Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều (TT)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---- ----

Lê Thị Ngân

LÝ THUYẾT ĐỘ TỪ HÓA CỦA CÁC HỆ SPIN
GIẢ HAI CHIỀU


Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số:

60 44 01 03

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI, 2015


Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Bạch Thành Công

Phản biện 1:GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn
– Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội

Phản biện 2:PGS.TS Phạm Khắc Hùng
– Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Có thể tìm hiểu luận văn tại: Thư viện Đại học Quốc gia Hà Nội


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

Màng mỏng là một hay nhiều lớp vật liệu được chế tạo sao cho chiều dày nhỏ
hơn rất nhiều so với các chiều còn lại (chiều rộng và chiều dài). Khi chiều dày của
màng mỏng đủ nhỏ so với quãng đường tự do trung bình của điện tử hoặc các chiều dài
tương tác thì tính chất của màng mỏng hoàn toàn thay đổi so với tính chất của vật liệu
khối.
Màng từ có thể là đơn tinh thể, đa tinh thể, vô định hình hoặc là đa lớp. Ứng
dụng bao gồm các lĩnh vực bộ lưu trữ quang từ, đầu ghi cảm ứng, cảm biến từ trở, các
thành phần xử lý và lưu trữ của máy tính. Màng mỏng từ tính và tính chất của nó đã
thu hút rất nhiều sự quan tâm chú ý của nhiều nhà khoa học trong suốt 30 năm qua.
Đặc biệt là những hiệu ứng liên quan đến sự phụ thuộc vào độ dày màng mỏng.
Một số tác giả đã nghiên cứu và chỉ ra được sự phụ thuộc độ từ hóa và nhiệt độ
Curie vào độ dày màng mỏng bằng phương pháp phiếm hàm mật độ (DFT) và phương
pháp tích phân phiếm hàm.
Dựa trên những ý tưởng đó, luận văn này sẽ đi sâu nghiên cứu về độ từ hóa và
sóng spin màng từ siêu mỏng với vài lớp spin nguyên tử bằng phương pháp hàm Green
nhiệt độ hai thời điểm và phương pháp gần đúng ngắt chuỗi của Bogolyubov và
Tiablikov. Với tên luận án là: “Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều”.

2. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng ta sử dụng phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời
điểm và phương pháp ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov để nghiên cứu tính toán.
Đồng thời, công cụ Matlab cũng được sử dụng để tính toán số và vẽ đồ thị.

5


3. Cấu trúc của luận văn.
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, gồm có 3
chương:
Chương 1: Hàm Green nhiệt độ hai thời điểm
Chương 2: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong gần đúng Bogoliubov và Tiablikov
Chương 3: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng từ một lớp và hai lớp spin
nguyên tử

6


CHƯƠNG 1: HÀM GREEN NHIỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM
1.1.

Định nghĩa hàm Green
Chúng ta định nghĩa hàm Green chậm (ký hiệu r – retarded), nhanh (a –
advanced) và nguyên nhân (c – causal) như sau:
r)
G (AB
( t , t ') =

( a ) ( t , t ') =
G AB

A( t ) | B ( t ')

( r)

A( t ) | B( t ')

( a)

c)
G (AB
( t , t ') = A( t ) | B( t ')

= θ ( t − t ') [ A( t ) , B ( t ') ] ξ

(1.1a)
= −θ ( t '−t ) [ A( t ) , B( t ') ] ξ

( c)

(1.1b)

= Tξ A( t ) B ( t ')
(1.1c)

[ ,]ξ
Ở đây ký hiệu giao hoán tử
thang θ(x) có ý nghĩa là

[ A( t ) , B( t ') ] ξ

Tξ
và trật tự thời gian

cũng như hàm bậc

= A( t ) B( t ') − ξB( t ') A( t )

Tξ A( t ) B( t ') = θ ( t − t ') A( t ) B ( t ') + ξθ ( t '−t ) B( t ') A( t )

(1.2a)
(1.2b)

1, x > 0
θ ( x) = 
0, x < 0
(1.2c)
Tham số ξ = 1 hay -1 được chọn tuỳ theo sự tiện lợi không phụ thuộc vào định
luật giao hoán cho A, B. Thông thường người ta chọn ξ = 1 nếu các toán tử A, B thể
hiện qua các toán tử kiểu Bose và ξ = -1 nếu chúng được thể hiện qua các toán tử kiểu
Fermi.
Một trong các tính chất của hàm Green là do chúng được biểu thị qua các hàm
tương quan nên chúng cũng chỉ là hàm số của hiệu thời gian (t – t’).

7


( j ) ( t , t ') = G ( j ) ( t − t ')
G AB
AB
(j = r, a, c)

(1.3)

Ta viết được phương trình chuyển động (viết chung cho cả ba loại hàm Green)

i

d
( j)
A( t ) | B( t ')
= iδ ( t − t ') [ A( t ) , B( t ') ] ξ +
dt

[ A( t ) , H ] | B( t ') ( j )
(j=r,a,c)

1.2

(1.4)

Biểu diễn Fourier cho hàm Green
Vì hàm Green là hàm của biến (t – t’) (cũng như các hàm tương quan) ta có thể

phân tích các hàm đó theo tích phân Fourier

( j ) ( t − t ') =
G AB

∞

( j)

∫ G AB ( E ) e

− iE ( t − t ')

dE

−∞

(1.5a)
( j)
G AB
(E)

( j)
G AB
(t − t ' )

gọi là ảnh Fourier của nguyên hàm

.

Biến đổi Fourier ngược cho ta mối liên hệ giữa ảnh Fourier và nguyên hàm

( j) ( E) =
G AB

1
2π

∞

( j)

∫ G AB ( t ) e

iE ( t )

dt

−∞

(1.5b)
Với j = r, a, c
Sử dụng (1.5a) ta có thể viết phương trình chuyển động cho hàm Green (1.4):
∞
∞
i ∞ − iE(t − t')
(j) − iE(t − t')
e
dE =
dE [ A,B] ξ + ∫
∫ E A|B
∫ e
E
2π − ∞
−∞
−∞

8

[ A,H ]

B

(j) − iE(t − t')
e
dE
E


Hay

E A| B

( j)
E

=

i
2π

[ A, B ] ξ

[ A, H ]

+

B

( j)
E

(1.6)
A| B

( j)
E

( j)
G AB
(E)

Ở đây, ký hiệu

[ A,H ]
1.3

B

biểu thị hàm Green ảnh

, còn

(j)
E

là hàm Green ảnh của hàm Green bậc cao tương ứng.
Biểu diễn phổ cho hàm Green
Ảnh Fourier cho hàm Green chậm (1.30) bây giờ được biểu diễn qua hàm cường

độ phổ như sau:

AB

∫ (e

∞

i
G( r) ( E) =

2π

ωθ

−∞

)

− ξ ..I AB ( ω )

dω
E − ω + iε

(1.7)
Bằng cách hoàn toàn tương tự ta có biểu diễn cho hàm Green nhanh

( a) ( E ) =
G AB

i
2π

∫ (e

∞

ωθ

)

− ξ ..I AB ( ω )

−∞

dω
E − ω − iε

(1.8)
((1.8) chỉ khác (1.7) khi thay +iε → -iε)
÷

Trong (1.7)

(1.8) E được coi là thực. Bây giờ nếu ta coi E là đại lượng phức

thì (1.7), (1.8) có thể viết chung làm một công thức

9

i
G AB ( E ) =
2π

∫ (e

∞

ωθ

−∞

)

G ( r ) ( E )
dω
− ξ .I AB ( ω )
=  AB
E − ω G ( a ) ( E )
 AB

,

Im E > 0

,

Im E < 0

(1.9)
÷

(1.7)

(1.9) được gọi là biểu diễn phổ cho hàm Green.
(r )
G AB
(E)

Hàm Green chậm

(a)
G AB
(E)

và nhanh

là các hàm giải tích trong

nửa mặt phẳng trên (ImE > 0) và dưới (ImE < 0) tương ứng. Cả hai hàm đó có thể xem
như một hàm giải tích GAB(E) có một cực trên trục thật (cho nên trong tính toán nhiều
khi ta không viết ký hiệu hàm Green chậm, nhanh – r hoặc a).
Cũng tương tự ta có thể thiết lập biểu diễn phổ cho hàm Green nguyên nhân
∞



ξ

 eω θ

(
)
I
ω
−

d ω
AB
∫
2π
E
−
ω
+
i
ε
E
−
ω
−
i
ε




−∞

i
G ( c) ( E ) =
AB

(1.10)
Sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac

1
1
= P iπδ ( x )
x ± iε
x

( ε → 0)
(1.11)

P – ký hiệu chỉ giá trị chính
Sử dụng (1.11) ta viết (1.10) trong dạng khác

( c) ( E ) =
G AB

i
2π

∞


1
1





I AB ( ω ) eω θ  P
− iπδ ( E − ω )  − ξ  P
+ iπδ ( E − ω )  dω
 E −ω

 E −ω


−∞

∫

10


i
G ( c) ( E ) =
AB

2π



1
e
+ξ



ωθ
(
)
(
)
(
)
e
−
ξ
I
ω
P
−
i
π
δ
E
−
ω

dω
AB
∫
 E −ω

eω θ − ξ

∞

ωθ



−∞



(1.12)
Hàm Green nguyên nhân (1.12) chỉ xác định trên trục thật (E thực) ở nhiệt độ hữu
hạn θ ≠ 0 không thể khai triển vào mặt phẳng phức được, do đó người ta ít sử dụng nó.
Từ nay về sau ta sẽ sử dụng hàm Green nhanh hoặc chậm mà thôi.
Một ứng dụng quan trọng của biểu diễn phổ (1.12) là ta có thể xác định cường độ
phổ IAB(ω) nếu biết ảnh Fourier GAB(E)
I AB ( ω ) = { G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε )}

1
e

ωθ

−ξ
(1.13)

CHƯƠNG 2 : ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN TRONG GẦN ĐÚNG BOGOLIUBOV VÀ TIABLIKOV

2.1 Chuỗi Hàm Green spin cho màng mỏng
Xét màng mỏng có từ tính có độ dày hữu hạn n lớp nguyên tử nhưng trong mặt

xOy có đối xứng tịnh tiến, số spin trong một mặt phẳng mạng spin là N (N ~ ∞), mỗi
m a = − gµ B S
nguyên tử có moment từ spin

.

Xét mạng spin nguyên tử trong màng mỏng mô tả trên hình 1:

11


…
aν z

rν j

Rj

ν

12


Hình 1: Mô hình màng mỏng gồm nhiều lớp spin nguyên tử trong hệ tọa độ
Trục z vuông góc với mặt màng. Mặt phẳng xOy song song với mặt màng.
a là hằng số mạng;
rνj

rνj = R j + aνzˆ

Sνj

là vectơ chỉ vị trí spin

(

);

Rj

là vectơ 2 thành phần mô tả vị trí của spin trên mặt xOy.
aνzˆ

là thành phần vectơ vị trí trên trục Oz.
Hamiltonian Heisenberg mô tả hệ spin tương tác với nhau trong màng

H =−

H =−

1
Jνj ,ν ' j 'Sνj Sν ' j ' − gµ B h∑ Sνzj
∑
2 νj ,ν ' j '
νj

)

(

1
Jνj ,ν ' j ' Sνxj Sνx' j ' + Sνyj Sνy' j ' + Sνzj Sνz' j ' − gµ B h∑ Sνzj
∑
2 νj ,ν ' j '
νj

(2.1)

(

Jνj ,ν ' j ' = J rνj − rν ' j '

)
rνj

Tương tác trao đổi giữa hai spin ở nút mạng

rν ' j '
và

chỉ phụ thuộc

khoảng cách.

(

Jνj ,ν ' j ' = Jνν ' R j − R j '

)
(2.2)

R j − R j'
Hay tích phân trao đổi là hàm tuần hoàn của
13

.


Số hạng thứ hai trong (2.1) là số hạng tương tác của các spin trong màng mỏng
với trường ngoài h song song với trục Oz.
Thông thường ta sử dụng các toán tử tăng giảm spin

Sν±j = Sνxj ± iSνyj ; Sνzj
(2.3)
Sử dụng (2.3) ta có thể viết Hamiltonian (2.1) trong dạng sau

H =−

){

(

}

1
∑ Jνν ' R j − R j ' Sν−j Sν+' j ' + Sνzj Sνz' j ' − gµ B h∑ Sνzj
2 νjν ' j '
νj
(2.4)

(2.4) là Hamiltonian Heisenberg cho hệ spin màng mỏng trong trường ngoài viết cho

Sν±j , Sνzj
các biến toán tử

.

Để nghiên cứu động học của hệ ở nhiệt độ hữu hạn, ta tính hàm Green chậm sau

Gνrj ,ν ' j ' ( t , t ') =

Sν+j ( t ) | Sν−' j ' ( t ')
(2.5)

[

]

Gνrj ,ν ' j ' ( t , t ') = θ ( t − t ') Sν+j ( t ) , Sν−' j ' ( t ')
−
(2.6)

Gνrjν ' j ' ( E ) =

1
2π

+∞

∫ d (t − t ' )e

−∞

iE (t − t ' )

Gνrjν ' j ' (t − t ' )
(2.7)

14


1
δ (t − t ' ) =
2π

+∞

∫ dEe

− iE (t − t ' )

−∞

(2.8)
Ta có phương trình chuyển động trong biểu diễn năng lượng cho hàm Green chậm xây

Sν+j
dựng dựa trên các toán

EGνrj ,ν ' j ' ( E ) =

tử

Sν−' j '
,

(

i
Sνzj δνν 'δ jj ' − ∑ Jν 1ν R j1 − R j
π
ν j
1 1

−

Sνz j Sν+j Sν−' j '
1 1

)


Sνzj Sν+ j Sν−' j '
1 1

r 


r
E

r

+
−
 + gµ B h Sνj Sν ' j '
E
E


(2.9)
Nếu lấy đạo hàm theo t tiếp cho hàm Green bậc cao hơn nữa và tiếp tục quá trình đó ta
sẽ nhận được chuỗi phương trình móc xích cho các hàm Green

[Sν+j ( t ), H ] Sν−' j' ( t ) ; [ Sν+j ( t ), H ], H ] Sν−' j' ( t )

...

Chuỗi móc xích cho các hàm Green không giải chính xác được mà cần phải áp dụng
một phép gần đúng nào đó, ở đây chúng ta sử dụng phép ngắt chuỗi của Bogolyubov và
Tiablikov, và nhận được một phương trình hữu hạn, sau đó giải hệ để tìm biểu thức cho hàm
tương quan.
2.2 Phương trình cho độ từ hóa và phổ sóng spin

15


Ở đây, trong gần đúng đơn giản nhất ta áp dụng công thức ngắt chuỗi của Bogolyubov
và Tiablikov thể hiện các hàm Green bậc cao ở vế bên phải của (2.18) qua hàm Green ban đầu

Sνz j
và trung bình thống kê toán tử

, cụ thể là:

Sνzj Sν+ j Sν−' j '
1 1
Sνz j Sν+j Sν−' j '
1 1

Sν+ j Sν−' j '
1 1

→ Sνz
→ Sνz

1

Sν+j Sν−' j '
(2.10)

Từ đây ta có phương trình:



i z
Jν1ν ( 0 ) Sνz1  Gννr ' ( k ,E ) + ∑ %
Jν1ν ( k ) Sνz Gνr1ν ' ( k ,E ) =
Sν δνν '
E − g µBh − ∑ %

π
ν
ν

1

1
(2.11)

~
Jν1ν ( k )
Trong (2.11)

là ảnh Fourier không gian của tích phân trao đổi lấy trong

gần đúng lân cận gần nhất:

 4 J s ,ν = ν 1
 p ,ν = ν 1 ± 1

∑ Jν 1ν (0) = ∑ Jν 1ν (R ) = ∑ Jν 1ν ( R j1 − R j ) =  J
~

ν1

ν1,R

ν 1 j1

(2.12)

(

)

ik ( R j1 − R j )  2 J s cos k x a + cos k y a ;ν = ν 1
~
J
(
k
)
=
J
R
−
R
e
=
∑ ν 1ν
∑ ν 1ν j1
j
;ν = ν 1 ± 1
J p
ν1
j1

(

)

(2.1
3)
Js là tích phân trao đổi giữa các spin lân cận gần nhất trong một lớp spin và Jp là tích
phân trao đổi giữa các spin là lân cận gần nhất thuộc các lớp spin cạnh nhau.

16


CHƯƠNG 3: ĐỘ TỪ HÓA VÀ PHỔ SÓNG SPIN TRONG MÀNG MỎNG ĐƠN
LỚP VÀ HAI LỚP SPIN NGUYÊN TỬ

3.1 Màng mỏng đơn lớp spin nguyên tử với trao đổi dị hướng
Với màng mỏng là đơn lớp, ta có υ = υ 1 = 1. Hàm Green chỉ có một loại nên ta bỏ chỉ
số 1 đi cho thuận tiện và biểu thị hàm Green chậm là

G1r j ,1 j' ( t ,t' ) =

S1+j ( t ) | S1−j' ( t' )

≡ G ±j , j' ( t ,t' )

G11r ( E,k ) ≡ G ± ( E,k )
Ảnh Fourier của nó là
.
Thay vào phương trình (2.23) ta có biểu thức cho hàm Green chậm sau:

Sz
i
G ( E,k ) =
π  E − g µBh − %

J 11 ( 0 ) S z + %
J 11 ( k ) S z 

±

(3.1a)
(3.1a) có dạng

Sz
i
G ( k ,E ) =
π  E − E ( k ) 
±

(3.2)

17


Vì các cực của hàm Green tương ứng với phổ năng lượng của sóng spin nên trong
trường hợp màng 1 lớp, phổ năng lượng sóng spin có dạng:

~
~
E ( k ) = gµ B h + J11 ( 0) S z − J11 ( k ) S z
(3.3)
Ta xét trên một lớp màng, và giả định rằng chỉ xét đến những tương tác trao đổi giữa
các lân cận gần nhất.
Tuy nhiên, trường hợp trao đổi đẳng hướng giữa các spin là lân cận gần nhất trong
màng đơn lớp với mô hình Heisenberg theo định lý Mermin – Wagner tại T ≠ 0K không tồn

tại trật tự tầm xa. Điều này có nghĩa các trao đổi đẳng hướng giữa các spin lân cận gần nhất
trong màng đơn lớp là không được mô tả thích hợp trong phép gần đúng Bogolyubov và
Tiablikov. Tuy nhiên, Hamiltonian Heisenberg hai chiều đẳng hướng chỉ là mô hình lý tưởng.
Trên thực tế luôn có các loại tương tác khác như: tương tác dị hướng do trường tinh thể trong
mặt phẳng mạng, tương tác giữa các lớp hai chiều… phá vỡ đối xứng và màng mỏng đơn lớp
vẫn có thể có trật tự xa.
Vì vậy, ta khảo sát trường hợp tương tác dị hướng trong màng mỏng đơn lớp.
J s1
Cho rằng

J s2
là tương tác trao đổi giữa các lân cận gần nhất dọc theo hướng Ox,

tương tác trao đổi giữa các lân cận gần nhất dọc theo hướng Oy. Khi đó, ta có:

~
J11 ( k ) = 2 J s1 cos k x a + 2 J s 2 cos k y a
(3.4)

~
J11 ( 0 ) = 2 J s1 + 2 J s 2
(3.5)
Lúc này, phổ năng lượng được xác định theo công thức:

[

]

E ( k ) = gµ B h + 2 J s1 + J s 2 − J s1 cos k x a − J s 2 cos k y a S z
(3.6)

18


J
ρ = s2
J s1
Đặt

là tham số đặc trưng cho tính dị hướng của tương tác trao dổi trong

m=
màng mỏng đơn lớp.

Sz
S
là đại lượng đặc trưng cho độ từ hóa.

Ta nhận được biểu thức cho phổ năng lượng của sóng spin không thứ nguyên (trong
đơn vị Js1)

ε k (τ ) =

E( k )
= B + 2 1 − cos k x a + ρ 1 − cos k y a mS
J s1

[

(

)]

(3.7)

B=

1
gµ B h
J s1
(3.8) là từ trường không thứ nguyên (trong đơn vị Js1)

Với độ từ hóa được xác định thông qua biểu thức

m=

1
1+

1
∑∑
NS k x k y

1

 B + 2 1 − cos k x a + ρ ( 1 − cos k y a )  mS 





exp 
−1
τ


(3.9)

τ=

k BT
J s1
là tham số nhiệt độ không thứ nguyên.

19


Cụ thể, để đơn giản hóa, ta có thể xem xét hệ không chịu ảnh hưởng bởi trường ngoài,

h
hay cho

= 0. Từ các biểu thức trên kết hợp với việc sử dụng công cụ Matlab để tính toán

số và vẽ đồ thị, ta có các kết quả sau:

1

S=1, ρ= 0 .6
S=1, ρ= 1 .7
S=2, ρ= 1.7

m

0.8
0.6
0.4
0.2
0

τc
0.02

τc
0.04

0.06

τ

0.08

0.1

τc

0.12

Hình 3.1 : Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ đơn lớp vào nhiệt độ
Nhận xét:
-

Xét đồ thị trường hợp S=1, ρ=0.6 và trường hợp S=1, ρ=1.7, dễ dàng nhận ra, độ từ hóa m
tăng khi giá trị tham số dị hướng ρ tăng. Chọn tại cùng nhiệt độ, giá trị độ từ hóa trong trường
hợp ρ=0.6 nhỏ hơn giá trị độ từ hóa trong trường hợp ρ=1.7 (ví dụ: τ=0.01, m = 0.76(0.89) với

-

ρ=0.6(1.7)).
Xét đồ thị trường hợp S=1, ρ=1.7 và trường hợp S=2, ρ=1.7, có thể nhận thấy giá trị độ từ hóa
tăng khi giá trị spin tăng. Tại cùng nhiệt độ, giá trị Spin tăng thì độ từ hóa cũng tăng (ví dụ: tại

-

τ=0.01, m=0.89(0.98) với S=1(2)).
Nhiệt độ Curie τc có giá trị nhỏ nhất ở trường hợp S=1, ρ=0.6, và nhận giá trị lớn nhất ở
trường hợp S=2, ρ=1.7. Như vậy, đường cong độ từ hóa cũng phụ thuộc vào giá trị spin và
tham số dị hướng trong mặt màng.

20


Ek(τ=0.01)
Ek(τ=0.03)

Ek

10
5
0
-4

−π-3

-2

-1

0
1
ky
Ek(τ=0.01)
Ek(τ=0.03)

2

3π

4

−π-3

-2

-1

0
kx

2

3π

4

Ek

4
2
0
-4

1

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các nhiệt độ
khác nhau, trường hợp S=1, ρ=1.7

Ek

10

Ek (τ=0.01)

5
E (τ=0.03)
k

0
4

2

0
ky

-2

-4

-4

0

-2

2

4

kx

Hình 3.3: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng trong không
gian ba chiều, trường hợp S=1, ρ=1.7

21


S=1, ρ=1.7
S=2, ρ=1.7
S=1, ρ=0.6

Ek

20
10
0

−π-3

-2

-1

Ek

10

1

2

3π

1

2

3π

S=1, ρ=1.7
S=2, ρ=1.7

S=1, ρ=0.6

5
0

0
ky

−π -3

-2

-1

0
kx

Hình 3.4: Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng nhiệt độ
τ=0.01
Nhận xét:

εk → 0
-

Phổ sóng spin trong vùng Brillouin thứ nhất

k →0
khi véc tơ sóng

do đó sóng

spin trong màng mỏng đơn lớp có trao đổi dị hướng có thể gọi là sóng spin âm học (acoustics
-

spin wave ) theo cách gọi tương tự với phổ phonon trong chất rắn.
Từ hình 3.2 ta rút ra hai vấn đề sau: Thứ nhất, giá trị năng lượng của sóng spin phụ thuộc vào
nhiệt độ, nhiệt độ tỷ đối τ tăng thì giá trị năng lượng ε k cũng tăng. Thứ hai, đồ thị thứ nhất
được vẽ theo tham số ky (kx=0), đồ thị thứ hai được vẽ theo tham số k x (ky=0). Trường hợp vẽ
phổ năng lượng theo tham số ky, giá trị năng lượng lớn hơn, do theo trục này xuất hiện tham số

-

dị hướng ρ.
Hình 3.4 cho biết, giá trị năng lượng của sóng spin tăng khi chỉ số spin S và giá trị tham số dị
hướng trong mặt màng ρ tăng. Đồ thị thứ hai trong hình 3.4, nhận thấy vẽ theo tham số
kx(không có sự góp mặt của tham số dị hướng ρ) phổ năng lượng trong trường hợp S=1, ρ=1.7
lớn hơn trong trường hợp S=1, ρ=0.6. Điều này chứng tỏ, giá trị năng lượng cũng tỷ lệ thuận
với giá trị độ từ hóa.

22


Những nhận xét này cho thấy kết quả tính toán số hoàn toàn phù hợp với công thức đã
tính toán được ở trên.
3.2 Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng từ hai lớp
3.2.1 Hệ phương trình cho hàm Green phụ thuộc chỉ số lớp spin

ν ,ν ' = 1,2
Với màng spin tự do hai lớp thì chỉ số lớp có thể có các giá trị
Ta nhận được 2 phương trình sau:

{E − gµ

~

B h − J 11

(0)

}

~
±
±
S1z − J 21 ( 0 ) S 2z G11
( k , E ) + J~11 ( k ) S1z G11
( k , E ) = i S1z
π

~
±
( k ,E )
− J 21 ( k ) S1z G21
(3.10)

{E − gµ

~

B h − J 12

(0)

}

~
±
±
( k , E ) = − J~22 ( k ) S 2z G21
( k ,E )
S1z − J 22 ( 0 ) S 2z G21
~
±
( k ,E )
− J 12 ( k ) S 2z G11
(3.11)

Do tính đối xứng của màng mỏng từ tự do, hai lớp spin hoàn toàn giống nhau nên giá
trị trung bình của hình chiếu moment spin lên trục z không phụ thuộc các chỉ số 1, 2 nên ta có

S1z = S2z = m.S

±
±
G11
( k , E ) = G22
( k ,E )

và

±
±
G12
( k , E ) = G21
( k ,E )

;

. Đặt

Ek ,m = g µ B h + 2J s mS 2 − ( cos k x a + cos k y a )  + J p mS
(3.12)
Ở đây JS và Jp là tích phân trao đổi trong các lớp và giữa hai lớp.Giải phương trình
(3.10) và (3.11) cho ta biểu thức của các hàm Green chậm:
23


±
±
G22
( k , E ) = G11
( k ,E ) =


i
1
1
( E − Ek ,m )
−
2πJ p

 E − Ek ,m + J p mS E − Ek ,m − J p mS

(

)

(

)






(3.13)
±
±
G12
( k , E ) = G21
( k ,E ) = −

imS 
1
1
−
2π  E − Ek ,m + J p mS E − Ek ,m − J p mS

(

)

(

)





(3.14)

Tương tự như trường hợp màng mỏng 1 lớp, ta nhận được phổ năng lượng của sóng
spin từ cực của hàm Green chậm (3.13) gồm hai nhánh sóng spin:

[ (

)]

Ek+,m = Ek ,m + J p mS = gµ B h + 2 J s mS 2 − cos k x a + cos k y a + 2 J p mS
(3.15)

[ (

Ek−,m = Ek ,m − J p mS = gµ B h + 2 J s mS 2 − cos k x a + cos k y a

)]
(3.16)

Ta xét trường hợp trao đổi trong mặt lớp là đẳng hướng, bằng Js , nhưng trao đổi giữa

hai lớp là Jp ≠ Js.
Phổ năng lượng sóng spin (3.15) (3.16) trong dạng không thứ nguyên được viết như
sau:

{

Ek+,m
ε (τ ) =
= B + 2  2 − ( cos k x a + cos k y a ) + η  mS
Js
+
k

}
(3.17)

{

Ek−,m
ε (τ ) =
= B + 2  2 − ( cos k x a + cos k y a )  mS
Js
−
k

}
(3.18)

24

η=

Jp

B=

Js

gµh
Js
(3.19)

η
B,

được xác định theo biểu thức(3.19) là từ trường không thứ nguyên và tham số

trao đổi dị hướng giữa các lớp (trong đơn vị Js).
Với hàm Green chậm (3.13), ta nhận được nghiệm của độ từ hóa m:



1
1
m = 1 +

∑
β
 2 NS k ,β exp ε k ,m τ − 1 

(

−1

)

β = +;−
;

Giải số cho phương trình độ từ hóa

(3.20)

(3.20) với phổ sóng spin ta được sự phụ thuộc của

η
mô men từ tỷ đối vào nhiệt độ cho những tham số dị hướng

và giá trị spin S khác nhau

(xem hình (3.4)).

1

S=1, η = 1 .7
S=2, η = 1 .7
S=1,η = 0 .0 0 5

m

0.8
0.6
0.4
0.2
0

τc

τc τ c
0.02

0.04

0.06

0.08

τ

0.1

0.12

0.14

0.16

Hình 3.5: Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt độ
Từ hình vẽ trên ta có một số nhận xét sau

25