Bài soạn CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 10

LƯNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Độ:
bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=
2. Radian: (rad)

rad
0
180
π
=
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120

0
135
0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
π
π
2

II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Đònh nghóa:


2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:

2k
B 2
2
2k
D - 2
2
, k
B,D
2
A
k
C
k
A C
k
π
π
π
π π
π
π
π
π

π
→
→ +
→ +
→ +
→
→ +
x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),(
∈+=
πα
kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α
.
y
x
o
180
O
+
−
x
y
O

C
A
B
D
x
y
B
α
M
α
(điểm gốc)
+
t
O
A
(điểm ngọn)
πα
2kAB
+=
+
−
x
y
O
C
A
B
D
1
1

1
=
R
1
−
1
−
'x
'u
u
t
't
'y
III. Giá trò lượng giác của góc cung lượng giác:

1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y
'
Oy : trục sin ( trục tung )
• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang

2. Đònh nghóa các giá trò lượng giác:
a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'
Ox vàø y
'
Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta đònh nghóa:




α
α
α
α
=
=
=
=
cos
sin
tan

cot
OP
OQ
AT
BU

b. Các tính chất :
• Với mọi
α
ta có :
1 sin 1 hay sin 1
α α
− ≤ ≤ ≤
1 cos 1 hay cos 1
α α
− ≤ ≤ ≤
•
π
α α π
∀ ≠ +tan xác đònh
2
k
•
α α π
∀ ≠cot xác đònh k

c. Tính tuần hoàn

α π α
α π α
α π α
α π α
+ =
+ =
+ =
+ =
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
k
k
k
k

)( Zk
∈
IV. Giá trò lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
y
t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t

1
−
Q
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
+
−
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt
- 3
-1
- 3/3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'

- 3
-1
- 3/3
1
1
-1
-1
-
π
/2
π
5
π
/6
3
π
/4
2
π
/3
-
π
/6
-
π
/4
-
π
/3
-1/2

- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2
3 /2
2 /2
1/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π
/3
π
/4
π
/6
3/3
3
B
π
/2
3/3
1
3
O
Góc 0
0
30
0
45

0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π

6
5
π
π
π
2
sin
α
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0 0
cos
α
1
2
3
2
2

2
1
0
2
1
−
2
2
−
2
3
−
-1 1
tan
α
0
3
3
1
3
kxđ
3
−
-1
3
3
−
0 0
cot
α

kxđ
3
1
3
3
0
3
3
−
-1
3
−
kxđ kxđ
V. Giá trò lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
+
−
1. Cung đối nhau :
và -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ
−
,…)
2. Cung bù nhau :
và -
α π α

( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
ππ
,…)
3. Cung phụ nhau :
và
2
π
α α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:
3
&
6
ππ
,…)
4. Cung hơn kém
2
π
:
và
2

π
α α
+
(Vd:
3
2
&
6
ππ
,…)

5. Cung hơn kém
π
:
và
α π α
+
(Vd:
6
7
&
6
ππ
,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :

α α
α α
α α
α α

− =
− = −
− = −
− = −
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot

π α α
π α α
π α α
π α α
− = −
− =
− = −
− = −
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π


π
α α
π
α α

π
α α
π
α α
− =
− =
− =
− =
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( )
2
cot( ) tan
2
cot

π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
+ = −
+ =
+ = −
+ = −

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
tan( )
2
cot( ) tan
2
cot

5. Cung hơn kém
π
:

π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot

Ví dụ 1: Tính
)
4

11
cos(
π
−
,
21
tan
4
π
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
)3cos()2cos()
2
cos( xxxA
++−++=
ππ
π
Đối cos
Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém
π
tang , cotang
VI. Công thức lượng giác:

1. Các hệ thức cơ bản:

α α
α
α
α
α
α
α
+ =
2 2
cos sin 1
sin
tan =
cos
cos
cot =
sin

α
α
α
α
α α
+
+
2
2
2
2
1

1 tan =
cos
1
1 cot =
sin
tan . cot = 1

Ví dụ: Chứng minh rằng:
1.
xxxx
2244
cossin1sincos
−=+
2.
xxxx
2266
cossin31sincos
−=+

2. Công thức cộng :


α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
α β
α β
α β
α β

α β
α β
+ = +
− = −
+ = −
− = +
−
−
−
+
−
+ =
+
sin( ) sin .cos cos .sin
sin( ) sin .cos cos .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
tan +tan
tan( + ) =
1 tan .tan
tan tan
tan( ) =
1 tan .tan
1
( )
CotaCotb
Cot a b
Cota
+
− =

−
1
( )
Cotb
CotaCotb
Cot a b
Cota Cotb
Ví dụ: Chứng minh rằng:

π
α α α
π
α α α
+ = −
− = +
1).cos sin 2 cos( )
4
2).cos sin 2 cos( )
4


3. Công thức nhân đôi:
2
2cos1
cos
2
α
α
+
=

2
2cos1
sin
2
α
α
−
=
ααα
2sin
2
1
cossin
=