Bài toán cauchy neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ MINH THỦY

BÀI TOÁN CAUCHY-NEUMANN Đối VỚI
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI
TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2015


NGUYỄN THỊ MINH THỦY

BÀI TOÁN CAUCHY-NEUMANN Đối VỚI
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI
TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng


Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Mạnh
Hùng , người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong
quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà
trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều
kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo
mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Nguyễn Thị Minh Thủy


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn được tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực
tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Nguyễn Thị Minh Thủy


Mục lục
Mở đầu
Nội

dung..
Kiến thức chuẩn bị

Chương 1.

1.1. Các kí hiệu

4
4

1.2. Đạo hàm suy rộng

6

1.3. Không gian Sobolev

8

1.4. Một số bất đẳng thức cơ bản

10

1.4.1. Bất đẳng thức Cauchy với £

10

1.4.2. Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz

11

1.4.3. Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng

11

Bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình

Chương 2.

parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn
2.1. Đặt bài toán

2.2. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
2 .2.

Bất đẳng thức năng lượng

1

Định lý duy nhất nghiệm

2 .2.
Sự tồn tại của nghiệm suy rộng
2 Ví dụ

2.3.
Kết luận
2.4.
Tài liệu tham khảo

14
14
16
16
18
24
33
36
37


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là một bộ phận quan trọng của toán học, nó
được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ 18 trong các công trình của các
nhà toán học như Euler, Dalembert, Lagrange và Laplace, như là một công cụ
quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính thường được chia thành 3 loại: phương trình loại elliptic,
phương trình loại parabolic, phương trình loại hyperbolic. Các bài toán biên đối
với phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính dạng elliptic,
parabolic, hay hyperbolic trong miền có biên trơn đã được nghiên cứu và đạt
được những kết quả tương đối hoàn chỉnh. Lý thuyết các bài toán biên trong
miền không trơn là một trong những lĩnh vực quan trọng của lý thuyết phương
trình đạo hàm riêng hiện đại, mới được nghiên cứu và phát triển một cách hệ
thống từ những năm 60 của thế kỷ 20. Các bài toán biên đối với phương trình,
hệ phương trình không dừng trong miền có biên không trơn cũng đã được
nghiên cứu trong nhiều công trình với các loại phương trình khác nhau, trên các
loại miền không trơn khác nhau và các cách tiếp cận khác nhau. Trong các
công trình này đã nhận được các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy
rộng và các kết quả về tính trơn cũng như biểu diễn tiệm cận của nghiệm.

Với mong muốn được hiểu sâu hơn về các bài toán trong miền không trơn,
nhờ sự giúp đỡ của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài
Bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong

6


trụ với đáy không trơn".

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu về tính giải được của bài toán
Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy
không trơn, đó là các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán trên trong
trụ với đáy không trơn.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian Sobolev,
các bất đẳng thức cơ bản, các kiến thức liên quan. Từ đó áp dụng vào nghiên
cứu tính giải được của bài toán.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiệm suy rộng của bài toán
Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy
không trơn.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp xấp xỉ Galerkin,
phương pháp đánh giá bất đẳng thức, phương pháp không gian hàm Sobolev.

7

6. Đóng góp mới của đề tài
Các kết quả của luận văn góp phần hoàn thiện lí thuyết một cách hệ thống
các trường hợp đặc biệt của những bài toán tổng quát đã được giải trong miền
không trơn.

7. Nội dung
Luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1 : Giới thiệu một số kiến thức bổ trợ.
Chương 2: Trình bày cách đặt bài toán Cauchy-Neumann đối với
phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, trình
bày nghiệm suy rộng, sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của
bài toán.

8


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Các kí hiệu
M" là một không gian Euclide n— chiều, X = (xi,x 2 , ■■■,x n ) G M".
Xét íì là một miền bị chặn trong M", n > 2 với díì là biên của nó và

íì = íì u dũ.
Giả sử 0 < T < 00. Kí hiệu:
Qrp = Í7 X (0, X1) =

: X G Í7, t G (OỊT1)}

là trụ trong Mn+1.

Mặt xung quanh của nó là:
S T = d í ì X (0, T ) = { { x , t ) : X e d í ì , t G (0, T)}.
Với u là hàm véc tơ phức với các thành phần Uị , U 2, u

n

. Ta kí hiệu: u = (Ui,u 2 ,...u n) và D p = p f P Ì

Vn

là đạo

hàm suy rộng cấp p theo biến
o X ^

• • •

o X Tị

X = (si, . . . x n ) , Uịk = d k u / d t k là đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t , ở đây p = (pi, ...,p n) là kí hiệu đa chỉ số với

Pi là các số nguyên không âm, \p\ = p 1 + ... +p n .
c%° (fi) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong
n.

Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm đó khác không và kí hiệu là supp. Kí hiệu

ơfc(íì) là tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền £}, 0 < k < 00,


ơ° (íĩ) = c
0

(íĩ), và c k (íĩ) = c (íĩ) n c k (íĩ),

ở đó c k là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong íì và có giá compact thuộc íì.
Lp (íì): Cho íì là một miền trong không gian M" và cho 0 < p < 00. Khi đó Lp (íì) là không gian bao gồm tất cả
các hàm u (a;) khả tổng cấp p theo Lebesgue trong íì với chuẩn:

L 2 (íì) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên íì với chuẩn:
2

\Mỉ2 (íì) = J \u{x)\ dx.

n

L >2 (íír) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên ÍÌ T với chuẩn :
2

IMIỈa(nr) = J \u{x,t)\ dxdt.

n 'Ị'
Một hàm số / đo được trên Mn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số k sao cho I/ (s)| < k hầu khắp nơi trên
Mn. Cận dưới lớn nhất các hằng số k được gọi là essential supremun của \ f\ trên Mn.
Kí hiệu esssup I/ (s)|.
XẼĨ"
LQO (ÍÌ) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (s) đo được theo Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên với

chuẩn :

IMIL^U) = esssuP \ u (z)l ■

xen

Cho X là không gian Banach với chuẩn II-11^-. Kí hiệu Lao (0,T]X) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (.,
t) nhận giá trị trong không gian X, xác định trên (0,T) sao cho
T-X)

= esssu

P IMIx < °°- ’ ’

0
Diều kiện Lipschitz :
Hàm u : ư —> K (ư là tập mở trong K")là liên tục Lipschitz nếu Vx,y € ư, c là hằng số :


\ u (x) - u ( y ) \ < c \ x - y \ .
Ta viết:
Iu{x)-u{y)\

r , r .1 _

Lip [u\ := sup ----------p------j---x,y£U,xỶV \x ~ y I
Ta sử dụng các kí hiệu sau :
( v { . , t ) , < p (.))n = J v { x , t ) < p (x) d x .
n

( v U t ) , W ( . , t ) ) n =/»(», t ) w ( x , t ) d x .
n
(v,w)n = / V (x,t)w (x,t) dxdt.
n' r

1.2.

Đạo hàm suy rộng

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử íì là một miền trong không gian Mn. Một hàm V (s) G Li (íì) được gọi là đạo hàm suy
rộng cấp p của hàm u (s) e Li (íì) nếu:
/«(*) ^* (*)
=(-!)'*/« (»M*)*,
n
n
Chú ý :
Công thức Green suy ra một hàm u(x ) có đạo hàm thông thường liên tục cấp p thì nó có đạo hàm suy rộng cấp
p . Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy hàm u(x ) có không quá một đạo hàm suy rộng.

Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa thông thường. Ví dụ xét u(x) = \x\ ,x £ (—
1,1). Dễ kiểm tra được hàm u(x) có đạo hàm suy rộng trong khoảng ( — 1,1).
Thật vậy,


Giả sử v(x) là đạo hàm suy rộng của u(x) = \x\ ,x £ (—1,1). Khi đó ta có:
Tuy nhiên, hàm này không có đạo hàm thông thường tại điểm

X

= 0. Một hàm có đạo hàm suy rộng

-1

J V ( x ) i p (æ) d x , £ c ° ° (—1,1)
-1
1

= —J signx.tp (x) dx.

-1

Vậy V (æ) = s i g n x là đạo hàm suy rộng của u ( x ) = \ x \ , x £
( — 1,1).
cấp p trong miền íì thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp p trong miền ÍT c íì . Thật vậy, giả sử u ( x )
có


đạo hàm suy rộng trong miền tì là hàm v(x ) và tp (a;) là một hàm bất kì 0
thuộc c°° (ÍT), ÍT là miền con của tì. Khi coi tp (a;) = 0 với X £ tì\tì' ta nhận
được ip £ c°° (ÍT).
Ta có hệ thức:
/ u ( x ) Đ v < p [ % ) d x = Ị u ( x ) D ” i p ( x ) d x 0'

n

(-ir Ị v(X)íp(X)dX=(-ir Ị v(X)v(X)dX.
n
0'
Từ đó ta nhận được u(x) có đạo hàm suy rộng trong miền tì' cũng chính là
hàm v(x). Đạo hàm suy rộng trong miền tì' được gọi là thu hẹp của đạo hàm

suy rộng trong tì vào tì'.
Jja+Pv

=

;

a D ° v i + b D ° v 2 = D a ( a v \ + b v 2), ở đó a , b là các

hằng số tùy ý.
Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy rộng
không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo hàm suy rộng bảo
toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thường. Tuy nhiên,
không phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp p không suy
ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn p.

1.3.

Không gian Sobolev

• Không gian w l ( í ì )
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử tì là một miền trong không gian M n. Ta định nghĩa

w l (íì) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (s) e L 2 (íì) ,x £ tì
tí \Dpu\2 dx


p|< ỉ
• Không gian w1 (íì)
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử íì là một miền trong không gian M". Ta định nghĩa

W 1 (íì) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (a;) G L 2 (íì),
0

X

G íì với chuẩn :
• Không gian W 1 (íì)

Định nghĩa 1.3.3. Giả sử íì là một miền trong không gian M". Ta định
0
o
1
nghĩa W (íì) là bao đóng của c°° trong chuẩn của W 1 (íì).
• Không gian w l ' k ( e ~ J t , íìr)
Định nghĩa 1.3.4. Giả sử íì là một miền trong không gian M".Ta định nghĩa
w l , k (e~ J t , ÍÌ T ) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x, t ) G L 2 (ÍÌT) sao
cho
D v u (.,t),
và

Uịi

(.,t) G L 2 (ÍÌ) , (0 < \p\ < l, 0 < j < k ) với mỗi t G (0, T)


Định nghĩa 1.3.5. Giả sử íì là một miền trong không gian M".Ta định nghĩa

w 1'1 ( e~ J t ,

íì r )

là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x, t ) G L 2 (ÍỊT) sao

cho D p u (., t ), U ị i (., t) G L 2 (íì ) với mỗi t G ( 0, T ) và
e ~ 2 j t d x d t < 00.
Đặt L 2 {e~^, íĩr) = w°'° {e~^, íĩr).

1.4.

Một số bất đẳng thức cơ bản

1.4.1.

Bất đẳng thức Cauchy với £

Cho a, b là các số thực dương và £ > 0. Khi đó
2 b2 ab <
£ ũL +
4E
Chứng minh.
Ta có
s

a b = (2Ễ:)2 a .

s
L2

2

Ap dụng bất đắng thức ab <
có
.

Y

+ 2 ta

(2£
ỳ

1 ồ 2ea 2 Ế
(2sý

2

2

= ea + —.
4e
Bất đẳng thức được chứng minh.


1.4.2.

Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz

Cho u,v € M". Khi đó, ta có:
\uv\ < |lt| |v| .
Chứng minh.

Cho £ > 0 và ta có:
0 < |it ± ev\ 2 = |it|2 ± 2euv + £ 2 \v\ 2 .
Do đó
±uv < — \u\ + - \v\ .
2e 1 1

2 11

Cực tiểu hóa vế trái, đặt £ = -pj với u 7^ 0, ta được:
±uv < |it| |u| .
Hay ta viết:
\uv\ < |lt| |u| .
Bất đẳng thức được chứng minh.
Trong không gian Hilbert (H ), chuẩn của phần tử u được lấy là
\\u\\ = y/(u,u).
Đối với u,v G (H ) ta có bất đẳng thức Cauchy- Schwarz:
\ u v \ < 11^11 \ \ v \ \ .
1.4.3.

Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng

Giả sử u và ự> là các hàm khả tích, không âm trên đoạn [to, T), L
= const > 0 thoả mãn:
u ( t ) < ( p ( t ) + L Ị u (t ) d t , Ví G [to, T ) .
Jto
U (t) < tp (t) + L Ị ei(i SV (s) ds, Vt G [t Q , T).


J ta

Hơn nữa, nếu tp (t) có đạo hàm tp' (í) khả tích trên [to, T ) thì u (t)
< tp (t0)

+L

Í ei(i_s-V (s) ds,Vt G [to,T).
dto

Chứng minh.
t

Đặt y{t) = f u (í) dt, ta có :
ío
y ' { t ) = u { t ) < ( p ( t ) + L y ( t ) , Ví G [to, T )
hay:
y ' { t ) - L y ( t ) < ( p ( t ) Ví G ị t 0 , T ) .
Đặt z(t ) = y(t)e~ L t ta nhận được:
z'(t) = (y'(t)-Ly(t))e- LtTa có z (to) = y{to) = 0 và do đó:
t
Suy ra:

z ( t ) < J e ~ L s i p( s ) d s

Ví G [to,T).

¿0
t

y{t) < Ị eL(t~s]ip(s)ds

V í G [ t o , T ) . ¿0

Do đó:
t
u (t) < p { t ) + L y ( t ) < i p ( t ) + L Ị e L { t ~ s ) p ( s ) d s , Ví G [to, T )
¿0


Nếu ip (t ) có đạo hàm tp' (t ) khả tích trên [to, T) thì bằng tích phân từng phần,
ta có:

t

= -y? (í) + ( p { t o ) e + Ị e L ( ' t ~ s ^ t p ' ( s ) d s .
to

Từ đây ta suy ra:
u

{ t ) < i p { t 0 ) + L í e L { t *v (s) d s , v t e [ t 0 , T ) . J t 0
Bất đẳng thức được chứng minh.

Ta nhận thấy rằng nếu íp = c = const trên [to,T) thì từ bất đẳng thức trên
ta suy ra bất đẳng thức Gronwall- Belman thông thường, tức là :
u{t) < ơei(i-io),Ví e ịto,T).
Đặc biệt nếu tp (t) = 0 trên [¿0, T) thì ta có:
t
u ( t ) < L Ị u (s) d s = > u (t ) = 0, Ví e [ t o , T ) .
to

Chương 2
Bài toán Cauchy-Neumann đối với
phương trình parabolic cấp hai
trong trụ với đáy không trơn
Trong chương này luận văn trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy
rộng của bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic cấp hai
trong trụ với đáy không trơn, ta nhận được kết quả về tính giải được của bài toán
trong trụ với đáy không trơn.

2.1.

Đặt bài toán

Giả sử íì là một miền bị chặn trong

> 2 với biên díì không

trơn.
Giả sử 0 < T < oo. Kí hiệu
Ũ.T =

íì X (0,

T) = {(æ, t ) : X G íì, t G (0, T)} là

trụ trong Mn+1. Mặt xung quanh của nó là
S T = d ũ X (0, T ) = { { x , t ) : X e d í ì , t £ (0, T ) } .
Xét toán tử vi phân cấp 2

ở đây ũịj = ũịj (X, t ) là hàm phức khả vi vô hạn trên ũịj = ãji (ỉ,j = 1,n) và a
= a (X, t ) là hàm thực khả vi vô hạn trên ÍÌ T - Hơn nữa giả sử rằng Cbịj

(i,j

=


1,n) là liên tục đều với X £ £} theo biến t G (0, T).
Kí hiệu
N {x, t, d) = ^2 Oịị {x, t ) cos

(Xị,

v)

Bài toán trên được gọi là bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình
parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn.
Bài toán ta đang xét là Parabolic mạnh, tức là với ( G r\ {0} và (x, t) £ ÍÌQO,
tồn tại ¡Ầị = const > 0, ta luôn có bất đẳng thức sau:
n

a

> Arì KI2 ■

M
í , i =1

(2-4)

Định nghĩa nghiệm suy rộng:
Cho / £ L 2 (ÍÌ). Khi đó hàm u(x,t ) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán
(2.1) — (2.3) trong không gian w 1,1 (e_7í, Í Ì T ) nếu u (X , t ) £

w 1,1 (e

7i

,

Ç} T ) ,

U

(X , 0)

= 0, với mỗi T

> 0 và thỏa mãn đẳng thức sau:

n

+

-

(au^)nT + (uì rìt)nT

= (/) 7 /)n T ■

(2-5)

»,j = l
với mọi hàm thử T Ị = T Ị ( x , t ) G W 1 ’ 1 (e _ 7 i ,íì r ) sao cho T ) { x , t ) =
0 với t G [r, oo),0 <

2.2.

T

< T.

Tính duy nhất của nghiệm suy rộng

2.2.1. Bất đẳng thức năng lượng
Đặt:

n

B ( u , u ) ( t ) = ~ ỵ 2 { a i ó u x. (.,t) , u X i { . , t ) ) n .
»,j = l
Trong bổ đề sau ta sẽ xét bất đẳng thức năng lượng. Bất đẳng thức này là


một trong các cơ sở quan trọng trong các chứng minh ở các phần sau.
Bổ đề 2.2.1. G i ả s ử đ i ề u k i ệ n (2.4) t h o ả m ẫ n . K h i đ ó t ồ n t ạ i 2 h ằ n g
s ố Ị i Q > 0, Ao > 0 s a o c h o v ớ i m ọ i h à m

U

= u ( x , t ) G W 1 ' 1 (e_7i, íìr) t a

có bất đẳng thức sau:
—B

(u,u) (t ) > Ho IMIwqn) — Ao |Mli2(n) ■

Chứng minh
Từ điều kiện (2.4) và từ bất đẳng thức Cauchy ta có:
n
n
t1 \ \ U x i
i

=1

= -B(u,u){t) -

IL 2 (n) — { i j
a

i=j=

u

Xj

:

u

Xi)n

1
{aijUXj,uXt)n

(2-6)


<-B{u,u) (t) + c (e) \\u\\

iv0(n) + £ ^2 \\ U x i 11^2 (ft) >
i= 1

với 0 < £ < Ị 1, c (e) > 0. Từ bất đẳng thức này ta nhận được
n

(n — s) \\u x . ||Ì2(nj < —B(u, u ) (t ) + c (e) Ilpv'O(n) ■
i= 1

Từ đó ta có:
V- „

/

V

u

„2

.

\\ Xi II L 2 (0)

1
— —

WlX

, C(e) „ „2

B {u,u) {t) + _ IMIív^n)

ỊJj t

ỊJj C

.

Suy ra:

ll^ 1 II ỊV 1 ( ÍÌ ) —

—

C\B (u,u) (t) + c 2 ,

(2-

7)
với ƠI = -±- > 0, c 2 = ^ > 0.
1

5

ịi — e

* Ịx-e

Bởi vì Ç} là miền có tính chất đoạn nên từ bất đẳng thức nội suy ta
có:

IMIw 0 (n) — £ 1 IMIw^íi) + c ( £ i) ll' u IỈL 2 (n) ì
với mọi 0 < E l < 1.
Thay vào (2.7) ta nhận được:

IMIw^fi) —
ll' u lli 2 (fĩ) ■

—

C\B (r¿, u) (t) + (c 2) E\ ||'u|| l y i (H) "b C 2 C ( £ i)

Suy ra:

(1 - C 2£ 1) \\u\\2wl{n) <-CiB (u, u) (í) + C 2 C (ei) |Mlỉ a ( n ) .
Vậy nên:

1—
— B (u, u) (t) C 2E I
>
ci
Từ đó suy ra:

,_.m2

l^llivun)

C 2C{ £ i )
Q

m

_j|2

\ \ U \ \ L 2( Ũ )


B (rí, rí) (t) > ßo llrrlljyi^ A 0 lli 2 (rĩ)


Bổ đề được chứng minh.
2.2.2. Định lý duy nhất nghiệm
Mục này dành cho trình bày việc phát biểu và chứng minh tính duy nhất
nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic
cấp hai trong trụ với đáy không trơn. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng được
khẳng định qua định lí sau:

Định lý 2.2.2. Giả sử rằng hệ số của toán tử L ( x , t , d ) thoả mẫn điều kiện
(2.4) và:
sup

(Æ,Î)

Khi đó bài toán (2.2) — (2.4) có không quá một nghiệm suy rộng trong

w l , ì (e-7i, ÍỊr) với 7 > 0.
Chứng minh
Giả sử bài toán (2.1) — (2.3) có hai nghiệm suy rộng U \ và U 2 trong w 1’1
(e_7í, fì. T ) với 7 > 0. Đặt:
U (X , t ) = U ị (X , t ) — U 2 (X , t ) .

Khi đó ti G w l , ì (e_7í, ÍÌT) và U (X , 0) = 0. Giả sử r là một số dương T < T.

Xét hàm:


Ta có: ĨỊ (X, t ) G W 1 ’ 1 (e 7i, ÍỊr), thật vậy: vì u (X, t ) G W 1 ' 1
(e_7i, íìr) nên tồn tại {Uj}°° = 1 c c°° (íìr),

Đặt:
Vj (M) =

{/ * U j ( X , s ) d s , 0 < t
< b 0

,b < t <

T

II

u

j -

u

°’ k h i ^’ °-

\\w^(íìT)

với TỊj c c°° (ÍỊr).
hi - v\\

—
J b

<

/
Uj(x,s)ds
/ u(x,s)ds

Jb

ds —> 0, khi j —> 0.
Do đó ĨỊ (æ, t ) G W 1 ’ 1 (e_7i, íìr)- Hơn nữa TỊt = u với 0 < t <

b. Thật vậy: Vip G c°°
[0, b] ta có:

dip

( V ì v?
í)i,2(0,b)
Vậy hàm TỊ chính là hàm thử.
Thế u = TỊt vào (2.5),ta được:
n
a

- ( H T lxit> T lxi)íi T + (avt,v)n T + (Vt,rh)n T = °-

î j=1
Cộng vào đẳng thức trên với liên hợp phức của nó ta có:
n

- 2 Re £ { a ijVx i t , rìx t ) ũ b + 2 Re (ar)t, r)) n ¡ ¡ + 2 Re (rít, 77t>n b = ° -

î j=1

(2-8)