC BM
D
N
K
1
BC.
2
Do đó NK // BM và NK BM
H
B
M
C
BMNK là hình bình hành MN // BK (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN AN.
phương trình MN có dạng: x 7y c 0.
M(1; 0) MN 1 7.0 c 0 c 1.
/>
Trang 20
Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn
phương trình AM là: x 7y 1 0.
2 1
Mà N MN AN N ; . ì N là trung điểm HD D(2; 1).
5 5
8 6
Ta có: HN ;
5 5
Do AH HN AH đi qua H và nhận n (4; 3) là 1 VTPT.
phương trình AH là: 4x 3y 9 0.
Mà A AH AN A(0, 3).
2 2(1 x B )
x 2
Ta có: AD 2BM
B
B(2; 2).
4
2
(
0
y
)
y
2
B
B
ì M là trung điểm BC C(0; 2).
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: A(0; 3),B(2; 2),C(0; 2),D(2; 1).
Giáo viên: Nguyễn Bá Tuấn
Tham khảo thêm:
1. Chuyê đề hình oxy – Luyện thi THPT quốc g a 2016 (chuyê đề số 7)
2. Các tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2016 – thầy Nguyễn Bá Tuấn
/>
Trang 21
Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn
Các bài toán về tam giác
2015 - 2016
H
ề
ệ
Facebook: />
- Trang | 1 -
Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn
Các bài toán về tam giác
Hình học phẳng Oxy là 1 trong những phần kiến thức khó của kỳ thi THPT quốc gia v ƣợc coi là
phần lấy iểm iểm 8 trong ề thi. Với xu hƣớng ra ề của Bộ hiện nay ó l sự kết hợp các tính chất
hình học ặc trƣng ở cấp 2 và các công cụ trong hệ tọa ộ Oxy v o 1 b i toán. Khi ó b i toán hình học
phẳng sẽ trở lên phức tạp (hay) hơn v ể giải quyết ƣợc bài toán thì nút thắt ó chính l nhìn nhận và
chứng minh tính chất ặc trƣng. Trong chƣơng trình THCS ta ã ƣợc học các tính chất của rất nhiều
loại hình quen thuộc nhƣ: tam giác, tứ giác... và trong kỳ thi các năm trƣớc các dạng toán xoay quanh
các tính chất về tam giác ã xuất hiện không ít. Bởi vậy các b i toán dƣới ây sẽ giúp các bạn nắm rõ
các tính chất cũng nhƣ các dạng toán liên quan tới tam giác.
ƯỜNG
A.
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 12, ỉnh A thuộc trục
ho nh. Đƣờng cao kẻ từ ỉnh B v C có phƣơng trình lần lƣợt là d1 : x y 1 0 ; d2 : 2 x y 4 0 .
Tìm tọa ộ ba ỉnh tam giác ABC.
HD
A
+ Gọi A(a; 0)
=> viết ƣợc phƣơng trình AB (chứa tham số a) qua A
E
vuông góc với d2. x 2 y a 0
D
Tìm ƣợc B(theo tham số a) là giao giữa d1 và AB
H
B a 2; a 1
=> viết ƣợc phƣơng trình AC (chứa tham số a) qua A
B
C
vuông góc với d1. x y a 0
Tìm ƣợc C(theo tham số a) là giao giữa d2 và AC
C 4 a;2a 4
+ Ta có toạ ộ trực tâm H là giao của d1 và d2: H(1; 2)
1
+ Có S ABC d(C , AB ) . AB 12
2
Tính ƣợc ộ d i oạn AB và d C , AB theo biến a AB | a 1| 5
trình 1 ẩn a⇒a=2(loại vì khi ó A trùng C) hoặc a=
24
. Khi ó ta sẽ ƣợc phƣơng
| 4 6a |
5
7
3
7 1 4 19 26
Tìm ƣợc toạ ộ các iểm A, B, C: A ;0 ; B ; ; C ;
3 3 3 3 3
Facebook: />
- Trang | 2 -
Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn
Các bài toán về tam giác
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có M(1;0), N(4;-3) lần lƣợt l trung iểm các
cạnh AB, AC v D(2;6) l chân ƣờng cao hạ từ ỉnh A xuống cạnh BC. Tìm tọa ộ các ỉnh A, B, C.
HD
+ Ta viết ƣợc pt ƣờng BC qua D và // với MN: x y 8 0 =0
A
+ Tham số hoá toạ ộ iểm B (theo biến b) qua phƣơng trình ƣờng BC:
B(b;8 - b).
M
N
Toạ ộ iểm A (theo biến b) do AM MB A 2 b; b 8
+ Viết ƣợc phƣơng trình ƣờng thẳng AD qua D và vuông góc với BC
B
x y40
C
D
Thế toạ ộ iểm A(theo biến b) v o phƣơng trình AD, ta sẽ
tìm ƣợc b=7
Tìm ƣợc toạ ộ iểm: B(7;1);A(-5;-1);C(13;-5)
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;-1), N(2;2), P(-2;2) tƣơng ứng là chân
ƣờng cao hạ từ ỉnh A, B, C của tam giác ABC. Xác ịnh tọa ộ các ỉnh tam giác ABC.
HD
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh H l tâm tr nội tiếp tam giác
MNP.
Pt MN là x = 2
A
N
Pt NP là y = 2
P
Pt MP là 3x + 4y - 2 = 0
Viết pt t NB l phân giác góc MNP l x – y =0
Viết pt t AM l phân giác góc PMN là x + 2y = 0
Pt t BC vuông góc AM v
i qua M l : 2x – y – 5 =0
B
C
M
Pt t AC i qua N v vuông góc BN l x + y – 4 = 0
Tọa ộ B l giao iểm NB và BC là B(5;5)
Tọa ộ iểm C là giao của AC và BC là C(3;1)
Tọa ộ iểm A l giao iểm của AC và AM là A(8;-4)
Facebook: />
- Trang | 3 -
Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn
Các bài toán về tam giác
Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC nội ƣờng tròn (C): x 2 y 2 25 , ƣờng thẳng
AC i qua K(2;1). Hai ƣờng cao BM và CN. Tìm tọa ộ A, B, C biết A có ho nh ộ âm và MN có
phƣơng trình 4x-3y+10=0.
HD
A
+ Xác ịnh ƣợc tâm I(0;0) và bán kính R=5 (C)
+ Ta có tính chất IA vuông góc với MN => viết ƣờng pt ƣờng AI:
M
3x 4 y 0
+ Dựa v o IA =R=> tìm ƣợc toạ ộ iểm A(-4;3).
N
K
Viết ƣợc phƣơng trình ƣờng AC qua A và C x 3 y 5 0
Tham số hoá toạ ộ iểm C theo t C 5 3t; t
C
B
5
Dựa vào IC=R => toạ ộ C 0;
3
M l giao iểm của MN và AC⇒M(-1;2)
Pt MB i qua M v vuông góc với AC là:
B l giao iểm của BM v
tr (I)⇒B(-3;-4) (B;C cùng phía so với MN)
Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC biết A(2;-1) v phƣơng trình ƣờng phân giác
trong của góc B và C lần lƣợt là x-2y+1=0, x+y+3=0. Viết phƣơng trình cạnh BC.
HD
A
Lấy ối xứng iểm A qua phân giác góc B ta ƣợc iểm D thuộc BC.
Pt AD là 2 x y 3 0 cắt phân giác góc B tại M.
M l giao iểm của AD v
t ó M(1;1)⇒D(0;3)
Lấy ối xứng iểm A qua phân giác góc C ta ƣợc iểm E thuộc BC.
Pt AE là x y 3 0 .N l giao iểm của AE và phân giác góc C
B
E
D
⇒N(0;-3) => Viết ƣợc phƣơng trình ƣờng BC qua E và D: x = 0
Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC ƣờng cao AH, trung tuyến CM v ƣờng
phân giác trong BD. Biết iểm H(-4;1), M(4;-2) v phƣơng trình ƣờng thẳng BD là x+y-5=0. Tìm tọa
ộ ỉnh A.
HD
Facebook: />
- Trang | 4 -
C
