PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đào Thị Anh Phương

PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH
VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội - 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đào Thị Anh Phương

PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH
VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60 46 40

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - 2011

Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Một lớp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính. . . .

4

1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Hàm số đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3. Hàm phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Phép biến đổi phân tuyến tính trong phương trình hàm . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Hàm số xác định bởi các phép biến đổi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Một số bài toán khác về hàm phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.3. Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Chương 2. Một số bài toán về dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1. Phương trình và hệ phương trình sai phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.1. Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2. Phương trình sai phân dạng phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . .

41

2.3. Giới hạn của một số dãy truy hồi dạng phân tuyến tính. . . . . . . . . .

50

2.4. Bài tập tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

1


LỜI NÓI ĐẦU
Phép biến đổi phân tuyến tính có nhiều ứng dụng trong môn Toán ở bậc phổ
thông. Đặc biệt là ở trường chuyên, lớp chọn và trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán
trong nước, trong các kỳ thi Olympic các nước trên thế giới thông qua các bài toán
về phương trình hàm, các bài toán về dãy số.
Để đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn toán ở bậc phổ thông, luận văn
Phép biến đổi phân tuyến tính và áp dụng giải một số bài toán phổ thông với
mục tiêu tổng hợp và chọn lọc các kiến thức về phép biến đổi phân tuyến tính để
giải quyết các bài toán về phương trình hàm và các bài toán về dãy số. Luận văn
được chia thành hai chương.

Chương 1: Một lớp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính.
Chương này nêu lên một số kiến thức cơ bản về hàm số nói chung và hàm
phân tuyến tính nói riêng. Phần trọng tâm của chương là giải quyết các bài
toán về phép biến đổi phân tuyến tính trong phương trình hàm.
Chương 2: Một số bài toán về dãy số.
Chương này nêu lên các kiến thức cơ bản về phương trình và hệ phương trình
sai phân tuyến tính với hệ số hằng. Phần trọng tâm của chương là giải quyết
các bài toán về hai mảng kiến thức của dãy số:
• Phương trình sai phân dạng phân tuyến tính với hệ số hằng.
• Giới hạn của một số dãy sai phân dạng phân tuyến tính.

Để hoàn thành được luận văn này, trước nhất tác giả xin được gửi lời cảm ơn
sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn đã dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, chỉ
bảo tận tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài cũng như hoàn thiện luận văn.
Tiếp theo, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành các thầy cô đã đọc, kiểm tra
đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được đầy đủ hơn, phong phú
hơn. Qua đây, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng sau
Đại học, khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên và các bạn đồng
2


nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tuy có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề
trong luận văn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót
trong cách trình bày. Rất mong được sự đóng góp ý kiến thêm nữa của thầy cô và
các bạn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, Tháng 02 năm 2011

Đào Thị Anh Phương

3


Chương 1

Một lớp phương trình hàm
sinh bởi hàm phân tuyến tính.
1.1.

Kiến thức chuẩn bị

1.1.1.

Hàm số

Định nghĩa Cho tập hợp D ⊂ R. Một ánh xạ f : D → R được gọi là một hàm
số từ tập D đến tập R và ký hiệu là f : D → R hoặc y = f (x).
• D được gọi là tập xác định của hàm số.
• f (x0 ) là giá trị của hàm số tại điểm x0 ∈ D.
• Tập hợp T = { f (x)|x ∈ D} được gọi là tập giá trị của hàm số f .
Chú ý
1) t ∈ T khi và chỉ khi phương trình f (x) = t có nghiệm x ∈ D.
2) t ∈ T, suy ra t có thể viết dưới dạng t = f (x) với x ∈ D.
• Điểm x0 ∈ Dđược gọi là điểm bất động của hàm f nếu như f (x0 ) = x0 .
Ví dụ:
ax + b
c = 0 và ad − bc = 0 xác định một hàm ( gọi là
cx + d

−d
phân tuyến tính trên tập D = R \ {
}).
c
Ánh xạ x → f (x) =

4


1.1.2.

Hàm số đơn điệu

Định nghĩa
1) Hàm số f (x) được gọi là tăng trên khoảng (a; b) nếu với x1 , x2 ∈ (a; b) mà
x1 ≤ x2 thì f (x1 ) ≤ f (x2 ).
2) Hàm số f (x) được gọi là giảm trên khoảng (a; b) nếu như với
x1 , x2 ∈ (a; b) mà x1 ≤ x2 thì f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Hàm số tăng hoặc giảm trên một khoảng gọi là hàm số đơn điệu trên khoảng
đó.
3) Hàm số f (x) được gọi là tăng thực sự trên khoảng (a; b) nếu như với
x1 , x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ).
4) Hàm số f (x) được gọi là giảm thực sự trên khoảng (a; b) nếu như với
x1 , x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 thì f (x1 ) > f (x2 ).
5) Hàm số tăng thực sự hoặc giảm thực sự trên khoảng (a; b) gọi là hàm số đơn
điệu thực sự trên khoảng đó.
Tính chất:
1) Mọi hàm đơn điệu thật sự trên một khoảng đều là đơn ánh trên khoảng đó.
2) Nếu f : D → R; g : D → R là hai hàm tăng thì f + g tăng.
3) Nếu f : D → R; g : D → R là hai hàm tăng và không âm thì f (x) · g(x) là

hàm tăng.
4) Nếu hàm f đơn điệu trên khoảng (a, b) thì phương trình f (x) = m có nhiều
nhất một nghiệm trên khoảng đó.
5) Nếu f : D f → R và g : Dg → R tăng và T f ⊂ Dg thì hàm số hợp g ◦ f tăng.
Chú ý: Từ kết quả trên suy ra:
Nếu hàm f tăng thì hàm số hợp f ( f (x)) (nếu được xác định) cũng tăng.
Nếu hàm f giảm thì hàm số hợp f ( f (x)) (nếu được xác định) cũng giảm.

5


1.1.3.

Hàm phân tuyến tính

Định nghĩa: Hàm phân tuyến tính là ánh xạ x −→ y = f (x) =
trong đó a , b , c , d ∈ R và ad − bc = 0, c = 0.

ax + b
cx + d

(1)

Điều kiện ad − bc = 0 để loại trường hợp của vế phải của (1) suy biến thành
hằng số vì
f (x) =

a(cx + d) − c(ax + b)
ad − bc
=

= 0, ∀x ∈ D.
2
(cx + d)
(cx + d)2

Điều kiện c = 0 để loại trường hợp của vế phải của (1) suy biến thành (mx + n).
−d
Tập xác định: D = R \ {
}.
c
a
Tập giá trị: T = R \ { }.
c
Một vài tích chất của hàm phân tuyến tính
Định lý 3.1:
(i) Hàm ngược của một hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính.
(ii) Hợp thành của hai hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính.
Định lý 3.2:
Hàm phân tuyến tính luôn tăng thực sự ( hoặc giảm thực sự ) trên mỗi khoảng
xác định của nó.

1.2.

Phép biến đổi phân tuyến tính trong phương
trình hàm

1.2.1.

Hàm số xác định bởi các phép biến đổi phân tuyến tính

Cho hàm số

ax + b
, c = 0 , ad − bc = 0.
cx + d
Trong chương trình này, ta sẽ nghiên cứu các phương trình hàm dạng:
−d
f (w(x)) = p f (x) + q, ∀x ∈ R \
trong đó a, b, c, d, p, q là các hằng số thực
c
và p = 0
w(x) =

6


Bài toán 1.2.1. Tìm f : R \

−d
c

ax + b
= p f (x) + q, ∀x ∈ R \
cx + d
trình w(x) = x có nghiệm.
f

→ R sao cho
−d
c

, ad − bc = 0 , c = 0 trong đó phương

Giải. a) Trường hợp w(x) = x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
Với x = x2 ta có f (w(x2 )) = p f (x2 ) + q ⇒ f (x2 ) = p f (x2 ) + q
=⇒ f (x2 )(1 − p) = q.
+)Nếu p = 1 thì f (x2 ) =

q
,
1− p

+)Nếu
p = 1 thì

 Phương trình vô nghiệm nếu q = 0.
Phương trình có nghiệm f (x ) bất kỳ nếu q = 0.
2
Với x = x2 , đặt
x − x1
x2 − x1
= t ⇒ x = x2 +
, ∀t = 1,
x − x2
t −1
và

ax + b
x2 − x1
= x2 +

, ∀t = 1.
cx2 + d
cx + d
t −1
cx1 + d

Khi đó theo giả thiết thì
f x2 +

x2 − x1
x2 − x1
= p f x2 +
+q ∀t = 1.
cx2 + d
t −1
t −1
cx1 + d

Đặt
f x2 +

x2 − x1
= g(t).
t −1

Suy ra
g

cx2 + d
t = pg(t) + q , ∀t = 1.

cx1 + d

b) Trường hợp w(x) = x có nghiệm kép ( lúc đó (d − a)2 + 4ac = 0)
a−d
và x0 =
.
2c
Với x = x0 ta có f (x0 ) = p f (x0 ) + q hay f (x0 )(1 − p) = q.
q
+) Nếu p = 1 thì f (x) =
.
1−q

7


+)
 Nếu p = 1 thì
Phương trình vô nghiệm nếu q = 0
Có nghiệm f (x ) tùy ý nếu q = 0
0

Với x = x0 đặt:

1
1
= t ⇒ x = x0 + , ∀t = 0,
x − x0
t
ax + b

1
= x0 +
c .
cx + d
t+
cx0 + d

Khi đó giả thiết đã cho trở thành



f x0 +

1
t+

c
cx0 + d

1

+ q với t = 0.
 = p f x0 +
t

1
Đặt f (x0 + ) = g(t) ta được
t
g t+

c
= pg(t) + q, ∀t = 0.
cx0 + d

Bài toán 1.2.2. Tìm hàm
f : R\
∀x ∈ R \

−d
c

−d
c

→ R sao cho f

ax + b
= p f (x) + q,
cx + d

, ad − bc = 0, c = 0, trong đó k ∈ Z+ sao cho wk (x) = x có

ax + b
.
cx + d
Giải. Gọi k ∈ Z+ là số bé nhất sao cho wk (x) = x có nghiệm

nghiệm, ở đó w1 (x) = w(x) =

+) Nếu k = 1 thì chính là bài toán 1.2.1

+) Nếu k = 1 thì:
f (w(x)) = p · f (x) + q,
⇒ f (w2 (x)) = p · f (w(x)) + q = p2 · f (x) + pq + q,
···
⇒ f (wk (x)) = pk · f (x) + (pk−1 + pk−2 + · · · + p + 1)q.
Vì phương trình
wk (x) =

ak x + bk
= x,
ck x + dk
8


(với ak · dk − bk · ck = 0) có nghiệm. Nếu ck = 0 hoặc dk = 0 thì bài toán sẽ quay
về bài toán 1.2.1 vừa xét.
Sau đây, ta minh họa cách giải ứng với các trường hợp thông qua bài toán cụ
thể.
Ta chỉ cần xét các phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính
w(x) =

ax + b
, c = 0, ad − bc > 0.
cx + d

Bài toán 1.2.3. Tìm tất cả các hàm số f : R → R sao cho
f

−1
= 2 f (x) − 3, ∀x = −2.

x+2

(1.2.1)

−1
có nghiệm duy nhất x = −1
x+2
Thay x = −1 vào (1.2.1), ta được f (−1) = 3.
Giải. Nhận xét rằng, phương trình x =

Xét x = −1.
1
Đặt
= t thì t = 0 ,t = −1 và
x+1
1
x = −1 + ,
t
1
−1
= −1 +
.
x+2
t +1
Khi đó (1.2.1) có dạng

f −1 +

1
1

= 2 f −1 + −3, ∀t ∈ R\{−1; 0},
t +1
t

(1.2.2)

hay g(t + 1) = 2g(t), ∀t ∈ R\{−1; 0},
trong đó
g(t) = f (−1 +

−1
) − 3, ∀t ∈ R\{−1; 0}.
t

Suy ra g(t) = 2t h(t), với h(t) là hàm tùy ý sao cho
h(t + 1) = h(t), ∀t ∈ R\{−1; 0}.

9

(1.2.3)


Từ (1.2.2) và (1.2.3) ta có
Kết luận
f (x) =


3,

khi x = −1

1
+3, khi x = −1,
x+1
trong đó g(t) = 2t h(t), với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn

(1.2.4)

g

h(t + 1) = h(t), ∀t ∈ R\{−1; 0}.
Bài toán 1.2.4.[1] Cho q ∈ R và cho hàm số
w(x) =

ax + b
−1
, a = 1, b =
(a + 1)2 .
x−1
4

Tìm tất cả các hàm số f : R\{1} → R sao cho
f (w(x)) = − f (x) + q, ∀x = 1.

(1.2.5)

Giải. Theo giả thiết thì phương trình w(x) = x có nghiệm thực duy nhất
x=
Thay x =

a+1
.
2

a+1
vào (1.2.5) ta được:
2
f

q
a+1
= .
2
2

a+1
Xét x = x0 , x0 =
.
2
1
Đặt t =
, khi đó t = 0, và
x − x0
1
x = x0 + ,
t
w(x) = x0 +

1
2

t+
a−1

.

Khi đó có thể viết (1.2.5) dưới dạng
f x0 +

1
2
t+
a−1

1
2
= − f (x0 + ) + q, ∀t ∈ R\{0 ;
},
t
1−a

10

(1.2.6)


hay
g t+

2
2

= −g(t), ∀t ∈ R\{0 ;
},
a−1
1−a

trong đó
q
2
1
}.
g(t) = f (x0 + ) − , ∀t ∈ R\{0 ;
t
2
1−a

(1.2.7)

Suy ra
g(t) = h t +

2
−h(t) ,
a−1

với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn:
h t+

4
2
= h(t), ∀t ∈ R\{0 ;

}.
a−1
1−a

Từ (1.2.6) và (1.2.7) ta có
Kết luận:

f (x) =


q

,



 2

khi x =


a+1
2

a+1
1

 q



g
},
+ , khi ∀x ∈ R\{1;


a+1

2
2

x−
2

(1.2.8)

trong đó
g(t) = h t +

2
2
−h(t), ∀t ∈ R\{0 ;
},
a−1
1−a

với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn
h t+

4
2

= h(t), ∀t ∈ R\{0 ;
}.
a−1
1−a

Từ hai bài toán 1.2.3 và 1.2.4 ta xây dựng bài toán khái quát hóa trong trường
hợp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính
ax + b
, c = 0, ad − bc = 0
cx + d
thỏa mãn w (x) = x có nghiệm kép x = x0 .
w(x) =

11


Bài toán 1.2.5.[1] Cho hàm số:
w(x) =

ax + b
, ad − bc = 0, c = 0,
cx + d

sao cho phương trình w(x) = x có nghiệm kép x = x0 . Tìm tất cả các hàm số
−d
f : R\{
} → R sao cho
c
f (w(x)) = −2 f (x) + 3, ∀x =

−d
.
c

(1.2.9)

Giải. +) Theo giả thiết thì phương trình w(x) = x có nghiệm duy nhất x = x0 .
Thay x = x0 vào (1.2.9), ta được f (x0 ) = 1.
+) Xét x = x0
1
1
Đặt
= t thì t = 0 và x = x0 + ,
x − x0
t
1

w(x) = x0 +
t+

.

1
x0 +

d
c

Khi đó có thể viết (1.2.9) dưới dạng






1

f x0 +
1

t+

d
x0 +
c
hay g t +

1
d
x0 +
c



1

 = −2 f (x0 + ) + 3, ∀t ∈ R\{0},

t


(1.2.10)

= −2g(t), ∀t ∈ R \ {0}, trong đó

1
g(t) = f (x0 + ) − 1, ∀t ∈ R\{0}.
t
Suy ra
t

g(t) = 2 t0 h(t), trong đó hàm h(t) tùy ý thỏa mãn
h t+

1
d
x0 +
c

= −h(t) , ∀t = 0.

12

(1.2.11)


Từ (1.2.10) và (1.2.11), ta có:
Kết luận
f (x) =



1

g

khi x = x0
1
+1
x − x0

khi x ∈ R\{x0 ;

−d
},
c

(1.2.12)

trong đó
t

g(t) = 2 t0 h(t), ∀t = 0,
với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn:
h t+

1
d
x0 +
c

= −h(t) , ∀t = 0.

Bài toán 1.2.6. Cho hàm số:
w(x) =

2
.
3−x

Tìm tất cả các hàm số f : R\{3} → R sao cho
f (w(x)) = 2 f (x) − 3, ∀x = 3.

(1.2.13)

Giải. Nhận xét rằng phương trình w(x) = x có hai nghiệm phân biệt x = 1 và
x = 2.
Thay x = 1 hoặc x = 2 vào (1.2.13) ta được f (1) = f (2) = 3
Xét x = 1 và x = 2
x−1
Đặt t =
thì t ∈
/ {2, 1, 0}.Do đó
x−2
x=

2t − 1
1
= 2+
,

t −1
t −1

2
1
= 2+ t
.
3−x
−1
2
Viết (1.2.13) dưới dạng sau
1
1
f 2+ t
= 2f 2+
−3, ∀t ∈
/ {2, 1, 0},
t
−
1
−1
2
hay
g

t
= 2g(t) − 3
2
13

g(t) = f 2 +

1
, ∀t ∈
/ {2, 1, 0}.
t −1

(1.2.14)

Đặt
g(t) = 3 + t −1 h(t), ∀t ∈
/ {2, 1, 0},
và viết (1.2.14) dưới dạng
3+

−1

t
2

h

t
= 2[3 + t −1 h(t)] − 3, ∀t ∈
/ {2, 1, 0}.
2

Vậy
h

t
= h(t), ∀t ∈
/ {2, 1, 0}.
2

(1.2.15)

Từ (1.2.14) và (1.2.15), ta có
Kết luận
f (x) =


3,

khi x ∈ {1; 2}

g x − 1 , khi x ∈
/ {1; 2; 3},
x−2

(1.2.16)

trong đó
g(t) = 3 + t −1 h(t),
với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn
h

t
= h(t), ∀t ∈

/ {2, 1, 0}.
2

Bài toán 1.2.7. Xác định hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện sau:
f

2
= −3 f (x) + 7, ∀x ∈ R\{−2}.
x+2

2
Giải. Nhận xét phương trình
= x có hai nghiệm phân biệt
x−2
√
√
x1 = −1 − 3 và x2 = −1 + 3.

7
+)Thay x = x1 hoặc x = x2 vào (2.1.17) ta được f (x1 ) = f (x2 ) = .
4
+) Xét x = x1 và x = x2 .
√
x − x1
1
1+ 3
√ .
Đặt
= t thì t ∈
/ { , 0, 1}, α =

x − x2
α
1− 3
Và
√
√
2 3
x = −1 + 3 +
,
t −1
14

(1.2.17)


√
√
2
2 3
= −1 + 3 +
.
x+2
αt − 1
Khi đó ta có thể viết (1.2.17) dưới dạng sau:
√
√
√
√
1
2 3

2 3
= −3 f −1 + 3 +
+7, ∀t ∈
/ { , 0, 1}.
f −1 + 3 +
αt − 1
t −1
α
Hay
1
g(αt) = −3g(t) + 7, ∀t ∈
/ { , 0, 1} ,
α
trong đó
√
√
2 3
1
, ∀t ∈
/ { , 0, 1}.
g(t) = f −1 + 3 +
t −1
α

(1.2.18)

√
1+ 3
√ nên α = 0, |α| = 1.
Vì α =

1− 3
Đặt

7
1
g(t) = |t|log|α| 3 h(t) + , ∀t ∈
/ { , 0, 1}.
4
α

Khi đó ta có
|αt|log|α| 3 h(αt) +

21
7
= −3|t|log|α| 3 h(t) −
+ 7.
4
4

Do đó
1
h(αt) = −h(t), ∀t ∈
/ { , 0, 1}.
α

(1.2.19)

Từ (1.2.18) và (1.2.19) ta có
Kết luận

7
√
√

khi x ∈ {−1 − 3; −1 + 3}
 ,
f (x) = 4 x + 1 + √3
√
√

g
√ , khi x ∈
/ {−1 − 3; −1 + 3; −2},
x+1− 3
trong đó

√

x
+
1
+
3

t =
√
x+1− 3

g(t) = |t|log|α| 3 h(t) + 7 ,
4

15

(1.2.20)

(1.2.21)


với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn
1
h(αt) = −h(t), ∀t ∈
/ { , 0, 1}.
α
Từ hai bài 1.2.6 và 1.2.7 ta xây dựng bài toán khái quát hóa trong trường hợp
phương trình hàm sinh bởi phương trình phân tuyến tính
w(x) =

ax + b
, c = 0, ad − bc = 0
cx + d

thỏa mãn w(x) = x có hai nghiệm phân biệt x = x1 , x = x2 .
Bài toán 1.2.8.[1] Cho hàm số:
w(x) =

ax + b
, ad − bc = 0, c = 0,
cx + d

sao cho phương trình w(x) = x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
−d

Tìm tất cả các hàm số f : R\{
} → R sao cho
c
f (w(x)) = 2 f (x) − 3, ∀x =

−d
.
c

(1.2.22)

Giải. Theo giả thiết thì phương trình w(x) = x có hai nghiệm phân biệt x =
x1 , x = x2 .
+)Thay x = x1 hoặc x = x2 vào (1.2.22),ta được:
f (x1 ) = f (x2 ) = 3.

+)Xét x = x1 , x = x2 ,
Đặt
x − x1
1
cx2 + d
= t thì t ∈
/ { , 0, 1}, α =
,
x − x2
α
cx1 + d
x2 − x1 ax + b
x2 − x1
và x = x2 +

,
= x2 +
.
t − 1 cx + d
αt − 1
Khi đó ta có thể viết (1.2.22) dưới dạng sau:
f x2 +

x2 − x1
x2 − x1
1
= 2 f x2 +
−3, ∀t ∈
/ { , 0, 1},
αt − 1
t −1
α

hay
1
g(αt) = 2g(t) − 3, ∀t ∈
/ { , 0, 1},
α
16


trong đó

g(t) = f x2 +

x2 − x1
1
, ∀t ∈
/ { , 0, 1}.
t −1
α

(1.2.23)

Do x1 = x2 và c = 0 nên α = 1.
Nếu α = −1 thì (1.2.23) cho ta f (x) = g(t) ≡ 3.
−d
Do x2 =
nên α = 0.
c
•) Xét trường hợp α = 0 và |α| = 1.
1
Đặt g(t) = 3 + |t|log|α| 2 h(t), ∀t ∈
/ { , 0, 1},
α
khi đó ta có
−3 + (|α||t|)log|α| 2 · h(αt) = 2[3 + |t|log|α| 2 · h(t)] − 3.
Do đó
1
h(αt) = h(t), ∀t ∈
/ { , 0, 1}.
α

(1.2.24)

•) Xét −1 = α < 0.
Đặt

1
g(t) = 3 + |t|log|α| 2 · h(t), ∀t ∈
/ { , 0, 1},
α

khi đó ta có
3 + (|α||t|)log|α| 2 · h(αt) = 2[3 + |t|log|α| 2 · h(t)] − 3.
Do đó
1
h(αt) = h(t), ∀t ∈
/ { , 0, 1}.
α

(1.2.25)

Từ (1.2.23), (1.2.24) và (1.2.25), ta có
Kết luận:
Nếu α = −1 thì f (x) = 3.
Nếu α = 0 và |α| = 1 thì


3,
f (x) =
x − x1

g
,

x − x2

khi x = x1 , x = x2 ,
−d
khi x ∈
/ {x1 , x2 ,
},
c
17

(1.2.26)


trong đó
g(t) = 3 + |t|log|α| 2 · h(t),
với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn
1
h(αt) = h(t), ∀t ∈
/ { , 0, 1}.
α
Tiếp theo, ta minh họa một số bài toán cụ thể trong trường hợp phương trình
hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính
w(x) =

ax + b
, c = 0, ad − bc = 0
cx + d

thỏa mãn w(x) = x không có nghiệm thực .
x−3

Bài toán 1.2.9. Cho hàm số w(x) =
.
x−1
Tìm tất cả các hàm số f : R\{1} → R sao cho
f (w(x)) + f (x) = 5, ∀x = 1.

(1.2.27)

Giải. Nhận xét rằng phương trình w(x) = x không có nghiệm thực và
w(w(x)) ≡ x.
Ta chứng minh mọi hàm dạng
1
5
f (x) = [g(w(x)) − g(x)] + ,
2
2

(1.2.28)

với g(x) tùy ý xác định trên R\{1}, đều là nghiệm của (1.2.27).
Thật vậy, nếu f (x) có dạng (1.2.27) thì
5 1
5
1
f (w(x)) + f (x) = [g(x) − g(w(x))] + + [g(w(x)) − g(x)] + = 5, ∀x = 1.
2
2 2
2
Ngược lại, khi f (x) thỏa mãn điều kiện (1.2.27) thì chỉ cần chọn g(x) = f (w(x))
ta có ngay biểu diễn (1.2.28).

Kết luận:

1
5
f (x) = [g(w(x)) − g(x)] + ,
2
2
với g(x) là hàm tùy ý xác định trên R\{1}.

Bài toán 1.2.10.[1] Cho các hàm số h(x), x ∈ R và w(x) =

2x − 5
.
x−2

Tìm tất cả các hàm số f : R\{2} → R sao cho
f (w(x)) = f (x) + h(x), ∀x = 2.
18

(1.2.29)


Giải. Nhận xét rằng phương trình w(x) = x không có nghiệm thực và
w(w(x)) ≡ x.
Thay x bởi w(x), từ (1.2.29) ta được
h(w(x)) = −h(x),

(1.2.30)

Vậy điều kiện cần để (1.2.29) có nghiệm là điều kiện (1.2.30) được thỏa mãn

Giả sử điều kiện (1.2.30) được thỏa mãn. Khi đó
1
h(x) = [h(x) − h(w(x))], ∀x = 2.
2
Ta chứng minh rằng mọi hàm dạng
1
f (x) = [g(w(x)) + g(x) − h(x)],
2

(1.2.31)

với g(x) tùy ý xác định trên R\{2}, là nghiệm của (1.2.29).
Thật vậy, nếu f (x) có dạng (1.2.31) thì
1
f (w(x)) = [g(w(x)) + g(x) − h(w(x))]
2
1
= [g(w(x)) + g(x) + h(x)]
2
1
= [g(w(x)) + g(x) − h(x) + 2h(x)] = f (x) + h(x).
2
Ngược lại, khi f (x) thỏa mãn điều kiện (1.2.29) thì chỉ cần chọn g(x) = f (x), ta
có ngay biểu diễn (1.2.31).
Kết luận

1
f (x) = [g(w(x)) + g(x) − h(x)],
2
với g(x) là hàm tùy ý xác định trên R\{2}.

−1
.
Bài toán1.2.11.[1] Cho hàm số w(x) =
x+1
Tìm tất cả các hàm số f : R\{−1; 0} → R sao cho
f (w(w(x))) + f (w(x)) + f (x) = 3, ∀x = −1; x = 0.
Giải. Nhận xét rằng phương trình w(x) = x không có nghiệm thực

Ta có đẳng thức sau đây:
−1
x+1
w2 (x) := w(w(x)) =
=−
,
−1
x
+1
x+1
19

(1.2.32)


−1
= x, ∀x ∈ R\{−1; 0}.
x+1
−
+1
x
Từ (1.2.32) ta thấy f (x) ≡ 1 là một nghiệm của bài toán.

w3 (x) := w(w(w(x))) =

Đặt f (x) = 1 + g(x). Khi đó có thể viết (1.2.32) dưới dạng
g(w2 (x)) + g(w(x)) + g(x) = 0, ∀x = −1; x = 0.

(1.2.33)

Ta chứng minh rằng mọi nghiệm của (1.2.33) đều có dạng:
1
g(x) = [2h(x) − h(w2 (x)) − h(w(x))],
3

(1.2.34)

với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R\{−1; 0}.
Thật vậy, khi g(x) có dạng (1.2.34) thì
g(w2 (x)) + g(w(x)) + g(x)
1
1
= [2h(w2 (x)) − h(w(x)) − h(x)] + [2h(w(x)) − h(x) − h(w2 (x))]+
3
3
1
+ [2h(x) − h(w2 (x)) − h(w(x))] = 0 , ∀x ∈ R\{−1; 0}.
3
Ngược lại, khi g(x) thỏa mãn (1.2.33) thì chỉ cần chọn h(x) = g(x) ta có ngay
công thức biểu diễn (1.2.34).
Kết luận:


f (x) ≡ 1, ∀x ∈ R\{−1; 0},
1
f (x) = 1 + [2h(x) − h(w2 (x)) − h(w(x))],
3
với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R\{−1; 0}.


Bài toán 1.2.12.[1] Cho hàm số q(x) xác định trên R và w(x) =

−1
.
x+1

Tìm tất cả các hàm số f : R\{−1; 0} → R sao cho
f (w(w(x))) + f (w(x)) + f (x) = q(x), ∀x ∈ R\{−1; 0}.

(1.2.35)

Giải. Nhận xét rằng phương trình w(x) = x không có nghiệm thực và w(x) có
những tính chất
−1
x+1
=−
,
−1
x
+1
x+1
−1
+1

w3 (x) := w(w(w(x))) = − x + 1
= x, ∀x ∈ R\{−1; 0}.
−1
x+1

w2 (x) := w(w(x)) =

20


Từ tính chất này của hàm w(x), suy ra điều kiện cần để phương trình (1.2.35) có
nghiệm là
q(w(x)) = q(x), ∀x ∈ R\{−1; 0}.

(1.2.36)

Giả sử điều kiện (1.2.36) thỏa mãn. Khi đó có thể viết:
1
q(x) = [q(w2 (x)) + q(w(x)) + q(x)], ∀x ∈ R\{−1; 0}.
3

(1.2.37)

1
Từ (1.2.37) ta thấy f (x) ≡ q(x) là một nghiệm.
3
Đặt
1
f (x) = q(x) + g(x).
3

Khi đó có thể viết (1.2.35) dưới dạng:
g(w2 (x)) + g(w(x)) + g(x) = 0, ∀x ∈ R\{−1; 0}.

(1.2.38)

Ta chứng minh rằng mọi nghiệm của (1.2.38) đều có dạng:
1
g(x) = [2h(x) − h(w2 (x)) − h(w(x))],
3

(1.2.39)

với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R\{−1; 0}.
Thật vậy, khi g(x) có dạng (1.2.39) thì
g(w2 (x)) + g(w(x)) + g(x)
1
= [2h(w2 (x)) − h(w(x)) − h(x)]+
3
1
1
+ [2h(w(x)) − h(x) − h(w2 (x))] + [2h(x) − h(w2 (x)) − h(w(x))] = 0.
3
3
Ngược lại, khi g(x) thỏa mãn điều kiện (1.2.38) thì ta chỉ việc chọn h(x) = g(x)
ta có ngay biểu diễn (1.2.39).
Kết luận:
Điều kiện cần để phương trình (1.2.35) có nghiệm là:
q(w(x)) = q(x), ∀x ∈ R\{−1; 0}.
Khi đó mọi nghiệm của (1.2.35) có dạng:
1

1
f (x) = q(x) + [2h(x) − h(w2 (x)) − h(w(x))],
3
3
21


với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R\{−1; 0}.
Bài toán 1.2.13.[1] Cho hàm số p(x) và q(x) xác định trên R và w(x) =
Tìm tất cả các hàm số f : R\{0} → R sao cho
p(x) f (w(x)) + f (x) = q(x), ∀x = 0.

−1
.
x

(1.2.40)

Giải. Nhận xét rằng, phương trình w(x) = x không có nghiệm thực và w(x) có
tính chất
w2 (x) := w(w(x)) = x, ∀x = 0.
Thay x bởi w(x) vào (1.2.40), ta được

p(w(x)) f (x) + f (w(x)) = q(w(x)), ∀x = 0.

(1.2.41)

Nhận thấy rằng (1.2.40) và (1.2.41) là hệ hai phương trình tuyến tính đối với hai
ẩn là f (w(x)) và f (x).
Nếu [1 − p(w(x))p(x)] = 0, ∀x = 0 thì:

f (x) =

f (w(x)) =

q(x) − q(w(x))p(x)
,
1 − p(x)p(w(x))

q(w(x)) − p(w(x))q(x)
, ∀x = 0.
1 − p(x)p(w(x))

(1.2.42)

(1.2.43)

Các công thức (1.2.42) và (1.2.43) xác định cùng một hàm số f (x) thỏa mãn
phương trình (1.2.40).
Nếu tồn tại x0 = 0 sao cho [1 − p(w(x0 ))p(x0 )] = 0 thì điều kiện cần để phương
trình (1.2.40) có nghiệm là:
q(x0 ) − p(x0 )q(w(x0 )) = 0,
và
q(w(x0 )) − p(w(x0 ))q(x0 ) = 0.
Giả sử điều kiện (1.2.44) được thỏa mãn tại mọi điểm x0 = 0 sao cho
1 − p(w(x0 ))p(x0 ) = 0.
22

(1.2.44)

Gọi Z pq là tập hợp các nghiệm x = 0 của phương trình (với ẩn là x )
1 − p(w(x))p(x) = 0.
Nhận xét rằng nếu x0 = 0 thuộc Z pq thì w(x0 ) cũng thuộc Z pq .
Khi đó nghiệm của (1.2.40) được xác định theo cách sau.
a) Nếu x = 0 và x ∈
/ Z pq thì:
f (x) =

q(x) − q(w(x))p(x)
.
1 − p(x)p(w(x))

b) Nếu x = 0 và x ∈ Z pq thì f (x) được chọn tùy ý sao cho (1.2.40) được thỏa
mãn.
Kết luận:
+) Nếu 1 − p(x)p(w(x)) = 0, ∀x = 0 thì
f (x) =

q(x) − q(w(x))p(x)
.
1 − p(x)p(w(x))

+) Nếu tồn tại x0 = 0 sao cho 1 − p(w(x0 ))p(x0 ) = 0 thì điều kiện để (1.2.40)
có nghiệm là q(x) − p(x)p(w(x)) = 0 và q(w(x)) − p(w(x))p(x) = 0, ∀x ∈ Z pq với
Z pq là tập nghiệm khác 0 của phương trình 1 − p(x)q(w(x)) = 0.
Khi đó:

1.2.2.




 q(x) − q(w(x))p(x) , ∀x ∈ Z pq
1 − p(x)p(w(x))
f (x) =

tùy ý ,
∀x ∈
/ Z pq , x = 0.

(1.2.45)

Một số bài toán khác về hàm phân tuyến tính

Bài toán 1.2.14.[4] Tìm tất cả các hàm số f : R\{0} → R thỏa mãn đồng thời
các điều kiện:
1) f (1) = 1;
1
1
1
2) f
=f
+f
;
x+y
x
y
3)(x + y) f (x + y) = yx f (x) f (y);
Với mọi x, y mà xy(x + y) = 0.

23