Hình học tọa độ phẳng

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1

TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy
1
:7170
-+=
,
dxy
2
:50
+-=
. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với
dd
12
,
một tam
giác cân tại giao điểm của
dd
12
,
.

·
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d
2
là:

xyxy
xy ()
xy ()
1
2222
2
7175
3130
340
1(7)11
D
D
-++-
é
+-=
=Û
ê
=
ë
+-+

Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với
1
D
hoặc
2
D
.
KL:

xy
330
+-=
và
xy
310
-+=


Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy
1
:250
-+=
.
dxy
2
:36–70
+=
. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d
1
, d
2
.

·
d
1
VTCP a
1
(2;1)
=-
r
; d
2
VTCP a
2
(3;6)
=
r

Ta có: aa
12
.2.31.60
=-=
uuruur
nên
dd
12
^
và d
1
cắt d
2
tại một điểm I khác P. Gọi d là đường

thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:
dAxByAxByAB
:(2)(1)020
-++=Û+-+=

d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I
Û
khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
) một góc 45
0

AB
AB
AABB
BA
AB
022
2222
2
3
cos453830
3
2(1)

-
é
=
Û=Û =Û
ê
=-
ë
++-

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng
dxy
:350
+-=

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng
dxy
:350
=

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
dxy
:350
+-=
;
dxy
:350
=
.
Câu hỏi tương tự:
a) dxy

1
:7170
-+=
, dxy
2
:50
+-=
,
P
(0;1)
. ĐS:
xy
330
+-=
;
xy
310
-+=
.

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:310
++=
và điểm
I

(1;2)
-
. Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt
dd
12
,
lần lượt tại A và B sao cho
AB
22
= .

·
Giả sử
AaadBbbd
12
(;35);(;31)
Î Î
; IAaaIBbb
(1;33);(1;31)
= = +
uuruur

I, A, B thẳng hàng
bka
IBkIA
bka
1(1)
31(33)
ì
-=-

Þ=Û
í
-+=
î
uuruur


·
Nếu
a
1
=
thì
b
1
=

Þ
AB = 4 (không thoả).

·
Nếu
a
1
¹
thì
b
baab
a
1

31(33)32
1
-
-+= Û=-
-

ABbaabtt
2
222
()3()422(34)8
éù
=-+-+=Û++=
ëû
(với
tab
=-
).
tttt
2
2
512402;
5
Û++=Û=-=-

+ Với
tabba
220,2
=-Þ-=-Þ==-

xy

:10
ÞD++=

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 2

+ Vi tabba
2242
,
5555

=ị-=ị==

xy
:790
ịD =


Cõu 4. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:10
++=
,
dxy
2
:210
=
. Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d
1
) v (d

2
) tng
ng ti A v B sao cho MAMB
20
+=
uuuruuurr
.

ã
Gi s: A(a; a1), B(b; 2b 1).
T iu kin MAMB
20
+=
uuuruuurr
tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy ra (d): x 1 = 0

Cõu 5. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 0). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:10,:220
++=+=
ln lt ti A, B sao cho
MB = 3MA.

ã

Ad
AaaMAaa
BdBbb
MBbb

1
2
()
(;1)(1;1)
()(22;)
(23;)
ỡ
ỡ
ẻ
ù
ỡ
=
ị
ớớớ
ẻ-
=-
ợ
ù
ợ
ợ
uuur
uuur
.
T A, B, M thng hng v
MBMA
3
=

ị

MBMA
3=
uuuruuur
(1) hoc
MBMA
3=-
uuuruuur
(2)
(1)
ị

A
dxy
B
21
;
():510
33
(4;1)
ỡ
ổử

ù
ỗữ
ị =
ớ
ốứ
ù

ợ

hoc (2)
ị

(
)
A
dxy
B
0;1
():10
(4;3)
ỡ
-
ị =
ớ
ợ


Cõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:350,:40
=+-=
ln lt ti A, B sao cho
MAMB
230
=
.

ã

Gi s
Aaad
1
(;35)
-ẻ
,
Bbbd
2
(;4)
-ẻ
.
Vỡ A, B, M thng hng v
MAMB
23
=
nờn
MAMB
MAMB
23(1)
23(2)
ộ
=
ờ
=-
ở
uuuruuur
uuuruuur

+
ab

a
AB
ab
b
5
55
2(1)3(1)
(1);,(2;2)
2
2(36)3(3)
22
2
ỡ
ổử
ù
ỡ
-=-
=
ị
ớớ
ỗữ
-=-
ợ
ốứ
ù
=
ợ
. Suy ra
dxy
:0

-=
.
+
aba
AB
abb
2(1)3(1)1
(2)(1;2),(1;3)
2(36)3(3)1
ỡỡ
-= =
ị-
ớớ
-= =
ợợ
. Suy ra
dx
:10
-=
.
Vy cú
dxy
:0
-=
hoc
dx
:10
-=
.

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i
qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho
OAOB
(3)
+
nh nht.

ã
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):
xy
ab
1
+=
(a,b>0)
M(3; 1)
ẻ
d
Cụsi
ab
abab
3131
12.12
-
=+ị
.
M OAOBabab
332312
+=+=

ab

a
OAOB
b
ab
min
3
6
(3)12
311
2
2
ỡ
=
ù
ỡ
=
ị+=
ớớ
=
==
ợ
ù
ợ

Phng trỡnh ng thng d l:
xy
xy
1360
62
+=+-=

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 3

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng
OAOB
+
nh nht.

ã

xy
260
+-=


Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho
OAOB
22
94
+
nh nht.

ã
ng thng (d) i qua
M
(1;2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn

AaBb
(;0);(0;)
vi
ab
.0
ạ

ị
Phng trỡnh ca (d) cú dng
xy
ab
1
+=
.
Vỡ (d) qua M nờn
ab
12
1
+=
. p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú :

abab
ab
22
22
12132194
1.1.1
39
ổửổửổửổử
=+=+Ê++

ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ



ab
22
949
10
+



OAOB
22
949
10
+
.
Du bng xy ra khi
ab
132
:1:
3
= v
ab
12
1
+=

ab
20
10,
9
==
ị

dxy
:29200
+-=
.

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2).

ã

xyxy
360;20
+-= =


Cõu 11. Trong mt phng vi h ta (Oxy). Lp phng trỡnh ng thng d qua
M
(2;1)
v to
vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng
S
4

=
.

ã
Gi
AaBbab
(;0),(0;)(,0)
ạ
l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra:
xy
d
ab
:1
+=
.
Theo gi thit, ta cú:
ab
ab
21
1
8
ỡ
+=
ù
ớ
ù
=
ợ

baab
ab
2
8
ỡ
+=
ớ
=
ợ
.

ã
Khi
ab
8
=
thỡ
ba
28
+=
. Nờn: badxy
1
2;4:240
==ị+-=
.

ã
Khi
ab

8
=-
thỡ
ba
28
+=-
. Ta cú: bbb
2
440222
+-==- .
+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
=-+ị-++-=

+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
= ị++-+=
.
Cõu hi tng t:
a)

MS
(8;6),12
=
. S:
dxy
:32120
=
;
dxy
:38240
-+=


Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh
xy
230
+=
. Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos
1
10
= .

ã
PT ng thng (
D
) cú dng:
axby
(2)(1)0
++=

axbyab
20
++=
ab
22
(0)
+ạ

Ta cú:
ab
ab
22
21
cos
10
5()
a
-
==
+

7a
2
8ab + b
2
= 0. Chon a = 1
ị
b = 1; b = 7.

ị
(
D
1
): x + y 1 = 0 v (
D
2
): x + 7y + 5 = 0
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 4

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
A
(2;1)
và đường thẳng
dxy
:2340
++=
.
Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc
0
45
.

·
PT đường thẳng (
D
) có dạng:
axby

(–2)(1)0
+-=
Û

axbyab
–(2)0
++=
ab
22
(0)
+¹
.
Ta có:
ab
ab
0
22
23
cos45
13.
+
=
+

Û
aabb
22
52450
=

Û

ab
ab
5
5
é
=
ê
=-
ë

+ Với
ab
5
=
. Chọn
ab
5,1
==

Þ
Phương trình
xy
:5110
D
+-=
.
+ Với
ab

5
=-
. Chọn
ab
1,5
==-

Þ
Phương trình
xy
:530
D
-+=
.

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho đường thẳng
dxy
:220
=
và điểm
I
(1;1)
.
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm
I
một khoảng bằng
10
và tạo với đường thẳng

d
một góc bằng
0
45
.

·
Giả sử phương trình đường thẳng
D
có dạng:
axbyc
0
++=
ab
22
(0)
+¹
.
Vì
·
d
0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2
1

2
.5
-
=
+

ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë


·
Với
ab
3
=

Þ

D
:
xyc
30

++=
. Mặt khác dI
(;)10
D
=
c4
10
10
+
Û=
c
c
6
14
é
=
Û
ê
=-
ë


·
Với
ba
3
=-
Þ

D

:
xyc
30
-+=
. Mặt khác dI
(;)10
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-
Û
ê
=
ë

Vậy các đường thẳng cần tìm:
xy
360;
++=
xy
3140

+-=
;
xy
380;
=

xy
3120
-+=
.

Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho điểm
M
(0; 2) và hai đường thẳng
d
1
,
d
2
có
phương trình lần lượt là
xy
320
++=
và
xy
340
-+=

. Gọi
A
là giao điểm của
d
1
và
d
2
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng
d
1
và
d
2
lần lượt tại
B
,
C

(
B
và
C
khác
A
) sao cho
ABAC
22
11

+
đạt giá trị nhỏ nhất.

·
AddA
12
(1;1)
=ÇÞ- . Ta có
dd
12
^
. Gọi
D
là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
vuông góc của A trên
D
. ta có:
ABACAHAM
2222
1111
+=³
(không đổi)

Þ
ABAC
22
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
AM

2
1
khi H
º
M, hay
D
là đường thẳng đi qua M
và vuông góc với AM.
Þ
Phương trình
D
:
xy
20
+-=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
M
(1;2)
-
, dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:350
-+=
. ĐS:

xy
:10
D
++=
.

Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng
dxy
():–3–40
=
và đường
tròn Cxyy
22
():–40
+=
. Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm
A(3; 1).

·
M
Î
(d)
Þ
M(3b+4; b)
Þ
N(2 – 3b; 2 – b)
N
Î
(C)
Þ

(2 – 3b)
2
+ (2 – b)
2
– 4(2 – b) = 0
Þ
b b
6
0;
5
==

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 5

Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N
38684
;,;
5555
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D:
xy
2340
++=
. Tỡm

im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc
0
45
.

ã

D
cú PTTS:
xt
yt
13
22
ỡ
=-
ớ
=-+
ợ
v VTCP
u
(3;2)
=-
r
. Gi s
Btt
(13;22)
D
+ẻ
.
AB

0
(,)45
D
=
ị
ABu
1
cos(;)
2
=
uuurr

ABu
ABu
.1
.
2
=
uuur
r
r

t
tt
t
2
15
13
169156450
3

13
ộ
=
ờ
=
ờ
ờ
=-
ở
.
Vy cỏc im cn tỡm l: BB
12
3242232
;,;
13131313
ổửổử

ỗữỗữ
ốứốứ
.

Cõu 18. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng
dxy
:360
=
v im
N
(3;4)
.
Tỡm ta im M thuc ng thng d sao cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch

bng
15
2
.

ã
Ta cú ON
(3;4)
=
uuur
, ON = 5, PT ng thng ON:
xy
430
-=
. Gi s
Mmmd
(36;)
+ẻ
.
Khi ú ta cú
ONM
ONM
S
SdMONONdMON
ON
2
1
(,).(,)3
2
D

D
===




mm
mmm
4.(36)313
3924151;
53
+
=+==-=
+ Vi
mM
1(3;1)
=-ị-
+ Vi mM
1313
7;
33
ổử

=ị-
ỗữ
ốứ


Cõu 19. Trong mt phng to
Oxy

,
cho im
A
(0;2)
v ng thng
dxy
:220
-+=
. Tỡm
trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng
B
v AB = 2BC .

ã
Gi s
BbbCccd
(22;),(22;)
ẻ
.
Vỡ
D
ABC vuụng B nờn AB
^
d


d
ABu
.0
=

uuur
r


B
26
;
55
ổử
ỗữ
ốứ

ị
AB
25
5
=
ị
BC
5
5
=
BCcc
2
1
125300180
5
=-+=
5
5

cC
cC
1(0;1)
747
;
555
ộ
=ị
ờ
ổử
ờ
=ị
ỗữ
ốứ
ở


Cõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:30
+-=
, dxy
2
:90
+-=
v
im

A
(1;4)
. Tỡm im
BdCd
12
,
ẻẻ
sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.

ã
Gi
BbbdCccd
12
(;3),(;9)
-ẻ-ẻ

ị

ABbb
(1;1)
=
uuur
,
ACcc
(1;5)
=
uuur
.

D

ABC vuụng cõn ti A


ABAC
ABAC
.0
ỡ
=
ớ
=
ợ
uuuruuur



bcbc
bbcc
2222
(1)(1)(1)(5)0
(1)(1)(1)(5)
ỡ
+-=
ớ
-++=-+-
ợ
(*)
Vỡ
c
1
=

khụng l nghim ca (*) nờn
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 6

(*)


bc
b
c
c
bbcc
c
2
2222
2
(1)(5)
1(1)
1
(5)
(1)(1)(1)(5)(2)
(1)
ỡ
+-
-=
ù
-
ù
ớ
-

ù
+++=-+-
ù
-
ợ

T (2)

bc
22
(1)(1)
+=-



bc
bc
2
ộ
=-
ờ
=-
ở
.
+ Vi
bc
2
=-
, thay vo (1) ta c
cb

4,2
==

ị

BC
(2;1),(4;5)
.
+ Vi
bc
=-
, thay vo (1) ta c
cb
2,2
==-

ị

BC
(2;5),(2;7)
-
.
Vy:
BC
(2;1),(4;5)
hoc
BC
(2;5),(2;7)
-
.

Cõu 21. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú
phng trỡnh: dmxmym
1
:(1)(2)20
++=
; dmxmym
2
:(2)(1)350
++=
. Chng
minh d
1
v d
2
luụn ct nhau. Gi P = d
1
ầ d
2
. Tỡm m sao cho
PAPB
+
ln nht.

ã
Xột H PT:
mxmym
mxmym
(1)(2)2
(2)(1)35

ỡ
-+-=-
ớ
-+-=-+
ợ
.
Ta cú
mm
Dmm
mm
2
31
12
20,
21
22
ổử

==-+>"
ỗữ

ốứ


ị

dd
12
,
luụn ct nhau. Ta cú:

AdBddd
1212
(0;1),(2;1),
ẻ-ẻ^

ị

D
APB vuụng ti P
ị
P
nm trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PAPBPAPBAB
2222
()2()216
+Ê+==


ị

PAPB
4
+Ê
. Du "=" xy ra

PA = PB

P l trung im ca cung
ằ
AB

P(2; 1) hoc P(0; 1)


m
1
=
hoc
m
2
=
. Vy
PAPB
+
ln nht


m
1
=
hoc
m
2
=
.

Cõu 22. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng (D):
xy
220

=
v hai im
A
(1;2)
-
,
B
(3;4)
. Tỡm im M
ẻ
(D) sao cho
MA MB
22
2
+
cú giỏ tr nh nht.

ã
Gi s M MttAMttBMtt
(22;)(23;2),(21;4)
D
+ẻị=+-=
uuuruuur

Ta cú:
AMBMttft
222
215443()
+=++=
ị

ftf
2
min()
15
ổử
=-
ỗữ
ốứ

ị
M
262
;
1515
ổử
-
ỗữ
ốứ


Cõu 23. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng
dxy
:230
-+=
v 2 im
AB
(1;0),(2;1)
.
Tỡm im M trờn d sao cho
MAMB

+
nh nht.

ã
Ta cú:
AABB
xyxy
(23).(23)300
-+-+=>

ị
A, B nm cựng phớa i vi d.
Gi A
Â
l im i xng ca A qua d
ị

A
(3;2)
Â
-

ị
Phng trỡnh
ABxy
:570
Â
+-=
.
Vi mi im M

ẻ
d, ta cú:
MAMBMAMBAB
ÂÂ
+=+
.
M
MAMB
Â
+
nh nht

A
Â
, M, B thng hng

M l giao im ca A
Â
B vi d.
Khi ú: M
817
;
1111
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 7

TP 02: NG TRềN

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d):
xy
250
=
v ng trũn (C): xyx
22
20500
+-+=
. Hóy vit phng trỡnh ng trũn
(C) i qua ba im A, B, C(1; 1).

ã
A(3; 1), B(5; 5)
ị
(C): xyxy
22
48100
+ +=


Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
3
2
, A(2; 3),

B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng
dxy
:380
=
. Vit phng trỡnh
ng trũn i qua 3 im A, B, C.

ã
Tỡm c C
(1;1)
1
-
, C
2
(2;10)
.
+ Vi C
1
(1;1)
-

ị
(C):
22
xyxy
111116
0
333
+-++=

+ Vi C
2
(2;10)

ị
(C):
22
xyxy
9191416
0
333
+-++=


Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: dxy
1
:230
+-=
,
dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4320
++=
. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d
1
v

tip xỳc vi d
2
v d
3
.

ã
Gi tõm ng trũn l
Itt
(;32)
-

ẻ
d
1
.
Khi ú:
dId
dId
23
)(,)
(,
=


tt
tt
34(32)5
5
43(32)2

5
+-+
=
+-+



t
t
2
4
ộ
ờ
ở
=
=

Vy cú 2 ng trũn tho món: xy
22
49
25
(2)(1) =-++ v xy
22
9
(4)(5)
25
-++=.
Cõu hi tng t:
a) Vi dxy
1

:6100
=
, dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4350
=
.
S: xy
22
(10)49
-+=
hoc xy
222
10707
434343
ổửổửổử
-++=
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
.

Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng
D
:
xy
380

++=
,
xy
':34100
D
-+=
v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng
thng
D
, i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ.

ã
Gi s tõm
Itt
(38;)


ẻ

D
Ta cú:
dIIA
(,)
D
Â
=

tt
tt
22
22
3(38)410
(382)(1)
34
+
= ++-
+



t
3
=-

ị

IR
(1;3),5
-=

PT ng trũn cn tỡm: x y
22
(1)(3)25
-++=
.

Cõu 5. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng

xy
:4330
D
-+=
v
xy
':34310
D
=
. Lp phng trỡnh ng trũn
C
()
tip xỳc vi ng thng
D
ti im
cú tung bng 9 v tip xỳc vi
'.
D
Tỡm ta tip im ca
C
()
v
'
D
.

ã
Gi
Iab
(;)

l tõm ca ng trũn (C).
C
()
tip xỳc vi
D
ti im
M
(6;9)
v
C
()
tip
xỳc vi
D
Â
nờn
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 8


a
abab
dIdI
aa
IMu
ab
ab
543
4333431
(,)(,')

433685
4
55
(3;4)
3(6)4(9)0
3454
D
DD
ỡ
ỡ
-
-+
ỡ
=
ùù
-+=-
=

ớớớ
^=
ợ
ùù
-+-=
+=
ợ
ợ
uuur
r

aa
ab
a
ab
b
251504685
10;6
543
190;156
4
ỡ
-=-
ù
ộ
==

-
ớ
ờ
=-=
=
ở
ù
ợ

Vy: Cxy
22
():(10)(6)25
-+-=
tip xỳc vi

'
D
ti
N
(13;2)

hoc Cxy
22
():(190)(156)60025
++-= tip xỳc vi
'
D
ti
N
(43;40)



Cõu 6. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua
A
(2;1)
-
v tip
xỳc vi cỏc trc to .

ã
Phng trỡnh ng trũn cú dng:
xayaaa
xayaab
222

222
()()()
()()()
ộ
-++=
ờ
-+-=
ờ
ở

a)
ị

aa
1;5
==
b)
ị
vụ nghim.
Kt lun: xy
22
(1)(1)1
-++=
v xy
22
(5)(5)25
-++=
.

Cõu 7. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng

dxy
():240
=
. Lp phng
trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d).

ã
Gi
Immd
(;24)()
-ẻ
l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: mmmm
4
244,
3
=-==
.

ã
m
4
3
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
4416
339
ổửổử
-++=
ỗữỗữ

ốứốứ
.

ã

m
4
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
(4)(4)16
-+-=
.

Cõu 8. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(1;1) v B(3;3), ng thng (D):
xy
3480
+=
. Lp phng trỡnh ng trũn qua A, B v tip xỳc vi ng thng (D).

ã
Tõm I ca ng trũn nm trờn ng trung trc d ca on AB
d qua M(1; 2) cú VTPT l AB
(4;2)
=
uuur
ị
d: 2x + y 4 = 0
ị
Tõm I(a;4 2a)

Ta cú IA = d(I,D) aaa
2
118551010
-=-+


2a
2
37a + 93 = 0


a
a
3
31
2
ộ
=
ờ
=
ờ
ở


ã
Vi a = 3
ị
I(3;2), R = 5
ị
(C): (x 3)

2
+ (y + 2)
2
= 25

ã
Vi a =
31
2

ị
I
31
;27
2
ổử
-
ỗữ
ốứ
, R =
65
2

ị
(C): xy
2
2
314225
(27)
24

ổử
-++=
ỗữ
ốứ


Cõu 9. Trong h to
Oxy
cho hai ng thng
dxy
:230
+-=
v
xy
:350
D
+-=
. Lp
phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng
210
5
, cú tõm thuc
d
v tip xỳc vi
D
.

ã
Tõm I
ẻ

d

ị
Iaa
(23;)
-+
. (C) tip xỳc vi
D
nờn:

dIR
(,)
D
=
a 2
210
5
10
-
=
a
a
6
2
ộ
=

ờ
=-

ở

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 9


ị
(C): xy
22
8
(9)(6)
5
++-=
hoc (C): xy
22
8
(7)(2)
5
-++=
.

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340
++-=
. Tia Oy
ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã

(C) cú tõm I
(23;0)
- , bỏn kớnh R= 4; A(0; 2). Gi I
Â
l tõm ca (C
Â
).
PT ng thng IA :
xt
yt
23
22
ỡ
=
ớ
=+
ợ
,
IIA
'
ẻ

ị
Itt
(23;22)
Â
+
.
AIIAtI
1

2'(3;3)
2
Â
==ị
uuruur

ị
(C
Â
): xy
22
(3)(3)4
-+-=


Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy
22
450
+=
. Hóy vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M
42
;
55
ổử
ỗữ
ốứ


ã

(C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = 3. Gi I l im i xng ca I qua M

ị
I
Â
86
;
55
ổử
-
ỗữ
ốứ

ị
(C
Â
): xy
22
86
9
55
ổửổử
-++=
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2420

+-++=
. Vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho
AB
3
= .

ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R
3
= . PT ng thng IM:
xy
34110
=
. AB
3
= .
Gi
Hxy
(;)
l trung im ca AB. Ta cú:
HIM
IHRAH
22
3
2
ỡ
ẻ
ù
ớ

=-=
ù
ợ



xy
xy
22
34110
9
(1)(2)
4
ỡ
=
ù
ớ
-++=
ù
ợ




xy
xy
129
;
510
1111

;
510
ộ
=-=-
ờ
ờ
ờ
==-
ở

ị
H
129
;
510
ổử

ỗữ
ốứ
hoc H
1111
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

ã

Vi H
129
;
510
ổử

ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
43
Â
=+=

ị
PT (C
Â
): xy
22
(5)(1)43
-+-=
.

ã
Vi H
1111
;
510
ổử
-

ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
13
Â
=+=

ị
PT (C
Â
): xy
22
(5)(1)13
-+-=
.

Cõu 13. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4
-+-=
v im
K
(3;4)
. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao
cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C).

ã
(C) cú tõm
I

(1;2)
, bỏn kớnh
R
2
=
.
IAB
S
D
ln nht


D
IAB vuụng ti I

AB
22
= .
M IK
22
= nờn cú hai ng trũn tho YCBT.
+
T
1
()
cú bỏn kớnh RR
1
2
==

ị
Txy
22
1
():(3)(4)4
-+-=

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 10

+
T
2
()
cú bỏn kớnh R
22
2
(32)(2)25
=+=
ị
Txy
22
1
():(3)(4)20
-+-=
.

Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC
vi cỏc nh: A(2;3), BC
1

;0,(2;0)
4
ổử
ỗữ
ốứ
.

ã
im D(d;0) d
1
2
4
ổử
<<
ỗữ
ốứ
thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A
khi v ch khi
( )
( )
d
DBAB
ddd
DCACd
2
2
2
2
9
1

3
4
4
41631.
2
43
ổử
+-
ỗữ
-
ốứ
==ị-=-ị=
-
+-

Phng trỡnh AD:
xy
xy
23
10
33
+-
=+-=
-
; AC:
xy
xy
23
3460
43

+-
=+-=
-

Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú honh l
b
1
-
v bỏn kớnh
cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú:

(
)
bb
bbb
22
3146
35
34
-+-
=-=
+

ị

bbb
bbb
4
35
3

1
35
2
ộ
-=ị=-
ờ
ờ
ờ
-=-ị=
ở

Rừ rng ch cú giỏ tr b
1
2
=
l hp lý.
Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip
D
ABC l: xy
22
111
224
ổửổử
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 15. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d
1

):
xy
43120
=
v (d
2
):
xy
43120
+-=
. Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn
(d
1
), (d
2
) v trc Oy.

ã
Gi
AddBdOyCdOy
1212
,,=ầ=ầ=ầ
ị

ABC
(3;0),(0;4),(0;4)
-

ị

D
ABC cõn nh A
v AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip
D
ABC

ị
IR
44
;0,
33
ổử
=
ỗữ
ốứ
.

Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d:
xy
10
=
v hai ng trũn cú
phng trỡnh: (C
1
): xy
22
(3)(4)8
-++=
, (C
2

): xy
22
(5)(4)32
++-=
. Vit phng trỡnh
ng trũn (C) cú tõm I thuc d v tip xỳc ngoi vi (C
1
) v (C
2
).

ã
Gi I, I
1
, I
2
, R, R
1
, R
2
ln lt l tõm v bỏn kớnh ca (C), (C
1
), (C
2
). Gi s
Iaad
(;1)
ẻ
.
(C) tip xỳc ngoi vi (C

1
), (C
2
) nờn
IIRR IIRRIIRIIR
11221122
,
=+=+ị=


aaaa
2222
(3)(3)22(5)(5)42
-++-=-++-

a = 0
ị
I(0; 1), R =
2


ị
Phng trỡnh (C): xy
22
(1)2
++=
.

Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9),
M(2; 7). Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip

DABC.