Tải bản đầy đủ (.pdf) (10 trang)

Hình học tọa độ phẳng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (490.55 KB, 10 trang )

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1

TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy
1
:7170
-+=
,
dxy
2
:50
+-=
. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với
dd
12
,
một tam
giác cân tại giao điểm của
dd
12
,
.

·
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d
2
là:



xyxy
xy ()
xy ()
1
2222
2
7175
3130
340
1(7)11
D
D
-++-
é
+-=

ê
=
ë
+-+

Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với
1
D
hoặc
2
D
.
KL:

xy
330
+-=

xy
310
-+=


Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy
1
:250
-+=
.
dxy
2
:36–70
+=
. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d
1
, d
2
.


·
d
1
VTCP a
1
(2;1)
=-
r
; d
2
VTCP a
2
(3;6)
=
r

Ta có: aa
12
.2.31.60
=-=
uuruur
nên
dd
12
^
và d
1
cắt d
2
tại một điểm I khác P. Gọi d là đường

thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:
dAxByAxByAB
:(2)(1)020
-++=Û+-+=

d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I
Û
khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
) một góc 45
0

AB
AB
AABB
BA
AB
022
2222
2
3
cos453830
3
2(1)

-
é
=
Û=Û =Û
ê
=-
ë
++-

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng
dxy
:350
+-=

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng
dxy
:350
=

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
dxy
:350
+-=
;
dxy
:350
=
.
Câu hỏi tương tự:
a) dxy

1
:7170
-+=
, dxy
2
:50
+-=
,
P
(0;1)
. ĐS:
xy
330
+-=
;
xy
310
-+=
.

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:310
++=
và điểm
I

(1;2)
-
. Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt
dd
12
,
lần lượt tại A và B sao cho
AB
22
= .

·
Giả sử
AaadBbbd
12
(;35);(;31)
Î Î
; IAaaIBbb
(1;33);(1;31)
= = +
uuruur

I, A, B thẳng hàng
bka
IBkIA
bka
1(1)
31(33)
ì
-=-

Þ=Û
í
-+=
î
uuruur


·
Nếu
a
1
=
thì
b
1
=

Þ
AB = 4 (không thoả).

·
Nếu
a
1
¹
thì
b
baab
a
1

31(33)32
1
-
-+= Û=-
-

ABbaabtt
2
222
()3()422(34)8
éù
=-+-+=Û++=
ëû
(với
tab
=-
).
tttt
2
2
512402;
5
Û++=Û=-=-

+ Với
tabba
220,2
=-Þ-=-Þ==-

xy

:10
ÞD++=

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 2

+ Vi tabba
2242
,
5555

=ị-=ị==

xy
:790
ịD =


Cõu 4. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:10
++=
,
dxy
2
:210
=
. Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d
1
) v (d

2
) tng
ng ti A v B sao cho MAMB
20
+=
uuuruuurr
.

ã
Gi s: A(a; a1), B(b; 2b 1).
T iu kin MAMB
20
+=
uuuruuurr
tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy ra (d): x 1 = 0

Cõu 5. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 0). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:10,:220
++=+=
ln lt ti A, B sao cho
MB = 3MA.

ã

Ad
AaaMAaa
BdBbb
MBbb

1
2
()
(;1)(1;1)
()(22;)
(23;)



ù

=

ớớớ
ẻ-
=-

ù


uuur
uuur
.
T A, B, M thng hng v
MBMA
3
=




MBMA
3=
uuuruuur
(1) hoc
MBMA
3=-
uuuruuur
(2)
(1)


A
dxy
B
21
;
():510
33
(4;1)

ổử

ù
ỗữ
ị =

ốứ
ù



hoc (2)


(
)
A
dxy
B
0;1
():10
(4;3)

-
ị =




Cõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:350,:40
=+-=
ln lt ti A, B sao cho
MAMB
230
=
.

ã

Gi s
Aaad
1
(;35)
-ẻ
,
Bbbd
2
(;4)
-ẻ
.
Vỡ A, B, M thng hng v
MAMB
23
=
nờn
MAMB
MAMB
23(1)
23(2)

=

=-

uuuruuur
uuuruuur

+
ab

a
AB
ab
b
5
55
2(1)3(1)
(1);,(2;2)
2
2(36)3(3)
22
2

ổử
ù

-=-
=

ớớ
ỗữ
-=-

ốứ
ù
=

. Suy ra
dxy
:0

-=
.
+
aba
AB
abb
2(1)3(1)1
(2)(1;2),(1;3)
2(36)3(3)1
ỡỡ
-= =
ị-
ớớ
-= =
ợợ
. Suy ra
dx
:10
-=
.
Vy cú
dxy
:0
-=
hoc
dx
:10
-=
.


Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i
qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho
OAOB
(3)
+
nh nht.

ã
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):
xy
ab
1
+=
(a,b>0)
M(3; 1)

d
Cụsi
ab
abab
3131
12.12
-
=+ị
.
M OAOBabab
332312
+=+=

ab

a
OAOB
b
ab
min
3
6
(3)12
311
2
2

=
ù

=
ị+=
ớớ
=
==

ù


Phng trỡnh ng thng d l:
xy
xy
1360
62
+=+-=


Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 3

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng
OAOB
+
nh nht.

ã

xy
260
+-=


Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho
OAOB
22
94
+
nh nht.

ã
ng thng (d) i qua
M
(1;2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn

AaBb
(;0);(0;)
vi
ab
.0



Phng trỡnh ca (d) cú dng
xy
ab
1
+=
.
Vỡ (d) qua M nờn
ab
12
1
+=
. p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú :

abab
ab
22
22
12132194
1.1.1
39
ổửổửổửổử
=+=+Ê++

ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ



ab
22
949
10
+



OAOB
22
949
10
+
.
Du bng xy ra khi
ab
132
:1:
3
= v
ab
12
1
+=



ab
20
10,
9
==


dxy
:29200
+-=
.

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2).

ã

xyxy
360;20
+-= =


Cõu 11. Trong mt phng vi h ta (Oxy). Lp phng trỡnh ng thng d qua
M
(2;1)
v to
vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng
S
4

=
.

ã
Gi
AaBbab
(;0),(0;)(,0)

l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra:
xy
d
ab
:1
+=
.
Theo gi thit, ta cú:
ab
ab
21
1
8

+=
ù

ù
=





baab
ab
2
8

+=

=

.

ã
Khi
ab
8
=
thỡ
ba
28
+=
. Nờn: badxy
1
2;4:240
==ị+-=
.

ã
Khi
ab

8
=-
thỡ
ba
28
+=-
. Ta cú: bbb
2
440222
+-==- .
+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
=-+ị-++-=

+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
= ị++-+=
.
Cõu hi tng t:
a)

MS
(8;6),12
=
. S:
dxy
:32120
=
;
dxy
:38240
-+=


Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh
xy
230
+=
. Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos
1
10
= .

ã
PT ng thng (
D
) cú dng:
axby
(2)(1)0
++=




axbyab
20
++=
ab
22
(0)
+ạ

Ta cú:
ab
ab
22
21
cos
10
5()
a
-
==
+

7a
2
8ab + b
2
= 0. Chon a = 1

b = 1; b = 7.



(
D
1
): x + y 1 = 0 v (
D
2
): x + 7y + 5 = 0
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 4

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
A
(2;1)
và đường thẳng
dxy
:2340
++=
.
Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc
0
45
.

·
PT đường thẳng (
D
) có dạng:
axby

(–2)(1)0
+-=
Û

axbyab
–(2)0
++=
ab
22
(0)

.
Ta có:
ab
ab
0
22
23
cos45
13.
+
=
+

Û
aabb
22
52450
=


Û

ab
ab
5
5
é
=
ê
=-
ë

+ Với
ab
5
=
. Chọn
ab
5,1
==

Þ
Phương trình
xy
:5110
D
+-=
.
+ Với
ab

5
=-
. Chọn
ab
1,5
==-

Þ
Phương trình
xy
:530
D
-+=
.

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho đường thẳng
dxy
:220
=
và điểm
I
(1;1)
.
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm
I
một khoảng bằng
10
và tạo với đường thẳng

d
một góc bằng
0
45
.

·
Giả sử phương trình đường thẳng
D
có dạng:
axbyc
0
++=
ab
22
(0)

.

·
d
0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2
1

2
.5
-
=
+

ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë


·
Với
ab
3
=

Þ

D
:
xyc
30

++=
. Mặt khác dI
(;)10
D
=
c4
10
10
+
Û=
c
c
6
14
é
=
Û
ê
=-
ë


·
Với
ba
3
=-
Þ

D

:
xyc
30
-+=
. Mặt khác dI
(;)10
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-
Û
ê
=
ë

Vậy các đường thẳng cần tìm:
xy
360;
++=
xy
3140

+-=
;
xy
380;
=

xy
3120
-+=
.

Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho điểm
M
(0; 2) và hai đường thẳng
d
1
,
d
2

phương trình lần lượt là
xy
320
++=

xy
340
-+=

. Gọi
A
là giao điểm của
d
1

d
2
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng
d
1

d
2
lần lượt tại
B
,
C

(
B

C
khác
A
) sao cho
ABAC
22
11

+
đạt giá trị nhỏ nhất.

·
AddA
12
(1;1)
=ÇÞ- . Ta có
dd
12
^
. Gọi
D
là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
vuông góc của A trên
D
. ta có:
ABACAHAM
2222
1111
+=³
(không đổi)

Þ
ABAC
22
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
AM

2
1
khi H
º
M, hay
D
là đường thẳng đi qua M
và vuông góc với AM.
Þ
Phương trình
D
:
xy
20
+-=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
M
(1;2)
-
, dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:350
-+=
. ĐS:

xy
:10
D
++=
.

Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng
dxy
():–3–40
=
và đường
tròn Cxyy
22
():–40
+=
. Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm
A(3; 1).

·
M
Î
(d)
Þ
M(3b+4; b)
Þ
N(2 – 3b; 2 – b)
N
Î
(C)
Þ

(2 – 3b)
2
+ (2 – b)
2
– 4(2 – b) = 0
Þ
b b
6
0;
5
==

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 5

Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N
38684
;,;
5555
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D:
xy
2340
++=
. Tỡm

im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc
0
45
.

ã

D
cú PTTS:
xt
yt
13
22

=-

=-+

v VTCP
u
(3;2)
=-
r
. Gi s
Btt
(13;22)
D
+ẻ
.
AB

0
(,)45
D
=

ABu
1
cos(;)
2
=
uuurr

ABu
ABu
.1
.
2
=
uuur
r
r

t
tt
t
2
15
13
169156450
3

13

=

=


=-

.
Vy cỏc im cn tỡm l: BB
12
3242232
;,;
13131313
ổửổử

ỗữỗữ
ốứốứ
.

Cõu 18. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng
dxy
:360
=
v im
N
(3;4)
.
Tỡm ta im M thuc ng thng d sao cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch

bng
15
2
.

ã
Ta cú ON
(3;4)
=
uuur
, ON = 5, PT ng thng ON:
xy
430
-=
. Gi s
Mmmd
(36;)
+ẻ
.
Khi ú ta cú
ONM
ONM
S
SdMONONdMON
ON
2
1
(,).(,)3
2
D

D
===




mm
mmm
4.(36)313
3924151;
53
+
=+==-=
+ Vi
mM
1(3;1)
=-ị-
+ Vi mM
1313
7;
33
ổử

=ị-
ỗữ
ốứ


Cõu 19. Trong mt phng to
Oxy

,
cho im
A
(0;2)
v ng thng
dxy
:220
-+=
. Tỡm
trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng
B
v AB = 2BC .

ã
Gi s
BbbCccd
(22;),(22;)

.
Vỡ
D
ABC vuụng B nờn AB
^
d


d
ABu
.0
=

uuur
r


B
26
;
55
ổử
ỗữ
ốứ


AB
25
5
=

BC
5
5
=
BCcc
2
1
125300180
5
=-+=
5
5




cC
cC
1(0;1)
747
;
555

=ị

ổử

=ị
ỗữ
ốứ



Cõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:30
+-=
, dxy
2
:90
+-=
v
im

A
(1;4)
. Tỡm im
BdCd
12
,
ẻẻ
sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.

ã
Gi
BbbdCccd
12
(;3),(;9)
-ẻ-ẻ



ABbb
(1;1)
=
uuur
,
ACcc
(1;5)
=
uuur
.

D

ABC vuụng cõn ti A


ABAC
ABAC
.0

=

=

uuuruuur



bcbc
bbcc
2222
(1)(1)(1)(5)0
(1)(1)(1)(5)

+-=

-++=-+-

(*)
Vỡ
c
1
=

khụng l nghim ca (*) nờn
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 6

(*)


bc
b
c
c
bbcc
c
2
2222
2
(1)(5)
1(1)
1
(5)
(1)(1)(1)(5)(2)
(1)

+-
-=
ù
-
ù

-

ù
+++=-+-
ù
-


T (2)

bc
22
(1)(1)
+=-



bc
bc
2

=-

=-

.
+ Vi
bc
2
=-
, thay vo (1) ta c
cb

4,2
==



BC
(2;1),(4;5)
.
+ Vi
bc
=-
, thay vo (1) ta c
cb
2,2
==-



BC
(2;5),(2;7)
-
.
Vy:
BC
(2;1),(4;5)
hoc
BC
(2;5),(2;7)
-
.


Cõu 21. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú
phng trỡnh: dmxmym
1
:(1)(2)20
++=
; dmxmym
2
:(2)(1)350
++=
. Chng
minh d
1
v d
2
luụn ct nhau. Gi P = d
1
ầ d
2
. Tỡm m sao cho
PAPB
+
ln nht.

ã
Xột H PT:
mxmym
mxmym
(1)(2)2
(2)(1)35


-+-=-

-+-=-+

.
Ta cú
mm
Dmm
mm
2
31
12
20,
21
22
ổử

==-+>"
ỗữ

ốứ




dd
12
,
luụn ct nhau. Ta cú:

AdBddd
1212
(0;1),(2;1),
ẻ-ẻ^



D
APB vuụng ti P

P
nm trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PAPBPAPBAB
2222
()2()216
+Ê+==




PAPB
4

. Du "=" xy ra

PA = PB

P l trung im ca cung

AB




P(2; 1) hoc P(0; 1)


m
1
=
hoc
m
2
=
. Vy
PAPB
+
ln nht


m
1
=
hoc
m
2
=
.

Cõu 22. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng (D):
xy
220

=
v hai im
A
(1;2)
-
,
B
(3;4)
. Tỡm im M

(D) sao cho
MA MB
22
2
+
cú giỏ tr nh nht.

ã
Gi s M MttAMttBMtt
(22;)(23;2),(21;4)
D
+ẻị=+-=
uuuruuur

Ta cú:
AMBMttft
222
215443()
+=++=


ftf
2
min()
15
ổử
=-
ỗữ
ốứ


M
262
;
1515
ổử
-
ỗữ
ốứ


Cõu 23. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng
dxy
:230
-+=
v 2 im
AB
(1;0),(2;1)
.
Tỡm im M trờn d sao cho
MAMB

+
nh nht.

ã
Ta cú:
AABB
xyxy
(23).(23)300
-+-+=>


A, B nm cựng phớa i vi d.
Gi A
Â
l im i xng ca A qua d


A
(3;2)
Â
-


Phng trỡnh
ABxy
:570
Â
+-=
.
Vi mi im M


d, ta cú:
MAMBMAMBAB
ÂÂ
+=+
.
M
MAMB
Â
+
nh nht

A
Â
, M, B thng hng

M l giao im ca A
Â
B vi d.
Khi ú: M
817
;
1111
ổử
-
ỗữ
ốứ
.




Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 7

TP 02: NG TRềN

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d):
xy
250
=
v ng trũn (C): xyx
22
20500
+-+=
. Hóy vit phng trỡnh ng trũn
(C) i qua ba im A, B, C(1; 1).

ã
A(3; 1), B(5; 5)

(C): xyxy
22
48100
+ +=


Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
3
2
, A(2; 3),

B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng
dxy
:380
=
. Vit phng trỡnh
ng trũn i qua 3 im A, B, C.

ã
Tỡm c C
(1;1)
1
-
, C
2
(2;10)
.
+ Vi C
1
(1;1)
-


(C):
22
xyxy
111116
0
333
+-++=


+ Vi C
2
(2;10)


(C):
22
xyxy
9191416
0
333
+-++=


Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: dxy
1
:230
+-=
,
dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4320
++=
. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d
1
v

tip xỳc vi d
2
v d
3
.

ã
Gi tõm ng trũn l
Itt
(;32)
-


d
1
.
Khi ú:
dId
dId
23
)(,)
(,
=


tt
tt
34(32)5
5
43(32)2

5
+-+
=
+-+



t
t
2
4



=
=

Vy cú 2 ng trũn tho món: xy
22
49
25
(2)(1) =-++ v xy
22
9
(4)(5)
25
-++=.
Cõu hi tng t:
a) Vi dxy
1

:6100
=
, dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4350
=
.
S: xy
22
(10)49
-+=
hoc xy
222
10707
434343
ổửổửổử
-++=
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
.

Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng
D
:
xy
380

++=
,
xy
':34100
D
-+=
v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng
thng
D
, i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ.

ã
Gi s tõm
Itt
(38;)




D
Ta cú:
dIIA
(,)
D
Â
=





tt
tt
22
22
3(38)410
(382)(1)
34
+
= ++-
+



t
3
=-



IR
(1;3),5
-=

PT ng trũn cn tỡm: x y
22
(1)(3)25
-++=
.

Cõu 5. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng

xy
:4330
D
-+=
v
xy
':34310
D
=
. Lp phng trỡnh ng trũn
C
()
tip xỳc vi ng thng
D
ti im
cú tung bng 9 v tip xỳc vi
'.
D
Tỡm ta tip im ca
C
()
v
'
D
.

ã
Gi
Iab
(;)

l tõm ca ng trũn (C).
C
()
tip xỳc vi
D
ti im
M
(6;9)
v
C
()
tip
xỳc vi
D
Â
nờn
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 8


a
abab
dIdI
aa
IMu
ab
ab
543
4333431
(,)(,')

433685
4
55
(3;4)
3(6)4(9)0
3454
D
DD


-
-+

=
ùù
-+=-
=

ớớớ
^=

ùù
-+-=
+=


uuur
r



aa
ab
a
ab
b
251504685
10;6
543
190;156
4

-=-
ù

==

-


=-=
=

ù


Vy: Cxy
22
():(10)(6)25
-+-=
tip xỳc vi

'
D
ti
N
(13;2)

hoc Cxy
22
():(190)(156)60025
++-= tip xỳc vi
'
D
ti
N
(43;40)



Cõu 6. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua
A
(2;1)
-
v tip
xỳc vi cỏc trc to .

ã
Phng trỡnh ng trũn cú dng:
xayaaa
xayaab
222

222
()()()
()()()

-++=

-+-=



a)


aa
1;5
==
b)

vụ nghim.
Kt lun: xy
22
(1)(1)1
-++=
v xy
22
(5)(5)25
-++=
.

Cõu 7. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng

dxy
():240
=
. Lp phng
trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d).

ã
Gi
Immd
(;24)()
-ẻ
l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: mmmm
4
244,
3
=-==
.

ã
m
4
3
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
4416
339
ổửổử
-++=
ỗữỗữ

ốứốứ
.

ã

m
4
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
(4)(4)16
-+-=
.

Cõu 8. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(1;1) v B(3;3), ng thng (D):
xy
3480
+=
. Lp phng trỡnh ng trũn qua A, B v tip xỳc vi ng thng (D).

ã
Tõm I ca ng trũn nm trờn ng trung trc d ca on AB
d qua M(1; 2) cú VTPT l AB
(4;2)
=
uuur

d: 2x + y 4 = 0

Tõm I(a;4 2a)

Ta cú IA = d(I,D) aaa
2
118551010
-=-+


2a
2
37a + 93 = 0


a
a
3
31
2

=

=




ã
Vi a = 3

I(3;2), R = 5

(C): (x 3)

2
+ (y + 2)
2
= 25

ã
Vi a =
31
2


I
31
;27
2
ổử
-
ỗữ
ốứ
, R =
65
2


(C): xy
2
2
314225
(27)
24

ổử
-++=
ỗữ
ốứ


Cõu 9. Trong h to
Oxy
cho hai ng thng
dxy
:230
+-=
v
xy
:350
D
+-=
. Lp
phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng
210
5
, cú tõm thuc
d
v tip xỳc vi
D
.

ã
Tõm I



d


Iaa
(23;)
-+
. (C) tip xỳc vi
D
nờn:

dIR
(,)
D
=
a 2
210
5
10
-
=
a
a
6
2

=


=-



Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 9



(C): xy
22
8
(9)(6)
5
++-=
hoc (C): xy
22
8
(7)(2)
5
-++=
.

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340
++-=
. Tia Oy
ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã

(C) cú tõm I
(23;0)
- , bỏn kớnh R= 4; A(0; 2). Gi I
Â
l tõm ca (C
Â
).
PT ng thng IA :
xt
yt
23
22

=

=+

,
IIA
'



Itt
(23;22)
Â
+
.
AIIAtI
1

2'(3;3)
2
Â
==ị
uuruur


(C
Â
): xy
22
(3)(3)4
-+-=


Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy
22
450
+=
. Hóy vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M
42
;
55
ổử
ỗữ
ốứ


ã

(C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = 3. Gi I l im i xng ca I qua M


I
Â
86
;
55
ổử
-
ỗữ
ốứ


(C
Â
): xy
22
86
9
55
ổửổử
-++=
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2420

+-++=
. Vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho
AB
3
= .

ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R
3
= . PT ng thng IM:
xy
34110
=
. AB
3
= .
Gi
Hxy
(;)
l trung im ca AB. Ta cú:
HIM
IHRAH
22
3
2


ù


=-=
ù




xy
xy
22
34110
9
(1)(2)
4

=
ù

-++=
ù





xy
xy
129
;
510
1111

;
510

=-=-



==-



H
129
;
510
ổử

ỗữ
ốứ
hoc H
1111
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

ã

Vi H
129
;
510
ổử

ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
43
Â
=+=


PT (C
Â
): xy
22
(5)(1)43
-+-=
.

ã
Vi H
1111
;
510
ổử
-

ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
13
Â
=+=


PT (C
Â
): xy
22
(5)(1)13
-+-=
.

Cõu 13. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4
-+-=
v im
K
(3;4)
. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao
cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C).

ã
(C) cú tõm
I

(1;2)
, bỏn kớnh
R
2
=
.
IAB
S
D
ln nht


D
IAB vuụng ti I

AB
22
= .
M IK
22
= nờn cú hai ng trũn tho YCBT.
+
T
1
()
cú bỏn kớnh RR
1
2
==



Txy
22
1
():(3)(4)4
-+-=

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 10

+
T
2
()
cú bỏn kớnh R
22
2
(32)(2)25
=+=

Txy
22
1
():(3)(4)20
-+-=
.

Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC
vi cỏc nh: A(2;3), BC
1

;0,(2;0)
4
ổử
ỗữ
ốứ
.

ã
im D(d;0) d
1
2
4
ổử
<<
ỗữ
ốứ
thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A
khi v ch khi
( )
( )
d
DBAB
ddd
DCACd
2
2
2
2
9
1

3
4
4
41631.
2
43
ổử
+-
ỗữ
-
ốứ
==ị-=-ị=
-
+-

Phng trỡnh AD:
xy
xy
23
10
33
+-
=+-=
-
; AC:
xy
xy
23
3460
43

+-
=+-=
-

Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú honh l
b
1
-
v bỏn kớnh
cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú:

(
)
bb
bbb
22
3146
35
34
-+-
=-=
+



bbb
bbb
4
35
3

1
35
2

-=ị=-



-=-ị=


Rừ rng ch cú giỏ tr b
1
2
=
l hp lý.
Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip
D
ABC l: xy
22
111
224
ổửổử
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 15. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d
1

):
xy
43120
=
v (d
2
):
xy
43120
+-=
. Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn
(d
1
), (d
2
) v trc Oy.

ã
Gi
AddBdOyCdOy
1212
,,=ầ=ầ=ầ


ABC
(3;0),(0;4),(0;4)
-




D
ABC cõn nh A
v AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip
D
ABC


IR
44
;0,
33
ổử
=
ỗữ
ốứ
.

Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d:
xy
10
=
v hai ng trũn cú
phng trỡnh: (C
1
): xy
22
(3)(4)8
-++=
, (C
2

): xy
22
(5)(4)32
++-=
. Vit phng trỡnh
ng trũn (C) cú tõm I thuc d v tip xỳc ngoi vi (C
1
) v (C
2
).

ã
Gi I, I
1
, I
2
, R, R
1
, R
2
ln lt l tõm v bỏn kớnh ca (C), (C
1
), (C
2
). Gi s
Iaad
(;1)

.
(C) tip xỳc ngoi vi (C

1
), (C
2
) nờn
IIRR IIRRIIRIIR
11221122
,
=+=+ị=


aaaa
2222
(3)(3)22(5)(5)42
-++-=-++-

a = 0

I(0; 1), R =
2



Phng trỡnh (C): xy
22
(1)2
++=
.

Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9),
M(2; 7). Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip

DABC.

×