Tinh chất nén và phản chùm trạng thái SU(2)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (495.75 KB, 81 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HUỲNH VŨ

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN BẬC CAO VÀ TÍNH PHẢN CHÙM
CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(2) LẺ

Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số

: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC
Huế, Năm 2015
i

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu
nào khác.
Tác giả luận văn

Huỳnh Vũ

i

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại trường ĐHSP Huế, tôi đã
nhận được sự dạy dỗ, hướng dẫn nhiệt tình, sự giúp đỡ quý báu của thầy cô giáo,
gia đình cùng bạn bè.
Tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương
Minh Đức đã tận tình giúp đỡ, góp ý, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong khoa Vật Lý và phòng Đào tạo
sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã tận tình giảng dạy, hướng
dẫn tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình cùng bạn bè, các anh chị học viên
cao học khóa 22 đã luôn động viên, góp ý cho tôi trong suốt quá trình thực hiện
đề tài.
Huế, tháng 5 năm 2015
Tác giả luận văn

Huỳnh Vũ

ii

1

MỤC LỤC
Trang

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

CHƯƠNG 1. TRẠNG THÁI KẾT HỢP, TRẠNG THÁI NÉN . . . .

9

1.1. Phương sai, trạng thái kết hợp và toán tử dịch chuyển . . . . . . .

9

1.1.1. Tính chất của toán tử dịch chuyển . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.2. Các toán tử biên độ trực giao của hạt boson . . . . . . . .

13

1.1.3. Các tính chất của trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . .

15

1.1.4. Các trạng thái kết hợp chẵn và lẻ . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2. Trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2.1. Ý tưởng về trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2.2. Các kiểu nén bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.3. Tính phản kết chùm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

CHƯƠNG 2. TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(2) LẺ . .

29

2.1. Trạng thái hai mode kết hợp SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.1. Trạng thái momen xung lượng góc kết hợp . . . . . . . .

30

2.1.2. Trạng thái kết hợp SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2. Trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3. Các tính chất của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ . . . . . .

33

2.3.1. Khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái hai mode kết
hợp SU(2) lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

CHƯƠNG 3. NÉN BẬC CAO TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT
HỢP SU(2) LẺ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.1. Nén kiểu Hong - Mandel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2. Nén kiểu Hillery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3. Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ 53
3.4. Khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ 55
KẾT LUẬN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P.1

Chứng minh một số công thức chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
Chứng minh một số công thức chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . P.4
Chứng minh một số công thức chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . P.9

2

3

Danh sách hình vẽ

2.1

Sự phụ thuộc của Rab (1, 1) vào r với N = 7, 5, 3. (Các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu
xanh lục và đường màu xanh lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

36

Sự phụ thuộc của Rab (2, 1) vào r với N = 7, 5, 3. (Các tham số

được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu
xanh lục và đường màu xanh lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

37

Sự phụ thuộc của Rab (2, 2) vào r với N = 9, 7, 5. (Các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu
xanh lục và đường màu xanh lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

38

Sự phụ thuộc của Rab (3, 1) vào r với N = 9, 7, 5. (Các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu
xanh lục và đường màu xanh lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

39

Sự phụ thuộc của Rab (3, 2) vào r với N = 9, 7, 5. (Các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu
xanh lục và đường màu xanh lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

40

Sự phụ thuộc của Rab (3, 3) vào r với N = 11, 9, 7. (Các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu
xanh lục và đường màu xanh lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7

41

Sự phụ thuộc của Rab (4, 2) vào r với N = 11, 9, 7. (Các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu
xanh lục và đường màu xanh lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8

42

Sự phụ thuộc của Rab (4, 3) vào r với N = 11, 9, 7. (Các tham số
được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu
xanh lục và đường màu xanh lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.1

Sự phụ thuộc của M2(ϕ ) vào r cho trường hợp N = 5. . . . . . . .

46

3.2

Sự phụ thuộc của H2 (ϕ ) vào r cho trường hợp N = 5 . . . . . . .

50

3.3

Sự phụ thuộc của H3 (ϕ ) vào r cho trường hợp N = 5. . . . . . . .

53

3.4

Sự phụ thuộc của D vào r cho trường hợp N = 21, 15, 11.(Các tham
số được chọn theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu
xanh lục và đường màu xanh lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

57

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Việc nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển có ý nghĩa rất quan trọng trong
việc tăng độ chính xác của các phép đo và làm cơ sở để nghiên cứu và áp dụng
vào các lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang lượng tử, thông tin lượng tử và máy
tính lượng tử. Do đó, các tính chất phi cổ điển của các trạng thái cho trước rất được
các nhà khoa học quan tâm. Các trạng thái phi cổ điển này xuất phát điểm từ trạng

thái kết hợp [1-7]. Trạng thái phi cổ điển lần đầu tiên được đưa ra trong tiêu đề của
các công trình bởi Helstrom, Hillery và Mandel vào đầu thập kỷ 80 của thế kỷ XX
[4,10]. Từ đó các trạng thái phi cổ điển được đề suất và các nhà vật lý thực nghiệm
cũng như lý thuyết quan tâm nghiên cứu. Trạng thái kết hợp tuân theo phân bố
Poisson, là phân bố mà phương sai của một đại lượng bằng trung bình số hạt của
chúng. Nếu phương sai của một đại lượng nhỏ hơn trung bình số hạt của chúng thì
hàm phân bố ứng với trạng thái đó là sub-Poisson. Các trạng thái tuân theo thống
kê sub-Poisson là các trạng thái phi cổ điển do hàm phân bố xác suất P ứng với
trạng thái đó là âm [1-3]. Một tính chất nữa thuộc tính chất phi cổ điển đó là tính
chất phản chùm [1,9]. Nếu một trạng thái có tính chất phi cổ điển thì sẽ thể hiện rất
rõ tính chất phản kết chùm hoặc tính thống kê sub-Poisson. Trạng thái phi cổ điển
được nhắc đến đầu tiên là trạng thái nén [1-5]. Tuy nhiên, khái niệm trạng thái nén
mãi đến năm 1970 mới được đưa ra bởi Stoler và sau đó được Hollenhorst đặt tên.
Trong trạng thái nén, các thăng giáng lượng tử được giảm xuống dưới mức thăng
giáng mà trạng thái kết hợp cho phép. Khi trạng thái nén được khám phá nó mở ra
một phương cách để vượt qua giới hạn lượng tử chuẩn suy ra từ hệ thức bất định.
Trạng thái này được khẳng định bằng thực nghiệm năm 1987. Sau đó Dodonov và
các cộng sự xây dựng thành công trạng thái kết hợp chẵn và lẻ bằng lý thuyết và
5

trạng thái này được tạo ra bằng thực nghiệm vào năm 1992 [2, 5]. Sau đó một loạt
các trạng thái phi cổ điển khác được đưa ra dựa trên lý thuyết như trạng thái kết
hợp phụ thuộc tham số biến dạng, trạng thái kết hợp chẵn và lẻ phụ thuộc tham số
biến dạng. Gần đây Agarwal đã đề xuất một trạng thái lượng tử gọi là trạng thái
kết hợp cặp [2]. Trạng thái kết hợp cặp được xác định là trạng thái riêng của toán
tử hủy photon trong các cặp. Đây là trạng thái phi cổ điển nên nó tuân theo thống
kê Sub-possion, sự tương quan trong sự thăng giáng photon, hiệu ứng nén và sự vi
phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Trạng thái kết hợp cặp là nền tản trong việc
xây dựng lý thuyết thông tin lượng tử. Một số mô hình thực nghiệm để tạo trạng

thái kết hợp cặp đã được đề xuất và nghiên cứu. Bên cạnh đó trong quang học
lượng tử cũng có nhiều sự quan tâm đến trạng thái con mèo chrodinger. Năm 1997
hai nhà vật lý Gerry và Grobe đã nghiên cứu về trạng thái con mèo Schrodinger
hai mode SU(2) và SU(1,1) về sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tính
chất nén bậc thấp [7]. Để biết được trạng thái này ở trạng thái nén bậc cao tính
chất của nó như thế nào và đồng thời hiểu rõ tính chất này là bước đầu thuận lợi để
nghiên cức các lý thuyết thông tin lượng tử và nghiên cứu nhiều vấn đề khác. Do
vậy tôi chọn đề tài “Nghiên cứu tính chất nén bậc cao và tính phản chùm của trạng
thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ” làm đề tài luận văn của mình.
2. Lịch sử nghiên cứu
Nghiên cứu tính chất nén và các tính chất khác như : tính phản chùm, sự vi
phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, thống kê sub-Poisson của các trạng thái phi
cổ điển là một vấn đề hết sức quan trọng. Kết quả của các nghiên cứu này được
ứng dụng nhiều trong việc kiểm nghiệm các khái niệm cơ bản của vật lý, chuyển vị
lượng tử. Đây cũng là khởi điểm để xây dựng lý thuyết về thông tin lượng tử. Hiểu
rõ tầm quan trọng này nên nhiều tác giả trong và ngoài nước đã đi sâu nghiên cứu.
6

Ở ngoài nước, năm 1997 hai nhà vật lý Gerry và Grobe đã nghiên cứu tính
chất nén bậc thấp trạng thái SU(2) chẵn lẻ [7]. Bên cạnh đó, ở nước ta năm 2011,
học viên Nguyễn Thị Thu Thúy đã nghiên cứu trạng thái kết hợp chẵn và lẻ [3].
Năm 2014, học viên Lê Đình Nhân đã nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của
trạng thái hai mode SU(1,1) [1]. Cùng chung trạng thái chẵn lẻ, tuy nhiên chưa có
đề tài nào nghiên cứu tính chất nén bậc cao và tính phản chùm của trạng thái hai
mode kết hợp SU(2) lẻ.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu tính chất nén tổng, nén hiệu và nén biên độ
trực giao bậc cao của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ theo hai kiểu Hong Mandel và Hillery. Đồng thời nghiên cứu tính phản chùm bậc cao của trạng thái 2
mode kết hợp SU(2) lẻ.

4. Phạm vi nghiên cứu
Vì thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu tính
chất nén của trạng thái 2 mode kết hợp SU(2) lẻ bậc 2, 3 và tính chất nén tổng, nén
hiệu và tính phản chùm.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ, tìm hiểu về nén biên độ bậc
cao kiểu Hong - Mandel và Hillery.
- Tiến hành khảo sát điều kiện có tính chất phản chùm trong trạng thái hai
mode kết hợp SU(2) lẻ.

7

- Tiến hành khảo sát điều kiện để có nén biên độ trực giao bậc cao, nén tổng
và nén hiệu trong trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ.
- So sánh kiểm chứng.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng quan tài liệu.
- Nghiên cứu lý thuyết dựa trên lý thuyết cơ học lượng tử.
- Sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị.
7. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục, tài liệu tham khảo, Luận văn gồm ba phần
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên
cứu, phương pháp nghiên cứu, giới hạn nghiên cứu và bố cục luận văn.
Phần nội dung: Gồm 3 chương
Chương một: Trình bày kiến thức tổng quan về trạng thái kết hợp trạng thái nén
Chương hai: Trình bày về trạng thái hai mode kết hợp SU(2) và khảo sát tính phản
chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ
Chương ba: Khảo sat tính chất nén bậc cao trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ
Phần kết luận: Trình bày về các kết quả đạt được của đề tài và đề xuất các hướng

mở rộng của đề tài.

8

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
TRẠNG THÁI KẾT HỢP, TRẠNG THÁI NÉN
Trong nội dung của chương này, trước khi trình bày về các tính chất phi cổ điển,
chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về trạng thái kết hợp. Trạng thái kết
hợp, kí hiệu |α đã được Glauber và Sudarshan đưa ra vào năm 1963 để mô tả
tính chất của chùm sáng laser. Sau đó, chúng tôi đề cập đến trạng thái nén đã được

đưa ra bởi Stoler vào năm 1970 và Hollenhorst đặt tên năm 1979. Tiếp đến, chúng
tôi trình bày trạng thái kết hợp chẵn lẻ và một số tính chất phi cổ điển cụ thể như
tính phản kết chùm và tính chất nén bậc cao kiểu Hillery và Hong - Mandel.
1.1. Phương sai, trạng thái kết hợp và toán tử dịch chuyển
Cho hai toán tử Hermitic Aˆ và Bˆ theo thứ tự biểu diễn cho hai đại lượng vật
lý A và B. Theo cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý này không đo được đồng
ˆ Bˆ cũng không giao hoán với nhau, nghĩa là
thời thì về mặt toán học hai toán tử A,
giao hoán tử
ˆ B]
ˆ = Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ = iCˆ = 0.
[A,

(1.1)

Với trường hợp này ta có được hệ thức bất định trong trạng thái lượng tử bất kỳ
|ψ của hệ

1
VAV B ≥ | Cˆ |2 ,
(1.2)
4
trong đó, đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được X quanh
giá trị trung bình lượng tử Xˆ của đại lượng X = A, B là phương sai V X được định

nghĩa như sau
2
V X ≡ (Xˆ − Xˆ )2 = Xˆ 2 − Xˆ ,
9

(1.3)

với giá trị trung bình của đại lượng X ở trạng thái |ψ
ˆ ψ =
Xˆ = ψ |X|

ψ ∗ (x)Xˆ ψ (x)dx,

(1.4)

được lấy trên toàn bộ giá trị có thể có của các biến độc lập x của hệ lượng tử. Bây
ˆ chúng tuân theo
giờ ta xét hệ hạt boson có toán tử sinh hạt aˆ+ và toán tử hủy hạt a,
các hệ thức giao hoán
[a,
ˆ aˆ +] = aˆaˆ+ − aˆ+ aˆ = 1,

[a,
ˆ a]
ˆ = [aˆ+, aˆ+] = 0.
Xét một trạng thái |α như sau
1
|α = exp − |α |2
2

(1.5)

∞

αn
∑ √n! |n ,
n=0

(1.6)

trong đó

aˆ+n
|n = √ |0
(1.7)
n!
là vectơ trạng thái chứa n hạt boson (còn gọi là trạng thái Fock) và |0 là vectơ
trạng thái chân không của hệ hạt.
Thay (1.7) vào (1.6) ta thu được
1 2 ∞ α n aˆ+n
|α = exp(- |α | ) ∑ √ √ |0
2

n=0 n! n!
1 2 ∞ (α aˆ+)n
= exp(- |α | ) ∑
|0
2
n!
n=0
1
= exp(- |α |2 )exp(α aˆ+) |0 .
2
Vậy

1
|α = exp(- |α |2 )exp(α aˆ+) |0 .
2

(1.8)

Từ (1.6) ta có
aˆ |α

1
= aˆ exp − |α |2
2

∞

αn
1
∑ √n! |n = exp − 2 |α |2

n=0
10

∞

αn
∑ √ aˆ |n
n=0 n!

1
= exp − |α |2
2
1
= exp − |α |2
2
1
= α exp − |α |2
2

∞

αn √
∑ √n! n |n − 1
n=0
∞
α .α n−1
∑ (n − 1)! |n − 1
n=0
∞

∑

n=0

α n−1
|n − 1 = α |α .
(n − 1)!

Do đó trạng thái |α là trạng thái riêng của aˆ với trị riêng α

(1.9)

a|
ˆ α = α |α .

Vì aˆ không phải là toán tử Hermitic nên α nói chung là một số phức, α = r exp(iϑ )
với r, ϑ là số thực. Lưu ý rằng do
∞

(−1)n α ∗n n
α ∗2 2
∗
exp (−α a)|0
ˆ
=∑
aˆ |0 = 1 − α aˆ +
aˆ + ... |0 = |0 ,
n!
2!

n=0
∗

nên biểu thức (1.8) có thể viết dưới dạng
|α = Dˆ a (α )|0 ,

(1.10)

1
Dˆ a (α ) ≡ exp − |α |2 exp α aˆ+ exp (−α ∗ a)
ˆ
2

(1.11)

trong đó

được gọi là toán tử dịch chuyển của aˆ với độ dịch chuyển α . Trạng thái |α được
xác định bởi (1.6), (1.9) hay (1.10) và (1.11) được gọi là trạng thái kết hợp có tham

số kết hợp α = r exp(iϑ ), trong đó các số thực r và ϑ theo thứ tự được gọi là biên
độ kết hợp, pha kết hợp. Trước khi làm rõ ý nghĩa của thuật ngữ “kết hợp” hãy tìm
hiểu một số tính chất của toán tử dịch chuyển [2, 3].
1.1.1.

Tính chất của toán tử dịch chuyển

a) Theo công thức Baker-Hausdorff, nếu Aˆ và Bˆ là hai toán tử bất kỳ có
ˆ Bˆ , Aˆ =
A,

ˆ Bˆ , Bˆ = 0,
A,
11

thì ta có ( Phụ lục A.1 )
ˆ Bˆ
exp Aˆ + Bˆ = exp − A,
= exp

ˆ Bˆ
A,

2 exp Aˆ exp Bˆ
(1.12)
2 exp Bˆ exp Aˆ .

ˆ Bˆ = |α |2 [a,
Cho Aˆ = α aˆ+ và Bˆ = −α ∗a,
ˆ theo đó A,
ˆ aˆ+] = |α |2.
Từ (1.11)và (1.12), suy ra

Dˆ a (α ) = exp −|α |2/2 exp α aˆ+ exp (−α ∗ a)
ˆ
= exp α aˆ+ − α ∗ aˆ

(1.13)

= exp |α |2/2 exp (−α ∗ a)exp
ˆ
α aˆ+ .
Ta có thể vận dụng một trong ba dạng này của Dˆ a (α ) để tính toán sao cho thuận
lợi nhất cho tính toán.
b) Vận dụng dạng thứ hai trong (1.13) cho Dˆ a (α ), suy ra được Dˆ a (α ) là toán
tử chuẩn tắc (Unita)
ˆ
ˆ −1
Dˆ +
a (α ) = Da (−α ) = Da (α ).

(1.14)

Thật vậy,
∗
+
Dˆ +
= exp −α aˆ+ − (−α ∗ a)
ˆ = Dˆ a (−α ).
a (α ) = exp α aˆ − α aˆ

Mặt khác
Dˆ −1
a (α ) =
Vậy

1
1
=

= exp −α aˆ+ + α ∗ aˆ = Dˆ +
(α ).
a
+
∗
ˆ
Dˆ a (α ) exp (α aˆ − α a)
Dˆ +
(α ) = Dˆ a (−α ) = Dˆ −1
(α ).
a
a

Hệ quả của tính chất này là vectơ trạng thái kết hợp được chuẩn hoá
ˆ
α |α = 0 Dˆ −1
a (α ) Da (α ) 0 = 0|0 = 1.
12

(1.15)

Vì đối với hai toán tử bất kỳ Aˆ và Bˆ luôn có (phụ lục A.2)
2

ˆ B]
ˆ [A,
ˆ B]
ˆ + α A,
ˆ + ...

exp −α Aˆ Bˆ exp α Aˆ = Bˆ − α [A,
2!

(1.16)

ta thu được các phép biến đổi (Phụ lục A.3)
ˆ
Dˆ +
a (α )aˆDa (α ) = aˆ + α ,

(1.17)

+ˆ
+
∗
Dˆ +
a (α )aˆ Da (α ) = aˆ + α .

(1.18)

Các vế phải của (1.17) và (1.18) theo thứ tự bị dịch đi một lượng bằng α và α ∗ so
với các vế trái tương ứng. Do vậy, toán tử Dˆ a (α ) được gọi là toán tử dịch chuyển.
Các tính chất (1.17) và (1.18) được dùng nhiều trong các tính toán lý thuyết.
1.1.2.

Các toán tử biên độ trực giao của hạt boson

Các toán tử a,
ˆ aˆ+ không hermitic do đó không đo được trong vật lý. Đại lượng
đo được trong trường hạt boson là các toán tử biên độ. Xét toán tử biên độ trường

boson Aˆ
1
Aˆ ∝ aˆ exp [−i(ω t + ϕ )] + aˆ+ exp [i(ω t + ϕ )]
2
1
i
= aˆ+ exp (iϕ ) + aˆ exp (−iϕ ) cos ω t + aˆ+ exp (iϕ ) − aˆ exp (−iϕ ) sin ω t,
2
2
(1.19)
trong đó ϕ là góc pha ban đầu.
Đặt
1
Xˆ a(ϕ ) = aˆ+ exp (iϕ ) + aˆ exp (−iϕ ) ,
2

(1.20)

khi đó
i +
π
aˆ exp(iϕ ) − aˆ exp(−iϕ ) = Xˆ a ϕ +
.
2
2
Thật vậy, thay ϕ = ϕ + π /2 vào biểu thức (1.20) ta được
1
Xˆ a(ϕ ) = {aˆ+ exp [i(ϕ + π /2)] + aˆ exp [−i(ϕ + π /2)]}
2
i

= aˆ+ exp(iϕ ) − aˆ exp(−iϕ ) .
2
13

(1.21)

Vậy
Aˆ ∝ Xˆa(ϕ ) cos ω t + Xˆa (ϕ + π /2) sin ω t.

(1.22)

Từ biểu thức (1.20) dễ dàng nhận thấy từ rằng Xˆa(ϕ ) là toán tử Hermitic do đó nó
là toán tử tương ứng với đại lượng đo được nào đó trong trường hạt boson. Từ biểu
thức (1.22) ta thấy Xˆ a(ϕ ) và Xˆ a(ϕ + π /2) lệch pha nhau π /2 nên chúng được gọi
là toán tử biên độ trực giao của trường boson Aˆ. Việc đo biên độ trường thường
quy về việc đo các biên độ trực giao.
Dựa vào (1.20) và (1.21) có thể rút ra công thức biến đổi ngược lại:
aˆ = exp (iϕ ) Xˆ a(ϕ ) + iXˆa (ϕ + π /2) ,

(1.23)

aˆ+ = exp (−iϕ ) Xˆ a(ϕ ) − iXˆa (ϕ + π /2) .

(1.24)

Từ (1.20), (1.21) và hệ thức giao hoán [a, a+] = 1 ta suy ra
1
i2
i

4
1 +
− α | [aˆ exp (iϕ ) + aˆ exp (−iϕ )]|α 2
2
1
= α | [aˆ+2 exp (2iϕ ) + aˆ+ aˆ + aˆaˆ+ + aˆ2 exp (−2iϕ )]|α
4
1 +
− α | [aˆ exp (iϕ ) + aˆ exp (−iϕ )]|α 2
2
14

1
= α | [aˆ+2 exp (2iϕ ) + 2aˆ+aˆ + 1 + aˆ2 exp (−2iϕ )]|α
4
1 +
− α | [aˆ exp (iϕ ) + aˆ exp (−iϕ )]|α 2
2
1
= {α ∗2 exp (2iϕ ) + 2|α |2 + 1 + α 2 exp (−2iϕ )
4
1
− [α ∗ exp (iϕ ) + α exp (−iϕ )]2 } = ,
4
theo đó, ở trạng thái này
V Xa(ϕ )V Xa(ϕ + π /2) =

1
.

16

(1.26)

Vậy trạng thái |α định nghĩa ở (1.10) thực hiện dấu bằng trong hệ thức bất định,

do đó chúng được gọi là các trạng thái có độ bất định tối thiểu [5].
1.1.3.

Các tính chất của trạng thái kết hợp

Để hiểu rõ trạng thái kết hợp ta tìm hiểu các tính chất của trạng thái này[1, 3].
Tính chất 1: Số hạt boson trung bình của trạng thái kết hợp |α chính bằng bình

phương biên độ kết hợp r nghĩa là nˆ = r2 .
Thật vậy,

nˆ = α | nˆ |α = α | aˆ†aˆ |α .
Mặt khác
aˆ |α = α |α , α | aˆ† = α | α ∗, α = r exp (iϕ ) ,
do đó
nˆ = α | α ∗α |α = |α |2 = r2 .
Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp |α là một tập hợp đủ
1
π

|α α | d 2 α = 1.

Thật vậy,
2

|α α | d α =

e

−|α |2

∞

αn
∑ √ |n
n=0 n!
15

(α ∗)m
∑ √m! m| d 2α ,
m=0
∞

(1.27)

trong đó α = r exp (iϕ ). Chuyển sang tọa độ cực ta được
d 2 α = rdrd ϕ .
Suy ra
2π

∞

|α α | d 2 α =

d ϕ e−r

rdr
0

2

0

rn+m ei(n−m)ϕ
∑ √n!m! |n m| .
n,m

Mặt khác
2π

ei(n−m)ϕ d ϕ = 2πδnm ,
0

nên
∞

|α α |d 2 α =

∞

rdr

∑ e−r

2

n=0

0
∞

2π
|n n|
=∑
n=0 n!
Ta nhận thấy rằng

∞
2

e−r r2n+1 dr =
0

2π
|n n|
n!
∞
2

e−r r2n+1 dr .
0

n!

.
2

Do đó
|α α | d 2 α = π ,
hay
1
|α α |d 2 α = 1 .
π
Tính chất 3: Mặc dù các trạng thái kết hợp là chuẩn hóa nghĩa là α | α = 1

nhưng chúng lại không trực giao với nhau.
Thật vậy,

1 2
1 2 ∞ ∞ β m (α ∗ )n
√
α | β = exp(− |α | ) exp(− |β | ) ∑ ∑ √
n| m
2
2
m!
n!
n=0 m=0
16

1 2
1 2 ∞ ∞ β m (α ∗ )n
√ δnm

= exp(− |α | ) exp(− |β | ) ∑ ∑ √
2
2
m!
n!
n=0 m=0
1 2
1 2 ∞ (β α ∗ )n
= exp(− |α | ) exp(− |β | ) ∑
2
2
n!
n=0
1
1
= exp(− |α |2 ) exp(− |β |2 ) exp(β α ∗)
2
2
1 2 1 2
= exp(− |α | − |β | + β α ∗ ) = 0 .
2
2
Hệ quả của tính chất không trực giao của trạng thái kết hợp là bất kỳ một trạng
thái kết hợp nào cũng có thể được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, cụ
thể là
1
|α α | α d 2 α
π
1
1

1
2
=
d 2 α |α exp(− |α |2 − α + α α ∗).
(1.28)
π
2
2
Điều này chứng tỏ tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành hệ quá đủ.

α

=

Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định tối thiểu.
Để chứng tỏ trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định tối thiểu ta đưa
vào hai đại lượng không thứ nguyên X, P và được biểu diễn thông qua hai toán tử
tương ứng là Xˆ , Pˆ được định nghĩa
mω ˆ
h¯
x,
ˆ P=
pˆ ,
h¯
mω
trong đó x, p là các đại lượng có thứ nguyên tương ứng với tọa độ và xung lượng.
Xˆ =

ˆ Pˆ được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, hủy photon của trường
Các toán tử X,

điện từ dưới dạng
1 †
i †
Xˆ =
aˆ + aˆ , Pˆ =
aˆ − aˆ .
2
2
Mặt khác, Xˆ và Pˆ là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các đại lượng
vật lí đo được. Do đó, ta có thể tính được phương sai của mỗi đại lượng.
Phương sai của Xˆ
ˆ α )2
α | (∆X)2 |α = α | Xˆ 2 |α − ( α | X|
17

1
1
α | (aˆ† + a)
ˆ 2 |α − [ α | (aˆ† + a)|
ˆ α ]2
4
4
1 ∗2
1
1
= (α + α 2 + 2|α |2 + 1) − (α 2 + α ∗2 + 2αα ∗) = .
4
4
4

=

Tương tự ta tính được phương sai đối với Pˆ
ˆ α )2
α | (∆P)2 |α = α | Pˆ 2 |α − ( α | P|
1
1
= − α | (aˆ† − a)
ˆ 2 |α + [ α | (aˆ† − a)|
ˆ α ]2
4
4
1
1
1
= − (α ∗2 + α 2 − 2|α |2 − 1) + (α 2 + α ∗2 − 2αα ∗ ) =
4
4
4
Vậy ta thu được
1
.
16
Đây chính là giá trị nhỏ nhất ứng với hệ thức bất định Heisenberg. Như vậy, trạng

α | (∆X)2 |α α | (∆P)2 |α =

thái kết hợp là trạng thái có độ bất định tối thiểu, có nghĩa là ta có thể đo được
đồng thời hai đại lượng X và P với sai số ít nhất ứng với giới hạn lượng tử chuẩn.
1.1.4.

= |−α

l

(1.30)

là hàm lẻ theo α , nghĩa là

ch

và
18

|α

l

= −| − α l .

(1.31)

Nếu biểu diễn theo các trạng thái Fock, ta có:
2

|α

= Cch exp −|α | /2

ch

= 2Cch exp −|α |2/2
2

|α

= Cl exp −|α | /2

l

= 2Cl exp −|α |2/2

∞

∑

n=0
∞

∑

n=0
∞

∑

n=0
∞

∑

n=0

αn
|n + exp −|α |2/2
(n)!
α 2n
|2n ,
(2n)!
αn
|n − exp −|α |2/2
(n)!
α 2n+1
|2n + 1 .
(2n + 1)!

∞

∑

n=0

−α n

(n)!

|n

(1.32)

∞

∑

n=0

−α n

(n)!

|n
(1.33)

Ta thấy rằng khi biểu diễn sang trạng thái Fock thì các trạng thái kết hợp chẵn (lẻ)
là tổ hợp của các trạng thái ứng với số hạt là chẵn (lẻ).
Tiến hành chuẩn hóa các trạng thái kết hợp chẵn ta được

ch

α |α

2
= 4.Cch
exp(−|α |2 )
ch

∞

(αα ∗)2n
2n|2n

∑
n=0 (2n)!

2
= 4.Cch
exp(−|α |2 )cosh(|α |2) = 1

⇒ Cch = (1/2) exp (|α |2) / cosh(|α |2)

Làm tương tự cho trạng thái kết hợp lẻ, ta được

Cl = (1/2) exp (|α |2)/ sinh(|α |2)/2
Có thể dễ dàng rút ra một số tính chất của các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp
lẻ như sau
a) Các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ không trực giao với nhau nhưng
các trạng thái kết hợp chẵn lại trực giao với trạng thái kết hợp lẻ
Thật vậy
ch

α |β

ch

1
1
= Cch (α )Cch (β ) exp(− |α |2) exp(− |β |2)
2
2
2n
∞ ∞

2m
∗
β
α
× ∑ ∑
2n | 2m
(2m)! (2n)!
n=0 m=0
19

1 2
1 2 ∞ ∞
= Cch (α )Cch (β ) exp(− |α | ) exp(− |β | ) ∑ ∑
2
2
n=0 m=0

β 2m
α ∗2n
δnm
(2m)! (2n)!

1 2
1 2 ∞ (α ∗β )2n
= Cch (α )Cch (β ) exp(− |α | ) exp(− |β | ) ∑
2
2
n=0 (2n)!
1

1
= Cch (α )Cch (β ) exp(− |α |2) exp(− |β |2) cosh(α ∗β ).
2
2
Tiến hành tương tự ta được

α |β

l

l

1
1
= Cl (α )Cl (β ) exp(− |α |2) exp(− |β |2) sinh(α ∗β ),
2
2

và
ch

α |β

l

1
1
= Cch (α )Cl (β ) exp(− |α |2) exp(− |β |2)
2
2

2n
∞ ∞
2m+1
∗
β
α
∑ ∑ (2m + 1)! (2n)! 2n | 2m + 1 = 0.
n=0 m=0

Tổng quát
i

α |α

j

= δi j ,

i, j = ch, l.

(1.34)

b) Các trạng thái kết hợp chẵn và kết hợp lẻ có thể được chuyển đổi qua lại
lẫn nhau bằng cách tác dụng toán hủy aˆ lên chúng.
Thật vậy
|α |2 ∞ α 2n
aˆ | α ch = 2Cch exp(−
)∑
aˆ | 2n
2 n=0

Cch
20

ch

.

Điều này có nghĩa là toán tử hủy aˆ có tác dụng như là một toán tử quay giữa | α

ch

và | α l .

c) Khác với các trạng thái kết hợp là hàm riêng của a,
ˆ các trạng thái kết hợp

chẵn và kết hợp lẻ là hàm riêng của aˆ2 ứng với các trị riêng α 2
Thật vậy
2

aˆ | α

ch

|α |2 ∞ α 2n 2
)∑
aˆ | 2n
= 2Cch exp(−
2 n=0

(2n)!
|α |2 ∞ α 2n
)∑
2n(2n − 1) | 2n − 2
= 2Cch exp(−
2 n=0
(2n)!
|α |2 ∞
α 2n−2
2
= 2α Cch exp(−
)∑
| 2n − 2
2 n=0
(2n − 2)!
= α2 | α

ch

.

(1.35)

Tương tự,
aˆ2 | α

l

= α2 | α l.

(1.36)

d) Tập hợp tất cả các trạng thái KHC và KHL tạo thành một hệ đủ, nghĩa là
1
π

∑

j=ch,l

|α

j j

α |d 2α = 1.

(1.37)

1.2. Trạng thái nén
1.2.1.

Ý tưởng về trạng thái nén

Khái niệm về các trạng thái nén được đưa ra bởi Stoler vào năm 1970 và
Hollenhorst đặt tên năm 1979. Trạng thái nén đã được thực nghiệm khẳng định
ˆ Bˆ lần lượt là các toán tử biểu diễn cho hai đại
vào năm 1987. Với hai toán tử A,
lượng vật lí A, B. Từ (1.2) và (1.3) nếu chúng ta cụ thể hóa Aˆ = Xˆ và Bˆ = Pˆ thì ta
dễ dàng tính được
ˆ P]

ˆ = 1 aˆ† + aˆ , i aˆ† − aˆ
Cˆ = [X,
2
2
21

=

i
4

i
aˆ† , aˆ † − aˆ† , aˆ + a,
ˆ aˆ† − [a,
ˆ a]
ˆ = .
2

Đối với các trạng thái Fock ta lại có
(∆X)2 = Xˆ 2 − Xˆ 2
2
1
1
†
= n| aˆ + aˆ |n − [ n| aˆ† + aˆ |n ]2
4
4
1
= ( n| aˆ†2 |n + n| aˆ2 |n + n| aˆ† aˆ |n + n| aˆaˆ† |n )

4
1
− ( n| aˆ† |n + n| aˆ |n )2
4
1
1
= (n + n + 1) = (2n + 1) .
4
4
Tương tự ta có
(∆P)2 = Pˆ 2 − Pˆ 2
2
1
1
= − n| aˆ† − aˆ |n + [ n| aˆ† − aˆ |n ]2
4
4
1
= − ( n| aˆ†2 |n + n| aˆ2 |n − n| aˆ†aˆ |n − n| aˆaˆ† |n )
4
1
1
+ ( n| aˆ† |n − n| aˆ |n )2 = (2n + 1) .
4
4
Do đó ta thu được
2

(∆ X)

(∆ P)

2

2
| Cˆ |
1
1
2
=
.
= (2n + 1) ≥
16
16
4

(1.38)

Đối với trạng thái kết hợp ta có
1
α | (∆ X)2 |α = α | (∆ P)2 |α = ,
4
hay
2
1
| Cˆ |
α | (∆ X) |α α | (∆ P) |α =
=
.
(1.39)

16
4
Biểu thức (1.38) và (1.39) cho ta thấy rằng nếu ở trạng thái kích thích các trạng
2

2

thái Fock luôn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg, còn đối với các trạng thái
22

Tinh chất nén và phản chùm trạng thái SU(2)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về