Bài soạn: Công thức lượng giác lớp 10

Ngày soạn:
Ngày dạy:
Lớp dạy: 10A

Sinh viên:
Giáo viên hướng dẫn:
§ 3. Công thức lượng giác (tiết 1)

−

−

−
−
−

I/ Mục tiêu:
Qua bài học sinh cần nắm được:
1. Về kiến thức:
Nắm vững các công thức lượng giác: Công thức cộng, công thức nhân đôi
Hiểu công thức sin, côsin, tang và côtang của tổng, hiệu hai góc.
Từ công thức cộng suy ra công thức nhân đôi.
2. Về kĩ năng:
Vận dụng công thức tính sin, cosin, tan, cotan của tổng, hiệu 2 góc, công thức góc nhân đôi để giải
các bài toán như tính giá trị lượng giác của 1 góc, rút gọn những biểu thức lượng giác đơn giản, và
chứng minh một số đẳng thức.
3. Về tư duy, thái độ
a) Tư duy:
Phát triển tư duy logic và thuật toán trong quá trình giải bài tập lượng giác
Từ công thức cộng, công thức nhân đôi biến đổi thêm một số công thức khác.
HS biết liên hệ kiến thức, tích cực chủ động trong học tập, biết nhận xét, đánh giá và tự đánh giá bài

làm


−

−
−

HS thấy được quan hệ mật thiết giữa toán học và đời sống, toán học bắt nguồn từ nhu cầu đời sống
b) Thái độ:
Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực trong học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động nhóm.
HS có thái độ học tập đúng đắn, rèn tính kiên trì, chịu khó và khoa học khi làm bài tập về lượng giác
4. Năng lực cần hình thành cho học sinh:
Năng lực tính toán, năng lực tự giải quyết vấn đề, năng lực hợp tác nhóm, năng lực giao tiếp,
năng lực sử dụng ngôn ngữ
II/ Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa, phấn bảng, máy tính, máy chiếu, phiếu bài tập, ví dụ, câu
hỏi, hướng dẫn bài tập
2. Học sinh: SGK, vở ghi, ôn lại kiến thức về giá trị lượng giác, xem trước bài mới
III/ Phương pháp dạy học
Thuyết trình, gợi mở vấn đáp, giải quyết vấn đề, dạy học hợp tác, hoạt động nhóm, ghép đôi
IV/ Tiến trình bài học:
1. Ổn định tổ chức(1’)
2. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi 1: Các em đã học giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt nào?
TL: Cung đối, cung bù, hơn kém , phụ nhau


Câu hỏi 2: Điền vào chỗ trống:

cos(−α ) = .................
π
cos( − α ) = ....................
2
tan(π − α ) = ....................

sin( −α ) = ................
( cos α ;
π
cot( − α ) = ................. ( sin α ;
2
cos(π + α ) = ................... ( − tan α ;

− sin α )

tan α )

− cos α )

o
o
o
cos
90
;cos
60
;cos
30
Câu hỏi 2: Tính

cos 90o = 0;

1
cos 60o = ;
2

cos 30o =

3
2

3. Bài mới:
o
o
o
Đặt vấn đề: cos 90 có bằng cos 60 + cos 30 không? Trong TH tổng quát, cos( a + b) có liên quan

đến cos a + cos b không?
Năng lực hình
thành cho HS

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Hoạt động 1. Công thức cộng
GV - Đưa ra các công thức
cộng
+ Thừa nhận công thức đầu.
+ Đưa ra cách cm CT (2), (3)

Ghi bảng/ Trình chiếu
I/ Công thức cộng


cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b(1)

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b(2)
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b(3)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b(4)

 H1.
Năng lực hoạt Hoạt động ghép đôi, 2
động nhóm
bạn/nhóm thảo luận câu hỏi.
(ghép đôi)
Dãy bên trái làm H1, dãy bên
Năng lực giải phải làm H2(3’)
quyết vấn đề
H1? Từ CT(1), nếu cô thay b
= (-b) thì ta sẽ được CT như
thế nào?
H2? Để xây dựng được CT(3),
chúng ta biến đổi như thế nào
để có thể vận dụng CT(1)?
GV: HD HS
+ Thay b bằng (-b) vào CT (1),
sử dụng giá trị lượng giác 2
cung đối nhau để đc CT (2)
+ Áp dụng GTLG của 2 cung

phụ nhau để biến đổi (3) về

tan a − tan b
(5)
1 + tan a tan b
tan a + tan b
tan(a + b) =
(6)
1 − tan a tan b
tan(a − b) =

- HS thảo luận
- Trình bày kq hoạt
động nhóm
1. Thay b bằng (-b) vào
CT (1); sử dụng giá trị
lượng giác 2 cung đối
nhau ta đc CT (2);
2. Áp dụng GTLG của
2 cung phụ nhau để
biến đổi (3) về dạng
CT(1)
- HS nhận xét

cos[a − (−b)] = cos( a + b)
= cos a cos(−b) + sin a sin(−b)
= cos a cos b − sin a sin b
⇒ (2) cos(a + b)
= cos a cos b − sin a sin b
(3)

dạng CT(1)
GV: Nhận xét
Năng lực hoạt
động nhóm
Năng lực sử
dụng
ngôn
ngữ

 HĐ1(sgk). (5’) Dựa vào
cách chứng minh công thức (2)
và (3), chứng minh công thức
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin(a + b) = cos[

HS:
+ Thảo luận nhóm
sin(a + b) = sin[a − (−b)]

π
= cos[( − a) − b]
2
π
π
= cos( − a) cos b + sin( − a) sin b
2
2

= sin a cos b + cos a sin b

= sin a cos(−b) − cos a sin(−b)
= sin a cos b + cosa sin b

- Mỗi bàn là một nhóm, cả lớp
+ Trình bày
tiến hành thảo luận và trình
+ Nhận xét
bày kết quả. Thời gian thảo
luận: 3’
Hướng dẫn: Biểu diễn công
thức sin(a+b) về dạng công
thức sin(a-b) đã biết.
- GV nhận xét, đưa cách
chứng minh
sin(a + b) = sin[ a − (−b)]
= sin a cos( −b) − cos a sin(−b)
= sin a cos b + cosa sin b
Đưa ví dụ để hs kiểm tra:

π
− (a + b)]
2

HS: phân tích

sin(a + b) = sin[a − (−b)]
= sin a cos(−b) − cos a sin(−b)
= sin a cos b + cosa sin b

Ví dụ.


Năng lực giao  H2. Tính sin750?
75o = 45o + 30o
tiếp
Hỏi: 750 phân tích được thành HS: áp dụng CT(4)
Năng lực tính tổng hay hiệu của các góc đặc
toán
biệt nào?
- Hướng dẫn học sinh áp dụng
CT sin của tổng
- GV trình bày mẫu

sin750 = sin ( 450 + 300 )
= sin 450 cos300 + cos 450 sin300
2 3
2 1
.
+
.
2 2
2 2
6+ 2
=
4
=

Trình bày bảng

 Bài tập áp dụng
a) Tính
Năng lực giải b) Chứng minh
quyết vấn đề
π
1 − tan a
tan( − a ) =
4
1 + tan a
Năng lực tính
Hướng dẫn:
toán
a) GV hướng dẫn học sinh đưa

HS làm bài độc lập
1 HS lên bảng làm a)

π
π π
) = cos( − )
12
4 3
π
π
π
π
= cos cos + sin sin
4
3
4

3
2 1
2 3
=
. +
.
2 2 2 2
−π
2+ 6
12 về tổng/hiệu của các góc =
4
π π π
= −
( 12 4 3 ).
−

đặc biệt
dụng công thức tính toán

a)

cos(−

cos(−

b) HS theo hướng dẫn
Áp của GV

π
π π

) = cos( − )
12
4 3
π
π
π
π
= cos cos + sin sin
4
3
4
3
2 1
2 3
=
. +
.
2 2 2 2
2+ 6
=
4

b)

π
− tan a
π
4
tan( − a ) =
π

4
1 + tan tan a
4
tan


- Gọi 1 HS lên bảng làm
π
tan( − a)
4
- HS nhận xét,
π
GV đưa kết quả đối chiếu
tan − tan a
4
b) Hỏi: Các em sử dụng công =
π
1
+
tan
tan a
thức nào để khai triển
4
π
tan( − a )
4

- GV đưa kết quả

GV Đưa ra mẹo nhớ công

thức cộng cho HS
“Sin thời sin cos, cos sin
Cos thời cos cos, sin sin, dấu
trừ”
“Tan tổng thì lấy tổng tan
Chia 1 trừ với tích tan dễ òm”
Hoạt động 2. Công thức nhân đôi và công thức hạ bậc
GV: Trong công thức cộng,

HS:

II/ Công thức nhân đôi


Bây giờ cô thay b=a vào CT
(1) thì ta được công thức nào?
GV: Đây chính là CTLG cơ
bản là chúng ta đã học ở bài
trước.
Tương tự như vậy, chúng ta
thay b = a vào các CT (2), (4),
(6) để xem cta được CT mới
ntn nhé.

cos(a − a ) = cos 0
= 1 = cos 2 a + sin 2 a

cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
sin 2a = 2sin a cos a
tan 2a =

cos(a + a ) = cos(2a )

tan 2a
1 − tan 2 a

= cos a cos a − sin a sin a
= cos 2 a − sin 2 a
sin(a + a) = sin(2a)
= sin a cos a + cos a sin a
= 2sin a cos a

tan( a + a) = tan(2 a)
tan a + tan a
1 − tan a tan a
2 tan a
=
1 − tan 2 a
=

1) cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
= cos 2 a − (1 − cos 2 a)
= 2 cos 2 a − 1
⇒ cos 2 a =

- GV nhận xét, đưa ra kết luận
Những công thức trên gọi là
công thức nhân đôi với sin,

1 + cos 2a

2


cos, tan

2) cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
= (1 − sin 2 a ) − sin 2 a

 Hoạt động nhóm
Năng lực hoạt Lớp chia 4 nhóm, thảo luận và
động nhóm
ghi kết quả vào bảng phụ. Thời
Năng lực giải gian HĐ nhóm (3’)
quyết vấn đề
N1+2. Điền vào chỗ trống
Năng lực sử cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
dụng
ngôn
= cos 2 a − (1 − ............)
ngữ
= ................................
⇒ cos 2 a =

...................
.........

N3+4. Điền vào chỗ trống
cos 2 a = cos 2 a − sin 2 a
= (1 − ............) − sin 2 a
= ................................

...................
⇒ sin 2 a =
.........
Nhắc lại kiến thức

cos2a + sin2a = 1

= 1 − 2sin 2 a

- HS thảo luận nhóm
- Ghi kết quả vào bảng
phụ
- Trình bày
- Các nhóm nhận xét,

⇒ sin 2 a =

1 − cos 2a
2

sin 2 a
tan a =
cos 2 a
1 − cos 2a
1 − cos 2a
2
=
=
1 + cos 2a 1 + cos 2a
2

2

1) cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
= cos 2 a − (1 − cos 2 a)
= 2 cos 2 a − 1
1 + cos 2a
2
2) cos 2a = cos 2 a − sin 2 a

⇒ cos 2 a =

= (1 − sin 2 a) − sin 2 a
= 1 − 2sin 2 a
1 − cos 2a
⇒ sin 2 a =
2

III/ Công thức hạ bậc


- GV nhận xét, đưa kết quả đối
1 + cos 2a
cos 2 a =
2
chiếu
- HS áp dụng 2 công
1 − cos 2a
thức vừa tìm để khai
sin 2 a =
2

 H3.
triển
1 − cos 2a
Từ công thức cos2a và sin2a
sin 2 a
tan 2 a =
2
tan a =
1 + cos 2a
cos 2 a
vừa tìm được, ta cùng nhau
a)
1 − cos 2a
tìm ra công thức của tan2a?
sin 4a = sin 2.2a = 2sin 2a cos 2a
1 − cos 2a
2
=
=
Nhắc lại: tana =
sin 4a = 2sin 2a cos 2a
1 + cos 2a 1 + cos 2a
2

Năng lực giải
quyết vấn đề

= 4sin a cos a cos 2a
= 4sin a cos a(1 − 2sin 2 a)

b)
GV: Nhận xét
GV Chốt Các công thức vừa
tìm được gọi là công thức hạ
bậc

 Bài tập áp dụng

cos 2

Vì

-HS làm bài theo gợi ý
của GV
a)

π
=
8

cos

π
2
1+
4 =
2 = 2+ 2
2
2
4

1 + cos

π
π
2+ 2
> 0 ⇒ cos =
8
8
2


a) Khai triển sin 4a theo
Năng lực giải sin 2a và sin a
quyết vấn đề
π
cos
8
Năng lực tính b) Tính
GV: HD HS
toán
a) Áp dụng CT nhân đôi

sin 4a = sin 2.2a
sin 2a = 2sin a cos a
b)

+/ Áp dụng công thức hạ bậc
cho góc
+/

cos

π
8

π
8

sin 4a = sin 2.2a = 2sin 2a cos 2a
sin 4a = 2sin 2a cos 2a
= 4sin a cos a cos 2a
= 4sin a cos a(1 − 2sin 2 a)

b)
cos 2

cos

π
=
8

1 + cos

π
4

2

π
>0
8

?

mang dấu gì?

HĐ3: Củng cố và hướng dẫn học ở nhà:
 Củng cố: Củng cố lại các công thức qua bài tập trắc nghiệm:
Hãy nối mỗi dòng ở cột trái với một dòng ở cột phải để được một công thức đúng.


cos a cos b + sin a sin b
cos a cos b − sin a sin b
sin a cos b − cos a sin b
2sin a cos a
tan a − tan b
1 + tan a tan b
tan a + tan b
1 − tan a tan b
2sin 2 a − 1
2cos 2 a − 1

(1)
(2)
(3)
(4)

1-G

2-F
3-A
4-H
5-C
6-E
7-B
8-D

(5)
(6)
(7)
(8)

Hướng dẫn về nhà
sin a = −0, 6;

π
( A)
( B)
(C)
(D)

sin( a − b)
− cos 2a
tan( a − b)
cos 2a

(E) tan(a + b)
(F) cos( a + b)

(G) cos( a − b)
(H) sin 2a

3π
2 ;

Bài tập 1. Tính sin2a, cos2a , tan2a biết
HD:
Các CT sin2a, cos2a , tan2a là công thức gì chúng ta vừa học?  CT nhân đôi
Nhìn vào CT, để tính được sin 2a chúng ta cần tính được cái gì?  sina, cosa
sin 2 a + cos 2 a = 1 ⇒ cos 2 a
π
3π
⇒ cos a < 0
2

Mà
Tương tự với cos 2a, tan 2a. Từ công thức, tính toán suy ra kq


sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a (= 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a)

tan 2a =

;

2 tan a
1 − tan 2 a

BT 1,2 (sgk/153)
Rút kinh nghiệm: ..................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
PHIẾU BÀI TẬP

1. Chọn phương án đúng. Với mọi α ;
1/ cos( α + β )= cos α + cos β

β

ta có:

2/cos( α - β )= cos α coss β - sin α sin β .
3/cos( α + β )= cos α coss β - sin α sin β .
4/sin( α + β = sin α cos β - cos α sin β .
2. Điền vào chỗ ……..đễ được đẳng thức đúng.


3
π

sin α − .......... .......... .. = sin α − 
6

1/ 2

2
2
cos α +
sin α = .......... ..
2
2
2/
1 − tan α . tan β
3/ tan α + tan β = …………..

tan α + tan β
= .......... ....
4/ 1 − tan α . tan β