Chuyên đề Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. Lý thuyết.
1) Định nghĩa :
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ( D ⊆ ¡ )
a) Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho
f ( x) ≤ f ( x0 ) ∀ x ∈ D thì số M = f ( x0 ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f
trên D
f ( x)
Kí hiệu: M = Max
x∈D

b) Nếu tồn tại một điểm x ∈ D sao cho f ( x) ≥ f ( x0 ) ∀x ∈ D thì số m = f ( x0 )
được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D
Kí hiệu m = min f ( x)
x∈D

2) Quy ước
Khi nói giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số f ( mà không nói “trên tập
D” ) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của f trên tập xác định của nó
3) Cách tính GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
* Định lí:
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất trên đoạn đó.
4) Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Phương pháp 1: sử dụng bảng biến thiên hàm số. Đây là phương pháp chung cho
các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ta làm theo
các bước sau:
Tìm tập xác định của hàm số.

Tìm y', cho y' = 0 giải nghiệm.


Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
VD1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − x − 4


Giải
Tập xác đinh: D = [4;+∞)
y ' = 1−

1
2 x−4

y ' = 0 ⇔ 1−

1
=0
2 x−4

Bảng biến thiên:


Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số
là 154 và không có giá trị lớn nhất vì hàm số tăng lên +∞ .
17
15
x=
min y =
Vậy [4,
tại
+∞ )
4

4
Hàm số không có giá trị lớn nhất.
Phương pháp 2: áp dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số y = f(x) trên [a, b]. Ta làm theo các bước sau:

Tìm tập xác định của hàm số.

Tìm y'

Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn thuộc khoảng (a, b) mà tại đó y ' = 0 hoặc y'
không xác định.

Tính các giá trị f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )
Kết luận: Max f ( x ) = max{ f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )}
[ a ,b ]

min f ( x) = min{ f ( a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )}
[ a ,b ]

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x +

4
trên
x

đoạn [1,3]. (THPT Quốc gia 2015)
Giải
Tập xác định: D = ¡ \{0}
4
f ′( x ) = 1 − 2

x
f ′( x) = 0 ⇔ 1 −

4
=0
x2

⇔ x = 2 ∈ ( 1,3) hoặc ⇔ x = −2 ∉ ( 1,3 )
13
f (1) = 5 ; f (2) = 4 ; f (3) =
3
f ( x) = 5 tại x = 1; min f ( x) = 4 tại x = 2.
Vậy Max
[1,3]
[1,3]
Lưu ý: một số bài toán chỉ yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số mà không nói trên đoạn nào nhưng nếu tập xác định của hàm số đó là
một đoạn thì ta vẫn có thể sử dụng phương pháp 2.
II. Bài tập


BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
Phương pháp giải:
1) Dùng định nghĩa
2) Áp dụng bất đẳng thức
( a1b1 +a2b2 ) 2 ≤ (a12 +a2 2 )(b12 +b2 2 )

BĐT Bunhiacopxki:
3) Miền giá trị
4) Phương pháp Hàm số

Dạng 1. Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x) trên khoảng (a, b) ;
nửa khoảng (a, b ] ; [a; b) hoặc a = −∞ , hoặc b = +∞
Phương pháp: Sử dụng đạo hàm (Phương pháp hàm số)
- Lập bảng biến thiên
- Nhận xét
VD. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f (x) = x 2 − 4 x + 5
- Tập xác định D = ¡

f '( x) = 2 x − 4
f '( x) = 0 ⇔ x = 2
x
f’(x)

−∞

-

+∞

+∞

2
0

+

+∞

f(x)

1
⇒ Min f ( x ) = 1 ⇔ x = 2
¡

Hàm số không có giá trị lớn nhất
BÀI TẬP. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau
1.

f ( x) = x + 4 − x 2

trên [1,2)

∀x ∈ [1, 2) ta có

f '( x) = 1 −

x
4 − x2

=

4 − x2 − x
4 − x2

f '( x ) = 0 ⇔ 4 − x 2 = 0

 x ≥ 0
 x≥0
⇔
⇔

⇔ x = 2 ∈ [1, 2)

2
2
4
−
x
=
x
x
=
±
2



BBT
x

1

2

2


f’(x)

+

0

-

2 2

f(x)
2

1+ 3

⇒ Max f ( x) = 2 2 ⇔ x = 2
[1,2)

2.

f (x) =

x2 + 1
x2

TXD: D = ¡
Ta có f '( x) =

2 x( x 2 + x + 1) − ( x 2 + 1)(2 x + 1)
x2 − 1
=
( x 2 + x + 1)2
( x 2 + x + 1)2

f '( x ) = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1
−∞

x
f '( x )
f ( x)

+

-1
0
2

-

+∞

1
0

+
1

1

2
3

Max f ( x) = 2 ⇔ x = −1
¡

min f ( x) =

2
⇔ x =1
3

3.

3x 2 − x + 1
x2 − x +1

¡

f ( x) =

TXĐ: D = ¡
−2 x 2 + 4 x
f '( x) = 2
( x − x + 1) 2
x = 0
f '( x) = 0 ⇔ −2 x 2 + 4 x = 0 ⇔ 
x = 2
−∞

x
f '( x )
f ( x)

-

0
0

3

1
11
⇔x=2
¡
3
min f ( x ) = 1 ⇔ x = 0
Max f ( x) =
¡

+

2
0
11
3

+∞

-

2


f ( x) =

4.

x
x+2

trên ( −2, 4]

2
> 0 ∀x ∈ (−2, 4]
( x + 2) 2

Ta có f '( x) =
BBT:

Max f ( x ) =
( −2,4]

2
⇔x=4
3

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
5.

f ( x ) = x 4 −8 x 2 +16

trên [-1.3]

f '( x) = 4 x 3 − 16 x

 x = ±2  x = 2 ∈ [ − 1,3]
f '( x) = 0 ⇔ 
⇒
 x = 0 ∈ [ − 1,3]
 x=0
−∞
x
0
f '( x )
+
0
f ( x)
16

-

2
0

+∞

+
25

0
9
Max f ( x) = 25 ⇔ x = 3
[ −1,3]

Min f ( x) = 0 ⇔ x = 2

[ −1,3]

6.

f ( x) = x −1 +

f '( x) = 1 −

4
x +2

trên (-1;+ ∞ )

4
( x + 2) 2

 x=0
⇒ f '( x) = 0 ⇔ 
⇒ x = 0 ∈ (−1, +∞)
 x = −4
x
-1
0
f '( x )
0
f ( x)
2

1

min f ( x) = 1 ⇔ x = 0 . Hàm sô không có GTLN

( −1, +∞ )

7. f ( x) = 2 x − x 2
TXĐ: D = [0, 2]
f '( x ) =

1− x
2 x − x2

; f '( x) = 0 ⇔ x = 1

+∞

+

+∞


BBT:
x

0

f '( x )
f ( x)

1
0

+

2
-

1
0

Max f ( x ) = 1 ⇔ x = 1

0

[0,2]

x = 0
min f ( x) = 0 ⇔ 
[0,2]
x = 2

Dạng 2. Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x) trên đoạn [a,b]
Cách 1. Lập bảng biến thiên
Cách 2.

Tính f '( x)

Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn ∈ [a, b] mà tại đó f '(x i ) = 0 hoặc f '( xi ) không
xác định.

Tính các giá trị f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )

Kết luận: Max f ( x) = max{ f ( a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )}
[ a ,b ]

min f ( x) = min{ f ( a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )}
[ a ,b ]

VD. Tìm GTLN, GTNN của
Có
 x = 0 ∈ [ − 1,3]
f '( x) = 0 ⇔  x = 2 ∈ [ − 1,3]
 x = −2 ∉ [ − 1,3]

BÀI TẬP. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau
1.


Đặt
Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của
1
1
f '(t ) = t − ; f '(t ) = 0 ⇔ t = ∈ [ − 1,1]
2
2
3
1
1 3
f ( −1) = ; f (1) = ; f ( ) =
2
2
2 8

1
3
⇒ max f (t ) = max{f (−1), f (1), f ( )}= ⇒ t = −1
[ −1,1]
[ −1,1]
2
2
1
1
min f (t ) = min{f ( −1), f (1), f ( )}= ⇒ t = 1
[ −1,1]
[ −1,1]
2
2
3
π
⇒ max y = ⇒ t = −1 ⇒ cos 2 x = −1 ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ )
¡
2
2
1
⇒ min y = ⇒ t = 1 ⇒ cos 2 x = 1 ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ )
¡
2
2.
TXĐ

Đặt

Bài toán trở thành tìm Max, Min của

y = cos 2 x + cos 2 (

3.

π
3

π
π
y = cos 2 x + cos 2 ( + x) − cos x.cos( + x)
3
3
π
π
= [ cos x + cos( + x)]2 − 3cos x.cos( + x)
3
3
π
π
1
π
π
= [2 cos( + x).cos ]2 − 3. .[cos(2 x + ) + cos ]
6
6
2
3
3

π 3
π 3
= 3cos 2 ( x + ) − cos 2( x + ) −
6 2
6 4
π 3
π
3 3
= 3cos 2 ( x + ) − [2 cos 2 ( x + ) − 1] − =
6 2
6
4 4
3
3
⇒ Max y = ; min y =
R
4 ¡
4
4.
y =cos 3 x −6 cos 2 x +9 cos x +5

Đặt

cos x = t , t ∈ [ − 1,1]
f (t ) = t 3 − 6t 2 + 9t + 5 / [ −1,1]

Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của f(t) trên [-1,1]

+ x ) − cos x.cos(

π
3

+ x)


f '(t ) = 3t 2 − 12t + 9
 t = 1∈ [ − 1,1]
f '(t ) = 0 ⇔ 
t = 3 ∉ [ − 1,1]
f (1) = 9; f (−1) = −11
⇒ Max f (t ) = 9 ⇔ t = 1
[ −1,1]

Min f (t ) = −11 ⇔ t = −1
[ −1,1]

⇒ Max y = 9 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π
¡

min y = −11 ⇒ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π
¡

5.

y =sin 3 x −cos 2 x +sin x +2

⇔ y = sin 3 x + 1 − cos 2 x + sin x + 1
⇔ y = sin 3 x + 2sin 2 x + sin x + 1
Đặt

t = sin x; t ∈ [ − 1,1]
⇒ y = t 3 + 2t 2 + t + 1

Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của f (t ) = t 3 + 2t 2 + t + 1/ [ − 1,1]
f '(t ) = 3t 2 + 4t + 1
 t = −1
f '(t ) = 0 ⇔ 
t = − 1
3


Max f (t ) = 5 ⇔ t = 1

[ −1,1]

f (1) = 5  ⇒
23
1
min
f
(
t
)
=
⇔
t
=
−


1
23 
[ −1,1]
27
3
f (− ) =
3 27
Ta được
π
Max y = 5 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π
¡
2
1

x
=
arcsin(
−
) + k 2π

23
1
3
min y =
⇔ sin x = − ⇔ 
¡
27
3
 x = π − arcsin(− 1 ) + k 2π


3
f (−1) = 1

® Một số bài tập khác
Bài 1: Tùy theo các giá trị của tham số a. Tìm GTLN và GTNN của hàm
số: f ( x) = sin 6 x + cos6 x − a.sin x.cos x


Giải
TXD: D= R

f ( x) = (sin 2 x + cos 2 x) 2 − 3sin 2 x.cos 2 x + a.sin x.cos x
3
a
= 1 − sin 2 2 x + sin 2 x
4
2
Đặt sin 2 x = t , t ∈ [ − 1,1]
Bài toán trở thành tìm theo a GTLN, GTNN của hàm số
3
a
f (t ) = 1 − t 2 + t
4
2

f '(t ) =

−3 a
t+
2

2

f '(t ) = 0 ⇔ t =
TH1: Nếu

/ [-1;1]

a
3

a
≤ −1 ⇔ a ≤ −3
3

⇒ f '(t ) ≤ 0 / [ -1;1]

 hàm số f(t) nghịch biến / [-1;1]
1 a
 max f (t ) = f ( −1) = − ⇒ t = −1
[ −1,1]
4 2
1 a
min f (t ) = f (1) = + ⇒ t = 1
[ −1,1]
4 2
TH2: Nếu

a
≥1⇔ a ≥ 3
3

⇒ f '(t ) ≥ 0 / [ -1;1]
 hàm số f(t) đồng biến / [-1;1]
1 a
min f (t ) = f ( −1) = − ⇒ t = −1
[ −1,1]
4 2

1 a
max f (t ) = f (1) = + ⇒ t = 1
[ −1,1]
4 2
TH3: −1 <

a
< 1 ⇔ −3 < a < 3 BBT
3


t

1

+

f’(t)

a
3

1

0
1+

f(t)

-

a2
12

1 a
−
4 2

1 a
+
4 2

a2
a
 max f (t ) = f (1) = 1 + ⇒ t =
[ −1,1]
12
3

1 a 1 a
− ≥ + ⇔a≤0
4 2 4 2

1 a
⇒ min f (t ) = + ⇔ t = 1
[ −1,1]
4 2
1 a 1 a
− ≤ + ⇔a>0
4 2 4 2
• Nếu
1 a
⇒ min f (t) = − ⇒ t = −1
[ −1,1]
4 2
• Nếu

a≥3
−3 < a ≤ 0
...
Kết luận :
0a≥3

Bài 2 : Tìm GTNN và GTLN của biểu thức sau :
A = (4 x 2 + 3 y )(4 y 2 + 3x ) + 25 xy
Biết x,y là các số thực không âm và thỏa mãn:
Giải
A = 16 x y + 12( x + y ) + 9 xy + 25 xy
2

Có

2

3

3

= 16 x 2 y 2 + 12( x + y )( x 2 + y 2 − xy ) + 34 xy
= 16 x 2 y 2 + 12(1 − 3 xy ) + 34 xy

vì x + y = 1

= 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12
Do x,y không âm => x + y ≥ 2 xy ⇔ 0 ≤ xy ≤

1
4

x + y =1


1
Đặt xy = a , điều kiện a ∈ [0, ]
4

Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của
1
f ( a) = 16a 2 − 2a + 12 / [0, ]
4
f '(a ) = 32 a − 2
f '(a ) = 0 ⇔ a =

1
16

1
25
1
191
f (0) = 12; f ( ) = ; f ( ) =
4
2
16
16



min
f ( a) =
1

191
1
1
⇔ a = ∈ [0, ]
16
16
4

max f ( a ) =

25
1
1
⇔ a = ∈ [0, ]
2
4
4

[0, ]
4

1
[0, ]
4


2± 3
1
x=


191
 xy =

4
min A =
/ [0,1] ⇔ 
⇔
16
[0,1]

16
 x + y = 1  y = 2 m 3


4
1

25
1
1
 xy =
max A =
/ [0, ] ⇔ 
4 ⇔x= y=
[0,1]
2
4
2
 x + y = 1
Bài 3 : Tìm GTNN và GTLN của hàm số

y=

sin x + cos x
(1)
sin x − 2 cos x + 3

TXĐ : D = ¡
∀x ∈ ¡ , (1) ⇔ y.(sin x − 2 cos x + 3) = sin x + cos x
⇔ sin x( y − 1) − cos x(2 y − 1) = −3 y (2)

Để tồn tại GTLN,NN của hàm số y ⇔ (2) có nghiệm x


⇔ ( y − 1) 2 + (2 y − 1) 2 ≥ (−3 y ) 2
⇔ y4 + 4 y2 − 2 y − 4 y +1+1 ≥ 9 y2
⇔ 4 y2 − 2 y − 2 ≤ 0
1
⇔ − ≤ y ≤1
2

1
sin x + cos x
1
⇔
=−
¡
2
sin x − 2 cos x + 3
2
⇔ 2sin x + 2 cos x = − sin x + 2 cos x − 3
π
⇔ 3sin x = −3 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = − + kπ
2

⇒ min y = −

sin x + cos x
=1
¡
sin x − 2 cos x + 3

⇔ sin x + cos x = sinx − 2 cosx + 3
cosx = 1 ⇔ x = k 2π

⇒ Max y = 1 ⇔