Chuyên đề 07 hình học tọa độ phẳng kit1

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 07. Hình học giải tích phẳng

BÀI 1. LÝ THUYẾT CƠ SỞ (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Lý thuyết cơ sở (Phần 1) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần
Bài 1. Lý thuyết cơ sở (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

A. Lý thuyết cơ sở:
I. Các phép toán về tọa độ véc tơ:


Cho v( x; y ) ; v '( x '; y ')


x
y

+ v cùng phương v ' cùng phương 
x' y'

(2 véc tơ là cùng phương nếu chúng nằm trên 2 đường thẳng song song hoặc chúng nằm trên một
đường thẳng, không tính chiều)

 
x  x '
+ v  v'  
(Hai véc tơ bằng nhau nếu chúng thỏa mãn đồng thời: cùng phương, cùng chiều,

y

y
'

cùng độ dài)

+ k v = k(x;y) = (kx; ky)
 
+ v + v ’ = (x + x’, y + y’)

+ | v | x 2  y 2
 
+ v . v ’ = (x,y)(x’,y’) = xx’ + yy’
 
 
+ v  v'  v .v ’ = 0

 
v.v '
+ cos( v , v ’) =  
| v || v ' |
II. Các phép toán về tọa độ điểm:
+ Cho A( xA ; y A ) ; B( xB ; yB )

AB   xB  xA  yB  y A 

AB 

 xB  x A    y B  y A 

2

2

x A  xB

 xI 
2
I là trung điểm AB  
 y  y A  yB
 I
2

+ Cho A( xA ; y A ) ; B( xB ; yB ) ; C ( xC ; yC )

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 07. Hình học giải tích phẳng

 
A, B, C thẳng hàng  AB; AC cùng phương.
 
A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác  A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác  AB; AC không cùng phương.

x A  xB  xC

 xG 
3
G là trọng tâm tam giác ABC  
 y  y A  yB  yC
 G
3
 
 
AB. AC
cos 
A  cos( AB; AC )   
| AB || AC |

III. Một số ví dụ:
VD1- ĐHKD 2004: Cho tam giác ABC có: A(-1;0) B(4;0) C(0;m) m  0
G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm m để tam giác GAB vuông tại G.
VD2 – ĐHKB 2003: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. M(1;-1) là trung điểm
BC. G(2/3;0) là trọng tâm tam giác ABC.
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
VD3: A(10;5) B(15;-5) D(-20;0) là 3 đỉnh của hình thang cân ABCD, AB // CD. Tìm tọa độ C.
VD4: Cho tam giác ABC có A(2;1) B(3;2) C(3;1)

a) Tính BAC

b) Tìm tọa độ chân phân giác trong và ngoài của góc A.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng

Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

LÝ THUYẾT CƠ SỞ (Phần 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1:
Cho tam giác ABC biết A(-1;2) , B( 5 ; 7) , C(4 ; - 3 ) .
1) Tìm tọa độ điểm M thỏa 3MA − 5 AB = BM
2) Tính côsin của góc ABC .
3) Xác đònh tọa độ trực tâm của tam giác ABC .

Bài 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A( 4 ;1 ) B( 1; 4) C(2 ; -1)
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vng.
b) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vng góc của A trên BC.

Bài 3:
Cho tứ giác ABCD có A(0; 1), B(-2; -1), C(-1; -4), D(1; 0)
a. Chứng minh rằng: Các tam giác ABD và BCD là những tam giác vng.
b. Tính diện tích tứ giác ABCD.
c. Tìm M trên Oy để diện tích ∆ MBD và diện tích ∆ BCD bằng nhau.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

LÝ THUYẾT CƠ SỞ (Phần 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1:
Cho tam giác ABC biết A(-1;2) , B( 5 ; 7) , C(4 ; - 3 ) .
1) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 3MA − 5 AB = BM
2) Tính côsin của góc ABC .

3) Xác đònh tọa độ trực tâm của tam giác ABC .
Giải:
1) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 3MA − 5 AB = BM .
* Gọi M( x ; y) , ta có : MA = ( −1 − x; 2 − y ) , AB = (6;5) , BM = ( x − 5; y − 7)

 −3 − 3 x − 30 = x − 5
(+) . Giải tìm được M ( -7 ; - 3)
6 − 3 y − 25 = y − 7

* 3MA − 5 AB = BM ⇔ 

2) Tính côsin của góc ABC .
* Ta có : BA = ( −6; −5) , BC = ( −1; −10) (+) , BA = 61 , BC = 101 .
* cos B =

BA.BC
(−6).(−1) + (−5).(−10)
56
.
(+ ) =
=
BA.BC
61. 101
6161

3) Xác đònh tọa độ trực tâm của tam giác ABC .
* Gọi H(x ; y) là trực tâm tam giác ABC , Ta có AH .BC = 0 và BH . AC = 0

−1( x + 1) − 10( y − 2) = 0
5( x − 5) + 5( y − 7) = 0

* Suy ra được : 

 101 7 
; 
 9 9

Giải tìm được H 

Bài 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A( 4 ;1 ) B( 1; 4) C(2 ; -1)
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vng.
b) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vng góc của A trên BC.

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

Giải:
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
BC= 26
AB= 3 2 AC= 2 2

Ta có AB 2 + AC 2 = BC 2
Vậy tam giác ABC vuông tại A
b) Tìm toạ ñộ tâm I và bán kính R của ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
I là trung ñiểm BC nên I(

3 3
26
; ) và R=
2
2 2

c) Tìm toạ ñộ ñiểm H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
→
 →
 H ∈ BC
 BH = k BC
Ta c ó 
⇔ → →
 AH ⊥ BC
 AH . BC = 0

22

x=

 x − 5 y = −1
 22 7 
13
⇔
⇔

Vậy H  ; 
 13 13 
5 x + 4 y = 9
y = 7

13

Bài 3:
Cho tứ giác ABCD có A(0; 1), B(-2; -1), C(-1; -4), D(1; 0)
a. Chứng minh rằng: Các tam giác ABD và BCD là những tam giác vuông.
b. Tính diện tích tứ giác ABCD.
c. Tìm M trên Oy ñể diện tích ∆ MBD và diện tích ∆ BCD bằng nhau.
Giải:
a. Ta có: AB = (−2; −2), AD = (1; −1) ⇒ AB. AD = 0 ⇒ AB ⊥ AD
BC = (1; −3), BD = (3;1) ⇒ BC.BD = 0 ⇒ BC ⊥ BD
Vậy ∆ ABD vuông tại A và ∆ BCD vuông tại B (ñpcm)
b. S ∆ABD =

1
1
AB. AD = 2; S ∆BCD = BC.BD = 5 ⇒ S ABCD = S∆ABD + S ∆BCD = 7
2
2

c. Gọi M (0; y ) ∈ Oy . Sử dụng công thức S ∆MBD =

Suy ra ñể S ∆MBD = S ∆BCD thì

(

(

1
MB 2 MD 2 − MBMD
2

MB 2 .MD 2 − MB.MD

)

2

)

2

= 10

⇔  4 + ( y + 1)2  (1 + y 2 ) − [ −2 + (1 + y ) y ] = 10
2

⇔ ( y 2 + 2 y + 5)( y 2 + 1) − ( y 2 + y − 2) 2 = 100 ⇔ 9 y 2 + 6 y − 99 = 0
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

⇔ 3( y − 3)(3 y + 11) = 0 ⇔ y = 3 ∨ y = −

Hình học giải tích phẳng

11
3

11 

Vậy có 2 ñiểm M thỏa mãn là M(0; 3) hoặc M  0; − 
3


Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 07. Hình học giải tích phẳng

BÀI 2. LÝ THUYẾT CƠ SỞ (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 2. Lý thuyết cơ sở (Phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần
Bài 2. Lý thuyết cơ sở (Phần 2). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

III. Một số ví dụ (tiếp theo)
Ví dụ 5: Trong Oxy, cho 2 đường thẳng:
d1 : x  y  5  0; d 2 : x  2 y  7  0; A(2;3)

Tìm B trên d1; C trên d2 sao cho G(2;0) là trọng tâm tam giác ABC.
Ví dụ 6: ĐHKA 2005
d1 : x  y  0; d 2 : 2 x  y  1  0

Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d1; C thuộc d2. B và D thuộc Ox.
Ví dụ 7: ĐHKB 2007
A(2;2); d1 : x  y  2  0; d 2 : x  y  8  0
Tìm B thuộc d1: C thuộc d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Ví dụ 8:
Trong Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. A(1;0); B(2;0). I là giao điểm của AC và BD.
I nằm trên đường y = x. Tìm tọa độ C và D.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 07. Hình học giải tích phẳng

BÀI 2. LÝ THUYẾT CƠ SỞ (PHẦN 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Lý thuyết cơ sở (Phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Lý thuyết cơ sở (Phần 2). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Cho A(1; -2); B(0; 4); C(3; 2). Tìm D sao cho:

 
a. CD  2 AB  3 AC
   
b. AD  2 BD  4CD  0
Bài 2: Cho A(1; -2), B(2; 1), C(-3; 5). Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 3: Cho A(1; -2). Tìm trên Ox điểm M để đường trung trực của AM đi qua gốc tọa độ O.
Bài 4: Cho A(-1; -3) , B(3; 3). Tìm M, N để chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau.
Bài 5: Giả sử M(1; 2), N(0; 4) chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau. Tìm tọa độ A, B.
Bài 6: Cho A(-2; -6), B(10; 6); C(-11; 0). Gọi M là điểm chia AB theo tỉ số (-3) và N là điểm chia AC
theo tỉ số -2. Tìm I  BN  CM .

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 07. Hình học giải tích phẳng

BÀI 2. LÝ THUYẾT CƠ SỞ (PHẦN 2)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Lý thuyết cơ sở (Phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Lý thuyết cơ sở (Phần 2). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Cho A(1; -2); B(0; 4); C(3; 2). Tìm D sao cho:

 
a. CD  2 AB  3 AC
   
b. AD  2 BD  4CD  0

Giải:
Gọi D( x; y)

 
a) Ta có: CD  2 AB  3 AC  ( x  3; y  2)  2(2;6)  3(2; 4) )  2;12)  (6;12)

 x  3  8  x  5
  x  3; y  2   (8;0)  

y  2  0
y  2
Vậy D(-5; 2)
   

b) Ta có: AD  2 BD  4CD  0  ( x  1; y  2)  2( x; y  4)  4( x  3; y  2)  0

 ( x  1; y  2)  (2 x; 2 y  8)  (12  4 x;8  4 y )  0

 x  11
 (11  x; 2  y )  0  
y  2
Vậy D(11; 2).
Bài 2: Cho A(1; -2), B(2; 1), C(-3; 5). Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
Gọi D( x; y) . Điều kiện để ABCD là hình bình hành là:

 
 x  1  5  x  4
AD  BC  ( x  1; y  2)  (5; 4)  


y  2  4
y  2
Vậy D(-4; 2)
Bài 3: Cho A(1; -2). Tìm trên Ox điểm M để đường trung trực của AM đi qua gốc tọa độ O.
Giải:
 x 1

; 1 
Gọi M ( x;0)  Ox và I là trung điểm của AM  I 
 2

Vì đường trung trực của AM đi qua gốc tọa độ O nên:
 
 x 1

OI  AM  OI . AM  0  
; 1 ( x  1; 2)  0
 2



x  3
( x  1)2
 2  0  ( x  1)2  4  
2
 x  1

Vậy có hai điểm M thỏa mãn: M1(3; 0) và M2(-1; 0)
Bài 4: Cho A(-1; -3) , B(3; 3). Tìm M, N để chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 07. Hình học giải tích phẳng

Giải:
Theo giả thiết ta có: AM = MN = NB suy ra:

1
1 


 x A  2 xB y A  2 y B   1
1 

MA   MB  tọa độ M là: 
;
  ; 1

1
1
2

 1
 3

1

2
2 


 x  2 xB y A  2 y B   5 
;
NA  2 NB  tọa độ N là: N  A
   ;1
1 2   3 
 1 2
1

5 
Vậy M  ; 1 và N  ;1
3

3 
Bài 5: Giả sử M(1; 2), N(0; 4) chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau. Tìm tọa độ A, B.
Giải:
Theo giả thiết ta có: AM = MN = NB suy ra:

1
1

 1 
 xM  2 xN yM  2 yN
AM  AN  tọa độ A là 
;

1
1
2
 1
1

2
2



   2;0 



1
1


 1 
 xN  2 xM yN  2 yM 
BN  BM  tọa độ A là 
;
  1;6 
1
1 
2
 1

1


2
2 
Vậy A(2; 0) và B(-1; 6)
Bài 6: Cho A(-2; -6), B(10; 6); C(-11; 0). Gọi M là điểm chia AB theo tỉ số (-3) và N là điểm chia AC
theo tỉ số -2. Tìm I  BN  CM .
Giải:
M là điểm chia AB theo tỉ số (-3)


 x  3 xB y A  3 y B 
 MA  3MB  M  A
;
  M (7;3)
1 3 
 1 3

N là điểm chia AC theo tỉ số (-2)


 x  2 xC y A  2 yC
 NA  2 NC  N  A
;
1 2
 1 2


  N (8; 2)


10  x 6  y
 


 IB / / IN
4 x  9 y  14  0
x  1
 x 8 y  2


Giả sử I ( x; y )      
 x  6 y  11  0
y  2
 x  11  y
 IC / / IM
 7  x 3  y
Vậy I(1; 2)

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 07. Hình học giải tích phẳng

BÀI 3. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐƢỜNG THẲNG (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3. Kiến thức cơ bản về đường thẳng (Phần 1) thuộc
khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Bài 3. Kiến thức cơ bản về đường thẳng (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

a. Lý thuyết cơ sở về đƣờng thẳng:
1) Véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng:
Là véctơ nằm trên đường thẳng đó hoặc nằm trên đường thẳng song song với đường thẳng đó.
 
Kí hiệu: u ; u  0
2) Véc tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng:
Là véctơ nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó.
3) Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng:
Là phương trình có dạng: Ax  By  C  0 ; A2  B 2  0


Trong đó: VTPT n( A; B ); VTCP u (  B; A)
4) Các công thức viết pt đƣờng thẳng:


* Công thức viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( x0 ; y0 ) với VTPT n( A; B) là:

A( x  x0 )  B( y  y0 )  0


* Công thức viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( x0 ; y0 ) với VTCP u ( a; b) là:

x  x0 y  y0

a
b
* Trường hợp đặc biệt:
+ Oy có phương trình: x = 0
+ Ox có phương trình: y = 0
+ y = m là phương trình của đường thẳng song song với Ox và cắt Oy tại điểm có tung độ bằng m.
+ x = n là phương trình của đường thẳng song song với Oy và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng n.
+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(a;0); B(0;b) là:

x y
 1
a b

(Phương trình đoạn chắn)

+ Đường thẳng qua gốc O có phương trình: y = ax
Chú ý:
d: Ax + By + C = 0
d’: A’x + B’y + C = 0
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

+ d // d’ 

Chuyên đề 07. Hình học giải tích phẳng

A B C


A' B ' C '

+ d trùng d’ 
+ d cắt d’ 

A B C


A' B ' C '

A B

A' B '

Ax  By  C  0
Khi đó tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ: 
A' x  B ' y  C '  0
+ d  d '  AA' BB '  0
5) Một số ví dụ minh họa:
VD1: Cho tam giác ABC vuông ở A, A(-1;4) B(1;-4) BC đi qua M(2;1/2). Tìm tọa độ của C.
VD2: ĐHKA 2009 Cho hình chữ nhật ABCD, I(6;2) là giao điểm của AC và BD, M(1;5) thuộc AB.

Trung điểm E của CD thuộc  : x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
VD3 – ĐHKD 2009 Cho tam giác ABC, M(2;0) là trung điểm AB. Đường trung tuyến và đường cao đi
qua A lần lượt có phương trình: 7 x  2 y  3  0; 6 x  y  4  0 . Viết phương trình cạnh AC.
VD4 – ĐHKA 2010 Cho tam giác ABC cân tại A, A(6;6). Đường thẳng đi qua trung điểm của AB và
AC có phương trình: x  y  4  0 . E(1;-3) nằm trên đường cao qua C. Tìm tọa độ B, C.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ðƯỜNG THẲNG (Phần 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1: Cho ∆ ABC có ñỉnh A(1;2), ñường trung tuyến BM: 2 x + y + 1 = 0 và phân giác trong CD:
x + y − 1 = 0 . Viết phương trình ñường thẳng BC.

Bài 2:

Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc ñường thẳng

(d ) : x − y − 3 = 0

và có hoành ñộ xI =

9
, trung ñiểm của một cạnh là giao ñiểm của (d) và trục Ox. Tìm
2

tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật.

Bài 3:
Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các ñường thẳng chứa các cạnh
AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên ñường thẳng
x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC.

Bài 4:
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo
thứ tự là 4x + y + 14 = 0; 2 x + 5 y − 2 = 0 . Tìm tọa ñộ các ñỉnh A, B, C.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ðƯỜNG THẲNG (Phần 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1: Cho ∆ ABC có ñỉnh A(1;2), ñường trung tuyến BM: 2 x + y + 1 = 0 và phân giác trong CD:
x + y − 1 = 0 . Viết phương trình ñường thẳng BC.

Giải:
ðiểm C ∈ CD : x + y − 1 = 0 ⇒ C ( t ;1 − t ) .

 t +1 3 − t 
Suy ra trung ñiểm M của AC là M 
;
.
2 
 2
 t +1 3 − t
M ∈ BM : 2 x + y + 1 = 0 ⇒ 2 
+ 1 = 0 ⇔ t = −7 ⇒ C ( −7;8 )
+
2
 2 
Từ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − 1 = 0 tại I (ñiểm K ∈ BC ).

Suy ra AK : ( x − 1) − ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0 .

x + y −1 = 0
Tọa ñộ ñiểm I thỏa hệ: 
⇒ I ( 0;1) .
x − y +1 = 0
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung ñiểm của AK ⇒ tọa ñộ của K ( −1;0 )

ðường thẳng BC ñi qua C, K nên có phương trình:

x +1 y
= ⇔ 4x + 3y + 4 = 0
−7 + 1 8

Bài 2:
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc ñường thẳng

(d ) : x − y − 3 = 0

và có hoành ñộ xI =

9
, trung ñiểm của một cạnh là giao ñiểm của (d) và trục Ox. Tìm
2

tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật.

Giải:
I có hoành ñộ xI =

9
9 3
và I ∈ ( d ) : x − y − 3 = 0 ⇒ I  ; 
2
2 2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

Vai trò A, B, C, D là như nhau nên trung ñiểm M của cạnh AD là giao ñiểm của (d) và Ox, suy ra M(3;0)

AB = 2 IM = 2

( xI − xM ) + ( y I − y M )
2

S ABCD = AB. AD = 12 ⇔ AD =

2

=2

9 9
+ =3 2
4 4

S ABCD
12
=
= 2 2.
AB
3 2

 AD ⊥ ( d )
, suy ra phương trình AD: 1. ( x − 3) + 1. ( y − 0 ) = 0 ⇔ x + y − 3 = 0 .

 M ∈ AD

Lại có MA = MD =

2.

Vậy tọa ñộ A, D là nghiệm của hệ phương trình:

 x + y − 3 = 0
 y = − x + 3
 y = − x + 3
⇔
⇔




2
2
2
2
2
2
( x − 3) + y = 2
( x − 3) + ( 3 − x ) = 2
 ( x − 3) + y = 2
y = 3− x
x = 2
x = 4
hoặc 
.Vậy A(2;1), D(4;-1)
⇔
⇔
 x − 3 = ±1  y = 1
 y = −1
x A + xC

 xI = 2
 xC = 2 xI − x A = 9 − 2 = 7
9 3
⇔
I  ;  là trung ñiểm của AC, suy ra: 
2 2
 yC = 2 yI − y A = 3 − 1 = 2
 y = y A + yC
I


2

Tương tự I cũng là trung ñiểm BD nên ta có: B(5;4).
Vậy tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1)

Bài 3:
Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các ñường thẳng chứa các cạnh
AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên ñường thẳng
x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC.

Giải:
4 x + 3 y − 4 = 0
 x = −2
Tọa ñộ của A nghiệm ñúng hệ phương trình: 
⇔
⇒ A ( −2; 4 )
x + 2 y − 6 = 0
y = 4
4 x + 3 y − 4 = 0
x = 1
⇔
⇒ B (1;0 )
Tọa ñộ của B nghiệm ñúng hệ phương trình 
 x − y −1 = 0
y = 0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

ðường thẳng AC ñi qua ñiểm A(-2;4) nên phương trình có dạng:

a ( x + 2 ) + b ( y − 4 ) = 0 ⇔ ax + by + 2a − 4b = 0
Gọi ∆1 : 4 x + 3 y − 4 = 0; ∆ 2 : x + 2 y − 6 = 0; ∆ 3 : ax + by + 2a − 4b = 0
Từ giả thiết suy ra ( ∆ 2 ; ∆ 3 ) = ( ∆1 ; ∆ 2 ) . Do ñó :
cos ( ∆ 2 ; ∆3 ) = cos ( ∆1 ; ∆ 2 ) ⇔

|1.a + 2.b |
5. a + b
2

2

=

| 4.1 + 2.3 |
25. 5

a = 0
⇔| a + 2b |= 2 a 2 + b 2 ⇔ a ( 3a − 4b ) = 0 ⇔ 
3a − 4b = 0
+ a = 0 ⇒ b ≠ 0 . Do ñó ∆ 3 : y − 4 = 0
+ 3a – 4b = 0: Có thể cho a = 4 thì b = 3. Suy ra ∆ 3 : 4 x + 3 y − 4 = 0 (trùng với ∆1 ).

Do vậy, phương trình của ñường thẳng AC là y - 4 = 0.

y − 4 = 0
x = 5
Tọa ñộ của C nghiệm ñúng hệ phương trình: 
⇔
⇒ C ( 5; 4 )
 x − y −1 = 0
y = 4

Bài 4:
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo
thứ tự là 4x + y + 14 = 0; 2 x + 5 y − 2 = 0 . Tìm tọa ñộ các ñỉnh A, B, C.

Giải:
4 x + y + 14 = 0
 x = −4
⇒ A(–4, 2)
Tọa ñộ A là nghiệm của hệ 
⇔
2 x + 5 y − 2 = 0
y = 2
Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ABC nên

3 xG = x A + xB + xC
 xB + xC = −2
(1)
⇔

3 yG = y A + yB + yC

 yB + yC = −2

Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14
C(xC, yC) ∈ AC ⇔ yC = −

(2)

2 xC 2
+ ( 3)
5
5

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

Thế (2) và (3) vào (1) ta có

 xB + xC = −2
 xB = −3 ⇒ yB = −2

⇒


2 xC 2
−4 xB − 14 − 5 + 5 = −2  xC = 1 ⇒ yC = 0
Vậy A(–4, 2),

B(–3, –2),

C(1, 0)

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 07. Hình học giải tích phẳng

BÀI 4. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐƢỜNG THẲNG (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4. Kiến thức cơ bản về đường thẳng (Phần 2) thuộc
khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Bài 4. Kiến thức cơ bản về đường thẳng (Phần 2). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

5) Một số ví dụ minh họa (tiếp theo):
VD5: KB 2009 Cho tam giác ABC cân tại A. A(-1;4). B, C thuộc  : x – y – 4 = 0, S ABC  18 .
Tìm tọa độ B, C.
VD6: Cho tam giác ABC cân tại A, AB có pt: 3x  4 y  9  0 ; BC : x  7 y  3  0 AC đi qua
 5 
M   ;1 . Tìm tọa độ của C.
 2 
1 
VD7 – ĐHKB 2011. Cho tam giác ABC, B  ;1 . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các
2 

cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D(3;1) và đường thẳng EF có phương trình:
y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.
VD8: d1 : x  y  1  0; d 2 : 2 x  y  1  0 P(2;1)
Viết phương trình đường thẳng  cắt d1; d2 tại 2 điểm A, B sao cho:
a) P là trung điểm AB
b) PA = 2PB

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ðƯỜNG THẲNG (Phần 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1:
Trong măt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho A(4;3), ñường thẳng (d) :
x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M.
Tìm B ∈ ( d ) và C ∈ ( d ') sao cho A là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác MBC.
Bài 2:
Trong hệ tọa ñộ Oxy, cho hình vuông ABCD biết ñiểm A ( −2;3) và phương trình ñường thẳng

( BD ) : x − 5 y + 4 = 0 . Tìm tọa ñộ các ñỉnh còn lại của hình vuông.
Bài 3:
Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC với phương trình ñường thẳng AB: x − 5 y + 11 = 0 , trung
tuyến AM có phương trình: x − y − 1 = 0 ( M ∈ BC ) , trung trực của ñoạn BC là ñường thẳng d có phương
trình: 3 x − y − 5 = 0. Hãy viết phương trình các ñường thẳng BC và AC.

Bài 4:
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung ñiểm của cạnh BC, phương trình ñường thẳng
DM: x − y − 2 = 0 và C ( 3; −3) .Biết ñỉnh A thuộc ñường thẳng d : 3x + y − 2 = 0 . Xác ñịnh toạ ñộ các ñỉnh
A, B, D.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ðƯỜNG THẲNG (Phần 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1:
Trong măt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho A(4;3), ñường thẳng (d) :
x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M.
Tìm B ∈ ( d ) và C ∈ ( d ') sao cho A là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác MBC.
Giải:
M(3;1)
B ∈ ( d ) ⇒ B (t ; t − 2)

C ∈ ( d ') ⇒ C (t '; 4 − t ')

MA2 = AB 2
t = 6


A là tâm ñường tròn ngoại tiếp ⇔  2
⇔

2

MA = AC
t ' = 2
B(6;4) và C(2;2)

Bài 2:
Trong hệ tọa ñộ Oxy, cho hình vuông ABCD biết ñiểm A ( −2;3) và phương trình ñường thẳng

( BD ) : x − 5 y + 4 = 0 . Tìm tọa ñộ các ñỉnh còn lại của hình vuông.
Giải:
 x = 5t + 1
• Chuyển ( BD ) về dạng tham số ( BD ) : 
, t ∈R
 y = t +1
• Gọi I là hình chiếu của A xuống cạnh BD ⇒ I ( 5t + 1;t + 1) .
1
 3 1
• Sử dụng ñiều kiện AI ⊥ u( BD ) suy ra t = − ⇒ I  − ;  ⇒ C ( −1; −2 ) .
2
 2 2
t1 = −1
• Vì B ∈ ( BD ) ⇒ B ( 5t1 + 1;t1 + 1) . Do AB ⊥ CB ⇒ AB.CB = 0 ⇒ 
t1 = 0
• Với t1 = −1 ⇒ B ( −4; 0 ) ⇒ D (1;1)
Với t1 = 0 ⇒ B (1;1) ⇒ D ( −4; 0 )

Bài 3:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC với phương trình ñường thẳng AB: x − 5 y + 11 = 0 , trung
tuyến AM có phương trình: x − y − 1 = 0 ( M ∈ BC ) , trung trực của ñoạn BC là ñường thẳng d có phương
trình: 3 x − y − 5 = 0. Hãy viết phương trình các ñường thẳng BC và AC.

Giải:

A = AM ∩ AB ⇒ A ( 4;3) .

M = AM ∩ d ⇒ M ( 2;1)

d có VTPT n = ( 3; −1) , BC ⊥ d ⇒ n là VTCP của BC
mà BC qua M ( 2;1) ⇒ pt ( BC ) :

x − 2 y −1
=
⇔ x + 3y − 5 = 0
3

−1

B = AB ∩ BC ⇒ B ( −1; 2 )
 xC = 2 xM − xB = 5
M là trung ñiểm của BC ⇒ 
⇒ C ( 5; 0 )
 yC = 2 yM − yB = 0

AC = (1; −3) ⇒ pt ( AC ) : 3 x + y − 15 = 0
Vậy phương trình các ñường thẳng BC và AC lần lượt là x + 3 y − 5 = 0 và 3 x + y − 15 = 0

Bài 4:
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung ñiểm của cạnh BC, phương trình ñường thẳng
DM: x − y − 2 = 0 và C ( 3; −3) .Biết ñỉnh A thuộc ñường thẳng d : 3x + y − 2 = 0 . Xác ñịnh toạ ñộ các ñỉnh
A, B, D.

Giải:
 4 x + y + 14 = 0
 x = −4
⇒ A(–4, 2)
Tọa ñộ A là nghiệm của hệ 
⇔
2 x + 5 y − 2 = 0
y = 2
Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ABC nên:

3 xG = x A + xB + xC
 xB + xC = −2
⇔
(1)


3 yG = y A + yB + yC
 yB + yC = −2
Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14
C(xC, yC) ∈ AC ⇔ yC = −

(2)

2 xC 2
+ ( 3)
5
5

Thế (2) và (3) vào (1) ta có:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

 xB + xC = −2
 xB = −3 ⇒ yB = −2

⇒


2 xC 2
−4 xB − 14 − 5 + 5 = −2  xC = 1 ⇒ yC = 0
Vậy A(–4, 2),

B(–3, –2),

C(1, 0)

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 07. Hình học giải tích phẳng

BÀI 5. SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH
TỪ MỘT ĐIỂM TỚI ĐƢỜNG THẲNG

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 5. Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một
điểm tới đường thẳng thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website
Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 5. Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường
thẳng. Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

a) Công thức:
Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) tới đường thẳng  : Ax  By  C  0 được tính bằng công thức:
d M ,d  

| Ax 0  By0  C |
A2  B 2

Trường hợp đặc biệt:
+ Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) tới Ox: | y0 |
+ Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) tới Ox: | x0 |
Chú ý:

a  b
*) | a | b  
 a  b
a  b
*)| a || b | 
 a  b
Ví dụ 1: KB2004 Cho A(1;1) B(4; 3) ;  : x  2 y 1  0 . Tìm M  sao cho d(M; AB) = 6.
Ví dụ 2: KA2006 Cho 2 đường thẳng  d1  : x  y  3  0;  d2  : x  y  4  0;  d3  : x  2 y  0 .
Tìm M  d3 saocho : d (M ; d1 )  2d  M ; d2 
Ví dụ 3: KD2010 Cho điểm A(0; 2) ,  là đường thẳng đi qua gốc O, H là hình chiếu vuông góc của A
trên  , d(H;Ox) = AH.Viết phương trình đường thẳng  .
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, A(2;-3)

B(3;-2). SABC 

3
. Trọng tâm của tam giác nằm trên đường
2

thẳng  : 3x – y – 8 = 0. Tìm tọa độ C.
Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD, A(-1;2), D(-3;-1). Giao điểm hai đường chéo nằm trên trục Ox.
Diện tích hình bình hành bằng 17. Viết pt các cạnh của hình bình hành.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ðIỂM TỚI ðƯỜNG THẲNG
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 ñiểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình ñường thẳng qua N sao
cho khoảng cách từ M tới ñó bằng 2.
Bài 2:

Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(1;0) và 2 ñường thẳng lần lượt chứa ñường cao
kẻ từ B và C có phương trình: x − 2y + 1 = 0; 3x + y + 1 = 0 . Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 3:
Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm A(0;2) và ñường thẳng d: x − 2y + 2 = 0 . Tìm trên d hai ñiểm B và C
sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC.

Bài 4:
Tam giác ABC có diện tích bằng 2. ðiểm A(1;0)

B(0;2). I là trung ñiểm AC, I ∈ y = x . Tìm tọa ñộ C.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích phẳng

SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ðIỂM TỚI ðƯỜNG THẲNG
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 ñiểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình ñường thẳng qua N sao
cho khoảng cách từ M tới ñó bằng 2.
Giải:
Xét trường hợp ñường thẳng cần tìm song song với trục tung là:

∆ : x − 6 = 0 ⇒ d ( M → ∆ ) = 5 ≠ 2 (loaïi)
Gọi phương trình ñường thẳng cần tìm có dạng: ∆ ' : y = k ( x − 6) + 2
⇒ kx − y + 2 − 6k = 0 ⇒ d ( M ; ∆ ' ) =

k − 4 + 2 − 6k
k 2 +1

=2

k = 0
y = 2
⇒
20 ⇒ ∆ ' : 
k = −
 20 x + 21 y − 162 = 0

21

Bài 2:
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(1;0) và 2 ñường thẳng lần lượt chứa ñường cao
kẻ từ B và C có phương trình: x − 2y + 1 = 0; 3x + y + 1 = 0 . Tính diện tích tam giác ABC.

Giải:
Ta có:

u CK = n AB = (1; −3) ⇒ AB : x − 3 y − 1 = 0
Tọa ñộ B là nghiệm của hệ:

 x − 3y −1 = 0
⇒ B(−5; −2)

x − 2 y +1 = 0
u BH = n AC = ( 2;1) ⇒ 2( x − 1) + y = 0 ⇒ 2 x + y − 2 = 0
Tọa ñộ C là nghiệm của hệ phương trình:

2 x + y − 2 = 0
⇒ C (−3;8) ⇒ AC = 42 + 82 = 4 5

3 + y + 1 = 0
d ( B; ( AC ) ) = BH =

14
1
1
14
⇒ S ∆ABC = AC.BH = .4 5.
= 28
2
2
5
5

Bài 3:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -