PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————

NGÔ THỊ THO

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————

NGÔ THỊ THO

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng.
Mã số: 60460112.

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Hà Nội - 2015


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
7
8

8

9

1.2.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chương 2. Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn
điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2. Phương pháp chiếu cơ bản cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Lê Dũng Mưu. Thầy là người
đã hướng dẫn khóa luận tốt nghiệp và nay là hướng dẫn luận văn thạc sĩ cho em. Hai
chặng đường đã qua, thầy luôn tận tình hướng dẫn và chỉ bảo nghiêm khắc, thầy cũng
cung cấp nhiều tài liệu quan trọng cũng như giành nhiều thời gian giải đáp những
thắc mắc trong suốt quá trình làm việc cùng thầy.
Em xin gửi tới các thầy, cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa
Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã giảng dạy lớp Cao
học Toán khóa 2013 - 2015, lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ của các
thầy, các cô trong hai năm qua. Đặc biệt, em muốn gửi lời cảm ơn tới các thầy dạy
chuyên ngành nhóm Toán Ứng Dụng. Mặc dù nhóm chỉ có tám thành viên nhưng các
thầy luôn lên lớp với cả nhiệt huyết và những chuyên đề hay, sâu sắc.
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn, các anh, các chị của lớp
cao học Toán khóa 2013 - 2015 và giành riêng lời cảm ơn cho gia đình Toán Ứng
Dụng. Là em út của nhóm, nên luôn được mọi người quan tâm nhiều hơn. Thời gian
học cùng các anh chị đã cho em những kỷ niệm đẹp, được học những điều hay cũng
như những kiến thức thú vị.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 3 tháng 10 năm 2015
Học viên

Ngô Thị Tho

2


LỜI MỞ ĐẦU

Năm 1966, Hatman và Stampacchia đã công bố những nghiên cứu đầu tiên của

mình về bài toán bất đẳng thức biên phân, liên quan tới việc giải các bài toán biến
phân, bài toán điều kiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo
hàm riêng. Năm 1980, Kinderlehrer và Stampacchia cho xuất bản cuốn sách "An
Introduction to Variational Inequalities and Their Applications", giới thiệu bài toán
biến phân trong không gian vô hạn chiều và ứng dụng của nó. Năm 1984, cuốn
sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary
Problems" của C. Baiocci và A. Capelo đã áp dụng bất đẳng thức biến phân và tựa
biến phân để giải các bài toán không có biên.
Hiện nay bài toán bất đẳng thức biến phân đã phát triển thành nhiều dạng khác
nhau,như là: bất đẳng thức biến phân vectơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng
thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng.... Bài
toán này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Vì mô hình của nó
chứa nhiều bài toán quan trọng của một số lĩnh vực trong toán học cũng như thực tế
như tối ưu hóa, bài toán bù, lý thuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằng mạng giao
thông, cân bằng di trú....
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biến phân là
việc xây dựng các phương pháp giải. Dựa trên tính chất của kiểu đơn điệu G. Cohen
đã nghiên cứu phương pháp nguyên lý bài toán phụ. Ngoài ra còn có phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp chiếu, phương pháp điểm trong. Những phương
pháp này khá hiệu quả, dễ thực hiện trên máy tính nhưng sự hội tụ của chúng chỉ
được đảm bảo trên cơ sở các giả thiết khác về tính chất đơn điệu.
Có nhiều phương pháp chiếu khác nhau, như là: phương pháp chiếu cơ bản,
phương pháp chiếu dưới đạo hàm, và phương pháp chiếu siêu phẳng. Mỗi phương
pháp giải quyết một lớp các bài toán bất đẳng thức biến phân nhất định. Do đó sự hội
tụ của thuật toán được đảm bảo.
Luận văn trình bày phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường và chiếu cơ bản
cải biên để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Các phương
pháp này tạo ra một dãy hội tụ của các điểm lặp dễ dàng tính được. Chúng đều hội tụ
3

tới nghiệm duy nhất của bài toán.
Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân, được
chia làm hai phần:
• Phần 1: Nhắc lại một số kiến thức trong Giải tích hàm và Giải tích lồi, như là:
hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert, toán tử chiếu, tính liên tục của
hàm lồi, đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi.
• Phần 2: Phát biểu bài toán, trình bày một số khái niệm và mô hình minh họa
cho bài toán. Sau đó, chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài
toán.
Chương 2: Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu
mạnh.
Nội dung chính của chương là trình bày hai thuật toán chiếu dưới đạo hàm tăng cường
và thuật toán chiếu cơ bản cải biên để giải bài toán V I(K, F). Phát biểu và chứng minh
các định lý về sự hội tụ của dãy lặp tạo bởi các thuật toán đó. Đưa ra một số ví dụ
chứng minh rằng các điều kiện của định lý tồn tại nghiệm là cần thiết. Nếu bỏ đi một
trong các điều kiện đó, dãy lặp sẽ không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán.

4


Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến
phân
Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả của Giải tích hàm có liên
quan tới sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu của một dãy số. Nhắc lại một số khái niệm và
định lý cơ bản của Giải tích lồi, như là: định nghĩa và tính chất của toán tử chiếu, tính
liên tục, đạo hàm và dưới vi phân của một hàm lồi, Định lý tách, Định lý MoreauRockafellar. Phần sau ta sẽ giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và nhấn
mạnh bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Chỉ ra các ví dụ về bài

toán bất đẳng thức biến phân thường gặp trong thực tế cũng như trong các mô hình
toán học. Cuối chương phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại và tính duy nhất
nghiệm của bài toán. Nội dung chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [3], [6],
[10].
Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Hilbert thực trang bị
một tô pô yếu, với tích vô hướng ., . và chuẩn tương ứng của nó là ||.||.

5


1.1.

Kiến thức chuẩn bị

1.1.1.

Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử H là không gian tuyến tính thực, với mọi x ∈ H xác định
một số gọi là chuẩn của x ( kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau:
1. Xác định dương: ∀x ∈ H

||x|| ≥ 0;

2. Thuần nhất dương: ∀x ∈ H; ∀λ ∈ R
3. Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ H

||x|| = 0 ⇔ x = 0.
||λ x|| = |λ | ||x||.
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử H là không gian tuyến tính thực, cặp (H, , ) với
, : H ×H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện:
1. Xác định dương: x, x ≥ 0 ∀x ∈ H;

x, x = 0 ⇔ x = 0.

2. Đối xứng: x, y = y, x ∀x, y ∈ H.
3. Song tuyến tính: αx + β y, z = α x, z + β y, z ∀α, β ∈ R,
∀x, y, z ∈ H.
được gọi là không gian tiền Hilbert.
Không gian tiền Hilbert, đầy đủ được gọi là không gian Hilbert, kí hiệu là H.
Định nghĩa 1.1.3. 1) Ta nói dãy {xk } hội tụ mạnh đến x ( kí hiệu xk → x) nếu
lim ||xk − x|| = 0.

k→∞

2) Dãy {xk } hội tụ yếu đến x ( kí hiệu xk
tức là
∀ f ∈ H∗

x) nếu {xk } hội tụ về x theo tô pô yếu σ
f (xk ) → f (x).

Khi H là không gian hữu hạn chiều thì tô pô yếu và tô pô thông thường trên H
trùng nhau. Đặc biệt, một dãy hội tụ mạnh khi và chỉ khi nó hội tụ yếu.

6

1.1.2.

Toán tử chiếu

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử C là một tập lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H và x0 ∈ C.
1. Nón pháp tuyến (ngoài) của C tại x0 kí hiệu là NC (x0 ) được định nghĩa bởi:
NC (x0 ) := {ω ∈ H| ω T (x − x0 ) ≤ 0 ∀x ∈ C}.
Tập −NC (x0 ) được gọi là nón pháp tuyến (trong) của C tại x0 .
2. Nón pháp tuyến ε của C tại x0 được định nghĩa bởi:
NCε (x0 ) := {ω ∈ H| ω T (x − x0 ) ≤ ε

∀x ∈ C}.

Định nghĩa 1.1.5. Giả sử C = 0/ (không nhất thiết lồi) là một tập con của không gian
Hilbert H và y là một véc-tơ bất kỳ, khoảng cách từ y đến C được định nghĩa bởi
dC (y) := inf ||x − y||.
x∈C

Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC (y) := ||π − y||, thì ta nói π là hình chiếu (khoảng cách)
của y trên C, kí hiệu π = pC (y).
Mệnh đề 1.1.1. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng. Khi đó:
1. Với mọi y ∈ H, π ∈ C hai tính chất sau là tương đương:
a) π = pC (y),
b) y − π ∈ NC (π).
2. Với mọi y ∈ H, hình chiếu pC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.
3. Nếu y ∈
/ C, thì pC (y) − y, x − pC (y) = 0 là siêu phẳng tựa của C tại pC (y)

và tách hẳn y khỏi C, tức là
pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0

∀x ∈ C,

và
pC (y) − y, y − pC (y) < 0.
4. Ánh xạ y → pC (y) có các tính chất sau:
a) ||pC (x) − pC (y)|| ≤ ||x − y|| ∀x, ∀y. (tính không giãn),
b) pC (x) − pC (y), x − y ≥ ||pC (x) − pC (y)||2 , (tính đồng bức).
7


Toán tử chiếu là một công cụ hữu hiệu nhằm giải bài toán cân bằng và các trường
hợp đặc biệt của nó như: Bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động,
bài toán điểm yên ngựa.... Trong luận văn này, ta sẽ vận dụng giải quyết bài toán bất
đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh.

1.1.3.

Tính liên tục của hàm lồi

Cho C ⊆ H là tập lồi và f : C → R ∪ {+∞}, ta sẽ kí hiệu:
dom f := {x ∈ C : f (x) < +∞}.
Tập dom f được gọi là miền hữu dụng của tập f. Tập
epi f := {(x, µ) ∈ C × R : f (x) ≤ µ},
được gọi là trên đồ thị của hàm f.
Hàm f gọi là chính thường nếu dom f = 0/ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ dom f .
Định nghĩa 1.1.6. Hàm f được gọi là lồi nếu epi f là một tập lồi. Hàm f là hàm lõm
nếu − f là hàm lồi. Nếu f vừa lồi vừa lõm thì ta nói f là hàm afin.

Định nghĩa 1.1.7. Cho f : H → R, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ H
nếu
∀{xk } ⊂ H : xk → x0 ⇒ limk→∞ f (xk ) ≥ f (x0 ).
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên D ⊆ H nếu nó liên tục dưới tại mọi x ∈ D.
Hàm f là nửa liên tục trên nếu − f là nửa liên tục dưới. Nếu hàm f vừa liên tục trên
vừa liên tục dưới thì nó liên tục.

1.1.4.

Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi

Tính khả vi của hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong các phương pháp tối ưu
hóa. Lớp các hàm lồi có những tính chất rất đẹp mà các lớp hàm khác không có. Giả
sử f : H → R là hàm lồi. Ta có các khái niệm sau
Định nghĩa 1.1.8. Vectơ ω ∈ H ∗ được gọi là dưới đạo hàm của f tại x0 ∈ H nếu:
ω, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ H.
Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x0 được gọi là dưới vi phân của hàm
f tại x0 , kí hiệu là
∂ f (x0 ) := {ω ∈ H ∗ : ω, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ H}.
8


Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂ f (x0 ) = 0.
/
Định nghĩa 1.1.9. Cho ε > 0, một vectơ ω ∈ H ∗ được gọi là ε-dưới đạo hàm của f
tại x0 ∈ H nếu:
ω, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) + ε, ∀x ∈ H.
Tập hợp tất cả các ε-dưới đạo hàm của hàm f tại x0 được gọi là ε-dưới vi phân của
hàm f tại x0 , kí hiệu là
∂ε f (x0 ) := {ω ∈ H ∗ : ω, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ) + ε, ∀x ∈ H}.

Hàm f được gọi là ε-khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂ε f (x0 ) = 0.
/
Định nghĩa 1.1.10. Giả sử x ∈ H, d ∈ H\{0}, hàm f được gọi là:
a) Khả vi Frechet tại x0 nếu tồn tại ω ∈ H ∗ sao cho
f (x) − f (x0 ) − ω, x − x0
= 0, ∀x ∈ H.
lim
||x − x0 ||
x→x0
Một điểm ω như thế nếu tồn tại, sẽ duy nhất và được gọi là đạo hàm của f tại
x0 , kí hiệu là f (x0 ) hoặc ∇ f (x0 ).
b) Có đạo hàm theo hướng d tại x0 nếu tồn tại giới hạn
lim

t→0+

f (x0 + td) − f (x0 )
.
t

ta gọi giới hạn đó là đạo hàm theo hướng d của f tại x0 , kí hiệu là f (x0 , d).
Nói chung một hàm lồi không nhất thiết khả vi tại mọi điểm. Dưới vi phân là một
khái niệm mở rộng của đạo hàm trong trường hợp hàm không khả vi. Trong trường
hợp ∂ f (x∗ ) chỉ gồm duy nhất một điểm thì f khả vi tại x∗ .

1.2.

Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.2.1.

Các khái niệm

Định nghĩa 1.2.1. Cho K ⊂ H là một tập đóng, khác rỗng, F : K → H là một ánh xạ
đơn trị. Bài toán bất đẳng thức biên phân (đơn trị) là bài toán
Tìm x∗ ∈ K sao cho F(x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K.
Tập nghiệm của bài toán kí hiệu là S(K, F).
9

(VIP)


Định nghĩa 1.2.2. Giả sử K ⊂ H là một tập lồi đóng, khác rỗng và toán tử F : K → H
được gọi là
a) đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 sao cho
F(x) − F(y), x − y ≥ γ||x − y||2

∀x, y ∈ K,

b) đơn điệu trên K nếu
F(x) − F(y), x − y ≥ 0

∀x, y ∈ K,

c) giả đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 sao cho
F(x), y − x ≥ 0 ⇒ F(y), y − x ≥ γ||y − x||2

∀x, y ∈ K,

d) giả đơn điệu trên K nếu

F(x), y − x ≥ 0 ⇒ F(y), y − x ≥ 0

∀x, y ∈ K.

Theo định nghĩa trên các kéo theo (a) ⇒ (b), (a) ⇒ (c), (c) ⇒ (d), (b) ⇒ (d), là
hiển nhiên.
Chú ý rằng một toán tử giả đơn điệu mạnh có thể không đơn điệu.
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử toán tử F là toán tử giả đơn điệu mạnh thì bài toán bất
đẳng thức biến phân (VIP) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu
mạnh. Kí hiệu là VI(K, F).
Mệnh đề 1.2.1. Cho K ⊂ H là một tập lồi đóng và toán tử F : K → H liên tục.
a) Nếu F giả đơn điệu mạnh thì VI(K, F) nếu có thì có duy nhất một nghiệm.
b) Nếu F giả đơn điệu thì S(K, F) là một tập lồi.
Định nghĩa 1.2.4. Ánh xạ F được gọi là liên tục Lipschitz trên K nếu tồn tại hằng số
L > 0 sao cho:
||F(u) − F(v)|| ≤ L||u − v||, ∀u, v ∈ K.
PK (.) là một ánh xạ liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L=1.
Ví dụ 1.2.1. Bài toán điểm bất động Brouwer

10


Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng, compăc yếu trong H và ánh xạ T : K → K
là ánh xạ liên tục. Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau
Tìm x∗ ∈ K : x∗ = T (x∗ ).
Bài toán điểm bất động được đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) thông
qua mệnh đề sau
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử ánh xạ F được xác định bởi
F(x) = x − T (x), ∀x ∈ K.
Khi đó, nghiệm của bài toán điểm bất động trùng với nghiệm của bài toán bất đẳng

thức biến phân (VIP). Tức là bài toán bất đẳng thức biến phân tương đương với bài
toán điểm bất động.

1.2.2.

Sự tồn tại nghiệm

Trong phần này, trình bày chứng minh theo tài liệu [9] rằng bài toán bất đẳng thức
biến phân giả đơn điệu mạnh luôn tồn tại một nghiệm và đó là nghiệm duy nhấtcủa
bái toán.
Bổ đề 1.2.1. Giả sử K là một tập lồi đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H.
Cho F : K → H là một toán tử sao cho F(∗), y − ∗ là nửa liên tục trên với mỗi
y ∈ K . Giả sử
∃ tập compăc W : ∀x ∈ K\W, ∃y ∈ K : F(x), y − x < 0.
Thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) có một nghiệm.
Mệnh đề 1.2.3. Giả sử F là β − giả đơn điệu mạnh trên K. Nếu F(∗), y − ∗ là nửa
liên tục trên với mỗi y ∈ K thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) có một nghiệm
duy nhất.

11


Chương 2

Phương pháp chiếu giải bài
toán bất đẳng thức biến phân
giả đơn điệu mạnh
Chương này, trình bày các thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân
giả đơn điệu mạnh V I(K, F). Phần đầu, trình bày thuật toán chiếu dưới đạo hàm tăng
cường (mỗi bước lặp có hai lần chiếu) với độ dài bước được lấy từ một khoảng đóng

của các số thực dương, không yêu cầu phụ thuộc vào hằng số Lipschitz. Dãy lặp tổng
quát thu được từ thuật toán này hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán.
Phần sau, trình bày thuật toán chiếu cơ bản cải biên (mỗi bước lặp chỉ có một
lần chiếu) với độ dài bước được lấy tùy ý từ một khoảng đóng cố định của các số
thực dương. Trình bày chứng minh dãy lặp tổng quát thu được từ thuật toán này hội
tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán. Phương pháp này đòi hỏi hằng số
Lipschitz và môđun của giả đơn điệu mạnh trong việc lựa chọn khoảng đóng cố định
chứa độ dài bước. Nội dung chủ yếu của chương được trích dẫn từ tài liệu [7], [8].

12


Đề tiện cho việc theo dõi, em xin phát biểu lại bài toán bất đẳng thức biến phân
giả đơn điệu manh như sau:
Định nghĩa 2.0.5. Cho K ⊂ H là một tập đóng, khác rỗng, F : K → H là toán tử giả
đơn điệu mạnh trên K. Bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh là bài
toán
Tìm x∗ ∈ K sao cho F(x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K.

(VI)

Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu là VI(K, F).

2.1.

Phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường

Thuật toán 2.1.1 Chọn một điểm đầu u0 ∈ K và một dãy các độ dài bước
{λk }∞
k=0 ⊂ R+ với

∞

∑ λk = +∞,
k=0

lim λk = 0.

k→∞

Bước 1: Đặt k=0.
Bước 2: Tính
uk = PK (uk − λk F(uk )),
uk+1 = PK (uk − λk F(uk )).
Bước 3: Nếu uk = uk thì dừng lại. Ngược lại thì đặt k + 1 = k và quay lại bước 2.
Nếu thuật toán dừng ở bước thứ k, thì ta đặt uk = uk với mọi k ≥ k + 1. Vì thế,
Thuật toán 2.1.1 tạo ra một dãy lặp vô hạn.
Định lý 2.1.1. Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H. Giả sử F : K → H là liên tục Lipschitz và giả đơn điệu mạnh trên K, thì dãy lặp
{uk } được tạo bởi Thuật toán 2.1.1 hội tụ mạnh tới nghiệm u∗ của bài toán. Hơn nữa,
tồn tại một chỉ số k0 ∈ N sao cho γλk < 1 với mọi k ≥ k0 và
||u

k+1

k

∗

∏ (1 − γλ j )||uk0 − u∗ ||,

− u || ≤

j=k0

trong đó γ > 0 là hằng số giả đơn điệu mạnh của F. Ngoài ra,
k

lim

k→∞

∏ (1 − γλ j ) = 0.

j=k0

13


Trong phần tiếp theo, ta sẽ chứng minh giả thiết hàm F là giả đơn điệu mạnh và
∞

hai điều kiện ∑ λk = +∞, lim λk = 0 là cần thiết cho khẳng định của Định lý 2.1.1.
k→∞

k=0

Ví dụ 2.1.1. Cho K = R và F(u) = u. Dễ thấy, F là liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh
trên K và S(K, F) = {0}. Chọn u0 = 1 ∈ K và định nghĩa dãy {λk } bằng cách đặt
λk =

1
(k + 1)2

∀k ∈ N.

∞

Từ đó ∑ λk < +∞, và dãy lặp {uk } được tạo bởi Thuật toán 2.1.1 được cho bởi
k=0

uk+1 = PK (uk − λk F(PK (uk − λk F(uk ))))
= uk − λk F(uk − λk F(uk ))
= uk − λk (uk − λk uk )
= (1 − λk + λk2 )uk .
Vì u0 = 1, ta có
k
k+1

u

=

∏

j=1

=

= ∏ 1−

∏
k

≥

k

(1 − λ j + λ j2 )
j=0

j=0

1
1−
( j + 1)2

k+2
2(k + 1)

1
1
+
2
( j + 1)
( j + 1)4

k

j( j + 2)
2

j=1 ( j + 1)

=∏

∀k ∈ N.

Do đó, {uk } là dãy giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ.
k+2
1
= .
k→∞ 2(k + 1)
2

lim uk ≥ lim

k→∞

1
Ta được lim uk = u∗ với u∗ ≥ .Do vậy, dãy {uk } không hội tụ tới nghiệm duy nhất
k→∞
2
của bài toán VI(K, F).
Ví dụ 2.1.2. Cho K, F, u0 như trong Ví dụ 2.1.1 và λk = 1 với mọi k ∈ N. Do đó
k−1

∞

∑ λk = +∞. Tuy nhiên như đã tính toán ở trên uk = ∏ (1 − λ j + λ j2 ) = 1 với mọi
j=0

k=0

k ∈ N. Do vậy lim

k→∞

uk

= 1 không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán.

Ví dụ 2.1.3. Cho K = R2 và F(u) = (−u2 , u1 ) với mọi u = (u1 , u2 ) ∈ K. Dễ thấy hàm
F liên tục Lipschitz và đơn điệu trên K, và nghiệm của bài toán VI(K, F) là (0, 0)T .
14


Cho u0 = (u01 , u02 )T ∈ K\{(0, 0)T } bất kỳ và {λk } được cho bởi
λk =

1
k+1

∀k ∈ N.

∞

Khi đó ∑ λk = +∞, lim λk = 0. Để chứng minh F không giả đơn điệu mạnh trên K,
k→∞
ta chỉ cần chọn u = (1, 0)T , v = (2, 0)T , khi đó
k=0

Dãy lặp

{uk }

F(u), v − u = 0 và F(v), v − u = 0.
được tạo bởi Thuật toán 2.1.1 được cho bởi



u0
= (u01 , u02 )T



 k+1
1
1 k
u1
= 1−
uk1 +
u
2
(k + 1)
k+1 2



1
1 k



= 1−
uk2 −
u
uk+1
2
2
(k + 1)
k+1 1

Ta có
||uk+1 ||

k+1 2
2
= (uk+1
1 ) + (u2 )

= (uk1 )2 + (uk2 )2
=||uk || 1 −

=||u ||

∏

1
1
+
(k + 1)2 (k + 1)4

1
1
+
(k + 1)2 (k + 1)4

k
0

1−

1−

j=0

1
1
+
.
2
( j + 1)
( j + 1)4

Khi đó
k
k

0

lim ||u || = ||u || lim

k→∞

k→∞

≥ ||u0 || lim

k→∞

∏

1−

j=0

1
1
+
( j + 1)2 ( j + 1)4

k+2
2(k + 1)

√
2 0
≥
||u ||
2

√
2

= µ||u0 || (µ ≥
).
2
Do đó, {uk } không hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F).
Qua các ví dụ trên ta thấy rằng, nếu bỏ đi bất kỳ một trong ba đều kiện trên thì
dãy lặp {uk } đều không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(F, K).
15


2.2.

Phương pháp chiếu cơ bản cải biên

Thuật toán 2.2.1. Cho trước u0 ∈ K và {λk } ⊂ (0, +∞).
Bước 1: Đặt k=0.
Bước 2: Tính u k = PK (uk − λk F(uk )), nếu u k = uk thì dừng lại. Nếu không thì
chuyển sang bước tiếp theo.
Bước 3: Đặt uk+1 = u k , sau đó quay lại bước 2.
Nếu thuật toán chấm dứt ở bước thứ k, thì ta đặt uk = uk với mọi k ≥ k + 1. Như
vậy, đối với một dãy các độ dài bước thay đổi {λk } ⊂ (0, +∞), Thuật toán 2.2.1 tạo
ra cho mỗi điểm ban đầu u0 ∈ K một dãy lặp vô hạn {uk }.
Mệnh đề 2.2.1. Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H và ánh xạ F : K → H là giả đơn điệu mạnh trên K với mô-đun γ và liên tục
Lipschitz trên K với hằng số L. Cho {uk } là dãy lặp được tạo ra bởi Thuật toán 2.2.1
và u∗ là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F) thì
[1 + λk (2γ − λk L2 )] ||uk+1 − u∗ ||2 ≤ ||uk − u∗ ||2 , ∀k ∈ N.
Bài toán VI(K, F) luôn có duy nhất một nghiệm, và dãy lặp được tạo bởi Thuật
toán 2.2.1, với độ dài bước được chọn từ một khoảng đóng của các số thực dương,
hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất đó. Cụ thể, ta có định lý sau:
Định lý 2.2.1. Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực

H, F : K → H là ánh xạ giả đơn điệu mạnh trên K với môđun γ và liên tục Lipschitz
trên K với hằng số L. Giả sử rằng
0 < a ≤ λk ≤ b <

2γ
, ∀k ∈ N,
L2

(2.4)

trong đó a, b là các hằng số dương. Cho {uk } là dãy lặp tạo ra bởi Thuật toán 2.2.1.
Khi đó, dãy {uk } hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán. Hơn nữa, các
sai số tiên nghiệm và hậu nghiệm là
||uk+1 − u∗ || ≤

µ k+1 1
||u − u0 ||,
1−µ

và
||uk+1 − u∗ || ≤

µ
||uk+1 − uk ||,
1−µ
16


đúng với mọi k ∈ N. Ở đây
µ=

1
1 + a(2γ − bL2 )

∈ (0, 1).

Chú ý 2.2.1 Khi a = b = λ , độ dài bước là cố định. Do đó phương pháp chiếu cơ
bản cải biên trở thành phương pháp chiếu cơ bản và µ trở thành
µ=

1
1 + λ (2γ − λ L2 )

.

2γ
. Các ước tính sai số là chặt chẽ khi µ là nhỏ nhất. Xét
L2
2γ
µ như một hàm của λ ∈ 0, 2 , ta tìm được giá trị nhỏ nhất của µ là
L
L
γ
µ ∗ :=
tại điểm λ∗ := 2 .
L
L2 + γ 2

Ta có λ ∈ 0,

Chú ý 2.2.2 Ngoài ra giá trị µ có thể được xem như một hàm µ = µ(a, b) của biến
(a, b) thuộc miền
(a, b) ∈ R2 : 0 < a ≤ b <

2γ
L2

.

Đặt b = ta, với t ∈ [1, + ∞) cố định, tương tự như trên ta tính được hàm
γ
1
tại a = 2 . Từ đó
µ(a, b) = µ(a,ta) đạt giá trị nhỏ nhất là
tL
γ2
1+ 2
tL








1
L
min
: 1 ≤ t < +∞ =

.
2
2 + γ2


L
γ


 1+

2
tL
Vậy suy ra
min µ(a, b) : 0 < a ≤ b <
Do đó, giá trị nhỏ nhất của µ là µ ∗ =
(a∗ , b∗ ) = (

γ γ
, ).
L2 L2
17

2γ
L2
L

L2 + γ 2

=

L
L2 + γ 2

.

đạt được tại điểm duy nhất


Chú ý 2.2.3 Ước lượng sai số trong Định lý 2.2.1 là hữu ích trong việc áp dụng Thuật
toán 2.2.1 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh.Ví dụ,
µ k+1 1
||u −u0 || cho phép chúng ta ước tính số lượng
công thức ||uk+1 −u∗ || ≤
1−µ
bước lặp cần để đạt được một độ chính xác nhất định. Cụ thể, với ε > 0 bất
µ k+1 1
kỳ, nếu
||u − u0 || ≤ ε thì ta có ||uk+1 − u∗ || ≤ ε.
1−µ
Hệ quả 2.2.1. Trong các kí hiệu của Định lý 2.2.1, nếu F là đơn điệu mạnh và liên
tục Lipschitz trên K thì dãy {uk } tạo ra bởi Thuật toán 2.2.1 hội tụ tuyến tính tới
nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F) và các ước tính sai số nêu trên được thỏa mãn.
Ví dụ 2.2.1 Cho H = l2 là không gian Hilbert thực mà các thành phần là các dãy
bình phương khả tổng của các vô hướng thực. Ví dụ H = {u = (u1 , u2 , · · · , ui , · · · ) :
∞

∞

i=1

i=1

∑ |ui |2 < +∞}. Định nghĩa u, v = ∑ ui vi và ||u|| =

u, u là tích vô hướng và

chuẩn của hai vectơ u, v trên H, với u = (u1 , u2 , · · · , ui , · · · ),v = (v1 , v2 , · · · , vi , · · · ) ∈ H
β
bất kỳ. Cho α, β ∈ R sao cho β > α > > 0. Đặt
2
Kα = {u ∈ H : ||u|| ≤ α},

Fβ (u) = (β − ||u||)u,

trong đó α, β là các tham số. Dễ thấy S(Kα , Fβ ) = {0}. Hàm Fβ là liên tục Lipschitz
và giả đơn điệu mạnh trên Kα . Thật vậy, với u, v ∈ Kα bất kỳ,
||Fβ (u) − Fβ (v)|| = ||(β − ||u||)u − (β − ||v||)v||
= ||β (u − v) − ||u||(u − v) − (||u|| − ||v||)v||
≤ β ||u − v|| + ||u|| ||u − v|| + | ||u|| − ||v|| | ||v||
≤ β ||u − v|| + α ||u − v|| + α||u − v||
= (β + 2α)||u − v||.
Do đó Fβ là liên tục Lipschitz trên Kα với hằng số Lipschitz L := β + 2α. Cho u, v ∈
Kα sao cho Fβ (u), v − u ≥ 0. Theo giả thiết ||u|| ≤ α < β . Suy ra u, v − u ≥ 0.
Do đó
Fβ (v), v − u = (β − ||v||) v, v − u
≥ (β − ||v||)

v, v − u − u, v − u

≥ (β − α)||u − v||2
= γ||u − v||2 ,
18


ở đây γ := β − α > 0. Suy ra Fβ là giả đơn điệu mạnh trên Kα . Hơn nữa Fβ không thể
β
đơn điệu mạnh cũng không thể đơn điệu trên Kα . Thật vậy, ta chọn u =
, 0, · · · , 0, · · · , v =
2
(α, 0, · · · , 0, · · · ) ∈ Kα . Ta có
Fβ (u) − Fβ (v), u − v =

β
−α
2

3

< 0.

2γ
2(β − α)
=
0,
tùy ý, đặt λk = λ với mọi
L2
(β + 2α)2
k ∈ N. Theo Định lý 2.2.1, dãy {uk } được tạo bởi Thuật toán 2.2.1 hội tụ tuyến tính
tới 0. Hơn nữa,

Lấy u0 ∈ Kα bất kỳ, và λ ∈ 0,

||uk+1 − 0|| ≤

µ
µ k+1 1
||u − u0 || và ||uk+1 − 0|| ≤
||uk+1 − uk ||
1−µ
1−µ

với mọi k ∈ N, trong đó
µ=

1
1 + λ [2(β − α) − λ (β + 2α)2 ]

Theo Chú ý 2.2.1 giá trị nhỏ nhất của µ là µ∗ =
λ = λ∗ =

.

β + 2α
(β − α)2 + (β + 2α)2 ]

tại điểm

β −α
.

(β + 2α)2

Nếu các độ dài bước tạo thành một dãy không khả tổng của các số thực dương thì
Thuật toán 2.2.1 cũng tạo ra một dãy lặp hội mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán.
Ta có:
Định lý 2.2.2. Cho K là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H và F : K → H là một ánh xạ giả đơn điệu mạnh trên K với mô-đun γ và liên tục
Lipschitz trên K với hằng số L. Giả sử {λk } là một dãy các vô hướng dương với
∞

∑ λk = +∞,
k=0

lim λk = 0.

(2.5)

k→∞

Dãy lặp {uk } được tạo thành từ Thuật toán 2.2.1 sẽ hội tụ mạnh tới u∗ là nghiệm
duy nhất của bài toán VI(K, F). Hơn nữa, tồn tại một chỉ số k0 ∈ N sao cho với mỗi
k ≥ k0 , λk (2γ − λk L2 ) > 0, và
1

||uk+1 − u∗ || ≤

∏ki=k0 [1 + λi (2γ − λi L2 ]
19

||uk0 − u∗ ||.

Hệ quả 2.2.2. Cho {λk } như trong Định lý 2.2.2. Cho F là đơn điệu mạnh trên K với
mô-đun γ và liên tục Lipschitz trên K với một hằng số L. Thì dãy {uk } bất kỳ được
tạo ra từ Thuật toán 2.2.1 hội tụ theo chuẩn tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,
F) và tồn tại một chỉ số k0 ∈ N sao cho
1

||uk+1 − u∗ || ≤

||uk0 − u∗ ||,

∏ki=k0 [1 + λi (2γ − λi L2 ]
đúng với mỗi k ≥ k0 .
Ví dụ 2.2.2. Cho H = l2 , α, β ∈ R sao cho β > α >
Kα = {u ∈ H : ||u|| ≤ α},

β
> 0. Đặt
2

Fβ (u) = (β − ||u||)u,

∞
1
, ∀k ∈ N. Khi đó ∑ λk = +∞, lim λk = 0.
k→∞
k+1
k=0
k

Cho {u } là một dãy lặp được tạo bởi Thuật toán 2.2.1. Suy ra dãy {uk } hội tụ
(β + 2α)2
mạnh tới 0 là nghiệm duy nhất của bài toán VI(Kα , Fβ ). Đặt k0 =
, thì
2(β − α)
λk (2γ − λk L2 ) > 0, với mọi k ≥ k0 . Ta có

trong đó α, β là các tham số, và λk =

1

||uk+1 − 0|| ≤
∏ki=k0 1 +

||uk0 − 0||,
+ 2α)2

∀k ≥ k0 .

2(β − α) (β
−
i+1
(i + 1)2

Chúng ta sẽ xét xem điều gì sẽ xảy ra nếu bỏ điều kiện (2.4) và (2.5) lần lượt được
đưa ra ở Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.2 thông qua ví dụ sau:
Ví dụ 2.2.3. Đặt K = R và F(u) = u. Rõ ràng F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh
trên K và S(K, F) = 0. Chọn u0 = 1 ∈ K và
λk =

1
,
(k + 2)2

∀k ∈ N.

∞

Từ đó lim λk = 0 và ∑ λk < +∞, cả hai điều kiện (2.4) và (2.5) đều bị lược bỏ. Dãy
k→∞

lặp

uk

k=0

được tạo bởi Thuật toán 2.2.1 với u0 = 1 được cho bởi
uk+1 = PK (uk − λk F(uk )) = uk − λk uk = (1 − λk )uk .

20


Do đó,
k

k

uk+1 = ∏(1 − λi )

= ∏ 1−

i=0

i=0

1
(i + 2)2

k

k+3
(i + 1)(i + 3)
=
,
(i + 2)2
2(k + 2)
i=0

=∏

∀k ∈ N.

1
. Nghĩa là {uk } không hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán
k→∞
2
VI(K, F). Vậy các điều kiện (2.4) và (2.5) không thể bỏ đi, nếu không dãy lặp sẽ
không hội tụ tới nghiệm của bài toán cần tìm.
Ví dụ 2.2.4. Cho K = R và F(u) = u, và u0 ∈ R\{0}. Cho λk ⊂ (0, +∞) thỏa mãn

Vậy lim uk =

∞

điều kiện ∑ λk = +∞, lim λk = 0 và λk = 1, ∀k ∈ N. Khi đó dãy lặp {uk } trở thành
k=0

k→∞

uk+1 = PK (uk − λk F(uk )) = uk − λk uk = (1 − λk )uk .
Để chứng minh {uk } hội tụ tuyến tính đến 0, ta cần chứng minh:
||uk+1 − 0||
lim
= µ, với µ ∈ (0, 1).
k→∞ ||uk − 0||
Vì lim λk = 0 và uk = 0 với mọi k ∈ N, ta có
k→∞

||uk+1 − 0||
= lim |1 − λk | = 1.
k→∞ ||uk − 0||
k→∞
lim

Vậy {uk } không hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F).
Ví dụ trên cho thấy rằng dãy {uk } được xét trong Định lý 2.2.2 có thể không hội
tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F). Mặt khác, trong một so sánh
với dãy lặp được tạo Định lý 2.2.1, công thức lặp trong Định lý 2.2.2 có tốc độ hội
tụ chậm hơn. Như vậy, bên cạnh những ưu điểm nêu trên, thì phương pháp chiếu cải
biên không có hằng số tiên nghiệm cũng có những nhược điểm về tốc độ hội tụ.

21


KẾT LUẬN
Sau khi được Hatman và Stampacchia giới thiệu lần đầu vào năm 1966, trải qua
50 năm phát triển không ngừng, bài toán bất đẳng thức biến phân đã trở thành một
công cụ hữu hiệu, để nghiên cứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính,
vận tải, lý thuyết trò chơi và trong nhiều bài toán khác. Gần đây, các bài toán bất đẳng
thức biến phân đã được nhiều nhà toán học quan tâm, và có được nhiều kết quả quan
trọng. Người ta đã tìm ra nhiều phương pháp để giải bài toán này.
Bản luận văn này nhằm mục đích giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân giả
đơn điệu mạnh. Cụ thể là, sau khi tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về Giải tích
hàm và Giải tích lồi, trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân với các ví dụ minh
họa. Sau đó, luận văn trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. Tiếp
đến, luận văn giới thiệu hai thuật toán chiếu để giải lớp bài toán này, đồng thời xét
đến sự hội tụ của các thuật toán trong không gian Hilbert.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia
Hà Nội.
2. Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giải tích lồi ứng
dụng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
3. Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản
Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
4. D. Kinderlehrer and G. Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York.
5. Fan Ky (1972), A minimax inequalities and applications. In: Shisha O. (Ed): Inequalities, Academic Press, New York.

6. Igor Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities,
Springer.
7. Pham Duy Khanh (2012), ”A new extragradient method for strongly pseudomonotone variational inequalities”, Submitted.
8. Pham Duy Khanh, Phan Tu Vuong (2014), ”Modified projection method for strongly
pseudomonotone variational inequalities”, Journal of Global Optimization,58,
no 2, 341 - 350.
9. Phung M. Duc, Le D. Muu, and Nguyen V. Quy (2014), ”Solution - existence and
algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilibrium problems”, Pracific Journal Mathematics, Pacific J. Mathematics, To
appear.

23