VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

HOÀNG THỊ MẤN

VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:

60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
Mở đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian vectơ . . .
1.2 Không gian vectơ tôpô
1.3 Không gian mêtric . . .
1.4 Ánh xạ đa trị . . . . .
1.5 Một số kí hiệu . . . . .
1.6 Hàm nửa liên tục dưới

3

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2 Nguyên lí biến phân Ekeland
2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . .
2.2 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài
2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ .

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

. . .
. . .
toán
. . .

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

15
. . . . . . 15
. . . . . . 23
cân bằng 23
. . . . . . 29

3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số
nguyên lí biến phân khác
3.1 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . .
3.1.1 Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) . . . .
3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) . . . . . . . . .
3.2 Sự tương đương giữa nguyên lí biến phân Ekeland và tính
đầy đủ của không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong chứng minh
định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Định lí điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Một kết quả tinh tế hơn của Clarke (Clarke’s Refinement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

6
6
7
10
12
12
12

36
36
36
38
41
43
44
44
46


3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk .
3.4 Một số nguyên lí biến phân khác . . . . . .
3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss
3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

48
51
51
54
58
59

Mở đầu
Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle,
viết tắt là EVP) được coi là một trong các kết quả quan trọng nhất của
giải tích phi tuyến trong bốn thập kỷ vừa qua.
Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng,
nếu hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên
tập đó. Khi X là tập không compact thì hàm f có thể không có điểm cực
trị. Với không gian metric đủ X , hàm f bị chặn dưới, với mỗi ε > 0, ta
luôn tìm được điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức là

inf f ≤ f (xε ) < inf f + ε.
X

X

Vào năm 1974, Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng, với hàm f nửa
liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian metric đủ X thì với mọi điểm
ε− xấp xỉ cực tiểu x, ta luôn tìm được điểm xˆ là cực tiểu chặt của hàm
nhiễu của hàm ban đầu, đồng thời f (ˆ
x) ≤ f (x). Không những thế, ta có
thể còn đánh giá được khoảng cách giữa x
ˆ và x .
Sau khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh
trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm
nhiều lĩnh vực: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển,
lí thuyết điểm bất động, kinh tế,...
Nguyên lí biến phân Ekeland đã được GS. Phạm Hữu Sách [1] sử dụng để
nghiên cứu vi phân ánh xạ đa trị và các điều kiện tối ưu trong bài toán

qui hoạch có tham gia các ánh xạ đa trị.
Sự tương đương của nguyên lí Ekeland với định lí điểm bất động CaristiKirk đã được phát hiện từ lâu. Năm 1984 Penot mới chứng minh được
rằng nguyên lí đó cũng tương đương với định lí giọt nước của Danes mà
3


sau này được gọi là dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland.
Trong những năm gần đây, nguyên lí này được mở rộng cho hàm f là ánh
xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian vectơ và áp dụng trong
các bài toán cân bằng.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến
nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và vectơ) cùng một số ứng dụng của
nguyên lí biến phân này.
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả của tôpô và giải tích
hàm phục vụ cho việc chứng minh các định lí.
Chương 2. Nguyên lí biến phân Ekeland
Chương này trình bày nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, các mở rộng
của nguyên lí biến phân Ekeland gồm nguyên lí biến phân Ekeland cho bài
toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ.
Chương 3. Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và
một số nguyên lí biến phân khác
Chương này trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland
gồm định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa và định lí giọt nước.
Ứng dụng định lí điểm bất động gồm định lí điểm bất động Banach,
một kết quả tinh tế hơn của Clarke, định lí điểm bất động Caristi-Kirk.
Cuối cùng là nguyên lí biến phân Borwein-Preiss và nguyên lí DevilleGodefroy-Zizler.
Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh cụ
thể và chi tiết cùng với những chỉnh sửa cần thiết) về nguyên lí biến phân

Ekeland.

4


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS.
Tạ Duy Phượng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải
đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô
đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất
đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã
quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt
nhiệm vụ của mình.

Hà Nội, Ngày 25 tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn
Hoàng Thị Mấn

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử F là một trường R hoặc C. Các phần tử của F
được gọi là số (đại lượng vô hướng). Một không gian véctơ V định nghĩa
trên trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng
véctơ và phép nhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tính
chất cơ bản sau đây được thỏa mãn:
1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:
Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán:
Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v;
3. Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa:
Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v;
4. Phép cộng véctơ có phần tử đối:
Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V : v + w = 0;
5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ:
Với mọi α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;
6. Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng:
Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv;
7. Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số
vô hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v;
8. Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép
nhân vô hướng: Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1.
6


Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian véctơ. Tập C ⊆ X được gọi là
tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C
(hay nói cách khác C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó).
Định nghĩa 1.1.3 (Nón). Cho X là một không gian vectơ. Tập K ⊂ X

được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu ∀x ∈ K, ∀λ ≥ 0 thì λx ∈ K .
K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.1.4 (Nón đóng). Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón đóng
nếu K là tập đóng.
Định nghĩa 1.1.5 (Nón nhọn). Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó
không chứa đường thẳng nào.
Định nghĩa 1.1.6 (Nón lồi). Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu
K là tập lồi, có nghĩa là

∀x, y ∈ K,

∀λ, µ > 0 và λ + µ = 1 thì λx + µy ∈ K.

Mệnh đề 1.1.1. K là nón lồi khi và chỉ khi K là nón và K + K = K.
Chứng minh. Giả sử K là nón. Theo định nghĩa ta có ∀x, y ∈ K thì
1
1
x ∈ K và y ∈ K .
2
2
1
1
1
Mặt khác, K là nón lồi nên (x + y) = x + y ∈ K . Vậy (x + y) ∈ K .
2
2
2
Suy ra K + K ⊆ K . Vậy K + K = K .
Đảo lại, vì K là nón nên λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K, ∀x, y ∈ K .
Mà K + K = K nên λx + (1 − λy) ∈ K hay K là tập lồi.

1.2

Không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 1.2.1 (Không gian tôpô). Cho một tập X = ∅. Họ τ các tập
con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu
(i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
(ii) Gα ∈ τ với α ∈ I, I là tập chỉ số bất kì thì ∪α∈I Gα ∈ τ ;
(iii) ∀G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ.
Tập X cùng với tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô.
Kí hiệu: (X, τ ).
7


Định nghĩa 1.2.2. Cho (X, τ ) là không gian tôpô.

• Tập G được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ.
• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.
Định nghĩa 1.2.3. Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X .
Tập U được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa
A. Khi A = {x} thì U là một lân cận của điểm x.
Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian tôpô (X, τ ). Một họ {Gα : α ∈ I}
các tập con của X được gọi là một phủ của tập A ⊂ X nếu A ⊂ ∪α∈I Gα .
Nếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ là hữu hạn.
Nếu mọi Gα là tập mở thì ta nói phủ là phủ mở.
Định nghĩa 1.2.5. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu từ mỗi phủ
mở của A ta luôn có thể lấy ra được một phủ con hữu hạn.
Nhận xét 1.2.1. Trong trường hợp A ⊂ Rn là tập compact khi và chỉ khi
A đóng và bi chặn.

Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử A là tập compact và {xk } là một dãy
phần tử của A sao cho xk → a. Ta chứng minh a ∈ A.
Vì A là tập compact, theo định nghĩa dãy {xk }k chứa một dãy con {xk }l
hội tụ đến một giới hạn thuộc A. Ta có

a = lim xk = lim xkl ∈ A.
k→+∞

l→+∞

Vậy A là tập đóng.
Giả sử ngược lại tập A không bị chặn. Khi đó với mỗi k ∈ N∗ tồn tại
xk ∈ A sao cho ||xk || > k . Vì A là tập compact, dãy {xk } ⊂ A có chứa
một dãy con {xkl }l sao cho xkl → a ∈ A (l → ∞). Do tính liên tục
của chuẩn ta có ||xkl || → ||a||, điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức
||xkl || > kl với mọi l ∈ N∗ . Vậy tập A phải bị chặn.
Điều kiện đủ. Giả sử A ⊂ Rn là tập hợp đóng và bị chặn và {xk }k là
dãy phần tử bất kì của A. Khi đó {xk }k là dãy bị chặn.
Theo định lí Bozano- Weierstrass thì trong không gian Rn mọi dãy bị chặn
đều chứa một dãy con hội tụ nên dãy {xk }k có chứa một dãy con {xkl }l
8


sao cho xkl → a (l → ∞).
Vì A là tập đóng nên a ∈ A. Vậy A là tập compact.
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì
của X . Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi:
(i) Điểm x là điểm trong của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của
x nằm trong A.
(ii) Điểm x là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của

x nằm trọn trong X\A.
(iii) Điểm x là điểm biên của tập A nếu x đồng thời không là điểm trong
và không là điểm ngoài của A. Hay nói cách khác, x là điểm biên của
A nếu mọi lân cận của x đều có giao khác rỗng với A và X\A.
Tập hợp những điểm biên của tập hợp A được gọi là biên của tập hợp
A, kí hiệu ∂A.
Định nghĩa 1.2.7. Cho X , Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f từ
X vào Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0 )
đều tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V. Ánh xạ f được gọi
là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .
Định nghĩa 1.2.8. Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X tương hợp
với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô
đó, tức là nếu:
1. x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y , tức là với mọi lân cận V
của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y
sao cho nếu x ∈ Ux , y ∈ Uy thì x + y ∈ V.
2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x, tức là với mọi lân cận V của
αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho |α − α | < ε,
x ∈ U thì α x ∈ V.
Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại
số gọi là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính).
Định nghĩa 1.2.9. Một không gian véctơ tôpô X được gọi là không gian
véctơ tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ
gồm các tập lồi.
9


Định nghĩa 1.2.10 (Ánh xạ liên tục). Cho X, Y là hai không gian tôpô.
Ánh xạ f : X → Y là liên tục tại điểm x trong X nếu mọi tập mở V trong
Y chứa f (x) thì có tập mở U của X chứa x sao cho f (U ) ⊂ V .

Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trên X .

1.3

Không gian mêtric

Định nghĩa 1.3.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng.
Một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn
(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó, d được gọi là khoảng cách hay một mêtric trên X và cặp (X, d)
được gọi là một không gian mêtric.
Định nghĩa 1.3.2. Trong không gian mêtric X . Một dãy {xn } được gọi
là dãy cơ bản nếu

(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn , xm ) < ε.
Định nghĩa 1.3.3. Không gian mêtric X trong đó mọi dãy cơ bản đều
hội tụ (tới một phần tử của X ) được gọi là một không gian đủ.
Định nghĩa 1.3.4. Cho không gian mêtric X . Tập hợp

B(x0 , r) = {x ∈ X|d(x0 , x) < r}
được gọi là hình cầu mở tâm x0 , bán kính r.
Định nghĩa 1.3.5. Cho không gian mêtric X . Tập hợp

B[x0 , r] = {x ∈ X|d(x0 , x) ≤ r}
được gọi là hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r.
Nhận xét 1.3.1. Mọi không gian mêtric là không gian tôpô với τ là họ
tất cả các hình cầu mở trong X cùng với giao hữu hạn và hợp vô hạn của

chúng.

10


Định nghĩa 1.3.6. Cho không gian mêtric (X, d). Dãy hình cầu (Sn ), Sn
có tâm an và bán kính rn trong không gian (X, d) được gọi là thắt dần
nếu Sn ⊃ Sn+1 (n = 1, 2, ...) và limn→∞ rn = 0.
Định lí 1.3.1 (Nguyên lí Cantor). Không gian mêtric (X, d) là không gian
đủ thì mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất.
Chứng minh. Với mọi m, n mà m > n thì am ∈ S[an , rn ].
Suy ra d(an , am ) < rn . Do đó lim d(an , am ) = 0.
m,n→∞

Vì vậy {an } là dãy Cauchy trong X .
Vì X đủ nên dãy {an } hội tụ đến a ∈ X . Khi đó a là điểm chung của mọi
hình cầu.
Thật vậy, với số tự nhiên n bất kì, {an+k }∞
k=1 là một dãy trong S[an , rn ]
và lim an+k = 1, cho nên a ∈ S[an , rn ] (∀n).
k→∞

Ta chứng minh a là điểm chung duy nhất của các hình cầu.
Thật vậy, giả sử b cũng là điểm chung của các hình cầu thì

d(a, b) ≤ d(a, an ) + d(an , b) ≤ rn + rn = 2rn (∀n).
Mà rn → 0 suy ra d(a, b) = 0. Vì vậy a = b.
Định lí hoàn toàn được chứng minh.
Định nghĩa 1.3.7 (Không gian định chuẩn). Không gian định chuẩn (hay
không gian tuyến tính định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên

trường P (P là trường số thực R hay trường số phức C) cùng với một ánh
xạ đi từ X vào tập hợp số thực, kí hiệu là ||.|| (đọc là chuẩn), thỏa mãn
các tiên đề sau:
(i) Với mọi x ∈ X thì ||x|| ≥ 0,
||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử không của X );
(ii) Với mọi x ∈ X , mọi α ∈ P thì ||αx|| = |α|||x||;
(iii) Với mọi x, y ∈ X thì ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (bất đẳng thức tam giác).
Kí hiệu (X, ||.||).
Định nghĩa 1.3.8 (Không gian Banach). Không gian định chuẩn (X, ||.||)
được gọi là không gian Banach nếu với mêtric sinh bởi ||.|| là không gian
đầy đủ.

11


1.4

Ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.4.1. Cho X , Y là hai tập hợp bất kì và tập các tập con
của Y (được kí hiệu là 2Y ). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y nếu với
mỗi x ∈ X , F (x) là một tập hợp con của Y .
Kí hiệu: F : X ⇒ Y, hay F : X → 2Y .

1.5

Một số kí hiệu

Ta kí hiệu
dom f = {x ∈ X|f (x) < +∞};

La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập mức dưới của f ;
epi f = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a} là tập trên đồ thị của f ;
dS (x) = d(S, x) := inf{d(x, y)|y ∈ S};
Br (S) := {x ∈ X|d(S, x) ≤ r;
graphF := {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x)} với F : X → 2X .

1.6

Hàm nửa liên tục dưới

Định nghĩa 1.6.1. Cho X là không gian mêtric và hàm f : X →
R ∪ {+∞}. Ta định nghĩa

lim inf f (x) = inf{y : ∃xn → x(n → ∞), lim f (xn ) = y}.
n→∞

x→x

Định nghĩa 1.6.2. Cho X là không gian tôpô. Hàm f : X → R ∪ {+∞}
được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu lim inf f (x) ≥ f (x0 ).
x→x0

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại
mọi điểm của X .
Nhận xét 1.6.1. Hàm f là nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi ∀ε > 0
tồn tại lân cận U của x0 sao cho ∀x ∈ U ta đều có f (x) ≥ f (x0 ) − ε.
Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.6.1. Cho X là không gian mêtric và hàm f : X → R ∪{+∞}.
Khi đó các khẳng định sau là tương đương
(i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X ;

12


(ii) epif = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a} là tập đóng trong X × R;
(iii) La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập đóng trong X(∀a ∈ R).
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên X . Ta lấy
dãy {(xn , an )} ⊂ epif sao cho lim (xn , an ) = (x0 , a0 ). Ta chỉ cần chỉ ra
n→∞

(x0 , a0 ) ∈ epif .
Thật vậy, vì lim xn = x0 , lim an = a0 và hàm f là nửa liên tục dưới tại
n→∞

n→∞

x0 nên lim inf f (xn ) ≥ f (x0 ).
n→∞

Mặt khác, {(xn , an )} ⊂ epif nên f (xn ) ≤ an (∀n ∈ N) nên lim inf f (xn ) ≤
n→∞

lim an . Do đó f (x0 ) ≤ lim inf f (xn ) ≤ lim an = a0 .

n→∞

n→∞

n→∞

Chứng tỏ rằng (x0 , a0 ) ∈ epif .

(ii) ⇒ (iii) Giả sử epi f là tập đóng trong X × R. Ta sẽ chứng minh
mọi tập mức của f đều đóng trong X .
Thật vậy, giả sử La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập mức bất kì của f . Lấy
dãy {xn } ⊂ La f sao cho lim xn = x0 . Do dãy {xn } ⊂ La f nên f (xn ) ≤ a
n→∞

hay (xn , a) ∈ epif, ∀n ∈ N.
Hơn nữa, lim xn = x0 nên lim (xn , a) = (x0 , a).
n→∞

n→∞

Mà epif là tập đóng trong X × R nên (x0 , a) ∈ epif , do đó x0 ∈ La f.
(iii) ⇒ (i) Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong X , ta cần chứng
minh f là hàm nửa liên tục dưới trên f .
Phản chứng, giả sử f không là hàm nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X . Khi đó,
tồn tại dãy {xn } ⊂ X sao cho lim xn = x0 , lim inf f (xn ) < f (x0 ). Chọn
n→∞

n→∞

ε > 0 đủ nhỏ sao cho tồn tại k ∈ N để f (xn ) ≤ f (x0 ) − ε, ∀n > k .
Xét tập mức L = {x ∈ X|f (x) ≤ f (x0 ) − ε}. Ta thấy xn ∈ L, ∀n > k .
Mặt khác, do L đóng và lim xn = x0 nên x0 ∈ L, do đó f (x0 ) < f (x0 ) − ε
n→∞

(vô lí).
Vậy f là nửa liên tục dưới trên X .
Định nghĩa 1.6.3. Cho tập S trong không gian mêtric (X, d). Hàm chỉ
của tập S là hàm

0
nếu x ∈ S,
lS (x) =
+∞ nếu x ∈
/ S.
13


Mệnh đề 1.6.2. Nếu S là tập đóng thì lS là hàm nửa liên tục dưới.
Chứng minh. Khi x0 ∈ S , từ định nghĩa hàm lS ta có, với mọi ε > 0 tồn
tại lân cận U của x0 mà lS (x) ≥ lS (x0 ) − ε, ∀x ∈ U.
Khi x0 ∈
/ S , do S là tập đóng nên d(x0 , S) > 0.
d(x0 , S)
Ta chọn r =
, ∀x ∈ B(x0 , r) thì x ∈
/ S.
2
Do đó, lS (x) ≥ lS (x0 ) − ε, ∀x ∈ B(x0 , r).
Vậy lS là hàm nửa liên tục dưới.
Định nghĩa 1.6.4. Cho một không gian vectơ X . Một hàm số f (x) xác
định trên X và lấy giá trị là số (thực hay phức, tùy theo X là không gian
thực hay phức) gọi là một phiếm hàm trên X .
Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu
(i) f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ X;
(ii) f (αx) = αf (x) với mọi x ∈ X và với mọi số α.
Định nghĩa 1.6.5 (Không gian liên hợp). Cho X là một không gian vectơ
tôpô. Không gian liên hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X , kí
hiệu là X ∗ là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X .

14


Chương 2

Nguyên lí biến phân Ekeland
Trong chương này, ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, xem
xét nguyên lí này trong không gian hữu hạn chiều, mở rộng của nguyên lí
biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí Ekeland vectơ.

2.1

Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển

Trong bài toán tối ưu, ta quan tâm đến câu hỏi là khi nào hàm f :
X → R ∪ {+∞} đạt cực tiểu trên X , tức là tồn tại xˆ ∈ X sao cho
f (x) ≥ f (ˆ
x) ∀x ∈ X .
Trước hết ta nhắc lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của
hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact.
Định lí 2.1.1 (Định lí Weierstrass). Cho hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm
nửa liên tục dưới trên tập X compact. Khi đó f đạt cực tiểu trên X .
Chứng minh. Đặt a = inf{f (x)|x ∈ X}. Khi đó có một dãy {xn } ⊂ X
sao cho lim f (xn ) = a.
n→∞

Do X compact, không mất tính tổng quát ta có thể coi {xn } là dãy hội tụ
đến x ∈ X . Ta sẽ chứng minh f (x) = a.
Thật vậy, do f là hàm nửa liên tục dưới tại x nên lim inf f (xn ) ≥ f (x).
n→∞

Kết hợp với lim f (xn ) = a ta suy ra f (x) ≤ a (điều đó chứng tỏ a = −∞).
n→∞

Mặt khác theo định nghĩa của a ta có f (x) ≥ a. Vậy f (x) = a và x là
điểm cực tiểu của hàm f trên X .
Như vậy, điều kiện để f đạt cực tiểu trên X là X là tập compact và f
phải là hàm nửa liên tục dưới trên X . Nếu ta bỏ đi tính chất compact của
15


tập X thì kết luận của định lí không còn đúng.
Ta các xét ví dụ sau.
1
Ví dụ 2.1.1. Xét hàm số f (x) = với x ≥ 1.
x
Vì X = [1, +∞) là tập đóng nhưng không bị chặn nên X không phải là
tập compact.
Hàm f liên tục trên X .
Rõ ràng tồn tại inf f (x) = 0 nhưng không tồn tại x0 ∈ [1, +∞) sao cho
x≥1

f (x0 ) ≤ f (x),

∀x ∈ [1, +∞).

Thật vậy, giả sử phản chứng, tồn tại x0 ∈ [1, +∞) sao cho

f (x0 ) ≤ f (x),
Ta có f (x0 ) ≤ f (x) ⇔

∀x ∈ [1, +∞).

1
1
≤ ⇔ x0 ≥ x.
x0
x

1
1
≤
tức f (x) ≤ f (x0 ) (mâu thuẫn).
x x0
Do đó f không đạt cực tiểu trên [1, +∞).
−1
Ví dụ 2.1.2. Xét hàm số f (x) =
với 0 < x ≤ 1.
x
Vì X = (0, 1] là tập bị chặn nhưng không đóng nên X không phải là tập
compact.
Hàm f liên tục trên X .
Rõ ràng không tồn tại x0 ∈ (0, 1] sao cho
Với x ≥ x0 thì

f (x0 ) ≤ f (x),

∀x ∈ (0, 1].

Thật vậy, lấy {xn } ⊂ (0, 1] bất kì mà xn → 0 khi n → ∞.

−1
Suy ra
→ −∞ khi n → ∞. Tức là, f (xn ) → ∞ khi n → ∞. Điều này
xn
chứng tỏ không tồn tại x0 ∈ (0, 1] sao cho f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ (0, 1].
Ta đã biết rằng mọi tập khác rỗng bị chặn dưới trong R đều có cận
dưới đúng. Vì {f (x), x ∈ X} là một tập khác rỗng trong R nên luôn tồn
tại inf{f (x), x ∈ X}. Nhưng nếu X không phải là tập compact thì dù f
có thể là hàm liên tục (như các ví dụ trên) thì vẫn chưa chắc đã tồn tại
min{f (x), x ∈ X}. Câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại hay không hàm ϕ(x)
"đủ gần" hàm f (x) mà tồn tại x
ˆ sao cho ϕ(ˆ
x) = min ϕ(x). Câu hỏi này
16


đã được trả lời bằng nguyên lí biến phân Ekeland.
Khi giả thiết compact của tập X không còn thì hàm f có thể không
đạt cực trị. Khi đó ta xét khái niệm điểm ε− xấp xỉ cực tiểu như sau.
Định nghĩa 2.1.1. Với ε > 0 cho trước, một điểm x ∈ X gọi là ε− xấp
xỉ cực tiểu của f (x) nếu

inf f ≤ f (x) < inf f + ε.
X

X

Điểm ε− xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới. Tuy
nhiên, khi X là không gian metric đủ thì nguyên lí biến phân Ekeland phát
biểu rằng, ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu

trên X . Sau đây ta phát biểu và chứng minh nguyên lí biến phân Ekeland
và một số phát biểu khác của nguyên lí này.
Định lí 2.1.2 (Nguyên lí biến phân Ekeland). Cho (X, d) là không gian
mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn
dưới. Giả sử ε > 0 và x ∈ X thỏa mãn

f (x) < inf f + ε.
X

(2.1)

Khi đó, với λ > 0 bất kì, tồn tại x
ˆ ∈ X sao cho
(i) f (ˆ
x) ≤ f (x);
(ii) d(ˆ
x, x) ≤ λ;
ε
(iii) f (x) + d(x, x
ˆ) > f (ˆ
x), ∀x ∈ X\{ˆ
x}.
λ
Nguyên lí biến phân Ekeland có nhiều cách chứng minh. Dưới đây chúng
tôi trình bày chứng minh nguyên lí này theo [2].
Định nghĩa 2.1.2. Cho số α > 0, ta định nghĩa quan hệ thứ tự ” ≤α ”
trên X × R như sau

(x1 , a1 ) ≤α (x2 , a2 ) ⇔ (a2 − a1 ) + αd(x1 , x2 ) ≤ 0.

(2.2)

Nếu (x1 , a1 ) ≤α (x2 , a2 ) thì ta cũng viết (x2 , a2 ) ≥α (x1 , a1 ).
Dễ dàng chứng minh quan hệ ” ≤α ” có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu.

• Tính phản xạ: Hiển nhiên ta có (x, a) ≤α (x, a) với mọi (x, a) ∈ X × R.
17


• Tính phản xứng: Giả sử rằng (x1 , a1 ) ≤α (x2 , a2 ) và (x2 , a2 ) ≤α
(x1 , a1 ). Ta cần chứng tỏ rằng(x1 , a1 ) = (x2 , a2 ).
Thật vậy, từ công thức (2.2) ta có
a1 − a2
(x , a ) ≤α (x , a ) ⇔ d(x , x ) ≤
α

(2.3)

a2 − a1
.
α

(2.4)

1

1

2

2

1

2

và

(x2 , a2 ) ≤α (x1 , a1 ) ⇔ d(x1 , x2 ) ≤

Suy ra 2d(x1 , x2 ) ≤ 0. Vì thế x1 = x2 .
Từ (2.3) và (2.4) ta có a1 ≤ a2 và a2 ≤ a1 nên a1 = a2 . Do đó
(x1 , a1 ) = (x2 , a2 ).

• Tính bắc cầu: Giả sử rằng (x1 , a1 ) ≤α (x2 , a2 ) và (x2 , a2 ) ≤α (x3 , a3 ).
Ta cần chứng tỏ (x1 , a1 ) ≤α (x3 , a3 ).
Ta có
a1 − a2
a2 − a3
1 2
2 3
d(x , x ) ≤
và d(x , x ) ≤
.
α
α
Do đó
a1 − a3
1 2
2 3

d(x , x ) + d(x , x ) ≤
.
α
Mặt khác
d(x1 , x3 ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ).
a1 − a3
Từ đây ta có d(x , x ) ≤
. Vậy (x1 , a1 ) ≤ (x3 , a3 ).
α
Khẳng định 1: Nếu (x1 , a1 ) ∈ X × R thì Ω := {(x, a) ∈ X × R : (x, a) ≥
(x1 , a1 )} là tập đóng.
1

3

Chứng minh. Thật vậy, giả sử {(xn , an ) ⊂ X × R thỏa mãn

(xn , an ) ≥α (x1 , a1 )
a1 − an
Do d(x , x ) ≤
,
α
1

n

(k = 2, 3, 4...) và xn → x; an → a

∀n ∈ N nên ta có
a1 − a

d(x , x) ≤
,
α
1

tức là (x, a) ≥ (x1 , y 1 ). Vậy (x, a) ∈ Ω. Ta đã chứng minh được rằng Ω là
tập đóng.
18


Khẳng định 2: Cho S là tập đóng trong X × R sao cho tồn tại m > 0
để a > m với mọi (x, a) ∈ S . Khi đó với mỗi phần tử (x1 , a1 ) ∈ S tồn
tại (x, a) ∈ S sao cho (x, a) ≥ (x1 , a1 ) và (x, a) là phần tử cực đại trong
S theo thứ tự ” ≤α ”, tức là, nếu (x, a) ∈ S và (x, a) ≤α (x, a) thì
(x, a) = (x, a).
Chứng minh. Ta xây dựng dãy (xn , an ) trong S bằng quy nạp như sau.
Bắt đầu từ (x1 , a1 ) ∈ S cho trước, giả sử (xn , an ) đã biết. Ta kí hiệu

S n = {(x, a) ∈ S|∃x ∈ X, (xn , an ) ≤α (x, a)}.
Theo khẳng định 1, S n là tập đóng. Ngoài ra, vì (xn , an ) ∈ S n nên S n = ∅.
Đặt
mn = inf{a ∈ R|(x, a) ∈ S n }.
Hiển nhiên mn ≥ m và mn ≤ an . Chọn (xn+1 , an+1 ) ∈ S n sao cho

an + mn
a
≤
.
(2.5)
2

Nếu mn = an thì đặt (xn+1 , an+1 ) = (xn , an ). Giả sử mn < an do
mn + an
mn + an
mn <
, tồn tại (x, a) ∈ S sao cho mn ≤ a <
. Đặt
2
2
(xn+1 , an+1 ) = (x, a) ta thấy (2.5) nghiệm đúng.
Dãy {S n } là các tập lồng nhau: S n+1 ⊂ S n , ∀n ∈ N.
Thật vậy, nếu (x, a) ∈ S n+1 thì
n+1

(xn , an ) ≤ (xn+1 , an+1 ) ≤ (x, a).
Do đó (x, a) ∈ Sn .
Đặt d((x, a), (x , a )) = d(x, x ) + |a − a |. Với mọi n ta có

mn ≤ mn+1 ≤ an+1
và

1
|an+1 − mn+1 | ≤ |an − mn | ≤ 2−n |a1 − m|.
2
Thật vậy, do (2.5) ta có
1
1
an+1 − mn+1 ≤ an+1 − mn ≤ (an − mn ) = |an − mn |.
2
2
Vì an+1 − mn+1 ≥ 0, từ đó suy ra

|an+1 − a| ≤ ... ≤ 2−n |a1 − m1 | ≤ 2−n |a1 − m|.
19


Với mọi (x, a) ∈ Sn+1 ta có

|an+1 − a| ≤ |an+1 − mn+1 | ≤ 2−n |a1 − m|.
Vì (xn+1 , an+1 ) ≤ (x, a) nên

0 ≤ d(x

n+1

an+1 − a
, x) ≤
.
α

Do đó

an+1 − a 2−n 1
0 ≤ d(x , x) ≤
≤
|a − m|.
α
α
Từ đó suy ra khi n → ∞, ta có
n+1

diamS n+1 := sup{d((x, a), (x , a )) : (x, a) ∈ S n+1 , (x , a ) ∈ S n+1 } → 0.

Vậy {S n } là dãy các tập đóng lồng nhau có đường kính giảm tới 0.
Vì X × R là không gian mêtric đủ nên tồn tại duy nhất phần tử (x, a) ∈
X × R thỏa mãn
n
∩∞
n=1 S = {(x, a)}.
Do (x, a) ∈ S 1 , ta có (x, a) ∈ S và (x1 , a1 ) ≤α (x, a).
Giả sử (x, a) ∈ S thỏa mãn

(x, a) ≤α (x, a).

(2.6)

Do (2.6) và do (x, a) ∈ S n , với mọi n ∈ N, ta có

(xn , an ) ≤α (x, a) ≤α (x, a).
Vậy (x, a) ∈ S n , ∀n ∈ N. Từ đó suy ra (x, a) = (x, a). Ta đã chứng
minh được rằng (x, a) là phần tử cực đại trong S .
Khẳng định 2 được chứng minh.
Đặt
S = epif = {(x, a) ∈ X × R : f (x) ≤ a}.
Do hàm f là nửa liên tục dưới, S là tập đóng trong X × R. Ta có (x, f (x)) ∈
S . Đặt (x1 , a1 ) = (x, f (x)), do Khẳng định 2 nên tồn tại (ˆ
x, a
ˆ) sao cho

(x1 , a1 ) ≤α (ˆ
x, a
ˆ)
và (ˆ

x, a
ˆ) là phần tử cực đại trong S theo thứ tự ” ≤α ”.
ε
Đặt α = . Từ (2.7) ta có
λ

a
ˆ − a1 + αd(x, xˆ) ≤ 0
20

(2.7)


hay

a
ˆ − f (x) + αd(x, xˆ) ≤ 0.

(2.8)

Mặt khác, ta có a
ˆ = f (ˆ
x). Thật vậy, giả sử a
ˆ > f (ˆ
x). Khi đó d(ˆ
x, xˆ) <
a
ˆ − f (ˆ
x)
. Suy ra (ˆ

x, a
ˆ) ≤α (ˆ
x, f (ˆ
x)) và (ˆ
x, a
ˆ) = (ˆ
x, f (ˆ
x)). Điều này chứng
2
tỏ (ˆ
x, a
ˆ) không thể là phần tử cực đại, mâu thuẫn. Vậy

a
ˆ = f (ˆ
x).

(2.9)

f (ˆ
x) − f (x) + αd(x, xˆ) ≤ α.

(2.10)

Thế (2.9) vào (2.8) ta có

Suy ra f (ˆ
x) − f (x) ≤ 0, tức tính chất (i) trong kết luận của định lí nghiệm
đúng. Do đó
x) + ε.

f (x) ≤ inf f (x) + ε ≤ f (ˆ
x∈X

Từ (2.10) ta có

αd(x, xˆ) ≤ f (x) − f (ˆ
x) ≤ ε.
Do đó

d(x, xˆ) ≤

ε
λ
= ε = λ.
α
ε

Vậy tính chất (ii) nghiệm đúng.
Để kiểm tra tính chất (iii), ta lấy tùy ý x ∈ X\{ˆ
x}.
Nếu f (x) = +∞ thì bất đẳng thức chặt trong (iii) là đúng.
Giả sử f (x) ∈ R. Vì (x, f (x)) ∈ S, (x, f (x)) = (ˆ
x, f (ˆ
x)) và (ˆ
x, f xˆ) là
phần tử cực đại trong S nên bất đẳng thức (ˆ
x, f (ˆ
x)) ≤α (x, f (x)) là sai.
Do đó
f (x) − f (ˆ

x) + αd(x, xˆ) > 0
hay

ε
f (x) − f (ˆ
x) + d(x, xˆ) > 0.
λ
Vậy tính chất (iii) nghiệm đúng. Định lí đã được chứng minh.
Nhận xét 2.1.1. Nếu X là không gian Banach thì tính chất (iii) trong
kết luận của Định lí suy ra
ε
ε
f (ˆ
x) + ||ˆ
x − xˆ|| ≤ f (x) + ||x − xˆ|| ∀x ∈ X.
λ
λ
21


ε
||x − xˆ||, ta có φ(ˆ
x) ≤ φ(x) với mọi x ∈ X , tức là
λ
xˆ là điểm cực tiểu toàn cục của hàm φ (một xấp xỉ của f ). Nói một cách
khác, nguyên lý biến phân Ekeland khẳng định rằng với mỗi điểm ε− cực
tiểu của hàm số thực nửa liên tục dưới trên một không gian mêtric đủ, tồn
tại điểm cực tiểu toàn cục của một hàm số xấp xỉ của hàm số thực đó, sao
cho điểm mới này cách điểm đã cho"không xa lắm" và giá trị của hàm số
thực ban đầu tại đó không lớn hơn giá trị của hàm số xấp xỉ tại điểm ε−

cực tiểu đã cho.

Đặt φ(x) = f (x) +

Các dạng khác của nguyên lí biến phân Ekeland.
Định lí 2.1.3. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X →
R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x ∈ X
thỏa mãn
f (x) < inf f + ε.
X

Khi đó, với mọi λ > 0 tồn tại x
ˆ ∈ X sao cho
(i) d(x, x
ˆ) ≤ λ;
ε
(ii) f (ˆ
x) + d(x, xˆ) ≤ f (x);
λε
(iii) f (x) + d(x, x
ˆ) > f (ˆ
x), ∀x ∈ X\{ˆ
x}.
λ
Hằng số λ trong định lí trên rất linh hoạt. Chọn λ =
sau.

√

ε, ta có kết quả

Định lí 2.1.4. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X →
R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x ∈ X
thỏa mãn
f (x) < inf f + ε.
X

Khi đó tồn tại x
ˆ ∈ X sao cho:
√
(i) d(ˆ
x, x) ≤ ε;
√
(ii) f (ˆ
x) + εd(ˆ
x, x) ≤ f (x);
√
(iii) f (x) + εd(ˆ
x, x) > f (ˆ
x), ∀x ∈ X\{ˆ
x}.
Khi điểm xấp xỉ cực tiểu x không biết rõ, ta chỉ quan tâm đến tính chất
của điểm x
ˆ với hàm nhiễu, ta có dạng yếu của nguyên lí biến phân sau.

22


Định lí 2.1.5. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X →
R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Khi đó với mọi ε > 0

tồn tại x
ˆ sao cho
√
f (x) + εd(ˆ
x, x) > f (ˆ
x), ∀x ∈ X\{ˆ
x}.

2.2
2.2.1

Mở rộng
Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng

Nguyên lí biến phân Ekeland đã được sử dụng rộng rãi trong giải tích
phi tuyến vì nó kế thừa sự tồn tại của các nghiệm xấp xỉ của bài toán cực
tiểu hóa cho hàm nửa liên tục dưới trên một không gian metric đầy đủ. Vì
bài toán tối ưu hóa là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng, trong
đó f (x, y) = g(y) − g(x), nên chúng ta quan tâm tới việc mở rộng nguyên
lí Ekeland cho bài toán cân bằng. Chúng ta bắt đầu bằng trình bày kết
quả tổng quát này cho song hàm f (trong [3]) với những chứng minh chi
tiết và những chỉnh sửa cần thiết.
Cho D ⊆ X là một tập đóng, trong đó X là một không gian tuyến tính
định chuẩn, và f : D × D → R.
Định lí 2.2.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn.
(i) f (x, .) là bị chặn dưới và nửa liên tục dưới với mọi x ∈ D;
(ii) f (t, t) = 0, ∀t ∈ D;
(iii) f (z, x) ≤ f (z, y) + f (y, x), ∀x, y, z ∈ D.
Khi đó, với mọi ε > 0, mọi x0 ∈ D tồn tại x
ˆ ∈ D sao cho

f (x0 , xˆ) + ε||x0 − xˆ|| ≤ 0
và

f (ˆ
x, x) + ε||ˆ
x − x|| > 0,

∀x ∈ D\{ˆ
x}.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta chứng minh cho trường hợp
ε = 1. Kí hiệu F (x) := {y ∈ D : f (x, y) + ||y − x|| ≤ 0}.
Từ (i) ta có F (x) là tập đóng với mọi x ∈ D.
Từ (ii) ta có f (x, x) = 0, ∀x ∈ D nên f (x, x) + ||x − x|| = 0, ∀x ∈ D, do

23


đó, x ∈ F (x). Vậy F (x) = ∅, ∀x ∈ D.
Giả sử y ∈ F (x) có nghĩa là

f (x, y) + ||y − x|| ≤ 0,

(2.11)

f (z, y) + ||y − z|| ≤ 0.

(2.12)

và z ∈ F (y), tức là
Cộng vế với vế của bất đẳng thức (2.11), (2.12) và kết hợp với (iii) ta có

0 ≥ f (x, y) + ||y − x|| + f (z, y) + ||y − z|| ≥ f (x, z) + ||z − x||.
Suy ra z ∈ F (x). Do đó từ giả thiết y ∈ F (x) suy ra F (y) ⊆ F (x).
Đặt v(x) := inf f (x, z).
z∈F (x)

Với mọi z ∈ F (x) ta có

||x − z|| ≤ −f (x, z) ≤ sup (−f (x, z)) = − inf f (x, z) = −v(x).
z∈F (x)

z∈F (x)

Do đó

||x − z|| ≤ −v(x),

∀z ∈ F (x).

Đặc biệt, nếu x1 , x2 ∈ F (x) thì

||x1 − x2 || ≤ ||x − x1 || + ||x − x2 || ≤ −v(x) − v(x) = −2v(x).
Suy ra diam(F (x)) ≤ −2v(x), ∀x ∈ D.
Cố định x0 ∈ D, do v(x) := inf f (x, z) nên với ε = 2−1 tồn tại x1 ∈
z∈F (x)

F (x0 ) sao cho
f (x0 , x1 ) ≤ v(x0 ) + 2−1 .

Lấy một điểm x2 ∈ F (x1 ). Như vậy, vì v(x1 ) :=

inf f (x1 , z) nên với

z∈F (x1 )

ε = 2−2 tồn tại x2 ∈ F (x1 ) sao cho
f (x1 , x2 ) ≤ v(x1 ) + 2−2 .
Cứ tiếp tục quá trình như trên ta thu được dãy {xn } ⊂ D sao cho xn+1 ∈
F (xn ) và
f (xn , xn+1 ) ≤ v(xn ) + 2−(n+1) .
(2.13)

24