de ôn thi dai hoc

§1.CĂN BẬC HAI
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
x là căn bậc hai của số không âm a
A
2.Điều kiện xác định của biểu thức
A
⇔ A≥0
Biểu thức
xác định
.
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai
A khi A ≥ 0
A2 = A = 
− A khi A < 0

⇔

x2 = a. Kí hiệu:

x= a

4.Các phép biến đổi căn thức
A.B = A. B ( A ≥ 0; B ≥ 0 )
+)
A
A
=
( A ≥ 0; B > 0 )
B
B

+)

A 2B = A B

( B ≥ 0)

A 1
=
A.B
B B

( A.B ≥ 0; B ≠ 0 )

+)

+)

+)

+)

(

m. A m B
m
=
A2 − B
A± B

(

) ( B ≥ 0; A

n. A m B
n
=
A−B
A± B

)

≠ B)

( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B )

A ± 2 B = m ± 2 m.n + n =
+)
m + n = A

m.n = B

2

với
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức

(

m± n

)

2

=

m± n

.


1
2 + 2+ 3

1.

6+4 2

(

)

5.

2 − 2− 3

6.

2 − 6−4 2

7.

2

5 + 2 −8 5
2 5−4

3.

8.

1
−
3 −1

4.

1
3 +1

9.

10.

13.

3 2 − 13 + 30 2 + 9 + 4 2

(12 − 2 11)(.

 7 +3
7 −3


 7 − 3 − 7 + 3  : 28



14 − 8 3 − 24 − 12 3
4
1
6
+
+
3 +1
3−2
3 −3

(

) (

)

3

2 +1 −

2 −1

3

14.

1−

+

17.

3

3 +1 1+

15.
16.

3

18.

3 +1

( 14 − 3 2 ) + 6 28

32 − 50 + 27

)(

27 + 50 − 32

3+ 2 3 2+ 2  
1

+

÷. 1 :
÷
3
2 +1  
2+ 3

1
 1

+

÷.
5+ 2
 5− 2

2

(

)

22 + 2 . 6 + 11

 3 5 + 5 3   3 5 − 15 



 3 + 5 + 1.1 −

3
−
1




11.
12.

( 2 3 − 3 2 ) 2 + 2 6 + 3 24
4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3

6−4 2

+

2 + 6+4 2

2.

1

+

)

3
15 
1
 2
+
+

÷.
 3 −1 3 − 2 3 − 3  3 + 5

19.
20.

(

1

)

2 +1

2



1
1

−
+ 1÷

 7 − 24 + 1 7 + 24 − 1 

21.
22.
23.§2.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG
TRÌNH
24.(Bậc nhất)
25.
26.§5.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
27.ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)
28.


29.*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình
trở thành bậc nhất một ẩn (§5).
30.
31.A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
32.1.Các dạng và cách giải
33. Dạng 1: c = 0 khi đó
x = 0
( 1) ⇔ ax 2 + bx = 0 ⇔ x ( ax+b ) = 0 ⇔ 
b
x=−
a

34.
35. Dạng 2: b = 0 khi đó

−c
( 1) ⇔ ax 2 + c = 0 ⇔ x 2 =
a
36.
−c
−c
x=±
≥0
a
a
37.
-Nếu
thì
.
−c
<0
a
38.
-Nếu
thì phương trình vô nghiệm.
39.
40. Dạng 3: Tổng quát
41.
42. CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT

43. CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

∆ = b − 4ac
2

∆>0
46.

44.

∆' > 0

: phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 =
47.

−b + ∆
;
2a

x2 =

: phương trình có 2 nghiệm phân biệt

−b − ∆
2a

x1 =
49.

∆=0

50.

48.

: phương trình có nghiệm kép

x1 = x 2 =

−b
2a

− b'+ ∆ '
;
a

x2 =

−b'− ∆ '
a

∆' = 0

52.

: phương trình có nghiệm kép

x1 = x 2 =

51.

− b'
a

53.

∆<0
54.

45.

∆ ' = b'2 − ac

∆' < 0
: phương trình vô nghiệm

55.

: phương trình vô nghiệm

56.
57.

Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
58.
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn
phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5.


59.
60.3.Hệ thức Viet và ứng dụng
61. -Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
b


S
=
x
+
x
=
−
1
2

a

P = x x = c
1 2

a
62.
u + v = S

S2 ≥ 4P
uv = P
63. -Nếu có hai số u và v sao cho
thì u, v là hai
2
nghiệm của phương trình x – Sx + P = 0.
c
a
64. -Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = .
c

−
a
65. -Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 =
.
2
66.4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a ≠0)
∆≥0
∆>0
67. -(1) có 2 nghiệm
; có 2 nghiệm phân biệt
.
68. -(1) có 2 nghiệm cùng dấu
.
∆
≥
0


P > 0

(

69. -(1) có 2 nghiệm dương

)

∆ ≥ 0

P > 0
S > 0



∆ ≥ 0

P > 0
S < 0


70. -(1) có 2 nghiệm âm
71. -(1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
72.5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn
điều kiện nào đó.


a) αx1 + βx 2 = γ;

b) x12 + x 2 2 = m;

d) x12 + x 2 2 ≥ h;

e) x13 + x 23 = t; ...

c)

1
1
+
=n
x1 x 2

73.
74. Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp
75.Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
76. 77. x2 - 11x + 30 = 0
78. 79. x2 - 16x + 84 = 0
1

80.

21
2

81. x - 10x + 21 = 0

82.

2

84.

22
2

85. x - 12x + 27 = 0

86.

3

88.

89. 5x - 17x + 12 = 0

90.

91. x2 – 2(

3 + 2)

24

93. 3x2 - 19x - 22 = 0

94.

5

96.

87. 5x2 + 8x + 4 = 0

23
2

4

92.

83. x2 + 2x - 8 = 0

x+4

=0
6

95. 11x2 + 13x - 24 = 0

25
2

97. x - (1+

)x +

6

=0

2

98.

99. x2 - 11x + 30 = 0

26

2

100. 101. x2 - 14x + 33 = 0

102. 103. x2 - 13x + 42 = 0

7

27
2

106. 107. 11x2 - 13x - 24 = 0

104. 105. 6x - 13x - 48 = 0
8

28
2

110. 111. x2 - 13x + 40 = 0

108. 109. 3x + 5x + 61 = 0
9

29
2

112. 113. x 10

x-23

=0
6

114. 115. 3x2 + 5x - 1 = 0
30

116. 117. x2 - 24x + 70 = 0

118. 119. 5x2 + 7x - 1 = 0

11

31
2

120. 121. x - 6x - 16 = 0

122. 123. 3x2 - 2

12

32

124. 125. 2x2 + 3x + 1 = 0

126. 127. x2 - 2

13

33

128. 129. x2 - 5x + 6 = 0

130. 131. x2 - 2

14

34

132. 133. 3x2 + 2x + 5 = 0

134. 135. 11x2 + 13x + 24 = 0

15

35
2

136. 137. 2x + 5x - 3 = 0

x-3=0
3

x+1=0
2

(

)

3 −1

x-2

138. 139. x2 + 13x + 42 = 0

=0
3


16

36
2

140. 141. x - 7x - 2 = 0

142. 143. 11x2 - 13x - 24 = 0

17

37
2

144. 145. 3x - 2
18

x-2=0

146. 147. 2x2 - 3x - 5 = 0
38

3

148. 149. -x2 - 7x - 13 = 0

150. 151. x2 - 4x + 4 = 0

19

39
2

x – 2(

152. 153.
20

2

3 − 1)

x -3

154. 155. x2 - 7x + 10 = 0
40

=0
2

156. Bài 2: Giải các hệ phương trình sau

2x 4 - 3x 2 - 2 = 0

157. a)

x 4 - 13x 2 + 36 = 0

158. c)

4

9x 4 + 8x 2 - 1 = 0

2

9a 4 + 2a 2 - 32 = 0

3x + 10x + 3 = 0

160. g)

h)

u 4 + 3u 2 + 9 = 0
4

162. k)
163. m)

j)

2

2x 4 + 5x 2 + 2 = 0
a 4 - 12a 2 + 27 = 0

x - 6x - 27 = 0
l)

t 4 + 3t 2 + 10 = 0

x4 + x2 - 6 = 0
n)

x 4 - 2x 2 - 120 = 0

p)

36x 4 - 13x 2 + 1 = 0
165. q)

4x 4 - 5x 2 - 9 = 0

f)
4

164. o)

d)

2

t + 24t - 25 = 0

159. e)

161. i)

b)

x 4 - 2x 2 - 8 = 0

z 4 - 7z 2 - 144 = 0

3x 4 - (2 -

t)

3)x 2 - 2 = 0


166. u)

1 4 1 2 1
x - x + =0
3
2
6

v)

1 4 3 2 11

x - x =0
3
2
6
167. Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
x + 1=x - 1
x - 2 =x - 2
168. a)
b)
4x - 20 = x - 20
169. d)

x + 1 =2

c)

3x + 2 = 4
e)

f)

x + 5 = 1- x
x+

x + 1 = 13

170. g)
x - 5+ 7=x

x - 4 = 4- x

171. j)
x - 5 = 1- x

3+

2x - 3 = x

172. m)
2x + 8 2x - 1 = 21
173. p)

x - 2 x - 1 = 16

2x + 5 = 2x - 1
h)

k)

n)

i)

x-

x- 1=3

x + 2 2x - 1 + 5 = 0

l)

o)

3x + 2 = 2 = 3
q)

r)

1 - 2x 2 = x - 1
174. Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
ìï 2x + 3y = - 2
ï
í
ïï 3x - 2y = - 3
î

175. 1)
ìï 9x + 8y = 6
ï
í
ïï 2x - y = 2
î

8)

ìï 4x + 3y = 6
ï
í
ïï 2x + y = 0
î

15)


176. 2)

ìï x - 6y = 17
ï
í
ïï 5x + y = 23
î

9)

ìï 7x + 4y = 74
ï
í
ïï 3x + 2y = 32
î

16)

ìï x - 3y = 6
ï
í
ïï - 2x + 6y = - 12
î

177. 3)

178. 4)

x − 3y = 2

−2 x + 5 y = 1
x y
 − =1
2 3
5 x − 8 y = 3
3 x − y = 5

2 x + 3 y = 18

179. 5)
−5 x + 2 y = 4

6 x − 3 y = −7

180. 6)

2 x + 2 y = 9

2 x − 3 y = 4
4 x − 5 y = 3

3 x − y = 16

181. 7)
4 x − y = 3


3 x − 2 y = 16

2 x − y = 1

x + y = 2

10)

x − 2 y = 7

2 x + y = 4

11)

12)

x − 3y = 5

 2 x + 2 y = −6

13)

14)

2 x + y = 3

x − y = 6
3x − 2 y = 10



2
1
 x − 3 y = 3 3

17)

l8)

x − 3y = 1

x + 4 y = 2
3 x + 2 y = 7

2 x + 3 y = 3

19)

20)

x − y = 3

3 x − 4 y = 2

21)

182. Bài 5: Dạng cơ bản biến thể
ìï x + y - 2 = 0
ïï
í3 4
ïï 5x - y = 11

ïî

183. a)
ìï x = y
ïï
3
í2
ïï x + y - 10 = 0
ïî

b)

ìï a b
1
ïï + = 3
í5 3
ïï 4a - 5b - 10 = 0
ïïî

184. Bài 6: Dạng biến thể phức tạp

c)


185. a)

186. d)

ìï x 2 - y 3 = 1
ïï

í
ïï x + y 3 = 2
ïî

ìï x 2 - y 3 = 1
ïï
í
ïï x + y 3 = 2
ïî

b)

e)

ìï ( 2 - 1)x - y = 2
ïï
í
ïï x + ( 2 + 1)y = 1
ïî

ìï (x 5 - (1 + 3)y = 1
ïï
í
ïï (1 - 3)x + y 5 = 1
ïî

c)

ìï x 2 - 3y = 1
ïï

í
ïï 2x + y 2 = - 2
ïî

f)

ìï 5x 3 + y = 2 2
ïï
í
ïï x 6 - y 2 = 2
ïî

187. Bài 7: Thu gọn ẩn đưa về dạng cơ bản
188.

189.
( 3x + 2)( 2y − 3) = 6xy
1) 
;
( 4x + 5)( y − 5) = 4xy
y + 27
 2y - 5x
 3 + 5 = 4 − 2x
3) 
;
6y
−
5x
x
+

1

+y=
 3
7

( 2x - 3)( 2y + 4) = 4x( y − 3) + 54
2) 
;
( x + 1)( 3y − 3) = 3y( x + 1) − 12
 7x + 5y - 2
 x + 3y = −8

4) 
 6x - 3y + 10 = 5
 5x + 6y

190. Bài 8: Dùng ẩn phụ

191. a)

192. d)
ìï
ïï
ïï x
í
ïï
ïï
ïî x

ìï 1
ïï ïï x
í
ïï 3
ïï +
ïî x

1
=1
y
4
=5
y

4
+
- 3 y
5
+
- 3 y

193. g)

b)

ìï 1 1
1
ïï + =
ïï x y
24

í
ïï 2
3
ïï =
y
ïî x

e)

ìï 6
ïï +
ïï x
í
ïï 9
ïï ïî x
ìï
ïï
ïï x
í
ïï
ïï
ïî x

5
=3
y
10
=1
y

5
=2
+1
1
29
=
+ 1 20

ìï 8
1
ïï =1
ïï x y + 12
í
ïï 1
5
=3
ïï +
ïî x y + 12

h)

c)

1
1
+
=2
- 2 y- 1
2
3

=1
- 2 y- 1

ìï 4
9
ïï
+
=- 1
ïï 2x + 1 y - 1
í
ïï 3
2
13
=
ïï
6
ïî 2x + 1 y - 1

f)

ìï 1
ïï +
ïï x
í
ïï 10
ïï ïî x

1 1
=
y

4
1
=1
y


194.

195. 4. Tớnh giỏ tr cỏc biu thc nghim
196. i cỏc bi toỏn dng ny iu quan trng nht l phi bit bin i biu thc



nghim ó cho v biu thc cú cha tng nghim S v tớch nghim P ỏp dng
h thc VI-ẫT ri tớnh giỏ tr ca biu thc
x12 + x22 = ( x12 + 2 x1 x2 + x22 ) 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 2 x1 x2
2
x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) 3 x1 x2





x14 + x24 = ( x12 ) 2 + ( x22 ) 2 = ( x12 + x22 ) 2 x12 x22 = ( x1 + x2 ) 2 2 x1 x2 2 x12 x22
2



1 1 x1 + x2
+ =

x1 x2
x1 x2



( x1 + x2 )

x1 x2 =



x12 x22



x13 x23



(

4 x1 x2

( x1 x2 ) ( x

2
1

(=

(x

2
1

4
2

(=

+ x1 x2 + x

2
2

+x

2
2

)(x

2
1

6
2

(=

=.)

) = ( x x ) ( x + x )
1

x

2
2

2

1

2

2

x1 x2


)

= )
( x ) + ( x ) = ( x + x22 ) ( x14 x12 x22 + x24 )
2 3
1

x +x
6

1

2

= ( x1 x2 ) ( x1 + x2 )

x x
4
1




2

2 3
2

=. )

2
1

= ..)

197.

198. 2. Cho phơng trình:

x 2 - 5x + 3 = 0

. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình không

giải phơng trình hãy tính:

199. a)

200. g)

x + x2
2
1

x2

+

x1 + x 2
3

b)

x1 - 3

1
1
+
x 12 x 2 2
x1 + 5

201. j)

2

h)

x1

x2 + 5
x1

+

3

f)
x2 - 3
x2

x1 +

k)

1
1
+
x1 x2

1
1

+ x2 +
x1
x2

i)

1
1
+
x1 - 2 x2 - 2
1 - x1

l)

2x 1

+

1 - x2
2x 2


x1

202. m)

x 12x 2 + x 1x 22

n)

x2

+

x2
x1

203.

204. 5. Tìm giá trị tham số của phương trình thõa mãn biểu thức chứa nghiệm
đã cho
205.

206. VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU
THỨC NGHIỆM

207. Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích
được:

208.

A+ m
C=
k − B

209. Thì ta thấy :
210.

211.

C ≥m
C ≤k

(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số)(*)
(v ì
(v ì

A≥0

B≥0

)

)

⇒ min C = m ⇔ A = 0

⇒ max C = k ⇔ B = 0


212.
213.