Nghiên cứu sự chuyển pha trong các mô hình lattice bằng phương pháp số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------------

Nguyễn Thị Thuần

NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC
MÔ HÌNH LATTICE BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------------

Nguyễn Thị Thuần

NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC
MÔ HÌNH LATTICE BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HOÀNG OANH

Hà Nội – 2015

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS.
Nguyễn Hoàng Oanh. Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức chuyên
ngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong quá trình học tập môn học và
quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy cô
trong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trường Đại học Khoa học tự nhiên đã
quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn cũng như trong
suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường.
Em xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn học
viên cao học khóa 2011-2013 đang học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lý
thuyết và Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN đã nhiệt tình
giúp đỡ và hướng dẫn em trong quá trình học tập.
Công trình này được hỗ trợ một phần bởi đề tài QG.15.09 "Nghiên cứu một
số mô hình Vật lý thống kê bằng phương pháp Monte - Carlo trên hệ thống tính
toán không đồng nhất sử dụng GPGPU hiệu năng cao".
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm
động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 4 tháng 01 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Thuần


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO ..................4

1.1.Giới thiệu ..........................................................................................................4
1.2.Tích phân Monte Carlo ...................................................................................5
1.4.Số ngẫu nhiên ...................................................................................................7
1.5. Lấy mẫu điển hình ........................................................................................11
1.6. Chuỗi Markov ...............................................................................................11
CHƢƠNG II. NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MÔ HÌNH ISING ....12
2.1. Xây dựng thuật toán và chƣơng trình ........................................................12
2.2. Chạy chƣơng trình ........................................................................................15
CHƢƠNG III. NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MÔ HÌNH XY ........24
3.1.Thuật toán ......................................................................................................24
3.2. Đƣa hệ về cân bằng nhiệt. ............................................................................25
3.3. Chuyển pha KT định tính. ...........................................................................30
KẾT LUẬN ..............................................................................................................44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................45
PHỤ LỤC .................................................................................................................47


DANH MỤC BẢNG – HÌNH
Danh mục bảng
Bảng 2.1. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ β .............................................21
Danh mục hình
Hình 1.1. Minh họa thuật toán loại trừ ......................................................................10
Hình 2.1. Quá trình tiến tới cân bằng ........................................................................15
Hình 2.2. Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với các giá trị Beta ..............16
Hình 2.3.a. Tìm kiếm điểm chuyển pha ....................................................................17
Hình 2.3.b. Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn) ..............................................18
Hình 2.4. Mô phỏng tại điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager[10] .......................19
Hình 2.5.a. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n) ....................20
Hình 2.5.b. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n) ...................20
Hình 2.5. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ .................................................22

Hình 2.6. Kết quả thực nghiệm về sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising[14] ....23
Hình 2.7. Kết quả mô phỏng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising .................23
Hình 3.1. Độ lớn của độ từ hóa của lưới L = 32, T = 0.10 .......................................26
Hình 3.2. Năng lượng của lưới L = 32, T = 0.10 ......................................................26
Hình 3.3. Góc pha spin của lưới L = 32, T = 0.10 ....................................................27
Hình 3.4. Bình phương độ từ hóa của lưới L = 32, T = 0.10 ....................................27
Hình 3.5. Năng lượng, L = 32, T = 0.01. ..................................................................28
Hình 3.6. Độ lớn của độ từ hóa. L = 32, T = 0.01.....................................................29
Hình 3.7. Năng lượng trung bình trên từng spin. L = 32, T = 0.02. .........................29
Hình 3.8. Cấu hình spin giả bền. L = 32, T = 0.10. ..................................................31
Hình 3.9. Cấu hình spin L = 32, T = 0.01. ................................................................32
Hình 3.10. Cấu hình spin. L = 32, T = 0.50. .............................................................32
Hình 3.11 Cấu hình spin. L = 32, T = 0.70. ..............................................................33
Hình 3.12 Cấu hình spin. L = 32, T = 0.80 . .............................................................33
Hình 3.14. Cấu hình spin. L = 32, T = 1.00. .............................................................34
Hình 3.15. Cấu hình spin. L = 32, T = 2.50. .............................................................35


Hình 3.16. Độ lớn của độ từ hóa trên mỗi spin trong vùng nhiệt độ rất thấp với biểu
thức xấp xỉ lý thuyết sóng pin. L = 32. .....................................................................36
Hình 3.17. Độ cảm từ của vài hệ với kích thước khác nhau. ....................................37
Hình 3.18 Năng lượng của hệ trên mỗi spin. L = 32. ...............................................37
Hình 3.19. Nhiệt dung riêng. Hệ L = 32. ..................................................................38
Hình 3.20 Bình phương của độ từ hóa tham chiếu với biểu thức xấp xỉ lý thuyết
sóng spin. L = 32. ......................................................................................................39
Hình 3.21 ...................................................................................................................40
Hình 3.22. Bình phương góc pha của spin được đo tham chiếu với tổng độ từ hóa
tức thời. L = 32. .........................................................................................................40
Hình 3.23. Xuất xoắn cho một vài hệ. Các phép đo liên tiếp được sử dụng, sai số
chưa được ướng lượng chính đáng. ...........................................................................42

hình 3.24. Xuất xoắn cho hệ kích thước tuyến tính L = 32. .....................................42


MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu về pha vật chất và sự chuyển pha đã xuất hiện vào những
năm 50 của thế kỷ trước. Từ đó đến nay các hiện tượng chuyển pha luôn được các
nhà lý thuyết và thực nghiệm quan tâm. Chuyển pha liên quan đến nhiều lĩnh vực
vật lý khác nhau, từ vật lý thống kê, vật lý hạt nhân, hạt cơ bản, đến Vũ trụ học
bằng nhiều phương pháp khác nhau, gần đây là phương pháp số dựa trên cơ sở của
máy tính hiện đại, cụ thể là phương pháp Monte Carlo dựa trên việc sử dụng các giả
số ngẫu nhiên. Phương pháp này được sử dụng rộng rãi có vai trò quan trọng trong
vật lý tính toán, như tính toán trong sắc động lực học lượng tử, mô phỏng spin có tương
tác mạnh,…Chính vì vậy, luận văn này chúng tôi nghiên cứu Sự chuyển pha trong các
mô hình lattice bằng phƣơng pháp số nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên
cứu một số mô hình Vật lý thống kê như mô hình I sing và mô hình XY.
Mục đích của luận văn : tính toán điểm chuyển pha trật tự - hỗn loạn khi nhiệt
độ của hệ spin tăng dần bằng việc sử dụng các chương trình để mô phỏng hệ spin
Ising 2D và xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless (KT) trong mô hình XY.
Cấu trúc Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và kết luận.
Chương 1:Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo
Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ số
ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán. Các phương
pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức
mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải
được bằng các phương pháp giải tích.Phương pháp Monte Carlo có thể dễ dàng mở
rộng cho tích phân nhiều lớp. Giá trị của tích phân nhiều lớp được ước lượng bằng
tích của 2 số hạng: i/ Giá trị trung bình của hàm số trong vùng cần tính; ii/ Kích
thước của vùng cần tính tích phân (độ dài đoạn thẳng trong tích phân 1 lớp, diện
tích trong tích phân 2 lớp, thể tích trong tích phân 3 lớp và tương tự cho tích phân
nhiều lớp hơn)

1


Chương 2: Nghiên cứu sự chuyển pha của mô hình Ising
Khi nghiên cứu một màng mỏng từ tính của một chất sắt từ có tính bất đẳng
hướng đơn trục mạnh, ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising 2 chiều với N spin Si
tương tác với nhau và có tổng thống kê nhận giá trị
Z I sin

g 2D




1
exp    
2
{ S x  1 }



 1  S



 x ,y 

x


S y     S x  

x
 

e

 H

{ S x  1 }

Bằng phương pháp giải tíchOnsager[10] đã tìm được điểm chuyển pha loại hai
giữa mất trật tự - trật tự tại  c



 ln 1 



2  0 . 88137

.

Thuật toán
i, Khởi tạo chương trình;
- Khởi tạo chuỗi số ngẫu nhiên
- Khởi tạo cấu hình hay đọc cấu hình đã được lưu trữ
- Khởi tạo các quy luật, điều kiện biên,...

ii, Nâng cấp cấu hình theo một thuật toán nào đó ví dụ như Heat bath;
iii, Tính toán đại lượng Vật lý cần đo đạc;
iv, Quay lại bước ii cho đến khi lấy đủ thống kê.
Để kiểm chứng kết quả với tính toán giải tích của Onsager ta cần phải tính độ từ hóa:
M 

1
V



j

S

j

.

Thực hiện các tính toán như mô tả ở trên với các giá trị β khác nhau từ 0.5 đến
1,5 với 12000 lần nâng cấp cấu hình, chúng tôi tìm được điểm chuyển pha là 0.88
phù hợp với kết quả của Onsager.
Chương 3:Nghiên cứu sự chuyển pha của mô hình XY
Mô hình XY sử dụngThuật toán Metropolis ngẫu nhiên đảm bảo quét đầy đủ
các cấu hình cân bằng của hệ theo phân bố Boltzmann và thuật toán Heatbath với
cách chọn spin ngẫu nhiên.
Đo đạc trên một hệ Vật lý đòi hỏi hệ phải ở trạng thái cân bằng. Hệ ở đây là mô
hình XY hai chiều, thông qua các phương pháp Monte Carlo tạo cấu hình thuộc
chuỗi Markov từ cấu hình theo phân bố bất kỳ về trạng thái cân bằng tuân theo phân

2


bố Boltzmann cũng chính là phân bố mà chuỗi Markov hội tụ về sau một khoảng
thời gian nào đó.Chúng tôi thực hiện làm nóng đột ngột để đưa hệ về cân bằng trong
mọi phép đo.
Chúng tôi xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless trong mô hình XY.
Chuyển pha KT trong mô hình XY hai chiều là giữa hai pha nhiệt. Một pha ở nhiệt
độ thấp không có các xoáy (dương hoặc âm) hoặc có thì các xoáy này ko tồn tại tự
do mà đi theo cặp xoáy âm - xoáy dương và liên kết chặt chẽ.Một pha khác ở nhiệt
độ cao hơn nhiệt độ nào đó TKT - nhiệt chuyển pha KT, trong pha này các xoáy âm
dương xuất hiện ngày càng nhiều theo sự tăng của nhiệt độ. Nhiệt độ chuyển pha
Kosterlitz-Thouless xác định tại T = 0.9 phù hợp với công bố TKT=0.89294.
Phần kết luận dành cho việc tổng hợp những kết quả thu được và thảo luận.

3


CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁP
MONTE CARLO
1.1.Giới thiệu
Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các
bộ số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán. Các
phương pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận
dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không
thể giải được bằng các phương pháp giải tích. Phương pháp này được đặt tên là
Monte Carlo, tên một sòng bạc nổi tiếng ở Monaco, do sự tương đồng về việc sử
dụng số ngẫu nhiên trong đánh bạc và nghiên cứu khoa học. Bàn quay rô – lét chính
là một máy tạo số ngẫu nhiên đơn giản. Theo nghĩa rộng nhất, bất cứ phương pháp
nào sử dụng số ngẫu nhiên đều có thể được quy vào lớp phương pháp Monte Carlo.

Quá trình lấy mẫu thống kê có thể tiến hành trên máy tính bằng việc lặp lại
một số lượng rất lớn các bước đơn giản, song song với nhau. Các thuật toán Monte
Carlo cũng là phương pháp tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến
nhiều biến số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp tất định khác,
chẳng hạn bài toán tính tích phân nhiều lớp. Hiệu quả của phương pháp này so với
các phương pháp tất định khác tăng lên khi số chiều của bài toán tăng. Phương pháp
Monte Carlo cũng được ứng dụng trong nhiều bài toán tối ưu hóa như trong các
ngành tài chính, bảo hiểm. Thông thường phương pháp Monte Carlo được thực hiện
với số giả ngẫu nhiên do không thể tạo ra số ngẫu nhiên thực sự trên máy tính mà
chỉ có thể thu thập từ các quá trình ngẫu nhiên xảy ra trong thực tế. Các số giả ngẫu
nhiên có tính tất định, được tạo ra từ các thuật toán có quy luật có thể lặp lại được
khi sử dụng trong cùng điều kiện.
Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét bài toán tính số π do nhà toán
học Buffon đưa ra vào thế kỉ XVIII. Xét điểm M(x,y) trong đó hai tọa độ x,y được
gieo một cách ngẫu nhiên trong khoảng 0tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) khi và chỉ khi x2+y2<1. Diện tích hình tròn có bán
kính R=1 là S = R2

=

còn hình vuông có cạnh a = 2 là a2 = 4, do đó xác xuất để

4


tìm M nằm trong hình tròn là

. Bằng cách tính tỉ số giữa tổng điểm nằm trong

đường tròn và tổng điểm được gieo ngẫu nhiên ta có thể tính toán xấp xỉ số π.

Phương pháp đơn giản này hoạt động theo nguyên tắc thử và sai.

1.2.Tích phân Monte Carlo
Trên đây, chúng ta đã nêu ra một ví dụ đơn giản về tính số π bằng phương
pháp thử và sai. Trong phần này, chúng ta tìm hiểu một phương pháp chính xác và
hệ thống hơn. Phương pháp này đưa bài toán tính số π về bài toán tính tích phân rồi
tính tích phân đó bằng cách ước lượng giá trị trung bình của hàm trong vùng lấy
tính phân.
Diện tích của

hình tròn có thể tính được bằng tích phân:

với a là bán kính của hình tròn. Như vậy diện tích này có thể ước lượng được bằng
phương pháp số truyền thống như phương pháp hình thang, phương pháp Simpson
hay các phương pháp tất định khác có độ chính xác cao hơn. Ngoài các phương
pháp kể trên, tích phân còn có thể lấy bằng tích của giá trị trung bình của hàm số
trong khoảng lấy tích phân và độ lớn (chiều dài) của khoảng lấy tích phân.
Giá trị trung bình của hàm số f(x) trong khoảng từ a đến b có thể ước lượng
bằng việc sử dụng một tập số ngẫu nhiên {xi} phân bố đều trong khoảng [a,b]. Từ
tập hợp đó chúng ta có thể ước lượng giá trị trung bình:

5


Giá trị tích phân khi đó ước lượng bằng:

với N là tổng số điểm ngẫu nhiên được sử dụng.
Diện tích của

đường tròn được ước lượng theo công thức:

Và như vậy ta có thể ước lượng giá trị của số pi là
Phương pháp Monte Carlo có thể dễ dàng mở rộng cho tích phân nhiều lớp.
Giá trị của tích phân nhiều lớp được ước lượng bằng tích của 2 số hạng:
-

Giá trị trung bình của hàm số trong vùng cần tính.

-

Kích thước của vùng cần tính tích phân (độ dài đoạn thẳng trong tích phân 1
lớp, diện tích trong tích phân 2 lớp, thể tích trong tích phân 3 lớp và tương tự
cho tích phân nhiều lớp hơn)

Ví dụ tích phân 3 lớp:

1.3. Ƣớc lƣợng sai số
Độ lệch chuẩn của ước lượng trung bình một đại lượng trong Monte Carlo:

là
Với trường hợp N lần thử độ lệch chuẩn sẽ là:

Từ công thức tính sai số ở trên ta thấy rằng sai số trong tính tích phân ước lượng tỉ
lệ thuận với

, độc lập với số lớp tích phân, vì thế phương pháp Monte Carlo

6

sẽ ưu việt hơn các phương pháp tính tích phân truyền thống khi số lớp tích phân
càng lớn.
Trên đây là ước lượng độ lệch chuẩn khi N giá trị số liệu là độc lập với nhau,
khi N giá trị này phụ thuộc vào nhau, chúng ta phải sử dụng các phương pháp khác
để tính đến sự tương quan của dữ liệu vào ước lượng của độ lệch chuẩn như kết hợp
dữ liệu, Jackknife, Bootstrap.
1.4.Số ngẫu nhiên
1.4.1. Tạo số giả ngẫu nhiên
Ta có thể tạo được các tập hợp nhỏ số ngẫu nhiên từ các quá trình ngẫu nhiên
trong tự nhiên (như quá trình bức xạ hạt nhân) hay đời sống hàng ngày (như tập hợp
kết quả xổ số mở thưởng hàng ngày). Tuy nhiên các tập hợp số ngẫu nhiên này
thường quá nhỏ để sử dụng trong một bài toán Monte Carlo điển hình với yêu cầu
hàng tỉ số ngẫu nhiên.
Có một chương trình tạo số ngẫu nhiên chất lượng cao là việc quan trọng bậc
nhất để đảm bảo một chương trình mô phỏng Monte Carlo hoạt động tốt. Số ngẫu
nhiên được tạo ra từ một thuật toán nào đó không đảm bảo hoàn toàn được tính
ngẫu nhiên vì thuật toán là xác định và có thể lặp lại được. Vì thế các số ngẫu nhiên
tạo ra trên máy tính được gọi là các số giả ngẫu nhiên. Một chương trình tạo số giả
ngẫu nhiên điển hình thường tạo ra các số ngẫu nhiên nguyên nhận giá trị từ 0 cho
đến giá trị lớn nhất có thể được lưu trong máy tính. Mỗi chương trình tạo số ngẫu
nhiên đều phải được khởi tạo với một hoặc một tập hợp giá trị bắt đầu, với mỗi tập
hợp giá trị khởi tạo ta có một tập hợp số ngẫu nhiên riêng biệt. Một chương trình tạo
số ngẫu nhiên phải thỏa mãn các tính chất quan trọng sau đây:
-

Tính lặp lại: sử dụng cùng một giá trị khởi tạo có thể thu được cùng một
chuỗi số ngẫu nhiên với mỗi lần sử dụng chương trình.

-

Tính ngẫu nhiên: các số ngẫu nhiên trong tập hợp phân bố đồng nhất và
không phụ thuộc vào nhau.

-

Có chu kì dài: các chương trình tạo số ngẫu nhiên phải có chu kì đủ lớn để
phục vụ các nghiên cứu sử dụng nhiều số ngẫu nhiên.

7


-

Chất lượng chuỗi số ngẫu nhiên không phụ thuộc nhiều vào giá trị khởi tạo.

-

Đủ nhanh để tạo ra một tập hợp số ngẫu nhiên trong thời gian nhất định.
Trong các thư viện chuẩn, chúng ta thường dùng thuật toán đồng dư tuyến

tính để tạo ra chuỗi số ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều. Chương trình này sử dụng
các hằng số a,c,m để tạo chuỗi ngẫu nhiên là số nguyên phân bố đều trong khoảng
từ 0 đến m-1:
X

i1

  aX i  c  m od m

Một tập hợp số ngẫu nhiên thực có thể tạo được bằng cách chia cả tập hợp số

nguyên trên cho một hằng số phù hợp. Ví dụ chia cho m ta được tập số thực nằm
trong khoảng [0,1).Chu kỳ lớn nhất của chuỗi ngẫu nhiên là m, vì vậy các hằng số a,
c phải được chọn cẩn thận để đảm bảo chuỗi số có chu kỳ lớn nhất.
Thuật toán đồng dư tuyến tính là thuật toán đơn giản nhất để tạo số ngẫu
nhiên với chất lượng vừa phải sử dụng ít tài nguyên máy tính. Khi cần có các tập
hợp số ngẫu nhiên có chất lượng cao, chúng ta phải sử dụng các phương pháp tốt
hơn với nhiều tài nguyên tính toán hơn như thuật toán Fibonacci, thuật toán
Mersenne Twister, các thuật toán kết hợp.
1.4.2. Phân bố xác suất
Gọi P(x)dx là xác xuất tìm thấy số ngẫu nhiên nằm trong khoảng (x,x+dx),
P(x) được gọi là hàm mật độ xác suất. P(x)=0 tương ứng với không có khả năng tìm
thấy x, và P(x)=1 tương ứng với khả năng chắc chắn tìm thấy x. Hàm mật độ xác
suất P(x) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa sau:

Vậy xác suất tìm thấy số ngẫu nhiên nằm trong khoảng [a,b] là

.

Cho một tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều trong một khoảng nào
đó, có hai cách cơ bản để tạo một tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố bất kỳ là
phương pháp đổi biến và phương pháp loại trừ.
Phương pháp đổi biến

8


Nếu ta có một tập hợp số ngẫu nhiên {x} có hàm mật độ xác suất là p1(x) xác
định thì hàm mật độ xác suất p2(y) của tập hợp số ngẫu nghiên {y} được tạo ra bằng
cách tác dụng hàm y=y(x) lên tập hợp {x} được xác định theo quy tắc bảo toàn xác
suất: |p1(x)dx| = |p2(y)dy| =>p2(y) = p1(x)|

|

Khi cả hai mật độ hàm mật độ p1(x) và p2(x) là đã biết, chúng ta có thể xác
định hàm chuyển đổi y(x) bằng cách tích phân phương trình bảo toàn xác suất:
=

 P1(x)=P2(y)  y=P2-1(y)[P1(x)]

Đối với hàm p1(x) ban đầu là hàm phân bố đều trong khoảng [0,1), p1(x)=1 thì
= P1(x)=x.y được tính ngược từ hàm sau x=

.

Ví dụ: Lấy mẫu biến ngẫu nhiên x có hàm mật độ xác suất f(x)=ae-ax trong khoảng
[0,∞) ta có:
|

|=f(x)=ae-ax nên t= e-ax hay x= -

Khi x = 0 thì t = 1 và x = ∞ thì t = 0, do đó ta có thể thu được biến x bằng cách
gieo ngẫu nhiên biến t trong khoảng (0,1) và áp dụng công thức:
x= để thu được một tập hợp số ngẫu nhiên {x} tuân theo phân bố f(x)=ae-ax trong
khoảng [0,∞).
Phương pháp loại trừ
Phương pháp đổi biến ở trên là một phương pháp tính toán hiệu quả cho phép
thu thập các số ngẫu nhiên ở phân bố không đều, tuy nhiên phương pháp này có một
nhược điểm là khó có thể áp dụng cho những hàm giải tích phức tạp. Không phải
hàm nào cũng tính ra được hàm ngược một cách dễ dàng, do đó cần thiết phải có
một phương pháp khác để giải quyết vấn đề này.

Phương pháp loại trừ Von Neuman là một phương pháp rất đơn giản trong
việc tạo ra số ngẫu nhiên tuân theo mọi phân bố mong muốn. Xét một hàm mật độ
xác suất f(x) khác 0 trong khoảng [xmin, xmax] và bằng 0 ở ngoài khoảng này. Gọi C

9


là một hằng số lớn hơn hoặc bằng giá trị cực đại Fmax của hàm f(x). Phương pháp
bao gồm gieo N cặp số ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều trong khoảng [xmin, xmax]
và [0,C] và chỉ thu nhận những số nằm dưới đường cong f(x).
Gọi M là tổng số những cặp số được thu nhận và vm(x)dx là số những cặp số
có hoành độ nằm trong khoảng (x, x+dx). Khi mà số lần gieo tiến tới vô cùng tỉ số

vm(x)

tiến tới giá trị

.

Hình 1.1. Minh họa thuật toán loại trừ
Thuật toán chi tiết:
-

Tạo một tập hợp số ngẫu nhiên {x} tuân theo phân bố đều trong khoảng [xmin,
xmax]

-

Với mỗi giá trị x, gieo một số ngẫu nhiên n theo phân bố đều trong khoảng
[0,1]. Giá trị x được chấp nhận giữ lại trong tập hợp nếu

>n, nếu không

nó sẽ bị loại bỏ khỏi tập hợp.
Thuật toán trên cho thấy rằng phương pháp này cho phép tạo ra một mật độ xác suất
f(x) bất kì, ngay cả khi hàm này chưa được chuẩn hóa.
Phương pháp loại trừ đòi hỏi cần nhiều số ngẫu nhiên hơn phương pháp biến
đổi bởi vì một phần số ngẫu nhiên đã gieo bị loại bỏ. Khi đã tính toán được giá trị
Fmax thì chúng ta có thể làm tăng hiệu suất tính toán bằng cách đặt C= Fmax. Phương
pháp này còn một nhược điểm khác là không phải lúc nào ta cũng xác định được
Fmax một cách dễ dàng, việc lựa chọn C theoFmax sẽ quyết định tỉ lệ loại bỏ cao hay
thấp.

10


1.5. Lấy mẫu điển hình
Phương pháp Monte Carlo hoạt động dựa trên việc lấy mẫu không gian
nghiệm của bài toán. Khi trong không gian nghiệm có các vùng có đóng góp lớn
hơn đáng kể so với các vùng khác, quá trình lấy mẫu đều trong toàn bộ không gian
nghiệm sẽ không hiệu quả, nhất là khi yêu cầu đạt được kết quả chính xác với một
khối lượng tính toán không quá lớn.
Ví dụ như khi ước lượng giá trị trung bình của hàm số một biến f(x) nào đó
trong khoảng [a, b] với N số ngẫu nhiên phân bố đều trong [a, b], độ chính xác của
kết quả thu được sẽ phụ thuộc cả vào hình dạng của hàm số f(x) và giá trị N. Trọng
số đóng góp của mỗi giá trị f(xi) trong giá trị trung bình tỉ lệ với độ lớn của f(xi). Với
cùng giá trị N, hàm số f(x) càng ít biến đổi trong [a, b] thì giá trị trung bình ước
lượng được sẽ càng chính xác. Nếu vẽ một đường thẳng song song với trục x và cắt
trục y tại giá trị trung bình chính xác, giao điểm này sẽ nằm gần các vùng có giá trị
f(x) lớn. Mục đích của chúng ta là tìm giao điểm một cách chính xác nhất có thể với

N nhỏ nhất. Để đạt được điều này ta nên sử dụng tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo
phân bố có dáng điệu gần với dáng điệu của f(x) nhất thay vì dùng tập hợp số ngẫu
nhiên tuân theo phân bố đều. Đây là kỹ thuật lấy mẫu điển hình.
1.6. Chuỗi Markov
Trong các phần trên đây chúng ta đã tìm hiểu các tính chất và ứng dụng đơn
giản của các tập hợp số ngẫu nhiên. Trong các nghiên cứu khoa học, chúng ta sẽ mở
rộng nghiên cứu giải các bài toán bằng việc sử dụng các quá trình ngẫu nhiên.
Chuỗi các quá trình ngẫu nhiên được sử dụng nhiều nhất là các chuỗi có tính chất
Markov: sự xuất hiện của một sự kiện nào đó chỉ phụ thuộc trực tiếp vào sự kiện
xuất hiện ngay trước nó. Ví dụ đơn giản chính là các chuỗi số ngẫu nhiên được tạo
ra bởi thuật toán tuyến tính đồng dư được kể đến trong phần 2.2. Trong chương 3
chúng ta sẽ sử dụng các chuỗi cấu hình Markov được tạo ra bởi thuật toán nâng cấp
cấu hình Heat bath (buồng nhiệt) với 2 mô hình Ising và XY 2 chiều để giải quyết
bài toán chuyển pha giữa hỗn loạn và trật tự. Một số tính chất quan trọng của chuỗi
Markov cũng sẽ được đề cập đến khi nghiên cứu các bài toán trên.

11


CHƢƠNG II. NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA
MÔ HÌNH ISING
2.1. Xây dựng thuật toán và chƣơng trình
Để nghiên cứu các bài toán Vật lý thống kê ta phải mô hình hóa[3,5,9,17]chúng
bằng cách đơn giản hóa hệ Vật lý nhưng vẫn giữ được những đặc tính Vật lý đặc
thù, chúng ta có thể xây dựng các mô hình thống kê để mô tả tương tác của các hệ
Vật lý. Khi nghiên cứu một màng mỏng từ tính của một chất sắt từ có tính bất đẳng
hướng đơn trục mạnh, ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising 2 chiều với N spin Si
tương tác với nhau và có tổng thống kê nhận giá trị
Z I sin

g 2D




1
exp
   

{ S x  1 }

2

 1  S
 x ,y 



S


S
 x   
x
y
x
 

e

 H

(2.1)

{ S x  1 }

với spin Si tại nút mạng i có thể hướng lên trên hoặc xuống dưới theo trục dễ định
hướng của chất sắt từ đang xét. Tính sắt từ biểu hiện khi một tập hợp các spin
nguyên tử sắp xếp sao cho các mô-men từ của chúng đều có cùng hướng, do đó tạo
nên mô-men tổng hợp có độ lớn đáng kể. Giả sử rằng mỗi nguyên tử đều có spin là
bán nguyên. Như vậy Si = +1 (spin hướng lên), hoặc Si= −1 (spin hướng xuống),
trong đó Si là thành phần theo phương z của spin nguyên tử thứ i. Các chỉ số i, j
trong (2.1) được thay đổi sao cho chỉ tính đến khoảng cách gần nhất. β tương ứng
với số hạng 1/kT thường gặp trong Vật lý thống kê.
Số hạng thứ nhất trong (2.1) cho thấy tổng năng lượng bị giảm xuống khi các
spin nguyên tử lân cận được sắp xếp cùng chiều. Hiệu ứng này chủ yếu là do
nguyên lý ngoại trừ Pauli. Các electron không thể chiếm giữ cùng một trạng thái
lượng tử, vì vậy hai electron của hai nguyên tử cạnh nhau, có cùng spin song song
(nghĩa là chiếm cùng trạng thái orbital), thì không thể tiến sát nhau. Sẽ không có sự
ngăn cản như vậy nếu các electron có spin phản-song song. Những ngăn cách không
gian khác nhau ngụ ý rằng tồn tại những năng lượng tương tác tĩnh điện khác nhau.
Số hạng thứ hai trong (2.1) đặc trưng cho tương tác với từ trường ngoài. Khi H bằng
0 ta không xét tương tác với trường ngoài, trong trường hợp này mô hình Ising sẽ có

12


chuyển pha loại hai ở tất cả các mô hình có số chiều không gian lớn hơn 1. Trong
trường hợp 2 chiều, mô hình này đã được giải bằng phương pháp giải tích bởi
Onsager[10], ông tìm được điểm chuyển pha loại hai giữa mất trật tự - trật tự tại



 c  ln 1 



2  0 . 88137

. Chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp Monte Carlo để kiểm

chứng kết quả giải tích này.
Bước đầu tiên trong việc sử dụng phương pháp Monte Carlo là xây dựng
chương trình mô phỏng. Chương này sau đó được chạy trên máy tính để thu được
đủ mẫu thống kê cần thiết. Các kết quả sẽ được xử lý thống kê để thu được giá trị
ước lượng và sai số tương ứng.
Trong bước đầu tiên, chúng ta phải xác định bài toán và thuật toán mô phỏng
một cách rõ ràng. Bài toán Ising 2D sẽ được mô phỏng trên một lưới vuông có kích
thước NxN với điều kiện biên tuần hoàn, điều kiện biên phổ biến nhất để giảm ảnh
hưởng do sự hữu hạn của lưới mô phỏng mang lại. Như đã đề cập đến trong chương
2, phương pháp Monte Carlo là phương pháp sử dụng các mẫu thống kê để ước
lượng giá trị của các đại lượng cần tính toán. Do kích thước lưới không gian ở đây
là NxN với mỗi điểm trên lưới được đặt một spin, số lượng cấu hình khả dĩ sẽ là
2NxN. Một cấu hình dạng nhỏ thường được sử dụng trong các nghiên cứu đơn giản
có giá trị N = 64 sẽ có 24096 ≈ 101233 cấu hình khả dĩ, một con số vô cùng lớn. Vì thế
nếu ta chỉ gieo ngẫu nhiên đơn giản để chọn lựa cấu hình, ta cần phải cần rất nhiều
cấu hình so với con số 101233 để có thể có được một kết quả tin cậy được. Việc này
là bất khả thi, chúng ta bắt buộc phải sử dụng phương pháp lấy mẫu điển hình để
tính tích phân dạng:
A



1
Z

 dS  A  S  exp

 

 2

 1 
 x ,y 



SxS

y



(2.2)



ước lượng giá trị trung bình của đại lượng Vật lý A. Phương pháp lấy mẫu điển hình
trong trường hợp này sử dụng các thuật toán phù hợp để tìm được một tập hợp các
cấu hình tuân theo phân bố:

p S



 
exp  
Z
 2
1

 1 
 x ,y 



SxS

y




13



e

 H

0

(2.3)
Z


với H0 là Hamiltonian khi không có trường ngoài. Các thuật toán được xây dựng bắt
đầu từ một cấu hình nào đó được gọi là cấu hình ban đầu. Cấu hình này sẽ được
nâng cấp với một thuật toán xác định để tạo thành một chuỗi Markov các cấu hình
{S1} {S2}{S3}... Chuỗi này dần sẽ hội tụ đến một tập hợp các cấu hình tuân
theo phân bố cân bằng (2.3). Đây là một trong những tính chất quan trọng nhất của
chuỗi Markov. Các chuỗi cấu hình này cũng thỏa mãn tính chất Ergodic: bắt đầu
chuỗi từ một cấu hình khả dĩ bất kỳ, chuỗi có thể tiến hóa đến bất kỳ cấu hình khả
dĩ nào khác (ứng với giá trị năng lượng nào đó).
Thuật toán đơn giản nhất để tạo ra một tập hợp cấu hình điển hình là thuật
toán Heat bath với xác suất chuyển cấu hình là
W  S  S    Ce

 H ( S )

,

(2.4)

không phụ thuộc vào trạng thái của cấu hình xuất phát. Thuật toán này kết hợp với
các yếu tố cần thiết khác của phương pháp Monte Carlo được trình bày trong phụ lục B1.
Nhìn chung một chương trình Monte Carlo cụ thể sẽ bao gồm các bước sau đây:
i, Khởi tạo chương trình;
- Khởi tạo chuỗi số ngẫu nhiên
- Khởi tạo cấu hình hay đọc cấu hình đã được lưu trữ

- Khởi tạo các quy luật, điều kiện biên,...
ii, Nâng cấp cấu hình theo một thuật toán nào đó ví dụ như Heat bath;
iii, Tính toán đại lượng Vật lý cần đo đạc;
iv, Quay lại bước ii cho đến khi lấy đủ thống kê.
Để kiểm chứng kết quả với tính toán giải tích của Onsager ta cần phải tính độ
từ hóa:
M 

1
V



j

S

j

.

(2.5)

Tính toán độ tự hóa đã được tích hợp trong chương trình được đưa đầy đủ trong phụ
lục (Xem phụ lục B1: Chương trình Ising 2D).

14


2.2. Chạy chƣơng trình

Chúng tôi bắt đầu chạy chương trình với cấu hình khởi tạo là cấu hình ứng
với nhiệt độ 0 tuyệt đối, tất cả các spin đều hướng về một phía. Cách khởi tạo này
còn được gọi là khởi tạo lạnh (cold start). Đầu tiên chúng ta khảo sát quá trình hội
tụ của các cấu hình theo chuỗi Markov đến một tập hợp cấu hình có năng lượng và
độ từ hóa tương ứng với giá trị nhiệt độ (giá trị β) đã chọn.
Beta = 0.5
3000

2500

Magnetization

2000

1500

1000

500

0

-500
0

10

20

30

40
50
60
Number of update sweeps

70

80

90

100

Hình 2.1. Quá trình tiến tới cân bằng
Minh họa cho quá trình này được trình bày trên hình 2.1 với tính toán tại β =
0.5. Tại thời điểm bắt đầu quá trình mô phỏng, nhiệt độ là 0 độ tuyệt đối nên tất cả
spin hướng về một phía, độ từ hóa nhận giá trị tối đa. Nâng cấp cấu hình theo thuật
toán Heat bath, độ từ hóa này sẽ giảm dần thể hiện hệ Ising dần trở nên hỗn loạn.
Sau khoảng sau 20 bước nâng cấp cấu hình, giá trị độ từ hóa của các cấu hình sẽ
dao động xung quanh giá trị 0 bất kể quá trình nâng cấp kéo dài bao nhiêu bước.
Như vậy tại giá trị β = 0.5, hệ Ising đang ở trong pha hỗn loạn.
Để đảm bảo chắc chắn chuỗi Markov các cấu hình đã hội tụ về phân bố cân
bằng ứng với giá trị nhiệt độ xác định, chúng tôi nâng cấp cấu hình khoảng 2000 lần
với thuật toán Heat bath và mô hình Ising 64x64 trước khi thực sự tính toán giá trị

15


của các đại lượng Vật lý quan tâm. Số lượng cấu hình này là quá nhiều chỉ để đảm

bảo sự hội tụ khi điểm tính toán ở xa điểm chuyển pha nhưng khi tiến lại gần điểm
chuyển pha, nó là cần thiết.
Thực hiện các tính toán như mô tả ở trên với các giá trị β khác nhau với
12000 lần nâng cấp cấu hình, chúng tôi thu được hình 3.2.
5000
Beta=0.5
Beta=0.6
Beta=0.7
Beta=0.8
Beta=0.9
Beta=1.0
Beta=1.1
Beta=1.2
Beta=1.3
Beta=1.4
Beta=1.5

4000

Magnetization

3000

2000

1000

0

-1000

-2000
0

2000

4000
6000
8000
Number of update sweeps

10000

12000

Hình 2.2. Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với các giá trị Beta
Hình vẽ này cho thấy với các giá trị β< 0.8, độ từ hóa dao động xung quanh giá trị 0
chứng tỏ các giá trị β này thuộc pha hỗn loạn. Với các giá trị β> 0.9, độ từ hóa dao
động xung quanh một giá trị xác định lớn khác không rõ rệt (> 3000 trong hệ đơn vị
chưa chuẩn hóa) chứng tỏ ở các giá trị β này hệ Ising thuộc pha trật tự. Như vậy rõ
ràng là có một sự chuyển pha từ hỗn loạn sang trật tự tại một giá trị β nào đó nằm
trong khoảng từ 0.8 đến 0.9. Tiếp tục tiến hành mô phỏng với các giá trị β dầy hơn
trong vùng (0.8, 0.9) ta thu được hình 2.3.a.

16


Hình 2.3.a. Tìm kiếm điểm chuyển pha
Trong hình 2.3.a ta thấy khi tăng dần giá trị của β từ 0.85 lên mỗi lần 0.01
đơn vị, sự dao động quanh 0 của độ từ hóa giảm dần và đến giá trị β = 0.88 nó gần

như nhận giá trị dương cho thấy điểm này khá gần điểm chuyên pha. Tiếp tục mô
phỏng dầy hơn với các giá trị β xung quanh 0.88 với nhiều bước nâng cấp cấu hình
hơn (2 trăm nghìn bước) ta thu được hình 2.3.b. Trong hình này rõ ràng ta quan sát
thấy sự tồn tại của các giả trạng thái (meta states) ứng β = 0.88 và β = 0.881. Giá trị
độ từ hóa nhận giá trị dương khoảng cỡ 3000 trong suốt một thời gian dài (thời gian
máy tính) rồi đột ngột chuyển sang nhận giá trị âm cũng cỡ khoảng gần 3000 trong
một thời gian không ngắn rồi lại tiếp tục đổi sang trạng thái dương,... Nếu chỉ lấy
thống kê trong một khoảng thời gian máy tính không đủ dài, ta sẽ có khả năng nhận
được 1 trong 2 giá trị của độ từ hóa: cỡ khoảng gần +3000, cỡ khoảng gần -3000
tương ứng với cùng một giá trị của β. Đây chính là dấu hiệu rõ rệt của sự chuyển
pha từ hỗn loạn sang trật tự. Lưu ý rằng điểm chuyển pha lý thuyết tính được theo
Onsager[10] là  c



 ln 1 



2  0 . 88137

, kết quả này là phù hợp đến khoảng 2 chữ số

thập phân có thể thấy rõ chỉ bằng quan sát.

17


Hình 2.3.b. Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn)
Tuy nhiên để thu được kết quả có độ chính xác cao hơn nữa chúng ta cần xử

lý thống kê và tính toán đến các hiệu ứng nảy sinh khi hạn chế kích thước của lưới
không gian, sự tự tương quan của dữ liệu, v.v.
Trước khi tiếp tục thảo luận về việc xử lý số liệu thống kê, ta hãy thử kiểm
tra sự phù hợp giữa lý thuyết và mô phỏng bằng cách chạy chương trình tại chính
điểm chuyển pha được mô tả bởi lý thuyết. Kết quả được thể hiện trọng hình 2.4 với
1 triệu bước nâng cấp cấu hình khẳng định sự phù hợp giữa lý thuyết và thực
nghiệm khi quan sát được sự tồn tại đồng thời 2 tập con các cấu hình ứng với 2 giá
trị độ từ hóa trái dấu nhau tại cùng một giá trị nhiệt đô.
Tiếp theo chúng ta xem xét đến một yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến quá
trình tạo chuỗi Markov các cấu hình là sự tự tương quan của các cấu hình. Các cấu
hình thuộc chuỗi Markov có tính chất: cấu hình sau chỉ phụ thuộc trực tiếp vào cấu
hình ngay trước đó. Tuy nhiên sự phụ thuộc gián tiếp giữa các cấu hình là vẫn tồn
tại với độ mạnh, yếu khác nhau dẫn đến các dữ liệu sau vài chục hoặc thậm chí
hàng nghìn lần nâng cấp cấu hình vẫn không hoàn toàn độc lập với nhau.

18


C = 0.88137
4000

3000

Magnetization

2000

1000

0

-1000

-2000

-3000

-4000
0

1

2

3

4
5
6
Number of update sweeps

7

8

9

10
5
x 10

Hình 2.4. Mô phỏng tại điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager[10]
Sự phụ thuộc giữa các cấu hình này liên quan chặt chẽ với thuật toán sử dụng để
nâng cấp cấu hình và một số yếu tố khác như sự tự tương quan của chuỗi số ngẫu
nhiên. Nó cũng phụ thuộc mạnh vào khoảng cách đến điểm chuyển pha. Sự tự tương
quan là yếu ở xa điểm chuyển và là rất mạnh ở gần điểm chuyển pha. Để khảo sát
điểm này chúng tôi sử dụng thuật toán kết hợp dữ liệu (Binding data) khi tính toán độ
lệch chuẩn của giá trị độ từ hóa ước lượng được. Chúng tôi coi n cấu hình liên tiếp của
chuỗi Markov là phụ thuộc lẫn nhau và vì vậy lấy trung bình các giá trị Vật lý tính toán
trên mỗi cấu hình thuộc n cấu hình liên tiếp nhau. Giá trị trung bình đó được coi là 1
giá trị độc lập. Sau khi thu được tổng số N giá trị độc lập ta tính toán độ lệch chuẩn
theo công thức:


N



A

2

 A

N 1

19

2

.

(2.6)