Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Lê Thị Ngân

LÝ THUYẾT ĐỘ TỪ HÓA CỦA CÁC HỆ SPIN GIẢ
HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Lê Thị Ngân

LÝ THUYẾT ĐỘ TỪ HÓA CỦA CÁC HỆ SPIN GIẢ HAI
CHIỀU

Chuyên ngành: Vật Lý Lý Thuyết và Vật Lý Toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS Bạch Thành Công

Hà Nội – Năm 2015

2


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới GS. TS Bạch Thành
Công. Cảm ơn thầy đã nhiệt tình giúp đỡ để em hoàn thành đề tài luận văn đạt kết quả
tốt nhất. Em chân thành cảm ơn thầy!
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến GS. TS Nguyễn Quang Báu cũng các thầy cô trong
bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý toán đã ủng hộ và tạo điều kiện để em thuận lợi
hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cám ơn đề tài NAFOSTED 103.02.2012.37 đã hỗ trợ nghiên cứu.
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, động viên và là
hậu phương vững chắc cho con trong giai đoạn này.
Xin chân thành cảm ơn!

DANH MỤC HÌNH VẼ
3


Nội dung

Trang

Hình 1a

Tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức E ở bên dưới bao quanh
cực E = -iε

14

Hình 1b

Tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức E ở nửa mặt phẳng phía
trên

14

Hình 2

Mô hình màng mỏng gồm nhiều lớp spin nguyên tử trong hệ tọa độ

28

Hình 3.1

Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ đơn lớp vào nhiệt
độ

38

Hình 3.2

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các
nhiệt độ khác nhau, trường hợp S=1, ρ=1.7

39

Hình 3.3

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng trong
không gian ba chiều, trường hợp S=1, ρ=1.7

39

Hình 3.4

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng
nhiệt độ τ=0.01

40

Hình 3.5

Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt độ

44

Hình 3.6

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở
cùng nhiệt độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp, S=1

45

Hình 3.7

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở
cùng nhiệt độ (lát cắt trong không gian ba chiều), trường hợp màng

mỏng từ hai lớp, η=1.2

45

Hình 3.8

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở
cùng nhiệt độ (trong không gian ba chiều), trường hợp màng mỏng từ
hai lớp, η=1.2

46

Hình 3.9

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở
cùng nhiệt độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp, η=1.2

46

Hình 3.10 Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt độ

49

Hình 3.11 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng

50

nhiệt độ, trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng, η=1.2, S=1
Hình 3.12 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các

50

nhiệt độ khác nhau, trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng ρ=1.7,
η = 1. 2
, S=1
Hình 3.13 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các

51

nhiệt độ khác nhau (lát cắt trong không gian ba chiều), trường hợp
η = 1.2
màng mỏng 2 lớp có dị hướng ρ=1.7,
, S=1
Hình 3.14 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở các

nhiệt độ khác nhau (trong không gian ba chiều), trường hợp màng
mỏng 2 lớp có dị hướng
4

51


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:
Vật liệu nano (nano materials) là một trong những lĩnh vực nghiên cứu đỉnh
cao sôi động nhất trong thời gian gần đây. Điều đó được thể hiện bằng số các công
trình khoa học, số các bằng phát minh sáng chế, số các công ty có liên quan đến khoa

học, công nghệ nano gia tăng theo cấp số mũ. Con số ước tính về số tiền đầu tư vào
lĩnh vực này lên đến 8,6 tỷ đô la vào năm 2004. Khi ta nói đến nano là nói đến một
phần tỷ của cái gì đó, ví dụ, một nano giây là một khoảng thời gian bằng một phần tỷ
của một giây. Còn nano mà chúng ta dùng ở đây có nghĩa là nano mét, một phần tỷ
của một mét. Nói một cách rõ hơn là vật liệu chất rắn có kích thước nm vì yếu tố quan
trọng nhất mà chúng ta sẽ làm việc là vật liệu ở trạng thái rắn.
Vật liệu nano là vật liệu trong đó ít nhất có một chiều có kích thước nano mét
(nm). Về trạng thái của vật liệu, người ta phân chia thành ba trạng thái rắn, lỏng và
5


khí. Vật liệu nano được tập trung nghiên cứu hiện nay, chủ yếu là vật liệu rắn, sau đó
mới đến chất lỏng và chất khí. Về hình dáng vật liệu, người ta phân ra thành các loại
sau:
Vật liệu nano không chiều (cả ba chiều đều có kích thước nano), ví dụ: đám
nano, hạt nano, …
Vật liệu nano một chiều là vật liệu trong đó một chiều có kích thước nano, ví
dụ: dây nano, ống nano, …
Vật liệu nano hai chiều là vật liệu trong đó hai chiều có kích thước nano, ví dụ:
màng mỏng, …
Ngoài ra còn có vật liệu có cấu trúc nano hay nanocomposite trong đó chỉ có
một phần của vật liệu có kích thước nano, hoặc cấu trúc của nó có nano không chiều,
một chiều, hai chiều đan xen lẫn nhau.
Hiện nay màng mỏng đang là một lĩnh vực nghiên cứu mạnh mẽ của khoa học
và công nghệ vật liệu, vật lý chất rắn... với nhiều khả năng ứng dụng to lớn trong đời
sống hàng ngày, trong sản xuất. Màng mỏng (tiếng Anh: Thin film) là một hay nhiều
lớp vật liệu được chế tạo sao cho chiều dày nhỏ hơn rất nhiều so với các chiều còn lại
(chiều rộng và chiều dài). Khái niệm "mỏng" trong màng mỏng rất đa dạng, có thể chỉ
từ vài lớp nguyên tử, đến vài nanomet, hay hàng micromet. Khi chiều dày của màng
mỏng đủ nhỏ so với quãng đường tự do trung bình của điện tử hoặc các chiều dài

tương tác thì tính chất của màng mỏng hoàn toàn thay đổi so với tính chất của vật liệu
khối. Hiệu ứng thay đổi tính chất rõ rệt nhất về tính chất của màng mỏng là hiệu ứng
bề mặt. Khi vật liệu có kích thước nm, các số nguyên tử nằm trên bề mặt sẽ chiếm tỉ lệ
đáng kể so với tổng số nguyên tử. Chính vì vậy, các hiệu ứng có liên quan đến bề mặt,
gọi tắt là hiệu ứng bề mặt sẽ trở nên quan trọng làm cho tính chất của vật liệu có kích
thước nm khác biệt so với vật liệu ở dạng khối. Ví dụ như trong các vật liệu sắt từ, ở
vật liệu dạng khối, dị hướng từ tinh thể ảnh hưởng rất lớn đến tính chất từ, nhưng khi
chế tạo ở các màng đủ mỏng, dị hướng từ tinh thể có thể biến mất mà thay vào đó là dị
hướng từ bề mặt.
Màng vật liệu từ tính có trạng thái vật lý ở thể rắn là với chiều dày khoảng vài
μm (nhỏ hơn 5μm), còn được biết với tên gọi màng sắt từ hay màng từ. Màng từ có
thể là đơn tinh thể, đa tinh thể, vô định hình hoặc là đa lớp. Ứng dụng bao gồm các
lĩnh vực bộ lưu trữ quang từ, đầu ghi cảm ứng, cảm biến từ trở, các thành phần xử lý
6


và lưu trữ của máy tính. Màng mỏng từ tính và tính chất của nó đã thu hút rất nhiều sự
quan tâm chú ý của nhiều nhà khoa học trong suốt 30 năm qua. Đặc biệt là những hiệu
ứng liên quan đến sự phụ thuộc vào độ dày màng mỏng [3], [8]. Ví dụ: hình 1 (xem
[3]) cho thấy nhiệt độ Curie giảm khi độ dày màng mỏng giảm và tỷ số hằng số mạng
c
a

tăng khi độ dày màng mỏng giảm

H. L. Liu et al, Journ. Appl. Phys. 97, 113528 (2005)

Một số tác giả đã nghiên cứu và chỉ ra được sự phụ thuộc độ từ hóa và nhiệt độ
Curie vào độ dày màng mỏng bằng phương pháp phiếm hàm mật độ (DFT) và phương
pháp tích phân phiếm hàm [6], [7].

Dựa trên những ý tưởng đó, luận văn này sẽ đi sâu nghiên cứu về độ từ hóa và
sóng spin màng từ siêu mỏng với vài lớp spin nguyên tử bằng phương pháp hàm
7


Green nhiệt độ hai thời điểm và phương pháp gần đúng ngắt chuỗi của Bogolyubov và
Tiablikov. Với tên luận án là: “Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều”.

2. Phương pháp nghiên cứu:
Trong luận văn này, chúng ta sử dụng phương pháp hàm Green nhiệt độ hai
thời điểm và phương pháp ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov để nghiên cứu tính
toán. Đồng thời, công cụ Matlab cũng được sử dụng để tính toán số và vẽ đồ thị.
3. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương chính
- Chương 1: Hàm Green nhiệt độ hai thời điểm. Chương này là lý thuyết về phương
pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm; về Hamiltonian sắt từ và các toán tử spin, về
phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên. Đây là cơ sở lý thuyết để ta đi thiết lập
-

phương tình tổng quát cho màng mỏng từ tính trong chương 2.
Chương 2: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng từ trong gần đúng
Bogolyubov và Tiablikov. Dựa trên cơ sở lý thuyết ở chương 1, ta sẽ tính toán để nhận
chuỗi móc xích cho hàm Green xây dựng trên các toán tử spin trong màng mỏng và
ngắt chuỗi hàm Green trong gần đúng Bogolibov-Tiablikov. Đưa ra phương trình xác

-

định phổ năng lương sóng spin và độ từ hóa phụ thuộc nhiệt độ.
Chương 3: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng đơn lớp và hai lớp spin
nguyên tử. Áp dụng biểu thức được thiết lập cho màng mỏng từ gồm vài lớp spin

nguyên tử ở chương 2 để tìm biểu thức độ từ hóa và biểu thức phổ năng lượng của
sóng spin trong các trường hợp cụ thể: trường hợp màng mỏng đơn lớp với trao đổi dị
hướng trong mặt màng; trường hợp màng mỏng gồm hai lớp nguyên tử với sự ảnh
hưởng của tích phân dị hướng trong mặt lớp và giữa các lớp lên độ từ hóa và phổ sóng
spin.

8


CHƯƠNG 1
HÀM GREEN NHIỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM

Chương 1 đưa ra tổng quan về phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm,
Hamiltonian từ và phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA) làm cơ sở khoa học
cho việc tính toán ở các chương sau.
Phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm có ứng dụng rất rộng rãi trong
vật lý thống kê đó là một công cụ hữu hiệu để tính toán các đặc trưng vĩ mô và vi mô
(ví dụ năng lượng kích thích cơ bản, thời gian sống của hạt …). Trong các bài toán
động học như tính độ dẫn điện, độ cảm từ, hệ số động học … người ta cũng thường sử
dụng phương pháp hàm Green. Phương pháp hàm Green hai thời điểm cho các hệ từ
tính được mô tả trong [9].

1.1 Hàm tương quan thời gian và hàm Green
1.1.1
Hàm tương quan thời gian
Cho A(t) và B(t’) là các toán tử trong biểu diễn Heisenberg
A( t ) = e iHt A( 0 ) e − iHt ; B( t ') = e iHt ' B( t ') e − iHt '

Ở đây H là Hamiltonian của hệ (ta coi H chứa cả số hạng -λ
và

N

(1.1)
N

, với λ là hoá thế

là toán tử số hạt tổng cộng trong hệ). Trong trường hợp tổng quát A, B có thể là

tích của các hàm sóng lượng tử hoá hay các toán tử sinh huỷ hạt. Phương trình chuyển
động cho các toán tử có dạng:

9


dA( t )
= e iHt [ iHA( 0) − A( 0) iH ] e − iHt
dt

i

hay

dA( t )
= [ A( t ) , H ] = A( t ) H − HA( t )
dt

(1.2)

Giao hoán tử ở phía bên phải của (1.2) có thể chứa nhiều số toán tử tuỳ thuộc
vào dạng của Hamiltonian H .
Ta định nghĩa hàm tương quan thời gian của hai toán tử A(t), B(t’) là
A( t ) B( t ')

FAB(t,t’)=

(1.3)

Ngoặc nhọn <…> biểu thị trung bình thống kê với Hamiltonian H.
<A> = Tr (ρ A)

(1.4a)

Ở đây ρ là toán tử thống kê ( Tr là ký hiệu lấy vết – Trace)
 H
exp − 
 θ 
ρ=
Q

, θ=kBT

(1.4b)

Q còn là tổng thống kê

 −H

Q = Tr  e θ










(1.4c)

Mối quan hệ giữa tổng thống kê và thế nhiệt động Ω thể hiện qua đẳng thức
H

−

Ω = −θ ln Tre θ



Ω
e θ

−

−

( Hoặc

H

e θ







= Tr (

) = Q ). Toán tử thống kê còn được viết là
10

(1.4d)


ρ

Ω− H
=e θ

(1.5)

Do tính chất bất biến của vết – Tr với hoán vị tuần hoàn các toán tử dưới dấu
vết Tr nên hàm tương quan (1.3) chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian (t – t’). Thật vậy
H
H
H




− 
− 
− 


 iHt
 iH ( t − t ')

− iH ( t − t ' )
− iHt ' θ 
− iH ( t − t ' )
θ
Tr  A( t ) B( t ') e  = Tr e A( 0 ) e
B( 0) e
e  = Tr e
A( 0 ) e
B( 0) e θ 







=

H

−


−iH ( t −t ')
iH ( t −t ') θ
Tr  A( 0 ) e
B( 0) e
e







Hay FAB(t,t’) = FAB(t-t’)

(1.6)

Khi thời gian trùng nhau t = t’ hàm tương quan thời gian trở thành trung bình
thống kê thông thường

F AB (t , t ' ) = F AB (0) = A(0) B (0)

(1.7)

Lấy đạo hàm của hàm tương quan thời gian (1.3) theo một biến thời gian (t
chẳng hạn) ta sẽ có phương trình mô tả sự biến đổi của nó theo thời gian (xem (1.2)).

dFAB ( t , t ') d
dA( t )
=

A( t ) B( t ') =
B ( t ')
dt
dt
dt
Hay

i

d
A( t ) B( t ') = [ A( t ) , H ] B( t ')
dt

(1.8)

Phía bên phải của (1.8) chứa giao hoán tử của A(t) với H nói chung chứa một
số toán tử lớn hơn bên phải – đó là hàm tương quan bậc cao hơn. Hoàn toàn tương tự
nếu lấy đạo hàm bên phải của (1.8) theo t ta được hệ các phương trình chuyển động
kiểu móc xích

11


i

d
[ A( t ) , H ] B( t ') =
dt

[[ A( t ) , H ], H ] B( t ')

(1.9)

Hệ móc xích các phương trình chuyển động (1.8), (1.9) không giải chính xác
được mà cần phải áp dụng một phép gần đúng nào đó ví dụ ngắt chuỗi phương trình
đó ở một bước nào đó để nhận được một hệ phương trình hữu hạn sau đó giải hệ để
tìm biểu thức cho hàm tương quan.

1.1.2

Hàm Green
Chúng ta định nghĩa hàm Green chậm (ký hiệu r – retarded), nhanh (a –

advanced) và nguyên nhân (c – causal) như sau:
r)
( t , t ') =
G (AB

A( t ) | B ( t ')

(r)

= θ ( t − t ') [ A( t ) , B ( t ') ] ξ

(1.10a)

( a ) ( t , t ') =
G AB

A( t ) | B( t ')

( a)

= −θ ( t '−t ) [ A( t ) , B( t ') ] ξ

(1.10b)
c)
G (AB
( t , t ') = A( t ) | B( t ')

( c)

= Tξ A( t ) B ( t ')
(1.10c)

Ở đây ký hiệu giao hoán tử

[ ,] ξ

và trật tự thời gian

Tξ

cũng như hàm bậc

thang θ(x) có ý nghĩa là

[ A( t ) , B( t ') ] ξ

= A( t ) B( t ') − ξB ( t ') A( t )

(1.11a)

Tξ A( t ) B( t ') = θ ( t − t ') A( t ) B ( t ') + ξθ ( t '−t ) B ( t ') A( t )
1, x > 0
θ ( x) = 
0, x < 0

12

(1.11b)

(1.11c)


Tham số ξ = 1 hay -1 được chọn tuỳ theo sự tiện lợi không phụ thuộc vào định
luật giao hoán cho A, B. Thông thường người ta chọn ξ = 1 nếu các toán tử A, B thể
hiện qua các toán tử kiểu Bose và ξ = -1 nếu chúng được thể hiện qua các toán tử kiểu
Fermi.
Một trong các tính chất của hàm Green là do chúng được biểu thị qua các hàm
tương quan (1.3) nên chúng cũng chỉ là hàm số của hiệu thời gian (t – t’).

( )

( )

j
( t , t ') = G ABj ( t − t ')
G AB

A| B

(j = r, a, c)

(1.12)

( j)

Theo định nghĩa hàm Green

phụ thuộc tuyến tính vào các tham số

trước toán tử A, B hay

α1 A1 + α 2 A2 | B

( j)

= α1 A1 | B

( j)

+ α 2 A2 | B

( j)
(1.13)

Với α1, α2 là các số tuỳ ý.
Bây giờ ta sẽ lập phương trình chuyển động cho hàm Green bằng cách đạo hàm
(1.10a), (1.10b), (1.10c) theo t. Khi đó chúng ta phải biết cách đạo hàm hàm bậc thang
θ(t). Để làm việc này ta dùng biểu diễn tích phân sau của hàm gián đoạn θ(t)

θ (t) =

t

∫e

εt '

δ ( t ') dt '

−∞

(

ε → +0

)

(1.14)

Ở đây δ(t) là hàm delta – Dirac. Chú ý rằng theo (1.14)
dθ (t )
= δ (t )
dt

(1.15)

Sử dụng (1.15), phương trình chuyển động cho toán tử (1.2), ta được phương
trình chuyển động (viết chung cho cả ba loại hàm Green)

i

d
( j)
A( t ) | B( t ')
= iδ ( t − t ') [ A( t ) , B( t ') ] ξ +
dt
13

[ A( t ) , H ] | B( t ') ( j )
(j=r,a,c)

(1.16)


Phương trình (1.16) khác với phương trình chuyển động (1.8) cho hàm tương
quan ở chỗ bên phải có số hạng thứ nhất với hệ số là hàm delta. Phương trình (1.16)
giống với phương trình toán lý cho hàm truyền (hàm Green) cho nên các biểu thức
(1.10a), (1.10b), (1.10c) được gọi là định nghĩa cho hàm Green nhiệt độ hai thời điểm.
Tương tự như khi nhận được chuỗi phương trình móc xích cho hàm tương quan
thời gian, ta có thể lấy đạo hàm theo t tiếp đối với hàm Green bậc cao ở vế bên phải
của (1.16) (số hạng thứ hai).
i

d
dt

[ A(t),H ]

B(t')

(j)

= iδ(t − t') [[ A(t),H ] B(t')]ξ +

[ [ A(t),H ] ,H ]

B(t')

(j)

(1.17)

[ A(t),H ]
(1.17) là phương trình chuyển động cho hàm Green

B(t')

(j)

. Nếu

lấy đạo hàm theo t tiếp cho hàm Green bậc cao hơn nữa (số hạng thứ hai trong bên
phải của (1.17)) và tiếp tục quá trình đó ta sẽ nhận được chuỗi phương trình móc xích
cho các hàm Green

A|B

(j)

; [ A,H ] B

(j)

;

[ [ A,H ] ,H ]

(j)

B

...

Chuỗi phương trình móc xích cho ta loại hàm Green chậm, nhanh và nguyên
nhân đều như nhau

1.2 Biểu diễn Fourier cho hàm Green
Vì hàm Green là hàm của biến (t – t’) (cũng như các hàm tương quan) ta có thể
phân tích các hàm đó theo tích phân Fourier

( j)
G AB ( t − t ') =

( j)
G AB
(E)

∞

( j)

∫ G AB ( E ) e

− iE ( t − t ')

dE

−∞

(1.18a)

gọi là ảnh Fourier của nguyên hàm

14

( j)
G AB
(t − t ' )

.


Biến đổi Fourier ngược cho ta mối liên hệ giữa ảnh Fourier và nguyên hàm

( j) ( E) = 1
G AB

2π

∞

( j)

∫ G AB ( t ) e

iE ( t )

dt

−∞

(1.18b)

Với j = r, a, c
Sử dụng (1.18a) ta có thể viết phương trình chuyển động cho hàm Green
(1.16):
∞
∞
i ∞ − iE(t − t')
(j) − iE(t − t')
e
dE =
dE [ A,B] ξ + ∫
∫ E A|B
∫ e
E
2π − ∞
−∞

−∞

[ A,H ]

B

(j) − iE(t − t')
e
dE
E

Hay

E A| B

( j)
E

=

A| B

Ở đây, ký hiệu

[ A,H ]

B

i
2π

( j)
E

[ A, B ] ξ

+

[ A, H ]

B

( j)
E

(1.19)

biểu thị hàm Green ảnh

( j)
G AB
(E)

, còn

(j)
E

là hàm Green ảnh của hàm Green bậc cao tương ứng. Ngoài ra, ta đã

sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac

δ ( t − t ') =

1
2π

∞

∫e

− iE ( t − t ')

dE

−∞

(1.20)

Phương trình đạo hàm Green ảnh (1.19) được gọi là phương trình chuyển động
cho hàm Green trong biểu diễn E (biểu diễn năng lượng).
Để giải phương trình cho hàm Green (1.16) ta cũng cần biết điều kiện biên theo
t của các hàm đó, điều kiện này khác nhau cho từng loại hàm Green nhanh, chậm,
nguyên nhân. Dạng các điều kiện biên xuất phát ngay từ định nghĩa của chúng (1.10a),
(1.10b), (1.10c). Một cách tiện lợi hơn là ta sử dụng ảnh Fourier của hàm Green
15


j)
G (AB
(E)

, khi đó vai trò điều kiện biên sẽ là biểu diễn phổ cho hàm Green hoặc hệ

thức tán sắc (hệ thức tán sắc xác định cách đi vòng cực của hàm Green ảnh, điều đó có
nghĩa là điều kiện biên cho chính hàm Green).
Chúng ta cần thấy rằng sự xuất hiện chuỗi phương trình móc xích (1.16), (1.17)
… cho hàm Green là tất yếu cho hệ các hạt tương tác với nhau: ta không thể xét một
hạt này tách rời khỏi các hạt khác. Nhiệm vụ chính là phải tìm một cách gần đúng để
giải chuỗi phương trình móc xích vô hạn đó. Cách thông thường là ngắt chuỗi hàm
Green ở một bước nào đó để nhận được hệ phương trình hữu hạn cho các hàm Green
rồi giải.

1.3 Biểu diễn phổ cho hàm Green
1.3.1
Biểu diễn phổ cho hàm tương quan
Ta biểu thị một cách hình thức Eν và Cν là các giá trị riêng và hàm riêng của
Hamiltonian H của hệ
(H - Eν)Cν = 0
Hệ các hàm riêng

{ Cν }

(1.21)

là hệ đầy do đó ta có thể viết giá trị trung bình thống kê

của tích hai toán tử

B ( t ') A ( t )


 H
 exp  − θ

= Tr 
Q






÷
÷
 B t' A t ÷
( ) ( )
÷
÷


Vì vết (Tr) là tổng các thành phần ma trận chéo nên

(
ν

)

B ( t ') A ( t ) = Q −1 ∑ Cν* , B ( t ' ) A ( t ) Cν e − Eν

(

ν µ

)(

θ

)

= Q −1 ∑ Cν* , B ( t ') Cµ Cµ* , A ( t ) Cν e − Eν
,

θ

(1.22)
16


Q là tổng thống kê (1.4c). Chú ý rằng
eiHt Cν = eiEν t Cν

(1.23)

Và theo định nghĩa (1.1) về các toán tử trong biểu diễn Heisenberg, (1.22) trở
thành:

(
ν µ

B ( t ') A ( t ) = Q −1 ∑ Cν* , eiHt ' B ( 0 ) e −iHt 'Cµ
,

(
ν µ

)

B ( t ') A ( t ) = Q −1 ∑ Cν* , B ( 0 ) Cµ e
,

(
ν µ

B ( t ') A ( t ) = Q −1 ∑ Cν* , B ( 0 ) Cµ
,

(

) ( Cµ , e
*

iHt

)

A ( 0 ) e −iHt Cν e − Eν

) C* , A ( 0 ) C ei( Eµ −Eν ) t e− Eν
( µ
ν)

i Eν − Eµ t '

) ( Cµ , A ( 0) Cν ) e
*

(

θ

θ

)

−i Eν − Eµ ( t −t ') − Eν θ
e

(1.24)
A ( t ) B ( t ')

Tính toán hoàn toàn tương tự cho hàm tương quan

(
µν

A ( t ) B ( t ') = Q −1 ∑ Cµ* , A ( 0 ) Cν
,

) ( Cν , B ( 0) Cµ )e
*

(

)

−i Eµ − Eν ( t '−t ) − Eµ θ
e

Hay viết theo thứ tự giống (1.24)

(

)(

) −i( E

A( t ) B( t ') = Q −1 ∑ Cν* , B( 0 ) C µ C µ* , A( 0 ) Cν e
ν ,µ

)

ν − E µ ( t − t ') − Eν

e

θ − ( E µ − Eν ) θ

e

(1
.25)

Ta đưa vào khái niệm hàm cường độ phổ IAB(ω)
I AB ( ω ) = Q

−1

∑(

ν ,µ

Cν* , B

( 0 ) Cµ ) (

Cµ* , A

( 0 ) Cν )

E
− ν
e θδ

( Eν − Eµ − ω )
(1.26)

Thì hàm tương quan (1.24), (1.25) được biểu diễn trong dạng tích phân Fourier

17

∞

B ( t ') A ( t ) =

∫ I AB ( ω ) e

−iω ( t −t ')

dω

−∞

A ( t ) B ( t ') =

(1.27a)

∞

ω θ −iω ( t −t ' )

∫ I AB ( ω ) e

e

dω

−∞

(1.27b)

(1.27a), (1.27b) còn được gọi là biểu diễn phổ cho hàm tương quan thời gian.
Khi t = t’ ta có công thức cho trung bình các toán tử dưới dáng tích phân
∞

B ( 0) A ( 0) =

∫ I AB ( ω ) dω

−∞

A ( 0) B ( 0) =

(1.28a)
∞

∫ I AB ( ω )

ω
e θ dω

−∞

(1.28b)

Nhân (1.27a) và (1.28a) với ξ và lấy (1.27b), (1.28b) trừ đi chúng, một cách
tương ứng ta được biểu diễn phổ cho trung bình của các giao hoán tử.

[ A( t ) , B( t ') ] ξ

=

[ A( 0) , B( 0) ] ξ

∫ I AB ( ω ) (e

∞

ωθ

−∞

=

)

− ξ e − i ω ( t − t ' ) dω

(1.29a)

∫ I AB ( ω ) (e

∞

−∞

ωθ

)

− ξ dω

(1.29b)

Đó là các biểu thức chính xác.Tóm lại (1.27a), (1.27b), (1.29a), (1.29b) là biểu
diễn phổ cho các hàm tương quan và cho trung bình của các giao hoán tử.

1.3.2

Biểu diễn phổ cho hàm Green
Hàm Green chậm trong biểu diễn năng lượng ((1.18b), (1.11a))

18


∞

1
G(r) ( E) =
AB

2π

∫e

iE ( t − t ')

dtθ ( t − t ') A( t ) B( t ') − ξB ( t ') A( t )

−∞

Theo (1.29a) thì

∫ dωI AB ( ω ) (e

∞

1
G(r) ( E) =
AB

2π

∫ dωI AB ( ω ) (e

∞

2π

−ξ

−∞

1
G(r) ( E) =
AB

ωθ

ωθ

) ∫ dte −iωt + iEtθ ( t )
∞

−∞

−ξ

−∞

) ∫ dtei( E −ω )tθ ( t )
∞

−∞

(1.30)

Bây giờ ta sử dụng biểu diễn sau cho hàm gián đoạn θ(t) (đặt (1.20) vào
(1.14)):
t

1
θ ( t ) = ∫ e dt '
2π

∞

εt '

−∞

i
θ (t) =
2π

∞

∫

−∞

∫e

− iEt '

dE

−∞

(ε> 0)

e − iEt
dE
E + iε

(1.31)

Ngược lại ta có thể chứng minh theo biểu diễn tích phân (1.31) thì
1
θ (t ) = 
0

khi
khi

t >0
t<0
như sau: Sử dụng tính chất của hàm biến phức cho

rằng E là đại lượng phức. Áp dụng định lý về thặng dư:

19


∫ f ( z ) dz = 2πi Re sf ( z )

γ

z = z0

Hình 1.a: Tích phân γ khép kín trong mặt
phẳng phức E ở bên dưới bao quanh cực E = -iε

(1.32)
z0 là cực của hàm f(z).
f(z) là hàm holomorphic trong mặt phẳng phức trừ ở các cực.
γ là đường chu tuyến bao quanh cực z0, có chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Khi t > 0 ta có thể chọn

Hình 1.b: Tích phân γ khép kín trong mặt
phẳng phức E ở nửa mặt phẳng phía trên

đường lấy tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức E ở bên dưới bao quanh cực E =
-iε (hình vẽ 1.a)
20


i
θ (t ) = −
2π

θ (t ) = −

dE.e − iEt
∫ E + iε

γ

(

i
2πi Re s e − iEt
2π

)

θ(t) = 1
Khi t < 0 đường lấy tích phân nằm khép kín trong nửa mặt phẳng phía bên trên
(hình 1.b). Khi đó đường lấy tích phân không chứa điểm cực E = -iε, hàm dưới dấu
tích phân là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng phức phía trên và θ(t) = 0, đó là điều
phải chứng minh.

Tích phân theo t trong công thức (1.30) trở thành:
∞

∫ dte

i( E −ω ) t

θ ( t) =

−∞

∞

∫

−∞

dte (

i E −ω ) t

θ ( t) =

∞

dE ' i
∫ E '+ iε 2π
−∞

∞

∫ dte

i( E −ω ) t

−∞

∞

−i E '− E +ω ) t
de (
=

∫

−∞

∞

i
e −iE ' t
∫ E '+ iε dE '
2π −∞

∞

dE '
i
iδ ( E '− E + ω ) =
E '+ iε

E − ω + iε
−∞

∫

(1.3
3)

Ảnh Fourier cho hàm Green chậm (1.30) bây giờ được biểu diễn qua hàm
cường độ phổ như sau:

AB

∫ (e

∞

i
G( r) ( E) =

2π

ωθ

)

− ξ ..I AB ( ω )

−∞

dω
E − ω + iε

(1.34)

Bằng cách hoàn toàn tương tự ta có biểu diễn cho hàm Green nhanh
i
G ( a) ( E ) =
AB

2π

∫ (e

∞

ωθ

)

− ξ ..I AB ( ω )

−∞

dω
E − ω − iε

(1.35)

((1.35) chỉ khác (1.34) khi thay +iε → -iε)

21


Trong (1.33)

÷

(1.35) E được coi là thực. Bây giờ nếu ta coi E là đại lượng

phức thì (1.34), (1.35) có thể viết chung làm một công thức
i
G AB ( E ) =
2π

(1.34)

÷

∫ (e

∞

)

G ( r ) ( E )
dω
− ξ .I AB ( ω )
=  AB
E − ω G ( a ) ( E )

 AB

ωθ

−∞

,

Im E > 0

,

Im E < 0

(1.36)

(1.36) được gọi là biểu diễn phổ cho hàm Green.

Hàm Green chậm

(r )
G AB
(E)

và nhanh

a)
G (AB
(E)

là các hàm giải tích trong nửa

mặt phẳng trên (ImE > 0) và dưới (ImE < 0) tương ứng. Cả hai hàm đó có thể xem
như một hàm giải tích GAB(E) có một cực trên trục thật (cho nên trong tính toán nhiều
khi ta không viết ký hiệu hàm Green chậm, nhanh – r hoặc a).
Cũng tương tự ta có thể thiết lập biểu diễn phổ cho hàm Green nguyên nhân
∞



ξ
 eω θ

(
)
I
ω
−

dω
AB
∫
2π
E
−
ω
+
i
ε
E

−
ω
−
i
ε




−∞

i
G ( c) ( E ) =
AB

(1.37)

Sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac

1
1
= P iπδ ( x )
( ε → 0)
x ± iε
x

(1.38)

P – ký hiệu chỉ giá trị chính
Sử dụng (1.38) ta viết (1.37) trong dạng khác

AB

∞


1
1




I AB ( ω ) eω θ  P
− iπδ ( E − ω )  − ξ  P
+ iπδ ( E − ω )  dω
2π
 E −ω

 E −ω


−∞

i
G ( c) ( E ) =

∫

i
G ( c) ( E ) =

AB

2π

∫ (e

∞

−∞

ωθ

)


1

− ξ I AB ( ω )  P
− iπ
E
−
ω



22

eω θ + ξ




δ ( E − ω ) dω

eω θ − ξ


(1.39)


Hàm Green nguyên nhân (1.39) chỉ xác định trên trục thật (E thực) ở nhiệt độ
hữu hạn θ ≠ 0 không thể khai triển vào mặt phẳng phức được, do đó người ta ít sử
dụng nó. Từ nay về sau ta sẽ sử dụng hàm Green nhanh hoặc chậm mà thôi.
Một ứng dụng quan trọng của biểu diễn phổ (1.36) là ta có thể xác định cường
độ phổ IAB(ω) nếu biết ảnh Fourier GAB(E)
I AB ( ω ) = { G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε )}

1
eω θ − ξ

(1.40)

Thật vậy, theo (1.36)
G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε ) =

i
2π

∞

∫

−∞

(eω ' θ − ξ )I AB (ω ') dω ' ω − ω1 '+iε − ω − ω1 '−iε 

Áp dụng (1.38) cho biểu thức trong ngoặc móc, ta được
G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε ) =

i
2π

∫ (e

∞

ω' θ

−∞

)

− ξ I AB ( ω ') dω ' ( − 2iπ )δ ( ω − ω ')

(

)

G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε ) = eω θ − ξ I AB ( ω )
Đó là điều phải chứng minh.
Biết IAB(ω) (1.19) ta dễ dàng tính được trung bình thống kê tích các toán tử theo

(1.8a) hoặc (1.8b). Thí dụ (1.8b) được viết là
A( 0 ) B( 0 ) =

∞

∫

eω θ

ωθ
−ξ
−∞ e

{ G AB ( ω + iε ) − G AB ( ω − iε )}dω
(1.41)

Nếu A là toán tử sinh hạt A = a +, B là toán tử huỷ hạt B = a thì (1.20) cho ta
cách tính giá trị trung bình số hạt

nˆ = a + a

ở một nhiệt độ xác định.

1.4 Hamiltonian sắt từ và các toán tử spin
23


Hamiltonian Heisenberg:Trước hết chúng ta nghiên cứu hiện tượng sắt từ trong
Sj

tinh thể từ trật tự gồm các nguyên tử từ có spin

đứng tại nút j của mạng tinh thể

j

hoàn hảo (j là chỉ số nút mạng, ta cũng kí hiệu

là vectơ chỉ vị trí nút mạng trong hệ

toạ độ tinh thể). Các spin tại nút i và j tương tác trao đổi với nhau và độ lớn của tương
tác đó được đặc trưng bởi tích phân trao đổi Jij. Xét về mặt vi mô, nguyên nhân của
tương tác trao đổi là sự phủ của các hàm sóng quỹ đạo của các điện tử thuộc các lớp
vỏ điện tử không chiếm đầy hoàn toàn của các nguyên tử từ (ở đây nói về tương tác
trao đổi trực tiếp, ngoài ra còn có thể có cơ chế trao đổi gián tiếp qua các ion hoặc
điện tử trung gian).
Hamiltonian mô tả hệ spin định xứ tương tác trao đổi với nhau và được đặt
trong trường ngoài được viết là:
H = − ∑ J ij S i S j − gµ B h∑ S iz
i≠ j

i

(1.42)
Tổng thứ nhất lấy theo mọi cặp (i, j) khác nhau; h – cường độ từ trường ngoài,

µB =
g – nhân tử Lande,

e

2mc

Magneton Bohr. Số hạng thứ hai là số hạng Zeeman

mô tả tương tác của hệ spin với từ trường ngoài
giảm rất nhanh khi khoảng cách giữa

i

h

hướng song song với trục z. Vì Jij

j

và

tăng lên nên trong tính toán người ta

thường dùng các phép gần đúng sau:
+ Gần đúng lân cận gần nhất (nearest neigbour approximation – viết tắt là n.n)
Jij = J1 khi i và j là lân cận gần nhất, Jij = 0 khi i ≠ j không là lân cận gần nhất.
+ Gần đúng đến lân cận thứ hai (n.n.n – next nearest neigbour)
Jij = J1 (i, j là lân cận gần nhất)
Jij = J2 (i, j là lân cận thứ hai)
24


Jij = 0 (trong các trường hợp khác)
Để thấy rõ đóng góp vào tương tác của các spin người ta hay viết (1.42) như

sau:

H = −∑ ∑ J α S j S j + δ α − gµ B h∑ S zj
j δα

j

(1.43)

Chỉ số α chỉ các loại spin (α=1 là n.n, α=2 là n.n.n…) là lân cận loại nào tương
ứng với tích phân trao đổi J1, J2 …

δα

vectơ kể từ nút j tới các nút lân cận biến α.

Hamiltonian (1.42), (1.43) có thể mô tả một số loại trật tự từ
- Sắt từ (ferromagnetism – F) khi J1> 0.
- Phản sắt từ (Antiferromagnetism – AF) khi J1< 0.
- Cấu trúc từ xoắn (Helimagnetism – H) khi tính tới cả tương tác n.n.n, ngoài ra
J1, J2 khác dấu nhau.
Trật tự từ được đặc trưng bởi “tham số trật tự”. Thí dụ trong trường hợp sắt từ
ở trạng thái cơ bản tất cả các moment spin nguyên tử song song với nhau nên ta chọn
Sz

tham số trật tự là

. Điều đó có thể thấy rõ ngay vì thành phần z của moment từ

tổng cộng

M z = ∑ gµ B S zj = Ng µ B S z
j

(1.44)
Sz
Mz
σ=
=
Ngµ B S
S

25