Đề tài về phức koszul

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC

NGUYỄN THỊ QUỲNH

VỀ PHỨC KOSZUL

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI- 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC

NGUYỄN THỊ QUỲNH

VỀ PHỨC KOSZUL

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Phụ Hoàng Lân

HÀ NỘI- 2015


LỜI CẢM ƠN

Nhân dịp này, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Nguyễn Phụ
Hoàng Lân, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo cũng như tạo
điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các
thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại học Khoa học
Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã dạy bảo tôi tận tình
trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô trong Hội đồng bảo vệ luận
văn của tôi. Các thầy, cô đã đọc, góp ý, và giúp đỡ để tôi có thể chỉnh sửa
luận văn này được tốt hơn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan
tâm, tạo điều kiện và động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thiện nhiệm
vụ của mình. Xin chúc mọi người sức khỏe, đạt được nhiều thành tích cao
trong công tác, học tập cũng như nghiên cứ khoa học.
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015.
Học viên
Nguyễn Thị Quỳnh

1


Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

4

LỜI MỞ ĐẦU

5

1

6

Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

1.3

Các phức và đồng điều của phức . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Các phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Đồng điều của phức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Các cách xây dựng một phức khác từ các phức đã cho 13

Các dãy giải và các môđun mở rộng . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1

Các dãy giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2

Các môđun mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài . . . . . . . . . . 17
1.3.1

Đại số tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2

Đại số đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.3

Đại số ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Độ sâu

28

3 Phức Koszul

35

3.1

Cách xây dựng Phức Koszul theo tích ngoài . . . . . . . . . 35

3.2

Cách xây dựng Phức Koszul bằng cách lấy tenxơ các phức . 37

3.3

Một số tính chất cơ bản của phức Koszul . . . . . . . . . . 39

4 Ứng dụng của phức Koszul

41

2


4.1

Phức Koszul và dãy chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2

Phức Koszul và độ sâu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3

Phức Koszul và dãy giải tự do của đại số đối xứng . . . . . 44

Kết luận

49

Tài liệu tham khảo

50

3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Sau đây là những ký hiệu được dùng trong luận văn.

k
R
M
I
M ⊗R N
T (M )
S(M )
∧(M )
HomR (M, N )
C• ⊗ K•
ExtnR (M, N )
R[x1 , . . . , xn ]
(x1 , x2 , . . . , xn )
(R, m)

depth(I, M )
K• (x)
K• (x; M )
Ann(M )

một trường.
một vành giao hoán có đơn vị.
một R-môđun.
một R-iđêan.
tích tenxơ của M và N với hệ số trên R.
một R-đại số tenxơ của môđun M .
một R-đại số đối xứng của môđun M .
một R-đại số ngoài của môđun M .
tập các R-đồng cấu môđun từ M vào N .
tích tenxơ của hai phức C• và K• .
môđun mở rộng thứ n của M và N .
vành đa thức n biến với hệ số trên R.
một R-iđêan được sinh bởi các phần tử x1 , x2 , . . . , xn .
vành địa phương R với iđêan cực đại m.
Độ sâu của iđêan I trên môđun M .
phức Koszul của dãy x.
phức Koszul của dãy x với hệ số trên M .
linh tử của M .

4


MỞ ĐẦU
Phức Koszul là một đối tượng quan trọng của đại số đồng điều. Phức
này được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Jean-Louis Koszul, nó

có mối liên hệ mật thiết với các dãy chính quy và độ sâu của một iđêan.
Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một số kiến thức cơ bản
về dãy chính quy, độ sâu, phức Koszul và nêu ra một vài ứng dụng cơ bản
của phức Koszul.
Bố cục của luận văn được trình bày như sau.
Chương 1: Trình bày lại một số kiến thức cơ bản của đại số đại cương
và đại số đồng điều như: các phức, đồng điều của phức, tích tenxơ của
hai phức, đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, các dãy giải và các
môđun mở rộng.
Chương 2: Trình bày lại một số kiến thức cơ bản về dãy chính quy, dãy
chính quy cực đại, từ đó đi đến khái niệm độ sâu của một iđêan.
Chương 3: Trình bày các cách xây dựng phức Koszul và một số tính
chất cơ bản của nó.
Chương 4: Nêu ra một vài ứng dụng cơ bản của phức Koszul như: phức
Koszul của một dãy chính quy cho ta một dãy giải tự do của iđêan sinh
bởi dãy đó, kiểm tra khi nào một dãy các phần tử trong iđêan cực đại của
một vành địa phương là dãy chính quy, tính độ sâu của một iđêan, xây
dựng một phức với đồng điều của nó ở vị trí 0 chính là đại số đối xứng
của một iđêan.

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Mục đích của chương này là trình bày lại một số kiến thức cơ bản
của đại số đại cương và đại số đồng điều: các phức, đồng điều của phức,
tích tenxơ của các phức, đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, các
dãy giải và các môđun mở rộng. Nội dung chương này dựa trên các tài

liệu [2], [7], [6], [8], [10], [11], [12], [14], [15]. Trong suốt luận văn, chúng tôi
luôn giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị. Các môđun và các đồng
cấu đều được hiểu là các R-môđun và các đồng cấu R-môđun.

1.1
1.1.1

Các phức và đồng điều của phức
Các phức

Các nghiên cứu về các môđun và đồng cấu giữa chúng có thể được diễn
tả thông qua các phức.
Định nghĩa 1.1. Một dãy các môđun và các đồng cấu
∂n+1

∂

n
M• : · · · → Mn+1 −−→ Mn −→
Mn−1 → . . .

(1.1)

được gọi là một phức nếu ∂n ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z.
Tương tự, một dãy các môđun và các đồng cấu
∂ n−1

∂n

M • = · · · → M n−1 −−→ M n −→ M n+1 → . . . ,

(1.2)

được gọi là một đối phức nếu ∂ n ∂ n−1 = 0, ∀n ∈ Z.
Một phức được gọi là khớp ở vị trí thứ n nếu Ker ∂n = Im ∂n+1 . Một
phức được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi vị trí.
6


Lưu ý rằng, một phức (khớp) cũng có thể hữu hạn, đó là khi dãy (1.1)
hữu hạn.
Ví dụ 1.2. Cho hai phần tử x, y ∈ R. Khi đó dãy sau là một phức

(−y
(x y)
x )
0 → R −−→ R2 −−→ R → 0.
Hơn nữa, nếu x không là ước của không trên R và y không là ước của
không trên R/(x) thì phức trên là khớp.
Nhận xét 1.3. Theo định nghĩa, ta có
(i) M là một môđun tự do khi và chỉ khi ∃n ∈ N∗ : Rn → M → 0 là
dãy khớp,
f

(ii) f : A → B là đơn ánh khi và chỉ khi 0 → A →
− B là dãy khớp,
g

(iii) g : B → C là toàn ánh khi và chỉ khi B →
− C → 0 là dãy khớp.

Việc kết hợp các dãy khớp trên tạo nên một loại dãy khớp rất quan
trọng, được gọi là dãy khớp ngắn.
Định nghĩa 1.4. Một dãy khớp với 5 môđun có dạng

0→M →M →M →0
được gọi là một dãy khớp ngắn.
∂n+1

∂

n
→
Mn−1 → . . .
Nhận xét 1.5. Mọi dãy khớp dài · · · → Mn+1 −−→ Mn −

đều có thể phân tích thành các dãy khớp ngắn
0 −−→ ker ∂n −−→ Mn −−→ im ∂n −−→ 0

0 −−→ ker ∂n+1 −−→ Mn+1 −−→ im ∂n+1 −−→ 0
Để liên kết các phức, ta sử dụng khái niệm đồng cấu giữa các phức.
Định nghĩa 1.6. Một đồng cấu giữa hai phức M• và M• là một họ các
đồng cấu f• := {fn : Mn → Mn }n∈Z sao cho biểu đồ sau giao hoán
∂n+2

∂n+1

∂n−1

∂

. . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . .



f
f
f
n+1

∂n+2

n−1

n

∂n+1

∂

∂n−1

. . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . .
7


tức là fn−1 ◦ ∂n = ∂n ◦ fn , ∀n.
Ta kí hiệu f• : M• → M• .
Kết quả tiếp theo nói lên mối liên hệ giữa các đồng cấu thành phần
trong đồng cấu giữa hai dãy khớp ngắn.
Bổ đề 1.7 (Bổ đề 5 đẳng cấu). Cho biểu đồ giao hoán của hai dãy

khớp ngắn
f

g

f

g

0 −−→ A −−→ B −−→ C −−→ 0



ϕ
ψ
ρ
0 −−→ A −−→ B −−→ C −−→ 0
Nếu ϕ và ρ là các đẳng cấu thì ψ cũng là một đẳng cấu.
Chứng minh. Giả sử u ∈ ker ψ , sử dụng tính giao hoán của biểu đồ ta
được ρ(g(u)) = g (ψ(u)) = g (0) = 0. Vì ρ là đơn cấu nên g(u) = 0, do
đó u ∈ ker g . Tính khớp tại B chỉ ra rằng u ∈ ker g ⇒ u ∈ im f , do đó

∃a ∈ A : f (a) = u. Sử dụng một lần nữa tính giao hoán của biểu đồ, ta
được f (ϕ(a)) = ψ(f (a)) = 0, và do f là đơn cấu nên ϕ(a) = 0, lại do ϕ
là đơn cấu nên a = 0. Do đó, u = f (0) = 0. Vậy ψ là một đơn cấu.
Xét b ∈ B . Khi đó g (b ) ∈ C . Do ρ là toàn cấu nên ∃c ∈ C :
ρ(c) = g (b ), và do g là toàn cấu nên ∃b ∈ B : g(b) = c. Sử dụng tính
giao hoán của biểu đồ ta được g (ψ(b)) = g (b ), do đó g (ψ(b) − b ) = 0,
hay ψ(b) − b ∈ ker g . Tính khớp tại B chỉ ra rằng ψ(b) − b ∈ im f , tức
là ∃a ∈ A : f (a ) = ψ(b) − b , do ϕ là toàn cấu nên ∃α ∈ A : ϕ(α) = a ,

và sử dụng tính giao hoán của biểu đồ ta được
ψ(b) − b = f (a ) = f (ϕ(α)) = ψ(f (α)).
Do vậy, b = ψ(b) − ψ(f (α)) = ψ(b − f (α)), hay ψ là một toàn cấu.
1.1.2

Đồng điều của phức

Việc nghiên cứu tính khớp của các phức được quy về việc nghiên cứu
các đồng điều của chúng.

8


Định nghĩa 1.8. Môđun thương Hn (M• ) := ker ∂n /im ∂n+1 được gọi là
môđun đồng điều thứ n của phức M• . Một cách tương tự, môđun thương

H n (M • ) := ker ∂ n /im ∂ n−1 được gọi là môđun đối đồng điều thứ n của đối
phức M • .
Như vậy, phức M• khớp tại vị trí thứ n khi và chỉ khi Hn (M• ) = 0.
Một đồng cấu giữa hai phức sẽ cảm sinh một dãy các đồng cấu giữa các
môđun đồng điều của hai phức đó.
Mệnh đề 1.9. Cho một đồng cấu f• giữa hai phức M• và M•
∂n+1

∂

. . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . .




f
f
f
n+1

n−1

n

∂n+1

∂

. . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . .
Khi đó với mỗi n sẽ có một đồng cấu (f∗ )n : Hn (M• ) → Hn (M• ) được cảm
sinh bởi fn như sau

(f∗ )n ([m]) = [fn (m)] , ∀m ∈ ker ∂n .
Chứng minh. Có thể xem chứng minh này trong [7, tr. 778].
Ta sẽ nghiên cứu kĩ hơn về đồng cấu giữa hai phức. Trước tiên ta nhắc
lại khái niệm dãy khớp ngắn của các phức.
Định nghĩa 1.10. Cho các phức M• , M• , M• và các đồng cấu f• : M• → M• ,

g• : M• → M• . Nếu với mỗi n, dãy
fn
gn
0 → Mn −
→ Mn −
→ Mn → 0
là một dãy khớp ngắn, thì ta gọi dãy

f•
g•
0 → M• −
→ M• −
→ M• → 0
là một dãy khớp ngắn của các phức M• , M• , M• .
Dãy khớp ngắn nói trên được viết cụ thể như sau, trong đó các hàng
ngang là các dãy khớp ngắn và các hàng dọc là các phức

9


..
.



..
.



..
.



fn+1

gn+1

fn

gn

fn−1

gn−1

0 −−→ Mn+1 −−→ Mn+1 −−→ Mn+1 −−→ 0






0 −−→ Mn −−→ Mn −−→ Mn −−→ 0






0 −−→ Mn−1 −−→ Mn−1 −−→ Mn−1 −−→ 0







..
..
..
.
.
.
Một dãy khớp ngắn của các phức sẽ cảm sinh dãy khớp dài trên đồng điều.
Định lý 1.11. Cho một dãy khớp ngắn của các phức
f•

g•

0 → M• −
→ M• −
→ M• → 0
Dãy này sẽ cảm sinh ra một dãy khớp dài trên các đồng điều
(f∗ )n

(g∗ )n

δ

n
· · · → Hn (M• ) −−−→ Hn (M• ) −−→ Hn (M• ) −
→
Hn−1 (M• )

(f∗ )n−1

(g∗ )n−1

δn−1

−−−−→ Hn−1 (M• ) −−−−→ Hn−1 (M• ) −−→ Hn−2 (M• ) → . . . (1.3)
Chứng minh. Các đồng cấu (f∗ )n và (g∗ )n đã được xây dựng như trong
Mệnh đề 1.9. Ta cần xây dựng đồng cấu δn và kiểm tra tính khớp của
dãy (1.3).
Ta bắt đầu với việc xây dựng δn dựa vào biểu đồ giao hoán sau
gn

y −−→ x


∂

n

fn−1

∂n

gn−1

z −−→ ∂n (y) −−→ 0



∂
∂n−1

n−1

fn−2

0 −−→ 0
Xét x ∈ ker ∂n” ⊆ Mn . Do gn là toàn cấu nên ∃y ∈ Mn : gn (y) = x. Sử
dụng tính giao hoán của biểu đồ, ta được 0 = ∂n (x) = gn−1 (∂n (y)), cho
10


nên ∂n (y) ∈ ker gn−1 = im fn−1 . Do đó ∃z ∈ Mn : fn−1 (z) = ∂n (y) (do

fn−1 là đơn cấu nên với mỗi y ∈ Mn xác định duy nhất một z ∈ Mn ).
Hơn nữa, fn−2 (∂n−1 (z)) = ∂n−1 (fn−1 (z)) = ∂n−1 (∂n (y)) = 0 (sử dụng tính
giao hoán của biểu đồ và giả thiết M• là một phức), và do fn−2 là đơn cấu
nên ta có ∂n−1 (z) = 0, tức là z ∈ ker ∂n−1 . Vì vậy, với mỗi x ∈ ker ∂n” , sẽ
cho tương ứng với một z ∈ ker ∂n−1 , cho nên ta xác định δn bởi công thức
δn ([x]) = [z]. Tiếp theo ta sẽ kiểm tra rằng δn được định nghĩa tốt.
• Việc chọn ra [z] không phụ thuộc vào việc chọn phần tử y ∈ gn−1 (x).
Cho phần tử yˆ ∈ gn−1 (x) khác, khi đó tồn tại duy nhất zˆ ∈ ker ∂n−1
sao cho fn−1 (ˆ
z ) = ∂n (ˆ
y ).
w



fn

−−→

gn

y − yˆ

∂

∂n

−−→ 0



∂n

n

fn−1

gn−1

z − zˆ −−→ ∂n (y − yˆ) −−→ 0
Ta có gn (y − yˆ) = x − x = 0, do đó y − yˆ ∈ ker gn = im fn , và
do vậy ∃w ∈ Mn : fn (w) = y − yˆ. Sử dụng tính giao hoán của
biểu đồ ta được fn−1 (∂n (w)) = ∂n (fn (w)) = ∂n (y − yˆ) = ∂n (y) −

∂n (ˆ
y ) = fn−1 (z) − fn−1 (ˆ
z ) = fn−1 (z − zˆ), và do fn−1 là đơn cấu nên
∂n (w) = z − zˆ, hay z − zˆ ∈ im ∂n , tức là [z] = [ˆ

z ].
• Việc chọn ra [z] không phụ thuộc vào phần tử đại diện của [x]. Giả
sử [x] = [ˆ
x], hay x − xˆ ∈ im ∂n+1 , ta phải chỉ ra [z] = [ˆ
z ], hay
z − zˆ ∈ im ∂n . Thật vậy, do x − xˆ ∈ im ∂n+1 nên ∃v ∈ Mn+1 :
∂n+1 (v) = x − xˆ.
gn+1

u −−→

∂
n+1

v



∂n+1

gn

y − yˆ −−→ x − xˆ

∂
n

fn−1

z − zˆ −−→

0

Lại do gn+1 là toàn cấu nên ∃u ∈ Mn+1 : v = gn+1 (u), và ta có
11


x − xˆ = ∂n+1 (gn+1 (u)) = gn (∂n (u)). Do đó ta có thể chọn y ∈ gn−1 (x)
và yˆ ∈ gn−1 (ˆ
x) : y − yˆ = ∂n+1 (u), khi đó ∂n (y) − ∂n (ˆ
y ) = ∂n (y − yˆ) =
∂n (∂n+1 (u)) = 0. Theo cách xây dựng δn thì ∃z, zˆ ∈ ker ∂n ⊆ Mn :
fn−1 (z) = ∂n (y), fn−1 (ˆ
z ) = ∂n (ˆ
y ), suy ra fn−1 (z − zˆ) = 0, hay z − zˆ ∈
ker fn−1 , mà fn−1 là đơn cấu nên z − zˆ = 0 ∈ im ∂n . Do với mỗi x,
sự lựa chọn phần tử y không làm ảnh hưởng đến sự chọn ra [z] nên
[x] = [ˆ
x] ⇒ [z] = [ˆ
z ].
Do đó δn được định nghĩa tốt, và ta có thể kiểm tra rằng δn là một
đồng cấu.
Tiếp theo ta sẽ kiểm tra tính khớp của dãy (1.3) tại Hn (M• ). Cho

[w] ∈ Hn (M• ), thì tính khớp ở mỗi hàng trong dãy khớp ngắn của các
phức cho ta đẳng thức sau
(g∗ )n ((f∗ )n ([w])) = (g∗ )n ([fn (w)]) = [gn (fn (w))] = [0],
do đó im ((f∗ )n ) ⊆ ker ((g∗ )n ). Ngược lại, giả sử [y] ∈ ker ((g∗ )n ), tức là
[gn (y)] = [0] hay gn (y) ∈ im ∂n+1 , khi đó ∃v ∈ Mn+1 : gn (y) = ∂n+1 (v),
và do gn+1 là toàn cấu nên ∃u ∈ Mn+1 : v = gn+1 (u). Do vậy, gn (y) =

∂n+1 (gn+1 (u)) = gn (∂n+1 (u)), suy ra y − ∂n+1 (u) ∈ ker gn = im fn , do đó
∃w ∈ Mn : y − ∂n+1 (u) = fn (w). Sử dụng tính giao hoán của biểu đồ,
ta được
fn−1 (∂n (w)) = ∂n (fn (w)) = ∂n (y − ∂n+1 (u)) = ∂n (y) = 0
(do y ∈ ker ∂n thuộc một phần của định nghĩa [y] ∈ Hn (M• )), và do fn−1 là
đơn cấu nên ∂n (w) = 0, hay w ∈ ker ∂n , do đó (f∗ )n ([w]) = [fn (w)] = [y],
hay [y] ∈ im ((f∗ )n ). Do vậy ker ((g∗ )n ) ⊆ im ((f∗ )n .
Việc kiểm tra tính khớp của dãy (1.3) tại Hn (M• ) và Hn (M• ) được làm
tương tự.

Định nghĩa 1.12. Các đồng cấu δn : Hn (M• ) → Hn−1 (M• ) được xây
dựng như trong chứng minh của Định lý 1.11 gọi là các đồng cấu nối.

12


1.1.3

Các cách xây dựng một phức khác từ các phức đã cho
∂n+1

∂

n
Cho C• : · · · → Cn+1 −−→ Cn −
→
Cn−1 → . . . là một phức và M là

một môđun tùy ý.
Ta có thể tạo ra các phức từ C• và M như sau

HomR (M, C• ) :
dn+1

d

n
· · · → HomR (M, Cn+1 ) −−→ HomR (M, Cn ) −→
HomR (M, Cn−1 ) → . . . ,
trong đó, dn = ∂n ◦ .
HomR (C• , M ) :
ϕn−1
ϕn
· · · → HomR (Cn−1 , M ) −−→ HomR (Cn , M ) −→ HomR (Cn+1 , M ) → . . . , ,
trong đó, ϕn = ◦ ∂n . Đây là một đối phức .
C• ⊗R M :
∂n+1 ⊗R idM
∂n ⊗R idM
· · · → Cn+1 ⊗R M −−−−−−→ Cn ⊗R M −−
−−−→ Cn−1 ⊗R M → . . .
Ngoài ra, ta còn có thể xây dựng một phức mới từ hai phức đã cho.
C• ⊗R K•
Cho (C• , ∂• ) và (K• , λ• ) là hai phức. Ta xét biểu đồ sau

..
.



..
.




..
.



. . . −−→ Cn+1 ⊗ Km+1 −−→ Cn ⊗ Km+1 −−→ Cn−1 ⊗ Km+1 −−→ . . .






. . . −−→ Cn+1 ⊗ Km −−→ Cn ⊗ Km −−→ Cn−1 ⊗ Km −−→ . . .






. . . −−→ Cn+1 ⊗ Km−1 −−→ Cn ⊗ Km−1 −−→ Cn−1 ⊗ Km−1 −−→ . . .






..

.
trong đó các hàng dọc là các phức

..
.
với các đồng cấu

..
.

(−1)n idCn ⊗ λm : Cn ⊗ Km → Cn ⊗ Km−1 ,
và các hàng ngang cũng là các phức với các đồng cấu

∂n ⊗ idKm : Cn ⊗ Km → Cn−1 ⊗ Km .
13


Do cách chọn dấu của các đồng cấu theo chiều dọc nên biểu đồ trên
giao hoán.
Ta có thể tạo ra tích tenxơ của hai phức (C• , ∂• ) và (K• , λ• ), kí hiệu

C• ⊗R K• , theo cách sau: (C• ⊗R K• )n := i Ci ⊗ Kn−i , và đồng cấu
gn : (C• ⊗R K• )n → (C• ⊗R K• )n−1 được xác định trên từng thành phần
Ci ⊗ Kn−i là ∂i ⊗ idKn−i + (−1)i idCi ⊗ λn−i . Ta kiểm tra tính phức của dãy
C• ⊗R K•
gn−1 ◦ gn

Ci ⊗Kn−i

= gn−1 ∂i ⊗ idKn−i + (−1)i idCi ⊗ λn−i

= ∂i−1 ◦ ∂i ⊗ idKn−i + (−1)i−1 ∂i ⊗ λn−i
+ (−1)i ∂i ⊗ λn−i + (−1)i (−1)i idCi ⊗ λn−i−1 ◦ λn−i
=0

Ta có một đẳng cấu C• ⊗R K• ∼
= K• ⊗R C• cho bởi x⊗y → (−1)i(n−1) y⊗x
với x ⊗ y ∈ Ci ⊗ Kn−i .
Ví dụ 1.13. Cho hai phức
x

G• (x; M ) :0→M →
− M → 0,
1

0

y

G• (y) :0→R →
− R → 0.
1

0

Khi đó, phức G• (x, y; M ) := G• (x; M ) ⊗ G• (y) có dạng như sau
∂

∂

2

1
0→M ⊗R−
→
M ⊗R⊕M ⊗R−
→
M ⊗ R → 0.

1

1

1

0

0

1

0

0

Ta xác định các đồng cấu ∂2 và ∂1

∂2 (m1 ⊗ r1 ) = (xm1 ) ⊗ r1 − m1 ⊗ (yr1 ),
và

∂1 (m1 ⊗ r0 + m0 ⊗ r1 ) = (xm1 ) ⊗ r0 + m0 ⊗ (yr1 ).
Do đó

(−y
(x y)
x )
G• (x, y; M ) : 0 → M ⊗ R −−→ M ⊗ R ⊕ M ⊗ R −−→ M ⊗ R → 0
(−y
(x y)
x )
∼
= 0 → M −−→ M 2 −−→ M → 0.
14


1.2
1.2.1

Các dãy giải và các môđun mở rộng
Các dãy giải

Ta có thể nghiên cứu một môđun thông qua việc nghiên cứu dãy giải
của môđun đó.
Định nghĩa 1.14. Một dãy giải của một môđun M là một phức
ϕ1

ϕ2

− 0,
M• : . . . →
− M2 −→ M1 −→ M0 →

(1.4)

với Hi (M• ) = 0, ∀i > 0 và H0 (M• ) = M . Hơn nữa, nếu tồn tại n ≥ 0 sao
cho Mn = 0 và Mk = 0, ∀k > n thì dãy giải được gọi là có độ dài bằng n.
Nhận xét 1.15. Đôi khi, một dãy giải của M còn được viết dưới dạng
ϕ2

ϕ1

... →
− M2 −→ M1 −→ M0 →
− M → 0.
Khi đó phức trên là một dãy khớp.
Định nghĩa 1.16. Dãy giải (1.4) được gọi là một dãy giải xạ ảnh (tự do)
của M nếu Mi là môđun xạ ảnh (tự do) với mọi i.
Về khái niệm môđun xạ ảnh, người đọc có thể tham khảo thêm trong [10,
tr. 180].
Ví dụ 1.17. Giả sử x không là ước của không trong R. Khi đó phức
x

0→
− R→
− R→
− 0
(đồng cấu x biểu thị cho phép nhân bởi x) là một dãy giải tự do của R/(x).
Mệnh đề sau đây đóng vai trò quan trọng trong đại số đồng điều.
Mệnh đề 1.18. Mọi môđun M đều có một dãy giải tự do.
Chứng minh. Người đọc có thể xem chứng minh này trong [10, tr. 182].
Ngoài khái niệm dãy giải xạ ảnh và dãy giải tự do, trong luận văn này
chúng tôi còn cần thêm khái niệm dãy giải nội xạ của một môđun. Về khái

niệm môđun nội xạ, xin tham khảo thêm trong [10, tr. 183].

15


Định nghĩa 1.19. Một dãy giải nội xạ của môđun M là một phức các
môđun nội xạ

0 → Q0 → Q1 → Q2 → . . . ,
với H i (Q• ) = 0, ∀i > 0 và H 0 (Q• ) = M . Đôi khi, ta còn viết dãy giải nội
xạ của M dưới dạng

0 → M → Q0 → Q1 → Q2 → . . . ,
khi đó phức trên là một dãy khớp.
Ta cũng có một kết quả quan trọng về dãy giải nội xạ.
Mệnh đề 1.20. Mỗi môđun M đều có một dãy giải nội xạ.
Chứng minh. Người đọc có thể xem trong [10, tr. 186].
1.2.2

Các môđun mở rộng

Khi đã có các dãy giải của một môđun, ta sẽ thực hiện tính toán trên
chúng để đưa ra các thông tin về môđun đó. Đây là một trong những ứng
dụng của các môđun mở rộng.
Cho M, N là các môđun và P• là một dãy giải xạ ảnh của M

· · · → P2 → P1 → P0 → 0.
Tác động hàm tử HomR ( , N ) lên dãy giải trên, ta được phức đối đồng
điều HomR (P• , N )

0 → HomR (P0 , N ) → HomR (P1 , N ) → HomR (P2 , N ) → . . .

(1.5)

Định nghĩa 1.21. Ta định nghĩa ExtnR (M, N ) := H n (HomR (P• , N )).
Mệnh đề 1.22. Ta có Ext0R (M, N ) ∼
= HomR (M, N ), ∀M, N .
∂

1
→
P0 →
− M → 0 là khớp nên dãy tương ứng
Chứng minh. Do dãy P1 −

∂

1
0 → HomR (M, N ) →
− HomR (P0 , N ) −
→
HomR (P1 , N ) cũng là khớp. Ta
có Ext0R (M, N ) = ker (∂1 ) = im ( ) ∼
= HomR (M, N ).

16


Nhận xét 1.23. Môđun ExtnR (M, N ) có thể được xây dựng theo cách
khác như sau. Xuất phát từ một dãy giải nội xạ của N

0 → Q0 → Q1 → Q2 → . . . .
Tác động hàm tử HomR (M, ) lên dãy giải đó ta được phức đối đồng điều
HomR (M, Q• )

0 → HomR (M, Q0 ) → HomR (M, Q1 ) → HomR (M, Q2 ) → . . .

(1.6)

Ta định nghĩa ExtnR (M, N ) := H n (HomR (M, Q• )).
Người ta chứng minh được rằng, hai cách xây dựng môđun ExtnR (M, N )
như trên là tương đương.
Một dãy khớp ngắn các môđun sẽ cảm sinh một dãy khớp dài của Ext
như trong định lý dưới đây.
Định lý 1.24. Cho M là một môđun tùy ý, và một dãy khớp ngắn của
các môđun: 0 → A → B → C → 0. Khi đó, ta có dãy khớp dài như sau
δ

0
0 → HomR (M, A) → HomR (M, B) → HomR (M, C) −
→
Ext1R (M, A)

δ

1
→ Ext1R (M, B) → Ext1R (M, C) −
→
Ext2R (M, A) → . . .

Chứng minh. Ta xét giải xạ ảnh của M

· · · → P2 → P1 → P0 → 0.
Ta lần lượt tác động các hàm tử HomR ( , A), HomR ( , B), HomR ( , C)
lên dãy giải sẽ cho ta các phức đối đồng điều HomR (P• , A), HomR (P• , B),
HomR (P• , C). Hơn nữa, do các Pn đều xạ ảnh nên từ dãy khớp ngắn

0 → A → B → C → 0 sẽ cho ta dãy khớp ngắn của các phức
0 → HomR (P• , A) → HomR (P• , B) → HomR (P• , C) → 0.
Áp dụng Định lý 1.11 ta được điều phải chứng minh.
1.3
1.3.1

Đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài
Đại số tenxơ

Cho M là một môđun. Với mỗi số nguyên dương k , ta đặt

T k (M ) = M ⊗ M ⊗ · · · ⊗ M (k lần),
17


và quy ước T 0 (M ) = R. Các phần tử của T k (M ) được gọi là các k -tenxơ
trên M .

∞

T k (M ) là tổng trực tiếp của các R-môđun. Mỗi phần

Đặt T (M ) :=

k=0

tử của T (M ) là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các k -tenxơ. Ta sẽ
trang bị cho T (M ) một phép nhân để nó trở thành một R-đại số.
Vì tích tenxơ có tính chất kết hợp, ta có các đẳng cấu tuyến tính tự
nhiên sau

µij : T i (M ) ⊗ T j (M ) → T i+j (M ).
Các đẳng cấu trên cảm sinh một đẳng cấu chính tắc

µ : T (M ) ⊗ T (M ) → T (M ).
Đẳng cấu µ xác định một phép nhân trên T (M ) như sau

T (M ) × T (M ) → T (M )
(α, β) → µ(α ⊗ β).
Ta có thể chứng minh được R-môđun T (M ) với phép nhân trên là một

R-đại số.
Định nghĩa 1.25. R-đại số T (M ) được gọi là đại số tenxơ của M .
Đặc biệt, khi M là một môđun tự do thì ta có thể mô tả tường minh

T (M ) như sau.
Mệnh đề 1.26. Giả sử M là một môđun tự do với cơ sở β = (e1 , e2 , . . . , en ).
Khi đó, T k (M ) như là một R-môđun có một cơ sở gồm các k -tenxơ dạng

(ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eik : 1 ≤ i1 , i2 , . . . , ik ≤ n),
và T (M ) có một cơ sở dạng

(ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eik : 0 ≤ k < ∞, 1 ≤ i1 , i2 , . . . , ik ≤ n).
Do phép nhân trong T (M ) thỏa mãn T i (M )T j (M ) ⊆ T i+j (M ), nên

T (M ) là một R-đại số phân bậc. Chúng tôi xin nhắc lại định nghĩa về
vành phân bậc, đại số phân bậc, iđêan phân bậc.
18


Định nghĩa 1.27. (1) Một vành S được gọi là một vành phân bậc nếu S
là tổng trực tiếp cộng tính của các nhóm con: S = S0 ⊕ S1 ⊕ S2 ⊕ . . .
sao cho Si Sj ⊆ Si+j , ∀i, j > 0. Các phần tử của Sk được gọi là các
phần tử thuần nhất bậc k , và Sk được gọi là thành phần thuần nhất
bậc k của S . Một đại số phân bậc là một đại số và là một vành phân
bậc với các phép toán tương ứng.
(2) Một iđêan I của vành phân bậc S được gọi là một iđêan phân bậc nếu
∞

(I ∩ Sk ).

I=
k=0

(3) Một đồng cấu vành ϕ : S → T giữa hai vành phân bậc được gọi là
đồng cấu vành phân bậc nếu ϕ bảo toàn cấu trúc phân bậc trên S và

T , tức là ϕ(Sk ) ⊆ Tk , ∀k ≥ 0.
Định lý sau mô tả tính phổ dụng của đại số tenxơ T (M ).
Định lý 1.28. Cho M là một môđun và T (M ) là đại số tenxơ của nó. Nếu

A là một R-đại số bất kỳ và ϕ : M → A là một đồng cấu R-môđun, thì
tồn tại duy nhất một đồng cấu R-đại số ψ : T (M ) → A sao cho ψ M = ϕ.
Chứng minh. Người đọc có thể xem trong [7, tr. 443].

Giả sử f : M → N là một đồng cấu R-môđun. Khi đó, f cảm sinh một
đồng cấu R-đại số T (f ) : T (M ) → T (N ). Đồng cấu này là tổng trực tiếp
của các ánh xạ thành phần

T 0 (f ) = idR và
T k (f ) : T k (M ) → T k (N ), (0 < k < ∞),
T k (f )(m1 ⊗ · · · ⊗ mk ) = f (m1 ) ⊗ · · · ⊗ f (mk ), ∀m1 , . . . , mk ∈ M.
Ta có một kết quả quan trọng về đồng cấu giữa các tích tenxơ.
Mệnh đề 1.29. Cho hai dãy khớp các môđun
u

v

s

t

E →
−E →
− E →0,
F →
−F →
− F →0.
19


Khi đó đồng cấu v ⊗ t : E ⊗ F → E ⊗ F là một toàn cấu và hạt nhân
của nó bằng
Im(u ⊗ 1F ) + Im(1E ⊗ s)
Chứng minh. Dễ thấy v ⊗ t = (v ⊗ 1F ) ◦ (1E ⊗ t). Hơn nữa, v ⊗ 1F và

1E ⊗ t là các toàn cấu nên v ⊗ t cũng là một toàn cấu.
Giả sử z ∈ ker(v ⊗ t). Khi đó (1E ⊗ t)(z) ∈ ker(v ⊗ 1F ) = im(u ⊗ 1F ),
đẳng thức sau cùng có được do tính khớp của dãy
u⊗1

v⊗1

F
E ⊗ F −−−−
→ E ⊗ F −−−F→ E ⊗ F → 0.

Mặt khác, do t : F → F là một toàn cấu nên 1E ⊗ t : E ⊗ F → E ⊗ F
cũng là một toàn cấu. Do đó tồn tại α ∈ E ⊗ F sao cho (1E ⊗ t)(z) =

(u ⊗ 1F ) ◦ (1E ⊗ t)(α) = (u ⊗ t)(α) = (1E ⊗ t) ◦ (u ⊗ 1F )(α).
Đặt β = z −(u⊗1F )(α), khi đó (1E ⊗t)(β) = 0, cho nên β ∈ ker(1E ⊗t) =
im(1E ⊗ s), đẳng thức sau có được do tính khớp của dãy
1 ⊗s

1 ⊗t

E
E
E ⊗ F −−
−→ E ⊗ F −−
−→ E ⊗ F → 0.

Nên z ∈ Im(u ⊗ 1F ) + Im(1E ⊗ s). Vậy ta đã chứng minh được
ker(v ⊗ t) ⊆ Im(u ⊗ 1F ) + Im(1E ⊗ s).

Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên.
Dựa vào kết quả trên, ta có thể mô tả đồng cấu cảm sinh T (f ) :

T (M ) → T (N ) trong trường hợp f : M → N là một toàn cấu.
Mệnh đề 1.30. Cho M và N là các môđun. Nếu f : M → N là một toàn
cấu thì đồng cấu T (f ) : T (M ) → T (N ) cũng là một toàn cấu và hạt nhân
của nó là iđêan của T (M ) được sinh bởi P := ker f ⊂ M ⊂ T (M ).
Chứng minh. Ta có T 0 (f ) = idR là một đẳng cấu. Ta chứng minh bằng
quy nạp rằng ∀n ∈ N∗ , T n (f ) : T n (M ) → T n (N ) là một toàn cấu và hạt
nhân của nó, kí hiệu

n,

là môđun con của T n (M ) được sinh bởi các tích

m1 ⊗ m2 ⊗ · · · ⊗ mn trong đó ít nhất một trong các mi thuộc vào P .
Với n = 1, ta có T 1 (M ) = M, T 1 (N ) = N, T 1 (f ) = f . Theo giả thiết,
T 1 (f ) là một toàn cấu và hạt nhân của nó, 1 , chính là P .
20


Giả sử khẳng định trên đúng tới n = k . Áp dụng Mệnh đề 1.29 cho hai
dãy khớp
i

k

T k (f )

k

k
−
→T
(M ) −−−→T k (N ) →0,

i

1
P −
→

f

M→
−

N →0

(trong đó i1 , ik là các đồng cấu nhúng tự nhiên), ta được

T k+1 (f ) : T k+1 (M ) → T k+1 (N )
là một toàn cấu và hạt nhân của nó,

k+1 ,

bằng

Im(ik ⊗ 1M ) + Im(1T k (M ) ⊗ i1 ).
Vì vậy

k+1

là môđun con của T k+1 (M ) được sinh bởi các tích

m1 ⊗ m2 ⊗ · · · ⊗ mk+1 trong đó ít nhất một trong các mi thuộc vào P .
Điều này chỉ ra rằng := ker(T (f )) =
n là một iđêan được sinh
n≥1

bởi P trong T (M ).
1.3.2

Đại số đối xứng

Ta gọi C(M ) là iđêan của T (M ) sinh bởi các phần tử có dạng

m1 ⊗ m2 − m2 ⊗ m1 , ∀m1 , m2 ∈ M.
Định nghĩa 1.31. Đại số đối xứng của một môđun M , kí hiệu S(M ), là
thương của đại số tenxơ T (M ) cho iđêan C(M ).
Đại số tenxơ T (M ) được sinh bởi R = T 0 (M ) và M = T 1 (M ). Các
phần tử của M giao hoán với nhau trong đại số thương S(M ). Do đó, đại
số đối xứng S(M ) là một đại số giao hoán. Hơn nữa, do iđêan C(M ) sinh
bởi các phần tử thuần nhất nên C(M ) là một iđêan phân bậc. Vậy S(M )
là một R-đại số giao hoán phân bậc với các thành phần thuần nhất bậc k
của nó là S k (M ) = T k (M )/C(M )k . R-môđun S k (M ) được gọi là lũy thừa
đối xứng cấp k của M .
Định lý sau mô tả tính phổ dụng của đại số đối xứng S(M ) và các thành
phần thuần nhất của nó. Để thuận tiện, ta kí hiệu

M (k) := M × · · · × M (k lần).

21


Định lý 1.32. Cho M là một môđun và S(M ) là đại số đối xứng của nó.
(1) Lũy thừa đối xứng cấp k của M , S k (M ), bằng

S k (M ) =

T k (M )
,
(m1 ⊗ m2 ⊗ · · · ⊗ mk − mσ(1) ⊗ mσ(2) ⊗ · · · ⊗ mσ(k) )

với ∀mi ∈ M và mọi phép hoán vị σ trong nhóm đối xứng Sk .
(2) Nếu ϕ : M (k) → N là một ánh xạ đa tuyến tính đối xứng, thì tồn tại
duy nhất một đồng cấu ψ : S k (M ) → N sao cho ϕ = ψ ◦ i, trong đó
ánh xạ i : M (k) → S k (M ), (m1 , . . . , mk ) → m1 ⊗· · ·⊗mk mod C(M ).
(3) Nếu A là một R-đại số giao hoán và ϕ : M → A là một đồng cấu

R-môđun, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu R-đại số ψ : S(M ) → A
sao cho ψ M = ϕ.
Chứng minh. Người đọc có thể xem trong [7, tr. 445].
Khi M là một môđun tự do thì đại số đối xứng S(M ) có cấu trúc rất
đơn giản.
Hệ quả 1.33. Cho M là một môđun tự do có hạng n. Khi đó S(M ) đẳng
cấu (như một R-đại số phân bậc) với vành đa thức n biến trên R.
Chứng minh. Giả sử β = (e1 , . . . , en ) là một cơ sở của M . Theo Mệnh
đề 1.26, tập các k -tenxơ dạng ei1 ⊗ · · · ⊗ eik là một cơ sở của T k (M ). Do
đại số S(M ) giao hoán nên hệ sau là một cơ sở của S k (M )

(ei11 . . . einn : i1 , . . . , in ≥ 0, i1 + · · · + in = k).

Gọi R[T1 , . . . , Tn ] là vành đa thức của n biến, và (R[T1 , . . . , Tn ])k là thành
phần thuần nhất bậc k của nó. Ta xét đồng cấu đa tuyến tính

η : M (k) → (R[T1 , . . . , Tn ])k , η(ej1 , . . . , ejk ) = Tj1 . . . Tjk
Vì đại số R[T1 , . . . , Tn ] giao hoán nên η đối xứng. Theo Định lý 1.32, tồn
tại đồng cấu hk : S k (M ) → (R[T1 , . . . , Tn ])k sao cho

hk (ei11 . . . einn ) = T1i1 . . . Tnin , với i1 + · · · + in = k .
22


Dễ thấy hk là một toàn cấu. Hơn nữa, theo chứng minh ở trên, môđun

S k (M ) được sinh bởi hệ
(ei11 . . . einn : i1 , . . . , in ≥ 0, i1 + · · · + in = k),
do đó rankR S k (M ) ≤ rankR (R[T1 , . . . , Tn ])k . Vì vậy hk là một đẳng cấu.
Do vậy, h := ⊕hk : S(M ) → R[T1 , . . . , Tn ] cũng là một đẳng cấu.
Hơn nữa, không khó để chỉ ra rằng h(xy) = h(x)h(y), ∀x, y ∈ S(M ).
Vậy h là một đẳng cấu R-đại số.
Giả sử f : M → N là một đồng cấu R-môđun. Khi đó, f cảm sinh một
đồng cấu R-đại số S(f ) : S(M ) → S(N ). Đồng cấu này là tổng trực tiếp
của các ánh xạ thành phần

S 0 (f ) = idR và
S k (f ) : S k (M ) → S k (N ), (0 ≤ k < ∞),
S k (f )(m1 . . . mk ) = f (m1 ) . . . f (mk ), ∀m1 , . . . , mk ∈ M.
Dựa vào kết quả trên, ta có thể mô tả S(f ) : S(M ) → S(N ) trong
trường hợp f : M → N là một toàn cấu.
Mệnh đề 1.34. Cho M, N là các môđun. Nếu f : M → N là một toàn
cấu thì S(f ) : S(M ) → S(N ) cũng là một toàn cấu và hạt nhân của nó là

một iđêan của S(M ) được sinh bởi P := ker f ⊂ M ⊂ S(M ).
Chứng minh. Đặt v := T (f ) : T (M ) → T (N ). Theo Mệnh đề 1.30, v là
một toàn cấu.
Hơn nữa, ta có v(C(M )) = C(N ). Thật vậy, ∀m1 , m2 ∈ M , ta có

v(m1 ⊗ m2 − m2 ⊗ m1 ) = v(m1 ⊗ m2 ) − v(m2 ⊗ m1 )
= f (m1 ) ⊗ f (m2 ) − f (m2 ) ⊗ f (m1 ) ∈ C(N ).
Ngược lại, ∀n1 , n2 ∈ N , do v là toàn cấu nên tồn tại m1 , m2 ∈ M sao cho

f (m1 ) = n1 , f (m2 ) = n2 và
v(m1 ⊗ m2 − m2 ⊗ m1 ) = n1 ⊗ n2 − n2 ⊗ n1 .
23