Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ

Luận văn thạc sĩ khoa học

LỜI CẢM ƠN
Trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Đình Dũng. Cảm ơn thầy đã hướng dẫn, chỉ
bảo em nhiệt tình trong suốt quá trình học tập môn học và quá trình em
thực hiện luận văn này
Qua đây, em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ vật
lý lý thuyết và vật lý toán, các thầy cô trong khoa Vật Lý, ban chủ
nhiệm khoa Vật lý trường Đại học khoa học tự nhiên đã quan tâm tạo
điều kiện giúp đỡ em trong thời gian làm khóa luận cũng như trong
suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng cảm ơn đến các bạn trong tập thể
lớp Cao học 2009- 2011 và gia đình em đã đóng góp những ý kiến quý
báu và tạo điều kiện giúp em thực hiện luận văn này.

Hà Nội, ngày 26 tháng 10 năm 2011
Học viên: Vũ Thị Thu Trang

Vũ Thị Thu Trang

1


Luận văn thạc sĩ khoa học

MỤC LỤC
Mở đầu: .................................................................................................................... 2
Chương 1 - Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 2 - Tiến động hạt nhân của spin của các nơtron trong
môi trường phân cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Tính góc tiến động bằng phương pháp toán tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng. . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Sử dụng bảo toàn năng lượng để tính góc tiến động. . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 3 - Phản xạ gương của nơtron phân cực trên mặt biên gồ ghề
giữa chân không và vật chất có các hạt nhân phân cực . . . . . . . . 17
3.1. Ảnh hưởng của sự gồ ghề mặt biên “chân không – vật chất” có các
hạt nhân phân cực lên phản xạ gương của các nơtron phân cực. . . . . . 17
3.2. Véctơ phân cực của nơtron phản xạ gương trên mặt biên gồ ghề
giữa chân không và vật chất có các hạt nhân phân cực. . . . . . . . . . . . . 22
Chương 4 - Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể
có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ. . . . . . . . . . 25
4.1. Tiết diện hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron
trên tinh thể có các hạt nhân phân cực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Tiết diện tán xạ bề mặt hiệu dụng của các nơtron trong
trường hợp có phản xạ toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kết luận: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Vũ Thị Thu Trang

2


Luận văn thạc sĩ khoa học

MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, sự tán xạ của nơtron chậm đã được sử dụng rộng
rãi để nghiên cứu vật lý các chất đông đặc.
Các nơtron chậm là một công cụ độc đáo trong việc nghiên cứu động học của
các nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng [14,15,19,20,21]
Hiện nay, để nghiên cứu cấu trúc tinh thể, đặc biệt là cấu trúc từ của tinh thể,
phương pháp quang nơtron đã được sử dụng rộng rãi. Chúng ta dùng chùm nơtron
chậm phân cực bắn vào bia (năng lượng cỡ dưới 1 MeV và không đủ để tạo ra quá
trình sinh hủy hạt ). Nhờ nơtron có tính trung hòa điện, đồng thời môment lưỡng
cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên nơtron không tham gia tương tác điện dẫn
đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào tinh thể là rất lớn, và bức tranh giao thoa
của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc tinh thể và cấu trúc từ của bia.
Điều đó giúp ta hiểu rõ hơn về sự tiến động spin của các nơtron trong bia có các
hạt nhân phân cực [2,9,17,18,25]
Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực
trong tinh thể phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan trọng về
tiết diện tán xạ của các nơtron chậm trong tinh thể phân cực, hàm tương quan spin
của các hạt nhân...[11,12,13,25]. Ngoài ra các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các
nơtron trong tinh thể phân cực đặt trong trường ngoài biến thiên tuần hoàn và sự
thay đổi phân cực của nơtron trong tinh thể cũng đã được nghiên cứu [9,11,13].
Trong bài luận văn này, chúng tôi nghiên cứu: Tán xạ hạt nhân của các nơtron
phân cực trên mặt tinh thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản
xạ
Một phần kết quả của luận văn đã được báo cáo tại hội nghị vật lý lý thuyết
toàn quốc lần thứ 36 tổ chức tại thành phố Quy Nhơn tháng 8 năm 2011.

Vũ Thị Thu Trang

3

Luận văn thạc sĩ khoa học

Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương:

Chương 1 - Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Chương 2 - Tiến động hạt nhân của spin của các nơtron trong môi trường
phân cực.
Chương 3 - Phản xạ gương của nơtron phân cực trên mặt biên gồ ghề
giữa chân không và vật chất có các hạt nhân phân cực
Chương 4 - Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể có các
hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ

Vũ Thị Thu Trang

4


Luận văn thạc sĩ khoa học

CHƯƠNG 1 – LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Trong trường hợp khi bia tán xạ cấu tạo từ số lớn các hạt (ví dụ như tinh thể),
để tính toán tiết diện tán xạ một cách thuận tiện ta đưa vào lý thuyết hình thức luận
thời gian
Giả sử ban đầu bia được mô tả bởi hàm sóng n , là hàm riêng của toán tử
Hamilton của bia
H n =En n

(1.1.1)

Sau khi tương tác với nơtron sẽ chuyển sang trạng thái n ' . Còn nơtron có thể
thay đổi xung lượng và spin của nó. Giả sử ban đầu trạng thái của nơtron được mô
r

tả bởi hàm sóng p . Ta đi xác định xác suất mà trong đó nơtron sau khi tương tác
r

với hạt nhân bia sẽ chuyển sang trạng thái p ' và hạt bia chuyển sang trạng thái
n'

Xác suất Wn’p’|np của quá trình đó được tính theo lý thuyết nhiễu loạn trong gần
đúng bậc nhất sẽ bằng :
Wn ' p '|np =

r
r
2π
n ' p ' V np
h

2

δ ( En + E p − En ' − E p ' )

(1.1.2)

Trong đó:
V là toán tử tương tác của nơtron với hạt nhân bia.
En , E p , En ' , E p ' là các năng lượng tương ứng của hạt bia và nơtron trước và sau

khi tán xạ.
δ ( En + E p − En ' − E p ' ) - hàm delta Dirac.

δ ( En + E p − En ' − E p ' )

Vũ Thị Thu Trang

+∞
i
− ( En + E p − En ' − E p ' ) t
1
h
=
dt
∫e
2π h −∞

5

(1.1.3)


Luận văn thạc sĩ khoa học

Chúng ta quan tâm tới xác suất toàn phần W p’|p của quá trình trong đó nơtron
r

sau khi tương tác với bia sẽ chuyển sang trạng thái p ; nó nhận được bằng cách
tổng hóa các xác suất Wn’p’|np theo các trạng thái cuối của bia và lấy trung bình theo

các trạng thái đầu. Bởi vì bia không luôn ở trạng thái cố định do đó ta phải tổng
quát hóa đối với trường hợp khi nó ở trong trạng thái hỗn tạp với xác suất của trạng
thái n là ρ n . Theo đó ta có:
Wp '| p =
=

2π
h

∑ρ

2π
h

∑ρ

n

r
r
n ' p ' V np

δ ( E n + E p − En ' − E p ' )

2

nn '

n

n ' Vp ' p n

2

nn '

δ ( En + E p − En ' − E p ' )

(1.1.4)

Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho các yếu tố ma trận
r
r
n ' p ' V np = n ' V p ' p n

(1.1.5)

Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tương tác của nơtron với hạt bia lấy
theo các trạng thái của nơtron và Vp’p là toán tử tương đối với các biến số hạt bia
Thay phương trình (1.1.3) vào (1.1.4) ta được:
Wp '| p

1
= 2
h

+∞

∫e

i
Ep ' −Ep t
h

(

)

dt ∑ ρ nn ' n ' V p ' p n

*

n ' Vp ' p n e

i
( En ' − En ) t
h

(1.1.6)

nn '

−∞

En, En’ là các trị riêng của toán tử Hamilton H với các hàm riêng là n , n ' , từ
đó ta viết lại trong biểu diễn Heisenberg:
i

( En ' − En ) t

n ' Vp ' p n e h
i

Ht

Ở đây: V p ' p ( t ) = e h V p ' p e

i
− Ht
h

= n ' Vp ' p ( t ) n

(1.1.7)

là biểu diễn Heisenberg của toán tử Vp’p với toán

tử Hamilton.
Thay (1.1.7) vào (1.1.6), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm
tới sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bia sau tương tác, vì vậy công thức lấy
tổng theo n’, n chính là vết của chúng và được viết lại:

Vũ Thị Thu Trang

6


Luận văn thạc sĩ khoa học

Wp '| p =

+∞

i
( Ep ' −Ep ) t
h
e
dt ∑ ρ nn ' n ' V p+' pV p ' p ( t ) n
∫

1
h2

nn '

−∞

1
= 2
h

+∞

∫

−∞

i
( Ep ' −Ep ) t
dte h

Sp { ρV p+' pV p ' p ( t ) }

(1.1.8)

Ở biểu thức cuối, biểu thức dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia ρ ,
các phần tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất ρ n .
Theo qui luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt động
ta có hàm phân bố trạng thái là:
ρ=

Với: β =

e− β H
Sp { e− β H }

1
k zT

k z - hằng số Boltmann

T - Nhiệt độ
Giá trị trung bình thống kê của đại lượng Vật lý được tính theo các hàm phân
bố là:
A = ∑ ρn A =
n

Sp { e − β H A}

(1.1.9)

Sp { e − β H }

Kết hợp (1.1.8) và (1.1.9) ta được:
Wp '| p

1
= 2
h
1
= 2
h

+∞

∫ dte

i
Ep ' −Ep t
h

(

)

−∞

+∞

∫ dte

Sp { ρV V p ' p ( t ) }

i
E p ' − Ep t
h

(

)

+
p' p

1
= 2
h

+∞

∫ dte

(

{

−β H +
) Sp e V p ' pV p ' p ( t )

i
Ep ' −Ep t

h

−∞

V p+' pV p ' p ( t )

Sp { e − β H }

}

(1.1.10)

−∞

Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị ( trên hàm δ ) thì tiết
diện tán xạ hiệu dụng được tính trên một đơn vị góc cầu và một khoảng đơn vị năng
lượng

d 2σ
, sẽ liên quan tới xác suất này bởi biểu thức sau:
d ΩdE

Vũ Thị Thu Trang

7


Luận văn thạc sĩ khoa học

+∞

i
( Ep ' −Ep ) t +
d 2σ
m2 p '
m2
p'
h
=
W
=
dte
V p ' pV p ' p ( t )
p
'|
p
3
3 5
∫
d ΩdE p ' ( 2π h) p
( 2π ) h p −∞

(1.1.11)

Gạch trên đầu là trung bình theo các trạng thái spin của nơtron trong chùm các
nơtron ban đầu và tổng hóa các trạng theo các trạng thái spin trong chùm tán xạ
m - khối lượng nơtron
Trong công thức (1.1.11) đưa vào toán tử mật độ spin của nơtron tới ρσ và sử
dụng công thức:
L = Sp { ρσ L}

(1.1.12)

Do đó dạng tường minh của công thức (1.1.11) được viết lại là:
+∞

i
( Ep ' −Ep ) t
d 2σ
m2
p'
h
=
dte
Sp { ρσ V p+' pV p ' p ( t ) }
3 5
∫
d ΩdE p ' ( 2π ) h p −∞

(1.1.13)

Trong đó: ρσ - ma trận mật độ spin nơtron
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể
Tán xạ của nơtron chậm khi đi vào mạng tinh thể sẽ chịu tác động của tương
tác hạt nhân và tương tác từ.
1.2.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Ta xây dựng thế hạt nhân của nơtron và hạt nhân bia dưới dạng sau:

Trong đó

r r
V (rn) = αδ ( rn − R )
rr
α = A + B ( sJ )

(1.2.1)
(1.2.2)

MERGEFORMAT rn - vị trí của nơtron
R - Vị trí của hạt nhân
A, B - là các hằng số
r
J - Spin của hạt nhân
r
s - Spin của nơtron

Do đó thế tương tác của nơtron với hạt nhân thứ l là:
r r
Vl (rn ) = αδ (rn − Rl )

Vũ Thị Thu Trang

8

(1.2.3)


Luận văn thạc sĩ khoa học

Lấy tổng công thức (1.2.3) theo l từ 1 đến số hạt nhân trong bia ta sẽ tìm được

thế tương tác của nơtron với toàn bộ bia:
N

rr

V p ' p = ∑ α l ei qRl

(1.2.4)

l =1

r

Các yếu tố ma trận V p ' p thuộc toán tử tương tác hạt nhân V từ xung lượng p
r

đến p ' được ghi nhận trên cơ sở (1.2.3) có dạng:
r ur
rr
V p' p = ∑ Al + Bl sJ l eiq Rl
l

r

(

( ))

(1.2.5).

ur ur

Trong đó q = p − p ' : Véctơ tán xạ của nơtron
1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ.
Tương tác từ của nơtron trong mạng tinh thể xuất hiện do các điện tử tự do
chuyển động. Và bản thân nơtron cũng có mômen từ sinh ra. Thế đặc trưng cho
tương tác này được cho bởi biểu thức [21]
Vp ' p

rr
r r rr r
4π h2
r iqR
=−
r0γ ∑ Fj ( q )e j S j , s − (es )e
m
j

(

)

(1.2.6).

Trong đó:
r0 =

e2
: là véctơ bán kính điện từ của electron
m0 c 2

m - khối lượng nơtron
γ = −1.913 - độ lớn mômen từ hóa trên manhêton Bohr hạt nhân
r
S j - Spin của nguyên tử thứ j
r
Rl - là véctơ tọa độ vị trí hạt nhân thứ l
r r r
q = p − p ' - véctơ tán xạ của nơtron
r
r q
e = - véctơ tán xạ đơn vị
q
r
s - spin của nơtron tới
r
rr r uu
Z j eiqrυ s S
ν j
r
ψ j dτ j
Biểu thức Fj (q ) = ∫ψ *j ∑
υ S j ( S j + 1)

(

Vũ Thị Thu Trang

)

9

(1.2.7)


Luận văn thạc sĩ khoa học

ur

zj

r

Với S j = ∑ sν là toán tử spin của nguyên tử thứ j
ν

S j là đại lượng spin của nguyên tử thứ j

ψ j là hàm sóng của điện tử thứ j
r
Fj (q ) đặc trưng cho sự phân bố của mật độ spin trong nguyên tử

Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ
trong tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ. Do đó trong biểu
thức tiết diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp hai phần được đặc trưng bởi hai loại
tương tác ở trên
d 2σ n
d 2σ m
d 2σ
=

+
d ΩdE p ' d ΩdE p ' d ΩdE p '

(1.2.8)

Do vậy đại lượng V p ' p được viết lại dưới dạng sau:
r ur
rr
rr
r r rr r
4π h2
r iqR
V p' p = ∑ Al + Bl sJ l eiq Rl −
r0γ ∑ F j (q )e j S j , s − (es )e
m
l
j

(

( ))

(

)

(1.2.9)

Từ đó ta đi tính được tiết diện tán xạ vi phân
+∞

i
( Ep ' −Ep ) t
d 2σ
m2
p'
h
=
dte
Sp { ρσ V p+' pV p ' p ( t ) }
3 5
∫
d ΩdE p ' ( 2π ) h p −∞

Vũ Thị Thu Trang

10

(1.2.10)


Luận văn thạc sĩ khoa học

CHƯƠNG 2 – TIẾN ĐỘNG HẠT NHÂN CỦA SPIN CỦA
CÁC NƠTRON TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN CỰC
2.1. Tính góc tiến động bằng phương pháp toán tử.
Giả sử hạt tới và bia đều có spin. Chúng ta xem xét quá trình chuyển động
của nơtron chậm qua vật chất.
Trong trường hợp này, hàm sóng mô tả quá trình va chạm đàn hồi của nơtron
với hạt nhân được gắn ở điểm Ri có dạng :

r r ur

i k r − Ri
rr
r ur
r
e
ψ r = eik r χ n χ n 0 + µf r ur ei k Ri χ n χ n 0
r − Ri

( )

(2.1.1)

Trong đó: χ n là hàm sóng spin của nơtron tới, χ n 0 là hàm sóng spin của hạt
nhân
Trong trường hợp các nơtron chậm, bước sóng lớn hơn nhiều so với kích
thước của hạt nhân, vì vậy biên độ tán xạ không phụ thuộc vào góc tán xạ và có thể
được viết dưới dạng:
ur
µf = α + βσ J

(2.1.2)

ur

Trong đó: σ = 2S , S là toán tử spin của nơtron

ur
σ là toán tử ma trận được tạo bởi các ma trận Pauli

J là toán tử spin của hạt nhân
α=

I +1 +
I
a+ − a−
a +
a − và β =
2I + 1
2I + 1
2I + 1

a + là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với mômen tổng cộng của nơtron và

hạt nhân là I +

1
2

a − là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với mômen tổng cộng của nơtron và

hạt nhân là I −

1
2

Trong quá trình tán xạ trên hệ hạt nhân, hàm sóng viết lại có dạng sau:

Vũ Thị Thu Trang

11


Luận văn thạc sĩ khoa học
r r ur

i k r − Ri
rr
r ur
r
e
ik r
µ
ψ r = e χ n ∏ χ nuc.m + ∑ f i r ur ei k Ri χ n ∏ χ nuc.m
r − Ri
i
m
m

( )

Trong đó

∏χ

nuc .m

m

(2.1.3)

là hàm sóng spin của các hạt nhân với giả thiết rằng các hạt

nhân không tương tác với nhau.
Để tìm sóng kết hợp trong trường hợp này, chúng ta làm trung bình cộng công
thức (2.1.3) theo phân bố của các hạt nhân bia và theo các trạng thái spin của chúng
Sự trung bình hóa đó dẫn đến biểu thức sau của hàm sóng:
r
ψ r

( )

rr
ik r

= e χ n + ∑ ¶f m
i

ur

r r ur
i k r − Ri

r ur
e
r ur ei k Ri χ n
r − Ri

(2.1.4)

ur

Trong đó: µf = α + βσ J = α + β I σ p
r
ur
J
: Véctơ phân cực của hạt nhân
p=
I

I: spin của hạt nhân
Nếu các hạt nhân được phân bố hỗn loạn trong mặt phẳng z = z0 thì chúng ta
sẽ nhận được biểu thức sau cho sóng kết hợp đi qua mặt phẳng trên:
r
ψ r

( )

ur  uurr
 2π i ρ
= 1 +
(α + β I σ p) ÷ei K r χ n
kz



(2.1.5)

Trong công trình [16], toán tử

i ur r
B = 1 + δθση p
2

(2.1.6)
r

được gọi là toán tử spin quay xung quanh một trục đặc trưng bởi vectơ đơn vị η p
một góc δθ ; δθ <<1
So sánh (2.1.5) và (2.1.6) ta có thể kết luận: Sau khi đi qua mặt phẳng phân
cực, spin của nơtron đã quay đi 1 góc:
δθ =

4πρ
Ip Re ( β )
kz

Nếu hàm sóng của các nơtron đi qua m mặt thì góc quay tổng cộng là:

Vũ Thị Thu Trang

12

(2.1.7)


Luận văn thạc sĩ khoa học

θm =

4πρ
Ipm Re ( β )
kz

(2.1.8)

Hay, khi đi qua 1 tấm bia có độ dày L xác định, chúng ta sẽ thu được: Khi
nơtron đi qua bia phân cực này, spin của nó sẽ quay đi 1 góc:
θ=

4πρ
Re ( β ) Ipl
kz

(2.1.9)

Kết quả này có thể nhận được bằng các phương pháp khác
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng

ur

Chọn trục lượng tử song song với véctơ phân cực của hạt nhân p . Nếu nơtron
ur

1 

tới mặt phẳng có spin song song với véctơ p ( χ n =  ÷), thì sóng kết hợp ψ (r )
0

+

có dạng:
r
ψ r

( )

+

 2π i ρ µ  i kr rr 1 
= 1 +
f + ÷e  ÷
kz
0



(2.2.1)

Trong đó: µf + = α + β Ip là biên độ tán xạ kết hợp đàn hồi dưới góc bằng 0 của
nơtron với spin song song với véctơ phân cực của hạt nhân p
r

( )

Đối với nơtron có spin ngược lại thì sóng kết hợp đàn hồi ψ r
r
ψ r

( )

−

 2π i ρ µ  i kr rr  0 
= 1 +
f − ÷e  ÷
k
1 

z


−

có dạng:
(2.2.2)

Trong đó:
µf = α − β Ip là biên độ tán xạ kết hợp đàn hồi dưới góc bằng 0 của nơtron với
−

spin phản song song với véctơ phân cực của hạt nhân p
Nếu hàm sóng đi qua một lớp vật chất có độ dày xác định thì lặp lại tất cả các
lý luận dẫn đến biểu thức của hệ số khúc xạ đối với bia phân cực mà ta đã biết thì
chúng ta sẽ nhận được hệ số khúc xạ của các nơtron có spin song song với véctơ p
như sau:

Vũ Thị Thu Trang

13

Luận văn thạc sĩ khoa học

n+ = 1 +

2π i ρ µ
2πρ
f + = 1 + 2 ( α + β Ip )
2
kz
kz

(2.2.3)

Đối với các nơtron với sự phân cực ngược lại thì:

n− = 1 +

Hiệu số ∆n = n+ − n− =

2π i ρ µ
2πρ
f − = 1 + 2 ( α − β Ip )
2
kz
kz

(

2πρ µ µ
f+ − f −
k z2

)

(2.2.4)
(2.2.5)

được xác định bởi hiệu các biên độ tán xạ của sóng kết hợp tương ứng và khác 0 chỉ
trong bia phân cực
Như vậy, trong hạt nhân bia phân cực, nơtron có 2 hệ số khúc xạ
Xét trường hợp nơtron có véctơ phân cực tạo thành một góc tương đối với
hướng của véctơ phân cực hạt nhân. Chọn một hướng của p tạo thành một góc
tương đối với trục z. Véctơ phân cực của hạt nhân bia có phương vuông góc với bề
mặt.
Hàm sóng cơ sở có dạng:
rr
r
ψ ( r ) = ei k r χ n ,

r

rr

1 

c 
χn =  1 ÷
 c2 

rr

(2.2.6)

 0

ik r
ik r
Hay: ψ (r ) = c1e  ÷+ c2e  ÷
0
1

 

 

1 

Trạng thái spin  ÷ có liên quan tới chỉ số khúc xạ n+
0
0

Trạng thái spin  ÷ có liên quan tới chỉ số khúc xạ n−
1 
Hàm sóng của nơtron trong trạng thái phân cực thay đổi theo chiều sâu xác
định theo biểu thức sau:
r
r r
r
r r

r
r  c1ψ + (r ) 
1 
0
ψ (r ) = 
r ÷ = c1ei k ⊥ r ⊥ ei k z n+ z  ÷+ c2 ei k ⊥ r ⊥ ei k z n− z  ÷
 c2ψ _ (r ) ÷
0
1 



Véctơ phân cực của nơtron là :

Vũ Thị Thu Trang

ur
Pn = ψ σ ψ

14

(2.2.7)
(2.2.8)


Luận văn thạc sĩ khoa học

có các thành phần là :
Pnx = 2 Re c1*c2ψ +*ψ −
Pny = 2 Im c1*c2ψ +*ψ −

2

Pnz = c1ψ + − c2ψ −

(2.2.9)
2

Giả thiết rằng spin của nơtron có phương vuông góc với vecto phân cực của
hạt nhân và có phương song song với trục x, ta được c1 = c2 =

1
2

Sử dụng các đẳng thức (2.2.9) ta có :

Pnx = cos  k z Re ( n+ − n− ) z  e − kz Im( n+ − n− ) z
Pny = sin  k z Re ( n+ − n− ) z  e − kz Im( n+ −n− ) z

(2.2.10)

Pnz = e −2 k z Im( n+ ) z − e −2 kz Im( n− ) z
Suy ra, vectơ phân cực của nơtron hợp với vectơ phân cực của hạt nhân một
góc :

(

)

2πρ
θ =  k z Re ( n+ − n− ) z  =

Re µf + − µf − z
kz

(2.2.11)

Biểu thức của (2.2.11) phù hợp với (2.2.10).
Trong trường hợp tổng quát, vectơ phân cực của hạt nhân không xác định. Để
mô tả hiệu ứng quay của spin nơtron ta dùng toán tử quay spin đi một góc θ nào đó.
Sử dụng (2.1.5) ta có : Sau khi đi qua m mặt phẳng phân cực, hàm sóng của
nơtron là :
r
ψ r

( )

ur  m i kr rr
 2π i ρ
= 1 +
α + β Iσ p ÷ e χn
kz



(

)

(2.2.12)

Sau khi nơ tron đi qua lớp vật chất có bề dày là z = m a (a- bề dày của 1 lớp)

r

( )

thì ψ r

được viết như sau :

r
ψ r

( )

$

= eik⊥ r⊥ eik z nz χ n

Với :

Vũ Thị Thu Trang

15

(2.2.13)


Luận văn thạc sĩ khoa học

2πρ
n$ = 1 + 2 µf ( 0 )

kz

(2.2.14)

µf ( 0 ) là biên độ tán xạ đàn hồi trên hạt nhân với một góc bằng 0. So sánh với
θ ur

việc mô tả bằng toán tử quay spin của nơtron đi một góc trong [16] : B = ei 2 σ n , ta
thấy, trong trường hợp này, toán tử quay spin nơtron được mô tả bởi :
ur 
 2πρ
Bn = exp  i
Re ( β ) I ρσ n p z ÷
 kz


(2.2.15)

Ngoài ra, sự quay spin của nơtron trong bia phân cực có thể nhận được bằng
cách khác.
2.3. Sử dụng bảo toàn năng lượng để tính góc tiến động.
Gọi năng lượng của sóng kết hợp là Ekh'
Năng lượng của sóng tự do trong chân không là Etk
Theo định luật bảo toàn năng lượng thì thế năng có dạng :
U = Etk − Ekh' =

h2 k z2
2π h2
(1 − n 2 ) = −
ρ f ( 0)

2m
m

(2.3.1)

Như vậy trong hạt nhân bia phân cực, sóng nơtron có khả năng khúc xạ với
các mức năng lượng là :
2
h2 k z2
2π h2
Uz =
(1 − n± ) = −
ρ f± ( 0)
2m
m

(2.3.2)

So sánh với (2.2.14) ta viết lại năng lượng dưới dạng toán tử :
ur
2π h2 µ
2π h2
µ
U =−
ρ f ( 0) = −
(α + β I σ p )
m
m

(2.3.3)

Khi nơtron chuyển động trong từ trường, năng lượng tương tác của thành phần
uu
r

spin song song với H được tính theo công thức : W+ = − µ H
Tương tự với thành phần spin ngược lại ta có năng lượng bằng W− = µ H
Hiệu năng lượng là : W+ − W− = −2 µ H
Giới hạn của tần số chuyển động tiến động của nơtron trong từ trường H là :

Vũ Thị Thu Trang

16


Luận văn thạc sĩ khoa học

ωR =

2µ H
h

Hoàn toàn tương tự, trong từ trường tồn tại hiệu số thế U + − U − , spin của
nơtron chuyển động tiến động quanh trục song song với vectơ phân cực của hạt
nhân với tần số :
ω = Re

U + − U − 4π hρ
=
Re β Ip

h
m

(2.3.4)

Trong khoảng thời gian t, spin của nơtron quay đi một góc ϑ = ωt .
Nếu phần có từ trường có độ dài l, thời gian để nơtron đi qua là : t =

l
vz

Vậy spin của nơtron quay đi một góc :
ϑ =ω

l
mωl 4πρ
=
=
Re β Ipl
vz
kz
kz

Điều này hoàn toàn phù hợp với công thức (2.1.9).
Trong từ trường thì tương tác giữa spin của nơtron với hạt nhân có từ trường
hiệu dụng :
H eff =

hω
2µ

Tương tự, nếu như bia phân cực có từ trường phụ thuộc vào thời gian B(t) và
vectơ phân cực của hạt nhân cũng phụ thuộc vào thời gian P=P(t) thì từ trường hiệu
dụng tổng hợp là :
G (t ) = B (t ) + H eff (t )

Trong đó H eff (t ) =

2π h2 ρβ I
p(t )
mµ

Như vậy, năng lượng tương tác spin trong từ trường hiệu dụng là :
urur
V = − µ G = − µ ( B(t ) + H eff (t ))

Vũ Thị Thu Trang

17

(2.3.5)


Luận văn thạc sĩ khoa học

CHƯƠNG 3 – PHẢN XẠ GƯƠNG CỦA CÁC NƠTRON
PHÂN CỰC TRÊN MẶT BIÊN GỒ GHỀ GIỮA “CHÂN
KHÔNG – VẬT CHẤT” CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC
3.1. Ảnh hưởng của sự gồ ghề mặt biên “chân không – vật chất” có các hạt
nhân phân cực lên phản xạ gương của các nơtron phân cực

Phản xạ gương của nơtron trên mặt biên giữa vật chất và chân không đã được
nghiên cứu [19]. Sự xuất hiện gồ ghề của mặt biên giới hạn đã dẫn tới sự phụ thuộc
của hệ số phản xạ vào hệ số Debye-Waller [15]. Sự khác biệt giữa công thức mô tả
sự phản xạ gương trên mặt biên phẳng với công thức trong trường hợp có sự gồ ghề
cho phép phán đoán trạng thái bề mặt
Khi xem xét phản xạ gương của các nơtron phân cực trên biên thực tế giữa vật
chất và chân không, chúng ta cần tính đến sự gồ ghề của mặt biên. Sự gồ ghề của
mặt biên thực xuất hiện là do sự gồ ghề của các vị trí của các hạt nhân trong quá
0

trình dao động nhiệt hoặc là do sự thăng giáng vị trí của biên đến cỡ vài chục A
Giả sử chùm nơtron phân cực tiến đến bề mặt của vật chất có các hạt nhân
phân cực nằm chiếm nửa không gian x >0

ur

Trong bia phân cực như chúng ta biết [18] từ trường tổng cộng hiệu dụng G eff
sẽ tác động lên chùm nơtron
ur
ur
uu
r nuc
G eff = B + H eff
ur
uu
r nuc
Ở đó B - vectơ cảm ứng từ. H eff - từ trường hiệu dụng hạt nhân

(3.1.1)

Chúng ta giả thiết rằng trong nửa không gian x>0, trong vật chất có các hạt
nhân phân cực có từ trường hiệu dụng đồng nhất có dạng:
Geff x = Geff y = 0; Geff z = Geff ( x )

Trục z có hướng song song với mặt của bia
Trong trường hợp này quá trình phản xạ, khúc xạ của các nơtron phân cực trên
bia được xác định bởi Hamiltonien

Vũ Thị Thu Trang

18


Luận văn thạc sĩ khoa học

H=

ur
ur
p2
+ V ( x) − µ G eff ( x)σ z
2m

(3.1.2)

Ở đó, p, m- là toán tử xung lượng và khối lượng của nơtron
µ - moment từ của nơtron
V ( x ) : Thành phần thế hạt nhân hiệu dụng không phụ thuộc vào spin
1 0 
σz = 

÷ - ma trận Pauli.
 0 −1 

Ta viết lại (3.1.2) dưới dạng:
H = H 0 + ε ( x, σ z )
H0 =

(3.1.3)

ur ur
p2 
+ V0 − µ G eff σ z  θ ( x)
2m

Trong đó: V0 và Geff - là các giá trị của V ( x) và Geff ( x) ở sâu trong bia cách xa
biên
1 , x > 0
ε ( x, σ z ) = [ V ( x) − V0θ ( x) ] − µ [ Geff ( x) − Geff θ ( x) ] σ z ở đó θ ( x) = 
0 , x < 0

ε ( x, σ z ) - nhiễu loạn xuất hiện khi ta tính đến sự gồ ghề của mặt vật chất

Chúng ta sẽ đi thu nghiệm của phương trình Schrodinger
Hψ = [ H 0 + ε ( x, σ z ) ] ψ = Eψ

Dưới dạng sau :

ψ =e

(3.1.4)

r ur
i k || r||

ϕ ( x) χ Sz

Ở đó χ S - hàm spin tương ứng với giá trị xác định S z của hình chiếu của spin
z

của nơtron lên trục z:
1
1
σ z χ S z = ± S z χ Sz , S z =
2
2

u
r
r
k || và r|| - là các thành phần của vectơ sóng và vectơ vị trí của nơtron song

song với bề mặt của vật chất
Đặt (3.1.2) vào (3.1.4) chúng ta sẽ nhận được phương trình để cho ϕ ( x) có
dạng

2m


∆ xϕ ± ( x) +  k x2 − 2 [ V0 mµ Geff ] θ ( x) + ε1± ( x )  ϕ ± ( x) = 0
h




Vũ Thị Thu Trang

19

(3.1.5)


Luận văn thạc sĩ khoa học

Ở đó
1/ 2

 2mE 
kx =  2 ⊥ 
 h 

ε1± ( x) = −

>0

2m
ε ± ( x)
h2

ε ± ( x) = [ V ( x) − V0θ ( x)] mµ [ Geff ( x) − Geff θ ( x) ]
E⊥ = E0 −

Py2 + Pz2
2m

- năng lượng chuyển động dọc của nơtron.

Nhờ hàm Green của phương trình Schrodinger mô tả phản xạ gương trên biên
phẳng.
2m


∆ x G± ( x, x ') + k x2 − 2 [ V0 mµGeff ] θ ( x)  G± ( x, x ') = δ ( x − x ')
h



(3.1.6)

Chúng ta biểu diễn phương trình (3.1.5) trong dạng tích phân:
ϕ± ( x) = ϕ0± ( x) + ∫ G± ( x, x ')ε1± ( x ')ϕ± ( x ')dx '

(3.1.7)

Ở đó ϕ0 ± ( x) - nghiệm của phương trình thuần nhất xác định phản xạ gương
trên biên phẳng chân không- vật chất:

eikx x + Ao ± e −ik x x , x < 0
ϕ0± ( x) = 
− ik > x
 B0± e x± , x > 0
<

Ở đó:

k x< =

2mE⊥
>0
h2

k x>± =

2m
[ E⊥ − V0 ± µGeff ] > 0
h2

<

Từ điều kiện liên tục của hàm sóng và của đạo hàm của hàm sóng trên biên
x= 0 chúng ta xác định được các hệ số của sóng phản xạ và sóng khúc xạ:
1 + A0 ± = B0 ± , k x< (1 − A0± ) = k x>± B0±

k x< − k x>±
A0± = <
;
k x + k x>±

Vũ Thị Thu Trang

20

2k x<
B0± = <
k x + k x>±

(3.1.8)


Luận văn thạc sĩ khoa học

Để tìm biên độ của sóng phản xạ gương chúng ta cần nghiên cứu tiệm cận của
hàm sóng (3.1.7) khi x → −∞ . Có thể chỉ ra rằng:
lim G ( x, x ') ≈

x →−∞

i ik x< x
e ϕ 0 ( x ')
k x<

(3.1.9)

Ở đó ϕ0 ( x ') - nghiệm của phương trình thuần nhất xác định phản xạ gương trên
biên phẳng của chân không - vật chất.
Thay (3.1.9) vào (3.1.7) chúng ta sẽ nhận được biên độ sóng phản xạ có dạng
như sau:

A± = A0± +

i
ϕ0± ( x ')ε1± ( x ')ϕ± ( x ')dx '

k x< ∫

(3.1.10)

Hạn chế ở gần đúng bậc nhất và chú ý đến các công thức (3.1.8) chúng ta sẽ
nhận được:

i
A± ≈ A0± + <
kx
≈ A0± +

i
k x<

+∞

∫

−∞

e 2ikx x ' + A02± e −2 ik x x ' + 2 A0 ± ε1± ( x ')dx '


<

+∞

<

∫ ( 1 + A )

2

0±

−∞

iB02±
≈ A0± + <
kx

+∞

∫ε

1±

+ 2ik x< x '(1 − A02± )  ε1± ( x ')dx '


( x ')dx '+ 2ik

>
x±

−∞

+∞

∫ x 'ε

1±

( x ')dx '

−∞

Nếu ε1± ( x ') là một hàm chẵn thì tích phân thứ hai của biểu thức trên sẽ bằng
không và ta có
+∞

iB02±
A± ≈ A0± + < 2 ∫ ε1± ( x ')dx '
kx
0

(3.1.11)

Chúng ta xét một ví dụ khi ε1± ( x ') có dạng Gauss :

ε1± ( x ') = ε 0± e

−

x2
2 d02

Ở đó d 0 - biên độ đặc trưng của sự gồ ghề. Thay ε1± ( x ') vào (3.1.11) và tính
tích phân ta sẽ nhận được :

Vũ Thị Thu Trang

21


Luận văn thạc sĩ khoa học

∞

− x '2

2iB0± 2 2m
2 d 02
A± ≈ A0± −
ε
e
dx '
0
±
k x< h2 ∫0

iε 0± B0± 2 d0 2π 2m
= A0 ± −
k x< h2

= A0± −

i8 2π k x<ε 0± md0
(k x< + k x>± ) 2 h2

(3.1.12)

Như vậy cường độ của sóng phản xạ được xác định bởi biểu thức sau :
2

J ± ≈ A0 ± + 16 Im

2π A0± k x<ε 0± md 0
(k x< + k x>± ) 2 h2

(3.1.13)

Bây giờ chúng ta đánh giá số hạng bộ xung vào cường độ của sóng phản xạ ở
gần góc tới hạn đặc trưng có sự gồ ghề của bề mặt biên. Để làm được điều đó chúng
ta chọn k < ≈ 109 cm −1 và góc trượt của nơtron α = 0,10 .
Trong trường hợp đó
ε 0± : V0 :

2π h2
ρ f (0) ,
m

k x< ≈ 106

cm −1

Theo kết quả của [18] thì

ở đó ρ - mật độ hạt nhân, f(0) – biên độ tán xạ về phía trước

−7
của nơtron. Nếu chọn ρ ~ 10 22 cm −3 , f (0) : 10 −12 cm, d 0 : 10 cm thì :

16 2π A0± k x<ε 0± md 0
: 10−2 − 10−1
<
> 2 2
(k x + k x ± ) h
Như vậy chúng ta đã thấy phần đóng góp bổ sung vào cường độ của sóng phản
xạ của nơtron đặc trưng cho sự gồ ghề của bề mặt biên là không nhỏ ngay cả khi d 0
rất nhỏ và bằng 10−7 cm .

3.2. Vectơ phân cực của nơtron phản xạ gương trên mặt biên gồ ghề giữa chân
không và vật chất có các hạt nhân phân cực.

Vũ Thị Thu Trang

22


Luận văn thạc sĩ khoa học

Ta xét ảnh hưởng của sự gồ ghề của mặt biên tới trạng thái của vectơ phân cực
của nơtron phản xạ.
Véctơ phân cực của nơtron phản xạ được xác định bởi công thức :
ur
ur ψ px σ ψ px
P=
ψ px ψ px

(3.2.1)

Giả sử rằng các nơtron tiến đến bia có các vectơ phân cực hướng theo một
ur

góc nào đó đối với hướng của vectơ phân cực của hạt nhân bia P N .
Trạng thái của nơtron có thể xem như là sự tổ hợp của hai trạng thái phân
uur

cực, phân cực theo vectơ phân cực của hạt nhân bia PN và phân cực theo hướng
ngược lại.
Hàm sóng mô tả trạng thái spin của nơtron tới là :
1
0
χ sz = c1  ÷+ c2  ÷
 0
1
2

2

Trong đó c1 và c2 cho ta xác suất tìm thấy nơtron có trạng thái spin S z =

1
2

1
2

và S z = − .
Ta xem xét hàm sóng phản xạ của nơtron có dạng như sau :
r r
// r //

ψ px = ei k






<
<
 A − i8 2π k x mε 0+ d 0 ÷ c1  +  A − i8 2π k x mε 0− d 0 ÷ 0   e −ikx< x
 0+ k < + k > 2 h2 ÷ 0 ÷
 0− k < + k > 2 h2 ÷ c2 ÷

 
(
)
( x x− )
x
x
+






(3.2.2)
i8 2π k x< mε 0+
i8 2π k x< mε 0−
η=
2
Đặt : ξ = <
2
2
h2 và
k + k>
( k x< + k x>− ) h

(

x

x+

)

Thay vào (3.2.2) ta có thể viết sóng phản xạ như sau :
r r c A
[
ψ px = ei k // r //  1 0+
 c1 [ A0−

−ξ d 0 ]  − ik x< x
÷e
−η d 0 ] 

Thay (3.2.3) vào (3.2.1) và lưu ý các ma trận Pauli :

Vũ Thị Thu Trang

23

(3.2.3)


Luận văn thạc sĩ khoa học

1
 0 −i 
1 0 
; σz = 
÷; σ y = 
÷
÷
0
 0 −1
i 0 

0

σx = 
1

Ta có :

uur
ψ px σ x ψ px

Px =

ψ px ψ px

uur
0 1
ψ px σ x ψ px = ψ px + 
÷ψ px
1
0



(

r r

= e −i k PrP c1*  A0*+

1  i kr PrrP  c1 [ A0+
< 0
−η *d0  eikx x 

÷e
1 0
 c2 [ A0−

= c1*  A0*+

−ξ *d 0  , c2*  A0*−

c [ A
−η *d 0  .  2 0−
 c1 [ A0+

−η d 0 ] 
÷
−ξ d 0 ] 

= c1*  A0*+

−ξ *d 0  .c2  A0−

−η d 0  + c2*  A0*−

−η *d 0  .c1  A0 +

(

−ξ d 0 ]  −ik x< x
÷e
−η d0 ] 

)

−ξ *d 0  , c2*  A0*−

)

−ξ d 0 

2
Bỏ qua các số hạng chứa d 0 , ta có :

uur
ψ px σ x ψ px

(

)

(

= c1*c2 A0*+ A0− − ξ *d 0 A0− − η A0*+ d 0 + c1c2* A0*− A0 + − ξ d 0 A0 − − η * A0*+ d 0

)

= 2 Re c1*c2  A0*+ A0 − − ξ *d 0 A0− − η A0*+ d0 

ψ px ψ px = ψ px +ψ px
=e

r r
−i k PrP

( c  A
*

1

*
0+

−ξ d 0  , c  A
*

*
2

(

*
0−

)

−η d 0  e
*

)

ik x< x

.e

r r
i k Pr P

 c1 [ A0+

 c1 [ A0 −

(

−ξ d0 ]  −ik x< x
÷e
−η d 0 ] 

= c1*c1 A0*+ A0+ − ξ *d 0 A0 + − A0*+ξ d 0 + c2*c2 A0*− A0− − η *d 0 A0 − − η d 0 A0*−

(

)

(

)

2
2
2
2
= c1  A0+ − 2 Re A0*+ξ d0  + c2  A0 − − 2 Re A0*−η d 0 





Vậy :

Vũ Thị Thu Trang

24

)


Luận văn thạc sĩ khoa học

(

)

2 Re c1*c2  A0*+ A0 − − ξ * A0 − + η A0*+ d 0 
Px ≈ 2
2
2
2
c1  A0 + − 2 Re A0*+ξ d 0  + c2  A0− − 2 Re A0*−η d 0 





(

)

(

)

(3.2.4)
Tính toán tương tự cho Py , Pz (bỏ qua các số hạng chứa d 02 ), ta có :
uur

Py =

ψ px σ y ψ px
ψ px ψ px

(

)

2 Im c1*c2  A0*+ A0− − ξ * A0− + η A0*+ d 0 
≈ 2
2
2
2
c1  A0+ − 2 Re A0*+ξ d 0  + c2  A0− − 2 Re A0*−η d 0 





(

)

(

)

(3.2.5)

Pz =

ψ px

uur
σ z ψ px

ψ px ψ px

(
(

)
)

(
(

)
)

2

2
2
2
c1  A0+ − 2 Re A0*+ξ d 0  − c2  A0− − 2 Re A0*−η d 0 



≈ 2
2
2
2
*
*
c1  A0+ − 2 Re A0+ξ d 0  + c2  A0− − 2 Re A0−η d 0 





(3.2.6)
Từ các biểu thức nêu trên, ta thấy trạng thái phân cực của nơtron phản xạ
cũng phụ thuộc vào độ dày d 0 của lớp chuyển tiếp ở bề mặt gồ ghề. Điều này cho
phép ta dựa vào các kết quả thực nghệm đo vectơ phân cực của nơtron phản xạ để
nghiên cứu trạng thái gồ ghề của bề mặt vật chất.

Vũ Thị Thu Trang

25