ĐỀ tài PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————————–

TRẦN THỊ THỦY

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————————–

TRẦN THỊ THỦY

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2015


Mục lục

LỜI CẢM ƠN
MỞ ĐẦU

3
3

1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5

1.1 Phương trình tích phân tất định: . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Phương trình Fredholm loại 2 với hạch suy biến: . . 9
1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến: . . . . . . . . . . 11
1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . 12
1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục . . . . . . . 25
1.3.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: . . . . . . . 29
2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FREDHOLM VÀ VOLTERRA

33

2.1 Phương trình Fredholm và Volterra với hàm vế phải là ngẫu
nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Nghiệm của phương trình tích phân: . . . . . . . . . 34
1

2.1.3 Nghiệm của hàm hiệp phương sai: . . . . . . . . . . 37
2.1.4 Sự liên tục bình phương trung bình của nghiệm: . . 40
2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: 41
2.2 Hạch K (x, y, ω) là ngẫu nhiên suy biến . . . . . . . . . . . 42
2.3 Hạch K (x, y, ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không
gian các hàm gián đoạn vừa phải . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
PHI TUYẾN

49

3.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên . . . . . . . . . 49
3.1.1 Thiết lập phương trình tích phân của một số các
phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên . . . . . 49
3.1.2 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên trong
không gian các hàm liên tục: . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên . . 58
3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch
ngẫu nhiên và vế phải ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.1 Giới thiệu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2 Tồn tại và duy nhất: . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Tài liệu tham khảo

67

2


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của

GS.TS.Đặng Hùng Thắng- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN.
Thầy đã dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp các thắc mắc của tôi trong
suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
người thầy của mình.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong Khoa
Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc
gia Hà Nội đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong
suốt quá trình học tập
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo
điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, Tháng 4 năm 2015.

3


MỞ ĐẦU
Từ cuối thế kỉ 17, Newton và Leibniz đã xây dựng phép tính vi phân
và tích phân cổ điển. Tới nửa đầu thế kỉ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu
được xây dựng. Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên thì phép tính
tích phân ngẫu nhiên đã trở thành công cụ quan trọng ứng dụng nhiều
trong toán học, vật lý, sinh học và kinh tế. Trong phương trình toán tử
tuyến tính, phương trình tích phân ngẫu nhiên giúp cho việc nghiên cứu
toán học hiện đại mang lại nhiều kết quả.
Trong luận văn "Phương trình tích phân ngẫu nhiên" này, chúng ta xét
hai loại phương trình tích phân ngẫu nhiên là Fredholm và Volterra. Ngoài
ra, chúng ta xét một số phương trình tích phân ngẫu nhiên phi tuyến.
Chúng được quan tâm lớn và có tầm quan trọng trong nhiều nhánh của
khoa học, kinh tế và công nghệ. Đặc biệt, những phương trình tích phân
phi tuyến xuất hiện trong những hiện tượng vật lý cụ thể và trong việc xây

dựng phương trình tích phân của những phương trình vi phân phi tuyến.

4


Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Phương trình tích phân tất định:
1.1.1 Giới thiệu:
Xét phương trình tích phân:
b
a

K (x, y)f (y)dy = g(x)

(1.1)

b

K (x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x)

a

(1.2)

là phương trình Fredholm không thuần nhất của loại thứ nhất và thứ hai
tương ứng và phương trình tích phân tuyến tính:
x
a

K (x, y)f (y)dy = g(x)

(1.3)

x
a

K (x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x)

(1.4)

là phương trình Volterra không thuần nhất của loại thứ nhất và thứ hai
tương ứng. Từ sự phân loại của phương trình tuyến tính trên, ta thấy
phương trình Volterra là trường hợp đặc biệt của một phương trình Fredholm với hạch:

K (x, y) = K (x, y) nếu x > y
0
nếu x < y

(1.5)

Phương trình tích phân tuyến tính chiếm một phần quan trọng của
phương trình toán tử tuyến tính trong ứng dụng toán học.
5


Chúng ta xét 3 ví dụ chỉ ra mối quan hệ của phương trình tích phân và
phương trình khác.
1. Bài toán giá trị ban đầu:
Xét phương trình vi phân cấp 2:

d2x
dx
dt2 + a dt + bx = f (t)

(1.6)

cùng với điều kiện ban đầu

x(0) = x0, x′(0) = v0

(1.7)

Trong (1.6) a và b có thể là những hàm của t. Nếu chúng ta viết lại phương
trình (1.6) là:

d2x
dx
dt2 = −a dt − bx + f (t)
và tích phân trong khoảng (0, t) chúng ta có được, sử dụng (1.7)
t

dx
dt = −

0

a dx
dt dr −
t

t
0

t

bxdr +

0
t

f dr + a(0)x0 + v0

′

= −ax −

(b − a )xdr +

0

f dr

0

Tích phân trên chúng ta có được:
t

x(t) = x0 −

0

+

t

a(r)x(r)dr −
t

t

0

0

0

t
0

[b(r) − a(r)]x(r)drdr

f (r)drdr + [a(0)x0 + v0]t

mà có thể được viết với hình thức là:
t

x(t) = −

0

+

0

a(r) + (t − r)[b(r) − a′(r)]x(r)dr
t

(t − r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0

Có thể viết lại là:
t

x(t) −

0

K (t, r)x(r)dr = g(t)
6

(1.8)


Trong đó:

K (t, r) = (r −t t)[b(r) − a′(r)] − a(r)
g(t) =
(t − r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0
0
Do đó chúng ta đã chỉ ra rằng phương trình (1.6) và (1.7) và phương trình

tích phân (1.8) như một phương trình Volterra của loại thứ hai.
2. Bài toán biên:
Xét phương trình vi phân sau:

d2x
dt2 + λx = 0,

x(0) = 0, x(a) = 0

(1.9)

Tiến hành như trong ví dụ đầu tiên, tích phân trong khoảng (0, t) :
t

dx
dt = −λ

0

x(r)dr + x′(0)

Ở đây x′(0) chưa biết. Tích phân lặp lại khoảng (0, t) và sử dụng điều kiện

x(0) = 0, chúng ta có được:
t

x(t) = −λ

0

(t − r)x(r)dr + x′(0)t

(1.10)

Thay điều kiện thứ hai x(a) = 0 chúng ta có:

x′(0) = (λ/a)

a
0

(a − r)x(r)dr

Do đó, (1.10) có thể được viết lại là :
t

x(t) = −λ

0

= (λ/a)

a

(t − r)x(r)dr + t(λ/a)
t
0

r(a − t)x(r)dr + (λ/a)

0

(a − r)x(r)dr
a
t

t(a − r)x(r)dr (1.11)

Nếu chúng ta đặt :

K (t, r) =

(r/a)(a − t) với r < t
(t/a)(a − r) với r > t
7


Phương trình (1.11) có thể được viết lại là:

x(t) = λ

a
0

K (t, r)x(r)dr

(1.12)

Do đó, phương trình (1.9) dẫn đến phương trình Fredholm của loại thứ
hai.

3. Xét toán tử vi phân tuyến tính cấp 2 sau:

dx
L[x] = d
dt p(t) dt + q(t)x

(1.13)

Ở đó, p(t) 0. Chúng ta sẽ xét hàm x(t) ở hai đầu của một khoảng đã
cho (a, b) thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất:

αx(a) + βx′(a) = 0, γx(b) + δx′(b) = 0

(1.14)

Chúng ta cũng giả sử rằng nghiệm duy nhất x(t) của phương trình

Lx = 0 thỏa mãn điều kiện biên (1.14) và để x(t) và x′(t) là liên tục thì
nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0.
Hàm Green’s hoặc hàm ảnh hưởng liên kết với toán tử L khác và điều
kiện biên là hàm G(t, r) với những tính chất dưới đây:
(i) G(t, r) là liên tục với t, r ∈ [a, b]
(ii) Mỗi khoảng [a, r] và [r, b], đạo hàm ∂G và
là liên tục.
∂t ∂G ∂r
(iii) G(t, r) là liên tục tại t = r
(iv) Đạo hàm của G là điểm gián đoạn của độ lớn − p(1r) tại t = r, đó là:

∂G

∂G

∂r t=r+ −

∂r t=r− =

1
p(r)

(v) Cho r cố định , G(t, r) thỏa mãn phương trình L[G] = 0 trong mỗi
khoảng [a, r), (r, b]
(vi)Hàm của t, G(t, r) thỏa mãn điều kiện của biên (1.14) Để định nghĩa
hàm Green’s chúng ta xây dựng tích phân u(t) và v(t) của L[x] = 0 thỏa
mãn điều kiện Cauchy:

u(a) = β

u′(a) = −α

v(b) = δ

v ′(b) = −γ
8


Tích phân u(t) và v(t) tuyến tính độc lập và từ lý thuyết của phương trình
tuyến tính khác, chúng ta có:

p(t)[u(t)v ′(t) − u′(t)v(t)] = c = 0
Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa một hàm G(t, r) bằng:

G(t, r) = u(t)v(r)/c với t ∈ [a, r]
u(r)v(t)/c với t ∈ [r, b]

(1.15)

Và nó không khó để xác minh rằng hàm định nghĩa như trên thỏa mãn
tính chất (i)-(vi) của hàm Green’s. Từ (1.15) hàm G(t, r) tương ứng với
thuộc tính dưới đây:
(vii) G(t, r) = G(r, t) tức là G(t, r) là một hàm đối xứng.
Tiếp theo chúng ta phát biểu hai kết quả là tầm quan trọng trong việc
đưa phương trình vi phân dạng Lx = f (t) đến phương trình Fredholm.
Định lý 1.1. Cho f (t) là một hàm liên tục được xác định trên [a,b]. Nếu

x(t) là một nghiệm của phương trình vi phân:
Lx + f (t) = 0

(1.16)

thỏa mãn điều kiện biên (1.14), thì x(t) có thể được viết dưới dạng:

x(t) =

b
a

G(t, r)f (r)dr

(1.17)

1.1.2 Phương trình Fredholm loại 2 với hạch suy biến:
Trong phần này, chúng ta xét phương trình tích phân Fredholm loại
hai:

1
0

K (x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x)

(1.18)

Một hạch Fredholm K (x, y) được gọi là suy biến nếu nó có dạng:
n

K (x, y) =

αi(x)βi(y)

(1.19)

i=1

với αi(x)ni=1 và βi(y)ni=1 là hai bộ độc lập của hàm L2(0, 1) độc lập tuyến
tính. Trong trường hợp này, phương trình tích phân Fredholm (1.18) tương
9


đương hệ n phương trình đại số tuyến tính với n chưa biết. Nếu chúng ta
đặt :

1

ξj =

0

βj (x)f (x)dx j = 1, 2, . . . , n

(1.20)

Phương trình (1.18) với hạch (1.19) trở thành:
n
j =1

ξj αj (x) − λf (x) = g(x)

(1.21)

ξj chưa biết không đổi, hàm f (x) chưa biết . Từ phương trình (1.21), chúng
ta thu được:

n

f (x) = 1
λ j =1 ξj αj (x) − g(x)

(1.22)

Nếu chúng ta nhân phương trình (1.21) với βi trong đó i = 1, 2, . . . , n và
sau đó tích phân lên chúng ta thu được:

n

ξj
j =1

1
0

1

αj (x)βi(x)dx − λξi =

0

βi(x)g(x)dx

n

aij ξi = bi i = 1, 2, . . . , n

(1.23)

j =1

ai =
bi =

1
0

αj (x)βi(x)dx
1

βi(x)g(x)dx

(1.24)

0

Viết lại phương trình (1.23) dưới hình thức ma trận, chúng ta được :

(A − λI )xi = b

(1.25)

Với A = (aij ) là ma trận cỡ n × n và ξ và b là n-vecto (1.23) tương đương
với phương trình (1.18). Do đó, nếu ξj là nghiệm của phương trình (1.23),
tương ứng với nghiệm của phương trình (1.18) được tính bởi phương trình
(1.22).

10


1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến:
Những phương trình tích phân phi tuyến được quan tâm lớn và có tầm
quan trọng trong nhiều nhánh của khoa học, kinh tế và công nghệ. Trong
trường hợp của những phương trình tích phân tuyến tính, những phương
trình tích phân phi tuyến xuất hiện trong toán học hiện đại của những
hiện tượng vật lý cụ thể và trong việc xây dựng phương trình tích phân
của những phương trình vi phân phi tuyến. Ví dụ, bài toán giá trị ban

đầu:

x(t) = x(a) +

t
a

f (r, x(r))dr

(1.26)

Và bài toán giá trị biên có thể dẫn đến phương trình tích phân Hammerstein có dạng:

x(t) +

K
a

(t, r)f (r, x(r))dr = 0

(1.27)

Nghiên cứu bài toán phi tuyến trong thuyết mạch điều khiển dẫn tới
phương trình tích phân có dạng:

x(t) − ∞

−∞

K (t − r)ψ(x(r), r)dr = y(t)

(1.28)

Trong phương trình (1.28) hàm ψ(x, t) đại diện cho phần tử phi tuyến
biến thời gian. K (t) đặc trưng tần số của hệ tuyến tính và vế phải y(t) là
tín hiệu vào. Benes đã nghiên cứu phương trình (1.28) trong không gian
Marcinkiewicz M2. Không gian hàm M2(−∞, ∞) là lớp các tích phân địa
phương đo được. Những hàm giá trị thực x(t), t ∈ T = (−∞, ∞) mà:
A

2

||x|| = lim
sup(1/2A)
A→∞

−A

|x(t)|2dt

(1.29)

(1.29) có thể chỉ ra điều kiện độ hữu hạn yếu. M0 định nghĩa cho không gian
con của hàm có độ 0, x(t) ∈ M2, ||x|| = 0 và không gian thương M2/M0
bao gồm tất cả lớp x + M0, trong đó x ∈ M2. Với chuẩn ||x|| = ||x + M0||,
không gian thương M2/M0 là không gian Banach. Đồng cấu tự nhiên λ
của M2 vào M2/M0 định nghĩa bởi:

λ : x → ξ : ||ξ − x|| = 0, x ∈ M2
11

Ánh xạ toán tử M2 vào chính nó có thể mở rộng vào M2/M0 theo λ.
Nếu T : M2 → M2 khi đó T [λx] = λT x với x ∈ M2.
Sử dụng định lý ánh xạ co Banach, Benes đã tìm ra sự tồn tại và duy
nhất nghiệm định lý của phương trình (1.28).
Định lý 1.2. Giả sử:
(i) ψ(x, t) thỏa mãn điều kiện:

α(x1 − x2) ψ(x1, t) − ψ(x2, t) β(x1 − x2) (1.30)
∀t, x1, x2, x1 x2 và một vài hằng số α, β(β > 0
(ii) K (t) là một hàm L2 sao cho:
∞

1

−∞ t2|K

(t)|2dt < ∞

1
(α + β) − 1
∞2
−∞ e−iµtK (t)dt > (β − α)
2

(1.31)
(1.32)

y(t) là hàm bất kì trong M2. Khi đó tồn tại nghiệm x(t) ∈ M2 của phương

trình (1.28) và λx là duy nhất trong M2/M0 và cũng là hàm thuộc M0.

1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. Cho T=[a;b] và hàm ngẫu nhiên X = X (t), t ∈ T
1. X = X (t), t ∈ T được gọi là L0 khả vi tại điểm s nếu tồn tại giới hạn:

p − t→s
lim Xt (t)
s − X (s)
Giới hạn này được kí hiệu là L0 − X ′(s).

X = X (t), t ∈ T được gọi là L0 khả vi trên T nếu L0 khả vi tại mọi điểm
s∈T
2. Giả sử X (t) ∈ Lp, ∀t ∈ T, X = X (t), t ∈ T được gọi là (0 < p < ∞)
tại điểm s nếu tồn tại giới hạn:

lim
t→s X (t) − X (s)
t−s
12


trong Lp. Giới hạn này được kí hiệu là Lp − X ′(s).

X = X (t), t ∈ T được gọi là Lp khả vi nếu nó Lp tại mọi điểm s ∈ T
Dễ thấy nếu X = X (t), t ∈ T là Lp-khả vi thì với mọi 0

q p thì X

là Lq-khả vi và Lq − X ′(s) = Lp − X ′(s). Do đó từ nay trở đi để cho gọn

ta chỉ viết X ′(t) là đủ.
Định lý 1.3. Hàm ngẫu nhiên X = X (t), t ∈ T là L2 khả vi tại điểm t0
nếu và chỉ nếu:
1. Hàm trung bình m(t) khả vi tại t0
2. Tồn tại giới hạn:

lim

h,k→0

K (t0 + h, t0 + k) − K (t0 + h; t0hk
) − K (t0; t0 + k) + K (t0; t0)

(1.33)

Từ đó suy ra X là L2 khả vi nếu hàm trung bình m(t) khả vi và đạo hàm
K (s,t
cấp 2 ∂ 2∂s∂t ) của hàm tương quan K(s,t) tồn tại và liên tục. Trong trường
hợp đó ta có:

EX ′(t) = m′(t)
cov(X ′(s), X ′(t)) = ∂ 2K (s, t)
∂s∂t
Chứng minh:
Ta thấy X = X (t), t ∈ T là L2 khả vi tại t0 nếu và chỉ nếu:
1. Tồn tại giới hạn:

lim E
h→0

X (t0 + h) − X (t0)
h
= lim E m(t0 + h) − m(t0)h
h→0

2. Tồn tại giới hạn:

lim

(h,k)→(0,0)

lim

h,k→0

cov X (t0 + hh

, X (t0 + kk

=

K (t0 + h, t0 + k) − K (t0 + h, t0hk
) − K (t0, t0 + k) + K (t0, t0)

Mặt khác nếu

∂ 2K (s,t)
∂s∂t

tồn tại và liên tục thì tồn tại giới hạn 1.33.

13


Định lý 1.4. Giả sử X = X (t), t ∈ [a, b] là Lp khả tích trên (a,b) ở đó
p 1. Khi đó với a s
E|X (t) − X (s)|p [ sup E|X ′(t)|p](t − s)p
t∈(a,b)

Từ đó suy ra nếu X ′(t) = 0 ∀t ∈ T thì X (t) = ξ ∀t
Chứng minh:
Xét ánh xạ t −→ X (t) từ T vào không gian Banach Lp. Khi đó tính Lp
khả vi chính là tính khả vi của ánh xạ X. Do đó kết luận của định lý suy
ra từ định lý số gia giới nội của đạo hàm hàm giá trị Banach.
Ví dụ 1.1. Giả sử X = X (t), t ∈ T là hàm ngẫu nhiên Poisson với tham
số λ. Ta chứng minh rằng X = X (t), t ∈ T không L2-khả vi ở bất cứ điểm
t0 nào.
Thật vậy, hàm tự tương quan của X là K (s, t) = λmin(s, t).
Với h = k > 0 ta có:

lim
K (t0 + h, t0 + h) − K (t0 + h, t0) − hK2 (t0, t0 + h) + K (t0, t0)

(h,k)→(0,0)

= lim λ t0 + h − t0 − t0 + t0
h2
= lim λ
h→0

h→0

1
h =∞

Chú ý rằng tồn tại bản sao của X với hầu hết các quỹ đạo là hàm bậc
thang không giảm với bước nhảy bằng 1. Mỗi quỹ đạo như vậy chỉ không
khả vi tại các điểm bước nhảy.
Tương tự hàm ngẫu nhiên Wiener W không L2-khả vi ở bất cứ điểm t0
nào. Bây giờ ta định nghĩa khái niệm tích phân Riemann cho hàm ngẫu
nhiên.
Định nghĩa 1.2. Cho T=[a,b] và hàm ngẫu nhiên X = X (t), t ∈ T
Với phép phân hoạch I của đoạn [a,b] a = t0 < t1 < . . . < tn = b với

|I | = max(ti+1 − ti) là đường kính của I, ta lập tổng tích phân Riemann:
SI = n−1
i=0

X (si)(ti+1 − ti)
14


trong đó si ∈ [ti+1, ti]
Nếu tồn tại giới hạn trong Lp(0 p < ∞) không phụ thuộc vào việc
chọn các điểm si.

lim SI
|I |→0

thì ta nói X là Lp khả tích Riemann và viết

b

lim SI = (Lp) −
|I |→0

a

X (t)dt
b
a X

(t)dt là một biến
Chú ý: Nếu X = X (t), t ∈ T là Lp-khả tích thì
ngẫu nhiên trong Lp(Ω). Hơn nữa, với mọi 0 q p thì X cũng là Lq-khả
tích và Lq −

b

b

X (t)dt = Lp −
ta chỉ viết a X (t)dt là đủ.
b

a

a

X (t)dt. Do đó từ nay trở đi để cho gọn

Mặt khác giả sử với hầu hết ω hàm chọn X (., ω) là khả tích Riemann.
Khi đó tổng tích phân SI hội tụ hầu chắc chắn do đó:
b

b

X (t, ω)dt = (Lp) −

a

a
b
a X

Như vậy trong trường hợp này có thể hiểu
thông thường trên mỗi quỹ đạo.

X (t)dt
(t)dt là tích phân Riemann

Tích phân của hàm ngẫu nhiên có các tính chất quen thuộc như của
tích phân Riemann của hàm tất định.
Định lý 1.5. 1.

c
a X

b

b

(t)dt + c X (t)dt = a X (t)dt (a < c < b)
b
2. a [αX (t) + βY (t)dt trong đó α, β là các biến ngẫu nhiên.
Chứng minh tương tự như trong trường hợp tích phân của hàm tất
định.
Định lý 1.6. Giả sử X = X (t) là Lp liên tục (p 1). Khi đó:
1.

b

||

a

b

X (t)dt||

a

2. Đặt:

Y (t) =

t
a

15

||X (t)||dt

X (s)ds


Khi đó Y = Y (t), t ∈ [a, b] là Lp-khả vi và Y ′(t) = X (t)
3. Nếu X = X (t) là Lp-khả vi liên tục trên [a,b] thì
b
a

X ′(t)dt = X (b) − X (a)

Chứng minh:
1. Hàm t −→ ||X (t)|| là liên tục do đó khả tích Riemann. Từ bất đẳng
thức:

||SI || ||X (si)||(ti+1 − ti)
cho qua giới hạn khi |I | → 0 ta có điều phải chứng minh.
2. Xét điểm t0 ∈ (a, b) Giả sử ||.|| là chuẩn của không gian Banach Lp(Ω).
Cho ε > 0 vì X (t) là Lp liên tục tại t0 nên tồn tại δ > 0 sao cho:

||X (t) − X (t0)|| < ε nếu |t − t0| < ε ta có:
Y (t) − Y (t0)
t − t0 − X (t0) =

t

1

t0

t − t0
1
t − t0
1

(X (s) − X (t0))ds

t
t0

||X (s) − X (t0)||ds

t − t0 ε(t − t0) = ε
Điều này chứng minh rằng trong Lp ta có:

lim

t→t0 Y (t) − Y

= X (t0) → Y ′(t0) = X (t0)

t

3. Đặt Y (t) = a X (s)ds
′
theo khẳng định trên Y ′(t) = X ′(t) với mọi t. Do
đó theo định lý 1.4 Y (t) = X (t) + ξ ∀t trong đó ξ ∈ Lp. Vì Y (a) = 0 →
b

ξ = −X (a). Do đó Y (b) = X (b) − X (a) tức là a X ′(t)dt = X (b) − X (a).
Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn về tính L2 khả tích của X thông
qua tính khả tích của hàm trung bình và hàm tự tương quan.
Định lý 1.7. Hàm ngẫu nhiên X = X (t), t ∈ T = [a, b] là L2 khả tích
nếu và chỉ nếu hàm trung bình m(t) khả tích trên T và hàm tự tương quan
16


K (s, t) khả tích trên T × T . Trong trường hợp đó ta có:
E[
V ar[
cov[

b
a

X (t)dt,

b

a

a

b

d

c

b

X (t)dt] =
X (t)dt] =
X (t)dt] =

a

a

EX (t)dt =
b

b

b

a

a

d

c

b
a

m(t)dt

K (s, t)dsdt
K (s, t)dsdt

Nếu X = X (t), t ∈ T = [a, b], Y = Y (t), t ∈ T = [c, d] là L2 khả tích thì:
b

d

b

d

E[ X (t)dt][ Y (t)dt] =
a

c

E[X (t)Y (s)]dsdt
a

c

(1.34)

Từ đó suy ra

cov[

b
a

X (t)dt,

d
c

X (t)dt] =

b
a

b
a

cov[X (t)Y (s)]dsdt

Chứng minh:
Điều kiện đủ: Giả sử X là L2 khả tích. Đặt:

ξ=
SI = n−1

b
a

X (t)dt

X (si)(ti+1 − ti)

i=0

Vì SI hội tụ tới ξ trong L2 nên lim = E(SI ) = Eξ. Mặt khác:
|I |→0

E(SI ) = n−1
i=0

m(si)(ti+1 − ti)

b

Do đó, m(t) khả tích và Eξ = a m(t)dt.
Trước hết ta chứng minh 1.34. Giả sử J là một phân hoạch của đoạn
[c,d] c = t′0 < t′1 < . . . < t′m = d. Đặt:

η=

d
c

Y (t)dt

h(t, s) = E[X (t)Y (s)]
SJY = m−1 Y (s′j)(t′j +1 − t′j)
i=0

17


Ta có lim

|I |→0|J |→0

E(SI SJY ) = Eξη. Mặt khác:

ESI SJY = n−1 m−1 h(si, s′j)(ti+1 − ti)(t′j +1 − t′j )
i=0 j =0

Do đó:
b

Eξη =

a

d
c

h(s, t)dsdt

Điều này chứng minh 1.34. Tiếp theo do 1.34 (với (Y (t) = X (t)) ta có:

Eξη =
=
=
=
→ cov(ξ, η) =

b
a

a

a

a

a

b

b

b

b

d
c

c

c

c

c

d

d

d

d

E[X (t)X (s)]dsdt
b

K (s, t)dsdt +

a

K (s, t)dsdt + [

b
a

d
c

m(t)m(s)dsdt

m(t)dt][

d
c

m(s)ds]

K (s, t)dsdt + (Eξ)(Eη).
K (s, t)dsdt

Cho a = c, b = d ta được ξ = η do đó:

V ar(ξ) = cov(ξ, ξ) =

b
a

d
c

K (s, t)dsdt

Điều kiện cần: Giả sử I và J là hai phép phân hoạch tùy ý của [a,b]

I : a = t0 < t 1 < . . . < t n = b
J : a = t0 < t1 < . . . < tm = b
với các điểm si ∈ [ti; ti+1], s′i ∈ [t′i; t′i+1]. Xét các tổng:

SI = n−1
i=0

SJ = m−1
i=0

X (si)(ti+1 − ti)
X (s′i)(t′i+1 − t′i)
18

Ta có tồn tại:

lim E(SI ) = lim
|I |→0

|I |→0

m(si)(ti+1 − ti) =

i=0

|I |,|J |→0

m(t)dt

K (si, s′j)(ti+1 − ti)(t′j +1 − t′j )

i=0 j =0
b

=

a

n−1 m−1

lim cov(SI , SJ ) = lim
|I |,|J |→0

b

n−1

b

a

a

K (s, t)dsdt

Ta có tồn tại lim SI trong L2. Vậy X là L2 khả tích.
|I |→0

Ví dụ 1.2. Giả sử W = (W (t), t 0) là hàm ngẫu nhiên Wiener. Xét
hàm ngẫu nhiên X = (X (t), t 0) xác định bởi:

X (t) =

t
0

W (s)ds

Tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của X.
Trước hết ta tìm kì vọng và phương sai của X (t). Ta có:

EX (t) =

t

EW (s)ds = 0

0

t

V arX (t) = V ar[
=
=

t
0

0

t

[

0
u
0

W (s)ds] =

sds +

t
u

t
0

t
0

min(s, u)dsdu

uds]du

(tu − u22 )dut= 3

Để tìm hàm tự tương quan của X (t) giả sử 0 s < t. Ta có:
t

X (t) = X (s) + (t − s)W (s) +

s

[W (u) − W (s)]du

→ cov(X (s), X (t)) = EX (s)X (t) = EX (s)2 + (t − s)EX (s)W (s)
t
+ E X (s)
(1.35)
s [W (u) − W (s)]du

19


Mặt khác theo trên:

EX (s)2 = V arX (s) = s3
s

EX (s)W (s) = E
=
=

s
0

s

0

0

3

W (s)W (u)du

E[W (s)W (u)]du =

s
0

cov(W (s), W (u))du

udu = s2
2

u t là độc lập nên X (s) =
Do
W
(u),
0
u
s
và
W
(u)
−
W
(s),
s
s
t
0 W (u)du và ξ =
s [W (u) − W (s)] là độc lập. Vì vậy:
E X (s)

t
s

[W (u) − W (s)]du = EX (s)Eξ = 0

Thay vào 1.35 ta được: Với 0 s t thì:

cov(X (s), X (t)) = s3

s2
s
3 + (t − s) 2 = (3t − s) 6

Ví dụ 1.3. Giả sử N = N (t), t 0 là hàm ngẫu nhiên Poisson với tham
số λ > 0, ξ là biến ngẫu nhiên rời rạc P (ξ = a) = P (ξ = −a) = 0, 5
và độc lập với N = N (t), t 0. Xét hàm ngẫu nhiên V = V (t), t 0 và
X = X (t), t 0 cho bởi:

V (t) = ξ(−1)
N (t)
t
X (t) =
V (s)ds
0

Ta hãy hình dung một vật chuyển động và chịu những sự va đập ngẫu
nhiên. Giả sử N(t) là số lần va đập của hạt trong khoảng thời gian (0; t].
Tại thời điểm ban đầu vận tốc của hạt là ξ. Vật giữ nguyên vận tốc của
mình đến khi nó gặp va chạm. Mỗi lần va chạm thì vận tốc của vật đổi
dấu. Như vậy V (t) chính là vận tốc của vật tại thời điểm t và X(t) là quãng
đường vật đi được trong khoảng thời gian (0;t]
Hãy tính kì vọng và phương sai của V(t), X(t).
20

Trước hết ta có:

EV (t) = (Eξ)E(−1)
N (t) = 0
t
EV (s)ds = 0
→ EX (t) =
0
Lại có: V arV (t) = EV (t)2 + Eξ 2 = a2 và
t

V arX (t) =

t

0

0

K (u, v)dudv

(1.36)

trong đó K (s, t) là hàm tự tương quan của V(t).
Giả sử 0 s < t. Khi đó:

K (s, t) = EV (s)V (t) = E[ξ 2(−1)N (s)+N (t)]
= a2E[(−1)2N (s)+N (t)−N (s)] = a2E[(−1)N (t)−N (s)]
= a2 ∞ e−λ(t−s) λ(t − s)k
k! (−1)k

k=0

= a2e−λ(t−s)e−λ(t−s)
= a2e−2λ(t−s)
Vì vậy: K (s, t) = a2e−β|t−s|, Trong đó β = 2λ
Thay vào 1.36 ta được:
t

V arX (t) = a2

t

0

0

e−β|u−v|dudv
e−β(u−v)dudv

= a2

0vut

e−β(v−u)dudv

+ a2

0uvt

e−β(u−v)dudv

= 2a2
= 2a2
2

t
0

0vut

e−β(u−v) du

u
0

e−β(u−v)dv

= 2a (e−βt + βt − 1)
β2
Định lý sau đây cho ta sự khai triển một hàm ngẫu nhiên thành chuỗi
ngẫu nhiên.
21


Định lý 1.8. (Khai triển Karunen-Loeve) Cho X = X (t), t ∈ [a, b] là
hàm ngẫu nhiên L2 liên tục. Khi đó tồn tại dãy các đại lượng ngẫu nhiên
ξn đôi một không tương quan với kì vọng 0 và dãy hàm tất định φn(t) sao
cho ∀t ∈ [a, b] ta có khai triển sau:

X (t) = m(t) + ∞

ξnφn(t)

(1.37)

n=1

trong đó:

· m(t) là hàm trung bình của X(t)
· Dãy φn(t) là cơ sở trực chuẩn của L2[a, b] và là các hàm riêng của
toán tử tích phân A: L2[a, b] → L2[a, b] cho bởi
b

Ax(t) =

a

K (s, t)x(s)ds

ở đó K(s,t) là hàm tự tương quan của X.

· Eξn = 0, V arξn = λn trong đó λn là giá trị riêng của A ứng với hàm
riêng φn(t). Sự hội tụ của chuỗi (1.37) là hội tụ trong L2
Chứng minh:
Xét toán tử tích phân A:L2[a, b] → L2[a, b] cho bởi:
b

Ax(t) =

a

K (s, t)x(s)ds

Theo lý thuyết về phương trình tích phân tồn tại một cơ sở trực chuẩn của

L2[a, b] gồm các hàm riêng φn(t) với các giá trị riêng tương ứng λn > 0
của A và
b

Aφn(t) =

a

K (s, t) = ∞

K (s, t)φn(t)ds = λnφn(t)
λnφn(s)φn(t)

n=1

ở đó chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều theo cả hai biến s,t.
Đặt Y (t) = X (t) − m(t) ta có EY (t) = 0, EY (s)Y (t) + K (s, t). Đặt:

ξn =

b

a

φn(t)Y (t)dt
22


Ta có:
b

Eξn =

φn(t)EY (t)dt = 0

a

b

cov(ξn, ξm) = Eξnξm =
=
=

b
a

a

= λm

b

b
a

a

a

a

φm(s)φn(t)EY (s)Y (t)dsdt

φm(s)φn(t)K (s, t)dsdt

φn(t)dt
b

b

b
a

K (s, t)φm(s)ds

φm(s)φn(t)dt = λnδmn

Ở đó δmn là ký hiệu Kronecke.
Vậy cov(ξn, ξm) = 0 nếu m = m và V arξn = λn lại có:
b

EY (t)ξk = E
=
n

E Y (t) −

ξkφk(t)

2

b
a

a

Y (t)Y (s)φk(s)ds

K (s, t)φk(s)ds = λkφk(t)

k=1

n

2

φk(t)EY (t)ξk + E(

= EY (t) − 2

k=1
n

n

λkφ2k(t) +

= K (t, t) − 2
= K (t, t) −

n

k=1
n

k=1

ξkφk(t))2
k=1

λkφ2k(t)
k=1

λkφ2k(t) → 0

khi n → ∞
Vậy Y (t) = ∞k=1 ξkφk(t) trong L2 do đó ta có (1.37).
Chú ý: Nếu X(t) là hàm ngẫu nhiên Gauss thì ξn là dãy biến ngẫu nhiên
Gauss không tương quan do đó chúng độc lập.
Ví dụ 1.4. Ta tìm khai triển Karunen-Loeve của hàm ngẫu nhiên Wiener

23