Luận văn tần số của dao động biến dạng

B ộ• GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
•
•
TRƯỜNG ĐẠI
HÀ NỘI
• HỌC
• s ư PHẠM
•
• 2

HOÀNG HẠNH PHƯƠNG

TÀN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG

LUẬN
VĂN THẠC
Sĩ KHOA HỌC
VẬT
CHẤT
•
•
•
•

HÀ NỘI, 2015


B ộ• GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
•

•
TRƯỜNG ĐẠI
s ư PHẠM
HÀ NỘI
• HỌC
•
•
• 2

HOÀNG HẠNH PHƯƠNG

TÀN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG

Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và vật lý toán
Mã số

: 60440103

LUẨN
VĂN THAC
SĨ KHOA HOC
VẨT
CHẮT
•
•
•
•

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn
Thị Hà Loan về sự quan tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn của cô trong suốt
quá trình học tập đến hoàn thiện đoạn văn này. Chính sự quan tâm tận tình
chỉ bảo của cô đã tạo động lực cho em thêm niềm tin, sự cố gắng để thực
hiện luận văn này và mong muốn có sự phát triển tiếp theo.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa, các thầy giáo, cô giáo
Khoa Vật Lí - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy, quan
tâm chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tói gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn
sát cánh bên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận
văn này.

Hà Nội, thảng 7 năm 2015
Học viên

Hoàng Hạnh Phương


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu
của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu
sắc nhất.
Những vấn đề trình bày trong luận văn là sự tìm hiểu của riêng tôi và
không trùng lặp với luận văn khác.

Hà Nội, thảng 7 năm 2015
Học viên

Hoàng Hạnh Phương


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. TÔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG......................... 3
1.1 Dao động tò điều hòa.............................................................................. 3
1.2. Dao động tử biến dạng......................................................................... 13
CHƯƠNG 2. TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG q BOSON............ 17
2.1. Dao động tử biến dạng q Boson.......................................................... 17
2.2. Tần số của dao động biến dạng q Boson..............................................20
CHƯƠNG 3. TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG q fermion............ 26
3.1. Dao động biến dạng q fermion.............................................................26
3.1.1. Dao động tử biển dạng q fermion đơn mode................................26
3.1.2. Dao động tử q - biến dạng đa mode..............................................29
3.2. Tần số của dao động q - fermion........................................................30
KẾT LUẬN.....................................................................................................34
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................35


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tàỉ
Để nghiên cứu các hệ vật lý thực người ta thường dùng mô hình lượng

tà là dao động lượng tử. Mô hình này được xem là các mô hình gần đúng của
chuyển động của các hệ vật lý thực.
Vài chục năm gần đây nhiều nhà vật lý trong nước và trên thế giới đã
mở rộng hình thức luận dao động tò điều hòa thành hình thức luận dao động
tà biến dạng để nghiên cứu các hệ vật lý thực với một hy vọng rằng cho các
kết quả gần với thực nghiệm hơn khi nghiên cứu hệ vật lý bằng hình thức luận
dao động tử điều hòa.
Gần đây nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu nhóm lượng tử, đại số
lượng tử [3, 4, 5] dựa trên hình thức luận dao động tử biến dạng bởi chúng
liên quan đến nhiều vấn đề trong nghiên cứu các mô hình vật lý, trong quang
lượng tà, trong vật chất đông đặc.
Dao động biến dạng là tổng quát hơn dao động chưa biến dạng. Dao
động chưa biến dạng chỉ là một trường hợp riêng của dao động biến dạng khi
thông số biến dạng tiến đến một giá trị xác định nào đó [6].
Dao động tà biến dạng có thể xem như dao động phi tuyến với tần số
phụ thuộc vào biên độ. Có nhiều kiểu dao động biến dạng, mỗi kiểu dao động
biến dạng có một tần số dao động khác nhau đặc trưng cho kiểu biến dạng đó.
Biết được tần số của dao động biến dạng sẽ biết được các tính chất của dao
động biến dạng. Từ đó mở đường cho việc nghiên cứu các ứng dụng của dao
động tà biến dạng.
Trong luận văn này tôi nghiên cứu tần số của dao động biến dạng và
chỉ ra tính chất phi tuyến của các dao động biến dạng.


2

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tần số của dao động tử biến dạng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu tần số của dao động tử biến dạng q boson.

- Nghiên cứu tần số của dao động tử biến dạng q Fermion.
4. Đổi tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động biến dạng q boson, tần số của dao động biến
dạng q boson.
- Nghiên cứu dao động biến dạng q Fermion, tần số của dao động biến
dạng q Fermion.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dùng phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán.
- Dùng phương pháp nghiên cứu của nhóm đối xứng lượng tò và dao
động lượng tà.
- Dùng phương pháp nghiên cứu của vật lý thống kê và cơ lượng tò.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
- Viết tổng quan về dao động lượng tử đưa ra cách tìm tần số của dao
động tà, lượng tử làm cơ sở cho việc nghiên cứu các ứng dụng của dao động
tà biến dạng.


3

CHƯƠNG 1
TÔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG

Trong chương này chứng tôi sẽ trình bày tổng quan về dao động tò điều
hòa, dao động tử biến dạng.[l]
1.1 Dao động tử điều hòa
Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa có dạng:
H =?
. . -k x 2
2m dx
2

(1.1)

Đểthuận tiện khi viết các công thức ở đâycũng như sau này, thay cho
các toán tử tọa độ X và xung lượng - i h d /d x tahãy dùng các toán tử tọa độ và
xung lượng chính tắc mới:

x - > q = \fm x
-ih

= -i—
uưv

(1.2)
(1.3)

•y 171 dx

Hệ thức giao hoán giữa p và q vẫn là:
p ,q - -iti

(1.4)

Biểu diễn qua p và q, Hamiltonian (1.1) có dạng
H =\[ p +ứ>2^2)

(!*5)

Ta lại đặt:

p = f2 r

q=ii L v

S)

(1-6)

( i -7)


4

và có

H=\[pp++p+p )h

d-8>

Các toán tử Ịỉ và Ị3 xuất hiện ở trên có thể biểu diễn ngược lại qua
p và q như sau:
(1.9)

4 ĩh

»’• r ù
Dễ dàng chứng minh được rằng các toán tò trên thỏa mãn hệ thức giao
hoán.
=1
và do đó Hamiltonian (1.8) ừở thành:

/
n
H = p* p+
h

(1.12)

Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài
toán tìm các véctơ riêng của Hamiltonian (1.12), trong đó các toán tử Ị3 và
+
,
■>
Ị3 thoản mãn hệ thức giao hoán (1.11). Đê làm điêu đó ta định nghĩa một
toán tử mới như sau:
N = p J3

(1.13)
+

và có các hệ thức giao hoán giữa toán tà này với các toán tử Ịỉ và Ị3
'n , p \ = -

p


5

hay

N p =p ÍN -lì

(1.14)

N ft*
p = p * ÍịiV
N +
+ l \|

hay

(1-15)

Thật vậy, theo định nghĩa (1.13) và sử dụng hệ thức giao hoán (1.11)
N ,p \ =N p - p N

=p p p - p p * P
= -(/? /
=-fi

(1.16)

chính là hệ thức (1.14), và
N ,fl

=N fi - p * N
=p p p
=p [ p p

-p

p P

-p p Ỵ

+
= fi

chính là hệ thức (1.15)
Ký hiệu nj là véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n
N n) = n n)
Từ phương trình (1.18) ta suy ra ngay

(1.18)


6

n=

nN n
(n I ĩì)
( 1. 19)

{n\p p\n)
n In

>0

vì

(n\n) = ị^Ị/n( r )|2 dr > 0

(1.20)

ịn\j3 j3\nj = ịịj3ụ/n(r) d r > 0

(1.21)

và

Vậy ta có định lý sau.
Định lý 1. Các trị riêng của toán tử N là các sổ không âm
Bây giờ ta xét véctơ trạng thái thu được bằng cách tác dụng toán tử Ị3
lên In ). Đó là véctơ trạng thái p In ) . Tác dụng lên vectơ trạng thái này toán
tà N và sử dụng công thức (1.14), ta có:

N p\n) = p [n - l}\n)
=p(n-\)\n)
(1 .22 )

Hệ thức vừa thu được có nghĩa J3\n) cũng là một véctơ riêng của N
nhưng ứng với trị riêng n - 1. Tương tự như vậy, dễ dàng chứng minh được
2
3
răng Ị3 In) , J3 \nj ,... cũng là các véctơ riêng của N ứng với các trị riêng
n - 2, n - 3,...


7

Tiếp theo ta xét véctơ trạng thái thu được bằng cách tác dụng toán tử
\
\
Ịỉ lên Iịnj.ĐỎ
là véctơ trạng thái Ị3 Iịnj.
Tác dụng lên véctơ trạng thái này

toán tò N và sử dụng công thức (1.15), ta có:

Nj3+\n) = j3+( N - l >
j \n)
= p +( n - \ ) \ n )
= ( n - l ) j 3 +\n)

(1.23)

+1 .
Hệ thức trên có nghĩa Ị3 Inj cũng là một véctơ riêng của N nhưng
ứng với trị riêng n + 1. Tương tự như vậy, dễ dàng chứng minh được rằng
Ị3

2+

.

3+

nj , Ị3

.

nj ,... cũng là véctơ riêng của N ứng với các trị riêng n + 2,

n + 3,... Ta đi đến định lý sau.
Định lý 2. Nếu ịnj là một véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng
n thì, với p = 1, 2, 3,

pI .
J3 In j cũng là một véctơ riêng của tóa tử N ứng

+p \
với trị riêng n - p và J3 n j cũng là một véctơ riêng của toán tử N ứng với
trị riêng n + p nếu chúng khác không.
Kết hợp hai định lý trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của N thì
chuỗi các số không âm n - 1, n - 2, n - 3, ... cũng là các trị riêng của N . Vì
chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmỉn. Xét véctơ
trạng thái nmịn ) ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin. Rõ ràng là:
p \n ^) =ữ

(1.24)


8

vì, nếu ß I nmịrì ) ф 0 thì đó là véctơ trạng thái ứng với trị riêng
nmin —1 < Птлп, trái với giả thiết ĩinũn là trị riêng nhỏ nhất.
Từ đẳng thức (1.24) ta suy ra:

ß ß \ nmm) = N \nmin) = °

(1-25)

Mặt khác, theo định nghĩa của nmin,
N n min /) = nmin n

)

(1.26)

So sánh hai phương trình ừên ta đi đến định lý sau.
Định lý 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là nmin = 0
Véctơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N được ký hiệu 10^.
Véctơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện.
/?|0 ) = 0

(1.27)

ß +\0)

(1.28)

Khi đó:

tỷ lệ véctơ riêng l) của N ứng với trị riêng n= 1,
/ 2|0)

(1.29)

tỷ lệ véctơ riêng 12} của N ứng vói trị riêng n= 2,
+n

ß

.
0)

tỷ lệ véctơ riêng Irì) của N

(1.30)
ứng với trị riêng n. Vì toán tử

Hamiltionian của dao động tử điều hòa có dạng:
/
fl
H =

h

‘J

( 1.31)


9

Để tìm phổ năng lượng ta cần giải phương trình:
H \ n ) = E n\n)
Từ đó ta tìm được phổ năng lượng của dao động tò điều hòa có dạng:
/
E = n + — hi

2

V

J

nên Io) là véctơ riêng của H ứng với trị riêng
E0 = - h

0

(1.32)

2

l) là véctơ riêng của H ứng với trị riêng
/

1+

n

h

(1.33)

Iri) là véctơ riêng của H ứng với trị riêng
/
E = n+

n

(1.34)

h

Vậy các trạng thái dừng của dao động từ điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều: hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau
luôn luôn bằng cùng một lượng tà năng lượng h

. Trạng thái Io) có năng

lượng thấp nhất là Eo- Trạng thái tiếp theo l) với năng lượng E0 +h

có

thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tà năng lượng h

vào

trạng thái Io ) . Trạng thái tiếp theo 12^ với năng lượng
Ex + h

h

(1.35)

có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tà năng lượng h
trạng thái l ) , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng tỉ

vào

vào trạng


10

thái Iо ) , vv... Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0 thì có thể coi |0^ là trạng
thái không chứa một lượng tử nào, l) là trạng thái chứa một lượng tò, 12^ là
trạng thái chứa hai lượng tử, ị n j là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử N
cổ các trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là
toán tò số lượng tử năng lượng. Toán tử ß khi tác dụng lên Irì) cho một
trạng thái tỷ lệ với n —l) và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tò
năng lượng, Toán tử ß

+

I

1

khi tác dụng lên Inj cho một trạng thái tỷ lệ với

n + ỶỊ và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta
tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì N sẽ là toán tử số hạt,
+

ß sẽ là toán tà hủy hạt và ß

I >

sẽ là toán tò sinh hạt. Khi trạng thái Inj với

năng lượng:
En = n h

(1.36)

sẽ là trạng thái chứa n hạt. Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa.
Trong Cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể
coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng h

. Khái niệm "hạt" đưa

vào ở đây chỉ để cho tiện. Thực chất đó chỉ là các "giả hạt", một khái niệm
quan trọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái kích thích trong Vật lý
các môi trường đậm đặc.
Cuối cùng, ta hãy tính các hệ số tỷ lệ OLn,ß n và Yn tronể các hệ thức

ß\n) = a n\n-\),
ß + \n ) = ß n \ n + i } ’


11
.
+n
.
n) = y ß |0)

(1.37)

để sao cho các véctơ trạng thái là trực giao chuẩn hóa:
(m\n) = sm

(1.38)

Từ các biểu thức (1.19), (1.37) và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn
hóa vừa viết ở trên ta có:
(nß ß n j
(и - l l и - l )
(1.39)

a..

và:
n = (I n ß ß n j
= i n Iß ß

- 11n \

= \ßn \2 (n + 1 1n + l) - (n I n)
H A f-i

(1.40)

Coi a n, ßn là các số thực, ta rut ra:
« » = > /" •

ß n =-Jn + i
Ta cũng có:

+n

ß

.

+n —
1

щ =р
=ßoß

+. .
ß |0)

1)

(1.41)


12
+7Ĩ—
2 +.
= M
ß |1
+И+2

.

=ßoAß |2)

+И—
3 +1
=AAß ß \i

,

,

+П -3

= д д л д

|3>

= Р Л -А -М )
= v n ! n)
và do đó:

1=

(п

I71)
о

у __ I

n _ +n

= | r „ |< 0 |/ M

,

|0)

(1.42)

r„ n!
hay, coi Ỵn là thực, ta rút ra

(1.43)
ĩn =

Tóm lại, ta đã thiết lập được các công thức quan trọng sau đây:

N\n) = n n)

p\ữ)=ữ
ß \ n) = yfn\n —l) (n > o)

ß ịrì) = y/n + ìịn + ì) (n > o)
\
1
+n
» } = sfn\
4 t ^ 1°)


13

1.2. Dao động tử bỉến dạng
Toán tò Hamiltionian của dao động tử biến dạng:
H = P -+ U
2m

(1.44)

Trong đó p là toán tò xung lượng , u là toán tò thế năng của dao
động tò biến dạng.
Nếu chọn hệ tọa độ suy rộng thích hợp thì hoán tử Hamiltionian của
dao động có dạng:
H = - ị p 2 + Cử2* 2j
Trong đó

X

là tọa độ suy rộng,

00 là

(1.45)

tần số góc của dao động biến dạng.

Xung lượng và tọa độ suy rộng của dao động biến dạng có thể biến đổi
qua toán tà sinh hủy dao động biến dạng a+, a như sau:
P = iJ ^ 2 ị -

(L46>

-)

^

" ATI

Thay (1.46) và (1.47) vào (1.45) ta có thể biểu diễn Hamiltionian của
dao động tà biến dạng qua các toán tà sinh hủy dao động biến động a+, a như
sau:

H = —ịaa +a aj h

(1.48)

Toán tử sinh hủy dao động biến dạng thỏa mãn các hệ thức giao hoán
sau:
/ ịa a +) - / ( ß ß ) = 1

(1*49)


14

Trong đó toán tử số dao động N =f (a+a) thỏa mãn:
[a,N] = a
và
[ ữ +,N~ị = - a +

(1.50)

Gọi In) là cơ sở các véctơ riêng của toán tử số N

N n) = n n)
Tác dụng của a+, a (là các toán tử sinh hủy dao động) nên trạng thái
riêng rì) có dạng:

a n) = y Ị ĩ n ị ị n - l )
a n}=

+ 1] n + í)

(1.51)
(1.52)

Trong đó ký hiệu [n] là một hàm số của n sử dụng hệ thức (1.51) ,
(1.52) ta có:

aa n } = a Ậ n + 1] n + 1)
= [n + ì]\n)

(1.53)

n) = a+^J\n\\n-ì)
= [n]|n)

(1.54)

Từ phương trình (1.51), (1.52) ta có véctơ trạng thái riêng của toán
tử số

N = f ( a +aj
được biểu diễn bởi công thức

(1.55)


15

(1.56)
” >' i õ ĩ (“ ' n o )
Ở đây sử dụng kí hiệu
[ b ]! = [b ].[b -1]...[1]

(1.57)

Để tìm phổ năng lượng của dao động biến dạng ta đi giải phương trình:
H n) = E n n)

(1.58)

Thay (1.48) và (1.56) vào phương trình (1.58) ta có:
h
2 l'
fị

+

“

1

\

( +\I

\

{a+ T I

“) « * “ )l0>_£- ^ ĩ 10
í a +)

(1.59)

(a +)
(1.60)

2 >l "

' ] + [n]}^

0) = E'

^

0}

Từ ừên ta tìm được phổ năng lượng của dao động biến dạng
h

(1.61)

Kết luận:
Ở chương I xuất phát từ Hamiltonian của dao động tử chúng tôi đã biểu
diễn được toán tử Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy dao động, đưa ra
véctơ trạng thái là véctơ riêng của toán tử số dao động, giải phương trình hàm
riêng trị riêng của toán tà năng lượng để tìm phổ năng lượng của dao động tử.
Phổ năng lượng của các dao động tà đều nhận các giá trị gián đoạn. Đối với
dao động tà điều hòa phổ năng lượng có dạng ở công thức (1.12)


16

Trong đó n là một số nhận những giá trị 0, 1, 2, 3, ... tức là các mức
năng lượng cách đều nhau còn phổ năng lượng của dao động tò biến dạng có
dạng ở công thức (1.61) ừong đó [n] là một hàm số nào đó của n (n nhận các
giá trị 0, 1, 2, 3 ...) tức là các mức năng lượng không cách đều nhau.


17

CHƯƠNG 2
TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG q BOSON

Trong chương này chứng tôi trình bày cụ thể về các hệ dao động tò
biến dạng cho hệ các hạt có spin nguyên đó là các hạt boson. Tìm tần số của
dao động biến dạng này.
2.1. Dao động tử biến dạng q Boson
Toán tà sinh A+, toán tò hủy A dao động biến dạng thỏa mãn các hệ
thức giao hoán.

AA+ - qA+A = q"N

(2 .1 )

Trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động thỏa mãn
các hệ thức giao hoán.
[N,A] = - A

(2 .2)

[N,A+] = A+

(2.3)

Đưa vào hệ các vectơ cơ sở trong không gian Hilbert là vectơ riêng của
toán tử dao động có dạng:
(2.4)

Trong đó:

o)

là trạng thái nền (trạng thái chân không)

Ở đây sử dụng ký hiệu:
(2.5)
Và
(2 .6)

Ta tính một số hệ thức cần thiết sau:

18

.
( a +Ỵ
A +A n ) = A +A ^ j= J = \0

(2.7)

-R

•

Giả sử rằng (A+A) có các trạng thái riêng m) ứng với trị riêng ym

A+A\m)q=yAm),

<Z8>

Để xác định ymta cần cho (A+A) tác dụng lên trạng thái A + nì)
Ấ+A A + m) = A +ịq~N + qA+

= A V " H , + A*qmỵm\m)q
= [q -m + qỵm) A * \ m ) q

(2.9)

A A +Im + 1 ), = y»+il m + 1 ),

(2-10)

Mặt khác ta có:

Với lưu ý rằng A + m) ~ m + 1) nên so sánh (2.9) và (2.10) thì suy
ra:

r m+1 =
A+A

+ 37™

o) =0

nên ỵ = 0

(2.11)
(2.12)

Từ công thức truy hồi (2.10) và điều kiện (2.11) thì suy ra:
ĩ m +1 = y

m( l

+ q 2 + q 4 + ‘ “ + q 2m)

Jlm+2 ị
.-m

=q

q2- 1
_

g-M )

q-q~l

(2.13)


19

hay viết cách khác

qm - q-m
q-q

(2.14)

------- V

ĩ m =

Như vậy ta có phương trình

A+A n)1a =

q -q

q

—n

n

(2.15)

q-cfx

Từ đây suy ra
A

+ A

=

(2.16)

[ N ] q

Tính tương tự như ừên ta có:

A+A n) =

q_«+1 - q„-n-1

q

fl

(2.17)

q - t f l

tức là:
A

+ A

=

[

N

+

(2.18)

l ] q

Toán tử năng lượng của hệ dao động tò q boson có dạng:
Hp = ^

2

Toán tử tọa độ

X

+ - ( ữ 2x 2

2

và toán tử xung lượng

p

cổ

(2.19)

thể được biểu diễn qua

các toán tử sinh A+, hủy A như sau:
(2 .20)

№
P=K\

2 v

A)

(2 .21)

Thay (2.20 , 2.21) vào (2.19) thì toán tử năng lượng có dạng:
H=

ti

2 v

b a +a )

(2.23)


20

Để tìm phổ năng lượng của dao động tử biến dạng q Boson ta phải giải
phương trình làm riêng, trị riêng sau:

n \ « ) ' = E-\n),
h2 v -

v A *A )\n )q = E , \ n ) q

(2.24)

Sử dụng (2.15), (2.17) ta có kết quả (2.24)

n
-\q +[n\ ) \ n)q = E»\n).
Từ đó suy ra: En =

h

(2.25)

Phổ năng lượng của dao động biến dạng q boson có dạng như (2.25)
tức là năng lượng gián đoạn và các mức không cách đều nhau.
2.2. Tần sổ của dao động bỉến dạng q Boson
Để tìm tần số dao động của dao động tò biến dạng q Boson ta sẽ xuất
phát từ việc viết toán tử năng lượng của dao động tử biến dạng q Boson về
dạng chuẩn rồi biểu diễn qua các toán tò sinh hủy dao động Boson bình
thường như sau:
Toán tử năng lượng của dao động boson bình thường dao động với tần
số co sẽ có dạng;

h

■ P f)

(2.26)

Chọn lại gốc tọa độ để H cổ dạng đơn giản
H =n

(2.27)

Dao độngtử biến dạng q Boson có thể xem như là một dao động tử phi
tuyến với tính phi tuyến thể hiện ở chỗ tần số dao động phụ thuộc vào biên độ