Chuyên đề 04 hình học tọa độ không gian kit1

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 04. Hình học toạ độ không gian

BÀI 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Kiến thức cơ bản cần nhớ (Phần 1) thuộc khóa
học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức
phần Bài 1. Kiến thức cơ bản cần nhớ (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

A. LÝ THUYẾT CƠ SỞ:
I. Các phép toán về tọa độ véc tơ:


Cho: v( x, y, z), v '( x ', y ', z ')


1)v cùng phương v ' khi và chỉ khi:

x
y
z  
 
(v  0(0; 0))
x' y' z'

Định nghĩa: Hai vecto cùng phương nếu chúng nằm trên 2 đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên
một đường thẳng không tính chiều.
+ Hai vec tơ không cùng phương nếu chúng không nằm trên 2 đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên
một đường.

x  x '
 

2) v  v '   y  y '
z  z '


Hai véc tơ bằng nhau khi chúng cùng phƣơng, cùng chiều, cùng độ dài.
 
3) v  v '  ( x  x '; y  y '; z  z ')


4) kv  k ( x, y, z)  (kx; ky; kz), k  R

5) | v || ( x, y, z ) | x 2  y 2  z 2
 
6) v.v '  xx ' yy ' zz '

 
7) v  v '  v.v '  0
 
 
v.v '
8) cos(v; v ')   
| v || v ' |

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 04. Hình học toạ độ không gian

 
9) [v; v ']=[( x; y; z ).( x '; y '; z ')]
yz z x x y 
 
;
;

 y' z' z' x' x' y' 
  yz ' y ' z; zx ' z ' x; xy ' x ' y 
Chú ý:
     
 [v; v ']  v , [v; v ']  v '


 
Lấy 2 vec tơ không cùng phương v; v ' (tức 2 vecto không cùng nằm trên một đường thẳng và
không nằm trên 2 đường thẳng song song) nhân có hướng với nhau thì ta được một vec tơ vuông
góc với hai véc tơ ấy.

 
 


 v; v '  v v ' sin(v;v ')


 



+ v cùng phƣơng v '  v; v '  0(0; 0; 0)


  
  
+ 3 véc tơ a; b; c đồng phẳng   a; b  c  0
 

II. Các phép toán về tọa độ điểm:
a) Cho: A( x A ; y A ; z A ); B( xB ; yB ; z B )

 AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )
 AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2

x A  xB
 xI 
2

y  yB

I là trung điểm AB  I   yI  A
2


z A  zB

 zI  2


b) Cho A( x A ; y A ; z A ) ; B( xB ; yB ; z B ) ; C ( xC ; yC ; zC )
 
+ A, B, C thẳng hàng  [ AB; AC ]  0

+ A, B, C không thẳng hàng (A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác)  [AB; AC]  0
+ S ABC 

1  
[ AB; AC ]
2

 
 
AB. AC

+ cosA=cos( AB; AC )   
| AB || AC |
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 04. Hình học toạ độ không gian

Chú ý:


Nếu góc A nhọn thì cosA > 0



Nếu góc A vuông thì cosA = 0



Nếu góc A tù thì cosA > 0

Hoàn toàn tƣơng tự ta có thể tính đƣợc cosB; cosC


x A  xB  xC
 xG 
3

y  yB  yC

 G   yG  A
3

z A  zB  zC


 zG 
3

+ Với điểm M tùy ý trong không gian ta luôn có:
  

MA  MB  MC  3.MG
c) Cho A( x A ; y A ; z A ) ; B( xB ; yB ; z B ) ; C ( xC ; yC ; zC ) ; D( xD ; yD ; z D )
  
+ A, B, C, D đồng phẳng (cùng thuộc một mặt phẳng)  AB; AC  AD  0


  
+ A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện   AB; AC  AD  0



+ VABCD 

1
6

  
 AB; AC  AD




x A  xB  xC  xD
 xG 

4

y  yB  yC  yD

+ G là trọng tâm tứ diện ABCD  G   yG  A
4

xA  xB  xC  xD

 xG 
4

+ M là điểm tùy ý trong không gian ta luôn có:
   

MA  MB  MC  MD  4MG
Chú ý:

  
VABCD. A' B 'C ' D '   AB; AD  AA'


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 3 -

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho 4 điểm A(0;0;1), B(0;0;2), C(0;1;3), D(1;3;0).
a. CM A, B, C, D không đồng phẳng.
b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
d. Tính đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD.
e. Tính đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác ABC.
Bài 2. Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có A(1;1;1),
B(-1;2;0), C(1;3;-1). Tìm tọa độ D.
Bài 3. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A
d. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho 4 điểm A(0;0;1), B(0;0;2), C(0;1;3), D(1;3;0).
a. CM A, B, C, D không đồng phẳng.
b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
d. Tính đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD.
e. Tính đường cao hạ từ đỉnh B của tam giác ABC.
Lời giải:




AB  (0;0;1); AC  (0;1; 2); AD  (1;3; 1); BC (0;1;1)  AB 1; AC  5; BC  2

a. CM A, B, C, D không đồng phẳng.
 
Ta có:  AB, AC   (0;0;1), (0;1; 2)  (1;0;0) (1)

  
  AB, AC  . AD  (1;0;0).(1;3; 1)  1  0 (2)  A, B, C, D không đồng phẳng.

b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC.
Theo (1) ta có:
1  
1
1
 AB, AC   (1; 0; 0)  (3)


2
2
2
AB.BC.CA 1. 5. 2
10
R


.
1
4 S ABC
2
4.
2
S ABC 

c. Tính bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC.
Theo (3) ta có:
1

2.
2S ABC
1
2
r


AB  BC  CA 1  5  2 1  5  2

d. Tính đường cao hD hạ từ đỉnh D của tứ diện ABCD.
Theo (2) ta có: VABCD 

1    1
 AB, AC  . AD 

6
6

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

1

3.
3VABCD
Kết hợp (3) ta có: hD 
 6  1.
1
S ABC
2
e. Tính đường cao hB hạ từ đỉnh B của tam giác ABC.

2S
Theo (3) ta có: hB  ABC 
AC

2.

1
2 1
5
5

Bài 2. Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có A(1;1;1),
B(-1;2;0), C(1;3;-1). Tìm tọa độ D.
Lời giải:


Do AB  k . AC nên A, B, C không thẳng hàng.
 x  1  2t
 

CD//AB nên chọn uCD  AB   2;1; 1  CD :  y  3  t  D 1  2t ;3  t ; 1  t   CD

 z  1  t


Vì ABCD là hình thang cân với hai đáy AB, CD nên AD=BC , do đó:
 D  3; 2;0 
t  1

 2t 2   t  2 2   t  2 2  6  3t 2  4t  1  0  

D 5 ; 8 ;  2
t   1
3

 3 3 3





Mặt khác, do ABCD là hình thang nên AB khác CD.
Với D (3; 2; 0) thì AC=BD ; AB=CD nên ABCD là hình bình hành (loại).





Với D 5 ; 8 ;  2 thì AB khác CD (thỏa mãn).
3 3 3
Bài 3. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .

b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A
d. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
Lời giải:
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.


 
Ta có: AC  (3;0; 6); BC  (8;0; 4)  AB. AC  0    AC tam giác ABC vuông ở A.
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
x x x
y  yB  yC
z z z
4
2
4
2
 1; zG  A B C   G( ; 1; )
Ta có: xG  A B C  ; yG  A
3
3
3
3
3
3
3
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A.
Trung điểm M của BC có tọa độ xM 

xB  xC

y  yC
z z
 1; yM  B
 1; zM  B C  2   (1; 1; 2)
2
2
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian


Do đó: AM  (1; 0; 4)  AM  17

d. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
 x  x  x A  xB
   D C
Ta có: BA  CD   yD  yC  y A  yB  D(10; 2;10)
z  z  z  z
A
B
 D C

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -


Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (Phần 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

d) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: (ðHKD 2005): Trong không gian Oxyz cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ biết A(0; -3; 0),
B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4). Tìm tọa ñộ của ñiểm A’ và C’.
Ví dụ 2: (ðHKB 2006) Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 2), B(2t; 1 + t; -1 – t), C(1 + s; -1 – 2s; 2 + s).
Tìm t và s ñể 3 ñiểm A, B, C thẳng hàng.
4 2 7
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho ∆ ABC biết A(2; -2; -3), B(2; 0; -1), G  ; − ; −  là trọng tâm
3 3 3
∆ ABC.

1. Tính số ño góc C.
2. Tính chu vi và diện tích ∆ ABC, tính ñộ dài ñường cao hạ từ ñỉnh A.
3. Tính bán kính ñường tròn nội, ngoại tiếp ∆ ABC.
4. Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ ABC.
5. Tìm tọa ñộ chân ñường phân giác trong và ngoài của góc A.
6. Tìm tọa ñộ trực tâm ∆ ABC.

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A(2; 4; 6), B(2; 0; 0), C(0; 4; 0), D thuộc trục Oz,
biết thể tích tứ diện VABCD = 8 . Tìm tọa ñộ ñiểm D biết cao ñộ zD < 0 và tìm tọa ñộ trọng tâm G của tứ
diện.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (Phần 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;3; 2) và mặt phẳng
( ) : x  2 y  2  0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ( ).

Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5;3;  1), P(2;3;  4) . Tìm tọa
độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng ( ) : x  y  z  6  0.
Bài 3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;-1).
a. Chứng minh rằng: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ
đỉnh A.
b. Tìm m và n để điểm M (m + 2; 1; 2n + 3) thẳng hàng với A và C.
Bài 4. Cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2z 1  0 và các đường thẳng d1 :

x 1 y  3 z

 ,
2
3
2

x 5 y z 5
 
. Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng
6
4
5
MN cách (P) một khoảng bằng 2.
d2 :

 x  1  2t


Bài 5. Tìm hình chiếu H của M(2,-2,1) lên đường thẳng (d ) :  y  1  t
 z  2t


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (Phần 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;3; 2) và mặt phẳng
( ) : x  2 y  2  0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ( ).

Lời giải:
Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khi đó ta có:

( x0  1) 2  y02  z02  x02  ( y0  1) 2  z02  x02  ( y0  3) 2  ( z0  2) 2 


( x0  1) 2  y02  z02  x02  ( y0  1) 2  z 02

  x02  ( y0  1) 2  z02  x02  ( y0  3) 2  ( z 0  2) 2

2
( x0  1) 2  y02  z02  ( x0  2 y0  2)

5

x0  2 y0  2
5

(1)
(2)
(3)

 y0  x0
Từ (1) và (2) suy ra 
.
 z0  3  x0

 x0  1
 M (1; 1; 2)

Thay vào (3) ta có 5(3 x  8 x0  10)  (3 x0  2) 
  23 23 14
 x0  23

 M ( ; ;  ).

3 3
3

3
2
0

2

Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5;3;  1), P(2;3;  4) . Tìm tọa
độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng ( ) : x  y  z  6  0.
Lời giải:
Giả sử N ( x0 ; y0 ; z0 ) . Vì N  ( )  x0  y0  z0  6  0

(1)

 MN  PN
MNPQ là hình vuông  MNP vuông cân tại N    
 MN .PN  0
( x0  5)2  ( y0  3)2  ( z0  1)2  ( x0  2)2  ( y0  3)2  ( z0  4)2


2

( x0  5)( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  1)( z0  4)  0

 x0  z0  1  0


2

( x0  5)( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  1)( z0  4)  0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

(2)
(3)

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

 y0  2 x0  7
Từ (1) và (2) suy ra 
.
 z0   x0  1
 x0  2, y0  3, z0  1
 N (2; 3;  1)
Thay vào (3) ta được x02  5 x0  6  0  
hay 
.
 N (3; 1;  2)
 x0  3, y0  1, z0  2
7

5
Gọi I là tâm hình vuông  I là trung điểm MP và NQ  I ( ;3;  ) .
2
2
Vậy:
Nếu N (2;3  1) thì Q(5;3;  4).
Nếu N (3;1;  2) thì Q(4;5;  3).
Bài 3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;-1).
a. Chứng minh rằng: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ
đỉnh A.
b. Tìm m và n để điểm M (m + 2; 1; 2n + 3) thẳng hàng với A và C.
Lời giải:


 

a. Ta có : AB  (4;1;0); BC  (2;1; 4)   AB, BC   (4; 16; 6)  0  A, B, C không thẳng hàng 

A, B, C là 3 đỉnh của tam giác
 
 AB, BC  2 33


 AH  d  A, BC 

BC
3



b. M  m  2; 1; 2n  3  AM  (m  4;3;2n) cùng phương với AC  2(1; 1; 2)



m  4 3 2n


 m  1; n  3
1
1 2

Bài 4. Cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2z 1  0 và các đường thẳng d1 :

x 1 y  3 z

 ,
2
3
2

x 5 y z 5
 
. Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng
6
4
5
MN cách (P) một khoảng bằng 2.
d2 :

Lời giải:

Gọi M 1  2t;3  3t;2t  , N  5  6t ';4t '; 5  5t '

d  M ;  P   2  2t 1  1  t  0; t  1.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian


Trường hợp 1: t  0  M 1;3;0  , MN  6t ' 4;4t ' 3; 5t ' 5 
 
 
MN  nP  MN.nP  0  t '  0  N 5;0; 5 
Trường hợp 2: t  1  M 3;0;2  , N  1; 4;0 
 x  1  2t

Bài 5. Tìm hình chiếu H của M(2,-2,1) lên đường thẳng (d ) :  y  1  t
 z  2t


Lời giải:
 x0  1  2t0


Gọi tọa độ của H là ( x0 , y0 , z0 ) , thì  y0  1  t0
 z  2t
0
 0


Ta có MH  (1  2t0  2; 1  t0  1;2t0 1)  (2t0 1, t0 , 2t0 1)

Véc tơ chỉ phương của (d) là u (2, 1, 2)

 
MH .u  0  2(2t0 1)  t0  2(2t0 1)  0  9t0  4  0  t0  4 / 9
17 13 8
Vậy H ( ,
, )
9 9 9

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 04. Hình học toạ độ không gian

BÀI 3. LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3. Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần
Bài 3. Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng. Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

1. Véc tơ chỉ phƣơng của mặt phẳng:
Là véc tơ nằm trong mặt phẳng đó hoặc nằm trên đường thẳng song song với mặt phẳng đó (Tất nhiên các

véc tơ đó phải khác 0 )
2. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:

 
Là véc tơ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Kí hiệu n (n  0)
Chú ý: Nếu ta lấy một cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (cặp véc tơ này không được cùng phương,
tức không nằm trên 2 đường thẳng song song và không cùng nằm trên một đường thẳng) nhân có hướng
với nhau thì ta sẽ được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy.
3. Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng:
Là phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, tức
A2  B 2  C 2  0

Chú ý:
+ Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì (P) có véc tơ pháp tuyến là

n( A, B, C )
+ Các trường hợp đặc biệt của mặt phẳng:


 (Oxy) có phương trình z = 0, véc tơ pháp tuyến n (0; 0;1)

 (Oxz) có phương trình y = 0, véc tơ pháp tuyến n(0;1; 0)

 (Oyz) có phương trình x = 0, véc tơ pháp tuyến n(1; 0; 0)
+ Cho 2 mặt phẳng :
( P ) : Ax  By  Cz  D  0
(Q ) : A ' x  B ' y  C ' z  D  0

 (P)//(Q) 

A B C
D



A' B ' C ' D '

 ( P)  (Q) 

A B C
D



A' B ' C ' D '

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 04. Hình học toạ độ không gian

A B C
D



A' B ' C ' D '


 
 ( P)  (Q)  n P  nQ  nP .nQ  0  ( A, B, C )( A ', B ', C ')  0

 (P) cắt (Q) 

 AA' BB ' CC '  0
4. Công thức viết phƣơng trình mặt phẳng:
a. Công thức viết phƣơng trình mặt phẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; x0 ) với véc tơ pháp tuyến

n( A, B, C ) là:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0

Ví dụ 1 – ĐHKB 2008
Cho A(0;1;2) B(2;-2;1) C(-2;0;1)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.
Ví dụ 2 – ĐHKB 2009
Tứ diện ABCD với A(1;2;1)

B(-2;1;3)

C(2;-1;1)

D(0;3;1)

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B sao cho d(C,(P)) = d(C;(P)
Ví dụ 3 :
Cho tứ diện ABCD với A(-2 ;1 ;2) B(0 ;4 ;1) C(5 ;1 ;-5)

D(-2 ;8 ;-5)

Viết phương trình mặt phẳng (P) cách đều 4 đỉnh của tứ diện, đồng thời A nằm về 1 phía của (P) còn 3
điểm B, C, D nằm về phía còn lại của (P).
Ví dụ 4:
Viết phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại 3 điểm A, B, C sao cho H(1;2;3) là trực tâm tam
giác ABC.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG.
b. Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. CMR: ABC là tam giác đều.
Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
x 1 y  3 z
:

 và điểm M(0 ; - 2 ; 0).
1
1
4
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời khoảng cách
giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4.
Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:
 x  5  2t
x  y  z  7  0


(d1 ) :  y  1  t
và (d 2 ) : 
2 x  3 y  z  16  0
z  5  t


Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1 ) và (d 2 )
Bài 4. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:

x 1 y z  2
.
 
2
1
3

Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa d sao cho khoảng cách từ điểm I (1,0,0) tới (Q ) bằng

2
.
3

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương
x y 1 z  2
trình: (P): 2x  y  2z  2 = 0;
(d):


1

2
1
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
Bài 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng
(Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1)
và hai đường thẳng (d ) :

x y 1 z
x y 1 z  4



và (d ') : 
1
2
3
1
2
5

Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trì nh mặt phẳng đó .
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1. Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho ñiểm G(1;1;1)
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG.
b. Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C.
CMR: ABC là tam giác ñều.
Lời giải:
a. Do OG ⊥ ( P ) ⇒ n( P ) = OG = (1;1;1) ⇒ ( P ) :1( x − 1) + 1( y − 1) + 1( z − 1) = 0 ⇒ ( P ) : x + y + z − 3 = 0
y = 0
b. Vì phương trình của Ox : 
⇒ A(3; 0;0) . Tương tự : B(0;3;0) và C (0;3;0)
z = 0
Ta có: AB=BC=CA=3 2 ⇒ ∆ABC là tam giác ñều

Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng :
x −1 y − 3 z
∆:
=
= và ñiểm M(0 ; - 2 ; 0).
1
1
4

Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua ñiểm M song song với ñường thẳng ∆ ñồng thời khoảng cách
giữa ñường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4.
Lời giải:
Giả sử n(a; b; c) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0.
ðường thẳng ∆ ñi qua ñiểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương u = (1;1; 4)

n.u = a + b + 4c = 0
∆ / /( P)

⇔  | a + 5b |
Từ giả thiết ta có 
=4
d ( A; ( P )) = 4
 2
2
2
 a +b +c
Thế b = - a - 4c

a
=4 v
c

⇔

Với

(1)
(2)

vào (2) ta có ( a + 5c) 2 = (2a 2 + 17c 2 + 8ac) ⇔ a 2 - 2ac − 8c 2 = 0

a
= −2
c

a
= 4 chọn a = 4, c = 1 ⇒ b = - 8. Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 = 0.
c

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Với

Hình học giải tích trong không gian

a
= −2 chọn a = 2, c = - 1 ⇒ b = 2. Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0.
c

Bài 3. Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho 2 ñường thẳng có phương trình:

 x = 5 + 2t
x + y + z − 7 = 0

(d1 ) :  y = 1 − t
và (d 2 ) : 
2 x + 3 y + z − 16 = 0
z = 5 − t

Viết phương trình mặt phẳng chứa ( d1 ) và ( d 2 )

Lời giải:
Giả sử mặt phẳng cần lập là (Q) ta có:
Lấy 2 ñiểm M (5;1;5) ∈ d1 ; N (5; 2; 0) ∈ d 2 ⇒ MN = (0;1; −5)
Và n ( Q ) = u ( d1 ) .MN  = (6;10; 2) ⇒ (Q) : 6( x − 5) + 10( y − 1) + 2( z − 5) = 0 hay (Q ) : 3 x + 5 y + z − 25 = 0

Bài 4. Trong không gian Oxyz cho ñường thẳng d:

x −1 y z + 2
= =
.
2
1
−3

Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa d sao cho khoảng cách từ ñiểm I (1, 0, 0) tới (Q) bằng

2
.
3

Lời giải:
Dễ thấy A(1;0;-2), B(3;1;-5) thuộc (d).
Khi ñó phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng:

a ( x − 1) + b( y − 0) + c( z + 2) = 0
B ∈ (Q ) ⇒ 2a + b − 3c = 0 ⇒ b = 3c − 2a
⇒ (Q ) : ax + (3c − 2a ) y + cz + 2c − a = 0
a = c ⇒ b = c
2
⇒ d ( I , (Q)) =
=
⇔
2
2
2
 a = 7c ⇒ b = c
3
a + (3c − 2a ) + c
5
5

| a + 2c − a |

 a = 5, b = 5 ⇒ (Q ) : x + y + z + 1 = 0
Chọn c = 5 ⇒ 
 a = 7, b = 1 ⇒ (Q ) : 7 x + y + 5 z + 3 = 0
Vậy có 2 mặt phẳng cần tìm như trên.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và ñường thẳng (d) lần lượt có phương
trình:

(P): 2x − y − 2z − 2 = 0;

(d):

x
y +1 z − 2
=
=
−1
2
1

Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa ñường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

2 x + y + 1 = 0
Lời giải: ðường thẳng (∆) có VTCP u = ( −1; 2;1) ; PTTQ: 
x + z − 2 = 0
Mặt phẳng (P) có VTPT n = (2; −1; −2)
Góc giữa ñường thẳng (∆) và mặt phẳng (P) là: sin α =

| −2 − 2 − 2 |
6
=
3
3. 6

⇒ Góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là cos α = 1 −

6
3
=
9
3

Giả sử (Q) ñi qua (∆) có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z − 2) = 0 (m2+ n2 > 0)
⇔ (2m + n)x + my + nz + m − 2n = 0
Vậy góc giữa (P) và (Q) là: cos α =

| 3m |
3. 5m + 2n + 4mn
2

=

2

3
3

⇔ m2 + 2mn + n2 = 0 ⇔ (m + n)2 = 0 ⇔ m = −n.

Chọn m = 1, n = −1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y − z + 3 = 0

Bài 6. Trong không gian với hệ trục toạ ñộ Oxyz cho ñiểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng
(Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B và vuông góc với (Q).

Lời giải: Ta có AB (1;1;1), nQ (1; 2;3),  AB; nQ  = (1; −2;1)
Vì  AB; nQ  ≠ 0 nên mặt phẳng (P) nhận  AB; nQ  làm véc tơ pháp tuyến
Vậy (P) có phương trình x - 2y + z - 2 = 0

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm M(1;-1;1)
và hai ñường thẳng (d ) :

x y +1 z
=
=
1
−2
−3

và (d ') :

x y −1 z − 4
=
=
1
2
5

Chứng minh: ñiểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng ñó.

Lời giải: (d) ñi qua M 1 (0; −1; 0) và có vtcp u1 = (1; −2; −3)
(d’) ñi qua M 2 (0;1; 4) và có vtcp u2 = (1; 2;5)
Ta có u1 ; u2  = (−4; −8; 4) ≠ O , M 1M 2 = (0; 2; 4)
Xét u1 ; u2  .M 1M 2 = −16 + 14 = 0 nên (d) và (d’) ñồng phẳng.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) thì (P) có vtpt n = (1; 2; −1) và ñi qua M1 nên có phương trình
x + 2y − z + 2 = 0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Dễ thấy ñiểm M(1;-1;1) thuộc mp(P) , từ ñó ta có M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 04. Hình học toạ độ trong không gian

BÀI 4. LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG (TIẾP THEO)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4. Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng (Tiếp theo)
thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 4. Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng (Tiếp theo). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.

4. Công thức viết phƣơng trình mặt phẳng:
a. Công thức viết phƣơng trình mặt phẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; x0 ) với véc tơ pháp tuyến

n( A, B, C ) là:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0

Ví dụ 5:
Cho mặt phẳng:
( P) : x  2 y  z  5  0
(Q ) : 2 x  y  4 z  2  0

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;0;-2) và vuông góc với cả 2 mặt phẳng (P) và (Q).
b. Công thức viết phƣơng trình mặt phẳng đi qua 3 điểm lần lƣợt nằm trên 3 trục tọa độ:
A(a;0;0) B(0;b;0)

C(0;0;c) là:

x y z
   1 (a.b.c  0)
a b c

Pt này đƣợc gọi là phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn (gọi tắt là phƣơng trình mặt chắn).
Ví dụ 1:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các hình chiếu của điểm M(1;-2;3) trên các trục tọa độ.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3), cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các
điểm A, B, C ở phần dương khác gốc O sao cho:
a) M là trọng tâm tam giác ABC.
b) Tam giác ABC đều
c) Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 3 :
Cho M(1 ;1 ;1) N(-1 ;-1 ;5). Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm M, N và cắt các tia Ox, Oy, Oz
lần lượt tại A, B, C ở phần dương khác gốc O sao cho thể tích tứ diện OABC bằng

27
6

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG (tiếp theo)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Bài tập có hƣớng dẫn giải:
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng (P): 2 x  2 y  z  1  0 .
a. Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M1 và tính độ dài đọan MM1.
x-1 y-1 z-5
b. Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng :


2
1
-6
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0;0;0),
B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2)
a. Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm của BC .
Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) vuông góc nhau.
b. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N ≠ A ) tới 2 mặt phẳng
( AB1D1) và ( AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(3;-1;-5) và vuông góc với 2 mặt phẳng
( P1 ) : 3x  2 y  2 z  7; ( P2 ) : 5 x  4 y  3z  1 .
x 1 y z  2
 
. Viết phương trình mặt phẳng   chứa
2
1

2
d sao cho khoảng cách từ A đến   lớn nhất.

Bài 4. Cho điểm A  2;5;3 và đường thẳng d :

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng
với O qua (ABC).
Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Bài tập tự giải :
Bài 1. Lập phương trình mp () đi qua hai điểm A(2 ; 1 ; 0), B(5 ; 1; 1) và khoảng cách từ điểm
1
7

M  0; 0;  đến mp() bằng
.
2
6 3

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ biết A(0;0;0),
B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Lập phương trình mp() chứa đường thẳng CD’ và tạo với mp(BB’D’D)
một góc nhỏ nhất.
Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trung với gốc
tọa độ, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), A’(0 ; 0 ; b) với a, b > 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’. Tính thể tích khối
a
tứ diện BDA’M theo a và b và xác định tỉ số
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
b
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0 ; 1 ; 2) và hai đường thẳng :
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

x y 1 z  1
d1: 

2
1
1

Hình học giải tích trong không gian

x  1 t

d2:  y  1  2t
z  2  t


Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2. Tìm tọa độ các điểm M trên d1,
N trên d2 sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng.
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ; 2 ; 0). Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC.
a. Viết phương trình đường thẳng OG.
b. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A, B, C.
c. Viết phương trình các mp vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG (tiếp theo)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Bài tập có hƣớng dẫn giải:
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng (P): 2 x  2 y  z  1  0 .
a. Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M1 và tính độ dài đọan MM1.
x-1 y-1 z-5
b. Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng :


2
1
-6
Lời giải:
Tìm M 1 là h/c của M lên mp (P)


Mp (P) có PVT n   2, 2, 1
 x  5  2t

Pt tham số MM 1 qua M,   P  là  y  2  2t
 z  3  t


Thế vào pt mp (P): 2 5  2t   2  2  2t    3  t  1  0  18  9t  0  t  2 .
Vậy MM1   P   M1 1, 2, 1
Ta có MM 1 

 5  1   2  2    3  1

Đường thẳng  :

2

2

2

 16  16  4  36  6


x 1 y 1 z  5
đi qua A(1,1,5) và có VTCP a   2,1, 6



2
1
6


Ta có AM   4,1, 8
 
Mặt phẳng (Q) đi qua M, chứa   mp (Q) qua A có PVT là  AM , a    2,8, 2  hay 1,4,1 nên pt (Q):
 x  5  4  y  2   z  3  0

Pt (Q): x  4 y  z  10  0
Cách khác: Mặt phẳng (Q) chứa  nên pt mp(Q) có dạng:
x  2 y  1  0 hay m( x  2 y  1)  6 y  z  11  0 . Mặt phẳng (Q) đi qua M(5;2; - 3) nên ta có 5 – 4 + 1 = 0
( loại) hay m( 5 – 4 + 1) + 12 – 3 – 11 = 0  m = 1.

Vậy Pt (Q): x  4 y  z  10  0
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0;0;0),
B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

a. Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm của BC .

Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) vuông góc nhau.
b. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N ≠ A ) tới 2 mặt phẳng
( AB1D1) và ( AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
Lời giải:
a. Ta có A 0,0,0 ; B  2,0,0 ; C  2, 2,0 ;D(0;2;0)

A1  0,0, 2 ; B1  2,0, 2 ; C1 2, 2, 2 ; D1 0, 2, 2 


Mp  AB1D1  có cặp VTCP là: AB1   2,0, 2 ; AD1   0, 2, 2
 1  
 mp  AB1D1  có 1 PVT là u   AB1 , AD1    1, 1,1
4


Ta có M  2,1,0 nên Mp  AMB1  có cặp VTCP là: AM   2,1,0 ; AB1   2,0, 2
 1  
 mp  AMB1  có 1 PVT là v   AM , AB   1, 2, 1
2

 
Ta có: u.v  11 1 2  1 1  0  u  v   AB1D1    AMB1  (đpcm)
x  t


b. AC1   2, 2, 2  phương trình tham số AC1 :  y  t , N  AC1  N t , t , t 
z  t


Phương trình  AB1D1  :   x  0   y  0   z  0  0  x  y  z  0

 d  N , AB1 D1  

t t t
3



t
3

 d1

Phương trình  AMB1  :  x  0  2  y  0   z  0  0  x  2 y  z  0
 d  N , AMB1  

t  2t  t
1 4 1



2t
6

 d2

t


t 6
d1

6
2
 3 


d2 2 t
2
32t 2 3
6

Vậy tỉ số khoảng cách từ N  AC1  N  A  t  0 tới 2 mặt phẳng
thuộc vào vị trí của điểm N.

 AB1D1 

và

 AMB1 

không phụ

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(3;-1;-5) và vuông góc với 2 mặt phẳng
( P1 ) : 3x  2 y  2 z  7; ( P2 ) : 5 x  4 y  3z  1 .
Lời giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

  
Mặt phẳng (P) vuông góc với 2 mặt phẳng nên: nP   nP1 , nP2   (2;1; 2) .

Do đó (P): 2( x  3)  1.( y  1)  2( z  5)  0  ( P) : 2 x  y  2 z
Bài 14.
Lời giải:
x 1 y z  2
 
. Viết phương trình mặt phẳng   chứa
2
1
2
d sao cho khoảng cách từ A đến   lớn nhất.

Bài 4. Cho điểm A  2;5;3 và đường thẳng d :

Lời giải:
Gọi K là hình chiếu của A trên d  K cố định;
Gọi   là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên   .
Trong tam giác vuông AHK ta có AH  AK.
Vậy AH max  AK    là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK.
Gọi    là mặt phẳng qua A và vuông góc với d     : 2x  y  2z 15  0

 K  3;1;4

  là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK    : x  4 y  z  3  0
Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng
với O qua (ABC).
Lời giải:
Từ phương trình đoạn chắn suy ra phương trình tổng quát của (ABC) là:
x y z
 
 1  2x  y  z  2  0
1 2 2
 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (ABC), OH vuông góc với (ABC) nên OH / / n(2;1; 1) ; H   ABC 

1
2 1 1
Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có 2.2t  t  (t )  2  0  t   H ( ; ;  )
3
3 3 3
4 2 2
O’ đối xứng với O qua (ABC)  H là trung điểm của OO’  O '( ; ;  )
3 3 3

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Lời giải:


Ta có: AB  (2; 2; 2), AC  (0; 2; 2).

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -