GIAO THOA COULOMB - HADRON NĂNG LƯỢNG CAO
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.14 MB, 55 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------------
Đào Thị Luyên
GIAO THOA COULOMB - HADRON
NĂNG LƢỢNG CAO
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Hà Nội – 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------------
Đào Thị Luyên
GIAO THOA COULOMB – HADRON
NĂNG LƢỢNG CAO
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN NHƯ XUÂN
Hà Nội – 2014
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, TS. Nguyễn Như
Xuân là người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong suốt thời
gian học tập và hoàn thành luận văn thạc sĩ này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô, tập thể cán bộ
Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo,
động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em
có thể hoàn thành luận văn này.
Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô ở Khoa Vật lý
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn khóa luận có nhiều
thiếu sót, em rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014
Học viên
Đào Thị Luyên
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................1
Chƣơng 1 - MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON7
1.1. Biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tương tác ...............................................7
1.2. Pha biên độ tán xạ trong gần đúng eikonal ......................................................8
Chƣơng 2 - HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ ...................................................................12
2.1. Ảnh hưởng của hệ số dạng điện từ vào biểu thức pha tán xạ ........................12
2.2. Hệ số dạng điện từ khi xung lượng truyền rất nhỏ ........................................14
Chƣơng 3 - PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB - HADRON CẢI BIẾN
...................................................................................................................................16
3.1. Phép khai triển Born eikonal .........................................................................16
3.2. Biểu thức của pha khi kể thêm bổ chính của hệ số dạng điện từ ...................17
KẾT LUẬN ..............................................................................................................23
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................24
PHỤ LỤC A - PHA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ DẠNG GAUSS ....................................26
PHỤ LỤC B - CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ ............................................29
PHỤ LỤC C - HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON ................................49
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1: Đồ thị của pha tán xạ toàn phần TOT , theo q2 (GeV2) với giá trị
B 13GeV 2 và 2 0.71 GeV 2 ...............................................................................21
Hình 3.2: Đồ thị mô tả sự đóng góp của v (q2) vào pha tán xạ toàn phần TOT
...................................................................................................................................21
MỞ ĐẦU
1. Bối cảnh nghiên cứu của đề tài
Những tiến bộ trong khoa học công nghệ đã cho ra đời các máy gia tốc năng
lượng cao cung cấp cho chúng ta cơ hội nghiên cứu bằng thực nghiệm các quá trình
tán xạ đàn hồi pp và pp ở năng lượng khối tâm ngày càng cao, đặc biệt là xác định
tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình này, liên quan đến phần ảo của biên độ tán
xạ trước và tỉ số giữa phần thực và phần ảo của biên độ tán xạ, được suy ra từ các
định lý quang học. Lưu ý rằng, tiết diện tán xạ có thể suy ra được từ các nguyên lý
cơ bản của lý thuyết tán xạ lượng tử và có thể dễ dàng so sánh với thực nghiệm. [28].
Hiện nay, với các số liệu thống kê phong phú về các phép đo tán xạ đàn hồi
của các nucleon tích điện ở mức năng lượng cao cho phép chúng ta thực hiện các
phân tích chi tiết các dữ liệu đo trong một vùng rộng lớn của t – bình phương xung
lượng truyền 4 chiều. Các vùng này là không chỉ gồm vùng ở gần hạt nhân nơi mà
tán xạ hadron chiếm ưu thế, có nghĩa là | t | 102 GeV 2 mà còn cả vùng mà tán xạ
Coulomb đóng vai trò ưu thế tức là | t | 102 GeV 2 (vùng này thường được chia
thành hai vùng nhỏ là vùng Coulomb và vùng giao thoa Coulomb – hadron).
2. Lý do chọn đề tài
Trong lý thuyết tán xạ tồn tại các bài toán hạt thực tế tham gia đồng thời hai
hay nhiều tương tác khác nhau. Ví dụ, trong tương tác hạt nhân của các hạt mang
điện, ngoài tương tác hạt nhân, cần phải xét tương tác Coulomb giữa các hạt va
chạm. [12]
Sử dụng phép gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử Bethe đã thu
được công thức để cho tán xạ thế với góc tán xạ nhỏ của proton lên hạt nhân, trong
đó có tính đến sự giao thoa của các biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hạt
nhân. [12]
1
Biên độ tán xạ đàn hồi được ký hiệu bằng F C N và có thể biểu diễn một cách
hình thức dưới dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau: [12]
F C N F C F N ei ,
(0.1)
trong đó F C - biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb, F N - biên độ tán xạ hoàn toàn
hadron (liên quan với tương tác mạnh), 1/137,036 là hằng số cấu trúc, là
pha tương đối - sự lệch pha được dẫn ra bằng tương tác Coulomb tầm xa. Sử dụng
mô hình tán xạ thế, Bethe đã cho kết quả cụ thể: [12]
2ln 1,06 / qa
(0.2)
trong đó q là xung lượng truyền, còn a là tham số đặc trưng cho kích thước của hạt
nhân.
Công thức (0.2) đã được các nhóm thực nghiệm sử dụng để đánh giá phần
thực của biên độ tán xạ hạt nhân phía trước. Phần thực của biên độ tán xạ cho phép
ta kiểm tra hệ thức tán sắc [16], hay dáng điệu tiệm cận khả dĩ của tiết diện tán xạ
toàn phần [10] hay việc kiểm nghiệm các mô hình lý thuyết khác nhau cho tương
tác mạnh.
Để xác định biên độ tán xạ trước thông thường người ta sử dụng sự giao thoa
với biên độ giao thoa Coulomb. Nếu tiến hành chuẩn hóa biên độ tán xạ Coulomb
theo công thức:
d
2
dt sp cm
(0.3)
thì biên độ tán xạ Coulomb (cho các hạt tích điện cùng dấu) là:
FC
s
q2
(0.4)
với q là xung lượng truyền khối tâm. Nếu chúng ta giả thiết xung lượng này là nhỏ
thì có thể coi rằng năng lượng tán xạ pp và pp tại mọi điểm là rất cao: s M p2 .
Chúng ta cũng xét quá trình tán xạ hạt – hạt trước, sau đó sẽ ngoại suy ra kết quả
đối với quá trình tán xạ giữa hạt và phản hạt.
2
Trong vùng xung lượng truyền nhỏ, biên độ tán xạ cổ điển có thể được tham
số hóa dưới dạng:
F N Ae Bq
2
/2
(0.5)
trong đó: B 1015 GeV 2 . Theo định lý quang biên độ tán xạ toàn phần bằng:
TOT
4
pcm s
ImFN (q 0)
(0.6)
Với năng lượng siêu cao, tiết diện tán xạ toàn phần xấp xỉ 40 mb thì
Im A 4GeV 2 s khi đó biên độ tán xạ đàn hồi Coulomb và hadron gần bằng xung
lượng truyền q 2
4
GeV 2 . Phần lớn biên độ tán xạ này là thuần ảo. Từ việc xác
định sự giao thoa giữa biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hadron, chúng ta
có thể thu được pha giao thoa của 2 quá trình này.
Biểu thức (0.4) mô tả biên độ tán xạ Coulomb một cách đơn giản ở gần đúng
Born. Tuy nhiên thực tế thì biên độ tán xạ Coulomb được đặc trưng bởi pha
Coulomb liên quan đến bản chất của lực Coulomb. Hơn nữa nó cũng không thực sự
mô tả đúng được biên độ tán xạ giao thoa Coulomb và hadron. Nó chỉ biểu diễn các
biên độ tán xạ đơn lẻ cho từng loại tương tác. Biên độ tán xạ Coulomb ở vùng xung
lượng truyền nhỏ và biên độ tán xạ hadron ở vùng xung lượng truyền lớn. Thậm chí
trong vùng tương tác mạnh của các hadron, việc tìm biên độ tán xạ của chúng liên
quan đến bài toán trao đổi giữa các photon “mềm” có xung lượng ảo. Rõ ràng là có
sự ảnh hưởng của tương tác điện từ đến biên độ tán xạ các hadron.
Giao thoa Coulomb trong chất hạt nhân cũng đã được West và Yennie [3] xem
xét lại không dựa trên lý thuyết chuẩn thế mà hoàn toàn dựa vào giản đồ Feynman.
Họ đã thành công trong việc tìm ra biểu thức tổng quát của thế theo các số hạng
của biên độ tán xạ đàn hồi các hadron:
W-Y ln
s
q2
dq '2
F N (q '2 )
'2
[1
]
s 0 | q q2 |
F N (q 2 )
Bằng cách tham số hóa thích hợp: F N exp(-Bq2 / 2) , suy ra:
3
(0.7)
W Y [ln( Bq 2 / 2) O( Bq 2 )]
(0.8)
với 0, 577... là hằng số Euler.
West và Yennie cũng đã xem xét một vài vấn đề khác của bổ chính tương tác
điện từ với tương tác mạnh của các hadron. Họ xét đến sự bức xạ các photon thực
một yếu tố quan trọng trong tán xạ p nhưng lại bỏ qua vấn đề này trong tán xạ pp.
Các giản đồ Feynman được họ xem xét chỉ bao gồm các thế phân kỳ hồng ngoại và
họ nhấn mạnh rằng có thể bỏ qua các giản đồ này vì nó chỉ cho sự đóng góp vào thế
mà thôi. Một điểm cần lưu ý nữa là cần phải tính đến sự đóng góp của giản đồ
phân cực chân không đối với lực tương tác Coulomb [2]. Nó dẫn đến sự phụ thuộc
của hằng số tương tác điện từ vào bình phương xung lượng truyền q2 :
(q 2 ) 1
q2
ln
3 4me2
(0.9)
Kết quả này sẽ làm tăng khoảng 50% giá trị hằng số tương tác trong khoảng
q2 được quan tâm.
3. Mục đích của nghiên cứu của luận văn
Mục đích của luận văn thạc sỹ sẽ xem xét lại vấn đề này kèm theo việc xác
định thế trong khuôn khổ mô hình eikonal. Nó sẽ cung cấp toàn bộ bức tranh vật
lý của quá trình tán xạ và đưa ra cách nhìn hơi khác biệt so với các tính toán của
West và Yennie [8].
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã sử dụng các phương pháp lý thuyết
trường lượng tử gồm một số phương pháp tách phân kỳ, các phép gần đúng Born,
gần đúng chuẩn cổ điển, mô hình eikonal và một số kỹ thuật tính tích phân. Đồ thị
được vẽ bằng phần mềm matlab.
Trong luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
metric Feynman.
Các véctơ phản biến là tọa độ
4
c 1 và
x x0 t , x1 x, x 2 y, x3 z t , x
thì các véctơ tọa độ hiệp biến
x g x x0 t , x1 x, x2 y, x3 z t , x ,
trong đó
g g
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
6. Ý nghĩa khoa học của luận văn
Luận văn là cơ sở lý thuyết khoa học để nghiên cứu các số liệu thực nghiệm về
tán xạ các hạt nucleon năng lượng cao thu được từ các máy gia tốc. Giúp chúng ta
hiểu rõ hơn về cơ chế tương tác của các nucleon trong hạt nhân. Từ đó là cơ sở để
nghiên cứu chuyên sâu thêm về cơ chế tương tác của các hadron khi có tính thêm
spin.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và ba phụ lục.
Chƣơng 1: Mô hình eikonal và Giao thoa Coulomb - Hadron. Ở đây ta xuất
phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền
nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born.
Trong mục 1.1, ta tính biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tương tác – tương tác
Coulomb và tương tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ Born. Việc tính pha
eikonal khi ta vận dụng gần đúng eikonal cho tương tác Coulomb được trình bày ở
mục 1.2.
Chƣơng 2: Hệ số dạng điện từ. Để bài toán giao thoa Coulomb hiện thực
hơn, trong chương này chúng ta kể thêm hệ số dạng điện từ của nucleon. Về mặt vật
lý thì nucleon ở đây không phải là các hạt điểm như quan niệm trước kia mà nó có
cấu trúc. Cấu trúc này được xác định bằng các hệ số dạng điện từ (bao gồm các hệ
5
số dạng điện và dạng từ, xem phụ lục C). Trong luận văn này ta bỏ qua spin của hạt
nên các hệ số dạng điện từ đơn giản chỉ còn là một hàm số. Trong mục 2.1, ta
nghiên cứu sự cải biến biên độ tán xạ Coulomb khi tính đến hệ số dạng điện từ và
thu được biểu thức tổng quát cho pha. Việc cụ thể hóa dạng của hệ số dạng điện từ
được xem xét ở mục 2.2.
Chƣơng 3: Pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến. Việc kể thêm hệ số
dạng của hạt sẽ làm thay đổi biên độ tán xạ Coulomb. Trong chương này, ta xem
xét phép khai triển Born – eikonal cho biên độ tán xạ và tính pha của biên độ tán xạ
Coulomb cải biến. Trong mục 3.1, ta xem xét phép khai triển Born – eikonal cho
biên độ tán xạ và cụ thể hóa trong trường hợp hoàn toàn Coulomb. Việc kể thêm bổ
chính của hệ số dạng và tìm biểu thức cho pha sẽ được xem xét ở mục 3.2.
Kết luận dành cho việc liệt kê các kết quả thu được trong luận văn và phương
hướng nghiên cứu trong thời gian tới.
6
Chƣơng 1 - MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON
Trong chương này, mục 1.1, xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ
năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha eikonal
được tính từ biên độ tán xạ Born, chúng ta tính biên độ tán xạ tổng quát cho hai
tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ
Born. Mục 1.2, ta tiến hành tính pha eikonal khi vận dụng gần đúng eikonal cho
tương tác Coulomb - Hadron.
1.1. Biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tƣơng tác
Mô hình eikonal được thuận tiện sử dụng khi xem xét tán xạ của các hạt với
góc tán xạ nhỏ dựa trên phép gần đúng coi quĩ đạo của các hạt tán xạ là thẳng (còn
gọi là gần đúng quĩ đạo thẳng). Trong quĩ đạo này thì pha của quá trình tán xạ sẽ
chứa toàn bộ thông tin về quá trình tán xạ.
F (q 2 )
s
d 2beiq.b [e2i (b ) 1]
4 i
(1.1)
Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao là tổng quát với ý
nghĩa nó không dựa vào cơ chế tương tác cụ thể nào. Tất cả động lực học của quá
trình trong mô hình eikonal được xác định, nếu cho trước dạng cụ thể của pha (b) .
Pha này phụ thuộc vào tham số va chạm b và năng lượng của khối tâm. Ở năng
lượng siêu cao (b) xác định bởi biểu thức:
(b)
1
2 s
d 2 qeiq.b FBorn (q 2 )
(1.2)
Ở đây chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc của xung lượng truyền s vào biên độ
tán xạ Born. Khi đó, biên độ tán xạ eikonal ở vùng xung lượng truyền lớn là:
Feik (q 2 )
s
d 2beiq.b [e2i (b ) 1]
4 i
(1.3)
Chúng ta giả thiết rằng sẽ có 2 pha eikonal, C và N , tương ứng với 2 quá
trình tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân, vì thế biên độ tán xạ đầy đủ sẽ là:
F N C (q 2 )
C
N
s
d 2beiq.b [e2i ( (b ) (b )) 1]
4 i
7
(1.4)
Nếu bỏ qua lực hạt nhân thì biên độ tán xạ Coulomb sẽ có dạng:
F C (q 2 )
C
s
d 2beiq.b [e2i (b ) 1]
4 i
(1.5)
Còn nếu bỏ qua lực tương tác Coulomb thì chúng ta sẽ có biên độ tán xạ các
hadron trong hạt nhân:
F N (q 2 )
N
s
d 2beiq.b [e2i (b ) 1]
4 i
(1.6)
Kết hợp các biểu thức trên, chúng ta viết lại biểu thức của biên độ tán xạ (1.4)
dưới dạng
F N C (b) F C (q 2 ) F N (q 2 )
s
d be
4 i
2
iq .b
[e 2i
C
(b)
1][e 2i
N
(b )
1]
'
e2i
2 i b
d 2beiq b e 1e
4 i
i
F C (q 2 ) F N (q 2 )
d 2 q ' F C (q '2 ) F N ([q q ' ]2 )
s
F C q2 F N q2
s
c
i q q ' .b
N
b
1
(1.7)
Biểu thức (1.7) là biểu thức tổng quát hóa của biên độ tán xạ eikonal của tán
xạ các nucleon trong hạt nhân khi có sự trộn lẫn cả 2 loại tương tác Coulomb và
tương tác mạnh của các hadron trong hạt nhân.
1.2. Pha biên độ tán xạ trong gần đúng eikonal
Để có thể áp dụng biểu thức này cho các bài toán về sau chúng ta cần lấy gần
đúng eikonal biên độ tán xạ Coulomb. Từ biểu thức (1.2) và (0.4), chúng ta đưa vào
khối một photon khối lượng nhỏ để khử phân kỳ hồng ngoại:
C (b)
1
d be
2 s
2
iq .b
(
s
)
q 2
2
1
1
d 2beiq.b ( 2
) K 0 (b ) [ln( b ) O(b )]
2
2
q
2
(1.8)
các số hạng dạng O(b ) có thể được bỏ qua vì khối lượng photon đưa vào sẽ tiến
tới không. Như vậy thay (1.8) vào (1.5), ta có:
8
s
4 i
F (q )
C
2
s
4 i
2
d be
i qb
2
d be
i qb
2i ln 12 b
1
e
e 2i
2 i
bq
1
2q
e
s
dbbJ 0 qb
2i 0
2q
2 i
bq
2 i
(1.9)
1
Sử dụng công thức tích phân sau [6]:
1
(
)
2
dxx
J
(
x
)
2
0
0
1
(
)
2
(1.10)
Chúng ta có biểu thức của biên độ tán xạ Coulomb trong gần đúng bậc nhất
của hằng số tương tác :
e
dbbJ
qb
0
0
2q
1 e
q 2 2q
F C (q 2 )
với
2 i
2 i
22i 1
bq
2 i
1
2
q
e
2q
2 i
d qb bq
2 i 1
J 0 qb
0
(1 i )
(1 i )
(1.11)
C
2
s e 1 2i (1 i )
s
(
)2
2 eieik ( q )
2
2iq 2q
(1 i )
q
(q ) ln(
C
eik
2
2
q2
).
(1.12)
Do tính kì dị của F C (q 2 ) tại q 2 0 vì thế có thể viết lại biểu thức (1.7) như sau:
F N ([q q ' ]2 )
i
i
F N C (q 2 ) F C (q 2 ) F N (q 2 ) 1 d 2 (q ' ) F C (q '2 ) d 2 F C (q '2 )
1
N
2
s
s
F (q )
(1.13)
Trong mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân thứ 2, chúng ta đã cho 0 .
Tóm lại chúng ta có thể viết:
9
s ieikc q2
e
F N q2
2
q
F N C q 2
2
N
F q q'
c
'2
c
'2
s ieik q i
s i q
i
1
d 2 q ' '2
e
d 2 q ' '2 e eik
1
2
2
N
s
F q
q
q
s
2
N
'
i
F
q
q
2
c
2
s
i
i q i
2 ' s q
2 ' s
2 F N q 2 e eik
d
q
d
q
1
'2
'2
2
2
'2
N
q
s
s
q q
q F q
s
i ( q )
N C
2
F
C
eik
( q )e
2
q2
i
Q
Q
s q2
i
s F N (q '2 )
ieikC ( q2 ) i
2 '
2 '
F ( q ) e
d
q
d
q
1
'2
2
'2
' 2
N
2
s
s
q q
[q q ] F (q )
N
(1.14)
2
Trong biểu thức này chúng ta chỉ lấy cận trên của tích phân là Q để nhằm khử
các phân kỳ xuất hiện khi lấy riêng rẽ từng tích phân ở vùng xung lượng q2 lớn. Sau
khi lấy tổng hai tích phân này và lấy giới hạn Q2 sẽ thu được biểu thức hữu
hạn. Tổng của hai số hạng đầu tiên trong biểu thức (1.14) là:
e
c
ieik
q2
(
2
q
2
i
2
s q 2
d
q
2
'2
2 '2
s
q q
q
i
) i (
2
'
i
i
q
2 i
d
2
q
'
q
'2
2
i 1
(1.15)
Q i i
Q
Q
) ( 2 ) ( 2 ) i 1 i ln 2
2
q
q
q
q
2
2
2
2
Từ đó biểu thức (1.14) sẽ là:
F
N C
2
( q )e
C
ieik
( q2 )
s
2
chú ý rằng:
Q
Q2
1
F N (q '2 )
'2
2 F (q ){1 i ln 2 i dq
[
1]} (1.16)
q
q
| q 2 q '2 | F N (q 2 )
0
N
1
d 2qq cos q
'
0
2
'2
2
| q q '2 |
2
(1.17)
Biểu thức dưới dấu tích phân trong (1.16) không có kì dị tại q = q’. So sánh
biểu thức (1.16) và (0.5), chúng ta suy ra được pha eikonal bằng:
10
Q
2
F N (q '2 )
1
Q
'2
lim
ln
dq
1
2
2
'2
N
2
2
Q
| q q | F (q )
0
q
2
eik
Q
F N (q '2 )
q2
1
'2
lim
ln
dq
1
2
2
'2
N
2
2
Q
Q
| q q | F (q )
0
2
eik
(1.18)
kết quả này phù hợp với kết quả thu được (0.7) của West và Yennie bằng phương
pháp giản đồ Feynman.
11
Chƣơng 2 - HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ
Để bài toán giao thoa Coulomb hadron hiện thực tốt hơn, trong chương này
chúng ta kể thêm hệ số dạng điện từ của proton. Về mặt vật lý thì proton ở đây
không phải là hạt điểm như quan niệm trước kia mà nó có cấu trúc. Cấu trúc này
được xác định bằng các hệ số dạng điện từ. Trong luận văn, chúng ta bỏ qua spin
của nucleon nên các hệ số dạng điện từ chỉ đơn giản là một hàm số. Trong mục 2.1,
chúng ta nghiên cứu sự cải biến biên độ tán xạ Coulomb khi tính đến hệ số dạng
điện từ, từ đó thu được biểu thức tổng quát cho pha. Việc cụ thể hóa dạng của hệ số
dạng được xem xét ở mục 2.2.
2.1. Ảnh hƣởng của hệ số dạng điện từ vào biểu thức pha tán xạ
Thực tế là bài toán giao thoa Coulomb phải bao gồm cả tương tác điện từ của
proton. Các hệ số tương tác điện từ thu được bằng cách hiệu chỉnh biên độ tán xạ
Coulomb: đầu tiên là thay đổi số hạng gần đúng Born f 2 (q 2 ) , tiếp theo là hiệu chỉnh
pha eikonal. Trong phần này chúng ta chỉ xét đến việc hiệu chỉnh hệ số gần đúng
Born
i
s 2
F (q ) 2
f 2 (q 2 )
2 2
q q
C
2
(2.1)
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xét đến hiệu chỉnh pha.
Sử dụng (2.1) vào biên độ tán xạ Coulomb (1.13), chúng ta thu được biên độ
tán xạ cải biến:
F
N C
i
i
s 2
2 '
(q ) 2 2 f (q ) F (q ) 1
d q '2
f 2 (q '2 )
2 '2
q q
q q
s
s 2
2
i
2
2
N
2
i
s 2 '2 2 F N ([q q ' ]2 )
d q '2 f q '2
1
N
2
s
q
q F (q )
i
F
N C
2
(q ) 2
q
2
i
2
'
2 i
2 i i
s 2 2
N
2
2 ' s q
2 f (q ) F (q ) 2 d q '2
f 2 (q '2 )
2 '2
q
s
q q
q
F N ([q q ' ]2 )
s
i
d 2 q ' '2 f 2 q '2
1
N
2
s
q
F (q )
12
(2.2)
Ở biểu thức này đã chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất của trong số hạng cuối.
Tích phân của số hạng cuối trong biểu thức (2.2) được xác định như sau:
i
s q 2
(q 2 )i
2
'2
'2
d
q
f
(
g
)
i
dq
f 2 (q '2 )
'2
2 '2
'2
2 1 i
s
q
q
(
q
)
i
2
'
i
i
i
q2
q '2 2
q2
q '2 2 '2 '
2
'2 '
2
2 dq '2
[
f
(
q
)
]
dq
'
1
i
ln
2
[ f (q ) ] (2.3)
2
0
q
q
0
i
q2
q '2
1 2 i dq '2 ln 2 [ f 2 (q '2 )' ]
q
0
Ở đây các ký hiệu dấu phẩy ở ngoặc vuông có nghĩa là lấy đạo hàm theo q’2.
Từ (2.3) thế vào biểu thức (2.2), ta có:
F
N C
2
(q ) 2
q
i
2
q '2 2 '2
'2
2 f (q ) F (q ) 1 i dq ln 2 [ f (q )]'
q
q
0
s
2
2
N
2
i
f (q ) F ([q q ] )
d 2q'
1
q 2 F N (q 2 )
2
'2
N
(2.4)
' 2
Bây giờ chúng ta dễ dàng đi xác định biên độ tán xạ góc của các hadron
N
F (q '2 , q 2 )
biểu thức này có tính chất là:
N
1
d.F ([q 2 2qq ' cos q '2 ]) / F N (q 2 )
2
N
F (0, q 2 ) 1
(2.5)
(2.6)
Tiếp tục, chúng ta có:
2
'2
N
f 2 (q '2 ) F N ([q q ' ]2 )
'2 f ( q )
d
q
1
dq
[
F
(q, q ' ) 1]
2
N
2
2
q
q
F (q )
0
2
'
'
2
'2 N
'2
2
'2
'2
'2 N
'2
2
2
'2
f q F q , q 1 .ln q dq ln q F q , q f q (2.7)
0
0
dq '2 ln q '2 [ F (q '2 , q 2 ) f 2 (q '2 ) f 2 (q '2 )]'
N
0
Sử dụng biểu thức này, thì biểu thức (2.4) trở thành:
13
i
2
s
F
(q ) 2 2 f 2 (q 2 )
q
q
'
N
q '2 2 '2 ' i
N
2
'2
F (q ) 1 i dq ln 2 [ f (q )] . dq '2 ln q '2 F q '2 , q 2 f 2 q '2 f 2 q '2
q
0
0
N C
F
N C
2
2
(q ) 2
q
2
i
N
q '2
2 f (q ) F (q ) 1 i dq '2 ln 2 [ f 2 (q '2 ) F (q '2 , q 2 )]'
q
q
0
s
2
2
N
2
(2.8)
So sánh lại với biểu thức (0.1), chúng ta thấy rằng:
dq '2 ln
0
N
q '2 d
[ f 2 (q '2 ) F (q '2 , q 2 )]'
'2
q dq
(2.9)
Thực tế là q2 là nhỏ so với thang đo là nghịch đảo kích thước proton, vì thế
chúng ta có thể tổng quát hóa phép gần đúng:
N
F (q'2 , q 2 )] F N (q '2 ) / F N (0)
(2.10)
Từ đó suy ra biểu thức tổng quát cuối cùng của pha :
dq '2 ln
0
q '2 d
[ f 2 (q '2 ) F N (q '2 ) / F N (0)]
'2
q dq
(2.11)
2.2. Hệ số dạng điện từ khi xung lƣợng truyền rất nhỏ
Sự tham số hóa biên độ tán xạ các hadron ở bậc thấp của q2 được cho bởi biểu
thức (1.3). Dạng tham số thích hợp của hệ số tương tác điện từ là: [2]
2
2
f (q ) 2
; 2 0.71GeV 2
2
q
2
(2.12)
Thêm vào đó dạng gần đúng bậc thấp theo q2 của hệ số tương tác điện từ là
f (q 2 ) e2 q
Sử dụng (2.13), cho pha tán xạ ta thu được:
14
2
/
(2.13)
dq '2 ln
0
q '2 d 4 q' 2 / 2 Bq' 2 /2
e
e
q 2 dq '2
1 q' 2
dq '2 e
q
0
'2
8 B 2
2 2
K 0 Bq 2
(2.14)
Bq 2
8
ln(
) ln(1
)
2
B 2
Nói cách khác đối với hệ số dạng lưỡng cực thì pha có dạng:
ln(
trong đó:
Bq 2
B 2
) g(
)
2
2
(2.15)
z 2 z3 z
11 2 z z 2
g ( z ) (1 z )e E1 ( z )
2 6
6 3 6
và E1 ( z ) là biểu thức tích phân [8]:
E1 ( z )
1
dt zt
e
t
(2.16)
(2.17)
Hai kết quả này có thể được so sánh bằng cách chọn tham số B, tham số góc.
Với B = 13 GeV-2 thì phần tán xạ của (2.14) bằng ln Bq2 / 2 0.62 , còn hệ
số dạng lưỡng cực của (2.15) bằng ln Bq2 / 2 0.60 . Rõ ràng sự khác nhau ở
đây là không đáng kể.
So sánh thêm với cách tham số hóa của mô hình Wu – Yang [19] trong tán xạ
đàn tính pp thấy rằng trong mô hình này tiết diện tán xạ tỉ lệ với lũy thừa bậc 4 của
hệ số tương tác điện từ. Trong mô hình này thì B và 2 liên hệ với nhau bởi hệ thức
B2 8 . Khi đó pha giao thoa tham số mũ của (0.4) bằng: ln Bq 2 / 2 ln 2 ,
còn pha giao thoa lưỡng cực của (2.15) bằng: ln Bq2 / 2 ( ln 4 363 / 140) .
Số hạng cuối cùng trong ngoặc gần bằng – 0.63, nó không sai khác nhiều lắm so với
– ln2 = -0.69. Tất nhiên trong mô hình của Wu – Yang cũng không xem xét một
cách chính xác, thậm chí cho các mục đich của họ vì rằng tham số B phụ thuộc vào
xung lượng s chứ không phải là 2 .
Do sự khác nhau giữa biểu thức (2.14) và (2.15) là nhỏ, biểu thức (2.14) đơn
giản hơn thích hợp và tiện lợi cho việc tính toán pha tán xạ .
15
Chƣơng 3 - PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB - HADRON CẢI BIẾN
Việc hiệu chỉnh biên độ tán xạ Coulomb - Hadron trong gần đúng Born có tính
đến tương tác điện từ được biểu diễn bởi số hạng f 2 (q 2 ) . Thêm vào đó nó đã làm
thay đổi pha của biên độ tán xạ. Ở chương này chúng ta không lặp lại cách hiệu
chỉnh số hạng gần đúng Born một cách đơn giản như phần trên nữa mà chúng ta đi
hiệu chỉnh biên độ tán xạ bằng cách khai triển biểu thức biên độ tán xạ (2.1) theo
hằng số tương tác .
3.1. Phép khai triển Born eikonal
Để xác định các bổ chính cho biểu thức (2.1), ta trở lại mô hình eikonal, các
biểu thức (1.2), (1.3), khai triển theo chuỗi Born eikonal:
Feik (q 2 )
s
d 2beiq.b [e2i (b ) 1]
4 i
4 2 b
2
iq .b
d
be
1
2
i
(
b
)
... 1
4 i
2
s
d 2beiq.b [2i (b) 2 2 (b) ...]
4 i
(3.1)
s
FBorn (q 2 )
i
2 s
d 2 q ' FBorn (q '2 )FBorn ([q q ' ]2 ) ...
(3.2)
(3.3)
Xét một ví dụ: Biên độ tán xạ thuần túy chỉ có tương tác Coulomb thì:
FBorn (q 2 )
s
q 2
(3.4)
2
Số hạng gần đúng Born bậc 2 là:
i
2 s
( s ) 2 d 2 q '
i
2 s
i
1
1
1
2
' 2
q (q q ) 2
'2
( s ) 2 dx d 2q '
0
1
[q 2qq x xq 2 2 ]2
'2
1
'
1
s dx p 2 2
2 s
[ p xq 2 1 x 2 ]2
2
0
16
1
i
1
2
s dx 2
2
2 s
p xq 1 x 2
0
i
s
s
q2
2ln
( 2 )(i ) ln 2
q
q 4 4q 2 x 2
q 2 q 4 4q 2 2
2 s
q 2 q 4 4q 2 x 2
1
2
q2
(3.5)
Với bậc này thì ta có biên độ tán xạ eikonal bằng:
Feik (q 2 )
s
s i ln 2 / q2
2
2
(1
i
ln
/
q
)
e
q2
q2
(3.6)
Biểu thức này hoàn toàn phù hợp với (1.12).
3.2. Biểu thức của pha khi kể thêm bổ chính của hệ số dạng điện từ
Tiếp theo chúng ta xét trường Coulomb với hệ số dạng (form factor). Để cho
đơn giản chúng ta lấy:
s
L2
FBorn (q ) 2
(
)
q 2 L2 q 2
2
(3.7)
2
2
Nó đưa đến hiệu chỉnh trạng thái bậc thấp của q2 nếu chúng ta chọn: L / 4 .
Số hạng gần đúng Born bậc hai trong mô hình eikonal có thể được xác định bằng kỹ
thuật giản đồ Feynman như chúng ta đã làm ở trên:
Feik2 (q 2 )
i
1
( sL2 )2 d 2 (q ' ). '2 2 '2 2
2 s
[q ][q L ][(q q ' )2 ][(q q ' )2 L2 ]
1
1 z
1 y z
i
( sL2 )2 dz dy
2 s
0
0
0
dx d 2 q ' .6{(1 x y z )(q '2 2 ) x(q '2 L2 ) y[(q q ' )2 2 ] z[(q q ' )2 L2 ]}4
(3.8)
Thay thế: q ' p ( y z)q và tiến hành lấy tích phân theo p, chúng ta tìm được:
F (q )
2
eik
2
i
2 s
1
1 z
0
0
( sL ) dz dy
2 2
1 y z
dx. dp 2
0
.6 { p (1 x z ) x z L q 2 ( y z ) 1 y z }4
2
Feik2 (q 2 )
2
i
2 s
2
1
1 z
1 y z
0
0
0
( sL2 ) 2 dz dy
dx.2{q 2 [( y z ) ( y z ) 2 ] 2 (1 x z ) 2 ( x z )}3
(3.9)
Dễ dàng lấy tích phân theo x:
17
1 z
i
1
( sL2 ) 2 dz dy 2
.{[q 2 ([ y z ] [ y z ]2 ) 2 y L2 (1 y)]2
2
2 s
L
(3.10)
0
0
1
Feik2 (q 2 )
[q 2 ([ y z ] [ y z ]2 ) 2 (1 z ) L2 z ]2 }
Như vậy chúng ta định nghĩa:
I (q 2 , 2 , L2 )
1
Feik2 (q 2 )
thì:
1 z
1
dz dy.{[q 2 [( y z ) ( y z ) 2 ] 2 y L2 (1 y)}2
2
L 2 0 0
i
( sL2 )2 [ I (q 2 , 2 , L2 ) I (q 2 , L2 , 2 )]
2s
(3.11)
(3.12)
Trong biểu thức (3.11), đặt t = y + z thì
1
1
1
I (q , , L ) 2
dt dy.{q 2 [t t 2 2 y L2 (1 y )}2 ]
2
L 0 0
2
2
2
1
2
dt{[q 2 (t t 2 ) L2 ]1 [q 2 (t t 2 ) 2t L2 (1 t )]1
2
L 0
1
(3.13)
1
J (q 2 , L2 , 2 ) dt[q 2 (t t 2 ) 2t L2 (1 t )]1
Định nghĩa:
(3.14)
0
Chúng ta có hệ thức liên quan:
I (q 2 , L2 , 2 )
và: Feik2 (q 2 )
1
[ J (q 2 , L2 , 2 ) J (q 2 , L2 , L2 )]
2 2
(L )
2
(3.15)
i
1
( sL2 )2 2
[ J (q 2 , 2 , L2 ) J (q 2 , L2 , ) J (q 2 , 2 , 2 ) J (q 2 , L2 , L2 )]
2 2
2s
(L )
(3.16)
Dễ dàng xác định được J (q 2 , 2 , L2 ) . Kết quả là:
1
J (q 2 , 2 , L2 ) dt
0
q t t
2
1
2
t L 1 t
2
2
1
1
[ S (q 2 , 2 , L2 ) q 2 ]2 ( L2 2 ) 2
dt 2 2
.ln
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
q t q 2 2 L2 t L2 S (q , , L ) [ S (q , , L ) q ] ( L )
0
1
(3.17)
với:
S (q 2 , 2 , L2 ) (q 2 L2 2 ) 4L2 q 2 S (q 2 , L2 , 2 )
18
(3.18)
Đặc biệt : J (q 2 , 2 , L2 ) J (q 2 , L2 , 2 ) . Luôn nhớ rằng L nên:
S (q 2 , 2 , L2 ) q 2 L2 2 (
J (q 2 , 2 , L2 )
q 2 L2
)
q 2 L2
1
(q 2 L2 )2
ln
q 2 L2
L2 2
(3.19)
(3.20)
Nói cách khác:
J (q 2 , L2 , L2 )
2
q 4 4q 2 L2
( q 4 4q 2 L2 q 2 )2
4 L2 q 2
ln
J (q 2 , 2 , 2 )
2 q2
ln
q2 2
(3.21)
(3.22)
Chúng ta quan tâm đến pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến trong vùng q2
rất nhỏ so với L2. Như vậy chúng ta có phép gần đúng sau:
1
q 2 1 L2
J (q , , L ) 2
ln
ln
q L2 2 L2 q 2
2
2
2
(3.23)
J (q 2 , L2 , L2 )
1
L2
(3.24)
J (q 2 , 2 , 2 )
2 q2
ln
q2 2
(3.25)
Chúng ta tìm được:
J (q 2 , 2 , L2 ) J (q 2 , 2 , 2 ) J (q 2 , L2 , L2 )
q 2 q 2 L2 q 2
2 L2
ln
ln 2
(3.26)
q 2 ( L2 q 2 ) 2 L2 q 2 2 L
Sử dụng (3.16) và cộng thêm số hạng Born chúng ta có gần đúng eikonal bậc 2
theo :
2 q 2 L2 q 2
s L2
Feik(1)(2) (q 2 ) 2 2
1
i
ln 2 2 ln 2 2
2
L
q 2L
q L q
q
(3.27)
Như vậy thì thêm vào biểu thức pha Coulomb (1.12) còn có thêm một số hạng
pha v mới, nó sẽ không xuất hiện trong hạt điểm:
19
q 2 L2 q 2
ln
L2 q 2 2 L
(3.28)
Kết quả cuối cùng cho pha tán xạ là:
Bq 2
8
4q 2
2
2q 2
TOT ln
ln 1
2 ln 2 2
2
2
4q
B
(3.29)
thu được từ biểu thức (2.14) và (3.28), với chú ý là L2 2 / 4 . Pha của tán xạ như là
một hàm của q2 (hình 3.1). Vấn đề quan trọng là suy ra kết quả của West – Yennie,
(2.14), (2.15) từ biên độ tán xạ Coulomb nhờ có các hệ số ảnh hưởng lên pha (3.28).
Sự đóng góp của v vào pha tán xạ được biểu diễn trên hình 3.2.
20
