Phương trình vi phân tuyến tính và phương pháp tuyến tính hóa hệ phương trình vi phân

Mục lục

1. Ph-ơng trình vi phân tuyến tính và ph-ơng pháp tuyến tính hóa hệ
ph-ơng trình vi phân

6

1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ ph-ơng trình vi phân . . . . . .

6

1.1.1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Công thức biểu diễn nghiệm của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Tính ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. Sự ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất

10

1.2.3. Sự ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính với ma trận
hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3. Bài toán tuyến tính hóa ổn định của hệ ôtônôm và ví dụ về sự ổn định
của vị trí cân bằng của con lắc đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4. Ph-ơng pháp biến phân đối với hệ phi tuyến . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5. Tính ổn định ngặt của hệ ph-ơng trình vi phân . . . . . . . . . . . . .

21

1.6. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của ph-ơng
trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.6.1. Các khái niệm về ổn định của ph-ơng trình vi phân hàm . . .

29

1.6.2. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2. Sự ổn định của ph-ơng trình vi phân có xung và ứng dụng trong

1


2
mạng Nơron thần kinh

35

2.1. Ph-ơng trình vi phân có xung và tính tồn tại và duy nhất nghiệm của
hệ ph-ơng trình vi phân có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.1.1. Ph-ơng trình vi phân có xung dạng tổng quát . . . . . . . . .

36

2.1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của ph-ơng trình vi phân có xung 36
2.2. Tiêu chuẩn so sánh nghiệm đối với ph-ơng trình vi phân có xung . . .

39

2.3. Tính ổn định của ph-ơng trình vi phân hàm có xung . . . . . . . . . .

41

2.4. áp dụng cho mạng nơron thần kinh với xung hữu hạn có chậm thay đổi 44
2.4.1. Sự ổn định của một nơron thần kinh . . . . . . . . . . . . . .

44

2.4.2. Sự ổn định của mạng các nơron thần kinh . . . . . . . . . . .

46


3

Lời cảm ơn

Luận văn này đ-ợc thực hiện và hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn tận tình của
PGS. TS. Đặng Đình Châu.Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến ban chủ nhiệm
Khoa và các Thầy giáo, Cô giáo trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, tr-ờng Đại học Khoa
học Tự nhiên, ĐH Quốc gia Hà Nội đã động viên, khuyến khích, chia sẻ kinh nghiệm
và h-ớng dẫn tôi trong suốt quá trình học vừa qua.
Trong quá trình làm luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót,
tác giả rất mong nhận đ-ợc sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.


4

Lời mở đầu
Các ph-ơng pháp nghiên cứu tính ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân đ-ợc xây
dựng và hoàn thiện bởi nhà toán học Nga A.Lyapunov từ đầu thế kỷ XIX. Trong bản
luận văn tiến sĩ đ-ợc công bố năm 1882, Lyapunov đã trình bày các ph-ơng pháp khác
nhau để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính

và phi tuyến. Các ph-ơng pháp đó đã đ-ợc ứng dụng rộng rãi trong khoa học kỹ thuật
đặc biệt là ph-ơng pháp hàm Lyapunov và ph-ơng pháp xấp xỉ thứ nhất. Nhờ quá
trình tuyến tính hóa ( ph-ơng pháp biến phân ), trong nhiều tr-ờng hợp chúng ta có thể
đ-a việc xét tính ổn định của hệ phi tuyến về việc nghiên cứu tính ổn định của hệ tựa
tuyến tính. Trong bản luận văn này chúng tôi trình bày tính chất ổn định của các hệ
tuyến tính, tựa tuyến tính và các hệ tuyến tính hóa đ-ợc nhờ ph-ơng pháp biến phân.
Ngoài các tiêu chuẩn ổn định theo Lyapunov, trong luận văn đã đề cập đến khái niệm
ổn định ngặt và định lý t-ơng ứng về điều kiện đủ để hệ tuyến tính không ôtônôm có
nhiễu là ổn định tiệm cận đó là nội dung ch-ơng 1.
Trong ch-ơng 2 chúng tôi tiếp tục trình bày các kết quả của ph-ơng pháp hàm
Lyapunov và ph-ơng pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân
hàm có xung. Ph-ơng trình vi phân hàm có xung có nhiều ứng dụng trong thực tế.
H-ớng nghiên cứu này bắt đầu đ-ợc quan tâm từ năm 2002 và hiện nay đang đ-ợc
nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm. Xin phép đ-ợc liệt kê một số tác giả tiêu
biểu nh- M.Benchora[12][13], J.Henderson[12], G.T. Stamov và I.M. Stamov[11], X.
Liu[10], V. Lakshmikantham[3],...
Phần cuối của luận văn chúng tôi đã trình bày một ứng dụng của ph-ơng pháp
hàm Lyapunov cho các ph-ơng trình mô tả quá trình hoạt động của mạng nơron thần
kinh có nhiễu. Ngoài việc xây dựng các ví dụ minh họa chúng tôi đã trình bày một số
kết quả nghiên cứu tính ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân có xung trong ch-ơng 2.


Danh mục các ký hiệu

N

Tập hợp các số nguyên không âm

R

Tập hợp các số thực

R+

Tập hợp các số thực d-ơng

Rn

Không gian n chiều

Rn+

Không gian mà mỗi phần tử có n thành phần toạ độ thực d-ơng

sup E(sup x)

5

Cận trên đúng của E

xE

inf E( inf x)

Cận d-ới đúng của E

lim sup

Giới hạn trên

xE

n

lim inf

Giới hạn d-ới

K

Tập các hàm f : R+ R+ liên tục, tăng ngặt và f (0) = 0

1

Tập các hàm f : R+ R+ liên tục và f (s) s

2

Tập các hàm f : R+ R+ liên tục và f (s) > s

3

Tập các hàm f : R+ R+ liên tục, f (0) = 0 và f (s) > 0 với s > 0

n


Ch-ơng 1.

Ph-ơng trình vi phân tuyến tính

và ph-ơng pháp tuyến tính hóa hệ
ph-ơng trình vi phân
Trong ch-ơng này chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ ph-ơng
trình vi phân. Nội dung ch-ơng này bao gồm các định nghĩa, khái niệm và các định lý
cơ bản về hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính , giới thiệu lý thuyết về ổn định và tính
ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính và bài toán tuyến tính hóa ổn định.

1.1.

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ ph-ơng
trình vi phân

1.1.1.

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Hệ ph-ơng trình vi phân tổng quát có dạng:

x(t)

= f (x(t)) t I = (b, ),
x(t ) = x , t > b
0
0
0

(1.1.1)

trong đó f : I ì D Rn , D là một tập mở trong Rn .
Hệ trên đ-ợc gọi là ôtônôm nếu trong biểu thức vế phải của hệ không phụ thuộc vào

6


7
t hay là:


x(t)


x(t )
0

= f (t, x(t)) t I = (b, ),
= x0 ,

t0 > b

Định nghĩa 1.1.1. Hàm x(t) = x(t, t0, x0) đ-ợc gọi là nghiệm của (1.1.1.) nếu x(t)
khả vi liên tục thoả mãn:
(i) (t, x(t)) I ì D,
(ii) x(t) thỏa mãn (1.1.1.).
Nghiệm của (1.1.1.) phải thỏa mãn ph-ơng trình tích phân:
t

x(t) = x0 +

(1.1.2)

f (s, x(s))ds

t0

Các định lý sau đây cho ta các điều kiện đủ để sự tồn tại duy nhất và kéo dài nghiệm
ra vô hạn.
Định lý 1.1.1. (Định lý Picard - Lindeloff). Xét hệ ph-ơng trình vi phân (1.1.1.)
trong đó giả sử D = {x Rn : ||x x0|| < a, a > 0},

f : I ì D Rn liên tục

theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitzian địa ph-ơng theo biến x tức là :
K > 0 : ||f (t, x) f (t, y)|| K||x y||,

t0

Khi đó với mỗi (t0, x0) I ì D ta luôn tìm đ-ợc một số d > 0 sao cho hệ ph-ơng
trình vi phân (1.1.1.) có nghiệm duy nhất trên khoảng [t0 d, t0 + d].
(Chứng minh xem [1])
Định lý 1.1.1 có thể tiếp tục và thác triển nghiệm trên khoảng tiếp theo. Định
lý sau sẽ đảm bảo tính kéo dài của nghiệm trong khoảng thời gian vô hạn.
Định lý 1.1.2. Nếu trong miền ||x x0|| a < , t t0 thỏa mãn các điều kiện
sau:
(i) f : I ì D Rn liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitzian địa ph-ơng theo
biến x tức là:
K > 0 : ||f (t, x) f (t, y)|| K||x y||,

t0

(ii) ||f (t, x0)|| N < khi đó mọi quỹ đạo không v-ợt ra ngoài miền con nào đó
||x x0|| a1 < a sẽ kéo dài đ-ợc trên khoảng thời gian vô hạn.
(Chứng minh xem [1])

8
Định lý 1.1.3. Giả sử ||x|| < , t t0 và thỏa mãn ||f (t, x(t))|| L(||x||) trong
đó L(t) là một hàm liên tục có tính chất là

r

r0

dr
L(r)

khi r

Khi đó mọi nghiệm của ph-ơng trình (1.1.1.) kéo dài đ-ợc trên khoảng thời gian vô
hạn.
(Chứng minh xem [1])

1.1.2.

Công thức biểu diễn nghiệm của hệ ph-ơng trình vi
phân tuyến tính
Xét hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính dạng:

x(t)
= Ax(t) + g(t), t 0
x(t ) = x , t 0,
0

0

0

trong đó A = (aij )nìn là ma trận hằng và hàm g : [0, +) Rn là hàm khả tích.
Ký hiệu T (t) = eAt là ma trận mũ khi đó nghiệm của hệ trên xác định duy nhất trên
[0, +) đ-ợc xác định bởi công thức: (Xem [1])
t
A(tt0 )

x(t) = e

eA(ts) g(s)ds

x0 +
t0

Đối với hệ vi phân tuyến tính không ôtônôm dạng:

x(t)

= A(t)x(t) + g(t), t 0
x(t ) = x , t 0,
0

0

0

trong đó A(t) = (aij (t))nìn là hàm liên tục trên R+ và g : [0, +) Rn là hàm liên

tục. Nếu A(t) là hàm liên tục và ||A(t)|| m(t), trong đó m(t) là hàm khả tích thì
khi đó hệ vi phân tuyến tính trên sẽ có nghiệm duy nhất trên [0, +). Nghiệm này
đ-ợc biểu diễn d-ới dạng:
t

x(t) = (t, t0)x0 +

(t, s)g(s)ds
t0

trong đó (t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ:
x(t)
= A(t)x(t)


9
Ma trận (t, s) thỏa mãn ph-ơng trình ma trận

d (t, s) = A(t)(t, s),
dt

t s 0,

(t, t ) = I
0

Chú ý rằng ma trận (t, s) có thể tìm đ-ợc bằng ph-ơng pháp xấp xỉ liên tiếp và họ
các ma trận (t, s) thỏa mãn các tính chất sau đây:
(t, t) = E,

(t, ) = (t, s).(s, ),

ts

(t, s) = [(t, s)]1

1.2.

Tính ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân
tuyến tính

1.2.1.

Các khái niệm về ổn định

Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình vi phân (1.1.1.)
đ-ợc gọi là ổn định theo Lyapunov khi t + nếu:
> 0, t0 R+ , = (t0, ) > 0, sao cho : x0 < x(t) < , t

t0 .

Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình (1.1.1.) đ-ợc gọi là
ổn định đều khi t + nếu số trong định nghĩa (1.2.2) không phụ thuộc vào t0.
Định nghĩa 1.2.4. Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình vi phân (1.1.1.)
đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t + nếu:
1. Nghiệm tầm th-ờng x = 0 là ổn định.
2. = (t0) > 0, x0 < lim

t+

x(t) = 0

Định nghĩa 1.2.5. Nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình vi phân (1.1.1.)
đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t + nếu:
1. Nghiệm tầm th-ờng x = 0 là ổn định.
2. > 0( không phụ thuộc vào t0 ), x0 < lim

t+

x(t) = 0


10

1.2.2.

Sự ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính
thuần nhất
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:
dx
= A(t)x
dt

(1.2.3)

Định lý 1.2.4. Giả sử = (t) là ma trận nghiệm cơ bản của (1.2.3). Khi đó:
(1)

x(t) 0 là ổn định

(2)

x(t) 0 là ổn định tiệm cận

(3)

x(t) 0 là ổn định đều

(4)

x(t) 0 là ổn định tiệm cận đều

K > 0, > 0 sao cho

(t)1(s) < Ke(ts),

t, s : t0 s t < .

K > 0 : (t) < K,

t [t0, +).

(t) = 0.

lim

t+
1

(t) (s) M,

t0 s t < +.

Chứng minh. (1) Giả sử (t0) = I
()

t t0.

Giả sử tồn tại K > 0 : (t) K,

Với mọi > 0 cho tr-ớc chọn =

thì với mọi x0 < ta luôn có:


2K


x0 K x0 K = .
2

x(t) = (t)x0 (t)

()

x(t) 0 ổn định.
Giả sử x(t) 0 là ổn định. Chọn = K1 > 0 với x0 < .

Khi đó x(t) K1 ,

t t0. (t)x0 K1

Nếu x0 < 1 sup

(t)x0 K1 .

x0 <

Nếu < x0 1 chọn x0 =
Khi đó x0 < ,

sup
< x0 1

=

x0
x0

(t)x0 =

sup
< x0 1

x0


sup
< x0 1

(t)x0

Chọn K = max{K1 , K2 } thì (t) = sup
Suy ra (1) đã đ-ợc chứng minh xong.
(2) x(t) 0 ổn định tiệm cận
()

(t)

x0


x0

K1
.


(t)x0 K.

x0 1

lim

t+

(t) = 0.

Giả sử nghiệm tầm th-ờng x(t) 0 ổn định tiệm cận khi đó với mọi nghiệm

y(t) thỏa mãn y(t0) ; > 0 ta có:
lim

t+

y(t) = 0 lim y(t) = 0
t+


11
Xét x(t) là một nghiệm tùy ý thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0 = 0
Đặt y(t) =

x(t)
x(t0 ) 2

y(t0) =


2

< .

lim y(t) = 0 lim x(t) = 0
t+

t+

Mọi nghiệm của hệ đều tiến tới 0 khi t + lim

(t) = 0.

t+

() Giả sử lim

t+

(t) = 0. Khi đó mọi nghiệm x(t) bất kỳ của hệ tiến về 0 khi

t +.
Ta có x(t) liên tục trên [t0, +) suy ra x(t) bị chặn. Nh- vậy mọi nghiệm của hệ
đều bị chặn, suy ra nghiệm ổn định khi t +. Hơn thế nữa theo giả thiết mọi
nghiệm.
Nghiệm tầm th-ờng x(t) 0 của hệ là ổn định tiệm cận.
(4)

x 0 ổn định tiệm cận đều K > 0, 0 sao cho
(t)1 (s) Ke(ts) ,

() Từ (1.2.4) suy ra (t)1(s) K,

t, s [t0, +), s t

(1.2.4)

t s t0 x 0 là ổn định đều.

Ngoài ra:
x(t) = (t)1(s)x(s) K x(s) e(ts),

với t +, x(s) 0

x(t) 0 là ổn định tiệm cận đều.

() Giả sử x(t) 0 là ổn định tiệm cận đều.
x(t) 0 ổn định đều (t)1(s) K
lim

t+

t > s t0.

x(t) = 0 ( ổn định đều ) t1 > t0 với > 0, < K, T > t1 sao cho:

x(t) < ,

t > T .

Ta có: (t)1(s)




= ,

t T.

Khi đó:
(t)1 (t1) = (t)1 (t1 + T )(t1 + T )1(t1)
= (t)1 (t1 + 2T )(t1 + 2T )1 (t + T )(t1 + T )1(t1 )

= ...
= (t)1 (t1 + nT )(t1 + nT )...(t1 + T )1(t1 )
(t)1 (t1 + nT ) ... (t1 + T )1(t1 )
Kn
= K.en

ln
T
T

= K.e.n.T

với

=

ln
T

vì

=


<1


Khi đó t T, (t)1(t) K.et , suy ra điều phải chứng minh.

12
Nhận xét 1. Từ định lý 1.2.4 ta có thể chỉ ra rằng mọi nghiệm của ph-ơng trình
vi phân tuyến tính thuần nhất là ổn định khi và chỉ khi mọi nghiệm của hệ giới nội.
Nh-ng điều này lại không đúng đối với hệ phi tuyến. Để chỉ ra điều đó ta xét ví dụ
sau đây.
Ví dụ 1.2.1. Ph-ơng trình vô h-ớng:
dy
= 1+ty
dt
có nghiệm không bị chặn y0 = t. Bởi vì:
y(t) = t + y(0)et ,
cho nên nghiệm y0 rõ ràng là ổn định, hơn nữa là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.2.2. Xét ph-ơng trình vô h-ớng:
dx
= sin2 x.
dt
tích phân ph-ơng trình trên ta đ-ợc:
với

x = arctan(c tan x0 t)

x0 = k

và
x = k

với

x0 = k

(k = 0, 1, 2, ...

tất cả các nghiệm trên đều bị chặn trên (, +) nh-ng nghiệm x 0 không ổn
định khi t bởi vì x0 (0, ) bất kỳ ta sẽ có:
lim x(t) = .

t+

Nhận xét 2. Từ định lý 1.2.4 ta dễ dàng nhận đ-ợc hệ ph-ơng trình vi phân tuyến
tính thuần nhất (1.2.3) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi nghiệm x(t), (t0 t <
+) của hệ dần đến không khi t +, tức là
lim x(t) = 0.

t+


13
ví dụ sau đây chỉ ra rằng đối với hệ vi phân tuyến tính mà tất cả các nghiệm dần
tới không không suy ra đ-ợc nghiệm tầm th-ờng ổn định.
Ví dụ 1.2.3. Hệ


x =

x
t

t2xy 2

y = y

t
Có nghiệm tầm th-ờng x = 0, y = 0. Tích phân hệ trên ta đ-ợc nghiệm

x = C1teC22 t
y = C2
t

Nếu chọn t0 = 1 ta sẽ có


x(t) = x(t0)tey2 (t0 )(t1)
y =

y(t0 )
t

Rõ ràng x(t) 0, y(t) 0 khi t + nh-ng với > 0 bất kỳ khi x(t0) =
2 , y(t0) = ta sẽ có
1
> e1
2

Do đó nghiệm x = 0, y = 0 không ổn định, hơn nữa không ổn định tiệm cận khi
x 1+

t +.

1.2.3.

Sự ổn định của hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính với

ma trận hằng
Xét hệ:

trong đó A = [ajk ]nìn

dx
= Ax
(1.2.5)
dt
là ma trận hằng. T-ơng tự nh- đối với ph-ơng trình vi phân

tuyến tính không ôtônôm thuần nhất, ta kí hiệu T (t) = eAt là ma trận nghiệm cơ bản
của (1.2.3) khi đó ta sẽ có hệ quả sau


14
Hệ quả 1.2.1. Nghiệm x(t) 0 của (1.2.5) là
(i) ổn định đều K > 0 : T (t) < K,
(i) ổn định tiệm cận đều lim

t+

t [t0, +).

T (t) = 0.

Trong thực tế chúng ta có thể sử dụng một số các điều kiện đủ xác lập lên phổ
(A) của A để xét tính ổn định nghiệm của (1.2.5) các định lý sau đây đã đ-ợc chứng
minh trong [4].
Định lý 1.2.5. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.2.5) với ma trận hằng là ổn

định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc tr-ng j = j (A) của ma trận A có phần
thực không d-ơng trong đó các nghiệm đặc tr-ng có phần thực bằng không là các
-ớc sơ cấp đơn.

Nhận xét 3. Hệ tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng A ổn định thì suy ra ổn
định đều.

Định lý 1.2.6. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.2.5) với ma trận hằng là ổn
định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc tr-ng j = j (A) của ma trận
A có phần thực âm tức là
Rej (A) < 0

Nhận xét 4. Nếu ta muốn chứng minh ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính thuần
nhất với hệ số hằng chúng ta khẳng định rằng tất cả các nghiệm 1 , ..., n của ph-ơng
trình
det(A E) = 0
có phần thực âm. Chúng ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Húcvít là điều kiện đủ để các
nghiệm của ph-ơng trình trên có phần thực âm.
Ví dụ 1.2.4. Xét hệ:




x = x + y


y = x y + z

z = y z


15
Ph-ơng trình đặc tr-ng có dạng
+1



0

x

+1

z

0



+1

=0

Hay là
( + 1)[2 + 2 + (1 2)] = 0
Do đó hệ sẽ ổn định tiệm cận nếu
1 2 > 0 <

1.3.

1
2

Bài toán tuyến tính hóa ổn định của hệ ôtônôm
và ví dụ về sự ổn định của vị trí cân bằng của
con lắc đơn
Giả sử x(t) là nghiệm của ph-ơng trình vi phân
(1.3.6)

x = F (t, x)
để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x(t) của (1.3.6) ta đặt
x = z + x(t),
ph-ơng trình (1.3.6) sẽ biến đổi thành
z = F (t, z + x(t)) F (t, x(t)).
Nếu F là liên tục khả vi theo biến x, ta có thể viết d-ới dạng
z = Fx (t, z + x(t))z + f (t, z),
trong đó
f (t, z) = F (t, z + x(t)) F (t, x(t)) Fx (t, x(t))z.
Với mỗi t cố định ta có
|f (t, z)| = o(|z|)

nếu

|z| 0,

(1.3.7)

16
Sử dụng ph-ơng pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunov (xem [4]) ta có thể xem tính ổn
định của hệ (1.3.7) nh- tính ổn định của hệ tuyến tính
y = Fx (t, x(t))y,

(1.3.8)

Trong tr-ờng hợp hệ (1.3.6) là hệ ôtônôm ta có:
x = f (x)

(1.3.9)

Để nghiên cứu tính ổn định của điểm cân bằng x0 = 0 giả sử f (0) = 0 ta có:
f (x) = Df (0)x +

D2 f (0) 2
x + ...
2

Khi đó việc nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.3.9) tại điểm cân bằng x0 = 0 sẽ đ-a
về việc nghiên cứu tính ổn định của hệ tuyến tính
x = Ax

(1.3.10)

trong đó A = Df (0).
Hàm Ax = Df (0)x đ-ợc gọi là phần tuyến tính của f tại x0 = 0. Hệ (1.3.10) đ-ợc
gọi là sự tuyến tính hóa của hệ (1.3.9) tại điểm x0 = 0.
Hàm tuyến tính Df (0)x là xấp xỉ tốt nhất của hàm không tuyến tính f (x) tại điểm
x = 0.

Ví dụ 1.3.5. Xét bài toán ổn định tại điểm cân bằng của con lắc đơn có sự tham gia
của ma sát. Con lắc bao gồm quả nặng khối l-ợng m và thanh cứng có khối l-ợng
không đáng kể có độ dài l.
Giải
Sử dụng các nguyên lý chuyển động cơ học chúng ta có thể đi đến ph-ơng trình vi
phân mô tả quá trình chuyển động của con lắc (xem[15])
ml2
ă + mgl sin + H I
=0
Trong đó m là khối l-ợng quả nặng, l là độ dài của thanh cứng, H là hệ số ma sát.
Đặt w2 = gl ,

wt = t1,

H
wml2

= 2h thay vào biểu thức ta đ-ợc

d
d2
+ 2h
+ sin = 0
2
dt1
dt1


17

Ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với

dx = y
dt
dy
= sin x 2hy,
dt

trong đó x =
Điểm cân bằng của con lắc xác định bởi các ph-ơng trình:
y = 0;

sin x + 2hy = 0



x = n;

y = 0;

n = 0, 1, 2, ...

Trong vế phải của ph-ơng trình trên là hàm tuần hoàn đối với biến x. Do đó ta sẽ
nghiên cứu tính ổn định tại hai nghiệm (x = 0, y = 0) và (x = , y = 0).
Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm (x = 0, y = 0)
Ta tuyến tính hóa tại lân cận của (0, 0). Bằng cách sử dụng khai triển
sin x = x

x3
+ ...

3!

Ph-ơng trình tuyến tính xấp xỉ là:

dx = y
dt
dy = x 2hy,
dt

Các giá trị riêng của A đ-ợc xác định từ ph-ơng trình


1

1 2h

= 2 + 2h + 1 = 0

Vì tất cả các hệ số của ph-ơng trình bậc hai ở trên là d-ơng nên tại điểm (0, 0) tức vị
trí thấp nhất của trạng thái cân bằng của con lắc là ổn định tiệm cận. ( Do các giá trị
riêng âm).
Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm (x = , y = 0)
Ta tuyến tính hóa tại lân cận của (, 0). Bằng cách sử dụng khai triển
x31
sin x = sin( + x1 ) = x1 +
...;
3!
Ph-ơng trình tuyến tính xấp xỉ là:

dx1 = y

dt
dy = x 2hy,
1
dt

x1 = x


18
Khi đó ta sẽ xét tính ổn định tại điểm (0, 0) của hệ mới.
Các giá trị riêng của A đ-ợc xác định từ ph-ơng trình


1

1

2h

= 2 + 2h 1 = 0

Dễ dàng thấy rằng tích hai nghiệm là âm. Do đó hai nghiệm của ph-ơng trình trên là
trái dấu. Suy ra hệ không ổn định.
Vậy tại điểm (, 0) là không ổn định.

1.4.

Ph-ơng pháp biến phân đối với hệ phi tuyến
Xét hệ ph-ơng trình vi phân
dx

= f (t, x);
dt

x(t0) = x0;

(1.4.11)

t0 R+

trong đó x(.) Rn , f : R+ ì Rn Rn , liên tục thỏa mãn các điều kiện đảm bảo sự
tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

dx = f (t, x(t))
dt

x(t ) = x ,
0
0

t0 R+ ,

x0 Rn

cùng với hệ (1.4.11) ta xét hệ
dy
= f (t, y) + R(t, y);
dt

(1.4.12)

y(t0) = x0;

trong đó R : R+ ì Rn Rn thỏa mãn điều kiện R(t, y)

g(t, y ) và g :

R ì R R, là một hàm liên tục thỏa mãn g(t, 0) = 0 và g(t, u) là một hàm
không giảm theo biến u. Giả sử x(t) = x(t, t0, x0) là nghiệm của (1.4.11) ta ký hiệu
(t, t0, x0) =

x
(t, t0, x0 ),
x0

giả sử rằng tồn tại 1 (t, t0, x0 ) với mọi t t0.

Gọi v(t) là nghiệm của hệ
dv
= 1 (t, t0, x0)R(t, x(t, t0, v(t));
dt

v(t0) = x0 ;

t t0

(1.4.13)

khi đó ta có những kết quả sau:
Định lý 1.4.7. Nghiệm y(t, t0, x0 ) của ph-ơng trình (1.4.12) phải thỏa mãn
t

1 (s, t0, x0 )R(s, y(s, t0, x0))ds;

y(t, t0, x0) = x(t, t0, x0) +
t0

(1.4.14)


19
hoặc thỏa mãn
t

(t, t0, v(s))1(s, t0, v(s))R(t, y(s, t0, x0))ds; (1.4.15)

y(t, t0, x0) = x(t, t0, x0) +
t0

với mọi t t0.
Chứng minh. Giả sử x(t, t0, x0) là nghiệm duy nhất của (1.4.11) t t0. Ph-ơng
pháp biến phân là tìm hàm v(t) sao cho
y(t, t0, x0) = x(t, t0, v(t)),

v(t0) = x0

(1.4.16)

là nghiệm của (1.4.12). Đạo hàm theo biến t ta nhận đ-ợc
y (t, t0, x0 ) = x (t, t0, v(t)) +

x(t, t0, v(t))
v (t)
x0

(1.4.17)

Do đó ta sẽ có
f (t, y(t, t0, x0)) + R(t, y(t, t0, x0)) = f (t, x(t, t0, v(t))) + (t, t0, v(t))v (t),
Nếu v(t) là nghiệm của (1.4.13) và y(t, t0, x0 ) là đ-ợc biểu diễn theo (1.4.16) thì v(t)
phải thỏa mãn ph-ơng trình tích phân
t

1 (s, t0, v(s))R(s, x(s, t0, v(s)))ds

v(t) = x0 +
t0

Từ (1.4.15) thì với mọi t0 s t ta có:
d
x(t, t0, v(s))
x(t, t0, x0 ) =
v (s) = (t, t0, v(s))v (s)
ds
x0
tích phân lên ta nhận đ-ợc
t

x(t, t0, v(s)) = x(t, t0, x0 ) +

(t, t0, v(s))v (s)ds.

t0

Nếu v(t) là nghiệm của (1.4.13) thì ta sẽ nhận đ-ợc kết quả (1.4.14) và (1.4.15)
Để tiếp tục chứng minh định lý sau đây chúng tôi xin trình bày bổ đề


20
Bổ đề 1.4.1. Cho g

C[R2+ , R+ ],

g(t, u) là không giảm theo biếu u với t R+ và

r(t) là nghiệm cực đại của
u = g(t, u),

u(t0) = u0,

xác định trên [t0, +). Giả sử rằng tồn tại m C[R+, R+ ] thỏa mãn
t

m(t) m(t0) +

g(s, m(s))ds,

t t0 .

t0

thì m(t) r(t), t t0 nếu m(t0) u0.

(Xem chứng minh [4])
Định lý 1.4.8. Nếu thêm vào giả thiết của định lý 1.4.7 các điều kiện sau
(i) ||(t, t0, x0)||, ||1 (t, t0, x0 )|| K với mọi ||x0|| < và t t0.;
(ii) ||R(t, y)|| g(t, ||y||), trong đó g C[R+ ì R+ , R+ ], g(t, u) là một hàm không
giảm theo biến u, f (t, 0) = 0,

R(t, 0) = 0 và g(t, 0) = 0;

nghiệm của hệ
u = K 2 g(t, u),

u(t0) = u0 0

(1.4.18)

là ổn định.
Thì nghiệm của hệ (1.4.12) là ổn định.
Chứng minh. Từ x(t, t0, x0) =

t

(t, t0, x(s))ds x0, ta có

t0

||x(t, t0, x0)|| K||x0||,

t t0 ,

nếu ||x0|| < .

(1.4.19)

Xét v(t) là nghiệm của (1.4.13) và giả sử rằng với một vài các t1 > t0 ta có
||v(t1)|| = và ||v(t)|| với mọi t [t0, t1 ]. Sử dụng (1.4.13) ta nhận đ-ợc
t

||v(t)|| ||x0|| + K

g(s, ||x(s, t0, v(s))||ds
t0
t

||x0|| + K

g(s, K||v(s)||)ds.
t0

Suy ra
t

K||v(t)|| K||x0|| + K 2

g(s, K||v(s)||)ds
t0


21
do đó ta sẽ nhận đ-ợc
K||v(t)|| r(t, t0, K||x0||),

t [t0, t1],

trong đó r(t, t0 , K||x0||) là nghiệm cực đại của (1.4.18), chọn ||x0|| <


K

dễ thấy từ

điều kiện (iii) thì
= ||v(t1)|| r(t1 , t0, K||x0||) < ,
suy ra vô lý. Vậy ||v(t)|| < với mọi t t0, nếu ||x0|| <


.
K

Từ quan hệ (1.4.14) và (1.4.15) cộng với điều kiện (i) và (ii) thì
t

||y(t, t0, x0 )|| K||x0|| + K

2

g(s, K||y(s, t0, x0||)ds,

t t0

t0

Sử dụng bổ đề suy ra
||y(t, t0, x0)|| r(t, t0, K||x0||),

t t0 .

Do đó tính ổn định của (1.4.12) sẽ đ-ợc suy ra từ (iii).

1.5.

Tính ổn định ngặt của hệ ph-ơng trình vi phân
Xét hệ ph-ơng trình vi phân:
x = F (t, x),

x(t0) = x0

(1.5.20)

y = f (t, y),

y(t0) = x0

(1.5.21)

và

trong đó F, f C[R+ ì Rn , Rn ].
Giả sử rằng y(t, t0, x0 ) là nghiệm của (1.5.21) và các đạo hàm riêng
y
(t, t0, x0)

x0

y
(t, t0, x0),
t0

tồn tại và liên tục trên R+ ì Rn . Đặt m(s) = y(t, s, x(s)), t0 s t,

khi đó x(s) = x(s, t0, x0) là nghiệm nào đó của (1.5.20) với mọi s t0,
Ta có:
m (s) =

y
y
(t, s, x(s)) +
(t, s, x(s)).F (s, x(s)) = G(t, s, x(s)),
t0
x0

lấy tích phân ta nhận đ-ợc:
t

m(t) m(t0) =

G(t, s, x(s))ds
t0

(1.5.22)

22
Hay là:
t

x(t) = y(t) +

G(t, s, x(s))ds,

(1.5.23)

t t0

t0

Chú ý rằng m(t) = y(t, t, x(t)) = x(t) và m(t0) = y(t).
Giả sử V C 1[R+ ìRn , R] và m(s) = V (s, y(t, s, x(s))), trong đó V C 1[R+ ìRn , R]
khi đó biến đổi t-ơng tự nh- trên ta nhận đ-ợc
t

dV
(s, y(t, s, x(s)))ds,
ds

V (t, x(t)) = V (t0, y(t)) +

(1.5.24)

t0

trong đó:

dV
V
V
(s, y(t, s, x(s))) =
(s, y(t, s, x(s))) +
(s, y(t, s, x(s))).G(t, s, x(s)).
ds
t
x
Nếu f (t, y) là hàm liên tục và tồn tại đạo hàm riêng theo biến y, thì nghiệm y(t, t0, x0)
của (1.5.21) khả vi với mọi (t0 , x0) và thỏa mãn:

y (t, t0, x0) = (t, t0, x0)f (t0 , x0),
t0
y (t, t , x ) = (t, t , x ), t t
0

x0

0

0

0

(1.5.25)

0

trong đó (t, t0, x0) là ma trận nghiệm cơ bản của ph-ơng trình biến phân:

z = fy (t, y(t, t0, x0 )z,

(1.5.26)

z(0) = I,

I là ma trận đơn vị. Từ (1.5.22) và (1.5.25) ta thấy rằng
G(t, s, x(s)) = (t, s, x) F (s, x) f (s, x)
Giả sử rằng F (t, x) = f (t, x) + R(t, x), trong đó R(t, x) đ-ợc coi là nhiễu, khi đó
theo (1.5.23) đ-ợc biến đổi thành:
t

(t, s, x(s))R(s, x(s))ds,

x(t) = y(t) +

t t0 ,

(1.5.27)

t0

Ví dụ nếu V (t, x) = |x|2, từ (1.5.24) ta sẽ nhận đ-ợc
t
2

2

|x(t)| = |y(t)| + 2

y(t, s, x(s))(t, s, x(s))R(s, x(s))ds,
t0

t t0

(1.5.28)


23
Định nghĩa 1.5.6. Nghiệm của hệ (1.5.21) đ-ợc gọi là:
(i) ổn định ngặt (strictly stable) nếu với mọi 1 > 0, t0 R+ , tồn tại 1 = 1 (t0, 1)
sao cho
|x0 | 1

thì

|y(t, t0, x0)| < 1,

t t0

và với mọi 0 < 2 1 , tồn tại một số 0 < 2 < 2 sao cho
2 |x0| 1

thì

|y(t, t0, x0)| > 2,

t t0

trong đó y(t, t0, x0 ) là một nghiệm bất kỳ của (1.5.21).

(ii) ổn định ngặt đều nếu 1 , 2 và 2 trong (i) không phụ thuộc vào t0.
Với V C[R+ ì Rn ] ta định nghĩa:
D+ V (t, s, x) = lim+ sup
h0

1
V (s + h, y(t, s + h, x + hF (s, x))) V (s, y(t, s, x)) ,
h

trong đó y(t, s, x) là nghiệm bất kỳ của (1.5.21) thỏa mãn y(s, s, x) = x.
Nếu f (t, y) = 0 thì y(t, s, x) = x,
y(t, s + h, x + hF (s, x)) = x + hF (s, x)
và theo định nghĩa trên ta nhận đ-ợc:
D+ V (s, x) = lim sup
h0+

1
V (s + h, y(t, s + h, x + hF (s, x))) V (s, x)
h

Định lý 1.5.9. Giả sử rằng tồn tại V C[R+ ì Rn ] là Lipschitzian địa ph-ơng theo
biến x, V (t, 0) = 0, V (t, x) xác định d-ơng và thỏa mãn
D+ V (s, y(t, s, x)) 0,

s [t0, t),

s s();

(1.5.29)

Khi đó tính ổn định của (1.5.21) sẽ kéo theo tính ổn định của (1.5.20).
Chứng minh. Do V (t, x) là d-ơng, nên tồn tại b K và 0 (0, ) sao cho:
b(||x||) V (t, x),

(1.5.30)

x s().

Với s() và t0 R+ cho tr-ớc, từ điều kiện (ii) sẽ tồn tại = (t0) > 0 sao
cho
V (t0, x) < b(),

(1.5.31)

||x|| < .

Giả sử rằng nghiệm của (1.5.21) là ổn định, do đó tồn tại = (t0, ) > 0 sao cho
||x0|| <

thì

||y(t, t0, x0 )|| < ,

t t0 ,


24
trong đó y(t, t0, x0) là nghiệm của (1.5.21). Nếu x(t) = x(t, t0, x0) là nghiệm của
(1.5.20) với ||x0|| < . Từ (1.5.30) và (1.5.31) sẽ chỉ ra rằng ||x(t0)|| .
Nếu tồn tại t1 > t0 sao cho

||x(t1)|| = ,

và

||x(t)|| < ,

Với t [t0, t1], đặt m(s) = V (s, y(t, s, x(s))),

t [t0, t1 ),

(1.5.32)

s [t0, t1], trong đó y(t, x, x(s)) là

nghiệm của (1.5.21). Từ (i) ta nhận đ-ợc D+ m(s) 0,

t0 s t t1 . Giả sử

m(t) m(t0), t0 t t1, thì
V (t1, x(t1)) V (t0, x(t0)) < b().
Nh-ng từ (1.5.31) và (1.5.32)
V (t1, x(t0)) b(||x(t1)||) = b(),
suy ra mâu thuẫn. Vậy ta sẽ có ||x(t)|| < , t t0, và nghiệm của (1.5.20) là ổn
định.
Tiếp theo chúng ta giả sử rằng nghiệm của (1.5.21) là ổn định tiệm cận. Khi đó
ta cũng suy ra tính ổn định của (1.5.20). Giả sử với mọi t0 R+ , 0 > 0, tồn tại
0 = (0) > 0 sao cho
||x0 || < 0

thì

||x(t)|| < 0 ,

t t0 ,

(1.5.33)

trong đó x(t) = x(t, t0, x0) là một nghiệm nào đó của (1.5.20). Từ điều kiện (i) ta
có:
V (t, x(t)) V (t0, y(t, t0, x0)),

t t0 ,

(1.5.34)

Do (1.5.21) là ổn định tiệm cận, ta có: lim y(t, t0, x0 ) = 0, từ (1.5.33) và (iii) ta sẽ
t

có

lim V (t, x(t)) = 0.

t

Điều đó chỉ ra rằng lim x(t) = 0, hay (1.5.20) là ổn định tiệm cận.
t

Định lý 1.5.10. Nếu thêm vào (ii) của định lý 1.5.9 là V (t, x) là giảm, thì tính ổn
định đều của (1.5.21) sẽ kéo theo tính ổn định đều của (1.5.20).
Chứng minh. Từ điều kiện V (t, x) giảm, nên tồn tại a K và > 0 sao cho

V (t, x) a(||x||),

x s().

(1.5.35)


25
Chọn > 0 sao cho
a() < b().
Giả sử rằng (1.5.21) là ổn định đều. Khi đó tồn tại = () > 0 sao cho với mọi
t0 R+ ta có:
||x0|| <

thì

||y(t, t0, x0 )|| < ,

t t0 ,

trong đó y(t, t0, x0 ) là nghiệm của (1.5.21). Đặt x(t) = x(t, t0, x0) là nghiệm của
(1.5.20) với ||x0|| < . Chứng minh t-ơng tự nh- định lý 1.5.9 ta sẽ chỉ ra đ-ợc
rằng ||x(t)|| < , t t0 . Hay (1.5.20) là ổn định đều.
Tiếp đó giả sử nghiệm của (1.5.21) là ổn định tiệm cận đều.
Đặt = min{0 , }, từ tính ổn định đều của (1.5.20) suy ra tồn tại = () sao
cho ||x0|| < thì ||x(t, t0, x0)|| < , t t0, trong đó x(t) = x(t, t0, x0 ) là nghiệm
của (1.5.20). Từ (i) và (1.5.36) ta nhận đ-ợc
V (t, x(t)) V (t0, y(t, t0, x0)) a(||y(t, t0, x0)||),

t t0 .

Từ tính chất nghiệm của (1.5.21) là ổn định tiệm cận đều, do đó với mọi (0, ),
tồn tại T = T () > 0 sao cho
||y(t, t0, x0)|| < 1 (b()),

t t0 + T.

Điều đó chỉ ra rằng
|x(t)| < ,

t t0 + T.

Hay (1.5.20) là ổn định tiệm cận đều.

Định lý 1.5.11. Giả sử rằng
(i) V C[R+ ì Rn ] là Lipschitzian địa ph-ơng theo biến x, xác định d-ơng và
giảm;
(ii) Tồn tại một C K thỏa mãn
D+ V (s, y(t, s, x)) C(||y(t, s, x)||),

s [t0, t),

s s();

(iii) Hệ (1.5.21) là ổn định ngặt.
Thì nghiệm của (1.5.20) là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Tính ổn định đều của (1.5.20) đ-ợc chỉ ra qua định lý 1.5.10.
Giả sử rằng tồn tại 0 = ( ) > 0 thỏa mãn
||x0 || < 0,

thì

||x(t)|| < ,

t t0 ,

(1.5.36)