KHỬ PHÂN KỲ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CẮT XUNG LƯỢNG LỚN TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
…………………… …………………..

Nguyễn Thị Thu

KHỬ PHÂN KỲ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CẮT XUNG
LƯỢNG LỚN TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2012

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
…………………… …………………..

Nguyễn Thị Thu

KHỬ PHÂN KỲ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CẮT XUNG LƯỢNG LỚN
TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:

GS.TSKH.TOÁN LÝ. NGUYỄN XUÂN HÃN

Hà Nội - 2012

2


Lêi c¶m ¬n
Luận văn này được thực hiện tại bộ môn Vật lý lý thuyết thuộc khoa Vật lý Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội trong khuôn khổ
chương trình đào tạo thạc sĩ khoa học của nhà trường, dưới sự hướng dẫn khoa
học trực tiếp của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn.
Lời đầu tiên, em xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy
giáo, GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp
giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa
học này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập thể
cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết đã giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng
góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn
này. Em cũng xin được cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa đã quan tâm và tạo mọi
điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng, em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình đã tạo điều kiện tốt nhất
cho em tiếp tục nghiên cứu khoa học, những bạn học cùng lớp, những đồng nghiệp
tốt bụng đã có những thảo luận khoa học và đóng góp quý báu, chân thành góp ý
cho em trong thời gian hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Học viên

Nguyễn Thị Thu

3

MỤC LỤC
Tra
ng
Mở đầu ........................................................................................................................1
CHƯƠNG I. CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÒNG
1.1. S-ma trận và giản đồ Feynman ...........................................................................4
1.2. Hàm Green và hàm đỉnh ......................................................................................6
1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feyman .....................................................................9
CHƯƠNG II . TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG
2.1. Giản đồ phân cực của photon..............................................................................15
2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron..............................................................22
2.3. Hàm đỉnh bậc ba..................................................................................................32
2.4. Đồng nhất thức Ward – Takahashi......................................................................42
CHƯƠNG III: TÁI CHUẨN HÓA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƯỢNG CỦA
ELECTRON
3.1. Kỳ dị trong lý thuyết trường lượng tử.................................................................44
3.2. Tái chuẩn hóa điện tích.......................................................................................46
3.3. Tái chuẩn hóa khối lượng ...................................................................................50
3.4. Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED......................................................58
KẾT LUẬN ...............................................................................................................60
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................61
PHỤ LỤC A: Metric giả Euclide.............................................................................63
PHỤ LỤC B: Phương pháp cắt xung lượng lớn.......................................................68
PHỤ LỤC C: Khử phân kỳ trong mô hình L int = gf 3 ...........................................74

4

DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không...........7
Hình 1.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng lượng
riêng..............................................................................................................................8
Hình 1.3. Đỉnh riêng đầy đủ Gm và sơ đồ xương L * m.Các đường ngoài bị bỏ đi......8
Hình 1.4. Giản đồ năng lượng riêng của electron......................................................12
Hình 1.5. Giản đồ năng lượng riêng của photon........................................................12
Hình 1.6. Giản đồ đỉnh bậc 3......................................................................................12
Hình 1.7. Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng........................................................12
Hình 2.1. Giản đồ phân cực photon...........................................................................15
Hình 2.2. Giản đồ năng lượng riêng của electron......................................................22
Hình 2.3. Giản đồ đỉnh...............................................................................................32
Hình 2.4. Chứng minh bằng giản đồ đồng nhất thức Ward. Dấu chéo ký hiệu việc
thay đường photon với xung lượng bằng không vào đường electron.......................43
Hình 3.1. Tán xạ hai electron khá nặng.....................................................................47
Hình 3.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng lượng
riêng............................................................................................................................50
Hình 3.3.......................................................................................................................51
Hình 3.4.......................................................................................................................53
Hình 3.5.......................................................................................................................53
Hình 3.6. Tán xạ ánh sáng –ánh sáng bậc bốn...........................................................54
Hình 3.7. Tán xạ electron với trường ngoài...............................................................56
Hình 3.8 Tán xạ electron ở trường ngoài để tính moment từ dị thường...................57
Hình 3.9. Đỉnh đầy đủ có thể biểu diễn bằng tích của đỉnh riêng đầy đủ và các hàm
truyền đầy đủ..............................................................................................................58

Hình C.1..........................................................................................................74
Hình C.2..........................................................................................................74

5


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Trang
Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng......................5
Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED.............................................................13
Sự khác nhau cơ bản giữa cơ học lượng tử và lý thuyết trường................................45
Ma trận Dirac có sự liên hệ với nhau.........................................................................65

6


MỞ ĐẦU
Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn
hóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá
tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ theo hằng

e2
1
số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn a =
. Trong các lý thuyết trường
=
4p 137
tương tác thì QED là lý thuyết được xây dựng hoàn chỉnh nhất. Mô phỏng các
phương pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED người ta có thể xây dựng
công cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) –
lý thuyết tương tác giữa các hạt quark - gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thống
nhất các dạng tương tác như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh và được gọi là
mô hình chuẩn [5, 6,7, 14,17, 22].

Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp của lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp
các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thu
được, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng
với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo. Các giản đồ này diễn tả sự tương
tác của hạt với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm
hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích.
Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân phân kỳ phải tiến
hành theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được giải
thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trình
vật lý là hữu hạn. Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ
trọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu,
tìm hiểu và giải quyết.

7


Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng của
electron đầu tiên được Kraumer – Bethe, sau được các tác giả Schwinger Feynman
Tomonaga hiện thực hóa trong QED [14,20]. Cách xây dựng chung
S - ma trận và phân loại các phân kỳ thuộc Dyson F [10]. Cách chứng minh tổng
quát sự triệt tiêu phân kỳ trong các số hạng được tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết
nhiễu loạn do Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8]. Trong QED sử dụng việc tái
chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân
kỳ trong tính toán, kết quả ta thu được thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc
trưng cho tương tác (bao gồm tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của
hạt). Khi so sánh với thực nghiệm kết quả thu được, khá phù hợp với số liệu thực
nghiệm. Lý thuyết trường lượng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối
với đặc trưng của các quá trình vật lý, được gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá
[7,11,18,22]. Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trường hiện

nay bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars,
phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp R - toán tử do N.N
Bogoliubov khởi xướng [8].
Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại
bằng phương pháp cắt xung lượng lớn của hạt ảo trong gần đúng một vòng kín và
minh họa quá trình tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron trong QED ở
bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý.
Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu tham
khảo và một số phụ lục.
Chương 1: Các giản đồ phân kỳ một vòng.
Chương này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Trong mục
1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả các quá trình vật lý.
Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của photon, electron, và hàm đỉnh

8


trong QED. Phân tích các bậc phân kỳ trong QED ở bậc thấp nhất được trình bầy ở
mục 1.3. Phương pháp cắt xung lượng lớn được giới thiệu và các ví dụ minh họa.
Chương 2: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp cắt
xung lượng lớn.
Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng phương
pháp cắt xung lượng lớn trong QED. Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai của
photon – giản đồ năng lượng riêng của photon. Trong mục 2.2 xem xét giản đồ
năng lượng riêng của electron. Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất.
Đồng nhất thức Ward –Takahashi được chứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4.
Chương 3: Tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng trong QED.
Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED. Mục 3.1
dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron. Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa
khối lượng. Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh. Chứng minh một cách định tính: trong

việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, các tích phân phân kỳ “biến
mất” vào điện tích vật lý và khối lượng vật lý của electron. Trong mục 3.4 trình bầy
việc chứng minh việc tái chuẩn hóa trong gần đúng một vòng QED.
Phần kết luận: Tóm tắt lại các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận
khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương tự.
Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1
và metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [8]) tất cả bốn

(

r

)

0
thành phần véctơ 4 - chiều ta chọn là thực A = A , A gồm một thành phần thời

gian và các thành phần không gian, các chỉ số m= ( 0,1, 2, 3) ,và theo quy ước ta
gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4 - chiều và ký hiệu các thành phần này
với chỉ số trên.

9


CHƯƠNG 1
CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÒNG
Trong chương này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến. S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, các
giản đồ phân kỳ thường gặp trong gần đúng một vòng.
1.1. S - ma trận và giản đồ Feynman

Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố của S –
ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng đầu và các trạng thái cuối của quá trình

(

S = T exp i ò L int (x )d 4x

vật lý:

(

)

)

(1.1)

(

)

m
m
Trong đó L int (x ) = N J (x )A m(x ) = e 0N y (x ) g y(x )A m(x ) là Lagrangian

của tương tác điện từ, e 0 là điện tích “trần” của electron. Mỗi đỉnh tương tác sẽ có
ba đường vào ra, trong đó có một đường photon, hai đường electron hay positron.

zn
z2

= 1+ z +
+ ... ta có thể viết
Sử dụng phép khai triển hàm mũ e = å
n
!
2!
n =0
z

¥

biểu thức S – ma trận (1.1) dưới dạng:

S =S

( 0)

+S

( 1)

+S

( 2)

+ ... =
2

= 1 + iT

òL

( i) T
(x )d x +
4

int

2!

òL

(1.2)
4

int

4

(x )L int (y )d xd y + ....

Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dưới dạng:
4

< f | S | i > = dfi + i ( 2p) d4 ( Pf - Pi ) M f i

10

(1.3)

Ở đây < i | và < f | là các véctơ trạng thái đầu và cuối của hệ, M f i là biên độ
xác suất dời chuyển, có ý nghĩa trong việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã
hay thời gian sống của hạt. Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn năng xung lượng
của quá trình vật lý. Thay công thức (1.2) vào < f | S | i > ta có:

< f | S | i > =< f | S

( 0)

|i > + < f |S

=< f | 1 | i > + iT < f |
+

( i)

2

2!

T < f |

òL

int

( 1)

òL

|i > + < f |S
int

( 2)

| i > + ...

(x )d 4x | i > +

(1.4)

(x )L int (y )d 4xd 4y | i > + ....

Sử dụng khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta có
thể viết được các biểu thức tường minh cho từng số hạng của khai triển nhiễu loạn
cho các quá trình như sau: tán xạ của electron (hay positron) với trường điện từ
ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon trên
electron, hay sự hủy cặp electron – positron và quá trình tán xạ không đàn
tính,..v.v..
Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng:
Hạt và trạng thái của
nó

Thừa số trong yếu tố ma
trận

Electron ở trạng thái
đầu

( 2p)
Electron ở trạng thái

cuối

1

2

2
æm ö
÷
ç
÷
u r ( p)
ç
0÷
ç
÷
èp ø

2

2
æm ö
ç
÷
u r ( p)
ç 0÷
÷

÷
ç
èp ø

1
3

1

1

( 2p)

3

11

Yếu tố giản đồ


Positron ở trạng thái
đầu

( 2p)
Positron ở trạng thái

cuối

đầu hay hay ở trạng thái
cuối

Thế điện từ ngoài
Chuyển động của

3

2

2

2
æm ö
÷
ç
u r ( - p)
ç 0÷
÷
÷
ç
èp ø

1

1

( 2p)

Photon ở trạng thái

1

2
æm ö
÷
ç
÷
u r ( - p)
ç
0÷
ç
÷
èp ø

1

3

1

( 2p)

1
3

theo

ext
Am
(k)

S ( p) =

chiều

=

ngược lại 2 ® 1 )
Chuyển động photon
giữa hai đỉnh
Đỉnh cùng với chỉ số
lấy tổng m

2k 0

2

electron từ 1 ® 2 (hay
positron

l
em
( k)

i
4

( 2p)
i

( 2p)

4

1
=
pˆ - m
pˆ + m
p2 - m 2

g mn 1
D (k ) =
4
2
( 2p) k
mn

4

( 4)

ie gm( 2p) d

(p

2

- p1 - k )

1.2. Hàm Green và hàm đỉnh
Trong QED các giản đồ Feynman sau đây:
• Các phần năng riêng của photon

• Các phần năng lượng riêng của của electron

12


• Các phần đỉnh
• Phần tán xạ photon – photon
diễn tả sự tương tác của hạt với chân không vật lý. Các giản đồ này liên quan đến
việc tính các số hạng bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ
thể hơn là tính hàm Green của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong lý
thuyết tương tác giữa trường electron – positron với trường điện từ.
Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của
nó là giản đồ liên kết mạnh1 của một hạt.
Hàm Green của photon, được xác định bằng công thức:

ù0 >
G mn(x - y ) = i < 0 T é
êA m(x )A n(y )û
ú
ë

(1.5)

Trong đó | 0 > là véctơ trạng thái chân không của các trường tương tác, còn

A m(x ) và An(y ) là các toán tử trường điện từ trong biểu diễn Heisenberg Hàm
Green của photon (1.5) có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:

i Π γµ

i Π γµ
Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân
không
Hàm Green của electron, được xác định tương tự bằng công thức sau:

13


G ab ( x - y ) = i < 0 | T é
y (x )yb (y )ù
|0>
ê
ú
ëa
û

(1.6)

Trong đó ya (x ) , yb (y ) là các toán tử trường electron – positron trong biểu
diễn Heisenberg. Hàm Green của electron có thể được biểu diễn bằng tổng các giản
đồ sau:

iΣ
Hình 1.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng
lượng riêng
Hàm đỉnh được cũng được xác định bằng:

(

)

Gmab ( z , x , y ) =< 0 T Am( z ) ya ( x ) y b (y ) 0 >

(1.7)

Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng :

Hình 1.3. Đỉnh riêng đầy đủ Gm và sơ đồ xương L * m.Các đường ngoài bị bỏ đi
1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman

14


Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc
chung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản
đồ.
Tất cả các tích phân này đều có dạng:

J = ò F ( p1, p2,..., pn )d 4 p1d 4 p2 ...d 4 pn

(1.8)

Trong đó: F ( p1, p2,..., pn ) là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số
đường xung lượng trong. Tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của fermion

- electron ta có hàm truyền S ~

photon ta có hàm truyền D ~

Ta gọi:

1
, tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của
p

1
.
p2

Fe : số đường xung lượng trong của electron.

N e : số đường xung lượng ngoài của electron.
Fp : số đường xung lượng trong của photon.
N p : số đường xung lượng ngoài của photon.
v : số đỉnh.
Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trong
bằng số đỉnh: n = v , đồng thời lưu ý hai điểm sau:

15


+ Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tổng số
đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó

v = 2Fp + N p

nối với hai đỉnh:

(1.9)

+ Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh bằng

2v = 2Fe + N e

một nửa số đường xung lượng electron:

(1.10)

Từ (1.9) và (1.10) ta thu được:

1
1
Fp = v - N p
2
2
Fe = v -

(1.11)

1
N
2 e

(1.12)

Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào ra phải
tuân theo định luật bảo toàn năng xung lượng. Định luật này được thể hiện ở dạng
của hàm delta. Theo tính chất của hàm delta:

ò f ( p)d( p )d

0

4

p = f ( p0 ) thì số biến

độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống.
Nếu có n đường trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là
(n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi. Tổng số đường trong là (Fe + Fp ) .
Vậy số các biến độc lập sẽ là:

K 1 = (Fe + Fp ) - (n - 1)
Do S ~

1
1
và D ~ 2 , bậc luỹ thừa của mẫu sẽ là:
p
p

16

(1.13)


K 2 = 2Fp + Fe

(1.14)

Thay (1.11) và (1.12) vào (1.13) và (1.14) ta thu được:

1
1
1
K1 = v - N p - Ne + 1
2
2
2
K 2 = 2v - N p -

(1.15)

1
N
2 e

(1.16)

Với K 1 là số biến độc lập, K 2 là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính:

J =ò

(d 4 p )
( p)

K1

(1.17)

K2

Đưa vào tham số mới: K = K 2 - 4K 1

(1.18)

Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu được:

K =

3
N + Np - 4
2 e

(1.19)

Từ tham số này ta có thể đưa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17):
+ Nếu K > 0 : tích phân này hội tụ.
+ Nếu K £ 0 : tích phân này phân kỳ.
- K = 0 : phân kỳ lôgarit.
- K = - 1 : phân kỳ tuyến tính.
- K = - 2 : phân kỳ bậc hai.
- K = - 3 : phân kỳ bậc ba....

17


Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED, các giản đồ Feynman tiêu biểu
chứa phân kỳ có dạng cho dưới đây:

Hình 1.4. Giản đồ năng lượng

Hình 1.5. Giản đồ năng lượng

riêng của electron

riêng của photon

Hình 1.7. Quá trình tán xạ

Hình 1.6. Giản đồ đỉnh bậc 3

ánh sáng – ánh sáng
+ Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:
Hình 1.4: Số đường phôtôn ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc
phân kỳ là: K = - 1 Þ Phân kỳ tuyến tính.
Hình 1.5: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là: K = - 2 Þ Phân kỳ bậc hai.
Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc
phân kỳ là: K = 0 Þ Phân kỳ loga.
Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là: K = 0 Þ Phân kỳ loga.
+ Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của các hạt với chân không.

18


Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động không (các
thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chân không
của trường điện từ. Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng trường điện
từ của electron (hiệu ứng tự tương tác).

Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường
electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lượng riêng của phôtôn.
Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường
electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặp
electron - positron và sau đó lại hủy cặp này. Đây là một quá trình vật lý đặc biệt
của điện động lực học lượng tử chúng tôi không xem xét ở đây. Nghiên cứu quá
trình này chúng ta sẽ tính được những bổ chính phi tuyến cho phương trình
Maxwell. Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sáng
không tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell.
Giản đồ Hình 1.6 được gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng
thu được biểu thức phân kỳ.
+ Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:
Ví dụ

Nhận xét
Giản đồ chân không có thể không xét
Giản đồ năng lượng riên của electron. Sơ bộ, nó
phân kỳ tuyến tính, song thực tế nó phân kỳ
loga

19


Đỉnh phân kỳ loga

Giản đồ năng lượng riêng của photon. Sơ
bộ nó phân kỳ bình phương. Thực tế từ bất biến
chuẩn nó phân kỳ loga.

Nó bị triệt tiêu với giản đồ cùng với hướng

ngược lại của electron (Định lý Furry). Nó có
thể không xét.

Gồm 4 Giản đồ khác nhau bằng việc hoán
vị của các đường ngoài. Thực tế, nó hội tụ từ
bất biến chuẩn.

20


CHƯƠNG 2
TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG
Trong chương này, chúng ta sử dụng phương pháp cắt xung lượng lớn để tách
phần phân kỳ và phần hữu hạn của một số giản đồ một vòng bậc thấp nhất của
QED.
2.1. Giản đồ phân cực photon

Hình 2.1. Giản đồ phân cực photon.
Giản đồ phân cực của photon ở bậc thấp nhất trên Hình 2.1 tương ứng với biểu
thức:

P (2)
(k ) =
mn

e2
( pˆ - m )
( pˆ - kˆ ) - m 4
Sp
g

g
d p
(2p)4 ò m p 2 + m 2 n ( p - k )2 + m 2

(2.1)

(2)
2
(2)
2
Bây giờ ta biểu diễn tenxo Π µν (k ) qua hàm vô hướng Π (k ) :

æ
k mk n ö
k mk n (2) 2
÷
ç
(2)
2
÷
P (k ) = ç
g
P
(
k
)
+
P / (k )
÷
ç

mn
2 ÷
2
ç
k
÷
k
è
ø
(2)
mn

Trong đó:

k k 
1
Π (2) (k 2 ) =  g µν − µ 2ν ÷Π (2)
µν ( k )
3
k 

21

(2.2)

(2.3)


P (2)
(k 2 ) =

/

k mk n
k2



Nhân hai vế của (2.2) với  g µν −


( 2)

P mn ( k )

(2.4)

k µ kν 
÷ ta nhận được công thức (2.3):
k2 

k µ kν  (2) 2 
k µ kν  
k µ kν  ( 2 ) 2 
k µ kν  ( 2 ) 2

 g µν − 2 ÷Π (k ) =  g µν − 2 ÷ g µν − 2 ÷Π (k ) +  g µν − 2 ÷Π / ( k )
k 
k 
k 
k 






k 2 k 2 k 2 k 2  ( 2) 2  k 2 k 4  ( 2)
=  g µν g µν − 2 − 2 + 4 ÷Π k +  2 − 4 ÷Π / ( k )
k
k
k 
k 

k

( )

1

k k 

µ ν
(2)
2
(2)
Từ đây suy ra: Π (k ) =  g µν − 2 ÷Π µν (k )
3
k 

Nhân hai vế của (2.2) với
k µ kν

k2

Π 2µν ( k ) =

Từ đây suy ra:

kµ kν 
k k
g − µ 2ν
2  µν
k 
k

k µ kν
k2

ta nhận được công thức (2.4)

 ( 2) 2 k 4 ( 2) 2  k 2 k 2 k 2  ( 2 ) 2
( 2)
2
÷Π k + 4 Π / k =  2 − 4 ÷Π k + Π / k
k
k 

k

P (2)
(k 2 ) =
/

( )

k mk n
k2

( )

( )

( )

( 2)

P mn ( k )

Để chứng minh mối liên hệ này ta chỉ cần thay (2.3) và (2.4) vào (2.2), với chú
1
4

1
4

ý các hệ thức liên hệ : g µν g µν = 4 và kµ kν = g µν k 2 ⇒ g µν k µ kν = g µν g µν k 2 = k 2 ;
Π (µν2 ) = Π (µν2) g µν = g µν Π (µν2) , sẽ thu được đồng nhất thức đúng.
( 2)
( 2)
Chúng ta chỉ quan tâm đến phần ngang Π ( k ) của tenxơ Π µν ( k ) , vì chỉ phần

này là có ý nghĩa vật lý do sóng điện từ là sóng ngang.

22


( 2)
( 2)
Để tính Π ( k ) trước hết ta tính Π µν ( k ) . Từ (2.1), suy ra:

(

)

pˆ − kˆ − m
pˆ − m )
(
e2
Π µν ( k ) =
Sp ∫ γ µ 2
γ
d4p
2
4
2 ν
2
(2π )
p +m
( p−k) +m
( 2)

(2.5)

Lấy vết của tử thức (2.5):

(

)
− pk + p  = 8 { ( p


)

(

Sp γ µ ( pˆ − m ) γ ν  pˆ − kˆ − m  = 16m 2 + 8 p ( p − k )


= 8  2m 2

2

2

(2.6)

}

)

− 2 pk + k 2 + m 2 + m 2 − k 2 + pk 


Thay (2.6) vào (2.5):

( 2)
Π ( k)=
µν

( 2)

Π µν =


8e 2  d 4 p
pσ d 4 p
+ kσ ∫
+ m2 −k 2 ∫
∫

4  p 2 + m2
2
2
2
2


( 2π )
p +m ( p −k ) + m
p 2 + m2





(

8e 2

( 2π )

4

(

)

 I1 + kσ I 2 + (m 2 − k 2 ) I 3 

I3 = ∫

(

(

)

(2.7)

d4 p
p 2 + m2

Với I1 = ∫

I2 = ∫

)


d4p


( p − k ) 2 + m 2  

 

(

pσ d 4 p
2
p 2 + m 2 ( p − k ) + m 2 



)

d4p
2
p 2 + m 2 ( p − k ) + m 2 



)

Tính các tích phân I1, I2, I3 theo xung lượng 4 chiều:


Λ2
I1 = −iπ 2  m 2 ln 2 − Λ 2 ÷
m



23

(2.8)





Λ2 3 
k2
I 2 = −iπ ∫ dx  − ln 2 + ÷+ ln 1 + 2 x(1 − x) ÷
m 2
 m

0

1

2

(2.9)

1



Λ2 
k2
I 3 = −iπ 2 ∫ dx 1 − ln 2 ÷+ ln 1 + 2 x (1 − x) ÷
m 
 m

0


(2.10)

Thay I1, I2, I3 vào (2.7) ta thu được:

2
2 
2
1 
 
− m2 ln Λ +Λ 2 − m2 − k 2 dx  1−ln Λ ÷+ ln 1+ k x( 1− x ) ÷ − 
∫

2


÷ 

m2
m2 ÷
0 
8e2iπ 2 
( 2)
  m
 
( )
Π

µν k =
4 
2 3   k2
1 


( 2π )
Λ
− kσ kσ ∫ dx  − ln

+ ÷+ ln 1+
x( 1− x ) ÷
2 2 ÷  m2
÷



m
0
 






(

Tiếp theo, chúng ta tính:

k µ kν

Π µν ( k ) =
( 2)

k2

k µ kν
k

4

(2.11)

Π (µν2) ( k ) :

k µ kν

e2

( 2π )

2

)

Sp ∫ γ µ

k2

( pˆ − m )
p 2 + m2

(

γν

( pˆ − kˆ ) − m

( p−k)

2

+m

2

d4p

)

kˆ ( pˆ − m ) kˆ  pˆ − kˆ − m 
e2

 d4p
=
Sp ∫
4
2
2
2
2
(2π )
k p + m ( p − k ) + m 2 



(

)

(2.12)

Vết của tử thức (2.12):

{

(

)

} {

2
Sp kˆ ( pˆ − m ) kˆ i pˆ − kˆ − m  = 4 ( p − k ) + m 2 − k 2 + 3 pk  k 2 − 2 ( pk ) µ ( pk ) ν





Thay (2.13) vào (2.12) thu được:

24

}

(2.13)


k µ kν
k2

Π µν ( k ) =
( 2)

4e 2

( 2π )

4

 d4 p

d4p
2
∫ 2
−
k
∫ ( p 2 + m2 ) ( p − k )2 + m2  
 p + m2




4
pσ d p


+3kσ ∫ 2

2
2
2
( p + m ) ( p − k ) + m 




4
pµ pν d p
−2 k µ kν




k 2 ∫ ( p 2 + m 2 )  ( p − k ) 2 + m 2 



(2.14)

Ba tích phân đầu chính là I1, I2, I3 chúng ta đã tính ở trên theo biểu thức (2.8 –
2.10), ta chỉ còn phải tính tích phân thứ tư:
I4 = ∫

(p

pµ pν d 4 p
2

)

2
+ m 2 ( p − k ) + m 2 



(

)

2 2

2
2
1 
 Λ2
2 
 k2
  5 k x −3 k x + m
iπ 2
Λ
2
2


=−
g
− ln1+
x( 1− x ) ÷ +
−
∫ dx  m + k x( 1− x )  ln
+
2 µν 0  
 m2
÷
  m2
6
2 







1
 Λ2

 11 
k2
+iπ 2 k µ kν ∫ x 2 dx ln 2 − ln 1 + 2 x ( 1 − x ) ÷− 
 m
 6
0
 m

(2.15)

Thay I1, I2, I3 vào (2.14) và rút gọn ta thu được biểu thức (2.16) sau:
2


kµ kν ( 2 )
4iπ 2e2  1 2 2 1  2 2
2 x 1− x  ln 1+ k x 1− x ÷
Π µν ( k ) =
Λ
−
m
−
dx
m
−

k
x
+
3
k
(
)
(
)
∫ 


÷

  m2
k2
( 2π ) 4  2
0



(

)

(2.16)

Thay (2.11) và (2.16) vào (2.3):
Π2 ( k ) =
2

1


8iπ 2 e 2  2
k2
k 2  Λ2 5 
k
x
1
−
x
ln
1
+
x
1
−
x
dx
−
− ÷
( ) 
( )÷
 ln
4 
2
6  m2 6 
( 2π )  ∫0
 m



( 2)
Khai triển Taylor Π ( k ) theo k 2 ta thu được:

25

(2.17)