Lý thuyết cấu trúc của các PSH-đại số

Mục lục

Lời nói đầu

i

Bảng ký hiệu

iii

Chương 0. Kiến thức chuẩn bị

1

0.1

T-nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

0.2

Vành biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

0.3

Biểu diễn cảm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.4

Các toán tử iU,θ và rU,θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.5

Biểu diễn của nhóm GL(2, Fq ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

0.6

Đại số Hopf. PSH-đại số. Phần tử nguyên thủy

0.7

Phân hoạch, bảng Young, bảng lệch và móc-lệch . . . . . . . . . . . . 20

Chương 1. Lý thuyết cấu trúc của các PSH-đại số

. . . . . . . . . . . . 15

23

1.1

Định lí phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2

PSH-đại số phổ dụng: Định lí duy nhất và cấu trúc đại số Hopf . . . 27

1.3

PSH-đại số phổ dụng: Các phần tử bất khả quy . . . . . . . . . . . . 41

Chương 2. Biểu diễn của nhóm GL(n, Fq )

53

2.1

Phân loại các biểu diễn bất khả quy của GL(n, Fq ) . . . . . . . . . . 53

2.2

Đại số P.Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3

Các giá trị đặc trưng của GL(n, Fq ) tại các phần tử lũy đơn . . . . . 67

2.4

Các môđun Gelfand-Graev suy biến

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Kết luận

80

Tài liệu tham khảo

81


Lời nói đầu

Lí thuyết biểu diễn nhóm nói chung và lí thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn nói
riêng đóng vai trò quan trọng trong Toán học, Vật lí, Hoá học, ... Bởi vậy, việc tìm
hiểu những tính chất hay mô tả các nhóm là rất cần thiết. Nhóm tuyến tính tổng
quát cũng như nhóm các tự đẳng cấu của không gian vectơ xuất hiện nhiều trong
các bài toán lí thuyết và ứng dụng. Cho đến nay, việc nghiên cứu lí thuyết biểu diễn
của nhóm này vẫn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và cũng là đề tài
thú vị cho những ai muốn đưa ứng dụng của nó vào các lí thuyết khác như: Tôpô
đại số, lí thuyết nhóm lượng tử, ... Tuy nhiên, việc mô tả triệt để các biểu diễn của
nhóm tuyến tính tổng quát nói chung hay nhóm tuyến tính tổng quát trên trường
hữu hạn nói riêng là một bài toán khó, ngay cả việc tìm các lớp liên hợp và xây dựng
bảng đặc trưng của nhóm GL(2, Fq ) đã là một công việc khá phức tạp (xem 0.5).
Luận văn của chúng tôi trình bày việc nghiên cứu các biểu diễn của nhóm
GL(n, Fq ), nhóm tuyến tính tổng quát trên trường hữu hạn dựa vào lí thuyết đại số
Hopf. Để làm điều đó, ta xét dãy các nhóm Gn = GL(n, Fq ), n ≥ 0, (q là cố định)
và tạo sự liên kết giữa các vành biểu diễn R(Gn ) của các nhóm Gn với nhau thông
qua việc xét R(q) = ⊕n≥0 R(Gn ). Tiếp theo là xây dựng các toán tử iU,θ , rU,θ là tổng
quát của các toán tử cảm sinh và hạn chế thông thường; trong đó các toán tử iU,θ
trang bị cho R(q) một cấu trúc đại số trên Z, còn các toán tử rU,θ làm R(q) thành

một đối đại số. Các cấu trúc đại số và đối đại số như vậy tương thích với nhau, sự
tương thích ấy dẫn đến R(q) là một đại số Hopf. Định lí phân tích phiên dịch thành
phát biểu rằng R(q) là một PSH-đại số, tức là một đại số Hopf tự liên hợp, dương,
liên thông trên Z. Các đặc trưng bất khả quy của các nhóm Gn được xem như các
phần tử bất khả quy của R(q), ... Với những công việc đó, luận văn của chúng tôi
được chia làm 3 chương. Cụ thể là:
Chương 0 là những kiến thức chuẩn bị. Phần đầu của chương, chúng tôi trình
bày sơ lược những kiến thức căn bản như: T −nhóm, vành biểu diễn, biểu diễn cảm
sinh, trao đổi Frobenius, các toán tử iU,θ , rU,θ và biểu diễn của nhóm GL(2, Fq ).
Việc đưa vào biểu diễn của của nhóm GL(2, Fq ), ngoài sự thể hiện việc áp dụng lí
thuyết biểu diễn thông thường, chúng tôi còn có ý so sánh những ví dụ ở phần sau


với nó. Phần còn lại của chương, chúng tôi dành cho việc trình bày về khái niệm
đại số Hopf, PSH-đại số và một số kết quả đầu tiên, ... cuối cùng là phân hoạch và
bảng Young.
Chương 1 trình bày lí thuyết sâu hơn và đầy đủ hơn về các PSH-đại số, trong
đó các vấn đề trọng tâm là: định lí phân tích, định lí duy nhất và cấu trúc đại số
Hopf, sự tham số hóa các phần tử nguyên thủy, bất khả quy, ... cùng một số các kết
quả quan trọng về tích vô hướng của chúng nhằm phục vụ cho mục đích chính của
luận văn.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Ở chương này chúng tôi trình bày
về biểu diễn của nhóm GL(n, Fq ) thông qua việc nghiên cứu PSH-đại số R(q). Cụ
thể là phân loại các biểu diễn của nhóm GL(n, Fq ), đại số P.Hall, tính bậc của các
đặc trưng bất khả quy và giá trị của chúng tại các phần tử lũy đơn. Cuối cùng là
trình bày về các môđun Gelfand-Graev suy biến, cái mà cho ta ý tưởng tính toán
các đặc trưng của nhóm GL(n, Fq ) thông qua việc tính các đặc trưng cảm sinh của
các nhóm con của nó.
Luận văn không có kết quả mới. Công việc của người viết là tìm hiểu các khái
niệm và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan dựa vào một số gợi ý vắn

tắt trong các tài liệu. Trong số đó, chúng tôi tự chứng minh được nhiều bổ đề,
mệnh đề đã trình bày trong luận văn, chẳng hạn công thức J. Green, các Mệnh
đề 0.4.2, 0.4.3, 0.6.6, 1.2.8,2.2.1, ... các Bổ đề 2.3.1, 2.4.3 và tự đưa ra một số ví
dụ 2.2.7, 2.3.5, 2.3.8, 2.3.11. Việc mạnh dạn định nghĩa toán tử x∗ trên H đã giúp
chúng tôi đưa ra một chứng minh sáng sủa cho Mệnh đề 2.2.5. Ngoài ra, ở Chương
0, mục 0.5 chúng tôi còn đưa ra một số chứng minh ngắn gọn và tự nhiên hơn trong
tài liệu, chẳng hạn các chứng minh ψi,j = ψi ,j , χi = χj và các công thức (∗) và
(∗∗).
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tác giả còn nhận
được rất nhiều sự động viên và giúp đỡ từ gia đình, bạn bè thân hữu, và các thầy
cô trong khoa Toán-Cơ-Tin của trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc
gia Hà Nội. Tác giả xin cảm ơn mọi người, đặc biệt là TS. Lê Minh Hà, người thầy
hướng dẫn đã tận tình chỉ bảo, giải đáp những thắc mắc và định hướng cho tác giả
trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi tới thầy lời cảm ơn sâu
sắc tận đáy lòng mình.
Cuối cùng, mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những góp ý chân thành của tất cả những
ai quan tâm. Xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Học viên
Phạm Xuân Thịnh

ii


Bảng ký hiệu

tập các số tự nhiên
tập các số nguyên
tập các số hữu tỉ

tập các số thực
tập các số phức
tập các đồng cấu từ không gian biểu diễn
của π vào không gian biểu diễn của τ
|G|
số phần tử của nhóm G
G/H
tập các lớp kề của nhóm G theo nhóm con H
G
|a |
số phần tử của lớp liên hợp của a trong nhóm G
|CG (a)|
số phần tử của nhóm tâm hóa của a trong nhóm G
U ×V
tích trực tiếp của U và V
U ⊗V
tích tenxơ của U và V
U ⊕V
tổng trực tiếp của U và V
U V
hợp rời của U và V
a|b
a là ước của b
a b
a là không là ước của b
C[G]
vành nhóm của G
Fq
trường hữu hạn có q phần tử
GL(n, Fq )

nhóm các ma trận vuông cỡ n × n khả
nghịch với các phần tử trên trường Fq
det(A)
định thức của ma trận vuông A
diag(a1 , a2 , . . . , an ) ma trận đường chéo với các phần tử trên
đường chéo chính lần lượt là a1 , a2 , . . . , an
N
Z
Q
R
C
Hom(π, τ )


Chương 0
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi nhắc lại về vành biểu diễn, biểu diễn cảm sinh, biểu
diễn hạn chế, trao đổi Frobenius, các toán tử iU,θ , rU,θ là mở rộng của các toán tử
biểu diễn cảm sinh và hạn chế, biểu diễn của nhóm GL(2, Fq ). Tiếp theo là nhắc lại
đại số Hopf, PSH-đại số và cùng một số kết quả liên quan. Các kết quả này sẽ được
dùng thường xuyên về sau. Cuối cùng là sơ lược về phân hoạch, bảng Young, ...
Toàn bộ chương này được trình bày theo J. P. Serre [5], N. H. V. Hưng [1], Andrey
V. Zelevinsky [7] và Gordon James and Martin Liebeck [4], có tham khảo trong J.L.
Alperin with Rowen B. Bell [2].
Trong suốt cả chương này cũng như trong toàn bộ luận văn, khi nói G là một
nhóm, ta luôn hiểu G là một nhóm hữu hạn.

0.1

T-nhóm

Một T −nhóm là một Z−môđun tự do R với một Z−cơ sở được đánh dấu Ω =
Ω(R). Ta coi Z như là một T −nhóm với Ω(Z) = {1}. Tổng trực tiếp của một họ
các T −nhóm tùy ý và tích tenxơ của một họ hữu hạn các T −nhóm cũng là các
T −nhóm với các cơ sở tương ứng:
n

Ω(⊕α∈A Rα ) =

Ω(Rα ),

Ω(⊗ni=1 Ri )

=

Ω(Ri ).
i=1

α∈A

Nói riêng, mỗi T −nhóm đều phân tích được thành tổng trực tiếp của các T −nhóm
Z.ω, ω ∈ Ω(R). Một T −nhóm con của T −nhóm R là một nhóm con có dạng
⊕ω∈Ω Z.ω, ở đó Ω là tập con của Ω(R).
Đặt
R+ =

mω .ω | mω ≥ 0 .
ω∈Ω

Các phần tử của R+ được gọi là dương. Ta viết x ≥ y nếu x − y ∈ R+ . Một đồng

cấu giữa hai T −nhóm được gọi là dương nếu nó biến một phần tử dương thành một
phần tử dương.


Với mỗi T −nhóm R, định nghĩa một dạng Z−song tuyến tính , trên R bởi
ω, ω = δω,ω với ω, ω ∈ Ω.
Dạng , là đối xứng, không suy biến và xác định dương; ta gọi nó là tích vô hướng
trên R. Các phần tử của Ω được gọi là các phần tử dương có độ dài bằng 1 và cũng
được gọi là các phần tử bất khả quy của T −nhóm R. Nếu π = ω∈Ω mω .ω ∈ R+
thì các phần tử ω ∈ Ω sao cho mω > 0 được gọi là các thành phần bất khả quy của
π. Rõ ràng, điều kiện mω > 0 có thể viết thành ω ≤ π hoặc là ω, π > 0.

0.2

Vành biểu diễn

Giả sử ρ1 , . . . , ρh là tập tất cả các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng
cấu của G. Khi đó, mỗi biểu diễn ϕ của G có thể phân tích thành tổng
ϕ = m1 ρ1 ⊕ · · · ⊕ mh ρh ,
với các hệ số mi nguyên không âm. Nếu
ψ = n1 ρ 1 ⊕ · · · ⊕ nh ρ h
cũng là một biểu diễn của G, thì ta có
ϕ ⊕ ψ = (m1 + n1 )ρ1 ⊕ · · · ⊕ (mh + nh )ρh ,
ϕ⊗ψ =

mi nj (ρi ⊗ ρj ).
i,j

Mỗi biểu diễn ρi ⊗ ρj lại có phân tích qua ρ1 , . . . , ρh . Thế những phân tích như vậy
vào đẳng thức trên, ta thu được phân tích của ϕ ⊗ ψ.

Bây giờ, gọi R(G) là tập hợp các tổng hình thức
ϕ = m1 ρ1 ⊕ · · · ⊕ mh ρh ,
trong đó các hệ số mi là các số nguyên. Mỗi phần tử của R(G) được gọi là một biểu
diễn suy rộng của G. Tổng ϕ ⊕ ψ và tích ϕ ⊗ ψ của hai biểu diễn suy rộng ϕ và ψ
cũng được xác định bởi cùng các công thức đã nêu ở trên cho trường hợp ϕ và ψ là
các biểu diễn. Khi đó R(G) lập thành một vành giao hoán đối với các phép toán ⊕
và ⊗.
Định nghĩa 0.2.1. R(G) được gọi là vành biểu diễn của nhóm G.
Giả sử χi là đặc trưng của các biểu diễn ρi . Khi đó R(G) có thể đồng nhất với
tập các hàm là tổ hợp tuyến tính của χ1 , . . . , χh ,
χ = m1 χ1 + · · · + mh χh ,
2


với các hệ số mi nguyên. Mỗi hàm như thế được gọi là đặc trưng suy rộng của G.
Hai phép toán được định nghĩa như sau:
mi χi +
mi χi

ni χi =
nj χj =

(mi + ni )χi ,
mi nj (χi χj ).

Vì thế R(G) cũng được gọi là vành đặc trưng của G. Đối với phép cộng, R(G) là
một nhóm abel tự do trên tập hợp {χ1 , . . . , χh }. Nói cách khác, ta có phân tích
R(G) = Zχ1 ⊕ · · · ⊕ Zχh .
Vì các χi lập thành một cơ sở trực chuẩn của không gian C(G) các hàm lớp trên G,
nên có thể đồng nhất C ⊗Z R(G) với C(G).

Gọi ρ là biểu diễn đơn vị của G, tức là biểu diễn cấp một ρ : G → GL(C) = C∗
xác định bởi ρ(s) = idC , với mọi s ∈ G. Khi đó, đặc trưng χρ của nó được xác định
bởi χρ (s) = 1 với mọi s ∈ G. Ta có χρ là đơn vị của vành R(G).
Tóm lại, ta có kết quả sau:
Mệnh đề 0.2.2 ([1], Mệnh đề 7.1). Các đặc trưng suy rộng của G lập thành một
vành giao hoán R(G) với đơn vị là đặc trưng χρ của biểu diễn đơn vị.

0.3
0.3.1.

Biểu diễn cảm sinh
Định nghĩa biểu diễn cảm sinh

Cho ρ : G → GL(V ) là một biểu diễn tuyến tính của G và H là một nhóm con
của G. Gọi ρH là hạn chế của ρ xuống H. Giả sử W là một biểu diễn con của ρH .
Nói cách khác, W là một không gian vectơ con của V , ổn định dưới tác động của
các ρt , với mọi t ∈ H. Kí hiệu biểu diễn này của H trong W là θ : H → GL(W ).
Với mỗi s ∈ G, không gian vectơ ρs W chỉ phụ thuộc vào lớp kề trái sH của s. Thật
vậy, nếu ta thay s bởi st với t ∈ H thì ρst W = ρs ρt W = ρs W . Như vậy, nếu σ là
một lớp kề trái của H, ta có thể xác định một không gian vectơ con Wσ của V là
ρs W , với một s ∈ σ nào đó. Khi đó, các Wσ được hoán vị với nhau bởi ρs , s ∈ G.
Do đó tổng của chúng, σ∈G/H Wσ , là một biểu diễn con của V .
Định nghĩa 0.3.1. Ta nói rằng biểu diễn ρ của G trong V được cảm sinh bởi biểu
diễn θ của H trong W nếu V là tổng trực tiếp của các Wσ , với σ ∈ G/H,
V = ⊕σ∈G/H Wσ .
Cũng có thể định nghĩa biểu diễn cảm sinh theo ngôn ngữ “môđun” như sau:
Định nghĩa 0.3.2. Với H là một nhóm con của G, ta định nghĩa môđun cảm sinh
của C[H]−môđun W là C[G]−môđun
3

V = C[G] ⊗C[H] W .
Sự tồn tại và tính duy nhất của biểu diễn cảm sinh được thể hiện trong định lí
sau:
Định lí 0.3.3 ([5], Định lý 11). Giả sử H là một nhóm con của G và (W, θ) là một
biểu diễn tuyến tính của H. Khi đó, tồn tại một biểu diễn tuyến tính (V, ρ) của G,
được cảm sinh bởi (W, θ). Hơn nữa, (V, ρ) là duy nhất, sai khác một đẳng cấu.
Giả sử (V, ρ) được cảm sinh bởi (W, θ) với các đặc trưng tương ứng χρ và χθ .
Khi đó χρ có thể tính được từ χθ nhờ định lí:
Định lí 0.3.4 ([5], Định lý 12). Giả sử R là một lớp các đại diện của G/H. Với
mỗi u ∈ G, ta có
χθ (r−1 ur) =

χρ (u) =
r∈R
r−1 ur∈H

1
|H|

χθ (s−1 us).
s∈G
s−1 us∈H

Nếu f là một hàm lớp trên H, xét hàm f trên G được định nghĩa bởi công thức
f (s) =

1
|H|

f (t−1 st).
t∈G
t−1 st∈H

Ta nói f được cảm sinh từ f và kí hiệu bởi IndG
H (f ) hay Ind(f ).
Mệnh đề 0.3.5 ([5], Mệnh đề 20).
(i) IndG
H (f ) là một hàm lớp trên G.
(ii) Nếu f là đặc trưng của biểu diễn W của H thì IndG
H (f ) là đặc trưng của biểu
G
diễn cảm sinh IndH (W ) của G.
0.3.2.

Công thức trao đổi Frobenius

Kí hiệu A(G) là tập hợp các biểu diễn phức hữu hạn chiều của nhóm G. Rõ
ràng, R(G) là một T −nhóm với cơ sở Ω = Ω(G) là tập các lớp tương đương của các
biểu diễn bất khả quy của G. Các phần tử dương của R(G) được đồng nhất với các
lớp tương đương của các biểu diễn trong A(G). Tích vô hướng trên A(G) được định
nghĩa bởi công thức:
π, τ =

1
π(g)τ (g −1 ); π, τ ∈ A(G),
|G| g∈G

và mở rộng tuyến tính để được tích vô hướng trên R(G). Theo đó, từ Bổ đề Schur,
ta có

4


Định lí 0.3.6 ([2], Định lí 12). Nếu π, τ là các biểu diễn bất khả quy của G, thì
π, τ = dimC Hom(π, τ ).
Đồng nhất mỗi phần tử của R(G) với ảnh của nó trong C(G) ta có thể mở rộng
tích vô hướng , trên R(G) tới tích vô hướng Hecmit trên C(G), được cho bởi công
thức:
1
f1 (g).f2 (g).
f1 , f2 =
|G| g∈G
Nếu ϕ là một hàm lớp trên G, ta kí hiệu ResG
H (ϕ) hay Res(ϕ) là hạn chế của nó
xuống nhóm con H. Định lí quan trọng dưới đây nói về trao đổi Frobenius.
Định lí 0.3.7 ([5], Định lý 13). Nếu ψ là một hàm lớp trên H và ϕ là một hàm lớp
trên G, ta có
ψ, Res(ϕ) H = Ind(ψ), ϕ G .
Nhận xét 0.3.8. Từ Định lí 0.3.7, suy ra các ánh xạ Res và Ind là liên hợp với
nhau đối với tích vô hướng , .

0.4

Các toán tử iU,θ và rU,θ

Trong mục này ta giới thiệu các toán tử iU,θ và rU,θ , tổng quát của toán tử cảm
sinh và hạn chế ở trên, đồng thời phác thảo những tính chất chính của chúng.
Giả sử G là một nhóm hữu hạn, M và U là các nhóm con của nó sao cho M
chuẩn hóa U (tức là M ≤ NG (U )) và M ∩ U = {e}. Xét θ : U −→ C∗ là đặc trưng
của U chuẩn hóa bởi M , tức là sao cho

θ(mum−1 ) = θ(u)

với m ∈ M, u ∈ U .

Theo cách đặt này ta xác định các toán tử
iU,θ : A(M ) −→ A(G)

(“θ-cảm sinh”), và

rU,θ : A(G) −→ A(M )

(“θ-hạn chế”).

như sau:
(a) Giả sử V là không gian biểu diễn của ρ ∈ A(M ). Ta mở rộng ρ tới biểu diễn
ρ của P = M U trong cùng không gian V , được xác định bởi ρ(mu) = θ(u).ρ(m),
với mọi u ∈ U, m ∈ M . Đặt
iU,θ (ρ) = IndG
P (ρ).
(b) Nếu E là không gian biểu diễn của π ∈ A(G), ta đặt
E U,θ = {ξ ∈ E | π(u)ξ = θ(u).ξ; ∀u ∈ U } .

5


Khi đó, với mọi ξ ∈ E U,θ , m ∈ M, u ∈ U , ta có
π(u)(π(m)ξ) = π(um)ξ = π(m)π(m−1 um)ξ = π(m)θ(m−1 um)ξ
= π(m)θ(u)ξ = θ(u)π(m)ξ.
Vì thế, π(m)ξ ∈ E U,θ , tức là không gian con E U,θ ổn định dưới tác động của
U,θ

π(m), m ∈ M . Theo đó, rU,θ (π) là biểu diễn con của πM = ResG
.
M (π) trong E
Nhận xét 0.4.1. Khi U = {e} thì P = M , suy ra các toán tử iU,θ và rU,θ trở thành
các toán tử cảm sinh và hạn chế thông thường.
Mệnh đề 0.4.2 ([7], Mệnh đề 8.1). (a) Các toán tử iU,θ và rU,θ là cộng tính.
(b) rU,θ liên hợp với iU,θ , tức là với mỗi ρ ∈ A(M ), π ∈ A(G) ta có đẳng cấu
Hom(rU,θ (π), ρ) ∼
= Hom(π, iU,θ (ρ)).
(c) Giả sử N và V là các nhóm con của M và θ là đặc trưng của V sao cho các
toán tử
iV,θ : A(N ) −→ A(M ) và rV,θ : A(M ) −→ A(N ),
có ý nghĩa. Xác định đặc trưng θ0 của U 0 = U V bởi
θ0 (uv) = θ(u).θ (v); u ∈ U, v ∈ V.
Khi đó
iU,θ ◦ iV,θ = iU 0 ,θ0 ,

rU,θ ◦ rV,θ = rU 0 ,θ0 .

Vì toán tử iU,θ : A(M ) −→ A(G) là cộng tính nên nó cảm sinh một đồng cấu
dương
iU,θ : R(M ) −→ R(G),
và toán tử C−tuyến tính
iU,θ : C(M ) −→ C(G),
(tương tự đối với rU,θ ).
Mệnh đề sau đây cho các công thức tường minh của iU,θ và rU,θ trên các hàm
lớp.
Mệnh đề 0.4.3 ([7], Mệnh đề 8.2). Đối với χ ∈ C(M ), g ∈ G, ta có
iU,θ (χ)(g) =

1
|M |.|U |

χ(m).θ(u)

(tổng lấy trên tập (g1 , m, u) ∈ G × M × U | g = g1 mug1−1 ) và với ϕ ∈ C(G), m ∈
M;
1
rU,θ (ϕ)(m) =
θ(u)−1 .ϕ(mu).
|U | u∈U
6


Chứng minh. (a) Từ định nghĩa, ta có ρ(mu) = ρ(m).ρ(u) = θ(u).ρ(m). Gọi χ là
đặc trưng của ρ, thì
iU,θ (χ)(g) = IndG
P (χ)(g) =

=

1
|P |

1
|P |

χ(g1−1 gg1 )
g1 ∈G
g1−1 gg1 ∈P

χ(mu) =
g1 ∈G
g1−1 gg1 =mu

1
|M |.|U |

χ(m).θ(u).
g1 ∈G
g=g1 mug1−1

(b) Giả sử π là một biểu diễn của G có đặc trưng ϕ. Đặt
a=

1
θ(u)−1 π(u),
|U | u∈U

thì π(u)a = θ(u)a, với mọi u ∈ U và do đó a2 = a. Xét biến đổi tuyến tính
T : E −→ E, x −→ ax. Rõ ràng, T thoả mãn phương trình X 2 − X = 0, do đó T
chỉ có giá trị riêng là 0 và 1. Gọi E1 ⊆ E là không gian con riêng ứng với giá trị
riêng 1. Với mọi u ∈ U, x ∈ E1 , thì
π(u)(x) = π(u)(ax) = θ(u)ax = θ(u)x,
hay π(u)(x) = θ(u)x, tức là x ∈ E U,θ . Ngược lại, nếu x ∈ E U,θ , thì
ax =

1
θ(u)−1 π(u)(x) = x.
|U | u∈U

Những lập luận trên cho thấy E U,θ = E1 . Bây giờ với m ∈ M, ta có
π(m)a =

1
θ(u)−1 π(mu).
|U | u∈U

Chuyển qua vết của ánh xạ tuyến tính ta được
rU,θ (ϕ)(m) =

1
θ(u)−1 .ϕ(mu).
|U | u∈U

Bây giờ ta chứng minh Mệnh đề 0.4.2.
Chứng minh. (a) Vì
G
G
iU,θ (ρ1 ⊕ ρ2 ) = IndG
P (ρ1 ⊕ ρ2 ) = IndP (ρ1 ) ⊕ IndP (ρ2 ) = iU,θ (ρ1 ) ⊕ iU,θ (ρ2 )

nên iU,θ là cộng tính. Chứng minh tương tự cho rU,θ .
(b) Kí hiệu ϕ, ψ lần lượt là đặc trưng của π và ρ. Ta cần chứng minh
rU,θ (ϕ), ψ

M

= ϕ, iU,θ (ψ) G .
7

Nhưng điều này là rõ ràng, vì
rU,θ (ϕ), ψ

M

ϕ, iU,θ (ψ)

G

=

1
1
rU,θ (ϕ)(m)ψ(m) =
θ(u)−1 ϕ(mu)ψ(m),
|M | m∈M
|M |.|U | m∈M u∈U

và
=

1
1
1
ϕ(g)iU,θ (ψ)(g) =
ϕ(g)
|G| g∈G
|G| g∈G

|M |.|U |
=

ψ(m).θ(u)
g1 ∈G
g=g1 mug1−1

1
θ(u)−1 ϕ(mu)ψ(m).
|M |.|U | m∈M u∈U

(c) Ta chứng minh cho công thức iU,θ ◦ iV,θ = iU 0 ,θ0 , công thức còn lại là hoàn
toàn tương tự.
Giả sử ρ ∈ A(N ) và χ là đặc trưng tương ứng của nó. Khi đó
iU,θ ◦ iV,θ (χ)(g) =

=

=

1
|M |.|U |

θ(u)iV,θ (χ)(m)
g1 ∈G
g=g1 mug1−1

1
|M |.|U |.|N |.|V |
1

|N |.|U |.|V |

và
iU 0 ,θ0 (χ)(g) =

θ(u)
g1 ∈G
g=g1 mug1−1

θ (v)χ(n)
m1 ∈M
m=m1 nvm−1
1

θ(u)θ (v)χ(n),
g1 ∈G
g=g1 nuvg1−1

1
|N |.|U |.|V |

θ0 (uv)χ(n).
g2 ∈G
g=g2 nuvg2−1

Từ giả thiết θ0 (uv) = θ(u).θ (v), ta suy ra điều phải chứng minh.
Giả sử M, U, N và V là các nhóm con của nhóm G, θ là đặc trưng của U và ψ
là đặc trưng của V sao cho các toán tử
iU,θ : A(M ) −→ A(G) và

rV,ψ : A(G) −→ A(N )

có ý nghĩa. Bổ sung thêm một số giả thiết, ta có thể tính hợp thành
rV,ψ ◦ iU,θ : A(M ) −→ A(N ),

0.5
0.5.1.

(xem [7, trang 167-169]).

Biểu diễn của nhóm GL(2, Fq )
Các lớp liên hợp của nhóm GL(2, Fq )

Trong mục này, ta tìm tất cả các lớp liên hợp của nhóm G = GL(2, Fq ). Để làm
điều đó ta cần kết quả sau:
8


Mệnh đề 0.5.1 ([4], Mệnh đề 28.2). Đặt S = {s ∈ Fq2 | sq = s}. Khi đó
1. S là trường con của Fq2 có q phần tử. Do đó S ∼
= Fq .
2. Nếu r ∈ Fq2 , thì r1+q , r + rq ∈ S.
Các lớp liên hợp và số phần tử của mỗi lớp được thể hiện cụ thể trong mệnh đề
dưới đây.
Mệnh đề 0.5.2 ([4], Mệnh đề 28.4). Nhóm G = GL(2, Fq ) có q 2 − 1 lớp liên hợp
được mô tả như sau:
Lớp liên hợp của g
|CG (g)|

sI

(q − 1)(q 2 − q)

us
(q − 1)q

Số lớp liên hợp

q−1

q−1

2

ds,t
(q − 1)2
(q − 1)(q − 2)
2

vr
q −1
q2 − q
2
2

Trong đó
sI =

s 0
, us =
0 s

s 1
, ds,t =
0 s

s 0
, vr =
0 t

0
1
1+q
−r
r + rq

;

với s, t ∈ F∗q , s = t; r ∈ Fq2 \ Fq .
Chứng minh. Ma trận sI, s ∈ F∗q thuộc vào tâm của nhóm G nên nó chỉ liên hợp
với chính nó. Do đó có đúng q − 1 lớp liên hợp mà mỗi lớp chỉ có đúng một phần tử
dạng sI.
Xét ma trận us , s ∈ F∗q . Với g =

g.us =

as a + bs
cs c + ds

a b
c d

∈ G, ta có

và us .g =

as + c bs + d
,
cs
ds

suy ra g.us = us .g khi và chỉ khi a = d và c = 0. Do đó nhóm tâm hóa của us là
CG (us ) có q(q − 1) phần tử. Vì vậy, số phần tử liên hợp với us là
|uG
s| =

|G|
(q 2 − 1)(q 2 − q)
=
= q 2 − 1.
|CG (us )|
q(q − 1)

Với ma trận ds,t , s, t ∈ F∗q ), thì bằng cách làm tương tự như us và để ý là
0 1
1 0

−1

.ds,t .

0 1
1 0

= dt,s ,

(q − 1)(q − 2)
lớp liên hợp đại diện bởi các phần tử ds,t , (s = t) mà mỗi
2
lớp có q(q + 1) phần tử.

ta được

9


Vì r ∈
/ Fq nên vr , r ∈ Fq2 \ Fq không nằm trong các lớp liên hợp đã nêu ở trên.
Để ý rằng đa thức đặc trưng của vr là
det(xI − vr ) = x[x − (r + rq )] + r1+q = (x − r)(x − rq );
do đó vr có các giá trị riêng là r và rq . Bằng những lí luận tương tự như với us ở
trên, ta được |CG (vr )| = q 2 − 1 và |vrG | = q(q − 1). Vì ma trận vt liên hợp với vr khi
q2 − q
lớp liên hợp đại diện bởi vr mà
và chỉ khi t = r hoặc t = rq nên ta suy ra có
2
mỗi lớp liên hợp có q 2 − q phần tử.
Cuối cùng, ta thấy số phần tử của bốn họ lớp liên hợp nêu ở trên là
q − 1 + (q − 1)(q 2 − 1) +

(q − 1)(q − 2)

q2 − q 2
.q(q + 1) +
.(q − 1)
2
2

= (q 2 − 1)(q 2 − q) = |G|.
Thành thử, G chỉ có các lớp liên hợp nêu ở Mệnh đề 0.5.2.
0.5.2.

Các đặc trưng bất khả quy của GL(2, Fq )

Bây giờ ta đi tìm tất cả các đặc trưng của các biểu diễn bất khả quy của
G = GL(2, Fq ). Ý tưởng của ta là tìm các đặc trưng của của các biểu diễn bất khả
quy của các nhóm con của G rồi sử dụng đặc trưng cảm sinh để tìm các đặc trưng
của các biểu diễn bất khả quy của G.
2πi

Kí hiệu ε là một phần tử sinh của nhóm F∗q2 và ω = e q2 −1 . Với r ∈ F∗q2 , ta có thể
viết r = εm , với m nguyên nào đó và đặt r = ω m . Khi đó r −→ r là một đặc trưng
bất khả quy của F∗q2 . Hơn nữa, mọi đặc trưng của F∗q2 đều có dạng r −→ rj , với j
nguyên nào đó.
Mệnh đề 0.5.3 ([4], Mệnh đề 28.7). G có q − 1 đặc trưng tuyến tính λi ; i =
0, 1, . . . , q − 2.
Chứng minh. Rõ ràng, ánh xạ det : g −→ det(g) là một đồng cấu từ G lên F∗q . Do
đó ánh xạ λi : g −→ (det(g))i , g ∈ G, (i = 0, 1, . . . , q − 2) là một đặc trưng tuyến
tính. Vì vậy, G có q − 1 đặc trưng tuyến tính phân biệt.
Xét
B=

a b
0 c

| a, c ∈ F∗q

;

Dễ thấy B là nhóm con thực sự của G và |B| = q(q − 1)2 . Ta định nghĩa
λi,j : B −→ C,

s r
0 t

10

j

−→ si t .


Khi đó λi,j là các đặc trưng của B. Đặt ψi,j = IndG
B (λi,j ), ta có
|CG (sI)|
q(q − 1)2 (q + 1) i+j
s = (q + 1)si+j ;
λi,j (sI) =
CB (sI)
q(q − 1)2
|CG (sI)|
ψi,j (us ) =

λi,j (us ) = si+j ;
CB (sI)
|CG (dt,s )|
|CG (ds,t )|
j
i
λi,j (ds,t ) +
λi,j (dt,s ) = si t + sj t ;
ψi,j (ds,t ) =
|CB (ds,t )|
|CB (ddt,s )|
|CG (vr )|
ψi,j (vr ) =
λi,j (vr ) = 0.
|CB (vr )|
ψi,j (sI) =

Vì
ψi,i , ψi,i =

1
|ψi,i (g)|2
|G| g∈G

=
sI

=

|ψi,i (sI)|

+
|CG (sI)|

us

|ψi,i (us )|
+
|CG (us )|

ds,t

|ψi,i (ds,t )|
+
|CG (ds,t )|

vr

|ψi,i (vr )|
|CG (vr )|

q+1
1 2(q − 2)
+ +
= 2,
q(q − 1) q
q−1

và
ψi,i , λi =

1
ψi,i (g)λi (g)
|G| g∈G

=
sI

+
ds,t

ψi,i (sI)λi (sI)
+
|CG (sI)|

ψi,i (us )λi (us )
|CG (us )|

us

ψi,i (ds,t )λi (ds,t )
+
|CG (ds,t )|

vr

ψi,i (vr )λi (vr )
|CG (vr )|

(q 2 − 1)s2i (s2i )
(q − 1)s2i (s2i ) (q − 1)(q − 2)(st)i (st)i

+
+
(q 2 − 1)(q 2 − q)
q(q − 1)
(q − 1)2
1
1 q−2
=
+ +
=1
q(q − 1) q q − 1
=

nên ψi,i = λi + ψi , với ψi , ψi = 1. Do đó ta có ψi , i = 0, 1, . . . , q − 2 là các đặc
trưng bất khả quy của G. Các kết quả trên cho ta sự mô tả của λi , ψi như sau:
g
sI
λi (g)
s2i
ψi,i (g) (q + 1)s2i
ψi (g)
qs2i

us
s2i
s2i
0

ds,t
(st)i

2(st)i
(st)i

r

vr
i(1+q)
0

−r

i(1+q)

Với s ∈ F∗q thì do s có cấp là q −1 và ψi (ds,1 ) = si nên các đặc trưng ψi , 0 ≤ i ≤ q −2
là phân biệt. Do đó, ta có
Mệnh đề 0.5.4 ([4], Mệnh đề 28.9). Đối với mỗi i nguyên, 0 ≤ i ≤ q − 2, G có
một đặc trưng bất khả quy ψi mà các giá trị của nó được mô tả như trên.
11


Bây giờ với 0 ≤ i < j ≤ q − 2 ta hãy tính ψi,j , ψi,j . Ta có
ψi,j , ψi,j =

1
|ψi,j (g)|2
|G| g∈G

=
sI

=

|ψi,j (sI)|
+
|CG (sI)|

us

|ψi,j (us )|
+
|CG (us )|

1
1
q+1
+ +
q(q − 1) q 2(q − 1)2

ds,t

|ψi,j (ds,t )|
+
|CG (ds,t )|

j

vr

|ψi,j (vr )|
|CG (vr )|

i

|si t + sj t |2 .
s=t

Chú ý là
xk =
x∈F∗q


0

nếu q − 1 k

q − 1 nếu q − 1 | k.

Để cho đơn giản trong các tính toán, ta cũng viết r thay cho liên hợp phức của r.
Khi đó
j

i

j−i

(|si |2 .|tj |2 + |sj |2 .|ti |2 + sj−i t

|si t + sj t |2 =
s=t

+ sj−i tj−i )

s=t

|tj−i |2

= 2(q − 1)(q − 2) − 2
t∈F∗q

= 2(q − 1)(q − 2) − 2(q − 1) = 2(q − 1)(q − 3),

(∗)

1 q−3
q+1
+ +
= 1. Vậy ψi,j , 0 ≤ i < j ≤ q − 2 là các đặc
q(q − 1) q q − 1
trưng bất khả quy. Ta cần kiểm tra xem chúng có phân biệt hay không. Muốn vậy,
ta chỉ việc xét ψi,j , ψi ,j với (i, j) = (i , j ) không kể đến thứ tự. Xảy ra hai trường
hợp sau:
Nếu i + j = i + j (mod q − 1), thì si+j = si +j .
Nếu i + j = i + j (mod q − 1), thì i − i = j − j = u, 0 < u < q − 1, hay
i = i + u, j = j − u. Khi đó
suy ra ψi,j , ψi,j =

si tj [(st−1 )u − 1] = sj ti [1 − (s−1 t)u ]; ∀s, t ∈ F∗q ,
tức là si+u tj−u = sj ti ; ∀s, t ∈ F∗q . Do đó j = i + u suy ra i = j , j = i , hay
(i , j ) = (i, j). Thành thử (i, j) = (i , j ), thì ψi,j = ψi ,j và vì vậy ta có
Mệnh đề 0.5.5 ([4], Mệnh đề 28.8). Cho 0 ≤ i < j ≤ q − 2. Khi đó ψi,j là các đặc

trưng bất khả quy của G và chúng là phân biệt.
Mệnh đề 0.5.6 ([4], Mệnh đề 28.12). Đối với mỗi i nguyên, tồn tại đặc trưng φi
của G mà giá trị của nó mô tả như sau:
g
sI
φi (g) q(q − 1)si

us
0

12

ds,t
0

vr
r + riq
i


Chứng minh. Xét K =< vε >, ở đó ε là phần tử sinh của F∗q2 và
vε =

0
1
−ε1+q ε + εq

.

2

2

Các giá trị riêng của vε là ε và εq . Vì εq −1 = 1 và (εq )q −1 = 1 nên K có cấp là
q 2 − 1. Các giá trị riêng của vεiq là εi và εiq .
Nếu εi = εiq , thì εi ∈
/ Fq và do đó vεi , vεiq phải liên hợp với vεi . Vì vậy có đúng
hai phần tử của K thuộc vào lớp liên hợp của vεi .
Nếu εi = εiq , thì vεi = εi I. Khi đó vεi có giá trị riêng trong Fq và do đó nó chéo
hóa được. Trường hợp này có đúng q − 1 ma trận vô hướng εi I, (0 ≤ i ≤ q − 2)
thuộc K. Vì K là nhóm cyclic nên các biểu diễn của nó đều là biểu diễn cấp 1. Xét
một đặc trưng tuyến tính αi của K mà αi (vε ) = εi .
Giả sử g ∈ K và g liên hợp với vr trong G. Khi đó g có các giá trị riêng là r và
q
r . Do vậy
αi (g) = ri hoặc αi (g) = riq ,
suy ra
αi (g) + αi (g q ) = ri + riq .
Đặt φi = IndG
K (αi ). Theo lập luận ở trên thì φi bằng 0 trên các phần tử có dạng
us , ds,t , (s = t), (vì các phần tử này không liên hợp với bất kì phần tử nào thuộc
K). Ngoài ra
φi (sI) =

(q 2 − 1)(q 2 − q) i
|CG (sI)|
αi (sI) =
s = (q 2 − q)si ; s ∈ F∗q ,
|CK (sI)|
q2 − 1

và do mỗi r ∈ Fq2 \ Fq lớp liên hợp của vr chỉ có đúng hai phần tử là vr và vrq nên
φi (vr ) = |CG (vr )|.

αi (vrq )
αi (vr )
+
= αi (vr ) + αi (vrq ) = ri + riq .
|CK (vr )| |CK (vrq )|

Mệnh đề 0.5.7 ([4], Mệnh đề 28.14). Đối với mỗi i nguyên, giả sử χi là hàm lớp
có giá trị như sau:
g
sI
χi (g) (q − 1)si

us
−si

ds,t
0

vr
−(r + riq )
i

Nếu (q + 1) i, thì χi là một đặc trưng bất khả quy của G.
Chứng minh. Đặt χi = ψ0,−i .ψi − ψ0,i − φi . Khi đó ta có bảng giá trị sau:
g
ψ0,−i (g)

ψi (g)
ψ0,i (g)
φi (g)
χi (g)

sI
(q + 1)s−i
qs2i
(q + 1)si
q(q − 1)si
(q − 1)si

us
s−i
0
si
0
−si
13

ds,t
−i
s−i + t
(st)i
i
si + t
0
0

vr

0
−ri(1+q)
0
i
r + riq
−(ri + riq )


Để ý rằng nếu i là một số nguyên và (q + 1) i, thì
|ri + riq |2 = 2(q − 1)2 ,

(∗∗)

r∈Fq2 \Fq

Thật vậy, ta có
|ri + riq |2 =
r∈Fq2 \Fq

(ri + riq )(ri + riq )
r∈Fq2 \Fq

[|ri |2 + |riq |2 + ri(q−1) + ri(q−1) ]

=
r∈Fq2 \Fq

= 2(q 2 − q) +

[ri(q−1) + ri(q−1) ]

r∈Fq2 \Fq

[ri(q−1) + ri(q−1) ] −

= 2(q 2 − q) +

[ri(q−1) + ri(q−1) ]
r∈Fq

r∈Fq2

= 2(q 2 − q) + 0 − 2(q − 1) = 2(q − 1)2 .
Nhờ kết quả này ta tính được
χi , χi =

1
|χi (g)|2
|G| g∈G

=

χi (sI)
+
|CG (sI)|

sI

=

us

χi (us )
+
|CG (us )|

ds,t

χi (ds,t )
+
|CG (ds,t )|

vr

χi (vr )
|CG (vr )|

(q − 1)3
q−1
(q − 1)2
+
+
= 1.
(q 2 − 1)(q 2 − q) q 2 − q
q2 − 1

Vì χi là tổ hợp tuyến tính của các đặc trưng bất khả quy của G với hệ số nguyên
và χi , χi = 1, χi (1) > 0 nên χi là các đặc trưng bất khả quy của G.
Ta còn phải xem các χi khác nhau khi nào. Để làm điều đó ta xét các số nguyên
i, j sao cho (q + 1) i và (q + 1) j.
Nếu (q − 1) j − i, thì tồn tại s ∈ F∗q sao cho si = sj .

Nếu (q − 1) | j − i hay j = i + k(q − 1), k ∈ Z, thì
ri + riq = rj + rjq ; ∀r ∈ Fq2 \ Fq
khi và chỉ khi
riq − riq+kq(q−1) = ri+k(q−1) − ri ; ∀r ∈ Fq2 \ Fq ,
tức là
riq [1 − r−k(q−1) ] = ri [rk(q−1) − 1]; ∀r ∈ Fq2 \ Fq ,
suy ra hoặc rk(q−1) = 1 hoặc rj = riq , hay là hoặc k ≡ 0 (mod q + 1) hoặc j ≡ iq
(mod q 2 − 1). Do đó hoặc j ≡ i (mod q 2 − 1) hoặc j ≡ iq (mod q 2 − 1).
Tóm lại, ta có χi = χj khi và chỉ khi (q + 1) i, (q + 1) j và (q 2 − 1)
j − i, (q 2 − 1) j − iq.
Tổng kết các kết quả trên, ta được
14


Định lí 0.5.8 ([4], Định lí 28.5). G có q 2 − 1 đặc trưng bất khả quy và chúng được
mô tả như sau:

λi
ψi
ψi,j
χi

sI
s2i
qs2i
(q + 1)si+j
(q − 1)si

us
s2i

0
i+j
s
−si

ds,t
(st)i
(st)i
j
i
si t + sj t
0

vr
i(1+q)

r
−ri(1+q)
0
−(ri + riq )

Trong đó:
(a) Có q − 1 đặc trưng λi , 0 ≤ i ≤ q − 2 và mỗi một trong chúng đều có bậc 1.
(b) Có q − 1 đặc trưng ψi , 0 ≤ i ≤ q − 2 và mỗi một trong chúng đều có bậc
bằng q.
(q − 1)(q − 2)
đặc trưng ψi,j , 0 ≤ i < j ≤ q − 2 và mỗi một trong chúng
(c) Có
2
đều có bậc bằng q + 1.

q2 − q
(d) Có
đặc trưng χi , 0 ≤ i ≤ q 2 − 1, (q + 1) i và với i1 , i2 thuộc vào
2
tập chỉ số thì (q 2 − 1) i1 − i2 q và mỗi một trong chúng đều có bậc bằng q − 1.

0.6
0.6.1.

Đại số Hopf. PSH-đại số. Phần tử nguyên thủy
Đại số Hopf

Giả sử K là vành giáo hoán có đơn vị. Một đại số Hopf trên K là một K−môđun
phân bậc R = ⊕n≥0 Rn với các đồng cấu K−môđun m : R ⊗ R −→ R (phép nhân),
m∗ : R −→ R ⊗ R (đối nhân), e : K −→ R (đơn vị) và e∗ : R −→ K (đối đơn vị)
thỏa mãn 6 tiên đề (G), (A), (U), (A∗ ), (U ∗ ) và (H) sau đây:
(G) (Phân bậc). m, m∗ , e và e∗ là các đồng cấu môđun phân bậc (R ⊗ R và K
được phân bậc bởi (R ⊗ R)n = ⊕k+l=n (Rk ⊗ Rl ) và K = K0 ).
(A) (Kết hợp). Phép nhân m là kết hợp.
(U) (Đơn vị). Phần tử e(1) ∈ R0 là đơn vị của R.
Các tiên đề (A∗ ) và (U ∗ ) là kết hợp đối với phép đối nhân (= đối kết hợp) và
tính chất của đối đơn vị. Nói chung, nếu (X) là tính chất thể hiện tính giao hoán
của một biểu đồ D nào đó được xây dựng bởi các đồng cấu m và e, ta viết (X ∗ ) đối
với tính chất đối giao hoán của biểu đồ đạt được bằng cách đảo ngược tất cả các
mũi tên của D và thay thế m bởi m∗ , e bởi e∗ . Ví dụ, tiên đề (U ∗ ) có nghĩa là biểu
đồ sau
R ⊗O RK

s

id⊗e∗ssss

ss
ysss ∼
R⊗K o

m∗

R

KKK ∗
KeKK⊗id
KKK
∼ / %
K

⊗R

giao hoán.
(H)(Tiên đề Hopf). Phép toán m∗ : R → R ⊗ R là đồng cấu vành (phép nhân
15


trong R ⊗ R được định nghĩa bởi (x ⊗ y)(x ⊗ y ) = xx ⊗ yy ).
Bỏ các tiên đề (A) và (A∗ ), ta được định nghĩa của tựa-đại số Hopf. Một (tựa)đại số Hopf R được gọi là liên thông nếu
(Con). Các phép toán e : K → R0 và e∗ : R0 → K là các đẳng cấu ngược nhau.
Một đại số Hopf R được gọi là giao hoán nếu
(Com). Phép nhân m là giao hoán; nó được gọi là đối giao hoán (hay có phép
đối nhân giao hoán) nếu tiên đề (Com∗ ) thỏa mãn, tức là nếu biểu đồ sau
R

m∗ /




σ

(σ(x ⊗ y) = y ⊗ x)

R⊗R ,

là giao hoán.
0.6.2.

Đại số Hopf tự liên hợp dương (PSH-đại số)

Một (tựa) đại số Hopf R trên Z được gọi là dương nếu nó thỏa mãn các tiên đề
(T) và (P) sau đây:
(T). Mỗi Rn và do đó toàn bộ R là các T −nhóm; nói cách khác, R là Z− môđun
tự do với cơ sở cho trước Ω gồm các phần tử thuần nhất.
(P) (Dương). Tất cả các đồng cấu m, m∗ , e và e∗ là dương.
Một (tựa) đại số Hopf dương được gọi là tự liên hợp nếu
(S) (Tự liên hợp). Các phép toán m và m∗ (tương ứng e và e∗ ) là liên hợp với
nhau đối với tích vô hướng , trên R và trên R ⊗ R và Z, cảm sinh bởi các cấu trúc
T −nhóm.
Một PSH-đại số là một đại số Hopf tự liên hợp dương liên thông trên Z.
Mệnh đề dưới đây nói về sự liên hợp của một đại số Hopf liên thông trên một
vành giao hoán, cái mà sẽ được sử dụng về sau.
Mệnh đề 0.6.1 ([7], Mệnh đề A1.6). Giả sử A là một đại số Hopf liên thông trên

một vành giao hoán có đơn vị K. Khi đó
(a) Tồn tại duy nhất một đồng cấu K−môđun phân bậc T : A −→ A sao cho
biểu đồ
id⊗T /
m∗
m
(D)
A ⊗ A jjjj/4 A
A GG / A ⊗ A
GG
GG
G
e∗ GG
#

K

jjjj
jjjj
j
j
j
e
jjj
jjjj

là giao hoán. T được gọi là phép liên hợp của A.
(b) Nếu A có phép nhân và đối nhân giao hoán thì T là một tự đẳng cấu đại số
Hopf đối hợp của A, tức là T 2 = id.
0.6.3.

Phần tử nguyên thủy

Kí hiệu đơn vị của R, tức là phần tử e(1) ∈ R0 đơn giản bởi 1. Theo các tiên
đề (Con) và (P), thì 1 là phần tử bất khả quy của R, và R0 = Z.1. Ta viết xy thay
16


cho m(x ⊗ y) và kí hiệu I = ⊕n>0 Rn . Các tiên đề (G), (Con) và (U ∗ ) suy ra đối với
x ∈ I, ta có
m∗ (x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x + m∗+ (x),
ở đó m∗+ (x) ∈ I ⊗ I.
Định nghĩa 0.6.2. Một phần tử x ∈ I được gọi là nguyên thủy nếu m∗ (x) =
x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, tức là m∗+ (x) = 0.
Kí hiệu P là nhóm con gồm các phần tử nguyên thủy của R. Tập I 2 = m(I ⊗ I),
hay I 2 là nhóm con sinh bởi các tích xy; x ∈ Rk , y ∈ Rl ; k, l > 0.
Mệnh đề 0.6.3 ([7], Mệnh đề 1.6). Một tựa đại số Hopf tự liên hợp dương trên Z
là một PSH-đại số, tức là tính kết hợp của phép nhân và đối nhân suy ra từ các tiên
đề khác của PSH-đại số. Hơn nữa, mỗi PSH-đại số bất kì đều là giao hoán và đối
giao hoán.
Hiển nhiên, mỗi tính chất (A∗ ) và (Com∗ ) được suy ra từ (S) và các tính chất
tương ứng mà không có dấu sao, tức là (A) và (Com). Các tính chất còn lại được
suy ra từ hai bổ đề sau đây.
Bổ đề 0.6.4 ([7], Bổ đề 1.7). P là phần bù trực giao của I 2 trong I đối với tích vô
hướng , .
Chứng minh. Thật vậy, theo (T), tất cả các nhóm con Rk ⊗ Rl trong R ⊗ R là trực
giao với nhau. Do đó, bởi (S):
x, m(y) = m∗ (x), y = m∗+ (x), y với x ∈ I, y ∈ I ⊗ I,
suy ra x ∈ I trực giao với tất cả các phần tử có dạng m(y), y ∈ I ⊗ I khi và chỉ khi
m∗+ (x) = 0, tức là x ∈ P .

Bổ đề 0.6.5 ([7], Bổ đề A1.3). Giả sử A là một tựa đại số Hopf liên thông trên
một vành giao hoán tùy ý sao cho P ∩ I 2 = 0. Khi đó phép nhân trong A là giao
hoán và kết hợp.
Chứng minh. Với x, y ∈ A ta đặt [x, y] = xy − yx. Vì A liên thông nên không gian
con A0 nằm trong tâm của A, vì vậy có thể giả sử x ∈ Ak , y ∈ Al với k, l > 0.
Theo tiên đề (H) ta có
m∗ ([x, y]) = [m∗ (x), m∗ (y)] = [x ⊗ 1 + 1 ⊗ x + m∗+ (x), y ⊗ 1 + 1 ⊗ y + m∗+ (y)].
Sử dụng quy nạp theo k + l ta có thể giả sử rằng m∗+ (x) giao hoán với các phần tử
y ⊗ 1, 1 ⊗ y và m∗+ (y), còn m∗+ (y) giao hoán với các phần tử x ⊗ 1 và 1 ⊗ x. Khi đó
m∗ ([x, y]) = [x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, y ⊗ 1 + 1 ⊗ y] = [x, y] ⊗ 1 + 1 ⊗ [x, y].
Vì vậy [x, y] ∈ P . Mặt khác [x, y] ∈ I 2 , do đó [x, y] = 0 hay xy = yx.
Chứng minh tính kết hợp hoàn toàn tương tự, chỉ việc xét x(yz) − (xy)z thay cho
[x, y].
17


Cho R là một PSH-đại số. Với mỗi x ∈ R tùy ý ta kí hiệu x∗ : R → R toán tử
liên hợp với phép nhân bởi x, tức là x∗ được xác định bởi
x∗ (y), z = y, xz ; ∀y, z ∈ R
(theo phần (b) của mệnh đề dưới đây, x∗ được xác định tốt). Toán tử x∗ sẽ là công
cụ chính của ta để nghiên cứu các PSH-đại số. Bây giờ ta hãy tóm tắt những tính
chất chính của chúng.
Mệnh đề 0.6.6 ([7], Mệnh đề 1.9). (a) Giả sử x ∈ Rk . Khi đó x∗ (Rn ) ⊆ Rn−k với
n ≥ 0. Đặc biệt, x∗ (Rn ) = 0 với n < k. Đồng nhất R0 với Z thì dạng tuyến tính
x∗ : Rk −→ R0 = Z là tích vô hướng với x, kí hiệu bởi x|.
(b) Toán tử x∗ : R −→ R bằng hợp thành
id⊗ x|
m∗
∼
R −→ R ⊗ R −−−→ R ⊗ Z −→ R.

(c) Với x, y ∈ R tùy ý
(xy)∗ = y ∗ ◦ x∗ .
Nói riêng, vì R là giao hoán nên tất cả các toán tử x∗ đều giao hoán với nhau.
(d) Nếu x ∈ R+ , thì toán tử x∗ là dương.
(e) Nếu x, y, z ∈ R, và m∗ (x) = i ai ⊗ bi , thì
x∗ (yz) =

a∗i (y).b∗i (z).
i
∗

(f) Nếu ρ ∈ R là nguyên thủy, thì ρ : R → R là đạo hàm của vành R, tức là
ρ∗ (yz) = ρ∗ (y).z + y.ρ∗ (z).
(g) Nếu ρ ∈ Rn là nguyên thủy, 0 < k < n và x ∈ Rk , thì x∗ (ρ) = 0.
Chứng minh. (a) ∀y ∈ Rn , z ∈ Rm , ở đó m = n − k, thì do xz ∈ Rm+k = Rn nên
x∗ (y), z = y, xz = 0.
Vì thế x∗ (y) ∈ Rn−k hay x∗ (Rn ) ⊆ Rn−k . Hơn nữa, với y ∈ Rk thì x∗ (y) ∈ R0 = Z,
tức là x∗ (y) = x, y .
(b) Không mất tính tổng quát có thể giả sử x ∈ Rk . Ta gọi ϕ là đẳng cấu
R ⊗ Z −→ Z trong hợp thành. Khi đó sử dụng tính chất giao hoán của R thì với
mọi y ∈ Rn , z ∈ Rn−k , n ≥ k, ta có
x∗ (y), z = y, xz = m∗ (y), x ⊗ z
= y⊗1+1⊗y+
=

y ⊗ y ,x ⊗ z

y ⊗ y ,x ⊗ z =

18

y ,x y ,z .


ϕ ◦ (id ⊗ x|) ◦ m∗ (y), z =

y . y ,x ,z

=

y ,x y ,z .

Do đó
x∗ (y), z = ϕ ◦ (id ⊗ x|) ◦ m∗ (y), z ; ∀z ∈ R,
tức là ta được x∗ = ϕ ◦ (id ⊗ x|) ◦ m∗ .
(c) Với mọi x, y ∈ R, ta có
(xy)∗ (u), v = u, xyv = x∗ (u), yv = y ∗ ◦ x∗ (u), v .
Điều này kéo theo (xy)∗ = y ∗ ◦ x∗ .
(d) Do tính chất tuyến tính nên có thể giả sử x ∈ Rk+ . Thế thì
mω .ω; mω ≥ 0.

x=
ω∈Ω(Rk )

Với mọi θ ∈ Ω(Rn ), τ ∈ Ω(Rn−k ), ta có
x∗ (θ), τ = θ, xτ =

mω θ, ω.τ .
ω∈Ω(Rk )

Vì ω.τ là các phần tử bất khả quy của Rn nên θ, ω.τ ≥ 0. Do đó x∗ (θ) là phần tử
dương.
(e) Ta có
x∗ (yz), u = yz, xu = m(y ⊗ z), xu = y ⊗ z, m∗ (xu)
= y ⊗ z, m∗ (x).m∗ (u) = y ⊗ z,

(ai ⊗ bi ).m∗ (u)
i

∗

a∗i (y) ⊗ b∗i (z), m∗ (u)

y ⊗ z, (ai ⊗ bi ).m (u) =

=
i

i

m[a∗i (y)

=

⊗

b∗i (z)], u

i

a∗i (y).b∗i (z), u .

=
i

(f) Vì ρ là phần tử nguyên thủy nên m∗ (ρ) = ρ ⊗ 1 + 1 ⊗ ρ. Do đó
ρ∗ (yz) = ρ∗ (y).1∗ (z) + 1∗ (y).ρ∗ (z) = ρ∗ (y).z + y.ρ∗ (z).
(g) Từ sự kiện
x∗ (ρ), z = ρ, xz = ρ, m(x ⊗ z) = m∗ (ρ), x ⊗ z
= ρ ⊗ 1 + 1 ⊗ ρ, x ⊗ z = 0,
với mọi z ∈ R nên x∗ (ρ) = 0.

19


0.7
0.7.1.

Phân hoạch, bảng Young, bảng lệch và móc-lệch
Phân hoạch

Kí hiệu P là tập các họ (l1 , l2 , . . . , lr ), ở đó li là các số nguyên không âm; hai
họ khác nhau bởi thứ tự hoặc số các phần tử 0 được đồng nhất với nhau, tức là
xác định cùng một phần tử của P. Các phần tử của P được gọi là các phân hoạch.
Chúng sẽ được kí hiệu bởi các chữ cái Hi Lạp, chẳng hạn λ, µ, ν, ... còn các thành
phần của chúng được kí hiệu bởi các chữ cái Latinh, ví dụ λ = (l1 , l2 , . . . , lr ). Với
k ≥ 1, kí hiệu rk = rk (λ) là số các thành phần của λ bằng k; đôi khi ta cũng viết λ
thành (1r1 , 2r2 , . . . ). Đặt
r(λ) =

rk (λ),
k≥1

tức r(λ) là số các thành phần khác 0 của λ. Với mỗi λ = (l1 , l2 , . . . , lr ), đặt
|λ| = l1 + l2 + · · · + lr ;
và
Pn = {λ ∈ P | |λ| = n}

với n ≥ 0.

Mỗi λ ∈ P đều có thể viết thành (l1 , l2 , . . . , lr ), ở đó l1 ≥ l2 ≥ · · · ≥ lr ; và đặt
ls = 0 với s > r. Dãy (l1 , l2 , . . . ) cũng như (l1 , l2 , . . . , lN ) với N ≥ r(λ), sẽ được gọi
là dạng chính tắc của λ, kí hiệu bởi c.f.(λ) = (l1 , l2 , . . . ).
0.7.2.

Bảng Young, bảng lệch và móc lệch

Định nghĩa 0.7.1. Bảng Young là một tập con hữu hạn của N × N mà với mỗi
điểm (i, j) thuộc tập đó, thì tất cả các điểm (i , j ) sao cho i ≤ i, j ≤ j cũng thuộc
nó.
Gán mỗi phân hoạch λ ∈ P mà c.f.(λ) = (l1 , l2 , . . . ) với một bảng Young
{(i, j) ∈ N × N | j ≤ li } ,
thì rõ ràng ta được một song ánh giữa P và tập tất cả các bảng Young. Ta sẽ đồng
nhất tập này với P thông qua song ánh trên và sử dụng cùng kí hiệu đối với phân
hoạch và bảng Young tương ứng. Ví dụ, ta viết ∅ đối với phân hoạch (0) ∈ P.
Để mô tả các bảng Young, ta giả sử i−trục viết đi xuống trong khi j−trục viết
sang phải (như thể (i, j) là chỉ số ma trận).
Phép biến đổi t : N × N −→ N × N tác động bởi (i, j)t = (j, i) rõ ràng biến một
bảng Young thành một bảng Young, tức là t tác động trên P. Hơn nữa, t2 = id,
nghĩa là (λt )t = λ; ∀λ ∈ P.

Nếu λ = (l1 , l2 , . . . , lr ) ∈ P và li = 0, i = 1, 2, . . . , r, thì ta định nghĩa phân
hoạch λ← ∈ P bởi
λ← = (l1 − 1, l2 − 1, . . . , lr − 1);
20