BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT VÀ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phùng Thị Thúy

BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT
VÀ ỨNG DỤNG
Ngành: Giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn:

Hà Nội - 2010



LỜI GIỚI THIỆU

Lý thuyết Nevanlinna là lý thuyết phân bố giá trị toán học, với mục
đích chính là thiết lập định lí cơ bản thứ nhất và định lí cơ bản thứ
hai đối với ánh xạ phân hình. Lý thuyết này đã thu hút được nhiều sự
quan tâm của các nhà Toán học hiện nay. Các kết quả và công cụ của lý
thuyết này được áp dụng rộng rãi vào nhiều ngành của Toán học như:
giải tích phức Hyperbolic, xấp xỉ Diophantine,. . .
Một trong những công cụ chính của lý thuyết Nevanlinna là bổ đề đạo
hàm Logarit. Bổ đề đạo hàm logarit được xây dựng và chứng minh bởi
nhiều nhà toán học như Bloch’s, T.Ochiai, W. Cherry,... Kết quả của
bổ đề này được ứng dụng để mở rộng nhiều phần khác của lý thuyết
này như chứng minh định lý cơ bản thứ hai, một trong hai định lý quan

trọng nhất trong lý thuyết này. Vì vậy, tôi đã chọn đề tài: ”Bổ đề đạo
hàm Logarit và ứng dụng”. Mục đích của luận văn này trình bày
được một số kiến thức cơ sở lý thuyết Nevanlinna, trong đó đặc biệt là
bổ đề đạo hàm logarit và ứng dụng của nó trong việc chứng minh định
lý cơ bản thứ hai. Nội dung của luận văn gồm 2 chương
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản và hai định lý cơ
bản trong lý thuyết Nevanlinna, bổ đề đạo hàm Logarit. Chương này
cung cấp cho ta những cơ sở đầu tiên để mở rộng lý thuyết Nevanlinna
trong chiều cao hơn.


Chương 2. Bổ đề đạo hàm Logarit cho trường hợp nhiều biến.
Trong chương này, chúng ta mở rộng bổ đề đạo hàm Logarit cho trường
hợp nhiều biến và trình bày ứng dụng của nó cho việc chứng minh định
lý cơ bản thứ hai. Sau đó, chúng ta chứng minh bổ đề đạo hàm logarit
cho vi phân jet của dạng logarit, được viết dựa theo nội dung của bài
báo "On holomorphic jet bundles" của W. Stoll được đăng tại tạp chí
AG. math (2000).

Để hoàn thành luận văn này, lời đầu tiên trong luận văn tôi xin bày
tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Đình Sang
người thầy đã tận tình dạy bảo, hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và
làm luận văn. Và tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Ninh
Văn Thu người đã trực tiếp giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận
văn. Tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô khoa Toán - Cơ
- Tin học, quý thầy cô phòng Sau đại học – Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành luận
văn này.

Mục lục

Lời giới thiệu

2

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1

1.1.

CÁC HÀM CƠ BẢN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Hàm đếm N (r, f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2. Hàm xấp xỉ m(r, f ) . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3. Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1. Bổ đề Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2. Định lý Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.4. Bất đẳng thức Nevanlinna . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. Bổ đề Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2. Bổ đề đạo hàm Logarit . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.3. Định lý cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 2. BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT CHO TRƯỜNG
HỢP NHIỀU BIẾN

20

2.1. CÔNG THỨC JENSEN . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1. Một số định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2. Công thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26


2.2. BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.1. Bổ đề đạo hàm Logarit . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.

ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.

PHÂN THỚ JET CHỈNH HÌNH . . . . . . . . . . . . .

34

2.4.1. Một số khái niệm cơ bản về phân thớ jet . . . . .

35

2.4.2. Bổ đề đạo hàm logarit cho vi phân jet kì dị

. . .

36

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.

CÁC HÀM CƠ BẢN

Trong phần này, chúng ta trình bày một số khái niệm cơ bản về hàm
đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng. Cho f là hàm phân hình trên hình
tròn tâm O, bán kính R, 0 < R < ∞, r < R, ở đây hàm phân hình
h(z)
được hiểu là thương
, trong đó h(z), g(z) là hai hàm chỉnh hình và
g(z)
g(z) ̸= 0.
1.1.1.

Hàm đếm N (r, f )

Hàm đếm của f được định nghĩa bởi
∫r
[n (t, f ) − n (0, f )]

N (r, f ) = n (0, f ) log r +

dt
.
t

0

Trong đó, n (t, f ) là số cực điểm của f kể cả trên bội trên {|z| ∈ C :
|z|

t}. Với mỗi a ∈ C hàm đếm các a– điểm được định nghĩa bởi
(
)
1
Nf (r, a) = N r,
.
f −a

Nếu a = 0 thì nó đếm các 0-điểm
Nf (r, 0) =

ord+
0 (f ) . log r

+

∑
z∈D(r),z̸=0

(ord+
z f ). log

r
,
z

trong đó ord+
z f = max{0; ordz f } là cấp triệt tiêu của f và là số bội của
0−điểm tại z.
1


1.1.2.

Hàm xấp xỉ m(r, f )

Trước hết ta định nghĩa
log+ (x) = max{log x, 0} =



log x nếu x ≥ 1

0

(1.1)

nếu 0 < x < 1.

Khi đó hàm log + , có tính chất sau đây
1. log+ (xy) ≤ log+ (x) + log+ (y),
2. log+ (x + y) ≤ log+ (x) + log+ (y) + log 2,
( )
1
3. log(x) = log+ (x) − log+
,

x
( )
1
4. | log(x)| = log+ (x) + log+
x
Hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi
∫2π
m (r, f ) =

(
) dθ
log+ f reiθ
.
2π

0

Giá trị m(r, f ) là độ lớn trung bình của log |f (z)| trên |z| = r. Với a ∈ C
bất kì, hàm xấp xỉ tại a-điểm mf (r, a) được xác định bởi
(

) ∫2π
1
1
dθ
mf (r, a) = m r,
= log+
.
f −a
|f (reiθ ) − a| 2π

0

Chú ý rằng, m(r, f ) đặc trưng cho độ tăng của f khi z → ∞.
1.1.3.

Hàm đặc trưng

Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi
T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ).
2


Hàm đặc trưng đóng một vai trò rất quan trọng trọng lý thuyết Nevanlinna.
Ví dụ
1. Nếu f = const thì T (r, f ) = O(1).
2. Nếu f =

P (z)
thì T (r, f ) = O(log r).
Q(z)

3. Nếu f = ez thì T (r, f ) = r + O(1).
1.2.

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT

Với a ∈ C, r > 0, kí hiệu ∆(a, r) = {z ∈ C; |z − a| < r} là hình tròn
tâm a bán kính r. Khi a=0 ta viết ∆(r) = ∆(0, r). Giả sử φ(z) = φ(x, y)
là hàm khả vi. Ta nhắc lại một số kí hiệu
(

)
∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ
,
=
+
∂z
2 ∂x i ∂y
(
)
∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ
=
−
,
∂z
2 ∂x
i ∂y
dz = dx + idy, dz = dx − idy,
∂φ
∂φ
dz, ∂φ =
dz,
∂z
∂z
(
)
(
)
i
1
∂φ

∂φ
dc φ =
∂φ − ∂φ =
dy −
dx ,
4π
4π ∂x
∂y
i
∂∂φ,
dφ = ∂φ + ∂φ, ddc φ =
2π
∂ 2φ
∂∂φ =
dz ∧ dz.
∂z∂z
Trong hệ tọa độ cực z = reiθ , dc được biểu diễn dưới dạng
(
)
∂φ
1
1
∂φ
r dθ −
dr .
dc φ =
4π
∂r
r ∂θ
∂φ =

3


Giả sử φ(z) là hàm thực xác định trên C, với tập các điểm kì dị của
φ được kí hiệu bởi Z = {av }v∈I là tập rời rạc. Trong một lân cận U (av )
của av hàm φ có biểu diễn
φ(z) = λv log |z − av | + ψv (z), trong đó ψv ∈ C 2 (U (av )) và λv ∈ R.
Trước khi chứng minh định lý cơ bản thứ nhất ta cần phải chứng
minh bổ đề và định lý sau.
1.2.1.

Bổ đề Jensen

Bổ đề 1. Giả sử φ(z) xây dựng như trên. Thế thì với 0 ≤ s < r nếu
φ(0) ̸= ±∞ và với 0 < s < r ta có
∫

1
2π

φ(z)dθ −

∫

1
2π

|z|=r

∫r
φ(z)dθ = 2

|z|=s

s

∫

dt
t

i
∂∂φ +
2π

∫r
s

∆(t)





dt  ∑ 
λv .
t
|av |

Chứng minh. Trường hợp 1. {av } = ∅.
Ta có
1
dc log |z| =
4π

(

∂
1 ∂
r (log r) dθ −
(log r) dr
∂r
r ∂θ

Đặt
1
I=
2π

∫

1
φ(z)dθ −
2π

|z|=r

∫
|z|=r

φ(z)dθ

∫

dφ(z)d (log (|z|)) = 2

s<|z|
d (φdc log |z|)

∆(r)\∆(s)

∫∫

=2

(1.2)

∫

c

=2

dθ
.
4π

φ(z)dc log |z|

|z|=s

∫

=

|z|=s

∫

φ(z)dc log |z| − 2

=2

)

dφ ∧ dc log |z| + φddc log |z|

∆(r)\∆(s)

4

.


Do ∂∂ = 0 nên φddc log |z| = 0. Vì vậy,
∫∫
I=2
dφ ∧ dc log |z|.

∆(r)\∆(s)

Mặt khác, ta lại có
df ∧ dc g =
=
=
=
=

(
)
)
i (
∂+∂ f ∧
∂−∂ g
4π
(
)
)
i (
∂f + ∂f ∧
∂g − ∂g
4π
i
i
∂f ∧ ∂g − ∂f ∧ ∂g
4π
4π
)
i (

∂f ∧ ∂g + ∂g ∧ ∂f df ∧ dc g
4π
)
i (
∂g ∧ ∂f + ∂f ∧ ∂g .
4π

Áp dụng công thức Stokes, ta nhận được
)
∫r ∫ ∫
∫r
∫
∫r ( ∫
1
dt
i
1
c
c
d φ dt = 2
d(d φ)dt = 2
I=2
∂∂φ.
t
t
t
2π
s

|z|=t

s

|z|
s

∆(t)

Trường hợp 2. {ar } = {a} , φ = λ log |z − a| với a ∈ ∆(r)\∆(s). Khi
đó, ta có

∫r
2
s

dt
t

∫

i
∂∂(φ) = 0.
2π

∆t

Ta sẽ chứng minh
1
VT =

2π

∫

1
log |z − a|dθ −
2π

|z|=r

∫
λ log |z − a| = λ
|z|=s

5

∫r
s

dt
.
t


(

r
Thật vậy, do log
− eiθ
a

1
2π

∫

)
là hàm điều hòa nên

1
λ log |z − a|dθ =
2π

|z|=r

∫

1
λlog|z − a|dθ +
2π

|z|=r

1
2π

=

∫

λ log |e−iθ |dθ

0

λ log |r − ae−iθ |dθ, z = reiθ

|z|=r

1
=
2π

∫2π

∫

λ log

(r
a

−e

iθ

)

1
dθ +
2π

|z|=r

∫
λ log |a|dθ
|z|=r

r
+ λ log |a|
a
= λ log r.
= λ log

Tương tự, ta cũng có
1
2π

∫
λ log |z − a| = λ log s.
|z|=s

∫r dt
Do đó, V T = λ(log r − log s) = λ .
t
s
Trường hợp 3. φ(z) = λ log |z − a| + ψ(z) với 0 < s < |a| < r.
Ta có
1
VT =
2π

∫

1
φdθ −
2π

∫
φdθ

|z|=r

∫

|z|=s

|z|=r

|z|=s

∫
1
λ log |z − a|dθ −
λ log |z − a|dθ
2π
|z|=r
|z|=s
∫
∫
1
1

+
ψdθ −
ψdθ
2π
2π
1
=
2π

∫s
= λ(log r − log s) + 2
r

6

dt
t

∫∫
∆(t)

i
∂∂ψ.
2π


Vì ∂∂(λ log |z − a|) = 0 nên ∂∂φ = ∂∂ψ.
∫r dt ∫∫ i
∫r dt
Vì vậy, V T = 2

∂∂φ + λ = V P.
t
s t ∆(t) 2π
s
Trường hợp 4. Trường hợp tổng quát được suy ra từ trường hợp 1,2 và
3.
Định nghĩa 1. Một divisor trên lân cận V ⊂ U ⊂ C là

∑∞

v=1 λv zv ,

trong

đó {zv }∞
v=1 là tập rời rạc của V và hằng số λv ∈ Z , v = 1, 2, · · · .
Giả sử f là hàm phân hình trên U, {av } là tập các 0-điểm và cực
điểm của f và λv là bậc của av khi đó trong lân cận của av tồn tại hàm
chỉnh hình g(z) sao cho f (z) = (z − av )λv g(z) với g(av ) ̸= 0, λv ∈ Z.
- Divisor 0- điểm của f (z) được định nghĩa bởi
∑
(f )0 =
λv av .
λv >0

- Divisor cực điểm của f (z) được định nghĩa bởi
∑
(f )∞ =
|λv |av
λv<0

(f ) = (f )0 − (f )∞ =

∑

λv av là divisor của f.

v

1.2.2.

Định lý Jensen

Định lý 1. Giả sử f (z) là hàm phân hình, khi đó
∫
∫
1
1
N (r, f ) =
log |f |dθ −
log |f |dθ.
2π
2π
|z|=r

|z|=1

Chứng minh. Áp dụng bổ đề Jensen đối với hàm
φ(z) = λv log |z − av | + ψ(z), ta có
∫r ∑

∫
∫
∫r ∫ ∫
1
1
dt
dt
i
φdθ−
φdθ =
∂∂φ + (
λv ) .
2π
2π
t
2π
t
|z|=r

|z|=1

1

∆t

7

1

|av |

Đặt φ(z) = log |f |. Do f (z) = {z − av }λv g(z), g(av ) ̸= 0 và {av }∞
v=1 là tập
điểm rời rạc nên log |f (z)| = λv log |z − av | + log |g(z)|. Đặt log |g(z)| =
ψv . Áp dụng bổ đề Jensen, ta có
1
2π

∫
log |f |dθ−

∫

1
2π

|z|=r

∫r
log |f |dθ =

|z|=1

Do đó, N (r, (f )) =

dt
t

∫∫



∫r ∑
i
dt
∂∂ log |f |+ 
λv  .
2π
t

|z|
1

1

|av |
1 ∫
1 ∫
log |f |dθ −
log |f |dθ.
2π |z|=r
2π |z|=1

Vì vậy, chúng ta có
∫

1

N (r, (f )0 ) − N (r, (f )∞ ) =
2π

1
log |f |dθ −
2π

|z|=r

1.2.3.

∫
log |f |dθ.
|z|=1

Định lý cơ bản thứ nhất

Định lý 2. Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C và a ∈ C. Khi đó
(
)
1
T r,
= T (r, f ) + O(1).
f −a
Chứng minh. Áp dụng định lý Jensen cho hàm φ(z) = log |f (z) − a|, ta
có

=

1

2π

∫

N (r, (f − a)0 ) − N (r, (f − a)∞ )
∫
1
log |f (z) − a|dθ −
log |f (z) − a|dθ.
2π

|z|=r

|z|=1

Vì log |f (z) − a| = log+ |f (z) − a| − log+
nên N (r, (f − a)0 ) +

1
và (f − a)∞ = (f )∞
|f (z) − a|

1 ∫
1
log+
dθ =
2π |z|=r
|f (z) − a|
8

= N (r, (f )∞ ) +

1 ∫
1 ∫
log+ |f (z) − a|dθ −
log |f (z) − a|dθ.
2π |z|=r
2π |z|=1

Do log+ |f (z) − a| ≤ log+ |f (z)| + log+ a + log 2 nên
∫
1
1
N (r, (f − a)0 ) +
log+
dθ
2π
|f (z) − a|
∫

1
≤ N (r, (f )∞ )+
2π
(

|z|=r

1
log f (z)dθ+log a+log 2−

2π
+

|z|=r

∫
log |f (z) − a|dθ.

+

|z|=1

)

1
= T (r, f ) + O(1), trong đó
f −a
∫
1
+
|O(1)| = log a + log 2 +
log |f (z) − a|dθ .
2π

Từ đó, ta có T r,

|z|=r

1.2.4.

Bất đẳng thức Nevanlinna

Định lý 3. Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C thì tồn tại hằng số C
sao cho
N (r, (f − a)0 )

T (r, f ) + C, trên C.

Chứng minh. Ta phải chứng minh I(a) =

1 ∫
log |f (z) − a|dθ liên
2π |z|=1

tục trên C. Thật vậy,
+ Nếu a ∈
/ f ({|z| = 1}) thì I(a) liên tục.
+ Nếu a thuộc lân cận U (f (1)) đủ bé của f (1) ̸= ∞, đặt e1 = f (1) −
a, f (z)−f (1) = (z −1)k g(z), g(z) là hàm chỉnh hình thỏa mãn g(1) ̸= 0.

9


Với z = eiθ . Ta có
(
(z − 1)k

)k

(

)k
θ
θ
θ
= cos θ − 1 + i sin θ = −2 sin2 + 2i sin cos
2
2
2
(
)k
θ
θ
θ
= 2k ik sink
cos + i sin
2
2
2
(
)
kθ
kθ
k k
k θ
cos
+ i sin
.
(1.3)
= 2 i sin

2
2
2
′

′

Với mọi ε > 0, ∃δ > δ > 0 sao cho nếu |ε1 | < δ thì
∫δ
∫δ
log (z − 1)k g(z) + ε1 dθ < ε ⇔
log (z − 1)k + ε2 dθ < ε, trong
−δ

−δ

ε1
đó ε2 =
. Từ (1.4), ta suy ra rằng, tồn tại δ > 0 và ε3 > 0 sao cho
g(z)
∫δ

∫δ
log(θk + ε3 )dθ

log θdθ = kδ log δ − kδ > −ε.

k

0

0

Vì vậy,

∫δ
−ε <

log(θk + ε3 )dθ < 0.
0

Do đó, I(a) bị chặn. Vậy, nó liên tục với |a|

1.

Theo định lý cơ bản thứ nhất tồn tại hằng số C > 0 sao cho
(
)
1
T r,
= T (r, f ) + O(1).
f −a
(

)

(

)

Do đó N r, (f − a)0 +m r,
Vì vậy, N (r, (f − a)0 )

1
= T (r, f ) + O(1).
f −a

T (r, f ) + C với |a|

trường hợp sau
- Với |a| > 1, do (f − a)0 =

(

1 1
−
f a

)

10

và
0

1, r

(1.4)

1. Khi đó, ta có

1
< 1 theo (1.5) tồn tại hằng
a


′

số C > 0 thỏa mãn

( (
))
1 1
−
N (r, (f − a)0 ) = N r,
f a 0

)
1
′
+C .
T r,
f
(
)
1
′′
- Với a = 0 theo định lý cơ bản thứ nhất ta có T r,
T (r, f ) + C
f

(

(

)

⇒ N r, (f − a)0

T (r, f ) + C1 .

1.3.

BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT
(
′)
f
Để có thể đánh giá m r,
ta cần đến bổ đề sau.
f

1.3.1.

Bổ đề Borel

Bổ đề 2. Giả sử ϕ(r)

0, (r

r0

0) là một hàm đơn điệu tăng với

bất kỳ δ > 0 thì ta có
d
ϕ(r)
dr
′′ ′′
∥E

ϕ(r)1+δ ∥E(δ) .

nghĩa là bất đẳng thức đúng với mọi r nằm ngoài tập E ⊂ [r0 , ∞)

với độ đo Lebesgue hữu hạn.
Chứng minh. Do ϕ(r) là đơn điệu tăng nên

d
ϕ(r) tồn tại h.k.n. Giả sử
dr

ϕ(r) ̸= 0, lấy r1 > r0 sao cho ϕ(r1 ) > 0.
d
Đặt E(δ) = {r r1 : ϕ(r) > ϕ(r)1+δ }.
dr
dϕ(r)
Ta có
> dr trên E(δ). Điều này suy ra rằng
ϕ(r)1+δ
∫

∫
dr

E(δ)

∫+∞

dϕ(r)
ϕ(r)1+δ

r1

E(δ)

11

dϕ(r)
ϕ(r)1+δ

1
.
δϕ(r1 )δ


Định nghĩa 2. Giả sử f là hàm phân hình. Phần tử diện tích
1
1
dω ∧ dω
(1 + |ω|2 )2 2π

Ω = ddc log(1 + |ω|2 ) =

được gọi là dạng metric Fubini-Study trên diện Riemann và
∫r dt ∫ ∗
Tf (r, Ω) =
f Ω.
1 t ∆(t)
1.3.2.

Bổ đề đạo hàm Logarit

Bổ đề 3. Giả sử f (z) là hàm phân hình, và δ > 0. Khi đó
(
)
(
′)
2
f
(1 + δ)
δ
1+
log+ T (r, f ) + log r + O(1)∥E(δ) .
m r,
f
2
2
Chứng minh. Ta định nghĩa phần tử diện tích bởi công thức
Φ=

i

1
dω ∧ dω.
[1 + (log |ω|)2 ]|ω|2 4π 2

Vì ω = r(cos θ + i sin θ) và ω
¯ = r(cos θ − i sin θ) nên dωd¯
ω = 2irdrdθ.
Từ đó,
∫

∫
Φ =

C

C

1
r
drdθ
2
2
[1 + (log r) ]r 2π 2

1
=
2π 2

∫

∫

2π

+∞

dθ
0

Đặt

1

∫r
M(r) =

d log r

(

1 + (log r)2

dt
t

1

∫
∆(t)

12

f ∗ Φ,

) = 1.


trong đó ∆(t) = {z ∈ C : |z| < t}. Bằng tính toán cụ thể ta nhận được
∫r

∫

dt
t

M(r) =
1

′

|f |2
i
dz ∧ dz
[1 + (log |f |)2 ]|f 2 | 4π 2

∆(t)

∫r

∫

dt
t

=
∫

1

dt
n(t, (f − ω)0 )Φ(ω)
t

ω∈C

N (r, (f − ω)0 )Φ(ω).

=
ω∈C

Theo bất đẳng thức Nevanlinna, ta có
N (r, (f − ω)0 )

T (r, f ) + C. Do đó, M(r)

T (r, f ) + C.

Theo bổ đề Borel và tính lồi của log ta có đánh giá sau đây
(
)

′
(
)
2
2
∫
∫
|f | 1 + (log |f |)
′
′
f
1
1
+ |f |
+
m r,
=
log
dθ
log
dθ
f
2π
|f |
4π
[1 + (log |f |)2 ]|f |2
|z|=r

1
4π

∫

|z|=r

′

|f |2

log (
+

1+

|z|=r

)

(log |f |)2
+

1
4π

dθ+
|f |2

∫

(

(

log+ 1 + log+ |f | + log+

)2 )
1
dθ
f

|z|=r

1
4π

∫
|z|=r

(

′

log 1 + (

|f |

2

)
)

dθ

1 + (log |f |)2 |f |2
(
)
∫
1
1
1
+
log+ log+ |f | + log+
dθ + log 2
2π
f
2
|z|=r

13


(

1
1
log 1 +
2
2π

∫

|z|=r

′

)

|f |

(
1+
∫

2

dθ

(log |f |)2

1
+
2π

(

f |2

)
1
1
dθ + log 2

log 1 + log |f | + log
|f |
2
+

|z|=r

+

(
)
∫
1
1 d
1
|f ′ |2
log 1 +
rdrdθ +
2
r dr
[1 + (log |f |)2 ]|f |2 2π
∆(r)
[
]
∫
∫
1
1
1
1

log+ |f |dθ +
log+ dθ + log 2.
+ log 1 +
2π
2π
|f |
2
|z|=r

|z|=r

(
)
(
)
1
π d ∫ ∗
1
1
log 1 +
f Φ + log 1 + m(r, f ) + m(r, ) + log 2
2
r dr ∆(r)
f
2
(
)
(
)1+δ
π ∫ ∗

1
log 1 +
f Φ
+ log+ T (r, f ) + O(1)∥E1 (δ)
2
r ∆(r)
(
(
)1+δ )
r dt ∫
∫
d
1
+ log+ T (r, f )+O(1)∥E1 (δ)
log 1 + πrδ
f ∗Φ
2
dr 1 t ∆(t)
(
)
1
2
log 1 + πrδ M(r)(1+δ) + log+ T (r, f ) + O(1)∥E2 (δ)
2
(1 + δ)2
δ
log+ M(r) + log+ r + log+ T (r, f ) + O(1)∥E2 (δ)
2
)
( 2

2
(1 + δ)
δ
log+ T (r, f ) + log+ r + O(1)∥E2 (δ) .
1+
2
2
Vậy, bổ đề được chứng minh.
Theo bổ đề trên ta kí hiệu
S(r, f ) = O(log T (r, f )) + δ log r∥E(δ) .

(1.5)

Ta sẽ sử dụng kết quả của bổ đề 3 chứng minh định lý cơ bản thứ hai

14


1.3.3.

Định lý cơ bản thứ hai

Định lý 4. Giả sử f (z) là hàm phân hình và a1 , ..., aq ∈ {C ∪ {∞}} là
các điểm phân biệt. Khi đó
(q − 2)T (r, f )

q
∑

N1 (r, (f − ai )0 ) + S(r, f ).

i=1

Chứng minh. Theo định lý cơ bản thứ nhất, không mất tổng quát ta có
thể giả sử a1 , ...aq−1 ∈ C , aq = ∞.
Với ω ∈ C, và a ∈ C, ta đặt

|ω − a|



√
√

1 + |ω|2 1 + |a|2
∥ω − a∥ =
1



√
1 + |ω|2

nếu a ∈ C
nếu a = ∞.

Khi đó, ||ω − a|| được gọi là hàm khoảng cách trên mặt cầu Riemann.
q−2
∑
∏

Đặt ψ(ω) =
∥ω − aij ∥.
1 i1 .. iq−2 q j=1

Với ψ(ω) xác định dương và liên tục, tồn tại hằng số C > 0 sao cho
1
C

ψ(ω)

C.

Ta có
ψ(f (z)) =

q
∏
i=1

∥f (z) − ai ∥.

∑
1 i1 i2

15

1
∥f (z) − ai1 ∥∥f (z) − ai2 ∥
q

(1.6)


=(







×


1





√
1 + |f (z)|2
√(

∑

1 ∏ |f (z) − ai |
√
)q−2 ′
|f (z)| i=1 1 + |ai |2

q−1

1

)(

1 + |ai1 |2

)
1 + |ai2 |2

|ai1 − ai2 |

i1 i2 q−1

+

q−1
∑
√

′

′

(f (z) − ai2 )
(f (z) − ai1 )
−
+
(f (z) − ai1 )

(f (z) − ai2 )
′

1 + |ai |2

i=1

(f (z) − ai )
f (z) − ai

}
. (1.7)

Từ (1.6), ta nhận được
(√
)q−2
1 + |f (z)|2

q−1
C ∏ |f (z) − ai |
√
|f ′ (z)| i=1
1 + |ai |2

{q−1 √
∏

′

(f (z) − ai )

1 + |ai |2
f (z) − ai
i−1
}
√
′
′
2
2
∑
(1 + |ai1 | )(1 + |ai2 | ) (f (z) − ai1 )
(f (z) − ai2 )
−
.
|a
f
(z)
−
a
f
(z)
−
a
−
a
|
i
i
i
i

1
1
2
2
i i q−1

+
1

1

2

Lấy log hai vế và tính trung bình đường tròn ta được
(√
log

+
1

)q−2
1 + |f (z)|

2

{ q−1 √
′
q−1
∏
C

|f (z) − ai | ∑
2 (f (z) − ai )
√
log ′
1 + |ai |
.
+
|f (z)| i=1
f
(z)
−
a
2
i
i=1
1 + |ai |
√(
)(
)
2
2
′
′
1 + |ai1 |
1 + |ai2 |
∑
(f (z) − ai2 )
(f (z) − ai1 )
−
|a

−
a
|
f
(z)
−
a
f (z) − ai2
i
i
i
1
2
1
i i q−1
1

2











.

(1.8)

16


(√
)q−2
2
Áp dụng định lý Jensen cho hàm φ(z) = log
1 + |f (z)|
ta có
∫

(√
(√
)q−2
)q−2
∫
dθ
dθ
log
1 + |f (z)|2
−
log
1 + |f (z)|2
2π
2π
|z|=1

|z|=r

∫r
= (q − 2)

dt
t

1

∫r
= (q − 2)

∫

(

)

∫r

ddc log 1 + |f (z)|2 + (q − 2)
1

∆(t)

dt
t

1

dt
.n (t, (f )∞ )
t

∫

(

dd log 1 + |f (z)|
c

2

)

− (q − 2) N (r, (f )∞ ) .

(1.9)

∆(t)

∏ |f (z) − ai |
C q−1
√
Tiếp theo, ta đánh giá ′
.
|f (z)| i=1
2
1 + |ai |

Đặt f (b) = ∞ (= aq ) , ai (1 i q − 1). Giả sử b là cực điểm cấp m của
f . Khi đó, tồn tại hàm chỉnh hình g(z) ̸= 0 trong lân cận U (b) của b sao
cho

C ∏ |f (z) − ai |
√
= |z − b|1−(q−2)m .|g(z)|.
′
2
|f (z)| i=1 1 + |ai |
q−1

Nếu f (b) = ai , (1

i

q − 1) và g(b) ̸= 0, ta suy ra

C ∏ |f (z) − ai |
√
= |z − b||g(z)|.
|f ′ (z)| i=1 1 + |ai |2
q−1

Ta có
∫
|z|=r

C ∏ |f (z) − ai | dθ
√

log ′
−
|f (z)| i=1 1 + |ai |2 2π
q−1

∫

|z|=1

q
∑

C ∏ |f (z) − ai | dθ
√
log ′
|f (z)| i=1 1 + |ai |2 2π
q−1

N1 (r, (f − ai )0 ) − (q − 2)N (r, (f )∞ ) .

i=1

17


Áp dụng tính chất của log + vào vế phải của (1.8) ta nhận được
√(

∫

∑

log

1 + |ai1 |

)(

2

1 + |ai2 |

+
(

= O m r,

′

f
f

′

))
+

q−1
∑

(

′

m r,

i=1

(f − ai )
f − ai

′

(f (z) − ai1 )
(f (z) − ai2 )
−
(f (z) − ai1 )
(f (z) − ai2 )

q √
∑
i=1

(

)

|ai1 − ai2 |

1 i1 i2 q−1

|z|=r

2

(f (z) − ai )
1 + |ai |
f (z) − ai

′

2

)
+ O(1).

(1.10)

Hơn nữa, từ (1.9) suy ra
T (r, f ) = Tf (r, Ω) + O(1)
∫r
∫
′
dt
|f (z)|2
i
=
dz ∧ dz + O(1)
t
(1 + |f (z)|2 )2 2π

1

∫r
=

∆(t)

dt
t

1

∫
ddc log(1 + |f (z)|2 ) + O(1).

(1.11)

∆(t)

Từ đó,
1
Tf (r, Ω) = N (r, (f )∞ )+
2π

∫

∫
√
√
1

log 1 + |f (z)|2 dθ−
log 1 + |f (z)|2 dθ.
2π

|z|=r

|z|=1

Do đó,
m(r, f )

1
2π

∫
log

√

1 + |f (z)|2 dθ

|z|=r

Từ (1.7)(1.9) và (1.10), suy ra

18

m(r, f ) +

1

log 2.
2


(q − 2)T (r, f ) − (q − 2)N (r, (f )∞ )
q
∑
i=1

N1 (r, (f − ai )0 ) − (q − 2)N (r, (f )∞ )
[

(

+ O m r,

′

f
f

)
+

q−1
∑
i=1

(
m r,

′)

(f − ai )
f − ai

Theo bổ đề đạo hàm Logarit, ta có
(q − 2)T (r, f )

q
∑

N1 (r, (f − ai )0 ) + S(r, f ).

i=1

19

]
+ O (1) .