Chuyên đề 06 số phức kit1

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 06. Số phức

BÀI 1. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1) thuộc
khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

I. Lý thuyết cơ sở:
Gọi z là một số phức, khi đó z có dạng: x = a + bi ( a, b  R )
Trong đó a gọi là phần thực, b là phần ảo, i là một số thỏa mãn i 2  1 , i được gọi là đơn vị ảo.
+ Nếu b = 0 thì z là số thực.
+ Nếu a = 0 tức là z = bi thì z được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo)
+ Tập hợp các số phức được kí hiệu là C.
2. Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + bi, khi đó số phức z  a  bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z.
3. Modul của số phức:
Cho số phức z = a + bi, modul của z là một số và kí hiệu là | z | .

| z | được tính theo công thức: | z || a  bi | a2  b2
z1.z2 | z1 || z2 |;
z1 | z1 |

z2 | z2 |

4. Các phép toán về số phức:
Cho 2 số phức: z = a+ bi ; z’ = a’ + b’i
a  a '

z  z '  
b  b '
 z  z '  a  bi  a ' b ' i  (a  a ')  (b  b ')i
 z  z '  a  bi  a ' b ' i  (a  a ')  (b  b ')i

Khi nhận 2 số phức với nhau ta nhân bình thường như nhân 2 đa thức, sau đó chỗ nào có i2 = -1.
Khi chia 2 số phức cho nhau ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của số phức ở dưới mẫu.
II. Các dạng bài tập:
Dạng I: Biến đổi số phức:
Bài tập mẫu:
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết:
1. ĐHKA 2010: z  ( 2  i ) 2 (1  2i)

1
 1 i 
21
2. z  
  (1  i)  (3  2i)(3  2i) 
i
 1 i 
67

 1 i 3 
3. ĐHKB 2011: z  

 1 i 

3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

 1 i 
4. z  

 1 i 
5. z 

Chuyên đề 06. Số phức

2012

i 2006  i 2007  i 2008  i 2009  i 2010
i 2011  i 2012  i 2013  i 2014  i 2015

6. z  1  (1  i)  (1  i) 2  ...  (1  i) 2012
7. (2  3i) z  (4  i) z  (1  3i) 2

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 06. Số phức

BÀI 1. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1) thuộc
khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1). Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n , biết rằng n  N thỏa mãn phương trình
log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: P 

i 5  i 7  i 9  ...  i 2009
i 4  i 5  i 6  ...  i 2010

Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức  

z i
trong đó z  1  2i
z i

Bài 4: Cho số phức z  1  3i . Tìm số nghịch đảo của số phức:   z 2  z.z
Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: z  5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 06. Số phức

BÀI 1. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 1)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1) thuộc
khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1). Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n , biết rằng n  N thỏa mãn phương trình
log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3

Giải:

n  N
Điều kiện: 
n  3
Phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3  log4(n – 3)(n + 9) = 3

n  7
 (n – 3)(n + 9) = 43  n2 + 6n – 91 = 0  
 n  13
Vậy n = 7.

(thoả mãn)
(không thoả mãn)

3

2
Khi đó z = (1 + i)n = (1 + i)7 = 1  i  . 1  i    1  i  .(2i)3  (1  i).(8i)  8  8i



Vậy phần thực của số phức z là 8.
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: P 

i 5  i 7  i 9  ...  i 2009
i 4  i 5  i 6  ...  i 2010

Giải:
1  i2 

1003

i  i  i  ...  i
5

7

9

2009

 i (1  i  i  ...  i
5

2

4

2004

)  i.

1  i2

i

i 4  i 5  i 6  ...  i 2010  (1  i 2  i3  i 4  ...  i 2010 )  (1  i 2  i3 )
1  i 2011


 (1  1  i)  i  1
1 i
P

i
1 1
  i
i 1 2 2

Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức  

z i
trong đó z  1  2i
z i

Giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 06. Số phức

z  1  2i  z  1  2i

Ta có:  

z  i 1  2i  i 1  3i (1  3i )(1  3i ) 1  6i  9i 2
4 3




  i
2
1  9i
5 5
z  i 1  2i  i 1  3i (1  3i)(1  3i)

4
3
Vậy phần thực của  là  , phần ảo của  là .
5
5
Bài 4: Cho số phức z  1  3i . Tìm số nghịch đảo của số phức:   z 2  z.z
Giải:
Với z  1  3i , ta có

  z 2  z.z  (1  3i ) 2  (1  3i )(1  3i )  1  6i  9i 2  1  9i 2  1  6i
1





1

2  6i
1 3

  i
2  6i (2  6i)(2  6i) 10 10

Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: z  5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
Giải:
Giả sử : z = a + bi

(a- phần thực, b- phần ảo)


a  2 5 
a  2 5 

z 5
 a 2  b2  5 
a  2b

Ta có: 


 



a

2

b
b


5
a

2
b

b


5
b

5









Kết luận: Có hai số phức thoả yêu cầu bài toán: z  2 5  5i; z  2 5  5i .

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 06. Số phức

BÀI 2. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 2. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 2) thuộc
khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Bài 2. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 2). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Bài 2 – ĐHKA 2011: Tìm modul của số phức z biết: (2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i )  2  2i

1  3i 
Bài 3: ĐHKA 2010: Cho số phức z thỏa mãn: z 
1 i

3

. Tính modul của số phức z  iz

Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn: ( z  2)(1  2i )  5 z . Tính modul của số phức w=(z+2i)2011
Bài 5: Tìm modul của số phức z biết:

5i 3
1  0
z
2. KD 2011: z  ( z  3i) z  1  9i

1.KB 2011: z 

3.KA2011: z 2 | z |2  z
4.KD 2010 : | z | 2 và z2 là số thuần ảo.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Tìm số phức z thỏa mãn ñiều kiện:
Bài 1.
a ) z.z − 3(2 z + z ) = −19 + 3i

b)| z − 1|=| z + 2i | và

z +i
=1
z +1− i

Bài 2.
| z + 1 − 2i |=| z + 3 + 4i | và

z − 2i
là số thuần ảo.
z +i

Bài 3.

( z + 2z )

3

= 8i

Bài 4:

Tìm số phức z thỏa mãn: | iz − 3 |=| z − 2 − i | và modul z nhỏ nhất.

Bài 5:
| z + 1 + 2i |= 1 và |z| là nhỏ nhất.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Tìm số phức z thỏa mãn ñiều kiện:
Bài 1.
a ) z.z − 3(2 z + z ) = −19 + 3i

Gọi z = a + bi ( a, b ∈ R )

Ta có:

z.z − 3(2 z + z ) = −19 + 3i
⇔ (a + bi )(a − bi ) − 3 [ 2a + 2bi + a − bi ] = −19 + 3i
⇒ a 2 + b 2 − 9a − 3bi = −19 + 3i
a 2 + b 2 − 9a = −19
a = 4, a = 5  z = 4 − i
⇔
⇔
⇒
b = −1
z = 5 − i
−3b = 3
b)| z − 1|=| z + 2i | và

z +i
=1
z +1− i

Gọi z = a + bi (a, b ∈ R ) , ta có:
| z − 1|=| z + 2i |

⇔| a − 1 + bi |=| a + (b + 2)i |
⇔ (a − 1)2 + b 2 = a 2 + (b + 2) 2
⇔ 4b + 2a + 3 = 0 (1)

z +i
z +i
=
⇔| z + i |=| z + 1 − i |

z +1− i
z +1− i
Biến ñổi như trên ta có pt: 2a – 4b + 1 = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = -1; b = -1 nên z = -1 – i

Bài 2.
| z + 1 − 2i |=| z + 3 + 4i | và

z − 2i
là số thuần ảo.
z +i

Giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

Gọi z = a + bi (a, b ∈ R )

+ | z + 1 − 2i |=| z + 3 + 4i |⇔| a + 1 + (b − 2)i |=| a + 3 + (4 − b)i |
Biến ñổi ta có pt: a – b + 5 = 0 suy ra b = a+ 5 (1)

+

z − 2i a + (b − 2)i ( a + (b − 2)i )( a − (1 − b)i )
=
=
a + (1 − b)i
a 2 − (1 − b 2 )i 2
z+i

=

a 2 + (b − 2)(1 − b) 2ab − a − 2
+ 2
i
a 2 + (1 − b)2
a + (1 − b) 2

Vì

z − 2i
a 2 + (b − 2)(1 − b)
là số thuần ảo nên ta có:
= 0 ⇔ a 2 + (b − 2)(1 − b) = 0 (2)
a 2 + (1 − b) 2
z+i

Thay (1) vào (2) ta có:

a 2 + (a + 3)(− a − 4) = 0
12


a = − 7
⇔
b = 23

7
Vậy: z = −

12 23
+ i
7 7

Bài 3.

( z + 2z )

3

= 8i

Giải:
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ R )

(

Ta có: z + 2 z

)

3

= 8i ⇔ [ a + bi + 2(a − bi )] = 8i
3

⇔ (3a − bi )3 = 8i ⇔ 27a 3 − 27 ab 2i 2 − b3i 3 = 8i
⇔ 27 a 3 − 9ab 2 + (b3 − 27a 2b)i = 8i
27 a 3 − 9ab 2 = 0
⇔ 3
2
b − 27 a b = 8
Giải hệ pt trên ta suy ra:

 a = 0; b = 3 8

 a = ± 1 ; b = −1

3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

Vậy:


 z = 3 8i

1

z = 3 − i

1

z = − 3 − i


Bài 4:
Tìm số phức z thỏa mãn: | iz − 3 |=| z − 2 − i | và modul z nhỏ nhất.

Giải:
Giả sử: z = a + bi (a, b ∈ R )
Ta có:

| iz − 3 |=| z − 2 − i |⇔| −b − 3 + ai |=| a − 2 + (b − 1)i |
⇔ (b + 3)2 + a 2 = (a − 2)2 + (b − 1) ⇔ a = −2b − 1

2
1 1
Do ñó: | z |= a 2 + b 2 = (2b + 1) 2 + b 2 = 5b 2 + 4b + 1 = 5(b + ) 2 + ≥ ∀b ∈ R
5
5 5
2
2



b=−
2

b
+
=
0
1

5

Suy ra |z| nhỏ nhất bằng
⇔ 
⇔
5
5
a = −2b − 1
a = − 1

3


1 2
Vậy z = − − i
5 5
Bài 5:
| z + 1 + 2i |= 1 và |z| là nhỏ nhất.

Giải:

Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R)
M(x,y) là ñiểm biểu diễn số phức z.
Ta có: | z + 1 + 2i |= 1 ⇔ ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1
ðường tròn (C): ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 có tâm I(-1;-2)
ðường thẳng OI có phương trình: y = 2x
Số phức z có modul nhỏ nhất khi và chỉ khi ñiểm biểu diễn nó thuộc (C) và gần gốc tọa ñộ O nhất, ñó
chính là 1 trong 2 giao ñiểm của OI và (C). Khi ñó nó thỏa mãn hệ:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương


 x = −1 −
 y = 2x
⇒

2
2
( x + 1) + ( y + 2) = 1  x = −1 +


Chọn z = −1 +

1
; y = −2 −

5
1
; y = −2 +
5

Số phức

2
5
2
5

1 
2 
+  −2 +
i
5 
5

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -

Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chun đề 06. Số phức

BÀI 3. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 3)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 3) thuộc
khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Bài 3. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 3). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Bài 5: Tìm modul của số phức z biết:
5) | z  (2  i ) | 10 và z.z  25
6) ( z  1)( z  2i) là số thực và |z| nhỏ nhất
7)z  0, |z+1-2i|=| z  1  2i | và z 2  3iz là số thuần ảo
8)|z-2|=2 và (2+i)( z  2) có phần ảo bằng -2

Bài 6: Trong (0xy) tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
1. ĐHKD 2009: | z  (3  4i) | 2
2. ĐHKB 2010: | z  i || (1  i) z |
3)

z i
1
z  3i

4)z 2  | z | 0

5)| z  3| 10 | z  3|

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1:
Tìm modul của số phức z biết:
a ) z = 4 − 3i + (1 − i )3
b) z = (4 − 3i )2 + (1 + 2i )3
c) z = 3(1 + i )100 − 4i (1 + i )98 + 4(1 + i )96

Bài 2:
Cho số phức z thỏa mãn:

| z | −2 z = 3(−1 + 2i )
Tính | z | + | z |2 + | z |3

Bài 3:
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z thỏa ñiều kiện:

a ) 2 | z |2 +5 z + 5 z = 0
b)| z − 2 | + | z + 2 |= 6
c) z 2 + | z |= 0
d) z2 là số thuần ảo.
e) z có phần thực bằng 3.

Bài 4:
Cho số phức z = x + yi ; x, y ∈ Z thỏa mãn:
z 3 = 18 + 26i
Tính T = ( z − 2 )

2009

+ (4 − z)

2009

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 3)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1:
Tìm modul của số phức z biết:
a ) z = 4 − 3i + (1 − i )3
b) z = (4 − 3i )2 + (1 + 2i )3
c) z = 3(1 + i )100 − 4i (1 + i )98 + 4(1 + i )96

Giải:
a ) z = 4 − 3i + (1 − 3i + 3i 2 − i 3 ) = 2 − 5i
⇒| z |=| 2 − 5i |= 22 + ( −5) 2 = 29
b) z = (16 − 24i + 9i 2 ) + (1 + 3.2i + 3.4i 2 + 8i 3 ) = −4 − 26i
⇒| z |=| −4 − 26i |= ( −4) 2 + (−26) 2 = 2 173
c) z = (1 + i )96 3(1 + i )4 − 4i (1 + i ) 2 + 4 
= (1 + i )96 3(2i ) 2 − 4i (2i ) + 4  = (1 + i )96 .0 = 0
⇒| z |= 0

Bài 2:
Cho số phức z thỏa mãn:

| z | −2 z = 3(−1 + 2i )
Tính | z | + | z |2 + | z |3

Giải:
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ R )
Từ giả thiết suy ra:

a 2 + b 2 − 2(a − bi ) = −3 + 6i
 a 2 + b 2 − 2a = −3
⇔
2b = 6
Giải hệ pt trên ta suy ra:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

 a = 0 ( L)
a = 4 ( N )

⇒ z = 4 + 3i
⇒| z | + | z |2 + | z |3 = 155

Bài 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện:
a ) 2 | z |2 +5 z + 5 z = 0
b)| z − 2 | + | z + 2 |= 6
c) z 2 + | z |= 0
d) z2 là số thuần ảo.
e) z có phần thực bằng 3

Giải:
a ) Gọi z = z+ yi (x, y ∈ R), ta có:
2 | z |2 +5 z + 5 z = 0
⇔ 2 | x + yi |2 +5( x + yi ) + 5( x − yi) = 0
⇔2

(

x2 + y 2

) + 10 x = 0
2

⇔ x2 + y 2 + 5x = 0
2

5
25

⇔  x +  + y2 =
2
4


5
 5 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường tròn tâm  − ;0  ; R =
2
 2 

b) Gọi z = z+ yi (x, y ∈ R), ta có:
| x − 2 + yi | + | x + 2 + yi |= 6
⇔ ( x − 2)2 + y 2 + ( x + 2)2 + y 2 = 6 (*)
Gọi F1(-2;0)

F2(2;0) (x,y) khi đó (*) ⇔ MF1 + MF2 = 6

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là (E) có độ dài trục lớn 2a = 6, tiêu cự 2c = 4
(c = 2), độ dài trục bé 2b = 2 5 tức:

(E ) :

x2 y 2
+
=1
9
5

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

c) Goïi z = z+ yi (x, y ∈ R)
Khi ñoù: z 2 + | z |= 0 ⇔ x 2 − y 2 + 2 xyi + x 2 + y 2 = 0
⇔ x 2 − y + x 2 + y 2 + 2 xyi = 0 + 0i
 x 2 − y + x 2 + y 2 = 0
⇔
2 xy = 0
x = y = 0
⇔  x = 0, y = 1
 x = 0, y = −1
Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện ñã cho gồm 3 ñiểm:
{(0;0),(0;1);(0;-1)}
d) Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R )
Khi ñó: z 2 = ( x + yi ) 2 = x 2 − y 2 + 2 xy là số thuần ảo khi và chỉ khi:

x = y
x2 − y2 = 0 ⇔ x2 = y 2 ⇔ 
x = − y
Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z2 là số thuần ảo là các ñường thẳng y = x; y = -x.
e) z có phần thực bằng 3:
Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R )
Khi ñó z có phần thực bằng 3 ⇔ x = 3
Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng 3 là ñường thẳng x = 3.
Bài 4:
Cho số phức z = x + yi ; x, y ∈ Z thỏa mãn:

z 3 = 18 + 26i
Tính T = ( z − 2 )

2009

+ (4 − z)

2009

Giải:
Ta có:

z 3 = ( x 3 − 3 xy 2 ) + ( 3 x 2 y − y 3 ) i = 18 + 26i
 x 3 − 3 xy 2 = 18
⇔ 2
3
3 x y − y = 26
3
2
 x (1 − 3t ) = 18
Do x = y = 0 không là nghiệm. ðặt y = tx ⇒  3
3
 x (3t − t ) = 26

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Chia vế theo vế ta có:

+ Khi t =

Số phức

1 − 3t 2 18
=
⇔ (3t − 1)(3t 2 − 12t − 13) = 0
3
3t − t
26

1
thì y = 1, x = 3 thỏa mãn x,y ∈ Z
3

+ Khi 3t 2 − 12t − 3 = 0 thì x,y ∉ Z
Vậy số phức ñã cho là z = 3 + i.
Vậy:

T = ( z − 2)
= (1 + i )

2009

+ (4 − z)

+ (1 − i )

2009

1004

=  (1 + i )2 

2009

2009

(1 + i ) + (1 + i)2 

1004

(1 − i )

= 21004 (1 + i ) + 21004 (1 − i ) = 21005

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 06. Số phức

BÀI 4. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4.Giải phương trình trên tập số phức thuộc khóa
học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức
phần Bài 4.Giải phương trình trên tập số phức Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

a) Cách tính căn bậc 2 của số thực âm và số phức:
VD1: Tính căn bậc 2 của:
1) z  5
2) z  16

VD2: Tính căn bậc 2 của z  48 14i
b) Bài tập:
Bài 1: ĐHKA 2009 Gọi z1; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z2  2 z  10  0
Tính giá trị của biểu thức: A | z1 |2  | z2 |2
Bài 2: Gọi z1; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z 2  (1  i) z  1  i  0
Tính giá trị của biểu thức A | z1  z2 |
Bài 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a) z 3  1  0
b) 2(1  i ) z 2  4(2  i) z  5  3i  0

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng

Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1:
Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình: z 4 + 3 z 2 + 4 = 0
4

4

4

Tính A = z1 + z2 + z3 + z4

4

Bài 2:
Gọi z1; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình:

z2 + 2z + 5 = 0
Tính giá trị của biểu thức P = z12 + z22

Bài 3:
Giải phương trình sau trên tập số phức:
1) z 2 − (1 + i ) z + 6 + 3i = 0
3

 z +i 
2) 
 =1
i−z
3) ( z 2 − 2 ) ( z + 3)( z + 2 ) = 10

Bài 4:
Giải pt nghiệm phức:

z+

25
= 8 − 6i
z

Bài 5:
Giải pt sau trên tập phức biết rằng nó có nghiệm thực:
2 z 3 − 5 z 2 + (3 + 2i ) z + 3 + i = 0

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1:
Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình: z 4 + 3 z 2 + 4 = 0
4

4

4

Tính A = z1 + z2 + z3 + z4

4

Giải:
Pt ⇔ ( z 2 + 2)2 − z 2 = 0
⇔ ( z 2 + z + 2 )( z 2 − z + 2 ) = 0
z2 + z + 2 = 0
⇔ 2
z − z + 2 = 0

1
7
i
z = − ±
2 2

⇔

1
7
i
z = ±

2 2
4

4

4

4

1
7
1
7
1
7
1
7
⇒ A= − +
i +− −
i + +
i + −
i
2 2
2 2
2 2
2 2
= 16

Bài 2:
Gọi z1; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình:
z2 + 2z + 5 = 0
Tính giá trị của biểu thức P = z12 + z22

Giải:
Giải tương tự bài 1 ta có ñáp số: P = 10

Bài 3:
Giải phương trình sau trên tập số phức:
1) z 2 − (1 + i ) z + 6 + 3i = 0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

Ta có: ∆ = (1 − 5i )2
có 2 căn bậc 2 là: ±1 − 5i
 z = 1 − 2i
Vậy pt có 2 nghiệm: 
 z = 3i
3

 z +i 
2) 
 =1
i−z
ðK: z ≠ i
ðặt w =

z +i
⇒ pt : w3 = 1
i−z

⇒ ( w − 1) ( w2 + w + 1) = 0
w = 1
⇔ 2
w + w + 1 = 0

w = 1

−1 + i 3
⇒ w =

2

 w = −1 − i 3

2
+ Với w = 1 ta có z = 0
+ Với w =

−1 + i 3
ta có: z = - 3
2

+ Với w =

−1 − i 3
ta có z =
2

3

Vậy pt có 3 nghiệm:
z = 0

z = − 3
z = 3


3) ( z 2 − 2 ) ( z + 3)( z + 2 ) = 10
⇔ z ( z − 1)( z + 3)( z + 2 ) = 10
⇔ ( z − 1)( z + 3) ( z 2 + 2 z ) = 10
⇔ ( z 2 + 2 z )( z 2 + 2 z − 3) = 10
ðặt t = z 2 + 2 z . Khi ñó pt trở thành:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

t 2 − 3t − 10 = 0
t = −2  z = −1 ± i
⇔
⇒
t = 5
 z = −1 ± 6

Bài 4:
Giải pt nghiệm phức:
z+

25
= 8 − 6i
z

Giải:
Gọi z = a + bi với a, b ∈ R và a, b không ñồng thời bằng 0
Khi ñó: z = a − bi

25(a − bi )
= 8 − 6i
a 2 + b2
⇔ a (a2 +b2 +25)-b(a2 +b2 +25)i = 8(a2 +b2 ) − 6(a2 +b2 )i
Pt ⇔ a − bi +

2
2
2
2
a (a +b +25) = 8(a +b )
⇔ 2 2
2
2
 b(a +b +25) = 6(a +b )

Giải hệ pt trên ta có:
a = 0

a = 4

Với a = 0 thì b = 0 (loại)
Với a = 4 thì b = 3 nên ta có số phức z = 4 + 3i.

Bài 5:
Giải pt sau trên tập phức biết rằng nó có nghiệm thực:
2 z 3 − 5 z 2 + (3 + 2i ) z + 3 + i = 0

Giải:
Pt ⇔ 2 z 3 − 5 z 2 + 3 z + 3 + (2 z + 1)i = 0

 2 z 3 − 5 z 2 + 3z + 3 = 0
1
Vì pt có nghiệm thực ( z ∈ R ) ⇒ 
⇔z=−
2
2 z + 1 = 0
Do ñó pt ⇔ (2 z + 1)( z 2 − 3 z + 3 + i ) = 0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Số phức

 z = −1/ 2
2 z + 1 = 0
⇔ 2
⇔  z = 2 − i
 z − 3z + 3 + i = 0
 z = 1 + i
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -