MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN THỊ THANH HẢI

MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP
CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG
GIẢ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN THỊ THANH HẢI

MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP
CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG
GIẢ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số:

60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
Lời cảm ơn

3

Mở đầu

4

1

2

3

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn.
1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . .
1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi . . . . . . . . . .
1.2.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Nón lồi . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 Tính chất của hàm lồi . . . . . . .
1.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

Bài toán cân bằng
2.1 Bài toán cân bằng và các khái niệm . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng . . . . . . . . .
2.2.1 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác
2.2.4 Bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . .
2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

6

6
6
7
8
8
9
10
11
12

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

13
13
13
13
18
18
19
19
20

21
30

Hiệu chỉnh dựa trên tối ưu hai cấp
31
3.1 Hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . 31
1


MỤC LỤC

3.2

3.3

3.1.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
3.1.2 Phương pháp điểm gần kề . . . .
Thuật toán giải . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Mô tả thuật toán . . . . . . . . .
3.2.2 Tính hội tụ của thuật toán . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

31
35
40
40
42
47

Kết luận chung

48

Tài liệu tham khảo

49

2


LỜI CẢM ƠN
Qua luận văn này em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy
GS.TSKH Lê Dũng Mưu, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này.
Tác giả xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học đặc biệt

là quý thầy cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa học này.
Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, đồng nghiệp, các anh chị, bạn
bè trong lớp cao học khóa 2013 - 2015 đã luôn động viên, khích lệ tác giả cố gắng
trong suốt khóa học để luôn đạt được kết quả học tập cao nhất.
Em xin chân thành cảm ơn!

3


MỞ ĐẦU
Lớp các bài toán cân bằng đang ngày càng được áp dụng nhiều vào các lĩnh vực
trong cuộc sống như kinh tế, xã hội,... Chính vì vậy mà ngày càng được các nhà khoa
học quan tâm, nghiên cứu. Hơn nữa, bài toán cân bằng còn là sự mở rộng của lớp các
bài toán khác như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất
động, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa,...
Mô hình chung cho bài toán cân bằng là
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C

(EP(C, f ))

trong đó H là không gian Hilbert, C ⊆ H là một tập lồi và f : C ×C → R ∪ {+∞}
là một song hàm.
Bài toán hiệu chỉnh được xây dựng bằng cách thay song hàm ban đầu bằng song
hàm fε := f + εg, trong đó ε, g lần lượt là tham số hiệu chỉnh và song hàm hiệu chỉnh,
thông thường ta chọn g là một song hàm đơn điệu mạnh. Nếu f là một song hàm đơn
điệu thì fε là đơn điệu mạnh, khi đó bài toán hiệu chỉnh luôn có duy nhất nghiệm.
Tuy nhiên, nếu f là một song hàm giả đơn điệu thì bài toán hiệu chỉnh trong trường
hợp tổng quát không còn là đơn điệu mạnh hay đơn điệu, thậm chí không là giả đơn
điệu do đó bài toán hiệu chỉnh nói chung không có nghiệm duy nhất, thậm chí tập
nghiệm là không lồi, khi đó không thể áp dụng trực tiếp các phương pháp để hiệu

chỉnh cho bài toán EP(C, f ) giả đơn điệu như trong trường hợp đơn điệu. Do đó, luận
văn nghiên cứu và trình bày một số phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán cân bằng giả
đơn điệu và thông qua bài toán tối ưu hai cấp để tìm điểm giới hạn của các quỹ đạo
nghiệm hiệu chỉnh.
Dựa trên ý tưởng của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, trong [4] các tác giả đã
đưa ra phương pháp hiệu chỉnh với bài toán hiệu chỉnh như sau
Tìm x ∈ C sao cho
fk (x, y) := f (x, y) + εk g(x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C,
trong đó εk > 0 là tham số hiệu chỉnh, g(x, y) là một song hàm đơn điệu mạnh gọi là
song hàm hiệu chỉnh.
4


MỞ ĐẦU

Năm 1970 Martine đưa ra phương pháp điểm gần kề cho bài toán bất đẳng thức
biến phân đơn điệu và sau này được mở rộng bởi Rockafellar (1976) cho toán tử đơn
điệu cực đaị. Bài toán hiệu chỉnh có dạng
Tìm xk ∈ C sao cho
fk (xk , y) := f (xk , y) + ck xk − xk−1 , y − xk ≥ −δk với mọi y ∈ C,
trong đó ck > 0, δk > 0 lần lượt là các tham số hiệu chỉnh và sai số cho trước.
Sự khác biệt giữa hai phương pháp này là ở phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề tại
mỗi bước lặp bài toán hiệu chỉnh phụ thuộc vào điểm lặp ở bước trước và tham số
hiệu chỉnh ck → 0 khi k → ∞.
Nội dung của luận văn gồm ba chương
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2: Bài toán cân bằng.
• Chương 3: Hiệu chỉnh dựa trên tối ưu hai cấp.

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở như không gian tuyến tính, không gian

Hilbert; các kiến thức về giải tích lồi như tập lồi, nón lồi, hàm lồi; các khái niệm về
sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh, hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới.
Chương 2 phát biểu bài toán cân bằng, một số trường hợp có thể đưa về bài toán
cân bằng và sự tồn tại nghiệm của bài toán.
Chương 3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu, thuật
toán tiếp cận dựa trên bài toán tối ưu hai cấp và sự hội tụ của thuật toán.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự góp ý của các
thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 28 tháng 09 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hải

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng ta nhắc lại một số kiến thức về không gian tuyến tính, không
gian Hilbert, tập lồi, nón lồi, hàm lồi; các khái niệm về sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh,
hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới. Các kiến thức này được lấy ra từ các tài liệu
[1], [2].

1.1
1.1.1

Không gian Hilbert

Không gian tuyến tính định chuẩn.

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian tuyến tính thực. Một chuẩn trên X, kí hiệu
là . , là một ánh xạ
. :X →R
thỏa mãn các tính chất sau
1. x ≥ 0,

∀x ∈ X; x = 0 ⇔ x = 0;

2. αx = |α| x ,

∀x ∈ X,

3. x + y ≤ x + y ,

α ∈ R;

∀x, y ∈ X.

Khi đó (X, . ) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian tuyến tính thực, X được gọi là không gian tiền
Hilbert nếu với mọi x, y ∈ X, xác định một tích vô hướng, kí hiệu là x, y , thỏa mãn
các tính chất
1. x, y = y, x ,

∀x, y ∈ X;

2. x + y, z = x, z + y, z ,
3. αx, y = α x, y ,

4. x, x ≥ 0,

∀x, y, z ∈ X;

∀x, y ∈ X,

∀x ∈ X;

α ∈ R;

x, x = 0 ⇔ x = 0.
6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1.2

Không gian Hilbert

Bổ đề 1.1.1. Mọi không gian tiền Hilbert X là không gian tuyến tính định chuẩn, với
chuẩn được xác định như sau
x =

x, x ,

∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.1.3. Cho X là không gian định chuẩn. Dãy {xn } ⊆ X được gọi là dãy
cơ bản trong X nếu

lim xn − xm = 0.
n,m→∞

Nếu trong X, mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là xn − xm → 0 kéo theo sự tồn tại
xo ∈ X sao cho xn → xo thì X được gọi là không gian đủ.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian tiền Hilbert và đủ được gọi là không gian Hilbert.
Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một không gian Hilbert trên trường
số thực.
Ví dụ 1.1.1.
Lấy H = Rn với tích vô hướng xác định bởi hệ thức
x, y =

∑

xi yi .

i=1→n

Trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Khi đó H là một không gian
Hilbert.
Trên H có hai kiểu hội tụ sau
Định nghĩa 1.1.5. Xét dãy {xn }n≥0 và x thuộc không gian Hilbert thực H . Dãy {xn }
được gọi là hội tụ mạnh đến x, kí hiệu là xn → x nếu
lim

n→+∞

xn − x = 0.

Dãy {xn } được gọi là hội tụ yếu đến x, kí hiệu là xn

lim w, xn = w, x ,

n→+∞

x nếu

∀w ∈ H .

Điểm x được gọi là điểm tụ mạnh (hay yếu) của dãy {xn } nếu từ dãy này có thể trích
ra một dãy con hội tụ mạnh (hay yếu) tới x.
Mệnh đề 1.1.1.

1. Nếu {xn } hội tụ mạnh đến x thì cũng hội tụ yếu đến x.

2. Nếu {xn } hội tụ yếu đến x và limn→+∞ xn = x thì {xn } hội tụ mạnh đến x.
7


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

3. Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) đều bị chặn và giới hạn theo sự hội tụ mạnh (yếu)
nếu tồn tại là duy nhất.
4. Nếu H là không gian Hilbert hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu là
tương đương.
5. Nếu {xn } là dãy bị chặn trong không gian Hilbert H thì ta luôn trích ra được
một dãy con hội tụ yếu.
6. Nếu {xn } là dãy bị chặn trong không gian Hilbert hữu hạn chiều H thì ta luôn
trích ra được một dãy con hội tụ mạnh.

1.2

Tập lồi, nón lồi, hàm lồi

1.2.1

Tập lồi

Định nghĩa 1.2.1. Một tập C ⊆ H được gọi là một tập lồi nếu C chứa mọi đoạn
thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ C.
Mệnh đề 1.2.1. Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm
của nó. Tức là, C lồi khi và chỉ khi
k

∀k ∈ N,

∀λ1 , λ2 , ..., λk ≥ 0 :

k
1

∑ λ j = 1, ∀x , ..., x

k

∈C ⇒

j=1

∑ λ j x j ∈ C.

(1.1)

j=1

Chứng minh.
Ta thấy, điều kiện đủ được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Ta chứng minh điều kiện cần
bằng quy nạp.
Với k = 2 công thức (1.1) tương đương với chứng minh C lồi khi và chỉ khi
∀λ1 , λ2 ≥ 0 : λ1 + λ2 = 1, ∀x1 , x2 ∈ C ⇒ λ1 x1 + λ2 x2 ∈ C.
Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi.
Giả sử mệnh đề đúng với (k − 1) điểm. Ta cần chứng minh đúng với k điểm.
Giả sử x là tổ hợp lồi của k điểm x1 , ..., xk ∈ C. Tức là
k

x=

k
j

∑ λ jx ,

λ j ≥ 0,

∀ j = 1, 2, ..., k,

j=1

∑ λ j = 1.

j=1

Đặt
k−1

ξ=

∑ λ j.

j=1

8


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Khi đó 0 < ξ < 1 và
x=

k−1

k−1

∑ λ j x j + λk xk = ξ

∑

j=1

Do

λj j
x + λk xk .
j=1 ξ

k−1

λj
=1
ξ
j=1

∑

và

λj
ξ

> 0 với mọi j = 1, 2, ..., k − 1, nên theo giả thiết quy nạp, điểm
k

y :=

λj j
x ∈ C.
ξ
j=1

∑

Ta có
x = ξ y + λk xk .
Do ξ > 0, λk > 0 và
k

ξ + λk =

∑ λj = 1

j=1

nên x là tổ hợp lồi của hai điểm y và xk đều thuộc C. Vậy x ∈ C.
1.2.2

Nón lồi

Định nghĩa 1.2.2. Tập C được gọi là nón nếu với mọi λ > 0 và với mọi x ∈ C suy ra
λ x ∈ C. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi.
Mệnh đề 1.2.2. Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi có các tính chất sau
1. λC ⊆ C ∀λ > 0;
2. C +C ⊆ C.
Chứng minh.
Giả sử C là một nón lồi. Do C là một nón nên ta có 1). Mặt khác, do C là một tập lồi
nên với mọi x, y ∈ C thì 12 (x + y) ∈ C. Vậy theo 1) ta có x + y ∈ C.
Ngược lại, giả sử ta có 1) và 2). Từ 1) ta suy ra C là một nón.
Giả sử x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1]. Từ 1) suy ra λ x ∈ C và (1 − λ )y ∈ C. Vậy C là một nón
lồi.
Định nghĩa 1.2.3. Cho C ⊆ H là một tập lồi khác rỗng và x ∈ C. Khi đó tập
NC {x} := {w| w, y − x ≤ 0 ∀y ∈ C}

9


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x. Tập
−NC {x} := {w| w, y − x ≤ 0 ∀y ∈ C}
được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x.
Định nghĩa 1.2.4. Cho C = 0/ (không nhất thiết lồi) và y là một vectơ bất kỳ, đặt
dC (y) := inf x − y .
x∈C

Ta nói dC (y) là khoảng cách từ y đến C.
Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC (y) = π − y , thì ta nói π là hình chiếu của y trên C,
kí hiệu pC (y).
Theo định nghĩa trên ta thấy rằng, hình chiếu pC (y) của y trên C sẽ là nghiệm của
bài toán tối ưu
1
min{ x − y 2 |x ∈ C}.
x
2
1.2.3

Hàm lồi

Định nghĩa 1.2.5. Cho C ⊆ H là một tập lồi và f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó tập
dom f := {x ∈ C| f (x) < +∞}
được gọi là miền hữu dụng của tập f. Tập
epi f := {(x, µ) ∈ C × R | f (x) ≤ µ}
được gọi là trên đồ thị của hàm f.

Định nghĩa 1.2.6. 1. Cho 0/ = C ⊆ H lồi và f : C → R ∪ {+∞}. Ta nói f là hàm
lồi trên C nếu
f λ x + (1 − λ )y ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].
2. Hàm f : H → R ∪ {+∞} được gọi là lồi chặt trên C nếu
f λ x + (1 − λ )y < λ f (x) + (1 − λ ) f (y) ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
3. Hàm f : H → R ∪ {+∞} được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số η nếu với mọi
x, y ∈ C và với mọi λ ∈ (0, 1)
1
f λ x + (1 − λ )y ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) − ηλ (1 − λ ) x − y 2 .
2
10


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

4. Hàm f được gọi là hàm lõm trên C nếu − f là hàm lồi trên C.
Định nghĩa 1.2.7. Một hàm số thực ϕ được gọi là tựa lồi trên một tập lồi C nếu với
mọi số thực γ tập mức dưới
{x ∈ C|ϕ(x) ≤ γ}
lồi.
Tương tự hàm ϕ được gọi là tựa lõm trên C nếu −ϕ là hàm tựa lồi trên C.
Nhận thấy nếu ϕ là tựa lồi trên C thì với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λ x + (1 − λ )y) ≤ max(ϕ(x), ϕ(y)).
Tương tự nếu ϕ là tựa lõm trên C thì với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λ x + (1 − λ )y) ≥ min(ϕ(x), ϕ(y)).
Từ định nghĩa ta thấy, mọi hàm lồi (lõm) trên C, đều tựa lồi (tựa lõm) trên C.
Định nghĩa 1.2.8. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi A. Một véc tơ y∗ ∈ H được gọi
là dưới vi phân của f tại x∗ ∈ A nếu
f (x) ≥ f (x∗ ) + y∗ , x − x∗ ,

∀x ∈ A.

Tập hợp tất cả các điểm y∗ thỏa mãn bất đẳng thức trên được kí hiệu là ∂ f (x∗ ).
Định nghĩa 1.2.9. Hàm f : H → R ∪ {+∞} được gọi là nửa liên tục dưới đối với E
tại một điểm x nếu như với mọi dãy {xn } ⊂ E, xk → x ta có lim in f f (xk ) ≥ f (x).
Hàm f : H → R ∪ {+∞} được gọi là nửa liên tục trên đối với E tại một điểm x
nếu như với mọi dãy {xn } ⊂ E, xk → x ta có lim sup f (xk ) ≤ f (x).
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) đối với E trong tập A nếu
nó nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) đối với E tại mọi điểm thuộc A.
Nhận xét
Nếu f là nửa liên tục dưới thì − f là nửa liên tục trên.
Khi f liên tục (nửa liên tục) tại một điểm x, đối với toàn không gian, thì ta nói đơn
giản f liên tục (nửa liên tục) tại x.
1.2.4

Tính chất của hàm lồi

Mệnh đề 1.2.3. Một hàm f : C → R ∪ {+∞} là lồi trên C khi và chỉ khi
∀x, y ∈ C, ∀α > f (x), ∀β > f (y), ∀λ ∈ [0, 1]
⇒ f (λ x + (1 − λ )y) ≤ λ α + (1 − λ )β .
11


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chứng minh.
Điều kiện cần.
Giả sử f lồi. Chọn x, y, α, β thỏa mãn các giả thiết của mệnh đề. Chọn α ∈ ( f (x), α)
và β ∈ ( f (y), β ). Vậy (x, α ) và (y, β ) thuộc epi f . Do epi f lồi, nên
((1 − λ )x + λ y, (1 − λ )α + λ β ) ∈ epi f .

Do đó
f ((1 − λ )x + λ y) ≤ (1 − λ )α + λ β < (1 − λ )α + λ β .
Điều kiện đủ.
Chọn (x, µ) và (y, υ) thuộc epi f và λ ∈ (0, 1). Khi đó, với mọi ε > 0, ta có
f (x) < µ + ε, f (y) < υ + ε.
Do đó
f [(1 − λ )α + λ β ] < (1 − λ )(µ + ε) + λ (υ + ε),
= (1 − λ )µ + λ υ + ε.
Điều này đúng với mọi ε > 0, nên cho ε → 0, ta được
f [(1 − λ )α ] ≤ (1 − λ )µ + λ υ.
Chứng tỏ
(1 − λ )(x, µ) + λ (y, υ) ∈ epi f .
Vậy f lồi.

1.3

Kết luận

Chương 1 đã trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn.
Các kiến thức về giải tích hàm như không gian tuyến tính định chuẩn, không gian
tiền Hilbert, không gian Hilbert; sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu trong không gian Hilbert.
Các kiến thức về giải tích lồi như tập lồi, nón lồi, hàm lồi, hàm lồi chặt, hàm lồi
mạnh với hệ số η; các tính chất của hàm lồi; khái niệm về hàm nửa liên tục trên, nửa
liên tục dưới.

12


Chương 2

Bài toán cân bằng
Chương này chúng ta nhắc lại các khái niệm về song hàm cân bằng, toán tử cân
bằng và phát biểu bài toán cân bằng. Một số bài toán có thể đưa về dạng bài toán cân
bằng và sự tồn tại nghiệm của bài toán. Các kiến thức này được tham khảo từ các tài
liệu [2], [3].

2.1

Bài toán cân bằng và các khái niệm

Trong kinh tế và nhiều lĩnh vực khác bài toán cân bằng có nhiều ý nghĩa quan
trọng. Hơn nữa, bài toán là sự mở rộng của nhiều bài toán khác như bài toán tối ưu,
bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa,...
Vì vậy mà lớp các bài toán cân bằng được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu.
2.1.1

Phát biểu bài toán

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử C ⊆ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và f : H × H →
R ∪ {+∞} thỏa mãn f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Khi đó ta gọi hàm f là một song hàm
cân bằng trên C.
Cho f là một song hàm cân bằng trên C. Ta xét bài toán
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0,

∀y ∈ C.

(EP(C, f ))

Ta kí hiệu bài toán này là EP(C, f ) và gọi là bài toán cân bằng, tập nghiệm của nó
được kí hiệu là S(C, f ).

2.1.2

Các khái niệm

Định nghĩa 2.1.2. Song hàm f : H × H → R ∪ {+∞} được gọi là

13


Chương 2. Bài toán cân bằng

1. đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ > 0 nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ −γ x − y 2 , ∀x, y ∈ C;
2. đơn điệu trên C nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
3. giả đơn điệu trên C nếu
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C.
Từ định nghĩa trên ta suy ra: 1) ⇒ 2) ⇒ 3).
Điều ngược lại chưa chắc đã đúng.Thật vậy, để làm rõ vấn đề này ta xét một số ví
dụ sau.
Ví dụ 2.1.1.
Xét song hàm
f (x, y) = ε x, y − x ,

∀x, y ∈ H ,

trong đó ε > 0. Với hằng số γ > 0 nào đó thỏa mãn γ ≤ ε ta có
f (x, y) + f (y, x) = ε x, y − x + ε y, x − y ;
= ε −x + y, x − y ;
= −ε x − y

2

≤ −γ x − y 2 .

Chứng tỏ f là song hàm đơn điệu mạnh trên H .
Do γ > 0 nên từ đẳng thức
f (x, y) + f (y, x) ≤ −γ x − y

2

ta suy ra
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 ∀x, y ∈ H ,
chứng tỏ f là đơn điệu trên H .
Giả sử f (x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ H . Khi đó, do
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0,
suy ra
f (y, x) ≤ − f (x, y) ≤ 0,
Vậy f là song hàm giả đơn điệu.
14

∀x, y ∈ H .


Chương 2. Bài toán cân bằng

Ví dụ 2.1.2.
Xét song hàm
f (x, y) = (x2 + 1)(y − x),

∀x, y ∈ R.

Giả sử f (x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ R, suy ra y ≥ x với mọi x, y ∈ R.
Khi đó
f (y, x) = (y2 + 1)(x − y) ≤ 0, ∀x, y ∈ R.
Vậy f là song hàm giả đơn điệu. Tuy nhiên
f (x, y) + f (y, x) = (x2 + 1)(y − x) + (y2 + 1)(x − y);
= −(x − y)2 (x + y).
Khi đó, nếu chọn x, y ∈ R sao cho x = y và x + y < 0 thì f (x, y) + f (y, x) > 0, nghĩa là
f không đơn điệu trên R.
Ví dụ 2.1.3.
Cho không gian Hilbert thực
∞

H = l2 := x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) := ∑ |xi |2 < +∞,

∀xi ∈ R .

i=1

Tích vô hướng và chuẩn trên H tương ứng được xác định bởi
∞

x, y := ∑ xi yi ,

x :=

x, x

i=1

với mọi x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) = (x1 , x) ∈ H , y = (y1 , y2 , ..., yi , ...) = (y1 , y) ∈ H ,
trong đó
x := (x2 , ..., xi , ...), y := (y2 , ..., yi , ...).
Kí hiệu
∞

x, y := ∑ xi yi ,

x :=

x, x .

i=2

Xét tập C = {x ∈ H : x ≤

√
2} và hàm f : C ×C → R được cho bởi

f (x, y) = (2 − x ) x, y − x .
Nhận thấy, tập nghiệm của bài toán EP(C, f ) là
C := S(C, f ) = {(x1 , 0, ..., 0, ...) : x1 ∈ R)}.

15


Chương 2. Bài toán cân bằng

Với x, y ∈ C ta có 2 − x > 0 và 2 − y > 0. Do đó

f (x, y) = (2 − x ) x, y − x ≥ 0;
⇒ x, y − x ≥ 0;
⇒ y, x − y ≤ 0;
⇒ f (y, x) = (2 − y ) y, x − y ≤ 0.
Chứng tỏ f là song hàm giả đơn điệu trên C.
√
Lấy x = (0, 1, 0, ..., 0, ...), y = (0, 2, 0, ..., 0, ...) ∈ C. Khi đó
√
x = (1, 0, ..., 0, ...), y = ( 2, 0, ..., 0, ...)
và
x = 1,

y =

√
2.

Nhận thấy
√
√
√
√
f (x, y) + f (y, x) = (2 − 1) × 1 × ( 2 − 1) + (2 − 2) × 2 × (1 − 2)
√
√
= ( 2 − 1) × (2 2 − 1) > 0.
Vậy, f không đơn điệu trên C.
Định nghĩa 2.1.3. Cho C ⊂ H . Toán tử F : C → H được gọi là
1. đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ > 0 nếu
F(x) − F(y), x − y ≥ γ x − y 2 ,

∀x, y ∈ C;

2. đơn điệu trên C nếu
F(x) − F(y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C;

3. giả đơn điệu trên C nếu
F(x), x − y ≤ 0 ⇒ F(y), y − x ≥ 0.
Ta đặt
f (x, y) = F(x), y − x .
Khi đó toán tử cân bằng trở thành song hàm cân bằng.

16


Chương 2. Bài toán cân bằng

Nhận xét
Nếu F là toán tử đơn điệu mạnh, đơn điệu hoặc giả đơn điệu trên C thì f cũng là
song hàm đơn điệu mạnh, đơn điệu hoặc giả đơn điệu trên C.
Thật vậy
Nếu toán tử F là đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ > 0, khi đó
F(x) − F(y), x − y ≥ γ x − y 2 ,

∀x, y ∈ C;

⇔ F(x), x − y − F(y), x − y ≥ γ x − y 2 ,

∀x, y ∈ C;

⇔ − F(x), y − x − F(y), x − y ≥ γ x − y 2 ,
⇔ − f (x, y) − f (y, x) ≥ γ x − y 2 ,

∀x, y ∈ C;

∀x, y ∈ C;

⇔ f (x, y) + f (y, x) ≤ −γ x − y 2 , ∀x, y ∈ C;
Vậy f là song hàm đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ > 0.
Nếu toán tử F là đơn điệu trên C, khi đó
F(x) − F(y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C;

⇔ F(x), x − y − F(y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C;

⇔ − F(x), y − x − F(y), x − y ≥ 0,
⇔ − f (x, y) − f (y, x) ≥ 0,

∀x, y ∈ C;

∀x, y ∈ C;

⇔ f (x, y) + f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
Vậy f là song hàm đơn điệu trên C.
Nếu toán tử F là giả đơn điệu trên C, khi đó nếu

F(x), x − y ≤ 0 thì F(y), y − x ≥ 0,

∀x, y ∈ C;

⇔ − F(x), y − x ≤ 0 thì F(y), y − x ≥ 0,
⇔ − F(x), y − x ≤ 0 thì − F(y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C;
∀x, y ∈ C;

suy ra
− f (x, y) ≤ 0 thì − f (y, x) ≥ 0,
⇔ f (x, y) ≥ 0 thì f (y, x) ≤ 0

∀x, y ∈ C;
∀x, y ∈ C.

Vậy f là song hàm giả đơn điệu trên C.
Sau đây ta xét một vài trường hợp riêng có thể đưa về bài toán cân bằng.

17


Chương 2. Bài toán cân bằng

2.2

Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng

2.2.1

Bài toán tối ưu

Cho hàm số ϕ : C → R. Xét bài toán tối ưu
Tìm x∗ ∈ C sao cho ϕ(x∗ ) ≤ ϕ(y),

∀y ∈ C.

(OP)

Đặt
f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x).
Rõ ràng f (x, x) = ϕ(x) − ϕ(x) = 0. Vậy f là một song hàm cân bằng.
Khi đó bài toán tối ưu (OP) tương đương với bài toán
Tìm x∗ ∈ C sao cho ϕ(y) − ϕ(x∗ ) ≥ 0,

∀y ∈ C

hay
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0,

∀y ∈ C.

Đây chính là bài toán cân bằng.
Nhận thấy, tập nghiệm của bài toán tối ưu (OP) chính là S(C, f ).
Thật vậy, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (OP), theo định nghĩa ta có
ϕ(x∗ ) ≤ ϕ(y),

∀y ∈ C.

Suy ra
ϕ(y) − ϕ(x∗ ) ≥ 0,

∀y ∈ C.

Mặt khác
f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x),

∀x, y ∈ C,

nên
f (x∗ , y) := ϕ(y) − ϕ(x∗ ) ≥ 0,

∀y ∈ C.

Vậy x∗ là nghiệm cuả bài toán EP(C, f ).
Ngược lại, lấy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán EP(C, f ). Khi đó f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi
y ∈ C.
Theo cách đặt ta có
f (x∗ , y) := ϕ(y) − ϕ(x∗ ) ≥ 0,
Suy ra ϕ(y) ≥ ϕ(x∗ ), ∀y ∈ C.
Vậy x∗ là nghiệm của bài toán (OP).

18

∀y ∈ C.


Chương 2. Bài toán cân bằng

2.2.2

Bài toán điểm bất động

Cho F : C → C là một ánh xạ đơn trị. Xét bài toán điểm bất động sau
Tìm x∗ sao cho F(x∗ ) = x∗ .

(F(C, F))

Đặt f (x, y) = x − F(x), y − x , thì f là một song hàm cân bằng với mọi y ∈ C.
Khi đó bài toán điểm bất động F(C, F) trở thành bài toán EP(C, f ), tập nghiệm
của F(C, F) chính là S(C, f ).
Thật vậy, giả sử x∗ là nghiệm của bài toán F(C, F). Tức là F(x∗ ) = x∗ . Khi đó
f (x∗ , y) = x∗ − F(x∗ ), y − x∗ ;
= 0, y − x∗ ;
= 0 ≥ 0,

∀y ∈ C.

Vậy x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f ).
Ngược lại, giả sử x∗ là điểm sao cho f (x∗ , y) ≥ 0,
x∗ − F(x∗ ), y − x∗ ≥ 0,

∀y ∈ C. Khi đó:

∀y ∈ C.

Chọn y = F(x∗ )
x∗ − F(x∗ ), F(x∗ ) − x∗ ≥ 0,

∀y ∈ C;

⇔ −||x∗ − F(x∗ )||2 ≥ 0,

∀y ∈ C.

⇒ x∗ = F(x∗ ) ∀y ∈ C.
Vậy x∗ là điểm bất động của C.
2.2.3

Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

Xét một trò chơi không hợp tác gồm có p đấu thủ, đấu thủ thứ i có tập chiến
lược là Ci ∈ R pi và có hàm chi phí là fi := C → R với C := C1 × C2 × ... × C p
tương ứng, tức là, nếu đối thủ thứ nhất, thứ hai, ..., thứ p, lần lượt chọn chiến lược
chơi là x1 ∈ C1 , x2 ∈ C2 , ..., x p ∈ C p , thì chi phí của mỗi đối thủ tương ứng sẽ là
f1 (x1 , x2 , ..., x p ), f2 (x1 , x2 , ..., x p ), ..., f p (x1 , x2 , ..., x p ). Mục tiêu của mỗi đối thủ là tìm
kiếm một chiến lược chơi trong tập chiến lược chơi tương ứng để làm cực tiểu chi phí
của mình. Ký hiệu x = (x1 , x2 , ..., x p ), một điểm x∗ ∈ C được gọi là điểm cân bằng
Nash nếu
∗
∗
∗
∗
fi (x1∗ , ..., xi−1
, xi∗ , xi+1
, ..., x∗p ) ≤ fi (x1∗ , ..., xi−1
, y∗i , xi+1
, ..., x∗p )

19


Chương 2. Bài toán cân bằng

với mọi y∗i ∈ Ci và với mọi i = 1, 2, ..., p. Khi đó bài toán cân bằng Nash được phát
biểu như sau
Tìm x∗ ∈ C sao cho
(N(C, f ))
∗ , y∗ , x∗ , ..., x∗ ) ∀y ∈ C , ∀i = 1, 2, ..., p.
fi (x∗ ) ≤ fi (x1∗ , ..., xi−1
i
i
p
i i+1
Đặt

p

f (x, y) :=

∑

f j (x) − f j (x1 , ..., x j−1 , y j , x j+1 , ..., x p ) .

j=1

Nhận thấy, nếu x∗ là một điểm cân bằng Nash thì f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C. Khi đó
bài toán cân bằng Nash N(C, f ) trở thành bài toán cân bằng EP(C, f ).
Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của EP(C, f ) tức là f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C.

Ta sẽ chứng tỏ x∗ = (x1∗ , ..., x∗p ) với x∗j ∈ C j là một điểm cân bằng Nash.
Thật vậy, giả sử x∗ không là một điểm cân bằng Nash, khi đó sẽ tồn tại j và một
y j ∈ C j sao cho
f j (x1∗ , ..., x∗j−1 , x∗j , x∗j+1 , ..., x∗p ) < f j (x1∗ , ..., x∗j−1 , y j , x∗j+1 , ..., x∗p ).
Khi đó với phương án y = (x1∗ , ..., x∗j−1 , y j , x∗j+1 , ..., x∗p ), theo định nghĩa của hàm f ta
có
f (x∗ , y) = f j (x1∗ , ..., x∗j−1 , y j , x∗j+1 , ..., x∗p ) − f j (x∗ ) < 0.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết x∗ là nghiệm của EP(C, f ), hay x∗ là một điểm cân
bằng Nash.
2.2.4

Bài toán điểm yên ngựa

Trong nhiều vấn đề, ta thường phải làm việc việc với một hàm số thực của hai
nhóm biến có tính chất là tựa lồi theo nhóm biến thứ nhất khi nhóm biến thứ hai cố
định và tựa lõm theo nhóm biến thứ hai, khi nhóm biến thứ nhất cố định. Các song
hàm này được gọi là hàm yên ngựa.
Định nghĩa 2.2.1. Cho C ⊆ H , D ⊆ H là các tập lồi khác rỗng và ϕ : C × D → R.
Hàm ϕ được gọi là hàm yên ngựa trên C × D, nếu với mọi y ∈ D cố định, hàm ϕ(., y)
tựa lồi trên C và với mọi x ∈ C cố định, hàm ϕ(x, .) tựa lõm trên D.
Hột hàm yên ngựa cũng được gọi là hàm tựa - lồi tựa - lõm. Do mọi hàm lồi đều là
tựa lồi và mọi hàm lõm đều là tựa lõm, nên hàm lồi - lõm (nói riêng hàm song tuyến)
là hàm yên ngựa.
Định nghĩa 2.2.2. Một điểm (x∗ , y∗ ) ∈ C × D được gọi là điểm yên ngựa của hàm ϕ
trên C × D nếu
ϕ(x∗ , y) ≤ ϕ(x∗ , y∗ ) ≤ ϕ(x, y∗ ),
20

∀x ∈ C,

∀y ∈ D.


Chương 2. Bài toán cân bằng

Xét bài toán tìm điểm yên ngựa sau
Tìm điểm (x∗ , y∗ ) ∈ C × D sao cho
ϕ(x∗ , y) ≤ ϕ(x∗ , y∗ ) ≤ ϕ(x, y∗ ), ∀x, y ∈ C × D.

(2.2.1)

Ta sẽ chỉ ra rằng, bài toán tìm điểm yên ngựa có thể mô tả dưới dạng bài toán cân
bằng như sau.
Với mỗi u = (x , y ), v = (x, y) ∈ K := C × D, đặt
f (u, v) := ϕ(x, y ) − ϕ(x , y).
Khi đó, nếu u∗ = (x∗ , y∗ ) ∈ K là nghiệm của EP(K, f ), tức là
f (u∗ , v) ≥ 0,

∀v ∈ K,

thì
ϕ(x∗ , y) ≤ ϕ(x, y∗ ),

∀(x, y) ∈ K.

Lần lượt thay x = x∗ , y = y∗ vào bất đẳng thức này ta được
ϕ(x∗ , y) ≤ ϕ(x∗ , y∗ ) ≤ ϕ(x, y∗ ),

∀(x, y) ∈ K.

Vậy (x∗ , y∗ ) là điểm yên ngựa của ϕ trên K.
Ngược lại, giả sử (x∗ , y∗ ) là điểm yên ngựa của ϕ trên K. Theo định nghĩa ta có
ϕ(x∗ , y) ≤ ϕ(x∗ , y∗ ) ≤ ϕ(x, y∗ ),

∀x ∈ C,

∀y ∈ D.

Suy ra
ϕ(x, y∗ ) − ϕ(x∗ , y) ≥ 0

∀x, y ∈ K,

hay
f (u∗ , v) ≥ 0 ∀v ∈ K.
Vậy u∗ = (x∗ , y∗ ) là nghiệm của EP(K, f ).

2.3

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Trong mục này chúng ta sẽ xét tới sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng trong
các trường hợp compact và trường hợp có điều kiện bức. Trước hết chúng ta nhắc lại
định lý cực đại Berge sau
Định lý 2.3.1. Cho X, Y là các không gian Tô pô, F : X ×Y → 2Y là ánh xạ nửa liên
tục trên trên X sao cho F(x) compact, hơn nữa F(X) compact. Giả sử f : X ×Y → R
là một hàm số nửa liên tục trên trên X. Khi đó, hàm giá trị tối ưu
g(x) := max{ f (x, y) : y ∈ F(x)}
21

Chương 2. Bài toán cân bằng

nửa liên tục trên và ánh xạ tập nghiệm tối ưu
S(x) := {y ∈ F(x) : f (x, y) = g(x)}
nửa liên tục trên.
Ta xét sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các giả thiết sau đây
Cho C ⊆ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và f : H × H → R ∪ {+∞}
Giả thiết
(A1 ) f (., y) là hàm nửa liên tục trên, yếu trên H đối với mỗi y ∈ C;
(A2 ) f (x, .) là hàm lồi, nửa liên tục dưới yếu trên H và khả vi trên dom f (x, .) đối
với mỗi x ∈ C;
(A3 ) Tồn taị một tập compact B ⊂ H và một vectơ y0 ∈ B ∩C sao cho
f (x, y0 ) < 0

∀x ∈ C \ B.

Giả thiết (A3 ) còn được gọi là điều kiện bức.
Ta xét định lý sau.
Định lý 2.3.2. (Ky Fan’theorem). Giả sử C là một tập lồi đóng, khác rỗng trong không
gian Hilbert H và f : C ×C → R ∪ {+∞} là một song hàm cân bằng xác định trên C.
Nếu f thỏa mãn giả thiết A1 và f (x, .) là tựa lồi trên C với mỗi x ∈ C cố định. Khi đó
nếu C là tập compact hoặc điều kiện bức (A3 ) được thỏa mãn thì bài toán EP(C, f )
có nghiệm.
Mệnh đề 2.3.1. 1. Nếu hàm f đơn điệu mạnh trên C và thỏa mãn các giả thiết
(A1 ), (A2 ), thì EP(C, f ) có nghiệm duy nhất.
2. Nếu hàm f thỏa mãn các giả thiết (A1 ), (A2 ) và giả đơn điệu trên C thì nghiệm
của EP(C, f ) là một tập lồi, đóng yếu.
3. Nếu hàm f thỏa mãn các giả thiết (A1 ), (A2 ) và (A3 ) thì tập nghiệm của EP(C, f )
là khác rỗng.

Mệnh đề 2.3.2. Giả sử f thỏa mãn các giả thiết (A1 ) và (A2 ). Xét các mệnh đề sau
1. Tồn tại một véctơ y0 ∈ C sao cho
L(y0 , f ) := {x ∈ C : f (x, y0 ) ≥ 0}
là một tập bị chặn.
2. Tồn tại một hình cầu đóng B ⊆ H và một vectơ y0 ∈ C ∩ B sao cho
f (x, y0 ) < 0, ∀x ∈ C \ B.
22


Chương 2. Bài toán cân bằng

3. Tập nghiệm S(C, f ) của bài toán EP(C, f ) là khác rỗng và compact yếu.
Khi đó 1) ⇒ 2) ⇒ 3). Hơn nữa nếu f là giả đơn điệu trên C thì S(C, f ) là lồi và tập
L> (y0 , f ) : {x ∈ C : f (x, y0 ) > 0}
là rỗng với mọi y0 ∈ S(C, f ).
Chứng minh.
1) ⇒ 2): Từ giả thiết 1), ta chọn B là hình cầu đóng chứa L(y0 , f ). Khi đó
{x ∈ C \ B : f (x, y0 ) ≥ 0} = 0.
/
Vậy f (x, y0 ) < 0, ∀x ∈ C \ B.
2) ⇒ 3): Từ Mệnh đề 2.3.1 ta có S(C, f ) = 0/ . Do C là tập đóng yếu, f (., y) là hàm
nửa liên tục trên yếu trên C và tập nghiệm S(C, f ) là đóng yếu. Hơn nữa, từ 2) và từ
định nghĩa của L(y0 , f ), ta có
S(C, f ) ⊆ L(y0 , f ) ⊆ C ∩ B.
Do đó, S(C, f ) là tập compact yếu.
Lấy y0 ∈ S(C, f ). Khi đó f (y0 , x) ≥ 0 với mọi x ∈ C. Do tính chất giả đơn điệu của
song hàm nên f (x, y0 ) ≤ 0 với mọi x ∈ C. Do đó, L> = 0.
/
Mệnh đề 2.3.3. (Trường hợp compact) Cho C là một tập lồi, compact, khác rỗng và
song hàm cân bằng f : C ×C → R ∪ +{∞} thỏa mãn các tính chất sau

1. f(.,y) nửa liên tục trên yếu trên H với mọi y ∈ C.
2. f(x,.) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên H với mọi x ∈ C.
Khi đó bài toán EP(C, f ) có nghiệm.
Chứng minh.
Với mỗi x ∈ C ta gọi S(x) là tập nghiệm của bài toán
min{ f (x, y) : y ∈ C}.
Do C là compact và f (, .) nửa liên tục dưới trên H nên bài toán này có nghiệm.
Hơn nữa do C lồi, compact, f (x, .) lồi nên S(x) lồi, compact. Theo Định lý Berger thì
ánh xạ S(.) nửa liên tục trên.
Vậy, theo định lý về điểm bất động, tồn tại x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ ∈ S(x∗ ). Ta sẽ chỉ ra x∗
là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f ).
23