Tái chuẩn hóa bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

1
Tái chuẩn hóa bằng phương pháp điều chỉnh
thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

Chu Minh

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Khoa vật lý
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01
Người hướng dẫn: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn
Năm bảo vệ: 2011

Abstract.
Trình bày các giản đồ phân kỳ một vòng: S-matrận và giản đồ Feynman, hàm Green và
hàm đỉnh, bậc hội tụ của giản đồ Feynman. Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng
phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: giản đồ phân cực photon, giản đồ năng lượng riêng
của electron, hàm đỉnh bậc ba, đồng nhất thức Ward –Takahashi. Phân tích tái chuẩn hóa
điện tích và khối lượng trong tái chuẩn hóa điện tích, khối lượng, giản đồ một vòng trong
QED.

Keywords. Vật lý; Vật lý lý thuyết; Vật lý toán; Trường lượng tử

Content.

Luận văn này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại bằng cách điều chỉnh thứ
nguyên của hạt ảo trong gần đúng một vòng kín và minh họa quá trình tái chuẩn hóa
khối lượng và điện tích của electron trong QED ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu
loạn hiệp biến cho quá trình vật lý.
Sau khi tách được phần phân kỳ và phần hữu hạn, ta gộp phần phân kỳ vào
điện tích trần hay khối lượng trần của electron. Trong QED sử dụng việc tái chuẩn
hóa điện tích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ

trong tính toán, kết quả ta thu được thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc trưng
cho tương tác (bao gồm biên độ tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt).
Khi so sánh, kết quả lý thuyết thu được khá phù hợp với số liệu thực nghiệm.




2

CHƯƠNG I. CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÒNG

1.1. S - Ma trận và giản đồ Feynman
- Giới thiệu vắn tắt về S – Ma trận và quy tắc Feynman cho các quá trình vật
lý.
1.2. Hàm Green và hàm đỉnh
- Trình bày hàm Green của photon, electron và hàm đỉnh trong QED.
1.3. Bậc hội tụ của giản đồ Feynman
- Phân tích các bậc phân kỳ trong QED.
- Đưa ra các giản đồ tiêu biểu chứa phân kỳ.
- Đưa ra công thức xác định bậc hội tụ của giản đồ Feynman.

CHƯƠNG II. TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN

2.1. Giản đồ phân cực photon
Biểu thức toán học tương ứng của giản đồ này viết trong D – biểu diễn theo
phương pháp chung của chỉnh thứ nguyên:
22
2 2 2 2
ˆ

ˆˆ
()
(2 ) ( )
D
v
D
d p p k m p m
k ie Sp
p k m p m
e
mn m
m g g
p
- + +
P=
- - -
ò

Sử dụng công thức tham số hóa tích phân Feynman:
( )
1
2
0
1
1
dx
ab
ax b x
=
éù

+-
êú
ëû
ò

Với:
2 2 2 2
( ) ;a p k m b p m= - - = -

Sau một số phép biến đổi tích phân ta tách được tích phân (2.1) thành phần
phân kỳ và hữu hạn như sau:
( ) ( ) ( )
div reg
k k k
mn mn mn
P = P + P

Trong đó:
2
2
2
1
( ) ( )
12
div
e
k k k k g
mn m n mn
e
p

P = -

3
2 2 2 2
2
2 2 2
1 4 2
( ) ( ) ln (1 cot ).
3
12 3
reg
e m k
k k k k g g
mk
mn m n mn
pm
g q q
p
ớỹ
ổử
ùù
- - -
ữ
ùù
ỗ
ữ
P = - + - + -
ỗ
ỡý
ữ

ỗ
ữ
ùù
ỗ
ốứ
ùù
ợỵ

2.3. Hm nh bc ba
Hm nh bc ba sau khi ó chnh th nguyờn cú biu thc :
22
2 2 2 2 2


( ' ) ( )
( , ', ) .
(2 ) [( ' ) ][( ) ]
D
D
p k m p k m
dk
p p q ie
k p k m p k m
n
mn
e
m
g g g
m
p

- + - +
L = -
- - - -
ũ

S dng cụng thc tham s húa tớch phõn Feynman :
11
3
00
11
2
[ (1 ) ]
x
dx dy
abc
a x y bx cy
-
=
- - + +
ũũ

Vi:
2 2 2 2 2
; ( ) ; ( ' )a k b p k m c p k m= = - - = - -

Sau mt s tớnh toỏn ta thu c kt qu:
( , ', ) ( , ', ) ( , ', )
reg div
p p q p p q p p q
m m m

L = L + L

Trong ú:
2
2
1
( , ', )
16
div
e
p p q
m
m
g
e
p
L=

2
11
3 2 2
00
2
11
22
00
( , ', ) 1 ln
32 4
1 ln
16 4

x
reg
x
eM
p p q dx dyG
e
M
dx dy
m
m
p m pm
g
g
p pm
-
-
ộự
ổử
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
L = - -
ỗ
ữ
ờỳ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ

ờỳ
ởỷ
ộự
ổử
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
- + +
ỗ
ữ
ờỳ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ờỳ
ởỷ
ũũ
ũũ


2.4. ng nht thc Ward Takahashi
ng nht thc Ward Takahshi :
( ) ( )
1
,p p G p
p
m
m

-
ả
ộự
G=
ờỳ
ởỷ
ả

( ) ( )
,p p p
p
m
m
ả
L = S
ả

Chng minh:
0
1 1 1 1 1 1
lim

p
p p m p p p m p m p m p m
m
m
m m m
g
Dđ
ộự

ả
ờỳ
= - =
ờỳ
ả - D + D - - - -
ờỳ
ởỷ

4
Việc lấy đạo hàm hàm truyền electron tự do tương đương với hàm đỉnh mà ở
đây có photon với xung lượng 4 - chiều k = 0.
Chứng minh bằng giản đồ được minh họa ở Hình 2. 4:


[ ] =
p






()p
pp


 









Hình 2. 4
Dấu chéo ký hiệu việc thay đường photon với xung lượng bằng không vào đường electron

Đồng nhất thức Ward - Takahashi tổng quát ở những dạng tương đương:
( ) ( ) ( ) ( )
11
2 1 2 1 2 1
,p p p p G p G p
m
m

é ù é ù
- G = -
ê ú ê ú
ë û ë û
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1
,p p p p p p
m
m
- L = S - S

Từ các công thức :
( )
( ) ( )

2
ˆ
c
Z
Gp
p m p
=
- + S
và
( ) ( )
1
1
,,
c
p p p p
Z
m
G = G

Ta có:
( )
1
2
Gp
pZ
m
m
g
-
¶

éù
=
êú
ëû
¶
,
( )
1
,pp
Z
m
m
g
G=

Sử dụng đồng nhất thức Ward ta có :
12
ZZ=

Kết quả này rất quan trọng để chứng minh sự tái chuẩn hóa tại mỗi đỉnh của
lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.



5



CHNG III. TI CHUN HểA IN TCH V KHI LNG
ELECTRON TRONG QED

in tớch v khi lng trong cỏc phng trỡnh ca QED khi cha tng tỏc
ngi ta gi l in tớch "trn"
0
e
. v khi lng trn
0
m
. Khi tng tỏc c in
tớch "trn"
0
e
v khi lng trn
0
m
u thay i. Cỏc tớch phn phõn k trong
QED ti tng bc ca lý thuyt nhiu lon hip bin c chia tỏch thnh hai phn
riờng bit: phn hu hn v cỏc phn phõn k
ed
v
md
, sau ú chỳng (
ed
v
md
)
s c gp vi in tớch "trn" v khi lng "trn". Cỏc giỏ tr mi thu c
0vatly
e e ed=+
v

0vatly
m m md=+
chỳng ta ng nht vi in tớch vt lý v khi
lng vt lý m ngi ta cú th o c chỳng trờn thc nghim. Vic gp cỏc giỏ
tr in tớch "trn", khi lng "trn" vi cỏc phn phõn k trong tớnh toỏn nhng
gin Feynman tng ng c gi l quỏ trỡnh tỏi chun hoỏ. QED da vo lý
thuyt nhiu lon v quỏ trỡnh tỏi chun hoỏ khi lng vt lý m
vt lý
ca electron
cho phộp ta thu c kt qu tớnh toỏn phự hp vi s liu thc nghim vi
chớnh xỏc tựy ý.
3.1. Tỏi chun húa in tớch:
tỏi chun húa in tớch ca electron, ta thit lp mi quan h gia in
tớch trn v in tớch vt lý ca nú bng cỏch xột biờn tỏn x hai ht khỏ nng
trong vựng gúc tỏn x nh.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0 1 1 2 2
2
2
1 1 2 2
4
1
1
if
M e u p u p u p u p
k

u p u p k u p u p
k
m
m
mn
mn
gg
gg
ớ
ù
ù
ÂÂ
=
ỡ
ù
ù
ợ
ỹ
ù
ù
ÂÂ
+P
ý
ù
ù
ỵ

Trong ú:
( )
( )

( )
2 2 2R
R
k g k k k k
mn
mn mn
P = - P

2
2 2 2
0
0 0 3 0 3
2
1 ; 1
6
R
e
e e Z e Z
pe
ộự
= - P = = -
ờỳ
ởỷ


6

3.2. Tái chuẩn hóa khối lượng
Ta tiến hành tái chuẩn hóa khối lượng của electron. Trước tiên ta thiết lập sự
liên hệ giữa khối lượng trần và khối lượng vật lý. Thật ra năng lượng và khối lượng
electron có thể được xác định từ cực điểm của hàm truyền toàn phần của electron.
Khối lượng vật lý được xác định bằng điều kiện sau:
( )
0
ˆˆ
p m p- - S
=0 (3.18)
Như trước đây, điều kiện (3.18) cần được hiểu như sau, khi tác dụng toán tử lên
spinor Dirac ta được:

( )
( )
0
ˆˆ
( ) 0p m p u p- - S =
(3.19)
Do gần ngưỡng cực điểm một hạt

1
()
ˆ
Gp
pm-
:

Thì:
( ) ( )

00
ˆ
ˆ
.
R
pm
m m p m m
=
= + S = + S
(3.20)
Quy trình tái chuẩn hóa trực tiếp khối lượng chỉ động chạm tới các đại lượng
phân kỳ
( )
ˆ
pS
và
12
( , )pp
m
L
rất phức tạp. Vì vậy ta chỉ giới hạn ở chỗ phân kỳ triệt
tiêu như thế nào? Đồng nhất thức Ward – Takahashi sẽ được sử dụng để chứng
minh sự triệt tiêu phân kỳ ở từng bậc của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
Khai triển
( )
ˆ
pS
ở lân cận cực điểm
ˆ
pm=

thành dãy Taylor

( ) ( ) ( ) ( )
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ
R
pm
p m p m p
p
=
¶S
S = S + - + S
¶
(3.21)
( )
ˆ
R
pS
tự nhiên được bắt đầu từ
( )
2
ˆ
pm-
. Tại lân cận của cực điểm
ˆ
pm=

hàm truyền
( )

Gp
qua thuật ngữ
( )
ˆ
pS
có dạng
7
( )
( )
( )
1
2
0
22
2
0
1

,1
8

R
pe
G p Z G p Z
p m m
pe
-
ổử
ảS
ữ

ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ả
ốứ
đ = = -
- - S
(3.22)
Khi tỏi chun húa khi lng,
( )
mS
rừ rng l bin mt vo khi lng vt lý
ca electron, cũn

p
ảS
ả
v cú th chng minh ti mi mt bc xp x ca lý thuyt
nhiu lon nú s kt hp vi
12
( , )pp
m
L
v thay
12

( , )pp
m
L
vo k thut gin s
l:
1 2 1 2 1 1 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )
R
pm
p p p p p p Z p p
m m m m
=
L = L - L = L
(3.23)

2
0
1
2
1
8
e
Z
pe
=-

Nh vy, in tớch c tỏi chun húa v khi lng c tỏi chun húa t
QED ó loi b cỏc phõn k ca cỏc gin : gin nng lng riờng ca photon,
gin nng lng riờng ca electron v gin nh.

3.3. Tỏi chun húa gin mt vũng trong QED
Nghiờn cu hm nh ton phn, bao gm cỏc gin mt ht rỳt gn (one
particle reducible) nh ó dn trờn hỡnh bng khai trin gin bc hai. n
gin b cỏc i s xung lng, ta cú th vit
0
Y ie G GD
mm
= - G
(3.34)
Biu din qua nhng hm hu hn ta cú

2 2 3
0
1
1
2 3 3 0
2
c c c c
c c c c
ZZZ
Y ie G G D
Z
Z
iZ Z Z e G G D
Z
mm
m
= - G
ộự
ờỳ

= - G
ờỳ
ờỳ
ởỷ
(3.35)
Tha s
23
ZZ
s dựng tỏi chun húa cỏc nh khỏc hay cỏc ng ngoi.
Tha s trong du ngoc vuụng tỏi chun húa in tớch

1
3 0 3 0
2
Z
e Z e Z e
Z
==
(3.36)
8
Hình 3.9. Đỉnh đầy đủ có thể biểu diễn bằng tích của đỉnh riêng đầy đủ
và các hàm truyền đầy đủ.
Quan trọng ghi nhận là: điện tích tái chuẩn hóa chỉ phụ thuộc vào hằng số tái
chuẩn hóa phôtôn, chứ không phải tái chuẩn hóa hàm truyền electron hay hàm đỉnh.
Đẳng thức
12
ZZ=
được đảm bảo bằng đồng nhất thức Ward. Vậy hằng số
3
Z

là
phổ biến.
KẾT LUẬN
Bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong QED chúng tôi chứng minh các
tích phân phân kỳ một vòng triệt tiêu lẫn nhau ở gần đúng một vòng sau khi tái
chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron. Những kết quả chủ yếu của luận
văn:
1. Qua phân tích các giản đồ Feynman theo các bậc thấp của lý thuyết nhiễu
loạn hiệp biến chúng tôi đã tách được 4 giản đồ Feynman một vòng liên quan đến
phân kỳ trong QED ở vùng tử ngoại.
2. Sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên chúng tôi đã tách được phần
phân kỳ và phần hữu hạn của các giản đồ Feynman dưới dạng các biểu thức giải
tích, đặc trưng cho tương tác điện từ lượng tử ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu
loạn hiệp biến.
3. Qua phân tích các quá trình vật lý cụ thể, chúng tôi đã chứng minh định tính
các phân kỳ biến mất sau khi tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron.
4. Sử dụng đồng nhất thức Ward – Takahashi, đã chứng minh sự tái chuẩn hóa ở
từng đỉnh của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
9
Những kết quả thu được trong Luận văn Thạc sĩ sẽ là cơ sở để nghiên cứu việc
khử phân kỳ trong các quá trình vật lý của lý thuyết trường lượng tử như sắc động
học lượng tử hay lượng tử hấp dẫn.