Trình bày, chứng minh định lý Frank - Wolfe và địnhlý Eaves, đưa ra các hệ quả và một số kết luận về sự tồn tại nghiệmđịa phương của các quy hoạch toàn phương

Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Bảng kí hiệu và viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1. Định nghĩa và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Tập lồi, hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Quy hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. Quy hoạch lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2. Quy hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.3. Quy hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Chương 2. Các định lý tồn tại nghiệm của bài toán quy
hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1. Định lý Frank-Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2. Định lý Eaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3. Các điều kiện tối ưu bậc một và bậc hai . . . . . . . .

38

Chương 3. Một số ứng dụng khác của các định lý tồn tại
nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1. Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1


3.2. Tính liên tục của ánh xạ nghiệm của quy hoạch toàn
phương phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2


Lời mở đầu
Nhiều sự kiện của cuộc sống dẫn loài người đễn việc phải lựa chọn
"phương án" cho hành động của mình, rồi từ những "phương án" đó,
người ta có mong muốn tự nhiên là chọn lấy "phương án" tối ưu. Dần
dần, người ta biết diễn đạt công việc của mình dưới mô hình toán
học, cụ thể là các bài toán cực trị. Trong các lĩnh vực khác như kinh
tế, quản lí... cũng đặt ra yêu cầu nghiên cứu về "lí thuyết tối ưu".
Lý thuyết toán học về tối ưu được hình thành và phát triển mạnh
mẽ như một lĩnh vực khoa học từ giữa thế kỉ 20. Có nhiều lĩnh vực

với những tên gọi khác nhau nhưng lại khá gần nhau của lí thuyết
này như: tối ưu hóa, quy hoạch toán học, phép tính biến phân...
Bài toán quy hoạch toán học được hiểu như là bài toán tìm cực
trị của một hàm (hàm số hay hàm vectơ hoặc đa trị) dưới những điều
kiện nhất định. Để đơn giản ta xét quy hoạch toán học có dạng
(P ) min{f (x) : x ∈ ∆},
trong đó ∆ ⊂ X là tập ràng buộc, X là một không gian nào đó,
f : ∆ → R là hàm mục tiêu. Mỗi điểm x ∈ ∆ được gọi là một phương
án chấp nhận được (lời giải chấp nhận được) của bài toán (P ). Bài
toán này được hiểu là tìm một điểm x∗ ∈ ∆ sao cho f (x∗ ) ≤ f (x) với
mọi x ∈ ∆. Nghĩa là ta muốn tìm một phương án tối ưu (xem [2, tr.
38]).
Bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.
Chẳng hạn, trong kinh tế là bài toán xác định phương án sản xuất
sao cho chi phí thấp nhất, hay bài toán đóng gói và bố trí mặt bằng...
Có nhiều cách phân loại các quy hoạch toán học (xem [1, tr. 3]).
Khi X là không gian hữu hạn chiều: quy hoạch tuyến tính; quy hoạch
3


phi tuyến (quy hoạch lồi, không lồi; trơn, không trơn...). Trong luận
văn này, tác giả tập trung nghiên cứu một lớp con của các quy hoạch
phi tuyến là quy hoạch toàn phương. Khi đó, f là một hàm toàn
phương và ∆ là một tập lồi đa diện trong Rn .
Một vấn đề tự nhiên đặt ra là các quy hoạch toán học có hay không
một phương án tối ưu? Tất nhiên với các quy hoạch toàn phương cũng
có câu hỏi tương tự. Hai định lý: định lý Frank - Wolfe và định lý
Eaves sẽ giúp trả lời câu hỏi này. Đây cũng là phần nghiên cứu trọng
tâm của luận văn.
Luận văn được chia làm 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận

và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản của các quy hoạch
toán học, các định nghĩa, kí hiệu dùng cho các chương sau.
Chương 2: Trình bày, chứng minh định lý Frank - Wolfe và định
lý Eaves, đưa ra các hệ quả và một số kết luận về sự tồn tại nghiệm
địa phương của các quy hoạch toàn phương.
Chương 3: Trình bày một số ứng dụng khác của các định lý
tồn tại nghiệm trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân và khi xét tính liên tục dưới của quy hoạch toàn
phương phụ thuộc tham số.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.
TS. Nguyễn Năng Tâm, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tác giả
xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy về sự giúp
đỡ khoa học và những điều kiện thuận lợi nhất mà thầy dành cho tác
giả.
Nhân dịp này, tác giả cũng gửi lời cảm ơn các thầy phản biện,
những người đã đọc và đóng góp ý kiến cho tác giả để luận văn được
hoàn thiện hơn, cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học
4


Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy
trong suốt thời gian tác giả học tập tại trường.
Cuối cùng, tác giả cũng xin cảm ơn gia đình và Cơ quan công tác
của mình - trường THPT Thuận Thành số 1 - Bắc Ninh, đã tạo điều
kiện cho tác giả được đi học và hoàn thành khóa học này.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Nguyễn Thanh Tâm

5


Bảng kí hiệu và viết tắt
N

tập hợp các số nguyên dương

R

đường thẳng thực

Rn+

tập các vectơ không âm

R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}

đường thẳng thực mở rộng

Rn

không gian Euclid n-chiều

Rm×n

tập hợp các ma trận cỡ m × n

x

chuẩn của vectơ x

∅

tập rỗng

AT

ma trận chuyển vị của A

x, y

tích vô hướng của vectơ x và vectơ y

B(x, δ)

hình cầu mở tâm x, bán kính δ

B(x, δ)

hình cầu đóng tâm x, bán kính δ

Ω

bao đóng của Ω

extr∆

tập hợp các đỉnh của ∆

0+ ∆

nón lùi xa của ∆

T∆ (x)

nón tiếp xúc của ∆ tại x

C 1 - hàm

tập các hàm f : Rn → R khả vi liên tục
theo nghĩa Fréchet

C 2 - hàm

tập các hàm f : Rn → R khả vi liên tục
cấp hai theo nghĩa Fréchet

f (x)

gradien của f tại x

2

ma trận Hessian của f tại x

f (x)

Sol(P )

tập nghiệm của bài toán (P )

loc(P )

tập nghiệm địa phương của bài toán (P ).

6


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản về các quy hoạch
toán học nói chung, các quy hoạch toàn phương nói riêng.

1.1.

Định nghĩa và kí hiệu

Trong thực tế và lý thuyết, có nhiều bài toán được mô tả dưới
dạng
(P )

minf (x)

với x ∈ ∆,

trong đó, f : Rn → R là một hàm cho trước, ∆ ⊂ Rn , là một tập con
cho trước. (P ) được gọi là một bài toán tối ưu, hay một bài toán quy

hoạch toán học. (P ) còn được kí hiệu ngắn gọn như sau
min{f (x) : x ∈ ∆}.
Định nghĩa 1.1. Ta gọi (P ) là một bài toán quy hoạch toán học, f
là hàm mục tiêu, ∆ là tập ràng buộc (hay miền chấp nhận được của

7


(P )). Các phần tử của ∆ được gọi là các vectơ chấp nhận được của
(P ). Nếu ∆ = Rn thì ta nói (P ) là một bài toán không có ràng buộc,
ngược lại, (P ) là bài toán có ràng buộc.
Định nghĩa 1.2. Một vectơ chấp nhận được x ∈ ∆ được gọi là
một nghiệm (toàn cục) của (P ) nếu f (x) = +∞ và f (x) ≥ f (x) với
mọi x ∈ ∆. Ta nói x ∈ ∆ là một nghiệm địa phương của (P ) nếu
f (x) = +∞ và tồn tại một lân cận U của x sao cho
f (x) ≥ f (x)

với mọi

x ∈ ∆ ∩ U.

(1.1)

Tập các nghiệm của (P ) kí hiệu là Sol(P ), tập các nghiệm địa phương
kí hiệu là loc(P ). Hai quy hoạch là tương đương nếu tập nghiệm của
chúng trùng nhau.
Định nghĩa 1.3. Giá trị tối ưu υ(P ) của (P ) được xác định bởi
υ(P ) = inf {f (x) : x ∈ ∆}.

(1.2)

Nếu ∆ = ∅ thì quy ước υ(P ) = +∞.
Chú ý 1.4. Dễ thấy, Sol(P ) ⊂ loc(P ), và
Sol(P ) = {x ∈ ∆ : f (x) = +∞, f (x) = υ(P )}.
Chú ý 1.5. Có thể xảy ra trường hợp loc(P )\Sol(P ) = ∅. Chẳng
hạn, nếu chúng ta chọn ∆ = [−1, +∞) và f (x) = 4x3 − 6x2 thì x = 1
là một nghiệm địa phương, nhưng không phải là một nghiệm toàn cục
của (P ).
Chú ý 1.6. Trong nhiều trường hợp, ta gặp bài toán giá trị lớn nhất
sau
(P1 )

max f (x) với x ∈ ∆.
8


Một điểm x được gọi là một nghiệm (toàn cục) của (P1 ) nếu f (x) =
−∞ và f (x) ≤ f (x) với mọi x ∈ ∆. Ta nói x là một nghiệm địa
phương của (P1 ) nếu f (x) = −∞ và tồn tại một lân cận U của x
sao cho f (x) ≤ f (x) với mọi x ∈ ∆ ∩ U . Rõ ràng x là một nghiệm
(tương ứng một nghiệm địa phương) của (P1 ) nếu và chỉ nếu x là một
nghiệm (tương ứng một nghiệm địa phương) của bài toán giá trị nhỏ
nhất sau
min {−f (x)} với x ∈ ∆.
Do vậy, bất kì bài toán giá trị lớn nhất nào dưới dạng (P1 ) đều có thể
đưa về bài toán giá trị nhỏ nhất dạng (P ).
Chú ý 1.7. (Xem [3, Remark 1.4]) Ngay cả trong trường hợp υ(P ) là
một số thực hữu hạn, vẫn có thể xảy ra khả năng Sol(P ) = ∅. Chẳng
hạn, nếu ∆ = [1, +∞) ⊂ R và


1


với x = 0
|x|
f (x) =

+∞ với x = 0
thì υ(P ) = 0 trong khi Sol(P ) = ∅.

1.2.

Tập lồi, hàm lồi

Định nghĩa 1.8. Ta gọi ∆ ⊂ Rn là một tập lồi nếu
tx + (1 − t)y ∈ ∆ với mọi x ∈ ∆, y ∈ ∆ và t ∈ (0, 1).

(1.3)

Định nghĩa 1.9. Một hàm f : Rn → R được gọi là lồi nếu trên đồ
thị của nó
epif = {(x, α) ∈ Rn × R : f (x) ≤ α},
9

(1.4)


là tập con lồi của không gian tích Rn × R. Một hàm f được gọi là
hàm lồi chính thường nếu f (x) < +∞ với ít nhất một x ∈ Rn và
f (x) > −∞ với mọi x ∈ Rn . Một hàm f được gọi là lõm nếu hàm −f

cho bởi công thức: (−f )(x) = −f (x) là lồi. Hàm f được gọi là afin
nếu f vừa lồi, vừa lõm.
Chú ý rằng một hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là lồi nếu và
chỉ nếu
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y), ∀x, y ∈ Rn , ∀t ∈ (0, 1). (1.5)
Thật vậy, theo định nghĩa f là lồi nếu và chỉ nếu tập trên đồ thị của
nó là lồi, nghĩa là
t(x, α) + (1 − t)(y, β) ∈ epif,
với mọi t ∈ (0, 1) và mọi x, y ∈ Rn , mọi α, β ∈ R thỏa mãn α ≥ f (x),
β ≥ f (y). Điều này tương đương với (1.5). Tổng quát hơn, một hàm
f : Rn → R ∪ {+∞} là lồi nếu và chỉ nếu
f (λ1 x1 +...+λk xk ) ≤ λ1 f (x1 )+...+λk f (xk ) (Bất đẳng thức Jensen),
với bất kì x1 , ..., xk ∈ Rn và λ1 ≥ 0, ..., λk ≥ 0, λ1 + ... + λk = 1. (Xem
[6,Theorem 4.3]).
Định nghĩa 1.10. Cho hàm f : Rn −→ R, tập
dom(f ) := {x ∈ Rn : f (x) < +∞},

(1.6)

được gọi là miền hữu dụng của f . Với mỗi điểm x ∈ domf và một
vectơ υ ∈ Rn , nếu giới hạn
f (x, υ) := lim
t↓0

f (x + tυ) − f (x)
t
10

(1.7)

(có thể nhận giá trị +∞ hoặc −∞) tồn tại thì f được gọi là khả vi
theo hướng υ tại x và giá trị f (x, υ) được gọi là đạo hàm theo hướng
υ của f tại x. Nếu f (x, υ) tồn tại với mọi υ ∈ Rn thì f được gọi là
khả vi theo hướng tại x.
Định nghĩa 1.11. Một tập con M ⊂ Rn được gọi là một tập afin
nếu tx + (1 − t)y ∈ M với mọi x ∈ M, y ∈ M và t ∈ R.
Định nghĩa 1.12. Một tập con ∆ ⊂ R được gọi là một tập lồi đa
diện nếu ∆ có thể được biểu diễn là giao của một số hữu hạn các nửa
không gian con đóng của Rn , nghĩa là tồn tại các vectơ khác không
a1 , .., am ∈ Rn và các số thực β1 , .., βm sao cho
∆ = {x ∈ Rn : ai , x ≥ βi với i = 1, ..., m}.

(1.8)

Nói cách khác, ∆ là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất
phương trình tuyến tính. Một điểm x ∈ ∆ được gọi là một đỉnh
của ∆ nếu x không thể biểu diễn dưới dạng x = ty + (1 − t)z, ở
đó y ∈ ∆, z ∈ ∆, y = z và t ∈ (0, 1). Tập hợp các đỉnh của ∆
được kí hiệu là extr∆. Cho A là ma trận cỡ m × n với các phần tử
aij (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n), b = (β1 , ..., βm ) ∈ Rm . Khi đó (1.8) có
thể viết lại như sau
∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b}.

1.3.

Quy hoạch toàn phương

1.3.1.

Quy hoạch lồi

Định nghĩa 1.13. Ta nói (P ) là một quy hoạch lồi (một bài toán
quy hoạch lồi) nếu ∆ là một tập lồi và f là một hàm lồi. Nếu một
trong hai điều đó không xảy ra thì (P ) là một quy hoạch không lồi.
11


Dưới đây là một tính chất quan trọng của quy hoạch lồi.
Mệnh đề 1.14. Nếu (P ) là một quy hoạch lồi thì Sol(P ) = loc(P ).
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh rằng loc(P ) ⊂ Sol(P ) với quy
hoạch lồi (P ) bất kỳ. Lấy x0 ∈ loc(P ) và U là một lân cận của x0
thỏa mãn (1.1). Giả sử x0 ∈
/ Sol(P ), khi đó tồn tại x
ˆ ∈ ∆ sao cho
f (ˆ
x) < f (x0 ). Vì f (x0 ) = +∞ suy ra f (ˆ
x) ∈ R ∪ {−∞}.
Xét trường hợp f (ˆ
x) = −∞. Với bất kỳ t ∈ (0, 1), ta có
f (tˆ
x + (1 − t)x0 ) ≤ tf (ˆ
x) + (1 − t)f (x0 )
< tf (x0 ) + (1 − t)f (x0 ) = f (x0 ).

(1.9)
(1.10)

Vì tˆ
x + (1 − t)x0 = x0 + t(ˆ

x − x0 ) ∈ ∆ ∩ U với t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, suy
ra (1.10) mâu thuẫn với (1.1).
Xét trường hợp còn lại, f (ˆ
x) = −∞. Cố định t ∈ (0, 1). Với số
thực α bất kì, vì (ˆ
x, α) ∈ epif và (x0 , f (x0 )) ∈ epif nên
t(ˆ
x, α) + (1 − t)(x0 , f (x0 )) ∈ epif.
Do đó f (tˆ
x + (1 − t)x0 ) ≤ tα + (1 − t)f (x0 ) với mọi α ∈ R. Suy ra
f (tˆ
x + (1 − t)x0 ) = −∞. Điều này xảy ra với mọi t ∈ (0, 1), hơn nữa
tˆ
x + (1 − t)x0 ∈ ∆ ∩ U nếu t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, vì vậy (1.1) không thỏa
mãn. Điều giả sử là sai, mệnh đề được chứng minh.
Chú ý 1.15. Nếu (P ) là quy hoạch không lồi, mệnh đề trên không
còn đúng. Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau
Ví dụ 1.16. Cho quy hoạch (P ), với hàm mục tiêu
f (x) = min{f1 (x), f2 (x)},

12


trong đó f1 (x) = −x + 3, f2 (x) = x + 1, và tập ràng buộc ∆ = [0, 3].
3
1
1
Khi đó, bằng cách chọn: x = , y = , t = , ta có
2
2

2
3
f (1) = 2 = f (tx + (1 − t)y) > tf (x) + (1 − t)f (y) = ,
2
suy ra f không là hàm lồi, trong khi ∆ là một tập lồi. Dễ thấy
Sol(P ) = {3},

1.3.2.

loc(P ) = {0, 3}.

Quy hoạch tuyến tính

Định nghĩa 1.17. Bài toán (P) được gọi là một bài toán quy hoạch
tuyến tính (ngắn gọn là một quy hoạch tuyến tính) nếu f là một hàm
afin và ∆ là một tập lồi đa diện. Ngược lại, (P) được gọi là một quy
hoạch phi tuyến.
Có ba dạng quy hoạch tuyến tính đặc trưng là: dạng chuẩn tắc,
dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Chúng được mô tả lần lượt như
sau
min{f (x) = c, x

: x ∈ Rn , Ax ≥ b},

min{f (x) = c, x

: x ∈ Rn , Ax = b, x ≥ 0},

min{f (x) = c, x

: x ∈ Rn , Ax ≥ b, Cx = d}.

Trong đó, A ∈ Rm×n , C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn , b ∈
Rm , d ∈ Rs là các vectơ cho trước.
Ví dụ 1.18. Quy hoạch sau là một quy hoạch tuyến tính
min x1 + 2x2 : x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , x1 + x2 ≥ 2, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 .
Dễ thấy, Sol(P ) = {(2, 0)}. Để ý rằng tập ràng buộc
∆ = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 + x2 ≥ 2, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0},
13


có hai đỉnh, cụ thể extr∆ = {(2, 0), (0, 2)}; và một trong hai đỉnh này
là nghiệm của bài toán đã cho. Đây là một tính chất quan trọng của
quy hoạch tuyến tính.
Rõ ràng, các quy hoạch tuyến tính là các quy hoạch lồi. Do đó,
chúng có đầy đủ các tính chất của các quy hoạch lồi. Ngoài ra, các
quy hoạch tuyến tính còn có nhiều tính chất đặc biệt khác.
Định lí 1.19. (Xem [3, Theorem 1.10]) Cho (P ) là một trong ba dạng
quy hoạch tuyến tính đặc trưng. Khi đó ta có các tính chất sau:
(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu υ(P ) > −∞, thì Sol(P )
là một tập lồi đa diện khác rỗng.
(ii) Nếu cả hai tập extr∆ và Sol(P ) đều khác rỗng, thì extr∆∩Sol(P )
cũng khác rỗng.
(iii) Nếu tập ∆ := {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} khác rỗng, thì ∆ phải
có một đỉnh.
Sau đây ta xem xét một lớp quan trọng của các quy hoạch phi
tuyến là lớp các quy hoạch toàn phương. Lớp các quy hoạch tuyến
tính được xem như một lớp con đặc biệt của lớp này.

1.3.3.

Quy hoạch toàn phương

Định nghĩa 1.20. Ta nói f : Rn → R là một hàm toàn phương nếu
tồn tại một ma trận Q ∈ Rn×n , một vectơ c ∈ Rn và một số thực α
sao cho
1 T
x Qx + cT x + α
2
1
= x, Qx + c, x + α
2

f (x) =

với mọi x ∈ Rn .
14

(1.11)


Nếu


d11

Q=
· · ·
dn1



···

d1n

···


···
,

···

dnn

 
 
c1
x1
 
 
 c2 
 x2 
 
 
c =  . , x =  . ,
 .. 
 .. 
 

 
cn
xn

thì (1.11) có thể viết như sau
n

n

n

1
dij xi xj ) +
ci xi + α.
f (x) = (
2 j=1 i=1
i=1
1 T
x (Q+QT )x với mọi x ∈ Rn nên trong biểu diễn (1.11)
2
1
ta có thể thay thế Q bởi ma trận đối xứng (Q + QT ). Do đó, có thể
2
giả sử rằng ma trận vuông trong biểu diễn của hàm toàn phương là

Vì xT Qx =

đối xứng. Không gian các ma trận đối xứng cỡ n × n được kí hiệu là
Rn×n
.

S
Định nghĩa 1.21. Bài toán (P ) được gọi là một bài toán quy hoạch
toán học toàn phương (ngắn gọn là một quy hoạch toàn phương) nếu
f là một hàm toàn phương và ∆ là một tập lồi đa diện.
Nhận xét 1.22. Trong (1.11), nếu Q là ma trận 0 thì f là một hàm
afin. Do đó lớp các quy hoạch tuyến tính là lớp con của lớp các quy
hoạch toàn phương. Nhìn chung, các quy hoạch toàn phương là các
quy hoạch không lồi.
Ví dụ 1.23. Quy hoạch toàn phương sau là không lồi
min{f (x) = x1 2 − x2 2 : x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , 1 ≤ x1 ≤ 3, 1 ≤ x2 ≤ 3}.
Ta có thể kiểm tra f không là hàm lồi, Sol(P ) = {(1, 3)}, υ(P ) = −8.
15


Dễ thấy, nếu ta bỏ hằng số α trong biểu diễn (1.11) thì tập nghiệm
của bài toán (P ) không thay đổi. Do đó, ta thường xét hàm mục tiêu
1
dưới dạng f (x) = xT Qx + cT x.
2
Định nghĩa 1.24. Ta gọi các quy hoạch toàn phương sau
min

1 T
x Qx + cT x : x ∈ Rn , Ax ≥ b ,
2

1 T
x Qx + cT x : x ∈ Rn , Ax ≥ b, x ≥ 0 ,
2
1

min xT Qx + cT x : x ∈ Rn , Ax ≥ b, Cx = d
2
min

lần lượt là các quy hoạch toàn phương dạng chuẩn tắc, dạng chính
tắc, và dạng tổng quát. (Trong đó, A, C, b, c, d được cho như ở định
nghĩa 1.17).
Định nghĩa 1.25. Một ma trận Q ∈ Rn×n được gọi là xác định dương
(tương ứng, xác định âm) nếu υ T Qυ > 0 (tương ứng, υ T Qυ < 0) với
mọi υ ∈ Rn \{0}. Nếu υ T Qυ ≥ 0 (tương ứng, υ T Qυ ≤ 0) với mọi
υ ∈ Rn thì Q được gọi là nửa xác định dương (tương ứng, nửa xác
định âm).
1 T
x Qx+cT x+α trong đó Q ∈ Rn×n
,c ∈
S
2
Rn và α ∈ R. Nếu Q là một ma trận nửa xác định dương thì f là một
Mệnh đề 1.26. Cho f (x) =

hàm lồi.
Chứng minh. Dễ thấy h(x) = cT x + α là một hàm lồi và tổng của hai
1
hàm lồi là một hàm lồi, nên ta chỉ cần chỉ ra g(x) := xT Qx cũng là
2
một hàm lồi. Vì Q là một ma trận nửa xác định dương, nên với mọi
u, υ thuộc Rn ta có
0 ≤ (u − υ)T Q(u − υ) = uT Qu − 2υ T Qu + υ T Qυ.
16

Suy ra
υ T Qυ ≤ uT Qu − 2υ T Q(u − υ).

(1.12)

Với x, y bất kỳ thuộc Rn và t ∈ (0, 1), đặt z = tx + (1 − t)y.
Khi đó từ bất đẳng thức trên ta có
z T Qz ≤ y T Qy − 2z T Q(y − z),
z T Qz ≤ xT Qx − 2z T Q(x − z).
Vì y − z = t(y − x) và x − z = (1 − t)(x − y), nên từ hai bất đẳng
thức cuối, nhân cả hai vế của bất đẳng thức thứ nhất với (1 − t), bất
đẳng thức thứ hai với t, rồi cộng theo vế hai bất đẳng thức thu được,
suy ra
(1 − t)z T Qz + tz T Qz ≤ (1 − t)y T Qy + txT Qx,
chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho 2 ta được
g(tx + (1 − t)y) = g(z) ≤ tg(x) + (1 − t)g(y).
Vậy g là một hàm lồi, do đó f là hàm lồi. Mệnh đề được chứng
minh.
Nếu Q là một ma trận nửa xác định âm, thì hàm f cho trong mệnh
đề trên là một hàm lõm, nghĩa là
f (tx + (1 − t)y) ≥ tf (x) + (1 − t)f (y)
với mọi x ∈ Rn , y ∈ Rn và t ∈ (0, 1).
Trong trường hợp ma trận Q không là ma trận xác định dương, mà
1
cũng không là ma trận xác định âm thì ta nói f (x) = xT Qx + cT x,
2
n
trong đó c ∈ R , là một hàm toàn phương không xác định. Các quy
hoạch toàn phương với hàm mục tiêu là loại hàm đó được gọi là các

quy hoạch toàn phương không xác định.
17


Chú ý 1.27. Nếu hàm f cho bởi (1.11) với Q ∈ RS n×n thì

2

f (x) =

Q với mọi x ∈ Rn . Do đó, kết luận của mệnh đề trên có thể suy ra
trực tiếp từ định lý được phát biểu dưới đây.
Định lí 1.28. (Xem [6, Theorem 4.5]) Nếu f : Rn → R là một
C 2 −hàm và nếu ma trận Hessian

2

f (x) là nửa xác định dương với

mọi x ∈ Rn , thì f là một hàm lồi.
Bằng cách sử dụng mệnh đề (1.26) ta có thể kiểm tra một quy
hoạch toàn phương cho trước có là lồi hay không. Sau đây chúng ta
xét một ví dụ đơn giản về quy hoạch toàn phương lồi.
Ví dụ 1.29. (Xem [3, Example 1.6]) Cho k điểm a1 , a2 , ..., ak thuộc
Rn . Bài toán đặt ra là, tìm một điểm x ∈ Rn sao cho hàm số
f (x) := x − a1

2

+ ... + x − ak

2

đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta thấy
k

k
T

T

(x − ai ) (x − ai ) =

f (x) =

kx x − 2(

i=1

k
T

aTi ai ,

ai ) x +
i=1

i=1

là một hàm toàn phương lồi. Do đó x0 là một nghiệm của bài toán
trên nếu và chỉ nếu

f (x0 ) = 0. Vì
k

f (x0 ) = 2kx0 − 2

ai ,
i=1

nên

f (x0 ) = 0 tương đương với
1
x0 =
k

k

ai .
i=1

1 k
ai là một nghiệm của bài toán nói trên. Điểm
k i=1
x0 đặc biệt đó gọi là tâm tỉ cự của hệ {a1 , a2 , ..., ak }.

Do vậy, x0 =

18


Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các chương
sau. Cụ thể là các kí hiệu, các định nghĩa về: tập lồi, hàm lồi, một số
quy hoạch toán học (trong đó có các quy hoạch toàn phương) và đưa
ra một số ví dụ minh họa. Nội dung chính của luận văn được trình
bày trong chương tiếp theo.

19


Chương 2

Các định lý tồn tại
nghiệm của bài toán
quy hoạch toàn phương
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu hai định lý tồn tại cơ
bản của các bài toán quy hoạch toàn phương là định lý Frank-Wolfe
và định lý Eaves. Sau đó, ta xem xét một vài điều kiện tồn tại nghiệm
địa phương của các quy hoạch này.

2.1.

Định lý Frank-Wolfe

Xét một quy hoạch toàn phương cho dưới dạng


min f (x) := 1 xT Qx + cT x

2
(P )

với x ∈ Rn , Ax ≥ b,
20

(2.1)


ở đó Q ∈ RSn×n , c ∈ Rn và b ∈ Rn . Ta kí hiệu tập ràng buộc và giá
trị tối ưu của bài toán (2.1) lần lượt như sau
∆(A, b) = {x ∈ Rn : Ax ≥ b},
θ = inf {f (x) : x ∈ ∆(A, b)}.
Nếu ∆(A, b) = ∅ thì quy ước θ = +∞. Nếu ∆ = ∅ thì có hai khả
năng: (i) θ ∈ R , (ii) θ = −∞. Nếu (ii) xảy ra thì chắc chắn (2.1) vô
nghiệm. Một câu hỏi tự nhiên là: nếu (i) xảy ra, phải chăng bài toán
trên luôn có nghiệm? Định lý sau đây sẽ giúp trả lời câu hỏi này.
Định lí 2.1. (Xem [3, Theorem 2.1]) Nếu θ = inf {f (x) :

x ∈

∆(A, b)} là một số thực hữu hạn thì bài toán (2.1) có nghiệm.
Chứng minh. Giả sử θ ∈ R nghĩa là ∆(A, b) = ∅. Khi đó, tồn tại ρ > 0
sao cho
∆ρ = ∆(A, b) ∩ B(0, ρ),
là một tập lồi, khác rỗng và compact (ở đây, 0 = (0, 0, ..., 0) ∈ Rn ).
Ta xét bài toán sau
min{f (x) : x ∈ ∆ρ }.

(2.2)

Theo định lý Weierstrass, tồn tại y thuộc ∆ρ sao cho
f (y) = qρ := min{f (x) : x ∈ ∆ρ }.
Vì tập nghiệm của (2.2) là khác rỗng và compact, nên tồn tại yρ ∈ ∆ρ
sao cho
yρ = min{ y : y ∈ ∆ρ , f (y) = qρ }.
Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại ρˆ > 0 sao cho
yρ < ρ với mọi ρ
21

ρˆ.

(2.3)


Thật vậy, nếu điều đó không xảy ra, ta sẽ tìm được một dãy tăng
ρk → +∞ sao cho với mọi k tồn tại yρk ∈ ∆ρk sao cho
f (yρk ) = qρk ,

yρk = ρk .

(2.4)

Để đơn giản chúng ta viết y k thay cho yρk . Vì y k ∈ ∆(A, b) nên
Ai y k

bi với i = 1, ..., m, ở đó Ai ký hiệu cho dòng thứ i của ma trận

A và bi kí hiệu cho thành phần thứ i của b. Với i = 1, vì dãy {A1 y k }
bị chặn dưới, nên ta có thể chọn được một dãy con {k } ⊂ {k} sao cho

lim A1 y k tồn tại (giới hạn đó có thể là +∞). Không giảm tổng quát

k →∞

chúng ta có thể giả sử {k } ≡ {k}, ta có dãy {A1 y k } hội tụ. Tương
tự, với i = 2, tồn tại một dãy con {k } ⊂ {k} sao cho lim A2 y k tồn
k →∞

tại. Không giảm tổng quát ta có thể giả sử rằng {k } ≡ {k}. Tiếp tục
quá trình trên tới khi i = m ta tìm được một dãy con {k } ⊂ {k} sao
cho tất cả các giới hạn
lim Ai y k (i = 1, ..., m),

k →∞

đều tồn tại. Để kí hiệu đơn giản hơn, ta giả sử {k } ≡ {k}. Đặt
I = {1, 2, ..., m}, I0 = {i ∈ I : lim Ai y k = bi } và
k→∞

I1 = I\I0 = {i ∈ I : lim Ai y k > bi }.
k→∞

Hiển nhiên, tồn tại ε > 0 sao cho
lim Ai y k ≥ bi + ε với mọi i ∈ I1 .

k→∞

Theo (2.4), (y k )/ρk = 1 với mọi k. Vì hình cầu đơn vị trong Rn là
một tập compact, nên không giảm tổng quát có thể giả sử rằng dãy
yk

hội tụ đến υ ∈ Rn khi k → ∞. Dễ thấy υ = 1. Khi ρk → +∞,
ρk
22


với mọi i ∈ I0 ta có
0 = lim (Ai y k − bi )
k→∞

Ai y k − bi
)
k→∞
ρk
−bi
yk
= lim (Ai ) + lim (
) = Ai υ.
k→∞
k→∞ ρk
ρk
= lim (

Tương tự, với mỗi i ∈ I1 ta có
Ai y k − bi
0 ≤ lim inf (
)
k→∞
ρk
−bi
Ai y k

+
)
= lim inf (
k→∞
ρk
ρk
yk
−bi
= lim (Ai ) + lim (
) = Ai υ.
k→∞
k→∞ ρk
ρk
Do đó
Ai υ = 0 với mọi i ∈ I0 , Ai υ ≥ 0 với mọi i ∈ I1 .

(2.5)

Từ đó suy ra υ là một hướng lùi xa của tập lồi đa diện ∆(A, b). Nhắc
lại, một vectơ khác vectơ không υ ∈ Rn được gọi là một hướng lùi xa
của một tập lồi khác rỗng Ω ⊂ Rn nếu
x + tυ ∈ Ω với mọi t ≥ 0 và x ∈ Ω.
Từ (2.5), suy ra
y + tυ ∈ ∆(A, b) với mọi t ≥ 0 và y ∈ ∆(A, b).
Vì
f (y k ) = f (yρk ) = qρk
= min{f (x) : x ∈ ∆ρk }
= min{f (x) : x ∈ ∆(A, b) ∩ B(0, ρk )}
23

(2.6)


và dãy tăng ρk tiến đến +∞, nên dãy {f (y k )} là dãy không tăng và
hội tụ tới θ. Do đó, với k đủ lớn, ta có
θ − 1 ≤ f (y k ) ≤ θ + 1.
Sử dụng công thức của f ta có thể viết lại bất đẳng thức trên như
sau
θ−1≤

1 k T k
(y ) Qy + cT y k ≤ θ + 1.
2

Chia các biểu thức trên cho ρ2k và chuyển qua giới hạn khi k → ∞ ,
1
ta có 0 ≤ υ T Qυ ≤ 0. Do đó
2
υ T Qυ = 0.

(2.7)

Theo (2.6), ta có
y k + tυ ∈ ∆(A, b) với mọi t ≥ 0 và k ∈ N,
ở đó N là tập hợp các số nguyên dương. Sử dụng (2.7), ta có
1 k
(y + tυ)T Q(y k + tυ) + cT (y k + tυ)
2
1
= (y k )T Qy k + cT y k + t((y k )T Qυ + cT υ).

2

f (y k + tυ) =

Chú ý rằng
(y k )T Qυ + cT υ ≥ 0, với mọi k ∈ N.

(2.8)

Thật vậy, nếu (2.8) là sai thì f (y k + tυ) → −∞ khi t → +∞, điều
này mâu thuẫn với giả sử θ ∈ R.
yk
yk
→ υ nên tồn tại k1 ∈ N sao cho
,υ > 0
Vì υ, υ = 1 và
ρk
ρk
với mọi k ≥ k1 . Với bất kì chỉ số cố định k ≥ k1 , ta có y k , υ > 0.
Do đó
y k − tυ

2

= yk

2

− 2t y k , υ + t2 υ
24

2

< yk

2

,

(2.9)


với mọi t > 0 đủ nhỏ. Theo (2.5),
Ai (y k − tυ) = Ai y k ≥ bi với mọi i ∈ I0 .
Vì lim Ai y k ≥ bi + ε với mọi i ∈ I1 , nên tồn tại k2 ∈ N, k2 ≥ k1 , sao
k→∞
ε
cho Ai y k ≥ bi + với mọi k ≥ k2 và i ∈ I1 . Cố định một chỉ số k ≥ k2
2
ε
và chọn δk > 0 đủ nhỏ để tAi υ ≤ với mọi i ∈ I1 và t ∈ (0, δk ) (trong
2
trường hợp này I1 khác rỗng). Do đó
Ai (y k − tυ) ≥ bi +

ε
− tAi υ ≥ bi ,
2

với mọi i ∈ I1 và t ∈ (0, δk ). Từ các chứng minh trên có thể rút ra kết

luận
y k − tυ ∈ ∆(A, b) với mọi

t ∈ (0, δk ).

Kết hợp với (2.9) ta thu được y k − tυ ∈ ∆(A, b) và
y k − tυ < y k = ρk ,

(2.10)

với mọi t ∈ (0, δk ) đủ nhỏ. Từ (2.7) và (2.8) suy ra
f (y k − tυ) = f (y k ) − t((y k )T Qυ + cT υ) ≤ f (y k ).
Vì vậy y k − tυ là một nghiệm của bài toán
min{f (x) : x ∈ ∆ρk }.

(2.11)

Từ bất đẳng thức (y k − tυ) < y k trong (2.10) suy ra y k không
thể là nghiệm của (2.11) với chuẩn nhỏ nhất, điều này vô lý. Ta đã
chỉ ra được tồn tại ρˆ > 0 thỏa mãn (2.3).
Tiếp theo ta chỉ ra
tồn tại ρ ≥ ρˆ sao cho qρ = θ.
25

(2.12)