SKKN nâng cao chất lượng rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai trong chương I môn đại số 9 ở lớp 91 trường trung học cơ sở truông mít bằng cách sử dụng hằng đẳng thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (774.98 KB, 54 trang )
MỤC LỤC
I- Tóm tắt đề tài...................................................................................................2
II- Giới thiệu........................................................................................................3
III- Phương pháp ................................................................................................5
1. Khách thể nghiên cứu............................................................................5
2. Thiết kế..................................................................................................5
3. Quy trình nghiên cứu.............................................................................7
4. Đo lường..............................................................................................17
IV- Phân tích dữ liệu và kết quả......................................................................18
V- Bàn luận........................................................................................................19
VI- Kết luận và khuyến nghị............................................................................20
VII- Tài liệu tham khảo
VIII- Phụ lục
1
I. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Qua những năm giảng dạy ở trường trung học cơ sở, chúng tôi nhận thấy
rằng các em học sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi tuyển
vào lớp 10 hoặc trường chuyên để định hướng cho tương lai của mình sau này.
Mà ở các kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào một phần kiến thức cơ bản
không thể thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức
và thực hiện phép tính căn. Phần lớn các em không làm được bài hoặc làm
không trọn vẹn bài tập của phần này, nguyên nhân dẫn đến hiện trạng trên là do:
- Học sinh chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8.
- Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa
dấu căn ở lớp 9 chưa thành thạo.
- Kỹ năng biến đổi, tính toán, giải toán về căn thức bậc hai của đa số học
sinh còn yếu.
- Vì học sinh chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và
vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9
chưa thành thạo nên giáo viên thường hướng dẫn giải chi tiết. Đây thường là
hình thức hướng dẫn giải bài tập cụ thể mà không có định hướng phương pháp
cũng như cơ sở kiến thức được vận dụng vào bài tập. Do đó, học sinh không có
kỹ năng làm bài dẫn đến đa số học sinh ít hứng thú khi giải toán về căn thức bậc
hai.
Qua thực tế giảng dạy, chúng tôi luôn trăn trở để tìm ra những phương
pháp giúp học sinh có kĩ năng, phương pháp giải toán chứa căn thức bậc hai.
Một trong những phương pháp có hiệu quả mà chúng tôi đã thực hiện nhằm
nâng cao chất lượng giải bài tập khi học chương I – Đại số 9 là sử dụng hằng
đẳng thức để rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức bậc hai. Trên cơ sở đó,
chúng tôi đã chọn đề tài: “Nâng cao chất lượng rút gọn biểu thức có chứa căn
thức bậc hai trong chương I môn Đại số 9 ở lớp 91 Trường Trung học cơ sở
Truông Mít bằng cách sử dụng hằng đẳng thức”.
Nghiên cứu được tiến hành thực nghiệm trên hai nhóm tương đương là hai
1
lớp 9 và 93 trường Trung học cơ sở Truông Mít. Lớp 9 1 là lớp thực nghiệm, lớp
93 là lớp đối chứng. Lớp thực nghiệm được thực hiện giải pháp thay thế khi dạy
các bài của chương I (cụ thể ở các tiết 10, 11, 12, 13, 16). Kết quả cho thấy tác
động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả học tập của học sinh: Lớp thực nghiệm
đã đạt kết quả cao hơn so với lớp đối chứng. Điểm trung bình bài kiểm tra sau
tác động của lớp thực nghiệm là 7.1, lớp đối chứng là 5.8. Kết quả kiểm tra Ttest p= 0.000176< 0.05 cho thấy sự chênh lệch kết quả giữa điểm trung bình của
nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý nghĩa. Nói cách khác, chênh lệch
kết quả điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn điểm trung bình của lớp
đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.
Độ chênh lệch giá trị trung bình chuẩn là SMD ≈ 0.97 cho thấy mức độ
ảnh hưởng sau tác động là lớn. Điều đó chứng minh rằng, việc sử dụng hằng
đẳng thức để rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức bậc hai trong dạy học đã
làm nâng cao hiệu quả khi học chương I – Đại số 9 của lớp 9 1 trường Trung học
cơ sở Truông Mít.
2
II. GIỚI THIỆU:
1. Hiện trạng:
Trong chương trình Toán lớp 9, sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập (Tập
1), đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rất khó, nó
đòi hỏi học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và vận
dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 để
biến đổi và rút gọn.
Tuy nhiên, qua tìm hiểu thực tế học sinh lớp 9 tại trường Trung học cơ sở
Truông Mít, chúng tôi nhận thấy nhiều em học sinh học khá, giỏi nhưng năng
lực giải loại bài tập này là rất yếu hoặc không giải được dạng bài tập này. Vậy
trong cách giảng dạy của giáo viên và cách học của học sinh đã có điểm nào bất
cập, chưa hợp lý? Đó là câu hỏi mà bản thân chúng tôi luôn suy nghĩ.
2. Nguyên nhân:
Với mong muốn tìm ra hướng khắc phục, chúng tôi đã đi sâu tìm hiểu
nhận thấy có một số nguyên nhân dẫn đến hiện trạng trên là do:
- Học sinh chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8.
- Kĩ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa
dấu căn ở lớp 9 chưa thành thạo.
- Kĩ năng biến đổi, tính toán, giải toán về căn thức bậc hai của đa số học
sinh còn yếu.
- Giáo viên còn ngại sử dụng bài tập trên lớp.
- Giáo viên đầu tư thời gian giải bài tập trên lớp chưa hợp lý.
- Giáo viên chưa hướng dẫn học sinh một cách tường minh.
Trong các nguyên nhân trên chúng tôi chọn nguyên nhân "Kĩ năng vận
dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 chưa
thành thạo" để nghiên cứu và tìm biện pháp khắc phục.
3. Giải pháp thay thế:
Với ước vọng để tìm ra hướng khắc phục, chúng tôi có suy nghĩ nhiều đến
các giải pháp mà bản thân đã tích cực áp dụng trong quá trình giảng dạy như:
- Hướng dẫn chu đáo bài tập về nhà.
- Tăng cường bài tập về nhà và kiểm tra thường xuyên.
- Cố gắng dành thời gian để hướng dẫn học sinh giải nhiều dạng bài toán
rút gọn biểu thức tại lớp.
Với những giải pháp trên mang lại kết quả chưa cao. Để thay đổi hiện
trạng trên, trong đề tài này chúng tôi đưa ra giải pháp đó là “Sử dụng hằng đẳng
thức để rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức bậc hai” nhằm phát huy
năng lực lựa chọn phương pháp phù hợp cho mỗi dạng, mỗi kiểu bài khác nhau,
đồng thời giúp các em hiểu sâu sắc và vận dụng có hiệu quả.
Để thực hiện giải pháp này, giáo viên cần đưa ra các dạng bài toán rút gọn
biểu thức cơ bản, thường gặp trong chương trình, hướng dẫn cho học sinh
phương pháp giải gọn, dễ hiểu, dễ nhớ đối với những bài có nhiều cách giải.
Trên cơ sở phân tích đề bài, giáo viên cần giúp đỡ cho các học sinh giải quyết
những vấn đề mà các em hay lúng túng, không xác định được hướng giải.
3
•
Biện pháp thực hiện
- Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, chúng ta cần cho học sinh học kỹ
bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 (theo thứ tự):
1)
Bình phương một tổng: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2)
Bình phương một hiệu: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3)
Hiệu hai bình phương: a2 - b2 = (a + b).(a – b)
4)
Lập phương một tổng: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5)
Lập phương một hiệu: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6)
Tổng hai lập phương: a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2)
7)
Hiệu hai lập phương: a3 - b3 = (a - b).(a2 + ab + b2)
- Biết vận dụng các hằng đẳng thức trên để đưa ra những hằng đẳng thức
đáng nhớ có chứa căn ở lớp 9 (theo thứ tự) để tác động học sinh trong quá trình
giảng dạy:
1) a ±2 ab +b =
(
a± b
2) a ± 2 a + 1 = ( a ± 1)
( ) (
3) a − b = ( a ) − b =
2
2
4) a a ± b b = ( a ) ±
3
5) 1 ± a a = 13 ±
6)
(
)
2
2
)(
a+ b . a− b
( b)
3
)
(
= ( a ± b ). a m ab + b
)
a ) = (1 ± a ). ( 1 m a + a )
3
a b ±b a = ab ( a ± b )
7) a ± a = a ( a ± 1)
Chú ý:
+ Các biểu thức chứa chữ đều có nghĩa.
+ Hằng đẳng thức số 4; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9, nên chúng tôi
không đưa vào phần ghi nhớ ở lớp 9.
4. Vấn đề nghiên cứu:
Việc sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn một số biểu thức có chứa căn
thức bậc hai trong chương I Đại số 9 có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp
giải toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 91 trường Trung học cơ sở
Truông Mít, huyện Dương Minh Châu, Tây Ninh hay không?
5. Giả thuyết nghiên cứu:
Có, việc sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn một số biểu thức có chứa căn
thức bậc hai trong chương I Đại số 9 có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp
giải toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 91 trường Trung học cơ sở
Truông Mít, huyện Dương Minh Châu, Tây Ninh.
4
III. PHƯƠNG PHÁP
1. Khách thể nghiên cứu:
Khách thể được sử dụng để thực hiện đề tài là học sinh lớp 9 1 và 93 trường
Trung học cơ sở Truông Mít do thầy Đặng Quốc Cường trực tiếp giảng dạy vì
các đối tượng này có nhiều thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng
dụng cả về phía đối tượng học sinh và giáo viên.
* Học sinh:
Hai lớp 91, 93 được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng
nhau:
+ Về giới tính và địa bàn cư trú:
Bảng 1:
Số HS
Lớp
Địa bàn cư trú
TS
Nam
Nữ
Thuận An Thuận Bình
Lớp 91
37
16
21
10
Lớp 93
37
18
19
11
Thuận Hòa
Thuận Tân
12
8
7
13
7
6
+ Về ý thức học tập của học sinh ở hai lớp: Đa số học sinh đều ngoan, tích
cực, chủ động, sáng tạo. Bên cạnh đó cả hai lớp vẫn còn nhiều học sinh học yếu,
kém, cụ thể qua kết quả khảo sát đầu năm của trường kết quả như sau:
Bảng 2:
Kém
Lớp
Yếu
TS TL% TS
Trung
bình
Khá
Giỏi
TL% TS
TL% TS
TL% TS
Trên TB
TL% TS
TL%
Lớp
91
7
18.9
12
32.4
7
18.9
8
21.6
3
8.1
18
48.6
Lớp
93
6
16.2
11
29.7
8
21.6
8
21.6
4
10.8
20
54.1
2. Thiết kế nghiên cứu:
Chọn lớp 91 là lớp thực nghiệm (TN), lớp 93 là lớp đối chứng (ĐC). Tiến hành
làm bài kiểm tra trước tác động, dùng bài kiểm tra 30 phút làm bài kiểm tra trước
tác động sau khi dạy xong tiết 8 bài 6 “Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn
thức bậc hai ” và tiết 9 “Luyện tập”, kết quả như sau:
5
Bảng 3: Thống kê điểm kiểm tra trước tác động
Kém
Lớp
Yếu
Trung bình
Khá
Giỏi
TS
TL%
TS
TL%
TS
TL%
TS
TL%
TS
TL%
Lớp 91
0
0
14
37.8
14
37.8
6
16.2
3
8.1
Lớp 93
0
0
11
29.7
20
54.1
4
10.8
2
5.4
Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự khác nhau. Do
đó chúng tôi dùng phép kiểm chứng T-Test độc lập để kiểm chứng sự chênh lệch
giữa điểm số trung bình của hai nhóm trước khi tác động.
Bảng 4: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương:
Điểm trung bình
Nhóm đối chứng (93)
Nhóm thực nghiệm (91)
5.4
5.3
Giá trị p=
0.869734
Kết quả kiểm tra (p=0.869734 > 0.05) cho thấy sự chênh lệch điểm số
trung bình của cả hai nhóm thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa. Từ
đó, kết luận được kết quả học tập của hai lớp trước tác động là tương tương.
Sử dụng thiết kế 2: Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm
tương đương.
Sau khi học xong chương I – Đại số 9, giáo viên tiến hành cho làm bài
kiểm tra 30 phút và lấy kết quả làm kết quả bài kiểm tra sau tác động.
Bảng 5: Bảng thiết kế nghiên cứu
Lớp
Lớp 91
(TN)
Lớp 93
(ĐC)
KT trước
tác động
Tác động
KT sau
tác động
5.3
Sử dụng thường xuyên hằng đẳng thức
có chứa căn để rút gọn một số biểu
thức có chứa căn thức bậc hai
7.1
5.4
Giảng dạy bình thường và ít tác động
các hằng đẳng thức có chứa căn để rút
gọn một số biểu thức có chứa căn thức
bậc hai
5.8
Ở thiết kế này, chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập.
3. Quy trình nghiên cứu:
6
3.1. Chuẩn bị của giáo viên:
- Giáo viên dạy lớp 93 (Lớp đối chứng): Thiết kế bài học ở các tiết 10, 11,
12, 13, 15, 16 ít tác động các hằng đẳng thức có chứa căn để rút gọn một số biểu
thức có chứa căn thức bậc hai.
- Giáo viên dạy lớp 91 (Lớp thực nghiệm): Thiết kế bài học ở các tiết 10,
11, 12, 13, 16 tác động thường xuyên các hằng đẳng thức có chứa căn để rút gọn
một số biểu thức có chứa căn thức bậc hai.
- Giáo viên chuẩn bị các bài tập ở sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập
(Tập 1), một số bài tập trong đề cương ôn thi học kì về rút gọn biểu thức chứa
căn thức bậc hai. Sau đây là một số bài tập chúng tôi đã lựa chọn giảng dạy cho
học sinh:
* Bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập
Bài tập 64 <sgk/33> Chứng minh các đẳng thức sau:
2
a)
1− a a
1 − a
+ a ÷
÷ 1 − a ÷
÷ =1
1− a
( a ≥ 0; a ≠ 1)
Nhận xét: Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau:
1 − a a = 13 − ( a ) = ( 1 − a ) . ( 1 + a + a )
3
1 − a = 12 − ( a ) = ( 1 − a ) .( 1 + a )
2
Tương tự hằng đẳng thức số 5; 3 lớp 9. Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái.
Giải
2
1− a a
1 − a
VT =
+ a ÷
÷ 1 − a ÷
÷
1− a
(
)(
)
1− a . 1+ a + a
1− a
=
+ a .
1− a
1 + a . 1 − a
(
)(
2
)
2
1
= 1 + 2 a + a .
÷
1+ a
(
)
(
) (
)
2
Đến đây, ta lại thấy xuất hiện hằng đẳng thức: 1 + 2 a + a = 1 + a tương tự
hằng đẳng thức số 1 lớp 9. Tiếp tục biến đổi ta được kết quả:
2
1
VT = 1 + a .
= 1 = VP
2
(đpcm)
1+ a
(
a +b
b) 2
b
)
(
)
a 2b 4
=a
a 2 + 2ab + b 2
với a+b >0 và b ≠ 0
7
Nhận xét: a 2 + 2ab + b2 = ( a + b ) hằng đẳng thức số 1 lớp 8. Áp dụng vào
2
bài toán ta biến đổi vế trái:
Giải
a+b
a 2b 4
VT =
b2
a 2 + 2ab + b 2
a+b
=
b2
a 2b 4
( a + b)
=
2
a + b ab
.
b2 a + b
=
2
a +b b a
.
b2 a + b
=
a
2
= VP
(vì a + b >0) (đpcm)
Bài 65 <sgk/34> Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết:
1
a +1
1
M=
+
:
( a > 0 va #a ≠ 1)
÷
a − a a − 1 a − 2 a + 1
Nhận xét:
a − a = a ( a − 1) và a − 2 a + 1 =
(
)
lớp 9. Áp dụng vào bài toán:
Giải
1
a +1
1
M =
+
÷:
a −1 a − 2 a +1
a− a
1
1 ÷
=
+
:
a a −1
a −1 ÷
(
)
1+ a ÷
=
:
a a −1 ÷
(
=
=
) (
1+ a ÷ (
.
a ( a − 1) ÷
(
a +1
)
a −1
2
a +1
)
a − 1)
a −1
2
2
a +1
a −1
1
= 1−
<1
a
a
2
a − 1 có dạng hằng đẳng thức số 7 và 2
Vi # a > 0
8
Bài 75 <sgk/41> Chứng minh các đẳng thức sau:
c)
a b +b a
1
:
= a −b
ab
a− b
d)
a+ a a− a
1 +
÷
÷. 1 − a − 1 ÷
÷= 1− a
a
+
1
( a, b > 0 ; a ≠ b)
( a ≥ 0 va #a ≠ 1)
Nhận xét: Hai câu trên gồm có các hằng đẳng thức số 6 và 7 lớp 9:
a b + b a = ab
a± a = a
(
(
a+ b
)
)
a ±1
Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái còn gặp thêm dạng hằng đẳng
thức số 3 lớp 9:
Giải:
VT =
c)
a b +b a
1
:
ab
a− b
ab
=
(
a+ b
ab
=
(
)(
=
( a ) −( b )
a+ b .
2
).
(
a− b
a− b
2
)
)
= a − b = VP
(đpcm)
a+ a a− a
VT = 1 +
÷
÷. 1 − a − 1 ÷
÷
a
+
1
d)
(
) ÷.1 − a (
)(
)
a a +1
= 1+
a +1
(
÷
= 1 + a . 1 − a = 12 −
( )
)
a −1
÷
a −1 ÷
2
a = 1 − a = VP (đpcm)
Bài 86 <SBT/16> Cho biểu thức:
1
1 a +1 a + 2
− ÷ :
−
÷
a
−
1
a
a
−
2
a − 1 ÷
Q=
(a > 0; a ≠ 4 ; a ≠ 1)
a) Rút gọn Q
b) Tìm giá trị của a để Q dương
Nhận xét: Sau khi quy đồng mẫu thức, ta thấy xuất hiện dạng hằng đẳng
thức số 3 lớp 8
(
a+2
)(
)
a −2 = a−4
9
Giải:
1
1 a +1
a +2
−
−
÷
÷:
a a −2
a −1 ÷
a −1
a) Q =
(
)
(
)(
) (
)(
a − a −1 a + 1
a −1 −
÷:
Q =
a a −1 ÷
a −2
a − a +1 ÷ ( a −1) − ( a − 4 ) ÷
Q=
:
a a −1 ÷ a − 2
a −1 ÷
(
(
)
)
Q=
1
:
a a −1
Q=
1
:
a a −1
Q=
Q=
(
) (
(
) (
(
1
.
a ( a −1)
)(
)
a −1
)(
)÷
a −2
÷
)
a −1 − a + 4
a −2
a −1
)(
3
)(
a − 2) (
a −2
)
)
a −1)
a −1
3
a −2
3 a
Q>0
b)
(
(
a +2
⇔
vì 3 a > 0
a−2
> 0
3 a
(a > 0)
a −2 > 0
Nên
⇔
⇔
a > 2
a > 4
Bài 105 <SBT/20> Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠ b )
a)
a+ b
a− b
2b
2 b
−
−
=
2 a −2 b 2 a +2 b b −a
a− b
2
a a +b b
a + b
b)
− ab ÷
÷ a − b ÷
÷ =1
a+ b
Nhận xét: Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức số 3 và 4 lớp 9 kết hợp
với quy tắc đổi dấu. Áp dụng vào bài toán, biến đổi vế trái rồi áp dụng hằng
đẳng thức số 1 để biến đổi:
10
Giải:
a+ b
a− b
2b
−
−
2 a −2 b 2 a +2 b b−a
a ) VT =
a+ b
a− b
2b
−
+
2( a − b ) 2( a + b ) a − b
=
(
=
a+ b
) −(
2
a− b
2 ( a − b)
)
2
+ 4b
=
(a + 2 ab + b) − (a − 2 ab + b) + 4b
2 ( a − b)
=
a + 2 ab + b − a + 2 ab − b + 4b
2( a − b)
=
4 ab + 4b
2 ( a − b)
4 b
=
=
2
(
(
(
a+ b
a+ b
2 b
a− b
)
)(
)
a− b
)
= VP
(đpcm)
2
a a+b b
a + b
b) VT =
− ab ÷
÷ a − b ÷÷
a+ b
=
=
(
( a) + ( b)
3
3
a+ b
− ab ÷÷
÷
)(
a + b a − ab + b
a+ b
(
2
(
)−
)(
÷
a− b ÷
(
a+ b
÷
a+ b a− b ÷
a+ b
a+ b
ab ÷
÷
2
)(
2
)
1
= a − ab + b − ab
÷
a− b
(
)
)
2
1
= a − 2 ab + b
÷
a− b
11
)
=
(
)
1
2
a− b .
(
a− b
)
= 1 = VP
2
(đpcm)
Bài 106 <SBT/ 20> Cho biểu thức:
(
A=
)
2
a + b − 4 ab a b + b a
−
a− b
ab
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Khi A có nghĩa. Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a
Nhận xét: Bài toán đã cho gồm có hằng đẳng thức sau:
(
a ± 2 ab + b =
a± b
)
2
a b + b a = ab ( a + b )
Áp dụng vào giải toán
Giải:
(
A=
)
a+ b
2
− 4 ab
a− b
aĐK
)
a :b ; >a0; b≠
b) A =
(
)
−
a b +b a
ab
2
a + b − 4 ab a b + b a
−
a− b
ab
(
a + 2 ab + b − 4 ab ab a + b
=
−
a− b
ab
=
(
=
=
(
a − 2 ab + b
−
a− b
a− b
)
a− b
(
a+ b
)
)
2
) (
−
(
a+ b
)
)
a − b − a + b = a − b − a − b = −2 b
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào a.
Bài 107<SBT/20> Cho biểu thức:
12
2x + 1
1 + x3
x
÷
B=
−
− x÷
÷
3
x + x + 1 ÷ 1 + x
x −1
( x ≥ 0 ; x ≠ 1)
a) Rút gọn B
b) Tìm x để B = 3
Nhận xét: Bài toán đã cho gồm có hằng đẳng thức sau:
x3 − 1 =
(
)(
)
x −1 x+ x +1
(
)(
1 + x3 = 1 + x 1 − x + x
)
Áp dụng vào giải toán
Giải:
2 x +1
B =
a)
3
x −1
−
1 + x3
x
−
x
÷
÷
÷
x + x +1 ÷
1
+
x
(
)(
)
2x + 1
x ÷ 1+ x 1− x + x
B=
−
.
− x÷
x − 1 x + x + 1 x + x + 1÷
÷
1+ x
(
B=
b)
)
(
) . 1−
(
x
−
1
x
+
x
+
1
( )(
)
2x + 1− x x − 1
B=
B=
)(
(
(
x + x− x
)
2x + 1− x + x
. 1− 2 x + x
x −1 x + x +1
)(
(
)
)
2
x+ x +1
. 1− x = x − 1
x −1 x+ x +1
)(
B= 3 ⇔
)
x−1 = 3 ⇔
(
)
x = 4 ⇔ x = 16
* Bài tập trong đề cương ôn thi học kì
Bài 1. Rút gọn:
P=
x x+y y
x+ y
−
(
x− y
)
2
( x > 0, y > 0)
13
Nhận xét: Trong bài toán có thể áp dụng hằng đẳng thức sau:
x x+y y=
(
x+ y
)(x−
)
xy + y .
Áp dụng vào giải toán
14
Giải:
P=
x x+y y
x+ y
( x) +( y )
=
3
(
=
(
−
x− y
3
−
x+ y
x+ y
(
)( x−
x− y
xy + y
x+ y
(
)
2
)−
)
2
( x−2
) (
= x − xy + y − x − 2 xy + y
xy + y
)
)
= x − xy + y − x + 2 xy − y
= xy
Bài 2. Chứng minh đẳng thức
1 a+1
a−1
1
+
:
=
÷
a − a a − 1 a − 2 a + 1 a
( a > 0 ; a ≠ 1)
Nhận xét: Bài toán đã cho gồm có hằng đẳng thức sau:
(
)
a− a = a a −1
a − 2 a + 1=
(
)
a−1
2
Áp dụng vào bài toán, ta biến đổi vế trái
Giải:
1
a +1
1
VT =
+
÷:
a −1 a − 2 a + 1
a− a
1
1
÷:
=
+
a a −1
a −1÷
(
=
=
=
)
1+ a
) (
(
1+ a
.
a ( a − 1)
a
(
:
a −1
a +1
(
)
a −1
2
a +1
)
a − 1)
a −1
2
2
a +1
a −1
= VTđpcm
a
(
)
15
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
x −2
x + 2 ( 1 − x)
P =
−
÷
÷. 2
x
−
1
x
+
2
x
+
1
2
Nhận xét: Bài toán đã cho gồm có hằng đẳng thức sau:
x−1=
(
)(
)
x −1
(
x+ 2 x + 1=
x +1
)
2
x + 1 . Áp dụng vào giải toán
Giải:
ĐK : x ≥ 0 ; x ≠ 1
x −2
x + 2 ( 1− x)
P =
−
÷
÷. 2
x
−
1
x
+
2
x
+
1
=
(
x −2
)(
2
2
x + 2 ÷ ( 1− x)
.
2 ÷
2
x +1 ÷
−
) (
)
(= x − 2) ( x + 1) − ( x + 2) ( x − 1) . ( 1 − x )
2
( x − 1) ( x + 1)
x −1
x +1
2
2
x + x − 2 x − 2 − x + x − 2 x + 2 ( 1− x)
=
.
2
2
x −1 x +1
(
=
−2 x
( x − 1) (
=
=
)
x +1
)(
)
( x − 1)
.
2
2
2
− x ( x −1)
− x
(
=− x
=
x +1
)(
x +1
(
x +1
)
x −1
)
x −1
(
x 1− x
)
3.2. Tiến hành dạy thực nghiệm:
- Thời gian tiến hành dạy thực nghiệm tuân theo kế hoạch dạy học của
nhà trường và thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan. Cụ thể, dạy thực
nghiệm ở các tiết 10, 11, 12, 13, 16 của chương trình môn Toán 9 phần Đại số.
16
- Lớp đối chứng: Dạy theo thiết kế bài học bình thường và ít tác động các
hằng đẳng thức có chứa căn để rút gọn một số biểu thức có chứa căn.
- Lớp thực nghiệm: Dạy theo thiết kế bài học có sử dụng thường xuyên
hằng đẳng thức có chứa căn để rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức bậc
hai. Cụ thể như sau:
Tuần
dạy
Tiết
Tên bài dạy
Cách tác động hằng đẳng thức
- Phần 2 trục căn thức ở mẫu giáo viên tác động
5
10
Biến đổi đơn
giản biểu
thức chứa
căn thức bậc
hai
hằng đẳng thức
a −b = ( a ) −
2
( b) = (
2
)(
a+ b . a− b
)
- Giáo viên yêu cầu học sinh về nhà viết vài hằng
đẳng thức dạng trên theo ý tưởng của mình. Ví dụ:
a – 4 =?; x – 9 = ? (a, x >0); x2 – 3 = ? (x>0)...
- Phần bài học kinh nghiệm giáo viên tác động hằng
đẳng thức
a a ±b b = ( a ) ±
3
( b)
3
(
= ( a ± b ). a m ab +b
)
( a + 1)
xy + y ) = ( x + y )
y)( x + y) = x− y
ab + b a = b a
6
11
Luyện tập
( x+2
( x−
2
Từ đây cho học sinh về nhà suy ra hằng đẳng thức
3
3
1 ± a a = ( 1) ± ( a ) = (1 ± a ). ( 1 m a + a ) hoặc
tìm ra những hằng đẳng thức tương tự có chứa căn
thức
- Phần kiểm tra bài cũ giáo viên yêu cầu học sinh viết
lại các hằng đẳng thức có chứa căn thức.
6
12
Rút gọn biểu
thức chứa
căn thức bậc
hai
- Khi giải ví dụ 3<Sgk/31> giáo viên gọi học sinh viết
lại hằng đẳng thức
a − 2 a +1 = ( a −1)
2
a + 2 a +1 = ( a +1)
2
- Phần hướng dẫn học sinh tự học ở nhà yêu cầu học
sinh học thuộc các hằng đẳng thức có chứa căn thức.
7
13
Luyện tập
- Bên cạnh sửa bài tập cũ giáo viên yêu cầu học sinh
viết lại những hằng đẳng thức có chứa căn thức mà
các em đã biết.
17
Tuần
dạy
Tiết
Tên bài dạy
Cách tác động hằng đẳng thức
- Trong khi làm bài tập 64,65<sgk/33-34> giáo viên
gọi HS nêu các hằng đẳng thức cần áp dụng.
- Giáo viên biên soạn đề cương các bài toán rút gọn
có vận dụng hằng đẳng thức phát cho học sinh làm.
- Bên cạnh sửa bài tập cũ giáo viên yêu cầu học sinh
tiếp tục viết lại những hằng đẳng thức có chứa căn
thức mà các em đã biết.
8
16
Ôn tập
chương I (tt)
- Trong làm bài tập
75(a,b)<sgk/41>;BT106<sbt/20>
giáo viên gọi HS nêu các hằng đẳng thức cần áp
dụng.
(Lưu ý các biểu thức chứa chữ đều có nghĩa)
4. Đo lường và thu thập dữ liệu
Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra khi học xong bài 6 của chương
I – Đại số 9. Bài kiểm tra gồm 4 câu tự luận với nội dung liên quan đến rút gọn
biểu thức có chứa căn trong thời gian 30 phút (xem phần phụ lục)
Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra khi học xong chương I – Đại số
9. Bài kiểm tra cũng gồm 4 câu tự luận với nội dung liên quan đến rút gọn biểu
thức có chứa căn trong thời gian 30 phút (xem phần phụ lục)
Quy trình kiểm tra và chấm bài kiểm tra:
- Ra đề kiểm tra: Ra đề kiểm tra và đáp án sau đó lấy ý kiến đóng góp của
các giáo viên trong tổ Toán để bổ sung, chỉnh sửa cho phù hợp.
- Tổ chức kiểm tra hai lớp cùng thời điểm, cùng đề, có đủ học sinh của hai
lớp tham gia. Sau đó tổ chức chấm bài và thống kê điểm của học sinh hai lớp rồi
phân tích kết quả đó (xem phần phụ lục)
- Bằng phương pháp chia đôi dữ liệu thông qua công thức Spearman –
Brown đã thu được kết quả cụ thể như sau:
Bảng 6:
Độ tin cậy
rSB ≥ 0.7
Lớp thực
nghiệm (91)
Lớp đối
chứng(93)
Trước tác động
0.856 > 0.7
0.727 >0.7
Sau tác động
Dữ liệu
đáng tin
cậy
0.868 > 0.7
Dữ liệu
đáng tin cậy
Dữ liệu
đáng tin cậy
0.787 > 0.7
Dữ liệu
đáng tin cậy
18
19
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN
1. Phân tích dữ liệu
Bảng 7: So sánh điểm trung bình của bài kiểm tra sau tác động
Lớp thực nghiệm (91)
Lớp đối chứng (93)
Điểm trung bình
7.1
5.8
Độ lệch chuẩn
1.6
1.33
Giá trị p của T-test
0.000176
Chênh lệch giá trị TB chuẩn
(SMD)
0.97
Như trên đã chứng minh rằng kết quả hai nhóm trước tác động là tương
đương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng T-Test cho
kết quả p=0.000176< 0.05, cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm
trung bình lớp thực nghiệm cao hơn điểm trung bình lớp đối chứng là không
phải ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD ≈ 0.97. Theo bảng tiêu chí
Cohen, chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD ≈ 0.97 cho thấy mức độ ảnh
hưởng khi sử dụng hằng đẳng thức rút gọn một số biểu thức có chứa căn thức
bậc hai trong chương I -Đại số 9 có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải
toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp thực nghiệm là lớn.
Như vậy giả thuyết của đề tài “Nâng cao chất lượng rút gọn biểu thức có
chứa căn thức bậc hai trong chương I môn Đại số 9 ở lớp 91 trường Trung học
cơ sở Truông Mít bằng cách sử dụng hằng đẳng thức” đã được kiểm chứng.
Biểu đồ so sánh điểm trung bình trước tác động và sau tác động
20
của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.
2. Bàn luận
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm là điểm trung
bình bằng 7.1. Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của lớp đối chứng là điểm
trung bình bằng 5.8. Độ chênh lệch điểm số giữa hai lớp là 1.3. Điều đó cho thấy
điểm trung bình của hai lớp đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt,
lớp được thực nghiệm có điểm trung bình cao hơn lớp đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD ≈ 0.97.
Điều này có nghĩa là mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn.
Sau tác động kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng phép kiểm
chứng T.Test độc lập cho kết quả là p = 0.000176<0.05. Kết quả này khẳng định
sự chênh lệch điểm trung bình của hai lớp không phải là do ngẫu nhiên mà do
tác động, nghiêng về lớp thực nghiệm.
* Hạn chế và hướng khắc phục:
- Hạn chế:
+ Phần lớn học sinh chưa nắm chắc các hằng đẳng thức đã được học ở lớp
8 nên việc vận dụng các hằng đẳng thức đó vào các biểu thức chứa căn thức bậc
hai còn hạn chế.
+ Vì bài tập rút gọn biểu thức có chứa căn thức cần phải sử dụng hằng
đẳng thức có chứa căn để rút gọn rất nhiều. Do đó không thể giải hết các bài tập
trên các tiết học chính khóa.
- Hướng khắc phục:
+ Cần giúp học sinh củng cố chắc chắn các hằng đẳng thức đã được học ở
lớp 8 và trang bị cho học sinh các hằng đẳng thức đã được vận dụng vào trong
các biểu thức chứa căn bậc hai. Hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt các hằng
hằng đẳng thức để biến đổi và rút gọn các biểu thức.
+ Giáo viên biên soạn các bài tập có sử dụng hằng đẳng thức chứa căn
thức giao cho học sinh về nhà làm và tham khảo.
21
V. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Đề tài "Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn một số biểu thức chứa căn thức
bậc hai" chúng tôi đã nghiên cứu trong năm học 2014-2015 và đã áp dụng vào
giảng dạy trên lớp. Trong quá trình nghiên cứu, áp dụng, tôi đã sử dụng phương
pháp thống kê, phân loại và phương pháp so sánh kết quả thực nghiệm (các
phiếu học tập, các bài kiểm tra) của hai lớp 9 1 và lớp 93. Bên cạnh đó chúng tôi
đã so sánh, đối chiếu với phương pháp giảng dạy ở những năm học trước để
hoàn chỉnh đề tài này với mong muốn có thể tiếp tục áp dụng vào giảng dạy cho
những năm học sau.
Tóm lại, sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn một số biểu thức có chứa căn
thức bậc hai trong chương I Đại số lớp 9 sẽ giúp các em có kĩ năng, phương
pháp giải quyết tốt hơn các bài toán rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở
lớp 91 trường Trung học cơ sở Truông Mít.
Phạm vi áp dụng: Với kết quả của đề tài p=0.000176<0.05, SMD ≈ 0,97
cho thấy giải pháp thực hiện là có ý nghĩa, mức độ ảnh hưởng lớn. Như vậy, đề
tài có thể áp dụng có hiệu quả tại trường và nhân rộng một số đơn vị bạn trong
huyện.
2. Khuyến nghị:
Nhà trường cần đầu tư tốt hơn nữa về các trang thiết bị dạy học có ứng
dụng CNTT. Động viên khuyến khích giáo viên sử dụng CNTT trong dạy học.
Giáo viên tích cực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức, kĩ năng sử dụng các thiết bị
dạy học hiện đại. Chúng tôi cho rằng người giáo viên biết lựa chọn hệ thống bài
tập và gợi ý học sinh vận dụng kiến thức đã học để tìm lời giải thì sẽ phát huy
được tối đa tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
Trên đây là kết quả nghiên cứu chủ quan của chúng tôi trong quá trình
giảng dạy, chúng tôi tin rằng đề tài này có tính thực tiễn cao. Mong quý thầy cô
giáo và đồng nghiệp góp ý để đề tài được áp dụng rỗng rãi trong thực tế, góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học.
Truông Mít, ngày 12 tháng 03 năm 2015
Nhóm thực hiện
Đặng Quốc Cường
Trần Thị Kim Liên
22
VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tài liệu tập huấn: Nghiên cứu Khoa học sư phạm ứng dụng, theo dự án Việt Bỉ của Bộ Giáo dục và Đào tạo, năm 2010.
2. Tài liệu tập huấn giáo viên thực hiện dạy học, kiểm tra đánh giá theo chuẩn
kiến thức kĩ năng trong chương trình giáo dục phổ thông.
3. Sách giáo khoa Toán 9.
4. Sách bài tập Toán 9.
5. Một số đề cương ôn tập về căn thức.
6. Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán THCS.
23
VIII. PHỤ LỤC
Phụ lục 1: Kế hoạch bài học có tác động hằng đẳng thức chứa căn bậc hai
Tuần dạy: 5
ND: 23/ 9 / 2014
Bài 7- Tiết: 10
§7.
BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
(tiếp theo).
1. MỤC TIÊU
1.1. Kiến thức:
- Học sinh hiểu như thế nào là khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở
mẫu.
- Học sinh biết khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu.
1.2. Kĩ năng: Thực hiện được các phép biến đổi đơn giản về căn bậc hai như
khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu.
1.3. Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác.
2. TRỌNG TÂM
Hai phép biến đổi: Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu.
3. CHUẨN BỊ
3.1. Giáo viên: Bảng phụ+ thước
3.2. Học sinh: SGK+ ôn lại qui tắc khai phương một thương.
4. TIẾN TRÌNH
4.1. Ổn định tổ chức và kiểm diện
4.2. Kiểm tra miệng
Câu hỏi: Hãy nhắc lại hai phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai đã
học?
4.3. Bài mới
HĐ của GV VÀ HS
Nội dung
GV đặt vấn đề giới thiệu bài mới.
§7.BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU
THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
(TT)
1) Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
HĐ1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
- GV: Khi biến đổi biểu thức chứa căn bậc
hai, người ta có thể sử dụng phép khữ mẫu
của biểu thức lấy căn.
- GV đưa ra ví dụ 1(ghi bảng)
Khử mẫu của biểu thức.
24
Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức.
a)
4
; b)
5
5a
;(a, b > 0)
7b
+ GV hướng dẫn học sinh làm câu a.
+ HS nêu cách làm câu b.
- Qua các ví dụ trên em hãy nêu ra các buớc
khử mẫu của biểu thức lấy căn?.
- GV đưa ra công thức tổng quát.
a)
4
4.5
4.5 2 5
=
=
=
2
5
5
5
52
b)
5a
5a.7b
=
=
2
7b
( 7b )
35ab
( 7b )
35ab
7b
=
2
Tổng quát:
Với A.B ≥ 0; B ≠ 0
- GV: Yêu cầu học sinh làm ?1
+ GV gọi 3 học sinh lên bảng làm câu a, b, c.
+ Các học sinh khác làm tại chỗ.
Ta có
A
AB
=
B
B
?1
a)
4
4.5 2 5
=
=
5
52
5
b)
3
3.5
15
=
=
2
125
25
25
c)
3
2a3
=
3.2a
=
2a.2a3
(a > 0)
6a
( 2a )
2
2
=
6a
2a2
HĐ 2. Trục căn thức ở mẫu:
2) Trục căn thức ở mẫu:
- GV đặt vấn đề và nêu ví dụ 2 SGK/28 .
Ví dụ 2(SGK/28)
+ HS tự đọc lời giải ví dụ 2 SGK/28 dưới sự
dẫn dắt của GV.
- Người ta đã làm gì để trục căn thức ở mẫu?
- Giáo viên giới thiệu biểu thức liên hợp ở ví
dụ b và c.
- GV đưa ra công thức tổng quát (đưa bảng
phụ ghi sẵn công thức tổng quát, SGK/29)
+ 1 học sinh đọc to cả lớp cùng nghe.
* Tổng quát.
a)Với các biểu thức A, B mà B>0 ta
có:
A
B
=
A B
B
b) Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0,
A ≠ B2 ta có:
C
A ±B
=
C
(
A mB
2
A−B
)
c) Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0,
B ≥ 0 và A ≠ B ta có:
25
