documents tips tai lieu giai toan tren mat tinh casio

GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

MỘT SỐ NGUYÊN TẮC CƠ BẢN KHI GIẢI BAI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT
1.
2.

3.

4.

5.

1

Nếu trên đề thi không có chú thích gì thêm , kết quả bài toán phải ghi đầy đủ
tất cả các chữ số có trên màn hình MTBT
Tuyệt đối không ghi kết quả trung gian ra giấy nháp và sau đó ghi lại kết quả
ấy vào máy trong quá trình tính toán , điều ấy làm kết quả cuối cùng bị sai
lệch. Giải quyết điều này bằng cách lưu kết quả trung gian trong bộ nhớ của
máy , và tính liên tục cho đến khi ra kết quả cuối cùng
Nếu đề thi chỉ yêu cầu ghi kết quả bài toán , trong quá trình giải HS có thể
vận dụng tất cả các kiến thức mà giáo viên trang bị , tất nhiên trong đó có cả
các kiến thức thuộc chương trình THPT . Nếu đề thi yêu cầu trình bày lời giải
, phần trình bày chỉ cần vắn tắt , ngắn gọn nhưng quan trọng là : phải dùng
kiến thức bậc THCS để giải quyết bài toán .
Khi đề ra yêu cầu trình bày qui trình bấm phím , HS sử dụng máy tính loại
nào (CASIO –FX 500 MS- CASIO FX 570 MS – CASIO FX 570 ES –
CASIO FX 500 VN PLUS … ) phải ghi rõ qui trình này áp dụng cho dòng
máy tính nào .
Kết quả bài toán không được ghi dưới dạng a. 10 n (kết quả là một số có nhiều
hơn 12 chữ số )mà phải ghi chính xác số chữ số của kết quả.

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

PHẦN I : NHỮNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH TOÁN
Bài 1
(19862 − 1992).(19862 + 3972 − 3).1987
1983.1985.1988.1989
(34, 06 − 33,81).4  2 4
 3 : (0,2 − 0,1)
+
B= 26 : 
+ :
 2,5.(0,8 + 1,2) 6,84 : (28, 57 − 25,15)  3 21

A=


 


 


 

1
1

2 +
 − 3 +


1  
1 
3+
4+

1 
6

4+  
5+ 

5 
7
D=






1
3

7+
− 9 +


1
2 
5+
7+
1 
1

3+
5+ 
21 
3

1
8+

;

+

1
7+

E=

1
6+

1
2+

1
5+

1
4+

1
3+

1
4+

1
3+

1
2

1
5+

1
6+

1
7+

3
2
3   4 6   7

9 
1
 + 21 ÷ :  3 − ÷.  + 1 ÷ 
4   5 7   8 11  
3
F=
2   8
8   11 12  
5
 + 3 ÷.  + 4 ÷:  − ÷
5   13
9   12 15  
6

Bài 2
Tính
M=

7x 4 y − 6x3 y 2 + 5x 2 y 3 − 4xy 4
9x 4 y 4 − 7x3 y3 + 5x 2 y 2

khi cho x = 1,432 và y = –0,321

2,3x 4 y3 z 2 − 3,2x3 y3 z3 + 5x 2 y 3 z 4
2
1
N=
khi cho x = –2, 123 , y =
và z = −1
3,7x3 y 3 + 7,3y 2 z2 − 10x 4 z 4

3
12

P(x, y) =

3x 5 y3 - 4x 3 y 2 + 3x 2 y - 7x
x 3 y3 + x 2 y 2 + x 2 y + 7

với x = 1,23456 ; y = 3,121235

Bài 3:
Tính A =
Tính B =

Tính C =

25(10 − x)2 + 42(9 − x)2 + 14(8 − x)2 + 15(7 − x)2 + 4(6 − x)2
khi cho x = 8,69
100
17(3 − x)3 + 18(4 − x)3 + 19(5 − x)3
3

−9x3 + 5x 2 − 7x + 1

9+ 8+ 7+ 6+ 5+ 4+ 3

khi cho x = –1,987

8x + 5x + 2x + x

19 + 6 17 + 5 15 + 4 13

8

11 + 7 12 + 6 13 + 5 14

,D=

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

Tính E =

7

khi cho x = 55,555

16x + 13x + 10x + x

2

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP

1
8


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

Tính F = 291945 + 831910 + 2631931 + 322010 + 1981945
Bài 4

a) Biết sin α = 0,3456 ,tính A =

cos3 α(1 + sin 3 α) + tg 2 α
(cos3 α + sin 3 α).cot g 3α

b) Cho sin3x = 0,978 (x là góc nhọn) . Tính B =

3 cos2 x − 7sin 3 x + 5tg 4 x
cot g5 x + 3 cos3 3x − sin 2 2x

c) Cho tang x = 2,74

5sin 2 x + 7 cos2 x
Tính C = 6
tg x + 2(cos2 x + sin 2 x)

d) Cho cos x =0,569

Tính D = 


 sin 4 x − 2 cos3 x  
tg3 x
:
÷

÷
3
5
2

2
 sin x + 3 cos x   cos x + sin x 

e) Tính E với α = 25 0 30 ' , β = 57 0 30 '
E = [(1 + tg 2 α)(1 + cot g 2β) + (1 − sin 2 α)(1 − cos 2 β)] (1 − sin 2 α)(1 − cos 2 β)

f) Cho biết cotang3x = 0,1234 . Tính giá trị biểu thức sau : F =
g) Biết cos α = 0,5678 . Tính H =
2

sin 2 (1 + cos3 α ) + cos 2 α(1 + sin 3 α)
(1 + tg 3α)(1 + cot g 3α) 1 + cos 4 β

h) biết tg α =tg350.tg360tg370 …tg520.tg530 , tính I =

i) M =

a)

tg 2α(1 + cos 3 α) + cot g 2 α(1 + sin 3 α)
(sin 3 α + cos3 α)(1 + sin α + cos α)

'
sin 2 33o12' + sin 56o 48.sin
33o12' - sin 2 56o 48'
2sin 2 33o12' + sin 2 56o 48' +1

Bài 5 : Giải các phương trình sau
5+

sin3 x + cos4 x - 1 - sin 2 x
tg2 2x + cot g3 2x

3+

2x
3

4+

=
4

5+

5
6

6+

7x
5

4+

3
2+

1
2

b)

1+

2x
1
2+

−
2

3+

3
4

5x
4+

=1

4
5+

5
6+

6
7

1
1
6
5
2
1
1
10 (24 − 15 ) − .(3 − 1,75)
14 − (49 : x − 14 : 8 ).7
1
45
3
7
11 11 3
3
6
=
= 45
c)
d)
271 3
17
59 37
19
154
49
(x −
).4 + 13547
1 : (1 +

+2 )
282 11
18
70 42
30
x
3
+
=0
1
2
2+
2+
1
1
2005 +
6+
1
9
2006 +
3+
1
9
e)
2007 +
1+
1
9
2008 +
9+

1
2
2009 +
3+
3
2
1+
5

3

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

Bài 6: Tính kết quả đúng của các tích sau :
a) M = 2222255555 × 2222266666
b) N = 20032003 × 20042004
c) P = 13032006 × 13032007
d) Q = 3333355555 × 3333377777
e) R= 3333344444 × 3333366666
f) I = 26031931×26032010
g) J= 2632655555 × 2632699999 .
h) 13579873
i) 123456782
Bài 7 : Tính
1
20 
4

2
 99x + 1
+
+
a) A =  2
với x = 15; y =
÷: 3
7
 5x − 5 5 + 5x 1 − x  x y − xy
2
2
2
2

2  x
x −y
y
x+y
−
−
. 2
b) B = −  2
Khi x = 3 − 2 và y = 2,25
2 ÷
x  x + xy
xy
xy + y  x + xy + y 2
 3 a
a
4(a + 2)   2 a + 5 

+
+
c) C = 
÷: 1 −
÷ (a ≥ 0,a ≠ 16) khi a = 2007 + 2008 + 2009
a − 4 16 − a ÷
a +4 ÷
 a +4
 

2 x +x
1  
x +2 
−
:
1
−
d) D = 
÷

÷

÷ khi x = 2009 + 2010 + 2011
x −1 ÷
 x x −1
  x + x +1 
2

e) E=

4


1 1
1+ 
- x÷
4 x

2

 1 1

1 1
1+ 
− x÷ − 
− x÷
4 x
 2 x


Với x = 1,15795836.

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

PHẦN II : TỔNG SAI PHÂN HỮU HẠN
Nguyên tắc chung để giải bài toán tổng sai phân hữu hạn : nên xét số hạng tổng quát và tìm cách phân tích
chúng cho hợp lý để triệt tiêu hoặc đơn giản . Trong một số trường hợp , ta có thể dùng chức năng tính tổng

∑ của dòng máy CASIO fx 570 ES , tuy nhiên thời gian xử lý của máy khá lâu .
Dạng 1 :
Các số hạng của tổng có dạng phân số , trong đó mẫu là các tích có qui luật và tử là hằng số
Cách giải chung : Xét số hạng tổng quát và tìm cách phân tích chúng hợp lý để triệt tiêu
Tính các tổng sau
1
1
1
1
1
+
+
+ ..... +
+
a)
1.2 2.3 3.4
998.999 999.1000
1
1
1
1
1
+
+
+ ..... +
+
b)
2.4 4.6 6.8
996.998 998.1000
1

1
1
1
1
+
+
+ ...... +
+
c)
3.5 5.7 7.9
997.999 999.1001
1
1
1
1
1
+
+
+ ............. +
+
d)
3.5.7 5.7.9 7.9.11
993.995.997 995.997.999
1
1
1
1
+
+
+ .... +

e)
1.2.3.4.5 2.3.4.5.6 3.4.5.6.7
996.997.998.999.1000
Dạng 2:
Tổng của các tích có qui luật
Tính các tổng sau :
a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 +………+999.1000
b) 1.3 + 3.5 + 5.7 + 7.9 +…….+ 99.101
c) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +…..+ 997.998.999
d) 2.4.6 + 4.6.8 + 6.8.10 + ….. + 96.98.100
e) 1.4 + 4.7 + 7.10 + ……+ 301 .304
f) 2.4.6.8 + 4.6.8.10 + 6.8.10.12 +……….+ 100 . 102 .104 . 106
Phương pháp:
Biến đổi số hạng tổng quát uk về dạng uk = ak– ak-1
Ví dụ : Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +…..+ n(n+1)(n+2)
1
Uk = k(k +1)(k+2) còn ak = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
4
⇒ S = u1 + u2 + …+ un = (a1 – a0) + (a2 – a1) + …+(an- an-1) = an – a0
1
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
Dạng 3:
Tổng bình phương , lập phương các số tự nhiên liên tiếp :
Tính các tổng sau
a) A = 12 + 22 + 32 +……+ n2
n(n + 1)(2n + 1)
Công thức : A =
6
b) B = 13 + 23 + 33 + …+n3

2
 n(n + 1) 
Công thức : B = 
÷
 2 
Trên đây là các dạng bài tập kinh điển về tổng sai phân hữu hạn thường gặp . Thực tế khi đi thi có rất
nhiều bài tập rất khó đòi hỏi phải tư duy có chiều sâu và độ nhạy bén thông qua quá trình rèn luyện
và tiếp thu các kiến thức cơ bản về tổng hữu hạn
5

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

Bài 1: Tính các tổng sau : (bài tập luyện thi vòng quốc gia năm 2010)
A = 2 + 12 + 36 + 80 + 150 + …….. + 1343100
B = 1 + 9 + 25 + …. + 4004001
C = 1 + 27 + 125 + …. + 1030301
D = 12 + 42 + 72 + …… + 87025
E = 22 + 52 + 82 + …. + 355216
Hướng dẫn
A : Tổng của bính phường và lập phương các số tự nhiên liên tiếp
4n 3 − n
B : Tổng bình phương của các số tự nhiên lẻ liên tiếp tính bởi công thức
3
C : Tổng lập phương của các số tự nhiên lẻ liên tiếp tính bởi công thức n2(2n2 – 1)
n(6n 2 − 3n − 1)
D : Số hạng tổng quát dạng un = (3 n- 2)2 , dùng công thức D =
2

2
n(6n + 3n − 1)
E : Số hạng tổng quát dạng un = (3 n- 1)2 , dùng công thức E =
2
Bài 2 : Tính tổng
1 1
1 1
1
1
B= 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
2
1 2
2 3
2009 20102
Đây là bài tập thường xuyên được rèn luyện trong các năm vừa qua thường số cuối cùng cho đến năm
hiện tại , một điều may mắn là trong kỳ thi QG ngày 19/3/2010 của em Nguyễn Mạnh Cầm , bài này
được cho lại và …đúng tới số .
2
1
1

Hướng dẫn : Tính  1 +
− ÷
 k −1 k 
Bài 3: Tính tổng (đề thi QG lần 10 )
1
1
1
1

A=
+
+
+ ... +
1+ 3
3+ 5
5+ 7
2009 + 2011
Bài 4: Đề thi Casio Tỉnh Lâm đồng năm 2009
Tính tổng (biểu diễn dưới dạng phân số)

 



1  
3
1
3
1
 3
 + ...... + 

+
+
+
+
 ( 12 + 1) 2 ( 12 + 1) 3   ( 22 + 2 ) 2 ( 22 + 2 ) 3 
 ( 2009 2 + 2009 ) 2 ( 20092 + 2009 ) 3 


 



Bài 5:Tính tổng (đề thi casio Huyện Đơn dương năm học 2008-2009)
1
1
1
+
+ ............. +
K=
2 1 +1 2 3 2 + 2 3
2009 2008 + 2008 2009
Bài 6: Tính tổng
1
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
+ ............ + 2
S= 2
với n = 3
n + 1 n + 3n + 2 n + 5n + 6 n + 7n + 12 n + 9n + 20
n + 19n + 90
Bài 7: Ký hiệu a n =  n  là số tự nhiên gần nhất của n . Tính tổng

A=  1  +  2  +  3  + ...... +  2010 
Bài 8: : Ký hiệu [ x ] là phần nguyên của x (số nguyên lớn nhất không vượt quá x) . Tính tổng
B =  1.2.3.4  +  2.3.4.5  +  3.4.5.6  + ..... +  2007.2008.2009.2010 
Bài 9: : Cho tổng Cn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +…+ n( n+ 1)(n + 2)
a) Tính C2010
b) Chứng minh rằng 4Cn + 1 là một số chính phương
6

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

2010
.. Tính S = f(1) + f(2) + ….+ f(2010)
x2 + 2 x
a1 = 19,157
Bài 11 : Cho dãy số 
a k = a k −1 + 0, 25 (2 ≤ k ≤ 1000)
1
1
1
+
+ ....... +
Tính tổng S =
(Đề thi của Thanh hóa)
a1 + a 2
a 2 + a3
a 999 + a1000
Bài 13 : Tính tổng

S = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + ….+ 9998.10000
3 + Sn −1
Bài 14: Cho Sn =
với n ∈ N, n ≥ 2
1 − 3.Sn −1
Tính tổng S = S1 + S2 + S3 + …..+ S2010 + S2011
Bài 15: Cho Sn = 1 -2 +3 – 4 + 5 – 6 + ….+ (–1)n.n
Tính tổng S = S2007 + S2008 + S2009 + S2010
Bài 16 : Cho hình vuông thứ nhất cạnh a , nối trung điểm các cạnh hình vuông thứ nhất ta được hình vuông
hứ hai , nối trung điểm hình vuông thứ hai ta được hình vuông thứ 3 ….tiếp tục như thế cho đến hình
vuông thứ n
a) Lập công thức tính tổng Tn = S1 + S2 + S3 + ….+Sn với Sn là diện tích hình vuông thứ n
1
b) Tính tổng S của 50 hình vuông đầu tiên với a = 18
2010
1442443
Bài 17 : Cho S = 1 +11 +111 + 1111 +………….+ 1111111111......1
Bài 10 : Cho hàm số f(x) =

n cs 1

a) Tính tổng S theo n
b) Tính S khi n = 5 , n = 9 , n = 12
1
Bài 18: Cho f(x) = 2
Tính S = f(1) + f(2) + ……….+f(2010)
x + 3x + 2
Bài 19 : Tính tổng 1 + 3 + 9 + 27 + ….+ 14348907
Kiến thức bổ sung cho bài 17 và 18 và 19
Hằng đẳng thức an – bn = (a – b)(an-1+ an-2b + an-3 b2 +….. + a2bn -3 + abn-2 + bn -1 )

3
5
7
201
+
+
+ .... +
Bài 20: Tính tổng M =
1.4 4.9 9.16
10000.10201
2
2
2k + 1
(k + 1) − k
= 2
HD : 2
2
k (k + 1)
k (k + 1) 2
1
4
9
9801
+
+
+.... +
Bài 21: Tính tổng
1.3 3.5 5.7
197.199
Bài 22 : Tìm số tự nhiên n biết :

1
1
1
1
2999
+
+
+ ..... +
=
a)
1.2 2.3 3.4
n(n +1) 3000
1
1
1
1
502
+
+
+ ..... +
b)
=
2.4 4.6 6.8
2n(2n + 2) 2009
c) 1 +

1
1
1
1

1
1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + .... + 1 +
+ 2 = 38, 475
2
2
2
3
3
4
4
5
(n - 1)
n

ìï U 2 + U5 = 29
Bài 23: Cho Un+1 = Un + d (nN*) thỏa : ïí
Tính tổng S = U1 +U2 +U3 +…..+ U100
ïïî U 4 - U 3 = 5
Bài 24: Cho f(1) = 1 , f(m + n) = f(m) + f(n) +mn (m,n nguyên dương). Tính f(10) ; f(2010)
HD : f(n) = f(n – 1 +1) = f(n -1) + f(1) + n -1 = f(n – 1) + n
7

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS

PHN III : a thc v cỏc bi toỏn v a thc
I KIN THC CN VN DNG TRONG CC BI TON A THC :
nh lý Bezout : D trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc x a l f(a)
H qu : Nu f(a) = 0 , a thc f(x) chia ht cho nh thc x a
ổ
- bử

ữ
ữ
D trong phộp chia a thc f(x) cho (ax + b) l f ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ốa ứ
Nu a thc P(x) = anxn + an-1xn-1 +.+a1x + a0 ( n N) cú n nghim x1 , x2 xn thỡ a thc P(x) phõn
tớch c thnh nhõn t : P(x) = a(x x1)(x x2) .(x xn-1)(x xn)

II CC DNG TON V A THC :
Bi 1 : Tỡm m a thc f(x) = 4x4 5x3 + m2 x2 mx 80 chia ht cho x 2
Gii : t g(x) = 4x4 5x3 80 ta cú f(x) = g(x) +mx2 mx
f(x) (x 2 ) f(2) = 0 hay g(2) +4m2 2 x = 0
Ta cú g(2) = 56 f(2) = 0 khi 4m2 2m = 56 4m2 2x 56 = 0
Gii phng trỡnh n m , ta c m1 = 4 v m2 = 3,5
Ngha l hai a thc f1(x) = 4x4 5x3 + 16 x2 8x 80 v f2(x) = 4x4 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x 80 u
chia ht cho x 2
Bi tp tng t :
Cho a thc f(x) = x5 3x4 +5 x3 m2x2 + mx + 861 . Tỡm m f(x) (x + 3)
KQ : m1 = 5 ; m 2 =- 5

1

3

Bi 2:
Tỡm a v b sao cho hai a thc
f(x) = 4x3 3x2 + 2x + 2a + 3b
v
4
3
2
g(x) = 5x 4x + 3x 2x 3a + 2b
Gii:

cựng chia ht cho (x 3)

f(x) , v g(x) cựng chia ht cho (x 3) khi v ch khi f(3) = g(3) = 0
t A(x) = 4x3 3x2 + 2x v B(x) = 5x4 4x3 + 3x2 2x
Ta cú f(x) = A(x) + 2a + 3b
g(x)=B(x) 3a +2b
f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b f(3) = 0 2a + 3b = 87
g(3) = B(3) 3a + 2b = 3183a +2b g(3) = 0 3a +2b = 318
ùỡ 2a + 3b =- 87
Ta cú h phng trỡnh : ùớù

ùợ - 3a + 2b =- 318

Vo MODE EQN gi chng trỡnh gii h phng trỡnh bc nht hai n ta c nghim
( x = 60 ; y = 69) hay a = 60 , b = 69 .
Bi tp tng t :
Tỡm m v n hai a thc P(x) v Q (x) cựng chia ht cho (x +4 )
P(x) = 4x4 3x3 + 2x2 x +2m 3n

Q(x) = 5x5 7x4 + 9x3 11x2 + 13x 3m + 2n (m = 4128,8 ; n = 2335,2)
Bi 3 : Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t : 105x2 + 514x 304
Nu khụng cú s h tr ca MTBT thỡ vic phõn tớch a thc trờn thnh nhõn t l 1 bi toỏn khú
Gii: n MODE MODE U 2 Nhp a = 105 , b = 514 , c = 304
Tỡm c nghim ca a thc trờn : x1 =

8

8
38
, x 2 =15
7

GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP


GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS

Vy a thc 105x2 + 514x 304 c phõn tớch thnh
ổ 8ử
ổ 38 ử
ổ 8ử
ổ 38 ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
105 ỗ
xx+ ữ
= 15.7 ỗ

xx+ ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ= (15x - 8)(7x + 38)
ỗ 15 ứỗ
ỗ 15 ứố
ỗ
ố
ố
ố
7ứ
7ứ

Bi tp tng t :
Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t
a) 65x2 + 4122x +61093
b) 299 x2 2004x + 3337
c) 156x3 413 x2 504 x+ 1265
Bi 4 :
Cho a thc x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e .
Bit f(0) = 1 , f(1) = 2 , f(2) = 3 , f(3) = 2 ; f(4) = 1 . Tớnh f(100)

Gii :
Rừ rng nu ta th 0,1,2,3,4, ch xỏc nh h s t do , vic cũn li l gii h phng trỡnh bc nht 4 n m
mỏy CASIO khụng th gii quyt c . Gii bng tay thỡ rt vt v . Bi toỏn ny cú th gii quyt nh sau :
Xột a thc ph k(x) = x2 4x + 1
Ta cú : k(0) = 1 ; k(1) = 2 ; k(2) = 3 ; k(3) = 2 ; k(4) = 1
t g(x) = f(x) k(x)
Ta cú : g(0) = f(0) k(0) = 0
g(1) = f(1) k(1) = 0
g(2) = f(2) k(2) = 0
g(3) = f(3) k(3) = 0
g(4) = f(4) k(4) = 0
T ú suy ra 0,1,2,3,4 l nghim ca g(x)
Mt khỏc g(x) l a thc bc 5 (Cựng bc vi f(x) vỡ k(x) l bc 2 m g(x) = f(x) k(x) ) v cú h s
cao nht l l 1
T ú suy ra g(x) phõn tớch c thnh nhõn t :
g(x) = (x 0)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)
m g(x) = f(x) k(x) f(x) = g(x) + k(x)
Vy f(x) = x .(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) +x2 4x + 1
f(100) = 9034512001
Vn õy l lm sao tỡm c a thc ph k(x) ?
Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c v cho gỏn cho k(x) nhn cỏc giỏ tr k(1) = 1 k(2) = 3 , k(3) = 2
(nhn 3 trong 5 giỏ tr ca f(x) ó cho)
ỡù a + b + c =- 2
ùù
ta cú h phng trỡnh : ùớù 4a + 2b + c =- 3
ùù 9a + 3b + c =- 2
ùợ

nhp cỏc h s vo mỏy tỡm c nghim a = 1 , b = 4 , c = 1
k(x) = x2 4x + 1 . Th tip thy k(0) = 1 v k(4) = 1

Vy k(x) = x2 4x + 1 l a thc ph cn tỡm . Tt nhin khi th k(0) 1 hoc k(4) 1 thỡ buc phi
tỡm cỏch gii khỏc .
Bi tp tng t :
a) Cho a thc P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Bit P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ;
P(5) = 25 . Tớnh cỏc giỏ tr ca P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)
b) Cho a thc Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q v bit Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 Q(4) =11
Tớnh cỏc giỏ tr Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)
c) Cho a thc f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Bit f(1) = 1 ; f(2) = 1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 . Hóy tớnh f(15) f(16) f(18,25)
d) Cho a thc f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Bit f(1) = 1 f(2) = 3 f(3) = 7 f(4) 13 f(5) = 21
Tớnh f(34,567)
Bi 5:
9

GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP


GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS

Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005
Bit P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tớnh P(15)
Gii :
Xột a thc ph Q(x) = 3x + 5
Ta cú Q(1) = 8 ; Q(2) = 11 ; Q(3) = 14 ; Q(4) = 17
t k(x) = P(x) Q(x)
Ta cú k(1) = k(2) = k(3) = k(4) = 0 hay k(x) cú 4 nghim l 1 , 2 , 3 , 4 .
Li bỡnh :
Ti õy , lm nh bi 5 thỡ trt lt bi vỡ k(x) phi l a thc bc 5 m ta mi ch tỡm c cú 4
nghim !!. Bi toỏn ny quỏ hay !
a thc k(x) phi cú h s cao nht l h s cao nht ca f(x) nờn k(x) c phõn tớch thnh nhõn t

nh sau k(x) = (x + J) (x 1)(x 2) (x 3) (x 4) . Vn cũn li l tỡm s J nh th no ?
Tip tc :
Vỡ
k(x) = P(x) Q(x) P(x) = k(x) + Q(x)
Hay P(x) = (x + J) (x 1)(x 2) (x 3) (x 4) + 3x + 5
H s t do ca P(x) l J.(1)(2).(3).(4) + 5 = 132005 hay 24J = 132000
J = 132000:24 = 5500
Vy P(x) = (x + 5500)(x 1) (x 2) (x 3) (x 4) + 3x + 5
P(15) = 132492410
Bi tp tng t :
Cho a thc f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 115197
Bit f(1) = 1 , f(2) = 1, f(3) = 3 , f(4) = 5 . Tớnh f(12) (KQ : 38206101)
Bi 6:
Cho f(2x 3) = x3 + 3x2 4x + 5
a) Xỏc nh f(x)
b) Tớnh f(2,33)
Gii:
t +3
2
3
2
ổt + 3 ử
ổt + 3 ử
ổt + 3 ử
ữ
ữ
ữ
ỗ
f(t) = ỗ
+

3
- 4ỗ
+5
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ 3 ứ
ố 3 ứ
ố 3 ứ
ố

a) t t = 2x 3 x =

ổx + 3 ử3

2
ổx + 3 ử
ổx + 3 ử
ữ
ữ
- 4ỗ
+5

ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ 2 ứ
ứ
ố

ữ
f(x) = ỗ
+ 3ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ố 2 ứ
ố
2
b)f(2,33)
Qui trỡnh n phớm :

( 2.33 + 3) á 2 shift STO A alpha A x 3 + 3 alpha A x 2 - 4 alpha A + 5 = KQ : 34,57410463

Bi 7
Cho a thc P(x) =

1 9

1 7 13 5 82 3 32
x x + x x + x
630
21
30
63
35

a) Tớnh f(4) , f(3) , f(2) , f(1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4)
b) Chng minh rng vi mi x Z thỡ P(x) nhn giỏ tr nguyờn .
Gii :
a) Cõu a tht ra l gi ý gii cõu b .
D dng tớnh c f(4) = f(3) = f(2) = f(1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0
b) Suy ra 4 ,3 , 2 ,1 , 0 , 1 , 2, 3 , 4 l 9 nghim ca ca P(x)
P(x) c phõn tớch thnh nhõn t nh sau :
P(x) =

1
(x 4)(x 3) (x 2 (x 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
630

Vi x Z thỡ (x 4)(x 3) (x 2 (x 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) l 9 s nguyờn liờn tip
10

GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP


GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS

Tong ú cú ớt nhõn 1 s chia ht cho 2 , 1 s chia ht cho 5 1 s chia ht cho 7 v 1 s chia ht cho 9

t A = (x 4)(x 3) (x 2 (x 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
Vỡ CLN(2,5) = 1 A 10
CLN(7,9) = 1 A 63
CLN(10 ,63) = 1 A 630


1
A l mt s nguyờn hay P(x) luụn nhn giỏ tr nguyờn vi mi x Z
630

(Chuyờn v a thc trong phn trờn c tụi vit vo nm 2006 trong thi gian qua ó b sung rt nhiu
dng bi tp v a thc rt hay v khú cao hn rt nhiu c update trong phn tip theo )
Bi tp v a thc cũn cú phn liờn quan : Phn trỡnh nghim nguyờn Bi vit v phng trỡnh nghim
nguyờn do thy Phm Vn Qung (Cu giỏo viờn THPT Lc Nghip ó cú hc sinh t gii Casio quục
gia cp THPT ) trỡnh by nh sau :

Phửụng trỡnh nghieọm nguyeõn

I . NGHIM NGUYấN CA A THC
Cho a thc f(x) = anxn + an-1xn-1 +.+a1x + a0 (n N)
Giỏ tr x0 l nghim ca a thc f(x) f(x0) = 0
Nhn xột :
a) (1)nan + (1)n-1an-1 + .+ (1)a1 + a0 = 0 thỡ phng trỡnh f(x) = 0 cú nghim nguyờn x = 1
b) an + an-1 +..+a1 + a0 = 0 thỡ phng trỡnh f(x) = 0 cú nghim nguyờn l x = 1
nh lý 1: a thc f(x) cú nghim nguyờn l x0 thỡ x0 l c s ca h s t do a0
nh lý 2 : Nu f(1) 0 v f(1) 0 v x0 l nghim nguyờn ca phng trỡnh f(x) = 0 thỡ

f(1)
f( 1)
vaứ

1 x0
1 + x0

l nhng s nguyờn
Hai nh lý trờn l iu kin cn x0 l nghim nguyờn ca phng trỡnh f(x) = 0
T ú ta cú cỏc bc tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh f(x) = 0 nh sau
Trng hp 1 : Nu f(1) 0 v f(1) 0
Bc 1 : Tỡm cỏc c s khỏc 1 (x1 ; x2 ; x3 .) ca h s t do a0
Bc 2 : Kim tra cỏc xi no tha

f(1)
f( 1)
vaứ
l nhng s nguyờn chn
1 xi
1 + xi

Bc 3 : Tớnh cỏc f(xi) va chn khng nh nghim , nu khụng cú giỏ tr xi no tha f(xi) = 0
thỡ phng trỡnh vụ nghim (nguyờn)
Trng hp 2:
Nu f(1) = 0 (hoc f(1) = 0 ) thỡ phõn tớch f(x) = (x 1).g(x) [f(x) = (x + 1) . h(x)] v quay v
trng hp 1 tỡm nghim nguyờn ca gx) [ hay h(x) ]
Li bỡnh
Bi toỏn tỡm nghim nguyờn l mt bi toỏn p ca i s thng ng dng trong vic phõn tớch a
thc thnh nhõn t .
II BI TP MINH HA
Vớ d 1: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh 2x4 + 3x3 24x2 13x + 12 = 0
Gii :
t f(x) = 2x4 + 3x3 24x2 13x + 12
Ta cú : f(1) = 0 x = 1 l nghim ca phng trỡnh f(x) = 0

Dựng lc Horner chia a thc f(x) cho x +1
2
3
24
13
12
1
2
1
25
12
0
3
2
3
2
f(x) = (x + 1)(2x + x 25x + 12) . t g(x) = 2x + x 25x + 12
Ta cú g(1) 0 v g(1) 0 , cỏc c s khỏc 1 ca 12 l xi = 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
11

GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

Chỉ có xi = 2 , 3 – 4 thỏa mãn điều kiện

g(1)
g( − 1)
vaø

nguyên . Dùng máy tính kiểm tra ta có
1 − xi
1 + xi

g(3) = 0 và g(–4) = 0 . Vậy phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm nguyên là –1 ; 3 ; –4
Ví dụ 2 :
Phân tích đa thức f(x) = x5 – 2x 4 – 9x3 + 8x2 – 22x + 24 thành nhân tử bằng cách tìm nghiệm
nguyên
Giải
Nhận thấy f(1) = 0 ⇒ x = 1 là một nghiệm nguyên của phưong trình f(x) = 0 .
Dùng sơ đồ Horner chia đa thức f(x) cho x – 1
1
–2
–9
8
–22
24
1
1
–1
–10
–2
–24
0
4
3
2
4
3
2

⇒ f(x) = (x – 1)(x – x – 10x – 2x – 24 ) . Đặt h(x) = x – x – 10x – 2x – 24
Ta có h(1) = –36 và h(–1) = –30
Các ước số khác ± 1 của 24 là ± 2 ; ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 8 , ± 12 ; ± 24
Các xi thỏa

h(1)
h( − 1)
vaø
là 2 , –2 , –3 , 4
1 − xi
1 + xi

Dùng máy kiểm tra chỉ có x = –3 và x = 4 là thỏa h(–3) = 0 và h(4) = 0
Dùng sơ đồ Horner chia h(x) cho x + 3
–3

1
1

–1
–4

–10
2

–2
–8

2
2

–8
0

–24
0

⇒ h(x) = (x + 3) (x3 – 4x2+2x – 8 )
Tiếp tục chia x3 – 4x2+2x – 8 cho x – 4
4

1
1

–4
0

⇒ x3 – 4x2+2x – 8 = (x – 4) (x2 + 2)
Đa thức x2 + 2 không phân tích được thành nhân tử
Vậy f(x) = x5 – 2x 4 – 9x3 + 8x2 – 22x + 24 = (x–1)(x + 3)(x – 4)(x2 + 2)
Bài tập :
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :
a) 2x3 – 12x2 + 22x – 12 = 0
b) x5 – 10x3 – 20x2 – 15x – 4 = 0
c) x7 – 3x6 + 5x5 – 7x4 + 7x3 – 5x2 + 3x – 1 = 0

12

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP

GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

CÁC BÀI TẬP VỀ ĐA THỨC BỔ SUNG TRONG THỜI GIAN GẦN ĐÂY
(Trích từ các đề thi các cấp và một số bài tập do tác giả soạn thảo và biên tập)
Bài 1: a) Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c , tìm các hệ số của f(x) biết f(0) = 6 ; f(5) = 141 ; f(–3) = 93
b) Cho tam thức g(x) = ax2 + bx + c , tìm các hệ số của g(x) biết g(3) = –59,9 ; g(–2) = 32,6 ;
g(4)= –75,4
Bài 2: a) Cho đa thức P(x) = 2x4 +mx3 + nx + p Tính P(–2,5) biết P(0) = –17 , P(–2) = 37 , P(–5) = 1708
b) Cho đa thức Q(x) = 5x4 + ax3 + bx2 +cx + d biết P(0) = 3 ; P(2) = 67 ; P(–2) = 155 ; P(3) = 345
Tính Q(–3,14)
Bài 3: a) Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 . Hãy tính f(15) , f(16) f( 18,25)
b) Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ;
P(5) = 25 . Tính các giá trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)
c) Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 Q(4) =11
Tính các giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)
d) Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Biết f(1) = 1 f(2) = 3 f(3) = 7 f(4) 13 f(5) = 21
Tính f(34,567)
e)Cho đa thức x2 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Biết f(1) = 0 , f(2) = 0 , f(3) = 2 , f(4) = 6 , f(5) = 12 . Tính f(15)
f) Cho đa thức f(x) = x5 + x4 + ax3 + bx2 + cx + d . Biết f(1) =1 , f(2) = 32 , f(3) = 243 , f(4) = 1024 .
Tìm f(x) ,tính f(10) , f(15) , f(20)
Bài 4 : Tìm m và n để hai đa thức P(x) và Q (x) cùng chia hết cho (x – 3)
P(x) = 4x4– 3x3 + 2x2 – x +2m – 3n
Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n
Bài 5 : Cho đa thứcv P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d có P(1) = 7 , P(2) = 28 ; P(3) = 63 .
P(100) + P(−96)
Tính P=
8

Bài 6: Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết f(1) = 2 ; f(2) = 16 ; f(3) = 54 ; f(4) = 128
f (50) - f (- 45)
Tính giá trị biểu thức M =
665
Bài 7: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx -1
7− 5
a) xác định giá trị hữu tỉ a và b để x =
là nghiệm của đa thức
7+ 5
b) Với a , b tìm được , tìm các nghiệm còn lại của đa thức
Bài 8: Cho P(x) xác định vợi mọi giá trị nguyên của x và P(x2 +1) = x4 + 5x2 + 3
a) Tìm P(x)
b) Tính P(2008) , P(2009) , P(2010)
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) x5 + 2x4 –2x3 – 7x2 – 8x – 4
b) 2x5 + 11x4 – 104x3 – 299x2 + 1614x – 720
c) x4 +5x3 – 19x2 – 125x -150
Bài 10: Khai triển đa thức f(x) = (1 + 2x +3x2)15 ta được đa thức a0 + a1x + a2x2 +…..+a30x30
Tính chính xác giá trị biểu thức E = a0 -2a1 + 4a2 – 8a3+….–536870912 a29 + 1073741824a30
1 7 1 5 7 3 6
x − x + x − x . Chưng minh f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x Z
Bài 11: Cho đa thức f (x) =
210
15
30
35
Bài 12: Cho đa thức P(x) = x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f có giá trị là 3 ; 0 ; 3 ; 12 ; 27 ; 48 khi x nhận
các giá trị 1 ;2 ; 3 ; 4 ; 5 ;6 . Xác định các hệ số của đa thức và tính P(x) khi x nhận các giá trị từ 11
đến 20
13

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

Bài 13 : Cho đa thức P(x)=ax3 +bx2 +cx+d biết P(1)=27;P(2)=125;P(3)=343 và P(4)=735.
a)
Tính P(-1);P(6);P(15);P(2006). ( Lấy kết quả chính xác)
b)
Tìm số dư của phép chia P(x) cho 3x – 5.
Bài 14: Cho đa thức g(x)=8x3 -18x2 +x+6
a) Tìm các nghiệm của đa thức g(x)
b) Tìm các hệ số a, b, c của đa thức bậc ba của f(x)=x3 +ax2 +bx+c, biết rằng khi chia đa thức
g(x) cho đa thức f(x) thì được đa thức dư là r(x)=8x2 +4x+5
c) Tính chính xác f(2010)
Bài 15 : Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Biết f(1) = 27 , f(2) = 125 , f(3) = 343 , f(4) = 735
a) Xác định các hệ số a, b , c , d
b) Tính f(–1) ; f(6) ; f(15) và f(2010)
c) Tìm số dư trong phép chia đa thức f(x) cho 3x – 5 ; 5x + 2 ; 7x – 1
Bài 16: Cho hai đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx – 5 và g(x) = x2 + 2ax – b
Tìm a và b biết f(3) = g(2) và f(2) = g(3)
Bài 17 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x5 + 11x4 – 104x3 – 299x2 + 1614x – 720
b) 24x4 + 74x3 + 35 x2 – 73x – 60

14

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP

GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

PHẦN IV : HỆ THỨC ĐỐI XỨNG
I . CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI :
1- Thế nào là hệ thức đối xứng ?
Biểu thức A = F(x,y) được gọi là hệ thức đối xứng nếu F(x,y) = F(y,x) . Có nghĩa là nếu ta thay đổi vài trò
của x và y thì giá trị của biểu thức không đổi .
VD : Các biểu thức A = x2 + y2 – 4xy , B = x3 + y3 là các hệ thức đối xứng
2- Một số phép biến đổi :
Các phép biến đổi trong việc tính toán giá trị các hệ thức đối xứng dựa trên cơ sở là các hằng đẳng thức đáng
nhớ .
Nếu đặt S = x1 + x2 , P = x1x2 , x1 và x2 là nghiệm của phương trình bậc hai t2 – St + P = 0 (Nếu cần tìm x1
và x2 )
(Điều kiện : S2 – 4P ≥0)
Ta có một số phép biến đổi thường dùng như sau :
a)

x + x2
1
1
S
+
= 1
=
x1 x2
x1 ×x 2
P
2

b) x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) - 2x1 ×x 2 = S2 - 2P
2

2

c) ( x1 - x 2 ) = ( x1 + x 2 ) - 4x1 ×x 2 = S2 - 4P  x1 – x2 =
d)

S2 - 4P

x1 x 2 x12 + x22 S2 - 2P
+
=
=
x2
x1
x1 ×x 2
P

e) x12 - x22 = ( x1 + x 2 ) ×( x1 - x2 ) = S × S2 - 4P
3
3
2
2
2
f). x1 + x 2 = ( x1 + x 2 ) ×( x1 - x1 x 2 + x 2 ) = S(S - 3P)
2

2

2

2

S S2 - 3P ) ù
- 2P 3
g) x16 + x 26 = ( x13 ) + ( x32 ) = ( x13 + x32 ) - 2x13 x32 = é
ê
ú
ë(
û
Ngoài ra còn một số phép biến đổi khác suy ra từ các phép đổi trên ,VD phép biến đổi (g) được suy ra từ (b)
và (f )
B BÀI TẬP
Bài 1 :
Cho x1 + x2 = 5,221 x1.x2 = –3,52 . Hãy tính chính xác đến 0,0001
a) x13 + x32
b) x16 + x 26
Giải : (trên máy Casio fx 570 MS)
 Cài đặt chương trình tính toán với 4 chữ số thập phân : MODE MODE MODE MODE Fix 1 4

5,221 SHIFT STO A

(−) 3,52 SHIFT STO B

a) Tính x13 + x32 ,Ấn tiếp ALPHA A (

ALPHA x 2

− 3 ALPHA B

SHIFT STO C

b) Tính

x16

+ x 26

: Ấn tiếp ALPHA C

x2

− 2 ALPHA B x3

=

Kết quả : 197,4522
Kết quả : 39074,5874

Bài 2 :
Cho a + b = – 5,809 và ab = 8,136364 .(a > b) Hãy tính
a)

1 1
+
a b

;

1
1
1
1
+ 2 ; 3 + 3
2
a
b
a
b

b) a2 + b2 ;(a – b)2 ; a2 – b2 ; a3 + b3 ; a3 – b3 ; a4 + b4 ;a5 + b5 , a5 – b5 a6 + b6 , a8 + b8
HD : a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4) c) A = 3a +5a4– 3b + 4a3 + b3 –4b4
d) B =

15

3a2 + 5ab + 3b2
4ab2 + 4a2 b

e) C = a10 + b10

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

PHẦN V : PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH – bất phương trình
– Máy tính Casio fx 500 MS 570 MS 500ES 570 EScó chức năng giải phương trình bậc hai , bậc ba , hệ

phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn .
– Máy tính VinaCal 570 MS còn có chức năng giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn 4 phương trình .
– Máy Casio 500 VN PLUS còn có chức năng giải bất phương trình bậc 2 – bậc 3
- Các dòng máy 570 còn có thể dung lệnh Solve để tìm một nghiệm gần đúng của phương trình bậc cao .
Tuy nhiện có nhiều bài toán về giải phương trình và hệ phương trình , học sinh cần nắm vững phương pháp
biến đổi , đặt ẩn phụ ….
Bài tập :
Bài 1: a)Giải phương trình a + b 1- x = 1 + a - b 1- x theo a và b
b) cho a = 250204 và b = 260204
Bài 2: Cho x 0 = 1003 + 2005 - 1003 - 2005 là nghiệm của pt x3 + ax2 +bx + 8 = 0 (a,b Î Z)
Tìm a , b và các nghiệm còn lại
Bài 3: Giải phương trình (x2 + 2x ) +6x2 + 12x = 2009
Bài 3: Tìm các nghiệm của pt x4 + 10x3 + 21x2 = 20x + 25
x2 + x - 5
3x
+ 2
+4 = 0
Bài 4: Tìm nghiệm không nguyên của pt sau (chính xác đến 0,001)
x
x +x - 5
Bài 5: Giải phương trình 130307 +140307 1 + x = 1 + 130307 - 140307 1 + x
Bài 6: Giải pt x +178408256 - 26614 x +1332007 + x +178381643 - 26612 x +1332007 = 1
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên dương (x,y) của pt x4 – x2y + y2 = 81001
ìï x
ïï = 3, (70731)
Bài 8: Giải hệ pt í y
ïï 2
2
ïïî x - y = 192807
ìï x 3 + y3 = 14,81328

Bài 9: Giải hệ pt ïí 2
ïï x - xy + y 2 = 4,1148
î
ìï x + 2y
x- y
5
ïï
+
=
ï
x + 2y 2
Bài 10: Giải hệ pt í x - y
ïï
ïïî 3x + 5y = 11
ìï 170
30
ïï 2
+ 2
=2
ïï x + 2y x - 2y
Bài 11 : Giải hệ pt í
ïï 34
15
- 3
- 2
=
ïï 2
ïî x + 2y x - 2y 10
ìï (x + x 2 +1)(y + y 2 +1) = 1
ïï

Bài 12 : Giải hệ pt ïí
ïï y + y + 35 = 0
ïïî
x 2 - 1 12
Giải các phương trình phần nguyên (Cần dùng tới máy Casio 500 VN Plus để giải quyết các bất
phương trình )
Khái niệm : Ký hiệu [ x ] được gọi là phần nguyên của x

[ x ] £ x <[ x ] +1
+ x - 1£ [ x] < x
+

16

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

Bài 13 : Giải phương trình x2 – 2010 [ x ] + 2009 =0
Bài 14 : Giải phương trình x2 – 2011 [ x ] + 2010=0
Bài 15: Giải phương trình x2 – 2010 [ x ] – 2011 =0
Bài 16: Giải phương trình x2 – 2011 [ x ] – 2012 =0
Giải bài 13 : Giải phương trình x2 – 2010 [ x ] + 2009 =0 (*)
Theo đn phần nguyên [ x ] £ x <[ x ] +1
NX : x2 + 2009 = 2010[ x ]  phần nguyên của x dương  x > 0 (**)
Với x > 0 ta có [ x ] ≤ x2 < ([ x ] + 1)2
ìï [x]2 - 2010[x] + 2009 £ 0
ìï [x]2 - 2010[x] + 2009 £ 0 ïì 1 £ [x] £ 2009
ïí

Từ pt (*)  ïí

 ïí
ïï ([x +1]2 - 2010[x] + 2009 > 0 ïï ([x]2 - 2008[x] + 2010 > 0 ïïî [x] £ 1 V [x]>2006
î
î
 [ x]  {1 ; 2007 ; 2008 ; 2009 }
Từ pt (*) kết hợp với (**)  x = 2010[x] - 2009
[x] = 1  x = 1 (nhận)
[x] = 2007  x = 2007,999253 (nhận)
[ x] = 2008  x = 2008,499 689 (nhận)
[x] = 2009  x = 2009 (nhận ) . Vậy pt có 4 nghiệm
Giải bài 15: Giải phương trình x2 – 2010 [ x ] – 2011 =0 (*)
Lý thuyết phần nguyên : x – 1 < [ x] ≤ x
Từ pt(*)  x2 – 2010 x – 2011 ≤ x2 – 2010 [ x ] – 2011 < x2 – 2010(x – 1) – 2011 (**)
Do x2 – 2010 [ x ] – 2011 =0 nên
ïìï x 2 - 2010 - 2011 £ 0 ïïì - 1 £ x £ 2011
Û í
(**)  í 2
ïï x - 2010x - 1 > 0
ïïî x <- 4,97512.10- 4 V x > 2010, 000498
î
 [x]  { –1 ; 2011 ; 2010}
(*)  x = ± 2010[x] + 2011
[x ] = –1  x = –1 (nhận)
[ x ] = 2010  x = 2010,500187 (nhận)
[x ] = 2011  x = 2011 (nhận) . Vậy pt có 3 nghiệm
Bài 17: Tìm các số tự nhiên x sao cho tích các chữ số của nó bằng x2 – 2005 + 11680
(Đề dự bị QG năm 2005)
Bài 18: Cho a và b là hai số tự nhiên . Khi chia a2 + b2 cho a + b được thương là q và dư là r

Tìm các cặp số (a , b) sao cho q2 + r = 2005 (Đề dự bị QG năm 2005)
Hai bài 17 và 18 là hai bài số học , nhưng để giải nó cần tới chức năng giải bất phương trình bậc 2 của máy
tính Casio 500VN Plus nên được đưa vào phần Phương trinh – Bất phương trình

17

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

PHẦN V : SỐ HỌC
I PHÉP CHIA HẾT – PHÉP CHIA CÓ DƯ
Kỹ thuật tìm số dư trong phép chia hai số tự nhiên bằng máy tính CASIO fx 500MS
a) Trương hợp số chia có từ 10 chữ số trở lại
Nguyên tắc : Số dư của A chia B bằng A – B .[phần nguyên của A:B]
VD : Tìm số dư của 987654321 : 12345
Ghi vào màn hình 987654321 ¸ 12345 và ấn = (Kết quả : 80004,40024)
Đưa con trỏ lên màn hình biểu thức sử dấu ¸ thành dấu - và nhập tiếp ´ 80004 = → Số dư 4941
(Màn hình biểu thức hiển thị : 987654321 - 12345 ´ 80004 )
b) Trường hợp số chia có nhiều hơn 10 chữ số
Bước 1 : Cắt thành nhóm đầu có 9 chữ số (kể từ bên trái ) và tìm số dư như phần (a)
Bước 2: Viết tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa 9 chữ số) rồi tìm số dư lần 2 (nếu còn nữa thì tính liên tiếp
như trên)
VD : Tìm số dư trong phép chia 98765432188766 : 12345
Bước 1: tìm số dư của 987654321 : 12345 (đã có dư là 4941 )
Bước 2: Tìm số dư của 494188766: 12345 (làm như phần a) được số dư là 6071
Kết luận : Dư trong phép chia 98765432188766 : 12345 là 6071
II TÌM ƯCLN , BCNN CỦA HAI HAY NHIỀU SỐ
1) Thuật giải :

Do máy có cài sẵn chương trình rút gọn phân số nên ta có thuất toán tìm ƯCLN , BCNN của hai số A , B
như sau :
A a
= (tối giản)  ƯCLN (A , B) = A : a và BCNN(A,B) = A .b
B b

2) Bài tập:
Bài 1: Tìm ƯCLN và BCNN của hai số 1545489742 và 3828909209
2042
Nhập : 1545489742 ab / c 3828909209 = Kết quả :
5059

ƯCLN(1545489742 ; 3828909209) = 1545489742 : 2042 = 756851
BCNN(1545489742 ; 3828909209) = 1545489742 . 5059 Với phép tính này sẽ xảy ra sự cố “tràn màn hình
”.
Ta làm như sau :
• Nhập 1545489742 ´ 5059 = Kq : 7,818632605 . 1012 (Kết quả này cho biết 9 số đầu và kết quả có 13
chữ số)
→ Ghi kết quả 781863260 (vì số 5 chưa chắc chính xác) .
• Đưa con trỏ lên màn hình biểu thức xóa số 15 (Hiển thị : 45489742 ´ 5059 ) kq: 2,301325048 . 1011
(Mục tiêu là tìm độ chính xác của những chữ số cuối )
→ Ghi tiếp kết quả 7818632604 (vì số 8 chưa chắc đã chính xác)
• Xóa tiếp số 4 đầu tiên trên màn hình biểu thức (Hiển thị : 5489742 ´ 5059 ) kq : 2,777260478. 1010
→ Ghi tiếp kết quả 78186326047 (vì số 8 chưa chắc đã chính xác)
• Xóa tiếp số 5 đầu tiên trên màn hình biểu thức (Hiển thị : 489742 ´ 5059 ) kq 2477604778
→ Ghi tiếp kết quả 7818632604778
Vậy BCNN(1545489742 ; 3828909209) = 7818632604778
Trong trường khi nhập phân số

A

mà kết quả không là một phân số tối giản do tử và mẫu của phân số rút
B

gọn có nhiều chữ số , kết quả trên màn hình là số thập phân .Để tìm ƯCLN ta dùng thuật toán Euclid
III . THUẬT TOÁN EUCLIDE TIM ƯCLN CỦA HAI SỐ
Thuật toán Euclide về tim ƯCLN cua hai số tự nhiên a và b ( a > b)
Ta có a = b.q + r
18

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

 ƯCLN(a , b) = ƯCLN (b , r)
Tiếp tục : b = r.q1 + r1 (0 ≤ r1 < r)
 ƯCLN (b , r) = ƯCLN (r , r1 )
…… Qui trình tiếp tục cho đế khi tìm được dư cuối cùng bằng 0  số này là ước của số kia
Lúc này ƯCLN của a và b chính là số chia cuối cùng
VD : Tìm ƯCLN(135,105) bằng thuật toán Euclide
Ấn : 105 SHIFT STO A 135: ALPHA A = –1 = × ALPHA A SHIFT STO B ALPHA A :
ALPHA B

= –3 = × ALPHA B SHIFT STO C ALPHA B : ALPHA

C

= (2) .Dư cuôi cùng

bằng 0 , số chia cuối cùng nhớ trong C là 15 ƯCLN (105,135)=15

Trong thực tế , sau khi tìm đước số dư r , thay vì máy móc thực hiện thuật toán Euclid như VD trên , ta nên
quay về cách tìm ƯCLN (b ; r) theo cách ở mục I .
Bài tập :
Bài 1 : Tìm ƯCLN và BCNN của hai số a và b
a) a = 345621440 ; b = 234540
b) a = 192919385 và b = 204995305 .
c) a = 480480090 ; b = 256256048
d) a = 2029745404 ; b = 314873978
Bài 2 : Tìm ƯCLN (a ,b ,c) với a = 5 621 630 802

, b = 200 350 214 và c = 757 481 361

IV ĐỒNG DƯ THỨC
1 . Định nghĩa
Cho số nguyên p > 0 . Nếu hai số nguyên a và b cho cùng một số dư khi chia cho p thì ta nói a đồng dư với b
theo môđun p . Ký hiệu a ≡ b (mod p)
VD :
 201 chia 2 dư 1; 191 chia 2 dư 1  201 ≡ 191 (mod 2)
 2005 chia 1967 dư 14 ; 14 chia 1967 thương là 0 và dư 14  2005 ≡ 14 (mod 1967 ) (Rất quan trọng để
giải toán)
 987654321 ≡ 4941 (mod 12345)
2 Tính chất :
ïì a º m(mod p)

Þ a ´ b º m ´ n (mod p)
Tính chất 1 ïíï
ïî b º n(mod p)
Tính chất 2 : a ≡ b (mod p)  an ≡ bn (mod p)
Tính chất 3: a ≡b (modp)  na ≡nb (mod p)
Hiển nhiên a ≡b (mod p), b≡c(mod p)  a ≡ c (mod p)

Ngoài ra còn một số tính chất khác nhưng chưa cần sử dụng trong loạt bài tập này

Bài tập :
Bài 1 : Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975
Bài 2 : Tìm chữ số hàng chục của số 232005
Bài 3 : Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng A = 22001 + 22002 + 22003
Giải :
Bài toán này được đưa về bài toán tìm số dư trong phép chia A cho 100 . Phải thực hiện giải thuật
sau :
A = 22001 (1 + 2 + 22) = 7.22001
22001 = 22000.2 = [(225)4]20.2
•225 ≡ 32 (mod 100)
(Chú giải :225 = 33554432 , khi chia cho 100 dư là 32- Tất nhiên 32 chia 100 cũng dư
32)
19

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

(225)4 ≡ 324 ≡ 76 (mod 100) hay 2100 ≡ 76 (mod 100) (áp dụng tính chất 1)
• (2100)4 ≡ 764 ≡ 76 (mod 100)
(Chú giải : 764 = 33362176 nên 764≡ 76 (mod 100) )
400
Hay 2 ≡ 76 (mod 100)
 (2400)5 ≡ 765 ≡ 76 (mod 100) (Chú giải : 755 = 2535525376)
Hay 22000 ≡ 76(mod100)  2.22000 ≡ 2 . 76 (mod 100) ( tính chất 3)
 22001 ≡ 152 ≡ 52 (mod 100)  7. 22001 ≡ 7. 52 = 364 ≡ 64 (mod 100) .
Vậy 2 chữ số cuối cùng của tổng A là 64

Bài 4 : Tìm số dư trong phép chia 20032005 cho 2007 :
Giải :
 20032 ≡ 16 (mod 2007)
 (20032)5 = 200310 ≡ 165 ≡ 922 (mod 2007)
 200320 ≡ 9222 ≡ 1123 (mod 2007)
 200340 ≡ 1123 2 ≡ 733 (mod 2007)
 200320 . 200340 ≡ 1123 . 733 ≡ 289 (mod 2007)
hay 200360 ≡ 289 (mod 2007)
tương tự 2003100 ≡ 289 . 733 ≡ 1102 (mod 2007)
 2003200 ≡ 11022 ≡ 169 (mod2007)
 2003800 ≡ 1694 ≡ 1627 (mod 2007)
 20031000≡ 1627 . 169 ≡ 4 (mod 2007)
 20032000 ≡ 42 = 16 (mod 2007)
Măt khác ta có thể tìm được 20035 ≡ 983 (mod 2007)
Nên 20032005 ≡ 16 . 983 = 15728 ≡ 1679 (mod 7)
Bài 5: Tìm :
a)
3 chữ số cuối của tổng B = 32004+32005+32006
b)
4 Chữ số cuối tổng C = 52009 + 52010 + 52011
c)
4 chữ số cuối của 19962010
Bài 6: Tìm số dư khi chia 2009.2010.2011.2012 cho 2012.2013
Bài 7: Cho A = 21 + 22 + 23 + ….+ 22010 . Tìm số dư khi chia A cho 2011
Định lý Fermat :
Nếu p là một số nguyên tố thì ta có : ap ≡ a (mod p)
Đặc biệt nếu (a , p) = 1 thì ap – 1 ≡ 1 (mod p)
Bài 8: Tìm chữ số thập phân thứ 2009 sau dấu phẩy của phép chia 1 cho 23.
Giải bằng máy tính Casio fx-500MS
Tính bằng máy 1÷23=0.04347826

Ghi lại 1÷23=0.0434782
Tính 1×10^7-23×434782=14
Tính 14÷23=0.608695652
Ghi lại 1÷23=0.043478260869565
Tính 14×10^8-23×60869565=5
Tính 5÷23=0.217391304
Ghi lại 1÷23=0.0434782608695652173913
Tính 5×10^7-23×2173913=1
Đến đây ta suy ra: 1÷23=0.(0434782608695652173913) (có 22 chữ số ở phần thập phân)
Ta lại có: 2009≡7 (mod 22)
 chữ số thứ 2009 của phép chia bằng chữ số thứ 7 ở phần tuần hoàn
 chữ số cần tìm là 2.
20

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

Lời bình: Bài toán này trước kia dùng máy tính Casio FX 500- 570 MS , ES , việc tìm ra chu kỳ số
thập phân vô hạn tuần hoàn tốn nhiều thời gian , từ khi có máy tính Casio 500 Vn Plus , việc giải bài toán
này hết sức đơn giản vì dòng máy này cho ra chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn .
V MỘT DẠNG TOÁN KHÁC
Bài 1 : Tìm hai số tự nhiên a và b thỏa 20103 = a2 – b2
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a và b thỏa 20113 = a2 – b2
A
= a 2 + b2
2
Bài 4: Cho a = 1232 + 3452 , b = 5672 + 6782 . Tìm một cặp số tự nhiên m, n sao cho ab = m2 + n2
(4 bài trên được trích từ Chuyên đề cấp Tỉnh Giải toán trên MT Casio của gv Trương Công Cường –

Trường THCS Lê Lợi –Di linh – Lâm Đồng . )
Bài 5: Tính tổng các chữ số của A2 biết A = 999999….98 (2007 chữ số 9)
Bài 3: Cho A = 34562 + 12342 . Tìm một cặp số tự nhiên a , b sao cho

Bài 6: Tìm các số nguyên dương m,n,p biết 2m + 2n + 2p = 557120
Bài 7: Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 12 chữ số, biết rằng khi chia M cho các số 1256; 3568 và 4184 đều
được số dư là 973.
Bài 8: Cho tổng S = 30 + 31 + 32 + 33 +….. + 330
Tìm chữ số tận cùng của S . S có là số chính phương hay không ?
Bài 9: Một tập hợp các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 được viết lên bảng. Nếu người ta xóa đi một số thì
602
trung bình cộng của các số còn lại bằng
.Tìm số đã bị xóa.
17
Bài 10: Người ta bán 2 con trâu, 5 con cừu để mua 13 con lợn thì còn thừa 1000 đồng . Đem bán 3 con trâu ,
3 con lợn rồi mua 9 con cừu thì vửa đủ . Còn nếu bán 6 con cừu , 8 con lợn để mua 5 con trâu thì còn
thiếu 500 đồng . Hỏi mỗi con cừu , con trâu , con lợn giá bao nhiêu ?
Bài 11: Cho số tự nhiên n(1010≤n≤2010) sao cho an = 20203+21n cũng là số tự nhiên.

a) Khi ấy an phải nằm trong khoảng nào?
b) Chứng minh rằng an chỉ có thể là một trong các dạng sau:
an=7k+1 hoặc an=7k-1 k ∈ N
c) Tìm các số tự nhiên n(1010≤n≤2010) sao cho an = 20203+21n cũng là số tự nhiên.
Bài 12 : Cho A = 300300
A có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0 ?
Hãi chữ số khác 0 kề trước chữ số 0 là 2 chữ số nào ?
A có bao nhiêu chữ số ?
Bài 13 : Tìm các số tự nhiên n (50 000≤ n ≤ 100 000) sao cho với mỗi số đó thì an = 3 2290 + 7n cũng là số
tự nhiên
Bài 14: Tìm số a có 6 chữ số khác nhau và khác 0 , biết rằng 2a , 3a , 4a , 5a , 6a cũng tạo thành từ chính các

chữ số đó .
Bài 15: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà khi đem nhân với 333667 ta được một số biễu diễn bằng các chữ số 5
Bài 16: Phân tích 7110 + 442 221 thành bình phương của một tổng
Bài 17: Tìm các chữ số a , b sao cho 917a30b4 chia hết cho 2009 và 4
Bài 18: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 6 chữ số biết rằng khi chia n cho 15 và 17 có số dư lần lượt là 7 và 5
Bài 19: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố : 252633033 và 8863701824
Bài 20: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m , n) có 3 chữ số thỏa mãn 2 điều kiện sau:
– Hai chữ số của m cũng là hai chữ số của nở vị trí tương ứng ; chữ số còn lại của m nhỏ
hơn chữ số của n đúng 1 đơn vị.
– Cả hai số m và n đều là số chính phương
21

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

Bài 21 :
A=

329
=
1051

a) Tìm a , b biết :

1
1

3+

1

5+

a+
1719
=
3976

b) Tìm a , b biết : B =

1

1
b

1

2+

1

3+

1

5+

a+

C=

c) Tìm a , b , c biết :

463
=3 +
137

1

1
b

3

2+
4+

5
a+

b
c

và

b
là phân số tối giản
c

Bài 22:
a) Tính tổng các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 10000 đến 100000
b) Tính tổng các số vùa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 trong khoảng từ 10000 đến 100000
c) Tính tổng các số chia hết cho 6 trong khoảng từ 10000 đến 100000
d) Tính tổng các số chia hết cho 35 trong khoảng từ 10000 đến 100000
Bài 23: Tìm số chữ số của 20082008
Bài 24: Số 2,0092009 có bao nhiêu chữ số , trong đó bao nhiêu chữ số ở phần nguyên ? phần thập phân
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHÉP ĐẾM
(Xem thêm về qui tắc công và qui tắc nhân trang 160 sách Giải tích lớp 12 )
Bài 1 : Thầy có 3 loại sách 3 Toán , 6 Lý và 4 Hóa . Thấy muốn xếp các quyển sách lên cùng một kệ và các
loại sạch cùng loại phải gần nhau . Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Bài 2 : Lớp 9A có 44 học sinh , chon 3 em để làm cán sự lớp : 1 LT , 1LPHT , 1LPLĐ . Có bao nhiêu cách
chọn ?
Bài 3 : Cho các số 1,2,3,4,5 .
a) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau ?
b) Lập được bao nhêu chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 ?
Bài 4 Cho các số 0,1,2,3,4,5 có mấy cách lập :
a) Các số có 4 chữ số đôi một khác nhau
b) Các số có 4 chữ số đôi một khác nhau mà chia hết cho 2

22

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS

PHN VI : DY S - CễNG THC TRUY HI
Vỡ lý do s phm - õy khụng nh ngha dóy s l gỡ , nhng thụng qua cỏc vớ d v dóy s Fibonaco , hc
sinh nm c khỏi nim v dóy s .

Dóy s v thit lp cụng thc truy hi ca dóy t cỏc s hng u tiờn v cụng thc s hng th n ca dóy s
l bi toỏn kinh in ca gii toỏn trờn mỏy tớnh cm tay .
1. Dóy Fibonaci
Cho dóy s : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21..
Nhn xột gỡ v dóy s trờn ?
S hng th nht ca dóy ký hiu U1 = 1
S hng th hai ca dóy ký hiu U2 = 1
Ta thy ngoi hai s hng õu tiờn U1 = 1 v U2 = 1 , s hng th 3 : U3 = U1 + U2 = 1 + 1 = 2
Tng t : U4 = U2 + U3 = 1 + 2 = 3
.
Cụng thc Un+1 = Un-1 + Un c gi l cụng thc truy hi ca dóy s trờn .
Phng trỡnh l 2 = l +1 l 2 - l - 1 = 0 c gi l phng trỡnh c trng ca dóy
(phng trỡnh sai phõn )
Phn ny khi hc sinh i thi cp QG mi núi rừ chi tit v phng trỡnh c trng núi chung rt khú .
T phng trỡnh sai phõn trờn ngi ta tỡm c cụng thc s hng th n ca dóy Fibonaci :
n

n

ổ
ổ
1+ 5 ử
1- 5 ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ ố
ữ , mt biu thc cha cn cng knh nhng vi mi n ẻ N u cho ra mt giỏ
ỗ
ỗ 2 ứ
ố 2 ứ
Un =
5
tr Un tng ng l mt s nguyờn
Qua dóy Fibonaci , hS phn no hiu c khỏi nim dóy s , s hng ca dóy , cụng thc tng quỏt v s
hng th n ca dóy s v cụng thc truy hi .
2. Mt s bi tp v dóy s .

( 5 + 7) ( 5 7)
=
n

Bi 1. Cho dóy s U
n

n

vi n = 0,1,2,3. .

2 7

a) Tớnh U0 , U1 , U2 , U3 , U4
b) Lp cụng thc truy hi tớnh Un+2 theo Un v Un+1 v chng minh cụng thc ú
c) Vit qui trỡnh n phớm liờn tc trờn mỏy tớnh CASIO FX 500MS tớnh Un+2 theo Un v Un+1
Gii :
a) D dng tớnh c U0 = 0 , U1 = 1 , U2 =10, U3= 82 , U4 = 640
b) Gi cụng thc tớnh Un+2 theo Un+1 v Un l Un+2 = aUn+1 + bUn + c . Ta cú :
U2 = aU1 + bU0 + c 10 = a. 1 + b . 0 + c
U3 = aU2 + b U1 + c 82 = a.10 + b.1 + c
U4 = aU3 + bU2 + c 640 = a. 82 + b. 10 + c
a + 0b + c = 10

Ta cú h phng trỡnh sau : 10a + b + c = 82
82a + 10b + c = 640


Chn chng trỡnh gii phng trỡnh bc nht 3 n v nhp cỏc h s vo mỏy gii ta c :
(x = 10 , y = 18 , z = 0 ) hay a = 10 , b = 18 , c = 0
T ú ta cú cụng thc truy hi tớnh Un+2 theo Un+1 v Un nh sau :
Un+2 = 10Un+1 18Un
Chhng minh cụng thc :

t an =

( 5 + 7)
2 7

n

bn

5 7)
= (

n

2 7

Un = an bn
23

GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP


GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS

Un+1 = (5+ 7)an − (5 − 7)bn

(

U n +2 = 5 + 7

)

2

(

an − 5 − 7

)

2

bn

= (32 + 10 7)an − (50 − 10 7)b n
= (50 + 10 7)an − (50 − 10 7)b n − 18(a n − b n )
= 10(5 + 7)an − 10(5 − 7)b n − 18(a n − b n )
= 10 (5 + 7)an − (5 − 7)b n  − 18(a n − b n )
= 10U n +1 − 18U n

(Phần này có nhiều cách chưng minh khác nhau)
c ) Viết qui trình ấn phím :
Có nhiều cách viết qui trình ấn phím cho nên nên tùy theo học sinh sử dụng dòng máy nào , giáo viên
hương dẫn học sinh cách ấn phím theo dòng máy đó . Tuy nhiên cách bấm phím liên tục trên máy
CASIO fx 570 MS (nếu ES thì nhớ phím Calc) kết hợp với bộ đếm là ngắn gọn và hiên đại nhất .
Bài 2:
n

n

3+ 5  3− 5 
+
− 2 với n = 0 ,1 ,2 ,3 ….
Cho dãy số U n = 
÷
÷
÷ 
÷
 2   2 

a) Tính 5 số hạng đầu U0 ,U1 , U2 , U 3 , U4
b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un–1
c) Lập qui trình ấn phím liên tục tính Un+1 trên máy tính CASIO
Bài 3 :
2n
2n
æ 5 + 1ö
æ 5 - 1ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
+ç
Cho dãy số Un = ç
Với n = 1,2,3.....
÷
÷
ç
ç
÷ è
÷
ç
ç 2 ø
è 2 ø

a) Tính U1 , U2 ....U5
b) Thiết lập công thức truy hồi tính Un +2 theo Un+1 và Un

c) Viết qui trình ấn phím liên tục trên máy tính CASIO FX 500MS để tính Un+2 theo Un và Un
Bài 4: Cho U1 = 2 ; U2 = 5 ; Un+1 = 4Un + Un–1 . Tính U10
Bài 5: Cho dãy số xác định bởi công thức x n +1 =

4x 2n + 5
x 2n + 1

nN , n ≥1

a) Biết x1 = 0,25 . Viết qui trình ấn phím liên tục để tính được các giá trị của xn
b) Tính x100
Giải : a) Ta có : x n +1 =

4x 2n + 5
x +1
2
n

=

4x 2n + 4
x +1
2
n

+

1
1
=4+ 2

x +1
xn + 1
2
n

Khai báo x1 = 0, 25 (tự động gán vào vào ô nhớ Ans )
Ấn tiếp 4 +

( 1 ÷

(

Ans

x2

+ 1 )

= và bấm = liên tục

b) Sau 7 lần bấm phím = được kết quả x7 = x8 = x9 = 4,057269071 (dãy dừng )
 Kết luận x100 = 4,057269071
Bài 6: Cho dãy số xn+1 =

34n + 10
x 4n + 3

. Tính x 5 ; x100 biết x1 = 1,25

Bài 7: a) Cho dãy số sau :

x1 = 2 ; x 2 = 2 + 2 ; x3 = 2 + 2 + 2

.... x n = 2 + 2 + ....... 2 . Tính x50
1 4 44 2 4 4 43
n laàn

b) Cho dãy số :
x1 = 3 ; x 2 = 3 + 3 ; x 3 = 3 + 3 + 3 .... x n = 3 + 3 + ....... 3 . Tính x100
1 4 44 2 4 4 43
n laàn

24

GV : LÂM NGUYÊN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP


GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS

c) Cho dóy s x1 = 5 ; x2 = 5 + 5 ; x 3 = 5 + 5 + 5 .... . Vit cụng thc tng quỏt tớnh xn+1 .
Tớnh x10 ; x50

2005
(n ẻ N*) . Tỡm s hng nh nht ca dóy .
n2
n n 2005
n n 2005
2005
Gii : U n = + + 2 3 3 . . 2 = 3 3
( Bt ng thc Cauchy cho 3 s khụng õm)
2 2

2 2 n
4
n
n n 2005
2005
Un 3 3
. Du = xy ra khi = = 2 hay n3 = 2005.2 n = 3 4010 ; 15,887
2 2
4
n

Bi 8: Cho dóy s U n = n +

Vy n cú th bng 15 hoc 16 .
Kim tra vi n = 14 , n = 15 , n = 16 , n =17 (Vỡ cú kh nng dóy ang gim ri li tnglờn )
Vi n = 14 Un 24,22959184
Vi n = 15 Un 23,91111111
Vi n = 16 , Un 23,83203125
Vi n = 17 , Un 23, 93771626
Vy U16 l s hng nh nht cn tỡm
n
ổ
ổ 1 ử
8 5 - 15 ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ

Bi 9: Cho dóy s Un c xỏc nh bi cụng thc {Un} = ỗ
ữ
ữỗ
ỗ
ữỗ
ữ
ỗ
ố 5 - 2ứ
ố 10 ứ

n
ổ
ổ- 1 ử
8 5 + 15 ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ 5 + 2ứ
ữố
ữ
ỗ 10
ố

ứ

Hóy thit lp cụng thc truy hi Tớnh Un+2 theo Un+1 v Un .
Vit qui trỡnh n phớm liờn tc tớnh U15
Bi 10: Cho phng trỡnh bc hai x2 6x + 2 = 0 . Gi x1 x2 l hai nghim ca phng trỡnh .
n
n
t Un = x1 + x 2 . Hóy thit lp cụng thc truy hi tớnh Un+2 theo Un+1 v Un
ỡù U1 = 0, 20092010
ùù
U n- 1
Bi 11: Cho dóy s Un xỏc nh bi cụng thc : ớ
ùù U n =
1- U n- 1
ùùợ
Tớnh U2010 chớnh xỏc vi 13 ch s thp phõn
11
Bi 12: Cho dóy s Un xỏc nh bi cụng thc Un = .2n - 2n - 8 .
2
Xỏc lp cụng thc truy hi tớnh Un+2 theo Un+1 v Un
Bi 13: Cho dóy s sp th t U1 ; U2 ; U3 . Un-1 ; Un ; Un+1
Bit U5 = 588 , U6 = 1084 v cụng thc truy hi Un+1 = 3Un 2Un-1 . Tớnh U1 ; U2 : U3 ; U4 v U20
Bi 14: Cho dóy s Un xỏc nh bi cụng thc truy hi Un+1 = 5Un 2 Un-1
Bit U5 = 407 ; U6 = 1857 . Tớnh U1 ; U2 ;U15 ; U16

Bi 15: Cho dóy s : U =
n

(

) (
n

9- 11 - 9+ 11

)

n

vi n = 0; 1; 2; 3;

2 11

a. Tớnh 5 s hng U0; U1; U2; U3 ; U4 .
b. Trỡnh by cỏch tỡm cụng thc truy hi Un+2 theo Un+1 v Un .
c. Vit quy trỡnh n phớm liờn tc tớnh Un+2 theo Un+1 v Un . T ú tớnh U5 v U10
( thi gii Toỏn trờn mỏy tớnh cm tay cp Quc gia ln th 10 nm 2010- cp THCS)
Bi 16: Cho dóy s Un , bit U1 = 1 , U2 = 6 v cụng thc truy hi Un+2 = 6Un+1 7Un .
Xỏc nh cụng thc tng quỏt ca s hng th n
Bi 17: Cho dóy s Un c xỏc nh bi cụng thc truy hi : Un+1 = 7Un-1 6Un - 2 (n 3, n N )
25

GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP