Luận văn thạc sĩ phổ khối lượng của higgs trong mô hình 3 3 1 tối thiểu

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

KIÈU DUY THẮNG

PHỎ KHỐI LƯỢNG CỦA HIGGS TRONG
MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí Toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Huy Thảo

HÀ NỘI, 2015


Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Vật lý, đặc biệt là các
thầy cô giáo Phòng sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm
giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với TS. Nguyễn Huy
LỜI CẢM ƠN
Thảo - người thầy đã tận tâm hướng dẫn em hoàn thành luận văn này.
Xin gửi tới người thân - gia đình, bè bạn - những người đã luôn động viên giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu lời cảm ơn sâu sắc.
Hà Nội, ngày 03 tháng 08 năm 2015
Người thực hiện

Kiều Duy Thắng

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự
giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc.

LỜI CẢM ƠN
Tác giả luận văn

Kiều Duy Thắng


MỤC LỤC


5

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Mô hình chuẩn đã rất thành công, với các tiên đoán về lý thuyết đã được thực
nghiệm kiểm chứng như: khối lượng W-boson và Z-boson, góc trộn Weinberg, tham
so Michel p... Đặc biệt, sự hoạt động trở lại của máy gia tốc LHC đã cho nhiều dữ liệu
thực nghiệm hữu ích, góp phần khẳng định sự tồn tại của Higgs-boson và giải thích
nguồn gốc khối lượng của các hạt trong tự nhiên [2]. Sự kiện này đã mang lại giải
Nobel về vật lý năm 2013 cho Francois Englert và Peter W.Higg. Tuy nhiên, mô hình
chuẩn vẫn còn tồn tại nhiều hạn chế, chưa giải tích được các vấn đề quan trọng sau:
(1) tại sao thế hệ các fermions là 3, (2) sự dao động và khối lượng neutrino khác
không, (3) nguồn gốc của vật chất tối và năng lượng tối và tính bất đối xứng số
baryon của vũ trụ quan sát được hiện nay.

Một trong các hướng phát triển của vật lý để khắc phục các hạn chế trên của
mô hình chuẩn là các mô hình 3-3-1. Các mô hình 3-3-1 dựa trên nhóm đối xứng
chuẩn là SƯ(3)C®SƯ(3)L (g> U ( l ) x đã kế thừa những kết quả đạt được của mô hình
chuẩn đồng thời đang tiếp tục giải quyết các vấn đề còn tồn tại của mô hình chuẩn.
Các công bố gần đây của các mô hình 3-3-1 đã chỉ ra: khối lượng neutrino sẽ được
giải thích qua cơ chế seesaw TeV, vật chất tối sẽ xuất hiện như là hệ quả của đối xứng
mới trong các mô hình [2].. Các hạt mới với số lepton sẽ cho rã vi phạm CP dẫn đến
cơ chế leptogenesis cho giải tích bất đối xứng số baryon. Ngoài việc giải quyết các
vấn đề quan trọng trên, một số các kết quả khác cũng xuất hiện một cách rất tự nhiên
trong các mô hình 3-3-1 như là hệ quả tất yếu của lý thuyết, đó là: số thế hệ các
fermions trong mô hình phải là 3, các điện tích được lượng tử hóa, khối lượng và sự
dao động của các neutrinos...
Có hai phiên bản của mô hình 3-3-1, việc phân chia này phụ thuộc vào phần
lepton được đưa vào trong mô hình. Phiên bản thứ nhất, gọi là mô hình 3-3-1 tối


6

thiểu, được đề xuất bởi Pisano, Pleitez và Frampton vào năm 1992 [1], trong đó, ta
đưa lepton mang điện phân cực phải vào đáy của ba tam tuyến lepton của nhóm nhóm
s u (3)i. Phiên bản này đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng Higgs để thực
hiện phá vỡ đối xứng tự phát, sinh khối lượng cho tất cả các fermions. Việc đưa vào
lục tuyến Higgs giúp cho việc giải thích nguồn gốc khối lượng của các hạt một cách
rõ ràng. Tuy nhiên, do số lượng lớn các vô hướng xuất hiện trong mô hình dẫn đến
việc xác định trạng thái vật lý của các hạt, cũng như các tính toán từ lý thuyết để cung
cấp tín hiệu cho việc tìm kiếm các hạt Higgs từ các máy gia tốc gặp khó khăn. Đây
cũng chính là vấn đề hiện nay đang được các nhà khoa học quan tâm và tiếp tục phát
triển. Trong [3], tác giả M.D. Tonasse mới đưa ra các kết quả cho phổ khối lượng các
Higgs và khối lượng các fermions gần đúng ở bậc cây (tree level). Phiên bản thứ hai
được các tác giả Foot, Long và Tuan đề xuất năm 1994, trong đó thành phần thứ ba

của các tam tuyến lepton của nhóm SU(3) L là các neutrinos phân cực phải [4]. So với
phiên bản thứ nhất phiên bản thứ hai có ưu điểm hơn là số lượng các vô hướng đưa
vào là ít hơn và giải thích nguồn gốc khối lượng các neutrinos tốt hơn, tương tác của
các boson trung hòa có khối lượng trùng hợp với mô hình chuẩn. Tuy nhiên, hạn chế
của phiên bản này là giới hạn của góc trộn Weinberg lớn hơn mô hình chuẩn. Hạn chế
này vẫn đang được các nhà khoa học phát triển mô hình này để khắc phục.
Đóng góp của các Higgs-boson trong các mô hình 3-3-1 đem lại nhiều hiện
tượng vật lý mới. Nhiều công bố gần đây dựa vào đóng góp này cho thấy giá trị của
một số đại lượng tính toán từ lý thuyết rất phù hợp với giá trị thực nghiệm đo được:
mômen từ dị thường của muon (g-2), khối lượng các neutrinos, hàm p trong lý thuyết
tái chuẩn hóa...
Ngoài ra, dựa vào tương tác của Higgs-boson trong các mô hình 3-3-1 ở các bổ
đính bậc cao đã tìm ra các ứng cử viên cho các đối tượng vật lý mới như: vật chất tối,
năng lượng tối, radion, axion...


7

Việc tính toán tìm ra các đặc tính mới để cung cấp tín hiệu phục vụ cho việc
tìm kiếm các Higgs-boson ở các máy gia tốc cũng đang được hết sức quan tâm. Công
trình tìm kiếm Higgs qua kênh rã ra hai photon của William J. Marciano, Cen Zhang
và Scott Winlenbrock [5], hay qua kênh rã ra hai lepton [1] có thể coi là khởi đầu cho
việc tìm kiếm Higgs-boson, qua đó định hướng cho việc phát triển các mô hình lý
thuyết.
Với hướng phát triển của khoa học như hiện nay, chúng tôi tập trung vào việc
nghiên cứu mô hình 3-3-1 tối thiểu có lục tuyến vô hướng, qua đó chúng tôi tìm ra các
đặc tính của Higgs-bo son trong mô hình cũng như những đóng góp của nó. Trên cơ
sở tìm ra phổ khối lượng của các Higgs-boson, chúng tôi hy vọng sẽ cung cấp kết quả
quan trọng, tạo cơ sở cho việc nghiên cứu các hiện tượng vật lý mới trong mô hình
này cũng như việc tìm kiếm Higgs-boson ở các máy gia tốc.

2. Mục đích nghiên cứu
Đe tài cần đạt được các kết quả sau:

-

Tìm hiểu các nội dung cơ bản của mô hình 3-3-1 tối thiểu: nội dung sắp xếp hạt,
Lagrangian của mô hình, thế Higgs của mô hình...

-

Khối lượng các Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu.

-

Tương tác của các Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Tìm ra khối lượng các Higgs trung hòa và Higgs mang điện trong mô hình 3-3-1 tối
thiểu.

-

Xác định các tương tác của Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
-

Đối tượng nghiên cứu là các Higgs và tương tác của nó trong mô hình 3-3-1 tối thiểu.

-

Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết trường và vật lý năng lượng cao.

5. Phương pháp nghiên cứu


8

-

Phương pháp Vật lý lý thuyết

-

Sử dụng các phần mềm Mathlab và Mathematical để tính toán

6. Dự kiến đóng góp mói
-

Phổ khối lượng của Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu.
Tương tác của các Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu. Các hiện tượng vật lý
trong mô hình 3-3-1 tối thiểu thông qua đóng góp của các Higgs.


NỘI DUNG
Chương 1. MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU
9

1.1.

Sắp xếp các hạt trong mô hình
Mô hình 3-3-1 nói chung là sự mở rộng của mô hình chuẩn (Standard model),

bằng cách mở rộng nhóm đối xứng chuẩn thành S U ( 3 ) C ® S U ( 3 ) L ® U ( l ) x , tùy
theo việc đưa neutrino phân cực phải hay lepton mang điện vào thành phần thứ ba của
tam tuyến lepton mà chúng ta có hai phiên bản tương ứng của mô hình 3-3-1.
Các lepton được sắp xếp theo ba thế hệ, các thành phần trái là các tam tuyến
của s u (3)i5 còn các thành phần phải là các đơn tuyến của s u (3)i. Đặc biệt,
phần đáy của tam tuyến không phải là neutrino mà là lepton mang điện phân
cực phải.
(1

l a R ~(1,1,-1), a = 1,2,3

Trong đó, a là chỉ số thế hệ, còn các giá trị trong ngoặc đơn bên phải tương
ứng là biểu diễn các đa tuyến của s u (3)c, s u (3)i và tích của u (l)x.
Với các quark, ta cũng có cách sắp xếp tương tự. Tuy nhiên, để đảm bảo điều
kiện khử dị thường QCD thì thế hệ quark thứ nhất ta xếp vào tam tuyến của s u (3)i5
còn hai thế hệ sau ta xếp vào phản tam tuyến của s u (3)i.
, a = 2,3 .
«1» ~ (3,1,!), d l R ~ (3,1, ■~ - ệ ), A„ ~ (3,1,0,
uaR~ (3,1,1), đaR~(3,l,^), ]aR~(3,l,^)


Để sinh khối lượng cho các fermion ta cần ba tam tuyến (77, p , x ) và một lục
tuyến vô hướng s. Trong đó, lục tuyến vô hướng s đóng vai trò sinh khối lượng cho tất
cả các lepton [2].

(1,3,0), p = í p» ] ~(1,3,1), X = ( f - ] ~(1,3, -1)
rj
\
V2
0
+
+
s=
_ẩ
V
4 5;
7
V2 Với trung
2^>/2
.
bình lepton
chân không
Vì lepton và phản
được đặt trong cùng một tam tuyến, do đó trong mô
hình này số lepton không được bảo toàn. Tốt hơn chúng ta làm việc với một toán tử
mới là L mà giao hoán với đối xứng chuẩn [4,5] và quan hệ với số lepton thông
thường như sau L = ^ = T S + L

V3

(3


Dựa vào mối quan hệ này, chúng ta có thể xác định được số lepton mới của các
hạt trong mô hình. Đặc biệt, do xuất hiện các hạt mới nên sẽ có các hạt với so lepton

( L = 2) mang lại các hiện tượng vật lý mới cho mô hình. Các tính chất này vẫn đang
tiếp tục được nghiên cứu.

1.2.

Lagrangian của mô hình
Trong mô hình 3-3-1 tối thiểu, Lagrangian tổng quát của mô hình được đưa ra

•Ctot = ĩ.F irD„F + Z(D»sy (D„J) - ì GlltvG^ -

-

+ Ly -V

(8)

với:
Dụ=dụ- igstiGifl - igTịAịp - igx -j=Bụ
Giụ.v ~ d,Giv — dvGifl — gsfijk^jụ.^kv
A-ifiv — dụAịy — dvAiụ — gfijkAjtlAkv
Bụv = dụBv - dvBụ
2 F i ỵ ụ D ạ F tương tác của các lepton với các boson chuẩn, với Ỵ ụ là các ma trận
Dirac.
2(D/í5)+ (D^s) tương tác của các boson chuẩn với các vô hướng của mô hình
G í f i v G ^ v tương tác chuẩn của các nhóm su (3)c
A i f l v A ^ v tương tác chuẩn của các nhóm s u (3)i
B ự y B ^ tương tác chuẩn của các nhóm u (1)*
Ly tương tác Yukawa V thế Higgs
tổng cộng của mô hình

1.3.

Các boson chuẩn của mô hình


?
r
\
Các boson chuân xuât hiện trong các thành phân sau của đạo hàm hiệp
biến

1
D„ = a„- ÌBA‘Ệ-ÌS X XJB^

(9

VớiX, = Jdiag(l,l,l).
Trong

đó:

p

=

igA*

Y+

Í9X X ^ B II

;

0

=

1,8

(10)
Để xác định khối lượng các boson chuẩn, chúng ta sử dụng số hạng sau:
£ = (flMx)+a>Mx) + (AP)+(^P) + (ATI)+(D^) + (V)" (D^s) (11)
9Ì
Hằng số tương tác của SU(3)L và U(ì)x thỏa mãn mối quan hệ sau:
1—
9
Trong đó Cw = cos O w , Syự = sin ớw, t w = tan ớw với 0W là góc trộn Weinberg.
Thay thế khai triển trong phương trình (10) chúng ta dẫn ra được trạng thái riêng của
các boson chuẩn và khối lượng tương ứng của chúng có dạng như sau:

w±
vtì
Y+

Y±±

A' + iA*

g*ív* + u* +

(13)

2 _ g^Ịy^+tủ^+về)
Y±
4
6
7
Z
2
2
A ±iA m 2 _ 9 (V + (0 + 2V£)

_ A*±iA5
V2
_

2

M

V2

Y—

(14

4

Từ (5) với M w = 246 GeV thì ta thu được mối quan hệ V 2
+u z + V 2 = V 2 ^ (246 GeV) 2 Đạo hàm hiệp biến của các

tam tuyến lepton là
ß(Al+j=Al)

V2 w *

g T t A f = V2WJ," l ( - A ị + ± A ị )

\ V2T~

V2 Y- - \
V2 Y ụ -

V2 Y }

-j=AlJ

(15)


r
r
Đôi với các phản tam tuyên chúng ta có
/-ĩM+^í)
-fĩws

-ịí-Al+^Aị)

Y

~ế >

1

-ịw»

9 y+ +
9

)

(17)

7IA*

Trong đó Ã = - Ả *
Trong thành phần boson chuẩn trung hòa, ( A ị , A ^ , B ạ ), các trường photon
An cũng như boson có khối lượng z và z [5] có dạng:
A|j. = S y y + c w (V3 t w A p + y j 1 — 3t^ B w ^ i
Zn = CwÂfi s w (V3

+ yỊ 1 — 3t^

(18)

Và
= -Vl- +V3"t^5/Í
(1
Với

Trong đó bình phương khối lượng của {z, Z' } là

Jl-4 sinzõw 2
'Mị
Mzz'
COS20W(2
2 = y tc“2ew
Mỉ,
(29 '
M = Áz'
Chéo hóa ma trận khối lượng cho ra các trạng thái riêng (các khối
1-4
vp
lượng) của Zi và z2 mà chúng trộn lẫn với nhau
như sau: w ị
■ví
-4 sin 0y\f X 4
Zi = Zcos ộ - z sin ự>,
2

z2 = Zsinộ + z cosộ.
Gốc trộn tb có dạng:

(22)


MỈ-MỈ
tan 2<t> = —=——7

(23)

Trong đó MZlvà M Z z là các trị riêng vật lí
M

k = ị { M ỉ ' + M ỉ - [CM|, - MỊY - 4(Mjz,)2p|,

M|2 + Mf + [(M2, - MịY - 4(MJZ,)2F|.

(24)

(25)

Khi phá vỡ đối xứng, v % » Vpthì thu được giới hạn khối lượng của z 2 [5]
M Z í > ~J c ° s 2 e w í M * J MZl > ~ 400 GeV
M 5 1 l-4sin20w(Mz2)

(26)

Chúng ta có mối quan hệ sau, được sử dụng khi cần biểu thị mối quan hệ giữa các các
boson chuẩn và các trường chuẩn (hay các Goldstone).
Áị. = cw%fi T"
— y/3twswZụ + yfĩ 3t^Zp y[3swAụ,
Bụ. = ~swyị 1 — 3t^Zụ + yĨ3twZ'fl + cWyị 1 — 3t^,j4p.

(27)

Trong chưong này chúng ta đã trình bày về Mô hình 3-3-1 tối thiểu, qua đó chỉ
ra được sự sắp xếp các hạt trong mô hình, Lagrangian của mô hình và các boson chuẩn
của mô hình. Đồng thời, còn chỉ ra cách xác định khối lượng, điện tích cũng như mối
liên hệ với các trường chuẩn của các boson chuẩn
Chương 2

KHỐI LƯỢNG CÁC HIGGS TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU

2.1.

Thế Higgs của mô hình

Thế vô hướng trong mô hình M3-3-1 có dạng [3,6]
VE(JI>P>X,S) = Vs(ri,p,X,S) + Ả^S^Sĩì + U16p^S^Sp +
4Ả 1 7 ;r+s+ + 2V2Ả18píSíprỊ + 2y/2Ả19xí XV + Ả20SíSírỊrỊ + h. c. (28)
Trong đó:
p+s+p*7 = £ijkplsl^pjĩ]k


X^S^x

V

=

£ijkXĨSlớXjrik S^nri =
E i J k E l n n ri k ri n S a 'SM
VTOI.P.X) = PWĨJ + PỈP^ p + PỈX^ X + Ả1(rjJtrjy+Ả2(pJt P) 2 + h O c ^ X )2
+ h { r f ĩ i ) { p ^ p ) + h t y x ) { r f r ị ) + h{p^p)(x^x) +
Ầ7(pJfv)Wp) +^{xJtv)Wx) + ^(p+z)(z+p) +V2Ị1(EijkrnpjXk +
h.c.)

(29)

Vs(rỊ,p,x,S) =
V T ( ĩ ] , p , x ) + ị i ị Tr ^ S ) + A107Y2(S+S) +

Ả 11Tr [(.S+.S)2] + [Ả12^ĨJ + Ả 13ptp + Ả1^x]Tr(S^S) +
2 Ị2(pTSx + h.c.)

(30)

Thế này là dạng đon giản nhất vì số các tham số tự do được giảm xuống, từ 13
chỉ còn 6.
Để xác định điều kiện cực tiểu thế, các trường Higgs trung hòa được khai triển
theo các thành phần thực và phức cùng với các VEVs [4]
r j — ụ= +
„

+ l ^ r t p — ụ= +

ơ n 17,
x = V2 ^ J2=Ỷ + + i^ơ
+

+

+ lẸp


0i° =& + ifà

(31)

Các VEVs là các giá trị thực, các trường Ẹ là vô hướng, còn các trường ( là giả
vô hướng.
Quá trình phá vỡ đối xứng thứ nhất S Ư ( 3 ) L X U ( l ) x ->5ơ(2)i X u (l)ỵ do tác

động của ( x ) và sinh khối lượng cho các exotic quark và các boson nặng. Quá trình
phá vỡ đối xứng thứ hai s u (2)i X u (l)ỵ -> u (1)(2 do tác động của (TỊ), (P), (S) và
sinh khối lượng cho các thế hệ quark và lepton còn lại. Đặc biệt, điều kiện để mô hình
3-3-1 phù họp với vật lý ở phần năng lượng thấp thì
ÚJ » V, u, va

(32)

Điều kiện cực tiểu thế Higgs đòi hỏi đạo hàm bậc nhất của thế Higgs theo các trường
phải triệt tiêu. Tức là:
f^ = 0
drị
ỈS = 0

(3

ỊSs = o
dx
—=0
v
ỏs
Tương ứng, mối liên hệ của ỊẤ 1 ,ỊẤ 2 ,ỊẤ 3 ,ỊẤ 4 với các VEVs được đưa ra
1
Ả19Ú)2V
^•5 2
Ml2
Ả18U2Va
,
2
2

-Ả-ịV
" ^^- v ị
u —
Ơ
ụ-ỉ
— ù) 2
V
V
1
20 1 +
2
= ^Uùì

¡4
=

V
7Ả4
■ ■ —Ả2U ~ 2V
f2vơ(ú
u

Ả6 7
2“

M
l3
-2

+

^16

)
VỈ

+
2Ả18VVƠ

Ị^UÙ
Ì
u

t


= -Ả 3 OJ 2 -yV2 -yU2 - ị^Y + Ả 1 7 ^VỈ - 2Ả 1 9 VV Ơ -

ụ

flVU f 2 V ơ U
1

tâ=~(ỈT

+

Ai0 )

^Á18U2V
vơ

ú

ú

_ A20) v2-(^ + A16) u2 - (^ + A17) £02
^ Á 1 9 Ú) 2 V f 2 ú)U
vơ
vơ

Thế này cho chúng ta hai Goldstones boson mang điện là p ± và x ± mà chúng bị
±

ăn bởi các boson chuẩn V/± và v .
Trong thành phần vô hướng mang điện, ma trận khối lượng của (x++, p++) có
dạng:
_ vx
Vp
r ——---—- - e = ------—- (35)
CL
r~-----9 al v r~—7
Jv2 + V2\ « ỉịv2x+vl
Ma trận này cho giá trị bình phương khối lượng như sau:
Thành phần vô hướng trung hòa, (Rr Rp) với ma trận khối lượng có
J

m~ = 0 and m~ = — (y% + Vp ),

dạng

Trong đó các trạng thái riêng
là:
Ả 2 vtương ứng
-hv x v p
(hr+\ = (Ca
Ằ V u* c aJ\p + v+ )
Vh~/
K l
K2 * X
Với
Ma trận này cho chúng ta hai trị riêng
m

hi = 2 V ỉ^ t 2 + Ẳ2 - A), mỉ =

\vliK t 2 + ¿2 + A),

(36)
(39)
(37)

(38)


Trong đó t = — và
v
x
A= (Ảyt2 — Ả2)2 —Ảịt2,
Và hai trạng thái(hA
riêng

= là:
(Cp ~sP\(Rp\
\h2)
cp Rx)

(4
(4

V
(43)
Thành phần giả vô hướng trung hòa, có hai Goldstones boson I p và I x bị ăn bởi các boson trung hòa z và z.
Trong giới hạn hiệu dụng: v % » V p chúng ta có

(44)
Điều này cho ra các hệ quả sau:
Các Goldstones boson h " * X và một lưỡng tuyến Higgs vật lí mang điện tích đôi là h + + * p+ + .
Khối lượng của các Higgs trung hòa.
(45)
Để có khối lượng dương: Ằ,1 > 0, Ằ,2 > 0, 4Ằ,iẰ,2 > 2.3.
Thành phần Higgs của mô hình này bao gồm: Higgs h + + mang điện tích đôi và hai Higgs trung hòa h y và h 2 . h y là
một thành phần của 5Ư(2)i trong thành phần tuyến tính như trong Eq nên nó được xem như Higgs tựa mô hình chuẩn
(Standard model like-Higgs). Trong đó, h mang số lepton bằng 2.

.

Khối lượng các Hỉggs trung hòa của mô hình
Phổ khối lượng các trường Higgs trung hòa bao gồm cả phần vô hướng và phần giả vô hướng. Trước hết, chúng ta tính

cho phần vô hướng.

Trường vô hướng ơ ° không có VEV nên Ẹ ' a và ự a không trộn với các trường
khác nên ta có trạng thái vật lý của trường Higgs H ẻ * Ẹ ' a [3].
1
<í = ã7L + ỉf^-(íf + ^«)”2 + *1S«2+^“2 -^ ^ (46)
Sử dụng điều kiện IAI, l/i \ ~ ù ) kết họp với điều kiện (32), ta có ma trận trộn
khối lượng giữa các trường Ẹ q . Ẹ p , Ẹ ỵ là
Tương tự, với
truờng giả vô hướng, chú ý ở đây có truờng vật lý ( ơ và Ụ a
Ị f các
± u Ả 1 9 Ù)V Ơ V
\
có khối lượng bằng khối lượng truờng H ^ , nên ma trận trộn gkhối lượng
C?J
V
>Cp ’ (>X ^
= (ú
(47)
„ƠI V+f 2 V ơ )
/2
u
f 2 U À 1 9 ÚJV
Ỉ
^*19
vơ vơ /
Từ đây, ta xác định được khối lượng của ba Higgs, trong đó có một Higgs khối lượng
rất nhỏ (ÍA) và hai Higgs khối lượng lớn hon {tì 2 , H 3 ).
m

X

ỉì 1

—

U2

(V 2 + u2) +
(ù — (u2 + V 2 ) +
=
2,3
uv
2
(
Cú -Ị2
±
2
— (y 2 + u2) + uv (V 2
L

-4

/1/2

(48)

v
^*1
9 ^ (y 2
vv„

+ u2 ) +

^-19^ //1 , /2
19^ /7l | Ml u
—
> =
\l7ff V )\

vv

H2

(y 2 +V 2 )

(49)


Ị fxu

\

Ả CÚVƠ V V
19

g
CŨ

MỈẸ =

g ÙJ

-Ỵ-ưlV + f 2V ơ )
u

(50)
—

/2

~ /2

\

vn /

^13

Chéo hóa ma trận này, ta thu được khối lượng của các giả vô hướng
Az x 3,
m2,

.

m2,

m

mị 2 = x 2 i

=

(51

Khối lượng các Higgs mang điện của mô hình
Với các Higgs mang điện đon, ma trận trộn khối lượng Ĩ ] Ị , p + ,
_Ắ

l_hn_ỵ^ỵ,
V

9

V

-fi

„ * _Áa0)
~^ưiV + f2vơ)
/

CẲJ

là

\ ll 91
f2
f 2 U Ả-igtủV
vơ vơ Ị

(52)

Và ma trận trộn khối lượng ĩ Ì 2, X + > s2 là
Mị2
(

^4^15 +^-20^VVí7 +^-18
u
‘

À8ÚJ

-™Ỉ2 - /1 u

f 2U

­m?x­
0

V

\

+ Ả (ÚVƠ + Ả19(ÚV

(53)

17

— m:;+

/

Với
^ ^-15 + ^-20^ v ơ

V
x + x~

2.

~

+

/

17^1

+

2^

=

18

V

Ằ8V2

u
m

Ả U Vữ Ả Ú) V 1 »

2v

_

2~

91717*

,

+
+

L

(54)

2

19

2

Ơ

Chéo hóa các ma trận này ta thu được hai trường Goldton boson là G 3 = h Ị , ổ4+ * x +


và bốn Higgs mang điện đon có khối lượng
f ± ucư Ả 8 (ú 2
Ả 19
2
,2
—
™
cư
v
ơ
m~
=
m„
,
mị
=
mị
,
+
++
+
2
t
Tưong tự2htvới các Higgs
mang2điện đôi, m

ta thu đượcV một Goldstone boson
2 G 8 ~ x và một trường vật lý s £ với khối lượng
Ngoài ra, 2còn hai Higgs mang điện đôi với ma trận trộn khối lượng
ms s+
+ Ả 1 7 CÚ 2 Ả 1 9 ủ
- Chéo
ỉ 2 hóa ma trận
này, thu được/ thêm khối lượng
của
hai Higgs mang điện đôi
Ả19ủ
1
(57)
+ Ả 1 7 CÚ 2 VỈ/
m
2
++_
Ả 9 cư
(58)
Mị + + = cư
À 19 Ú
f2
cư ĩẢ9Cư
■ã
+ Ài 7
f[ 2*4,5
+Al7"
vơ
vơ
-f2zJ =m2id2

(59)
Cú
ÀỊỊỊCŨV /U_ ựạA _ /ỊV I2
Trong chưong này chúng
ta
đã
trình
bày về khối lượng các Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu, qua đó chỉ ra được
-h Ả 17
2
Vl7ff u / u \
(ĩẢ 9 cư
những vấn đề cụ thể như: thế Higgs của mô hình, khối lượng các Higgs trung hòa và khối lượng các Higgs mang điện của mô
Ằ 9 UCÚ]( Ả 1 7 cưv ữ
2V [ơìv + / v )
U
hình. Đây là các Higgs
2 thể
\{ f 2đo
~ J2 + Ả 1 9 ( Ú V .
+ 2 vật lý, tức2 làff chúng ta có


2

được khối lượng của nó từ các dữ liệu thực nghiệm và các kết quả mà chúng
ta thu được ở đây là các kết quả ở phép tính gần đúng.


Chương 3

TƯƠNG TÁC CỦA CÁC HIGGS TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU 3.1. Tương tác của các Higgs vói các boson
chuẩn
Trong mô hình 3-3-1 tối thiểu, Lagrangian tổng quát của mô hình được đưa ra •£,.« =Ĩ.F trD„F + ỵ(.D“Sy (D„s) - ÌGi(ívGfv '-A^A? iB^B^+Lr-V

(60)

với:
D „ = d l l - igstiG í#i - igTịA í#i - igx -j=Bụ

X

Giụ.v ~ d,Giv — dvGifl — gsfijk^jụ.^kv A-ifi-v dpAịV dvAifl gfijkAjụ.Akv
Bụv = dụBv - dvBụ
Trong đó, Ly là tương tác Yukawa của mô hình và V là thế Higgs tổng cộng bao gồm cả các số hạng chứa lục tuyến
của mô hình.
Số hạng đầu tiên trong L t o t chứa tất cả các tương tác của các đa tuyến Fermion với các boson chuẩn, còn số hạng thứ
hai chứa tương tác của các vô hướng với các boson chuẩn.
Do vậy, để xác định tương tác của các Higgs với các boson chuẩn, ta bắt đầu với số hạng thứ hai của L t o t .
Với các Higgs trung hòa ta có:
^
v.p.x.s

< (Ọ >y (Dụ <

) = ^ <(p>+
v.p.x.s

= ỵ <v>* \gTfif + gx [gT^ + g^B*) <

v.p.x.s

<(p>

= ^ < (p >+ X

V2
V2
ụ-G* + ±G*
) +
V2%+

r ì, p , x, s

/,2(c'+^c'?) +

9x

X

V217V21 V < < p > (61)
\
-ầG^
V3 + 9xằB")
6
+
c
0
-à MV21*ỉtW
\

ịB»

\í-G*+±G*) +

9;í e
^ '‘

7
V2%5 là hằng số tương tác của nhóm sơ (3)i
\
V2S/+
là hằng số tương tác của nhóm ơ(l)x và X là tích ơ(l)x của đa tuyến tương ứng.
g x X f e B*

còn
G ị p { ỉ = 1,8) và B p là các trường chuẩn.
/K^3+ầc-‘8)+®*le''
Sử dụng (61)V2
kết họp với phần mềm Mathmetical ta có các đỉnh tương tác như bảng sau:
Các đỉnh

%- V V2ự+
với:

Hệ số tương ứng

^ M + V Y- . t p S p V ự + V ự - . Ẹ ^ V Y + V ự - . Ẹ p Ẹ p V ự + V ự
t e a W + W- . Ẹ a Ẹ a W + W- . t e a Y + Y- . Ẹ a Ẹ a Y + Y^ X Y + Y ~ ’ W + Y ~ , Ẹ X Ẹ X Y + Y- , Ẹ n Ẹ n Y + YWX

Y++Y

--.W

++Y

--.SXSX

Y++Y

--.SPSP

Y++Y

£_
2

--

^aY++Y~~ ,UaY++Y~Ẹ n W + W- , Ẹ n Y + Y-

ug2
V2

+
++
pY
+ p W W- , +
Ẹ Ơ WẸCác
W-đỉnh
, Ẹ Ơ Y ẸY, Ẹ Ơ YY + + Y-

W3G%ÍPG3G8 , Ẹ q Ẹ q G 3 G 8 , Ẹ p Ẹ p G 3 G 8

2
Hệ số tương vứng
kgg 2
V2
2 y / 3 - t ị V2

Ẹ X Y + + Y-,Ẹ X Y + Y-

ug2
V2

3

8

2

f,G G
Ufl (l-ệ§)
Bảng 1: Các đỉnh tương tác của các Higgs trung hòa với các boson mang điện.
yỊS-ltị
Tương tự như phần trên, từ công thức (61), khi quan tâm đến các boson trung hòa ta
có các đỉnh tương tác
Ẹ plà:G 3 G 8

vg2(i-ụ=)
j6-2tị

ẸƠG3G8

k

9 2 { l-ệ§)

y/6-2tị
MƠG3G8,UƠG3G8

3

8

3

^pG G ,ẸpẸpG G

8

2y/3 - tị
ggiO--^)
yj6-2tị

ẸpG3G8

55iKi-^=) A/3 — t w