NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA CHẤT HẠT NHÂN TRONG MÔ HÌNH BỐN NUCLEON LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

MỤC LỤC
BẢNG CHỮ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU
CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT.
I. TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG.
1.1 Các phiếm hàm sinh và tác dụng hiệu dụng
1.1.1 Tác dụng hiệu dụng của trường vô hướng
1.1.2 Tác dụng hiệu dụng của trường fecmion
1.2. Khai triển loop của tác dụng hiệu dụng
1.2.1 Khai triển bất khả quy một hạt
Trường vô hướng
Trường Fecmion
1.2.2 Khai triển bất khả quy hai hạt
Đối với trường vô hướng
Đối với trường fecmion
1.3. Thế hiệu dụng
II. TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN.
1.4 Cơ sở chính tắc lớn
1.5 Các phiếm hàm sinh
1.6 Các hàm Green nhiệt độ
Trường vô hướng
Trường fecmion 25
1.7 Hình thức luận thời gian ảo
1.8 Hình thức luận thời gian thực
CHƯƠNG II: MỘT SỐ TÍNH TOÁN TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT.
I. THẾ HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG
1
2.1 Thế hiệu dụng trong lý thuyết
4
φ
2.2 Thế hiệu dụng đối với trường fecmion

40
2.3 Trường vô hướng
2.3.1 Hình thức luận thời gian ảo
2.3.2 Hình thức luận thời gian thực
2.4 Trường Fecmion
2.4.1 Hình thức luận thời gian ảo
2.4.2 Hình thức thời gian thực .47
CHƯƠNG III: NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA CỦA CHẤT HẠT NHÂN
TRONG MÔ HÌNH BỐN NUCLEON.
3.1. Thế hiệu dụng CJT ở nhiệt độ và mật độ hữu hạn 49
3.2. Các kết quả tính số trong HFA 56
3.2.1. Các kết quả ở nhiệt độ không 57
3.2.2. Các kết quả ở nhiệt độ hữu hạn và thế hóa học hữu hạn 60
3.3. Kết luận của chương 3 62
KẾT LUẬN 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO 65
2
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất tới thầy
giáo hướng dẫn tôi Ts Vũ Công Hảo. Thầy đã tận tình chỉ bảo,
hướng dẫn tôi trong cả quá trình nghiên cứu và viết luận văn. Được
gặp thầy và làm việc với thầy là một điều may mắn lớn đối với tôi.
Kính chúc thầy và gia đình luôn luôn mạnh khoẻ, hạnh phúc và đạt
nhiều thành tựu trên con đường nghiên cứu khoa học. Nhân đây, tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo khoa Ngữ văn
trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và tổ bộ môn Văn học
nước ngoài nói riêng đã trang bị kiến thức, giúp đỡ và tạo điều kiện
cho tôi hoàn thành luận văn này.
3
BẢNG CHỮ VIẾT TẮT

CJT Cornwall - Jakiw - Tomboulis.
QED Điện động học lượng tử ( Quantum Electron Dynamics).
QCD Sắc động học lượng tử ( Quantum Choromo Dynamics).
NJL Nambu - Jona - Lasinio.
SD Schwinger- Dyson.
1PI Bất khả quy một hạt ( One - particle Irreducible).
2PI Bất khả quy hai hạt ( Two- particle Irreducible).
BVA Gần đúng đỉnh thuần ( Bare vertex Approximation).
RPA Gần đúng pha ngẫu nhiên.
HF Hatree- Fock.
HFA Gần đúng Hatri-Foc ( Hatree- Fock Approximation).

4
MỞ ĐẦU
Ngày nay khái niệm chuyển pha đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực
khác nhau của vật lý học, hoá học và thậm chí cả sinh học. Nói riêng trong
lĩnh vực vật lý, việc nghiên cứu chuyển pha đang là một trong những hướng
thời sự nhất cả về phương diện lý thuyết lẫn thực nghiệm, vì nó liên quan chặt
chẽ đến những vấn đề chủ yếu của lý thuyết trường lượng tử, vật lý hạt cơ
bản, vật lý trong các môi trường đậm đặc và vũ trụ học.
Để mô tả các quá trình của tự nhiên bằng lý thuyết trường lượng tử, thì
một phương pháp tỏ ra hữu hiệu cho việc giải các phương trình động lực
chính là khai triển nhiễu loạn. Phương pháp này đã rất thành công trong điện
động lực học lượng tử (QED), sắc động lực học lượng tử (QCD) ở năng lượng
cao và một số bài toán cụ thể khác. Nhưng nhiều hiện tượng vật lý quan trọng
lại không thể dễ dàng phát hiện bằng lý thuyết nhiễu loạn, chẳng hạn sự vi
phạm đối xứng tự phát, các trạng thái liên kết, sự chuyển pha, Do ở gần
điểm chuyển pha nhiều tính chất của các hệ vật lý có sự thay đổi một cách kỳ
dị mà ta không thể dễ dàng phát hiện được trong chuỗi nhiễu loạn. Điều đó
đòi hỏi phải có những phương pháp gần đúng mới. Phương pháp tác dụng

hiệu dụng CJT (do J.M. Cornwall, R. Jackiw và E. Tomboulis đưa ra lần đầu
tiên vào năm 1974) chính là một trong những phương pháp như vậy. Dựa vào
tác dụng hiệu dụng CJT chúng ta có thể rút ra nhiều thông tin về hệ được xét
bởi vì tác dụng hiệu dụng có một ý nghĩa vật lý rất rõ ràng: Nó xác định giá
trị trung bình của Hamitolnian trong trạng thái chuẩn hóa. Trong trường hợp
bất biến tịnh tiến, thế hiệu dụng xác định giá trị mật độ năng lượng của hệ vật
lý. Chính vì vậy, những năm gần đây phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT
5
cho các toán tử Composite đã phát triển mạnh, nó trở thành một công cụ tính
toán hữu ích và có triển vọng trong lý thuyết trường lượng tử.
Vì thế chúng tôi chọn đề tài “ Nghiên cứu sự chuyển pha của chất hạt
nhân trong mô hình bốn nucleon”. Đề tài thực hiện nhằm mục đích sau:
1. Tìm hiểu phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT do Cornwall-Jakiw-
Tomboulis đề xuất lần đầu tiên 1974 ở nhiệt độ không và nhiệt độ hữu hạn.
2. Vận dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để tính toán thế hiệu
dụng, phương trình khe, phương trình SD cho một số phương trình quen
thuộc của lý thuyết trường lượng tử là mô hình
4
φ
, mô hình NJL.
3. Sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để nghiên cứu bản chất
chuyển pha của chất hạt nhân được mô tả bằng Lagrangian sau:

22
)(
2
)(
2
)
ˆ

( qq
G
qq
G
qMiqL
vs
µ
γ
−+−∂=
,
trong đó M, q là khối lượng và toán tử trường Nucleon;
vs
GG ,
là hằng số
tương tác .
Trên cơ sở các kết quả đạt được, luận văn được viết gồm 3 chương sau:
Chương I: Trình bày phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ không
và nhiệt độ hữu hạn.
Chương II: Dành cho việc vận dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để
tính toán một số ví dụ cụ thể.
Chương III: Nghiên cứu sự chuyển pha của chất hạt nhân theo mô hình bốn
nucleon trong phạm vi lý thuyết trường trung bình.
6
CHƯƠNG I
PHƯƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT.
Trong chương này chúng tôi sẽ xem xét một cách tổng quan về tác
dụng hiệu dụng Cornwall-Jackiw-Tomboulis (CJT) ở nhiệt độ không và nhiệt
độ hữu hạn. Trước hết chúng tôi đưa ra khái niệm về tác dụng hiệu dụng CJT
ở nhiệt độ không cùng với khai triển chu tuyến (loop) của nó, tiếp đó là đề
cập tới tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn, hình thức luận thời gian

thực và hình thức luận thời gian ảo[1, 2].
I. TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG.
1.1 Các phiếm hàm sinh và tác dụng hiệu dụng
1.1.1 Tác dụng hiệu dụng của trường vô hướng
Xét trường vô hướng
)(x
φ
được mô tả bởi mật độ Lagrangien £[
)(x
φ
] và
tác dụng
S=
∫
£
xdx
4
)]([
φ
. (1.1)
Mọi đặc trưng động lực của trường đều được xác định từ biên độ chuyển dời
chân không thành chân không với sự có mặt của nguồn ngoài J mà nó được
biểu diễn bằng tích phân đường:

inout
OOJZ ≡][
=
∫
+ ).][( JSi
eD

φφ
φ
, (1.2)
ở đây ta đã dùng ký hiệu

∫
= xdxJxJ
4
)()(.
φφ
. (1.3)

][JZ
chính là phiếm hàm sinh cho các hàm Green toàn phần vì các đạo phiếm
hàm của nó cho:

[ ]
[ ]
0
12

JZ
1
=J
n
n
n
JJJi
JZ
δδδ

δ
=
nn
GT
, 2,121
0) (0 ≡
φφφ
; (1.4)
7
còn các hàm Green liên kết
c
G
nhận được từ phiếm hàm sinh
][JW
liên quan
với
][JZ
bởi:

][JZ
=
][JiW
e
. (1.5)
Từ đây bằng cách đưa vào “ trường cổ điển ”
)(x
φ
là trị trung bình của
trường lượng tử
)(x

φ
:

[ ]
=≡
φ
δ
δ
J
JW

)(x
φ
, (1.6)
thì tác dụng hiệu dụng
][
φ
Γ
sẽ nhận được bằng phép biến đổi Legendre

[ ]
JJW . ][
φφ
=Γ
. (1.7)
Cũng như (1.3), ở đây

J.
φ
=

∫
xdxJx
4
)()(
φ
. (1.8)
Ta có thể coi (1.6) là phép đổi biến từ J thành
φ
là biến tự nhiên của phép
biến đổi Legendre.
Đạo hàm của
[ ]
φ
Γ
theo biến tự nhiên
φ
sẽ cho hệ thức liên hợp
Legendre:

[ ]
J−=
Γ
φδ
φδ
. (1.9)
Biến đổi Legendre (1.7) được xem như là biến đổi Legendre loại I vì nó
tạo ra các đỉnh bất khả quy một hạt (1PI). Ta sẽ gọi biến đổi Legendre loại II
là biến đổi tạo ra các đỉnh bất khả quy hai hạt (2PI). Để đi tới biến đổi này ta
xét phiếm hàm sinh tổng quát hơn:

∫






++
=
φφφφ
φ

2
1
.)(
],[
KJSi
eDKJZ
, (1.10)
ở đây K là nguồn ngoài đặc trưng cho tính chất Composite của trường.
Tương tự như trên, bằng cách đưa vào trường cổ điển
)(x
φ
theo (1.6) và
hàm truyền G bởi hệ thức:
8

[ ]
( )
[ ]

),()().(
2
1
)()(
2
1
,
,
yxGyxyx
y
KJW
+≡=
Κ
φφφφ
χδ
δ
, (1.11)
ta sẽ nhận được tác dụng hiệu dụng CJT bằng biến đổi Legendre loại II:

[ ]
[ ]
,.
2
1

2
1
.],[, Κ−−−=Γ GTrKJKJWG
φφφφ
(1.12)

ở đây ta cũng dùng kí hiệu giống như (1.3):

∫
≡ xdxJxJ
4
)()(.
φφ
,

∫
≡ yxddyyxKxK
44
)(),()(
φφφφ
,

],[ KGTr

≡
∫G
( ) ( )
yxddyxKyx
44
,,
. (1.13)
Các phương trình (1.6) và (1.11) có thể xem như phép đổi biến từ (J, K) thành
các biến tự nhiên (
G,
φ
) của phép biến đổi Legendre loại II (1.12).

Các đạo phiếm hàm của
),( G
φ
Γ
theo các biến tự nhiên sẽ cho hệ phương
trình:

[ ]
φδ
φδ
G,Γ
=
,
φ
KJ −−
(1.14)

[ ]
=
Γ
G
G
δ
φδ
,

K
2
1
−

. (1.15)
Trạng thái cơ bản của hệ sẽ tương ứng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài và do
đó được xác định bởi phương trình khe (Gap):

[ ]
0
,
==
Γ
KJ
G
φδ
φδ
= 0 (1.16)
và phương trình Schwinger-Dayson (SD):

[ ]
0
,
==
Γ
KJ
G
G
δ
φδ
= 0. (1.17)
Như vậy khi có thêm nguồn ngoài K đặc trưng cho tính chất Composite
thì thay cho tác dụng hiệu dụng
[ ]

φ
Γ
sẽ là tác dụng hiệu dụng
),( G
φ
Γ
tổng
9
quát hơn, tác dụng này không chỉ phụ thuộc
φ
là trị trung bình của trường
lượng tử
φ
mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G là trị trung bình của T- tích
của các toán tử trường.
1.1.2 Tác dụng hiệu dụng của trường fecmion.
Con đường đi đến tác dụng hiệu dụng đối với trường fecmion cũng hoàn
toàn tương tự như đối với trường vô hướng đã xét.
Biên độ chuyển dời chân không thành chân không với sự có mặt của các
nguồn
η
và
η
liên kết với các trường
ψ
và
ψ
là:

],[

ηη
Z

≡

inout
ΟΟ
=
∫
++ ).],[(
ψηηψψψ
ψψ
Ii
eDD
, (1.18)
ở đây I=
∫
£[
ψψ
,
]d
4
x
là tác dụng của trường fecmion.
Phiếm hàm sinh cho các hàm Green liên kết xác định bởi phiếm hàm W[
η
,
η
]
liên hệ với

],[
ηη
Z
bằng hệ thức:

],[
ηη
Z
=
],[
ηη
iW
e
. (1.19)
Bằng cách đưa vào các trường cổ điển:

[ ]
)(
,
x
W
σψ
ηδ
ηηδ
=≡
,

[ ]
)(
,

x
W
σψ
δη
ηηδ
=≡
, (1.20)
ta được tác dụng hiệu dụng
[ ]
)(),( xx
σσ
Γ
bằng phép biến đổi Legendre loại I

[ ] [ ]
)(.).(,)(),( xxWxx
σηησηησσ
−−=Γ
, (1.21)
ở đây
)(x
σ
, và
)(x
σ
là các biến tự nhiên của biến đổi Legendre loại I và các
đạo phiếm hàm của
[ ]
)(),( xx
σσ

Γ
theo các biến tự nhiên sẽ cho hệ thức liên hợp
Legendre:

[ ]
)(
)(
,
x
x
η
δσ
ηηδ
−=
Γ
, (1.22)
10

[ ]
)(
)(
,
x
x
η
σδ
ηηδ
−=
Γ
. (1.23)

Để đi đến biến đổi Legendre loại II ta xét phiếm hàm sinh tổng quát hơn:
Z[
η
,
η
,
ζ
] =
[ ] [ ]
( )
∫
+++Ι
=
ψζψψηηψψψζηη
ψψ
,,, iiW
eDDe
. (1.24)
Từ đó bằng cách đưa vào các trường cổ điển
)(x
σ
,
)(x
σ
theo (1.20) và hàm
truyền S thoả mãn:

[ ]
+≡= )()(
,,

xx
W
σσψψ
δζ
ζηηδ
),( yxS
(1.25)
ta sẽ nhận được tác dụng hiệu dụng CJT bằng biến đổi Legendre loại II:

[ ] [ ]
[ ]
ζσζσσηησζηησσ
SrWS Τ−−−−=Γ ,,,,
. (1.26)
Cặp các biến
)(x
σ
,
)(x
σ
, và S là các biến tự nhiên của biến đổi Legendre
loại II. Các đạo phiếm hàm của tác dụng hiệu dụng theo các biến tự nhiên sẽ
cho:

, ,
.
S
δ σ σ
η σ ζ
δσ

 
Γ
 
= − −
, (1.27)

, ,
.
S
δ σ σ
η ζ σ
δσ
 
Γ
 
= − −
, (1.28)

, ,S
S
δ σ σ
ζ
δ
 
Γ
 
= −
. (1.29)
Trạng thái cơ bản của trường sẽ được mô tả bằng các phương trình Gap:

[ ]
0
,,
===
Γ
ξηη
δσ
σσδ
S
= 0,

[ ]
0
,,
===
Γ
ξηη
σδ
σσδ
S
= 0
và phương trình SD
11

[ ]
0
,,
0
=
Γ

===
ξηη
δ
σσδ
S
S
.
1.2 Khai triển loop của tác dụng hiệu dụng.
Trong mục này ta sẽ xem xét các khai triển bất khả quy một hạt và hai hạt
của tác dụng hiệu dụng. Điều này rất cần thiết cho các tính toán tác dụng hiệu
dụng trong những trường hợp cụ thể về sau.
1.2.1 Khai triển bất khả quy một hạt.
Trường vô hướng
Xét phiếm hàm

[ ]
[ ]
( )
( . )
i S
i
i W J J
e e D e
δ φ
φ φ φ
δφ
φ
φ
φ
 

 
Γ
 
 ÷
− −
 ÷
 
Γ
−
   
= =
∫
, (1.30)
với mối ràng buộc bởi hệ thức liên hợp Legendre (1.9)
Nếu biểu diễn tác dụng cổ điển
)(
φ
S
dưới dạng:

)(
φ
S
=
[ ]
φφφ
int
1
0

2
1
SiG +
−
(1.31)
thì với
0=
φ
phương trình (1.30) sẽ có dạng:

[ ]
[ ]
1
0 int
0
1
. .
2
0
i iG S
i
e D e
φ
δ φ
φ φ φ φ
δφ
φ
−
=
 

 
Γ
 ÷
 
+ −
 ÷
 ÷
Γ
 
=
∫
. (1.32)
Từ đây chúng ta tìm một phiếm hàm
[ ]
φ
1
Γ
thoả mãn phương trình như (1.32)
và trở nên đồng nhất với nó khi làm một số thay đổi thích hợp trong số hạng
tương tác và hàm truyền, tức là:

1
1
0 int
1
1
. .( ). , .
2
i iG S
i

e D e
δ φ
φ φ φ φ φ φ
δφ
φ
φ
−
 
 
Γ
 
 ÷
 
+ −
 
 ÷
 
Γ
   
=
∫
%
% % % %
%
%
. (1.33)
Tiến hành phép đổi biến:

φφφ
−=

~
(1.34)
12
và khai triển
[ ]
φ
S
quanh
φ



[ ]
φ
S
= S
( )
1
0 int
1
. . . ,
2
S
S iG S
δ φ
φ φ φ φ φ φ φ φ φ
δφ
−
 
 

     
+ = + + +
     
% % % % %
, (1.35)
trong đó
φδφδ
δ
φ
S
iG
2
1
0
)( =
−
thì (1.33) trở thành:

[ ]
1
1
.( )
{ }
S
i S
i S
e D e
δ φ δ φ
φ φ
δφ δφ

φ φ
φ
 
   
Γ
   
 ÷
− +
 ÷
   
Γ +
     
=
∫
%
. (1.36)
So sánh (1.36) và (1.30) ta nhận được:

[ ] [ ] [ ]
φφφ
1
Γ+=Γ S
, (1.37)
ở đây
[ ]
φ
1
Γ
là tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy một hạt ứng với
tương tác

[ ]
φφ
,
int
S
và hàm truyền
)(
1
0
φ
−
G
.
Trường Fecmion
Xét phiếm hàm sinh

( )
, ,
, ( .( )}
, { , . .
i I
i i W
e e D D e
δ σ σ δ σ σ
ψ ψ ψ σ ψ σ
σ σ η η σ η η σ
δσ
δσ
ψ φ
   

Γ Γ
   
 
− − − −
   
Γ − −
 
   
= =
∫
, (1.38)
với các ràng buộc (1.22) và (1.23).
Biểu diễn tác dụng
],[
ψψ
I
dưới dạng

],[
ψψ
I
=
[ ]
ψψψψ
,
int
1
0
IiS +−
−

, (1.39)
thì với
0==
σσ
phương trình (1.38) trở thành
1
0 int
0
1
[ , ] [ , ]
. . [ , ] . .
[0,0]
i iS I
i
e D D e
σ σ
δ δ δ δ σ σ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
δσ δσ
ψ ψ
−
= =
 
 
Γ Γ
 
− + − +
 
 ÷
Γ

 
 
 
=
∫
%
%
%

[ ]
1
0 int
, ,
( . . , ( . ) 0
0,0
i iS I
i
e D D e
δ σ σ δ σ σ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ σ σ
δσ
δσ
ψ ψ
−
   
Γ Γ
   
 
− + − + = =
 

Γ
=
∫
. (1.40)
Ta lại tìm một phiếm hàm
[ ]
σφ
,
1
Γ
thoả mãn phương trình tương tự như (1.40)
và trở nên trùng với nó khi làm một số thay đổi thích hợp trong số hạng tương
tác và hàm truyền tức là thoả mãn:
13

[ ] [ ]
1 1
1
0 int
1
, ,
. . , , , . .
,
i iS I
i
e D D e
δ σ σ δ σ σ
ψ ψ ψ ψ σ σ ψ ψ
σ σ
δσ δσ

ψ ψ
−
 
Γ Γ
 
 
− + − −
 
 
 
Γ
 
   
=
∫
% % %
% % %
%
%
. (1.41)
Đưa vào biến số mới

σψψ
−=
~
,

σψψ
−=
~

, (1.42)
và khai triển tác dụng cổ điển
],[
ψψ
I
quanh
,
σ σ
:

[ ]
[ ]
[ ] [ ]
1
0 int
, ,
, ,
, . . . ( , ). , , , ,
I I
I I
I iS I
ψ ψ ψ σ ψ σ
δ σ σ δ σ σ
σ σ ψ ψ ψ σ σ ψ ψ ψ σ σ
δσ δσ
−
 
= + + =
 
 

+ + − +
 
%
%
% % %
% % %
(1.43)
trong đó
),(
1
0
σσ
−
S
thoả mãn:
-i
),(
1
0
σσ
−
S
=
[ ] [ ]
2 2
int
1
0
, ,I I
iS

δ σ σ δ σ σ
δσδσ δσδσ
−
= − +
(1.44)
thì phương trình (1.41) trở thành

[ ] [ ]
{ }
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1
1
, , , ,
, . .
, ,
I I
i I
i I
e D D e
δ σ σ δ σ σ δ ς σ δ σ σ
ψ ψ ψ ψ
δσ δσ δσ δσ
σ σ σ σ
ψ ψ
 
   
Γ Γ
 
− + − +

 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
Γ +
 
   
 
=
∫
%
%
. (1.45)
So sánh (1.45) với (1.38) ta nhận được khai triển 1 loop của tác dụng hiệu
dụng:

[ ] [ ]
σσσσσσ
,],[,
1
Γ+=Γ I
, (1.46)
trong đó
[ ]
σφ
,
1
Γ
là tổng của tất cả các giản đồ chân không bất khả quy một hạt
ứng với tương tác
[ ]

σσψψ
,,,
int
I
và hàm truyền
),(
1
0
σσ
−
S
.
1.2.2 Khai triển bất khả quy hai hạt.
Đối với trường vô hướng
Xuất phát từ phiếm hàm sinh

{ }
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
, . . . , . . . .
,
2 2 2
2
i
i W J K J K Tr G K i S J K K
Tr GK
i G

e e e D e
φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ
φ
φ
   
− − − + − + + − −
   
−
 
Γ
 
   
= =
∫
=
[ ]
( ) ( ) ( )
, , ,
. . .
G G G
iTr G i S
G
e D e
δ φ δ φ δ φ
φ φ φ φ φ φ φ
δφ δφ δ
φ
   
     
Γ Γ Γ

 
     
 
− − − − −
 
 
 
   
∫
, (1.47)
14
với các ràng buộc (1.14) và (1.15); đồng thời bằng cách biểu diễn tác dụng cổ
điển
[ ]
φ
S
theo (1.31) thì với
0=
φ
phương trình (1.47) sẽ có dạng:

[ ]
[ ]
[ ]
1
0 int
0
0,
1
. . . . .

[0, ]
2
0,
k
G
i iG S
G
iTr G
G
i G
G
e e D e
φ
δ φ
δ
φ φ φ φ φ φ
δ
δφ δ
δ
φ
−
=
 
 
Γ
Γ
 
 
+ − −
Γ

 
 
 ÷
 
Γ
   
=
∫
. (1.48)
Thêm một hằng số

( )
1
1 1
1
2
0 0
0
1 1
. . ln
ln
2 2
G Tr G
DetG
D e e e
φ φ
φ
−
− −
−

 
− −
 
= =
∫
(1.49)
và viết lại tác dụng hiệu dụng ta có:

[ ]
[ ]
=






−Γ
−1
0
ln
2
,0 GTr
i
Gi
e

[ ]
[ ]
[ ]

1
0 int
0
1
0
0,
1
. . . .
2
0,
. .
2
.
k
G
i iG S
G
G
iTr G
G
i
iG
D e
e
D e
ϕ
δ φ
δ
φ φ φ φ φ φ
δφ δ

δ
δ
φ φ
φ
φ
−
=
−
 
 
Γ
Γ
 
 
+ − −
 
 
Γ
 
 
 
 
∫
∫
.
(1.50)
Cũng giống như khai triển bất khả quy một hạt, ta cần tìm phiếm hàm
[ ]
G,
2

φ
Γ
thoả mãn phương trình giống (1.50) và trở nên đồng nhất với nó khi
làm một số các thay đổi thích hợp trong số hạng tương tác và hàm truyền, tức
là:

2 2
1
int
2
1
2 0
1
,
1
. . , . .
,
2
, ln
2
. .
2
.
K
G
i iG S
G
G
i
iTr G

i G Tr G
G
i
iG
D e
e e
D e
δ φ δ φ
φ φ φ φ φ φ φ
δ φ
δφ δ
φ
δ
φ φ
φ
φ
−
−
−
 
   
Γ Γ
 
   
 
+ − −
 
 
 
 

Γ
 
 
 
 
 
 
 
Γ −
 
 
 
 
   
=
∫
∫
% % % % % %
% %
%
%
. (1.51)
Viết lại phương trình đồng thời sử dụng khai triển tác dụng cổ điển quanh giá
trị
φ
theo (1.35) ta sẽ có:

[ ]
{ }
1

2 0
2 3 2
1 1
0
, ln
2
, ,
( ) .
2 2
.
K
i
i G S Tr GG
G S G
i i
i Tr G i S G G
G G
e
e D e
φ φ
δ φ δ φ δ φ δ φ
φ φ φ φ φ
δ δφ δφ δ
φ
−
− −
 
 
   
Γ + −

 
   
 
 
   
   
 
     
Γ Γ Γ
   
     
 ÷
 ÷
 
− + − − +
   
 ÷
 ÷
 
   
 
   
   
=
=
∫
% % %
(1.52)
So sánh (1.52) và (1.47) ta thu được khai triển bất khả quy hai hạt của tác
dụng hiệu dụng cho các toán tử Composite:

15

1 1
0 0 2
, ln 1 ,
2
i
G S Tr GG GG G
φ φ φ
− −
 
     
Γ = − − + + Γ
     
 
, (1.53)
ở đây
[ ]
G,
2
φ
Γ
bao gồm tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai hạt.
Phương trình (1.51) là một phương trình vi-tích phân của phiếm hàm sinh
2
Γ
và nó tạo ra các giản đồ chân không với một hàm truyền và tác dụng đã được
thay đổi.
Đối với trường fecmion
Một cách tương tự như trường Boson, ta xét phiếm hàm sinh:

[ ]
[ ] [ ]
{ }
, , . . .
, ,
i W Tr S
i S
e e
η η ζ σ η ησ σ ζ σ ζ
σ σ
− − − −
Γ
=
=
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
∫
−−+−+++−+
′
−
σψζσψσψζσησζησψψψζ
ψψ
,IiSiTr
eDDe
=
[ ]
[ ]
( )
[ ] [ ]

( ) ( )
[ ]
( )
,.
.
,,

0,,0,,
.,
,,
∫






−
Γ
−−−
Γ
−
Γ
−−







Γ
σψ
δ
σσδ
σψσψ
δσ
σσδ
σδ
σσδ
σψψψ
δ
σσδ
ψψ
S
S
Ii
S
S
SiTr
eDDe
(1.54)
trong đó chú ý các ràng buộc (1.27), (1.28) và (1.29). Với tác dụng cổ điển
(1.39) thì khi
0
==
σσ
, phương trình (1.54) có dạng:

[ ]
[ ]

[ ]
( )
[ ] [ ]
[ ]
1 1
0 int 0
0
, ,
0,0,
0,0,
. . , . . . . .
0,0,
.
S
S
i iS I iS
iTr S
S
S
i S
e e D D e
ζ ζ
σ σ
δ σ σ δ σ σ
δ
δ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
δσ δσ δ
δ
ψ ψ

− −
= =
 
 
Γ Γ
Γ
 
 Γ
− + − − + −
 ÷
 
 
 ÷
Γ
 
 
   
=
∫
. (1.55)
Thêm một hằng số

( ) ( )
1 1
1
0 0
0
ln ln
. .
DetS Tr S

S
D D e e e
ψ ψ
ψ ψ
− −
−
= =
∫
, (1.56)
và viết lại tác dụng hiệu dụng, ta có:

[ ]
{ }
[ ]
1
0
0,0,
0,0, ln
S
iTr S
i S iTr S
S
e e
δ
δ
−
 
Γ
 
 

Γ +
 
 
= ×

[ ]
[ ] [ ]
[ ]
{ }
1
0 int
0
1
0
, ,
0,0,
. . , . .
.
S
iS I
S
i iS
D D e
D D e
ζ ζ
σ σ
δ σ σ δ σ σ
δ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
δσ δ

δσ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
−
= =
−
 
 
Γ Γ
Γ
 
− + − + −
 ÷
 
 ÷
 
 
 
−
×
∫
∫
. (1.57)
Cũng giống như khai triển bất khả quy một hạt, ta sẽ tìm một phiếm hàm
[ ]
S,,
2
σσ
Γ

thoả mãn
16

[ ]
[ ]
{ }
=
−
+Γ
1
02
ln,, SiTrSi
e
σσ
[ ]
2
, ,S
iTr S
S
e
δ σ σ
δ
Γ 
 
 
×

[ ] [ ] [ ]
{ }
2 2 2

1
int
1
, , ,
. . , , , . . .
. .
.
K K
i iS I
S
i iS
D D e
D D e
δ σ σ δ σ σ δ σ σ
ψ ψ ψ ψ σ σ ψ ψ ψ ψ
δσ δσ δ
ψ φ
ψ ψ
ψ ψ
−
−
 
 
Γ Γ Γ
 
 
− + − + −
 ÷
 
 

 ÷
 
 
 
−
×
∫
∫
% % % %
% % %
%
%
%
%
%
%
(1.58)
Sử dụng khai triển quanh
σ
và
σ
như (1.43) viết lại (1.58) ta sẽ nhận
được:

[ ] [ ]
[ ]
{ }
=
−
++Γ

1
02
ln,,, SSiTrISi
e
σσσσ
[ ]
2
, ,S
iTr S
S
e
δ σ σ
δ
Γ 
 
 
×

[ ]
( )
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
2 2
1 1
0
,
, , , , ,
, . , . . . . . .
.
K

I S I
i I iS iS
S
D D e
ζ
δ σ σ
δ σ σ δ σ σ δ σ σ δ σ σ
ψ ψ ψ σ σ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
δσ δσ δ δσ δσ
ψ ψ
− −
 
Γ 
Γ Γ 
 
+ − + − − + −
 ÷
 ÷
 
 ÷
 ÷
  
 
 
∫
% % % %
% % %
(1.59)
So sánh (1.59) với (1.54) ta có khai triển bất khả quy hai hạt:

[ ] [ ] [ ]
SSSSSiTrIS ,,]1),([ln,,,
2
1
0
1
0
σσσσσσσσ
Γ++−+=Γ
−−
, (1.60)
với

[ ] [ ] [ ]
SI
kk
,,,],[0,,
2
σσσσσσσσ
Γ+=Γ=Γ
. (1.61)
Phương trình (1.58) cho thấy
[ ]
S,,
σσ
Γ
là tổng của tất cả các giản đồ chân
không bất khả quy hai hạt ứng với tương tác
[ ]
σσψψ

,,
~
,
~
int
I
và hàm truyền S.
Từ khai triển (1.53) của
[ ]
G,
φ
Γ
, bằng cách lấy đạo phiếm hàm theo G và
chú ý đến (1.15) ta sẽ thu được phương trình SD cho hàm truyền:

[ ]
∑
−−=
−−
GiKGG ,)(
1
0
1
φφ
, (1.62)
với:

[ ]
[ ]
∑

Γ
=
G
G
iG
δ
φδ
φ
,
2,
2
(1.63)
là năng lượng riêng.
Cũng tiến hành tương tự đối với khai triển (1.60) ta sẽ thu được phương
trình SD cho hàm truyền của trường fecmion.
1.3 Thế hiệu dụng.
17
Xét trường vô hướng
φ
. Trong trường hợp bất biến tịnh tiến trường cổ
điển
)(x
φ
là một hằng số

( )x
φ
=
φ
c

.

(1.64)
Khi đó có thể biểu diễn tác dụng hiệu dụng
[ ]
G,
φ
Γ
dưới dạng

4
, ( , )
c eff c
G V G d x
φ φ
 
Γ = −
 
∫
. (1.65)
( , )
eff c
V G
φ
được gọi là thế hiệu dụng và từ khai triển (1.53) ta nhận được thế
hiệu dụng trong không gian xung lượng:

( , )
eff c
V G

φ
=
4
1 1
0 0 2
4
( ) [ln ( ) ( ) ( , ) 1] ( , )
2 (2 )
c c c
i d p
U tr G p G p G p V G
φ φ φ
π
− −
+ − + +
∫
, (1.66)
ở đây
)(
c
U
φ
là thế cổ điển và
),(
2
GV
c
φ
là tổng của tất cả các giản đồ chân
không bất khả quy hai hạt.

Điều kiện dừng mô tả trạng thái cơ bản sẽ là:

( , )
0
eff c
c
V G
φ
φ
∂
=
∂
, (1.67)

( , )
0
eff c
V G
G
φ
∂
=
∂
. (1.68)
Các lập luận trên đây cho trường vô hướng tự động mở rộng cho trường
fecmion.
II. TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN.
Hình thức luận được sử dụng trong lý thuyết trường thông thường rất
thích hợp để mô tả các đại lượng quan sát được trong không-thời gian trống.
Tuy nhiên vào thời kỳ đầu của vũ trụ, khi mà nhiệt độ rất cao và môi trường

đã có một lượng vật chất và mật độ bức xạ đáng kể thì lý thuyết trường thông
thường không còn áp dụng được. Vì vậy cần phải có một lý thuyết trường
tổng quát hơn, gần với nhiệt động lực học, trong đó trạng thái nền là một bể
nhiệt. Đó là lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn và nó rất có ích để nghiên
cứu mọi hiện tượng xảy ra ở thời kỳ đầu tiên của vũ trụ sau các vụ nổ lớn.
18
Trong phần này chúng tôi trình bày phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở
nhiệt độ hữu hạn và sẽ tổng quát hoá các phương pháp chính đang được sử
dụng để phục vụ cho lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn.
1.4 Cơ sở chính tắc lớn.
Để xây dựng quy tắc Feynmann cho lý trường ở nhiệt độ hữu hạn, trong
mục này ta sẽ tìm hiểu một số khái niệm được lấy từ nhiệt động lực học và
vật lý thống kê . Để mô tả một hệ cô lập với năng lượng E, số hạt N và thể
tích V ta dùng cơ sở “ vi chính tắc ”. Còn để mô tả hệ nối với bể nhiệt ở nhiệt
độ xác định T cùng với số hạt N và thể tích V không đổi ta dùng “cơ sở chính
tắc”. Trong trường hợp này giữa hệ và bể nhiệt sẽ xảy ra sự trao đổi năng
lượng. Cuối cùng ta dùng cơ sở chính tắc lớn để mô tả hệ vật lý có sự trao đổi
năng lượng và số hạt với bể nhiệt khi nhiệt độ T, thể tích V và thế hoá
µ
được giữ nguyên.
Bây giờ ta xét hệ được đặc trưng bởi Hamiltonian H và một hệ điện tích
bảo toàn Q
A
(khi đó các toán tử H và Q
A
giao hoán với nhau). Trạng thái cân
bằng nhiệt động của hệ trong một thể tích V lớn sẽ được mô tả bằng toán tử
mật độ chính tắc lớn:

)exp()exp( HQ

A
A
A
βαρ
−Φ−=
∑
. (1.69)
Trong đó
log [exp( )]
A A
A
Tr Q H
α β
Φ = − −
∑
là hàm Massieu,
,
AA
βµα
−=
và
Τ
=
1
β
là các thừa số Lagrange, T là nhiệt độ và
µ
là thế hoá.
Dựa vào (1.69) ta sẽ xác định được trung bình chính tắc lớn của một toán
tử F bất kỳ:

[ ]
ρ
FTrF =
. (1.70)
Do ý nghĩa thống kê toán tử mật độ
ρ
phải thoả mãn
19

1
ρ
=
(1.71)
Dưới đây ta sẽ coi
µ
= 0 trừ trường hợp cần thiết sẽ nói rõ.
1.5 Các phiếm hàm sinh.
Xét trường vô hướng thực
)(x
φ
không mang điện (
µ
A
=0) với Hamiltonian
H. Ta sẽ dùng biểu diễn Heisenberg, do đó

)(x
φ
iHtiHt

exe
−
→
= ),0(
φ
, (1.72)
ở đây
tx =
0
được kéo dài giải tích sang mặt phẳng phức.
Hàm Green nhiệt độ được định nghĩa là trị trung bình chính tắc lớn của
T-tích của các toán tử trường, tức là:

))() ()(().,, ,(
2121
n
xxxTxxxG
n
c
φφφ
=
, (1.73)
trong đó T-tích (được biểu diễn bằng toán tử T
c
) có nghĩa là các toán tử
trường được sắp xếp có trật tự dọc theo đường C trong mặt phẳng t phức.
Ví dụ, T-tích của hai toán tử trường được định nghĩa là:

)()()()()()())()((
0000

xyxyyxyxyxT
ccc
φφθφφθφφ
−+−=
. (1.74)
Nếu ta tham số hoá đường C bởi
)(
τ
zt =
, trong đó
τ
là tham số thực thì
T
c
có nghĩa là thứ tự chuẩn dọc theo
τ
. Do đó các hàm bậc thang Heiviside và
Delta có thể viết

)()(
τθθ
=t
c
,
).()()(
1
τδ
τ
δ
−

∂
∂
=
z
t
c

Như thường lệ, ở đây cũng có thể áp dụng các quy tắc của hình thức luận
phiếm hàm với
)()(
)(
)(
300
→→
−−= yxyx
xj
yj
C
δδ
δ
δ
và phiếm hàm sinh
],[ KJZ
β
cho các
hàm Green toàn phần sẽ là:

4 4 4
[ , ] exp ( ) ( ) ( ) ( , ) ( )
2

c
c c
i
Z J K T i d xJ x x d xd y x K x y y
β
φ φ φ
 
 
= +
 
 
 
∫ ∫
, (1.75)
ở đây ta cho rằng Z đã được chuẩn hoá sao cho
20

11]0,0[ =≡
β
Z
và tích phân dọc theo t được coi như lấy theo đường C trong mặt phẳng phức.
Còn phiếm hàm sinh cho các hàm Green liên kết
],[ KJW
β
sẽ là:

],[ln],[ KJZKJiW
ββ
=
(1.76)

Phiếm hàm sinh cho các hàm Green bất khả quy hai hạt (2PI)
[ ]
G,
φ
β
Γ
nhận
được bằng biến đổi Legendre loại II có dạng:

[ ]
G,
φ
β
Γ
=
],[ KJW
β
∫
−
c
xJxxd )()(
4
φ


∫ ∫
−−
c c
yxKyxyGxddyyxKxyxdd ),(),(
2

1
)(),()(
2
1
4444
φφ
, (1.77)
trong đó

[ ]
)(
)(
,
)( x
xJ
KJW
x
φ
δ
δ
φ
β
≡=
, (1.78)

[ ]
[ ]
)()(
2
1

),(
,
),()()(
2
1
yx
yxK
KJW
yxGyx
φφ
δ
δ
φφ
β
≡=+
. (1.79)
Ta cần chú ý ở đây là các trung bình đều theo nghĩa trung bình chính tắc lớn.
Từ (1.77) ta thu được hệ phương trình

[ ]
∫
−−=
Γ
C
yxKyydxJ
x
G
),()()(
)(
,

4
φ
φδ
φδ
β
, (1.80)

[ ]
2
),(
)(
, yxK
xG
G
−=
Γ
δ
φδ
β
. (1.81)
Trạng thái cơ bản ứng với sự triệt tiêu của các nguồn ngoài sẽ cho thoả mãn
hệ phương trình

[ ]
0
)(
,
==
Γ
KJ

x
G
φδ
φδ
β
= 0, (1.82)

[ ]
0
)(
,
==
Γ
KJ
xG
G
δ
φδ
β
= 0. (1.83)
21
Hệ phương trình này cho các giá trị khác không của trường và hàm truyền, do
đó xác định sự vi phạm đối xứng.
Ta nhận xét là khi K=0 thì tác dụng hiệu dụng cho toán tử Composite
[ ]
G,
φ
β
Γ
sẽ trở về tác dụng hiệu dụng thông thường, tức là

[ ]
0
,G
φ
β
Γ
│
0==KJ
=
[ ]
φ
β
Γ
hoặc
[ ]
0
)(
,
0
=
Γ
xG
G
δ
φδ
β
. (1.84)
Cũng như ở nhiệt độ không, khai triển 2 loop của tác dụng hiệu dụng
[ ]

G,
φ
β
Γ
có dạng:

[ ]
G,
φ
β
Γ

1 1
0 0 2
ln 1 ,
2
i
S Tr GG GG G
β
φ φ
− −
 
   
= − − + +Γ
   
 
(1.85)
Trong trường hợp bất biến tịnh tiến
c
φφ

=
- không đổi, thì hàm Green chỉ
phụ thuộc vào hiệu
yx −
tức là G
)(),( yxGyx −=
và ta sẽ biểu diễn được
[ ]
G,
φ
β
Γ
qua thế hiệu dụng
[ ]
GV
eff
,
φ
β

[ ] [ ]
4
, ,
c eff c
G V G d x
β β
φ φ
Γ = −
∫
(1.86)

và hệ phương trình xác định sự vi phạm đối xứng:

[ ]
,
0
eff c
c
V G
β
φ
φ
∂
=
∂
, (1.87)

[ ]
,
0
( )
eff c
V G
G x
β
φ
∂
=
∂
. (1.88)
Tương ứng với (1.85) ta có khai triển 2 loop của thế hiệu dụng

[ ]
GV
ceff
,
φ
β
trong biểu diễn xung lượng:

[ ]
GV
ceff
,
φ
β
4
1 1
0 0
4
( ) ln ( ) ( ) ( , ) 1
2 (2 )
c c
i d p
U tr GG p G p G p
φ φ
π
− −
 
= + − +
 
∫

+
),(
2
GV
c
φ
β
(1.89)
1.6 Các hàm Green nhiệt độ.
22
Trong mục này dựa vào định nghĩa hàm Green nhiệt độ (1.73) ta sẽ xem
xét các hàm Green của trường vô hướng, trường fecmion là cơ sở để xây dựng
các quy tắc Feynmann cho lý thuyết trường nhiệt độ.
1.6.1 Trường vô hướng.
Nếu ta đòi hỏi hàm Green giải tích theo t thì không phải mọi đường lấy
tích phân đều được chấp nhận. Sử dụng (1.74) ta sẽ có hàm Green hai điểm
của trường vô hướng theo định nghĩa (1.74):

0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
c
c c
G x y x y G x y y x G x y
θ θ
+ −
− = − − + − −
(1.90)
trong đó

)()()( yxyxG

φφ
=−
+
,

)()( xyGyxG −=−
+−
. (1.91)
Lấy một tập đủ các trạng thái
n
ứng với các giá trị riêng E
n
tức là
nEnH
n
=
ta sẽ khai triển được tại điểm
0==
→→
yx
:

∑
+−−−
−
+
=−
)()(
2
00

0000
)0()(
β
φ
φ
iyxiEyxiE
mn
eenmeyxG
. (1.92)
Để tổng hội tụ thì phải có
0)Im(
00
≤−≤− yx
β
và điều này đòi hỏi
0 0
( ) 0
c
x y
θ
− =
khi
0 0
Im( ) 0x y− >
. Một cách tương tự, sự hội tụ của
)(
00
yxG −
−
đòi hỏi

0 0
( ) 0
c
y x
θ
− =
khi
0 0
Im( ) 0x y− <
. Do đó điều kiện hội tụ
của hàm Green toàn phần là
( )
0
c
t
θ
=
khi
( ) 0
m
I t >
.Điều này đưa đến đòi hỏi là:
một điểm chuyển động dọc theo đường lấy tích phân C phải có phần ảo giảm
dần đều hoặc không đổi.
Sử dụng định nghĩa về trị trung bình chính tắc lớn và tính chất hoán vị
vòng quanh của vết một tích các toán tử ta có thể thấy rằng các hàm Green
)(xG
+
và
)(xG

−
thoả mãn
23

),(),(
→
−
→
+
=− xtGxitG
β
. (1.93)
Đó là hệ thức Kubo- Martin- Schwinger [8].
Bây giờ ta tính hàm Green hai điểm (1.90) cho trường vô hướng
)(x
φ
mà
biểu diễn của nó qua các toán tử sinh và huỷ (tức là tích phân Furie) có dạng:

( )
( )
3
1
3
2
2
( ) ( ) ( )
2 2
ipx ipx
p

d p
x a p e a p e
φ
π ω
− +
 
= +
 
∫
, (1.94)
trong đó
22
mp
p
+=
→
ω
. Hàm Green của trường thoả mãn phương trình:

[ ]
)()()()(
002
→→
−−−=−−=−+∂∂ yxyxiyxiyxGm
cc
c
δδδ
µ
µ
. (1.95)

Lấy đạo hàm theo thời gian của (1.94) ta thu được hệ thức giao hoán

)(),(),,(
3
→→→→
−=






yxiytxt
δφφ
. (1.96)
Từ đó ta nhận thấy các toán tử sinh và huỷ thoả mãn các hệ thức giao hoán

[ ]
)()(),(
→→
+
−= kpkapa
δ
(1.97)
và xác định được Hamiltonian của trường:

3
3
( ) ( )
(2 )

p
d p
H a p a p
ω
π
+
=
∫
. (1.98)
Sử dụng các hệ thức (1.97) sẽ tìm được các trung bình nhiệt động

[ ]
),()(1)()(
)()()()(
→→
+
→→
+
−+=
−=
kpnkapa
kpnkapa
pB
pB
δω
δω
(1.99)
trong đó
)(
ω

B
n
là hàm phân bố Bose

)(
ω
B
n
1
1e
βω
=
−
. (1.100)
Để chứng minh (1.99) ta hãy xét một trạng thái được lấp đầy bởi các Boson ở
cùng năng lượng
ω
và ký hiệu trạng thái này là
n
. Các toán tử sinh và huỷ
24
được ký hiệu là a
+
và a. Khi đó tác dụng của chúng lên trạng thái
n
cho kết
quả như sau:

1 1
1 ;

a n n n
a n n n
+
= + +
= −
đồng thời chúng thoả mãn hệ thức phản giao hoán

[ ]
1, =
+
aa
.
Toán tử Hamiltonian và toán tử số hạt được định nghĩa là
NH
ω
=
và
aaN
+
=
, với các trị riêng
n
ω
và
n
tương ứng.
Sử dụng tính chất đầy đủ của tập hợp các trạng thái {
n
} ta có

0 0
1
( )
1
H H n
n n
Tr e n e n e
e
β β βω
βω
∞ ∞
− − −
−
= =
= = =
−
∑ ∑
,
và

2
0
( )
(1 )
H n
n
e
Tr e a a ne
e
βω

β βω
βω
−
∞
− + −
−
=
= =
−
∑
.
Từ đó
)(
ω
B
naa =
+
và
)(1
ω
B
naa +=
+
, là điều cần chứng minh.
Cuối cùng nhờ (1.99) ta viết được hàm Green hai điểm

4
( ) 0 0 0
4
( ) ( ) ( ) ( )

(2 )
c ip x y
c B
d p
G x y p e x y n p
ρ θ
π
− −
 
− = − +
 
∫
, (1.101)
ở đây ta đã định nghĩa

[ ]
)()()(2)(
2200
mpppp −−−=
δθθπρ
.
Giá trị cụ thể của hàm Green (1.101) phụ thuộc vào việc chọn chu tuyến C và
do đó tương ứng với hai hình thức luận: thời gian ảo và thời gian thực.
1.6.2 Trường fecmion.
Đối với trường fecmion, hàm Green nhiệt độ theo định nghĩa (1.90), sẽ là

−+
−−−==−
αβαββααβ
θθψψ

SxySyxyxTyxS
ccc
c
)()()()()(
0000)(
, (1.102)
trong đó
βα
,
là các chỉ số Spinor và
25