skkn hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích 12

MỤC LỤC
Trang
A.Đặt vấnđề .........................................................................................................2
I.Lời nói đầu...............................................................................................................2
II.thực trạng của vấn đề..............................................................................................2
B.Giải quyết vấn đề
I. h c ại

t

...........................................................................3

ạng t n ha đ

c

ng.........................................................3

II. C c ạng bài tập th ờng gặp.................................................................................3
C.Kêt luận.........................................................................................................20

1


HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lời nói đầu
Tr ng ch ơng trình ình h c gi i t ch p 12 b n cạnh c c ạng t n u n
thu c nh : vi t ph ơng trình ặt ph ng ph ơng trình đ ờng th ng …. Ta c n gặp
c c bài t n tì v tr của đi

đ ờng th ng ha
ặt ph ng i n uan đ n
t điều
i n cực tr .
à ạng T n hó, ch có tr ng ch ơng trình n ng ca và đề tu n
inh ại h c ca đ ng.
Tr ng u trình trực ti p gi ng ạ và nghi n c u t i thấ đ
à ạng t n
h ng ch hó à c n h ha
i cu n đ c c c
h c inh h gi i.
u ta
bi t
ng inh h ạt và h
i n th c của hình h c thuần t
v ctơ ph ơng
ph p t a đ gi i t ch thì có th đ a bài t n tr n về
t bài t n u n thu c.
II.Thực trạng vấn đề
Tr ng th c t gi ng ạ t i nhận thấy nhiều h c inh b ất i n th c cơ b n
tr ng hình h c h ng gian h ng n
v ng c c i n th c về hình h c v c tơ
ph ơng ph p đ tr ng h ng gian. ặc bi t hi nói đ n c c bài t n về cực tr
tr ng hình h c thì c c
rất “ S ”. Tr c hi à chu n đề nà t i đã h
tở
2 p 12A và 12B v i t ng 90 h c inh t u đạt đ c nh au

S
T

ng
( %)

Không
nhận
bi t
đ c
60
66,7

hận bi t
nh ng không
bi t vận ng
20
22,2

hận bi t và
bi t vận ng
ch a gi i đ c
h àn ch nh
9
9,9

hận bi t và
bi t vận ng
gi i đ c bài
h àn ch nh
1
1.1

ng tr c thực trạng tr n v i tinh thần u th ch b
n nhằ gi p c c
h ng th hơn tạ ch c c
niề đa
u th ch
n t n ở ra
t c ch
nhìn nhận vận ng inh h ạt ng tạ c c i n th c đã h c tạ nền t ng ch c c
h c inh tự h c tự nghi n c u.T i đã ạnh ạn vi t chu n đề “
ng n h c
inh giải
t
i t n cực tr tr ng h nh h c giải t ch l 12”.
2


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Nh c lại
t
ạng t n hay đ c
ng.
1
lên
- i à hình chi u vu ng góc của
n (α).
- i t ph ơng trình đ ờng th ng
(qua M
và vu ng góc v i (α))
- Tì gia đi H của

và (α).
* u u cầu tì đi
đ i ng v i
ua
ặt ph ng (α) thì ta v n tì hình chi uH của M
n (α),
ng c ng th c trung đi
u ra t a đ
.
b.
:
- i t ph ơng trình tha
của
- i  d có t a đ th tha
t
-r uuuu
àr hình chi u vu ng góc của đi
n
hi

(α)

ud MH  0

-Tì t u ra t a đ của .
II. C c ạng i tậ th ờng gặ
1.Cac i t n cực tr liên qu n đến t
t đi
th
B i t n 1:

1, A2, ..An
1, k2,.,kn
(α).
uuur
uuuur
uuuur
k1 MA1  k2 MA2  ...  kn MAn
(α)

điều i n ch tr
1+ k2+ ….+ n

c.

.

:
uur
uuur
uuur r
-Tì đi I th a k1 IA1 + k 2 IA2 +...+ k n IAn  0
uuuur
uuuuur
uuuuur
uuur
uuur
k
MA
+
k

MA
+...+
k
MA
=
(k
+
k
+...+
k
)MI
=
k
MI
1
-Bi n đ i : 1
2
2
n
n
1
2
n
uuur
 Tì v tr của
hi MI đạt gi tr nh nhất
V

1: Ch
ặt ph ng (α): 2 – 2 + 3z + 10 = 0 và ba đi

tr n ặt ph ng (α) a ch :
B -2;1;2 , C1;-7;0 . Tì đi
uuuur

uuur

uuur

uuuur

uuur

uuur

A 1;0;1 ,

1) MA + MB  MC có gi tr nh nhất.
2) MA -2MB  3MC có gi tr nh nhất.

3


uuur

i đi

uuur uuur

r

th a GA + GB +GC = 0 thì à tr ng t của ta gi c ABC và
G(0;-2;1)
uuuur uuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuuur uuur
uuuur
1) Ta có MA + MB  MC = MG + GA + MG  GB  MG  GC = 3 MG có gi tr
:

nh nhất hi
à hình chi u vu ng góc của
n ặt ph ng (α)
r
nhận n = (2; -2; 1) à v ct ch ph ơng
x = 2t

y = -2-2t
h ơng trình tha
z = 1+3t

T ađ
ng v i t à nghi ph ơng trình:
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0  17t  17  0  t  1
uuuur uuur uuur
ậ v i (-2 0 -2) thì MA + MB  MC có gi tr nh nhất.
uur uur uur r
2)
i I(
z) à đi th a IA -2IB  3IC  0
Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)
23

3
 x = 4; y = - ; z = - vậ I(4;  23 ;  3 )
2
2
2
2
uuuur uuur uuur uuur uur
uuur uur
uuur uur
uuur
Ta có: MA -2MB  3MC = MI+IA -2(MI  IB)  3(MI  IC) = 2MI có gi tr nh nhất
hi

à hình chi u vu ng góc của I n ặt ph ng (α)

x = 4+2t

23

h ơng trình tha
I: y =  -2t
2

3

z
=

+3t


2
T ađ
ng v i t à nghi ph ơng trình:
73
73
23
3
0t
2(4  2t)  2(   2t)  3(   3t)  10  0  17t 
2
34
2
2
ậ v i M( 

uuuur uuur uuur
5
245 135
;
;
) thì MA -2MB  3MC đạt gi tr nh nhất.
17
34
17

B i t n 2:
kn = k .
k1MA12

 k2 MA22

1

A2 ….An

1,

(

k2 ….

n

)

1+

k2+ ….+
=

 ...  kn MAn2

uur
uuur
uuur r
I th a k1 IA1 + k 2 IA2 +...+ k n IAn  0

:

- Tì đi

-Bi n đ i : T = k1MA12  k 2MA 22  ...  k nMA n2 =
4


uuur

uur

uuur

= (k1 +...+ k n )MI2 + k1IA12  k 2IA 22  ..  k nIA 2n + 2 MI(k1 IA1 +..+ k n IAn )
= kMI2 + k1IA12  k 2IA 22  ...  k nIA 2n
Do k1IA12  k 2IA 22  ...  k nIA 2n h ng đ i Bi u th c T nh nhất h ặc n nhất hi
nh nhất ha
à hình chi u vu ng góc của I n ặt ph ng ha đ ờng th ng.
:
T
1+ k2+ ….+ n = k > 0,
-

k1+ k2+ ….+

n

I

= k < 0,

t.
V

1: Ch
ặt ph ng (α): + 2 + 2z + = 0 và ba đi A(1; 2; -1),
B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)
1) Tì
tr n ặt ph ng (α) a ch
A2 + MB2 có gi tr nh nhất.
2) Tì
tr n ặt ph ng (α) a ch
A2 - MB2 – MC2 có gi tr n
nhất.

Gi :1) G i đi

I(

uur

uur

r

z) th a IA + IB = 0 thì I à trung đi
uuur

uur

uuur

uur

3 3
AB và I (2; ;  )
2 2

Ta có: MA2 + MB2 = (MI + IA) 2 +(MI + IB) 2
uuur uur uur
 IA 2 + IB2 +2MI 2 +2MI(IA + IB) = IA 2 + IB2 +2MI2
Do IA 2 + IB2 h ng đ i n n A2 + MB2 nh nhất hi I2 có gi tr nh nhất ha
à hình chi u vu ng góc của I n (α) r
ờng th ng I
ua đi I và có vtcp n α  (1; 2; 2)

x = 2+t

3

h ơng trình tha
I: y = + 2t
2

3

z
=

+2t

2
T ađ

ng v i t à nghi ph ơng trình:
3
3
2  t  2(  2t)  2(  2t)  7  0  9t  9  0  t  1
2
2
1 7
 M (1;  ;  )
2 2

5


2

:
2

+ MB2

AB 2
+ MB = 2MI +
, do AB2
2
2

2

2

(α).
uur uur uur r
2) i (
z) à đi th a JA - JB -JB = 0
Hay (1  x; 2  y; 1  z)  (3  x;1  y; 2  z)  (1  x; 2  y;1  z)  (0;0;0)
3  x  0

 3  y  0  J(3; 3;0)
z  0

uuur uur
uuur uur
uuur uur
Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) 2 - (MJ + JB) 2  (MJ + JC) 2

uuur uur
uur uur
 J A 2  JB2  JC2  MJ 2 + 2MJ(JA  JB  JC)

 JA 2  JB2  JC2  MJ 2
2
2
2
Do JA  JB  JC h ng đ i n n MA2 - MB2 – MC2
ha
à hình chi u của tr n ặt ph ng (α).

ờng th ng

ua đi

n nhất hi

nh nhất

r
I và có vtcp n α  (1; 2; 2)

x = 3+t

Ph ơng trình tha
: y = -3+ 2t
z = 2t

T ađ
ng v i t à nghi ph ơng trình:

3  t  2(3  2t)  2.2t  7  0  9t  4  0  t  
23 35 8
; ; )
9
9
9
23 35 8
ậ v i M ( ;  ;  ) thì
9
9
9

4

9

 M(

V

2: Cho đ ờng th ng

A2 - MB2 – MC2 có gi tr
có ph ơng trình:

x-1 y-2 z-3
=
=
và c c đi
1
2
1

1 -2) B( 2 -1 2) C( 3 3). ã tì đi
tr n
2
2
1) MA - 2MB có gi tr n nhất
2) MA2 + MB2 + MC2 có gi tr nh nhất.

1)

i đi

I(

z) à đi

n nhất.
A(0;

a ch

uur
uur: r
th a IA -2 IB = 0

6


Hay: ( x;1  y; 2  z)  2(2  x; 1  y; 2  z)  (0;0;0)
4  x  0

 3  y  0  I(4; 3;6)
- 6+z  0

uuur uur
uuur uur
Ta có A2 - 2MB2 = (MI + IA) 2  2(MI + IB) 2

uuur uur
uur
 IA 2  2IB2  MI 2 + 2MI(IA  2 IB)  IA2  2IB2  MI2
Do IA 2 - 2 IB2 h ng đ i n n A2 -2 MB2 n nhất hi I2 có gi tr nh nhất

ha
à hình chi u vu ng góc của I n .
x = 1+t
r

ờng th ng có vtcp u  (1;2;1) , ph ơng trình tha
: y = 2+ 2t
z = 3+ t

uuur
M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) hi
à hình chi u

uuur r

vu ng góc của I n n n IM.u  0  6t  4  0  t  

2
1 2 7
 M( ; ; )
3
3 3 3

1 2 7
A2 - 2MB2 có gi tr n nhất
3 3 3
uuur uuur uuur r
2)
i đi
(

z) à đi th a GA + GB +GC = 0 thì
à tr ng t ta gi c
ABC và (2; 1; 1).
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) 2 + (MG + GB) 2 +(MG + GC) 2
ậ v i M ( ; ; ) thì

uuuur uuur
uuur uuur
2
2
2
2
= GA  GB  GC +3MG + 2MG(GA  GB  GC)
2
2
2
2
= GA  GB  GC +3MG
Do GA 2  GB2  GC 2 h ng đ i n n A2 + MB2 + MC2 nh nhất hi
nhất ha
à hình chi u vu ng góc
của
n đ ờng th ng .
uuuur
M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)
Khi
à hình chi u vu ng góc của I

n đ ờng th ng
uuuur r
1
1 5
GM.u  0  6t  3  0  t    M ( ;1; )
2
2 2

nh

thì

1 5
A2 + MB2 + MC2 có gi tr nh nhất.
2 2
B i t n 3: Cho
(α)
: + + +
A,B
(α) .
(α)
+
.
:
ậ v i M ( ;1; ) thì

7


u (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A B nằ về hai ph a v i (α).

A + B nh nhất hi thu c AB ha
à gia đi của (α) và AB.
2. u (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A B nằ về
t ph a v i (α).
hi đó ta tì đi A đ i ng v i A ua (α). Do A + B = A + B à đạt
gi tr nh nhất hi thu c A B ha
à gia đi của (α) và A B.
1.

V
1: Tr ng h ng gian v i h t a đ
z ch
ặt ph ng (α) có ph ơng
trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai đi A(1 1 2) B(2 0 2). Tì đi
tr n ặt
ph ng (α) a ch
A + B có gi tr nh nhất
:
Tha t a đ của A và B và ph ơng trình (α) ta thấ hai đi nằ về hai ph a của
(α).
Ta có A + B có gi tr nh nhất uuu
hir à gia đi của AB và (α).
ờng th ng AB ua đi B nhận AB  (1; 1;0) à v ct ch ph ơng
h ơng trình tha
T ađ

x  2  t

của AB:  y  t
z  2



ng v i t à nghi

ph ơng trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0
 3t  2  0  t  

4 2
3 3

Hay M ( ; ; 2) à đi
V

2
3

cần tì .

2: Ch
ặt ph ng (α) có ph ơng trình: x – y + 2z = 0 và ba đi
A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). ã tì đi
tr n d sao cho
1) A + B có gi tr nh nhất
2) MA - MC có gi tr n nhất.

:
1) Tha t a đ của A và B và ph ơng trình (α) ta thấ hai đi
của (α).
i A à đi
đ i ng v i A ua (α) đ

A + B có gi tr
gia đi của A B v i (α).
ờng th ng AA đi ua A và vu ng góc v i (α) AA nhận
v ct ch ph ơng

nằ

về

t ph a

nh nhất hi

à

uur
n  (1; 1;2) à

8


x  1 t

AA :  y  2  t
 z  1  2t


h ơng trình tha

T a đ hình chi u vu ng góc

của A tr n (α) ng v i t của ph ơng trình
1
2

3 3
2 2

1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0  6t – 3 = 0 hay t =  H( ; ; 0)
à trung đi

Do

uuur

x A ' = 2x H  x A  2

AA n n y A ' =2y H  y A  1  A '(2; 1; 1)
z = 2z  z  1
H
A
 A'

A B có vtcp A'B  (1;0; 3)
x  2  t

A B: y  1
z  1  3t


h ơng trình tha
T ađ

ng v i t à nghi

ph ơng trình:

2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0  5t  3  0  t 
13
4
;1;  ) thì
5
5

ậ v i M(

A+

13
4
3
hay M ( ;1;  )
5
5
5

B có gi tr nh nhất.

2) Tha t a đ của A và C và ph ơng trình (α) ta thấ hai đi
nằ về hai ph a

của (α). ậ n n A và C nằ c ng
t ph a đ i v i (α).
Ta thấ MA - MC  MA' - MC  A'C .Nên MA - MC đạt gi tr
n nhất khi
thu c A C nh ng ở ph a nguuuàiur đ ạn A C t c
à gia đi của A C và (α).
ờng th ng A C có vtcp A'C  (1; 3; 3)
x  2  t

A C: y  1  3t
z  1  3t


h ơng trình tha
T ađ

ng v i t à nghi

ph ơng trình:

2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0  4t  3  0  t 
5
4

5
4

5
4

ậ v i M ( ;  ;  ) thì MA - MC có gi tr

5 5 5
3
hay M ( ;  ;  )
4
4 4 4

n nhất.

B i t n 4:

.

,B
+

.
:

a ph ơng trình của về ạng tha
vi t t a đ của th
- T nh bi u th c A + MB theo t t hà
(t) = MA + MB

tha

t
9

- T nh gi tr nh nhất của hà
- T nh t a đ của và t uận
V

1: Ch đ ờng th ng  d :
-3). ã tì

đi

tr n

(t) t đó u ra t

x-1 y + 2 z-3
=
=
và hai đi
2
2
1

a ch

C+

C(-

1 1)

(3

đạt gi tr nh nhất.
:

 x  1  2t

ờng th ng có ph ơng trình tha
 y  2  2t
z  3  t
 uuur
r
ua đi
(1 -2 3) có vtcp u  (2; 2;1) và CD  (7;5; 4)
r uuur
Ta có u . CD = 14 -10 – 4 = 0  d  CD

t ặt ph ng ( ) ua C và vu rng góc v i
( ) ua đi C(- 1 1) và nhận u  (2; 2;1) à v ct ph p tu n
h ơng trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
i
thu c th a C +
đạt gi tr nh nhất hi
à gia đi
của và
mp(P).
T ađ
ng v i t à nghi của ph ơng trình:
2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0  9t + 18  0  t  2
ậ

(-3; 2; 1) thì C +
đạt gi tr nh nhất bằng: 2  2 17
B i t n 5:
.
 d1, N d2
1,d2
trên.
:
 d1 và  d2 ( t a đ th tha
- Lấ
).
-

r r
uuuur r
uuuur r
u
MN
.
u

0
MN
.
u

0
i i h ph ơng trình
và
( 1 , u2 à c c v ctơ ch

1
2

ph ơng của
- Tì t a đ
V

1

và

2

và

).
t uận.

1: Ch hai đ ờng th ng

d1 :

x-5 y+1 z -11
x+ 4 y-3 z - 4
=
=
=
=
, d2 :
1

2
-1
7
2
3

1) Ch ng inh 1, d2 ch nhau
 d1 và  d2 a ch đ
2) Tì đi
1) d1 qua M1(

ài

ng n nhất.

:
uur
-1 11) có vtcp u1  (1;2; 1)
10


uur

d2 qua M2(-4; 3; 4) có vtcp u2  (7;2;3)
uur uur uuuuuur

Ta có [ u1 , u2 ] M1M 2 = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168  0
Hay d1 và 2 ch nhau.
2). M  d1 và  d 2 a ch đ ài
ng n nhất hi và ch hi

đ ạn vu ng góc chung của 1 và 2.
h ơng trình tha
của hai đ ờng th ng

àđ

ài

x  5  t
x  4  7t


d1: y  1  2t , d2: y  3  2t
z  11  t
z  4  3t



M  d1 nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N  d 2 nên N(-4 – t 3 +2t

uuuur
MN  ( - t - t – 9 2t – 2t + 3t + t – 7)
uuuur r

MN
.u1  0
6t ' 6t  6  0
t  2






Ta có  uuuur r
62
t
'

6
t

50

0
MN
.
u

0

t '  1
2


đó
ậ v i

(

3 9) và (3; 1; 1)

(

3 9) và (3; 1; 1) thì đ

ài

ng n nhất bằng 2 21 .

x  2  t
2: Ch đ ờng th ng : y  4  t và hai đi
 z  2


V
đi

+ 3t )

tr n

a ch ta

gi c

A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tì

AB có i n t ch nh nhất
:

- Lấ đi

góc của
- Ta

gi c

tr n
n AB

i

à hình chi u vu ng

AB có i n t ch S =

1
AB.MH đạt gi
2

tr nh nhất hi
nh nhất ha
à đ ạn
vu ng góc chung của AB và .
r
Ta thấ
ua 1(2; 4 -2) có vtcp u  (1;1;0)

uuur
uur
AB qua A(1; 2; 3) và AB  (0; -2;-2) = 2u1
uur

v i u1  (0;1;1) à v c tơ ch ph ơng của AB

11


x  1

AB y  2  t '
z  3  t '


h ơng trình tha

uuuur
M(2 + t; 4+ t; -2)  d ,H(1; 2+ t ;3+t )  AB , MH  ( -t -1 t – t -2 t +5)
uuuur r

t ' 2t  3
t '  3
MH.u  0


uuuu
r
u
u
r




Ta có
2t ' t  3
t  3

MH.u1  0
ậ

(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) hi đó

i n t ch S MAB 

= 2 3 , AB = 2 2

1
AB.MH  6
2

x  0
3: Ch đ ờng th ng : y  t . Tr ng c c
z  2  t


V

v i c hai đ ờng th ng
có b n nh nh nhất.

và tr c

ặt cầu ti p

hã vi t ph ơng trình

c

ặt cầu (S)

:
i
ặt cầu (S) có t I b n nh ti p c v i tại
ti p c v i
tại
Ta thấ 2 = I + I ≥
đó ặt cầu (S) có đ ờng nh nh nhất à 2R =
MN hi và ch hi
nh nhất ha
à đ ạn vu ng góc chung của và .
r
ờng th ng ua (0 0 2) có vtcp u  (0;1; 1)
r
ua (0 0 0) có vtcp i  (1;0;0)
r r

uuuur

[ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2  0 n n và
i M(0; t; 2- t) d

ch

nhau.

uuuur
(t 0 0) Ox và MN  ( t -t; t – 2)

uuuur r

MN
.u  0
t  t  2  0
t  1





Ta có  uuuur r
t
'

0
MN
.
i

0

t '  0



ậ

(0 1 1)

(0 0 0) ≡
MN

2
1
1
ặt cầu (S): x 2  ( y  ) 2  ( z  ) 2 
2
2

ặt cầu (S) có t
h ơng trình
2. C c

1 1
2 2

I (0 ; ; ) b n

nh

=

i t n cực tr liên qu n đến v tr c

2
2
1
2

đ ờng th ng

ặt h ng.

12


B i t n 1:

,B.
(α)
.

:
à hình chi u vu ng góc của B n ặt ph ng
(α) hi đó ta gi c AB vu ng tại
và h ng
c ch (B (α)) = B
AB. ậ (B (α)) n nhất
bằng AB hi A ≡
hi đó (α) à ặt ph ng đi ua
A và vu ng góc v i AB.
i

V

1: i t ph ơng trình ặt ph ng (α) đi ua đi
(1 -2 3) và c ch đi
I(3 -1 -2)
t h ng n nhất.
G i:
(α) c ch đi
I(3 -1 -2)
t h ng n nhất hi (α) à ặt ph ng đi ua và
vu ng góc v i I.
uur
(α) nhận DI  (2; 1; -5) à v ct ph p tu n
h ơng trình ặt ph ng(α): 2( -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0  2x + y – 5z + 15 = 0

V

2: Ch

Tr ng c c
(S) có b n

hai đi
A(2 1 3) B(1 -1 1) g i (α) à ặt ph ng ua B.
ặt cầu t A và ti p c v i (α) hã vi t ph ơng trình ặt cầu
nh n nhất.

:
ặt
uuu
r cầu (S) có b n nh = (A (α)) n nhất hi (α) ua B và vu ng góc v i AB
BA  (1; 2; 2) à v ctơ ph p tu n của (α)

R = AB=3
h ơng trình ặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.
B i t n 2:
.
(α)
(α)

i

:
à hình chi u vu ng góc của A n

ặt ph ng

(α)
à hình chi u vu ng góc của A lên ∆
Ta có (A; (α)) = A
A
n nhất thì H≡
hi đó (α) à ặt ph ng đi ua ∆ và vu ng góc
v i A . Hay (α) ua ∆ và vu ng góc v i p(∆ A).
V
1: Ch ba đi A(2 1 3) B(3 0 2) C(0 -2 1). i t ph ơng
trình ặt ph ng (α) đi ua hai đi A, B và c ch C
t h ng n
nhất.

13

:
ặt ph ng (α) đi ua hai đi A B và c ch C
t h ng
hai
đi A B vàuuuvu
ng góc v i p(ABC).
uuur
r
AB  (1; 1; 1) , AC  (2; 3; 2)
r uuur uuur
(ABC) có v ctơ ph p tu n n  [AB, AC]  (1;4; 5)
uur r uuur
(α)cóv ctơph ptu n n  [n, AB]  (9  6; 3)  3(3;2;1)
h ơng trình (α): 3( – 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0
 3x + 2y + z – 11 = 0
B i t n 3:
(α)
(α)
(α)
.
:
i à hình chi u của B n ∆ ta thấ (B; ∆) = B
AB
ậ h ng c ch t B đ n ∆ n nhất hi
A ≡ ha ∆ à đ ờng th ng nằ tr ng
(α) và vu ng góc v i AB.
i à hình chi u vu ng góc của
B n (α) hi đó (B (α)) = B ≥ B
ậ h ng c ch t B đ n ∆ nh nhất hi
≡ ha ∆ à đ ờng th ng đi ua hai

đi A, K.
V
1: Cho ặt ph ng (α): 2 – 2 + z + 1 = 0 và đi
i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆ nằ tr n (α) ua đi
)
t h ng :
1) h nhất .
2) L n nhất.
:
uur
Ta thấ (α)có v ctơ ph p tu n n  (2; 2;1)
1) i à hình chi u vu ng góc của B n (α)

n nhất hi (α) đi ua

(α).

A (-3; 3; -3).
A và c ch đi

B(2 3

x  2  2 t

h ơng trình B : y  3  2t
z  5  t


T a đ đi

ng v i t à nghi

của ph ơng trình:
14


2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0  t  2 hay H(-2; 7;
3)
uuur
Ta thấ d(B ∆) nh nhất hi ∆ đi ua hai đi A, H
vậ AH  (1;4;6) à v c tơ
ch ph ơng của ∆.
h ơng trình của ∆:

x+3 y-3 z +3


1
4
6

2) Ta thấ
(B ∆) n nhất hi ∆ à đ ờng th ng nằ
góc v i AB.
uur uuur uur
∆ có v ctơ ch ph ơng u  [AB, n ]  (16;11; 10)
h ơng trình của ∆:

V

tr ng (α), qua A và vu ng

x+3 y-3 z +3


16
11 10

2: Ch hai đi

x  1  t

A(2 1 -1) B(-1 2 0) và đ ờng th ng : y  0
z  t


i t ph ơng trình ặt ph ng (α) đi ua và B.
i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆1 đi ua B c t a ch h ng
c ch t A đ n ∆1 n nhất.
3) i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆2 đi ua B c t a ch h ng
c ch t A đ n ∆2 nh nhất.
:r
uuur
ờng th ng ua đi
(2 0 0) có vtcp ud  (1;0; -1) , MB  (2;2;0)
1)
2)

1)

uur uuur
uur
[ud , MB]  (2;2;2)  2(1;1;1)  2n
uur
(α) đi ua B nhận n  (1;1;1) à v ctơ ph p tu

h ơng trình (α): + + z – 1 = 0
2)
i
à hình chi u của A n (α) đ
B,H.

h ơng trình tha

T ađ

ng v i t à nghi

n

(A ∆1) nh nhất hi ∆1 đi ua hai đi

x  2  t

A : y  1  t
z  1  t


ph ơng trình:

2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0  3t  1  0  t  
uuur
8 4 4
BH  ( ; ; ) 
3 3 3
r
uur
Ta thấ u1 và ud

5 2 4
1
 H( ; ; )
3 3 3
3

uur
4
4 uur
(2; 1; 1)  u1  ∆1 nhận u1 à
3
3

h ng c ng ph ơng n n

v c tơ ch ph ơng

và ∆1 c t nhau (

c ng thu c

ặt

ph ng (α))

15


ậ ph ơng trình ∆1:

x+1 y-2 z


2
1 1

3)
i
à hình chi u của A n ∆2 ta có (A ∆2 ) = A
AB đ (A ∆2 ) n
nhất hiuur uuu
≡ rB ha ∆2 nằ tr ng (α)và vuuurng góc v i AB.
uur
Ta có [n , AB]  (0; 4;4)  4(0;1; 1)  4u2  ∆2 nhận u2 à v c tơ ch ph ơng
r
uur
ặt h c u2 và ud h ng c ng ph ơng n n và ∆2 c t nhau ( c ng thu c ặt
ph ng (α))
 x  1

h ơng trình ∆2: y  2  t

 z  t


B i t n 4:

(α)
(α)

(α)
.

(α)
.
:
i

à đ ờng th ng ua A và ng
ng v i B à gia đi của v i (α).
t ( ) à ặt ph ng (d1 ∆)
và I à hình
chi u vu ng góc của B n ( ) và 1.
Ta thấ h ng c ch gi a ∆ và à B và
uur uur uur
B
BI n n B
n nhất hi I ≡
hi đó ∆ có vtcp u  [BI , n ] .

V

1

1: Ch đ ờng th ng :

x-1 y-2 z -3


1
2
1

ặt ph ng (α): 2 – – z +

và đi A( -1; 1; 1). i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆ nằ
ch h ng c ch gi a ∆ và à n nhất.
:

=0

tr n (α) đi ua A a

uur
r
ờng th ng d có vtcp u  (1 2 -1) (α) có vtpt n  (2; -1; 1)

h ơng trình tha

x  1  t

: y  2  2t

z  3  t


i B à gia đi của và (α) t a đ B ng v i t à nghi
2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0  t = -1  B(0; 0; 4)
t 1 à đ ờng th ng ua A và ng ng v i

ph ơng trình:

16


h ơng trình tha

x  1  t

đ ờng th ng 1: y  1  2t
z  1  t


i I à hình chi u vu nguurgóc của B n 1
 I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), BI  (-1 + t; 1 + 2t;-5– t)
uur r
Ta có BI.u  0  -1 + tuu+r 2(1uur+ uu
2t)
–(-5– t) = 0  t = -1  I(-2; -1; 2)
r
ờng th ng ∆ có vtcp u  [BI , n ] = (-5; -10; 4)
h ơng trình ∆:
V

∆:

2: Ch

x+1 y-1 z -1


5 10
4

ặt ph ng (P):

+

– z + 1= 0 đi

A(1 -1 2) và đ ờng th ng

x+1 y
z-4
= =
. Tr ng c c đ ờng th ng đi ua A và
2
1
3

hã vi t ph ơng trình đ ờng th ng

ặt ph ng (α) ua A và
=

nằ tr n (α).

ng

a ch
:

ng

ng

h ng c ch gi a và ∆

ng v i (P)
n nhất.

ng v i ( ) có ph ơng trình: x + y – z + 2= 0

uur
r
n
ờng th ng ∆ có vtcp u  (2 1 -3) (α) có vtpt   (1;1;-1)

h ơng trình tha
i B à gia đi

x  1  2t

∆: y  t
z  4  3t



của ∆ và (α) t a đ B ng v i t à nghi

-1+ 2t + t – (4- 3t) + 2 = 0  t =
t ∆1 à đ ờng th ng ua A và
h ơng trình tha
i

ph ơng trình:

1
1 5
 B(0; ; )
2
2 2

ng

ng v i ∆

x  1  2 t

đ ờng th ng ∆1: y  1  t
z  2  3t


à hình chi u vu ng góc của B n ∆1  H(1 + 2t; -1 + t; 2 – 3t)

uur r

uuur
3
3
1
BH  (1 + 2t; t - ; -3t).Ta có BI .u  0  2 + 4t + t - + 9t = 0  t = 
2
2
28
r
uuur 13
43 3
1
1
 BH =( ;  ;
) = (26; -43; 3) = u1
14
28 28
28
uu28
r uur uur
ờng th ng d có vtcp ud  [u1, n ] = (40; 29; 69)
17


h ơng trình d :

x-1 y+1 z -2


40

29
69

.
B i t n 5:
(α)
(α).

(α)
(α)
.

:
đ ờng th ng 1 ua A và ng ng v i .
Trên d1 ấ đi
B h c A à đi
c đ nh g i
à hình chi u vu ng góc của B n (α) và ∆.
BH BK
Ta có in( ∆) =
≥
.
vậ góc ( ∆) nh nhất hi ≡
AB AB
đ ờng th ng A .
uur uur uur
0
óc ( ∆) n nhất bằng 90 hi ∆  và ∆ có vtcp u  [ud , n ]
V

1: Ch

th ng :

ặt ph ng (α): 2 + 2 – z –

= 0 đi

ha ∆ à

A(1 2 -2) và đ ờng

x+2 y-1 z -3


.
1
1
1

i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆1 nằ
góc n nhất.
2) i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆2 nằ
góc nh nhất.
1)

tr n (α) đi ua A và tạ v i

t

tr n (α) đi ua A và tạ v i

t

:
r
có v ctơ ud  (1;1;1) ua đi
r r
ặt h c n ud  0 n n h ng ng ng h ặc

r
(α) có v ctơ ph p tu n n  (2;2; -1)

(-2 1 3). Ta thấ A  (α)
nằ tr n (α).
1) ∆1 tạ v i
t góc n nhất
hi ∆  d
uur uur 1uur
đó ∆1 có v ctơ ch ph ơng u1  [ud , n ] = (-3; 3; 0 ) = -3(1; -1; 0)
x  1  t

của ∆1: y  2  t
 z  2


h ơng trình tha
t đ ờng th ng

2)

h ơng trình
i

1:

1

qua A và

x-1 y-2 z +2


1
1
1

ng
ấ đi

ng v i
B(2; 3; -1) d1.

à hình chi u vu ng góc của B n (α)
18


h ơng trình tha

của B

x  2  2 t

y  3  2t t a đ
z  1  t


của

ng v i t à nghi

của

ph ơng trình : 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) – (- 1 – t) – 7 = 0
 9t + 4 = 0 hay t = 

∆2 tạ v i

4
10 19 5
 K( ; ; )
9
9 9 9

t góc nh nhất hi nó đi ua hai đi
uur

uuur

1 1 13

)
9 9 9

A và , AK  ( ; ;

uuur

∆2 ua A(1 2 -2) có v ctơ ch ph ơng u2  9.AK  (1;1;13)
h ơng trình ∆2 :
V
d:

2:

x-1 y-2 z +2


1
1
13

Ch

x-1 y-2 z -3


.
2
1
1

tạ v i AB

hai đi

A(1 0 0)

B( 0 -2 0) và đ ờng th ng

i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆ ua A vu ng góc v i

và

t góc nh nhất.
i:

r
có v ctơ ud  (2;1;1)

ờng th ng
t ặt ph
ng (α) ua A và vu ng góc v i  ∆ nằ tr n (α)
r
(α) nhận ud  (2;1;1) à v ctơ ph p tu n.
h ơng trình (α): 2 + + z – 2 = 0.
r
i à hình chi u vu ng góc của B n (α) B có v ctơ ud  (2;1;1)
h ơng trình tha

của B

x  2 t

y  2  t t a đ
z  t


ph ơng trình: 4t -2 + t + t – 2 = 0  6t – 4 = 0  t 
∆ tạ v i AB

t góc nh nhất hi nó đi ua hai đi
uur

uuur

của

ng v i t à nghi

của

2
4 4 2
hay H( ; ; )
3
3 3 3

uuur

1 4 2

; )
3 3 3

A và , AH  ( ;

∆ ua A(1 0 0) có v ctơ ch ph ơng u  3.AH  (1; 4;2)
h ơng trình ∆ :

x-1 y
z


1
4 2

19


C. KẾT LUẬN
T thực t gi ng ạ chu n đề nà
t inh nghi
đ cr
h c inh ph i n ch c c c i n th c cơ b n bi t vận ng inh h
nà t đó
i ạ c c chu n đề ở r ng n ng ca
h c u i
h p v i c c đ i t ng h c inh nhằ b i
ng n ng hi u rèn
sinh.
Nh ng điều tôi đã thực hi n nh nêu ở

sinh,c th là : C c
t ra rất a
h
à
t thành c ng của ng ời gi vi n.
c c
h c inh p 12A,12B. K t qu nh

S
T

ng
( %)

Không
nhận
bi t
đ c
0
0.0

hận bi t
nh ng h ng
bi t vận ng
3
3.3

t ra
ạt c
n th

ỹn

à tr c h t
c i n th c
c
t c ch
ng ch h c

trên đã có m t s tác d ng đ i v i h c
ng th v i dạng toán này. đó có th c i
t th c đề tài nà t i đã kh sát lạicho
sau:
hận bi t và
bi t vận ng
ch a gi i đ c
h àn ch nh
27
30

hận bi t và
bi t vận ng
gi i đ c bài
h àn ch nh
60
66,7

Rõ ràng là các em đã có sự ti n b . h vậ ch c ch n ph ơng ph p à t i n u
ra tr ng đề tài đã gi p c c
phận ại đ c bài tập và n
h v ng ph ơng

ph p à và trình bầ bài gi p c c
tự tin hơn tr ng h c tập cũng nh hi đi thi.
Tu
t ủa ch a thật nh
ng đ i nh ng v i tr ch nhi
của
t ng ời thầ
tr ng
t ch ng ực nà đó t i có th b t b n h n hi h c tr của ình có th
làm t t các bài toán: “ Cực tr trong hình h c gi i tích l p 12 ”
T i u n nghĩ rằng : ự ti n b và thành đạt của h c inh u n à
c đ ch ca c
à ngu n đ ng vi n t ch cực của ng ời thầ .
vậ t i
ng c đ c chia ẻ v i
u đ ng nghi p
t
u nghĩ nh au:
t bài t n có th có rất nhiều c ch gi i ng vi c tì ra
t ời gi i h p
ng n g n th v và đ c đ
à
t vi c h ng ễ.
đó đ ch à
t chu n đề
trong rất nhiều chu n đề
t ph ơng ph p tr ng hàng vạn ph ơng ph p đ gi p
ph t tri n t u ự ng tạ của h c inh. i vi n tr c h t ph i cung cấp ch
h c inh n ch c c c i n th c cơ b n au đó à cung cấp ch h c inh c ch nhận
ạng bài t n th hi n bài t n t đó h c inh có th v n ng inh h ạt c c i n

th c cơ b n ph n t ch tì ra h ng gi i b t đầu t đ u và b t đầu nh th nà à
rất uan tr ng đ h c inh h ng
hi đ ng tr c
t bài t n hó à ần tạgây
h ng th a
n t n t đó tạ ch h c inh t c ph ng tự h c tự nghi n c u.
20


Tu n i ung của chu n đề h r ng, ng tr ng hu n h thời gian có hạn
ng ời vi t cũng ch ra đ c c c v
bài t n đi n hình.
ất
ng ự đóng góp
i n của c c bạn uan t
chu n đề nà đ c đầ đủ h àn thi n hơn./.
ÁC

Ậ CỦA T Ủ T ƯỞ
Ơ
Ị

và đ ng nghi p đ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng5 năm 2013
T i in ca đ an đ à S
của
ình vi t h ng a ch p n i ung của
ng ời h c.

Nguyễn V n Tân
H Th Mai

ÁNH GIÁ CỦA HỘI Ồ
KHOA HỌC CƠ SỞ
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
..............................................
Vĩnh L c, Ngày 14 tháng 5 n m
2013
Thay mặt H KH cơ sở
Chủ T ch

Nguyễn V n Tân
21


VII. TÀI LIỆU T AM K ẢO
1. ình h c 12 Bài tập hình h c 12 – nhà B
n 2008
2. ình h c 12 n ng ca Bài tập hình h c 12 nâng ca – nhà B
n

3. Tạp ch T n h c và tu i trẻ n 2010.
4. C c ạng T n LT
của han u h iB à i n 2002

2008.

22