CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 6 NÂNG CAO

Chuyờn 1: Tp hp v b tỳc v s t nhiờn.
ễN TP TP HP V NHNG DNG TON LIấN QUAN
S phn t ca mt tp hp.Tp hp con
1.Mt tp hp cú th cú mt ,cú nhiu phn t, cú vụ s phn t,cng cú th khụng
cú phn t no.
2.Tp hp khụng cú phn t no gi l tp rng.tp rng kớ hiu l : ỉ.
3.Nu mi phn t ca tp hp A u thuc tp hp B thỡ tp hp A gi l tp hp
con ca tp hp B, kớ hiu l A B hay B A.
Nu A B v B A thỡ ta núi hai tp hp bng nhau,kớ hiu A=B.
*.Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh
a. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A.

b. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
b A

c A

h A

Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X.
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trng cho các phần tử của X.
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B.
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A.
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b}
a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử.

b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử.
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Bài 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} . Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
*Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
Bài 1: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?
Bài 2: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:
a/ Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số.
b/ Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, , 296.
c/ Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, , 283.


Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang. Để tiện theo dõi em đánh số trang từ 1 đến 256.
Hỏi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay?
C.HNG DN V NH:
Bài 1.Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó
a, A là tập hợp các chữ số trong số 2002
b, B là tập hợp các chữ cái trong cụm từ cách mạng tháng tám
c, C là tập hợp các số tự nhiên có một chữ số
d, D là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ khác nhau và và có chữ số tận cùng bằng 5
Bài 2. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
3
4

N

{1,2,3,4}

N

N*

N

7

N*

N*

0

N*

Bài 3. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập hợp đó
a. A = {1;3;5;7;............;49}
b. B = {11;22;33;44;........;99}
c. C = { 3;6;9;12;...............;99}
d. D = { 0;5;10;15;..............;100}
Bài 4. Hãy viết các tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trng của các phần tử thuộc tập hợp đó
a. A = {1;4;9;16;25;36;49}
b. B = {1;7;13;19;25;31;37}
A = { 1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100}

B = { 2;6;12; 20;30; 42;56;72;90}

Bài toán 5: Cho

a) A = { x N x M2; x M3; x < 100}

{

}

A = x N x = ab; a = 3.b

b) B = { x N x M6; x < 100}

B = { x N 20Mx} c) C = { x N x = 11.n + 3; n N ; x 300}

Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài 5. Tìm số phần tử của các tập hợp sau đây
a. A = { } b. B = { x N / x 2 ; 2 x 100} c. C = { x N / x + 1 = 0} d. D = { x N / x 3}
Bài 6. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của các tập hợp đó
a. Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2
b. Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5
c. Tập hợp C các số tự nhiên x mà x 2 = x + 2
d. Tập hợp D các số tự nhiên x mà x : 2 = x : 4
e. Tập hợp E các số tự nhiên x mà x + 0 = x
Bài 7. Cho A = {1 ; 2 ;3}
Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp A
Bài 8. Ta gọi A là tập hợp con thực sự của B nếu A B và A B
Hãy viết các tập hợp con thực sự của tập hợp B = {1;2;3;4}
Bài 9. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e }
a. Viết các tập con của A có một phần tử
b. Viết các tập con của A có hai phần tử
c. Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử
d. Có bao nhiêu tập hợp con của A có bốn phần tử
e. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con
Bài 11 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, B là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số , C là
tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số tận cùng bằng 5 . Dùng

kí hiệu và sơ đồ để biểu thị quan hệ giữa các tập hợp ở trên
Bài 12 . Cho tập hợp A = { 4;5;7} , hãy lập tập hợp B gồm các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau từ các
phần tử của tập hợp A . Bảo rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B đúng hay sai? Tìm tập hợp con
chung của hai tập hợp A và B
Bài 13 . Tìm các tập hợp bằng nhau trong các tập hợp sau


a. A = { 9;5;3;1;7}
b. B là tập hợp các số tự nhiên x mà 5 . x = 0
c. C là tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 10
d. D là tập hợp các số tự nhiên x mà x : 3 = 0
Bài 17 . Trong một lớp học , mỗi học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Có 25 ngời học tiếng Anh ,
27 ngời học tiếng Pháp, còn 18 ngời học cả hai thứ tiếng . Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 18 Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích bơi; 36
học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá và bơi;13 học sinh thích bơi và bóng chuyền; 15
học sinh thích bóng đá và bóng chuyền; 10 học sinh thích cả ba môn ;12 học sinh không thích một môn
nào.Tìm xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 19 . Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích toán , 60 học sinh thích văn.
a. Nếu có 5 học sinh không thích cả toán và văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
b. Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
c. Có ít nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
Bài toán 1: Cho tập hợp A = { a, b, c, d , e} .
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng hợp sau.
a) A = { 1;3;5} ; B = { 1;3;7}
b) A = { x, y} ; B = { x, y, z}
c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.

Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu A B; A B. Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp
B = { 1; 2;3}

Bài toán 4: Cho các tập hợp A = { 1; 2;3; 4} ;
B = { 3; 4;5}
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp A = { 1; 2;3; 4} .
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A.
Bài toán 6: Cho 2 tập hợp A = { 1;3;6;8;9;12} và B = { x N * / 2 x 12}
a)Tìm tập hợp C của các phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B Tìm tập hợp D của các
phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A Hoặc tập hợp B
Bài toán 10: Cho tập hợp M = { 30; 4; 2005; 2;9} . Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số:
a) Có một chữ số
b) có hai chữ số
c) Là số chẵn.
Bài toán 11: Cho A = { x N x M2; x M4; x < 100}
; B = { x N x M8; x < 100}
a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B.
b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR: B A b) Viết tập hợp M sao cho B M , M A . Có bao nhiêu tập hợp M nh vậy.
Bài toán 14: Cho A = { x N x = 7.q + 3; q N ; x 150} .
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 15: Cho M = { 1;13; 21; 29;52} . Tìm x; y M biết 30 < x y < 40
Bài toán 10: Cho a) A = { 1; 2} ; B = { 1;3;5}
b) A = { x, y}
; B = { x, y , z , t }
Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B.
Các phép toán trong N

1. Tớnh cht giao hoỏn ca phộp cng v phộp nhõn.
a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi i ch cỏc s hng trong mt tng thỡ tng khụng i
Khi i chừ cỏc tha s trong mt tớch thỡ tớch khụng i.
1. Tớnh cht kt hp ca phộp cng v phộp nhõn:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
2. Tớnh cht phõn phi ca phộp nhõn i vi phộp cng.:
a(b+ c) = ab + ac
4. iu kin a chia ht cho b ( a,b N ; b 0) l cú s t nhiờn p sao cho a= b.p.
5. Trong phộp chia cú d
s b chia = s chia x thng + s d ( a = b.p + r)
s d bao gi cng khỏc 0 v nh hn s chia.
Nếu a .b= 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
II. Bài tập

*.Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất.

b) 189 + 424 +511 + 276 + 55

a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87

c) (321 +27)+ 79

Bài 2: Tính nhanh các phép tính sau:

d) 185 +434 + 515 + 266 + 155

a/ 8 . 17 . 125 b/ 4 . 37 .25

e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73

Bài 3: Tính nhanh một cách hợp lí:

f) 347 + 418 + 123 + 12

a/ 997 + 86

b/ 37. 38 + 62. 37

c/ 43. 11; 67. 101; 423. 1001
, 998. 34

c/ 43. 11

Bài 8: Tính bằng cách hợp lí nhất:

d/ 67. 99;

67. 101

a) 5. 125. 2. 41. 8

b) 25. 7. 10. 4

Bi 4: Tính nhanh các phép tính:

c) 8. 12. 125. 2

a/ 37581 9999

c/ 485321 99999

Chú ý: Quy tắc đặt thừa số chung : a. b+ a.c =

b/ 7345 1998

d/ 7593 1997

a. (b+ c) hoặc a. b + a. c + a. d = a.(b + c + d)

Bài 5: Tính nhanh:

e) 3. 25. 8 + 4. 37. 6 + 2. 38. 12
Bài 9: Tính bằng cách hợp lí nhất:

a) 15. 18 b) 25. 24 c) 125. 72 d) 55. 14
Bài 6 :Tính nhanh:
a) 25. 12 b) 34. 11 c) 47. 101 d) 15.302
125.18

g)

d) 4. 36. 25. 50

6. 38. 63 + 37. 38
e)

123. 1001

b) 12.53 + 53. 172 53. 84
c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45

Bài 7: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất:

d, 39.8 + 60.2 + 21.8

a) 463 + 318 + 137 + 22

e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41

*Chỳ ý: Mun nhõn 1 s cú 2 ch s vi 11 ta cng

vd : 34 .11 =374

2 ch s ú ri ghi kt qu vỏo gia 2 ch s ú.

*Chỳ ý: mun nhõn mt s cú 2 ch s vi

Nu tng ln hn 9 thỡ ghi hng n v vỏo gia ri

101 thỡ kt qu chớnh l 1 s cú c bng

cng 1 vo ch s hng chc.

cỏch vit ch s ú 2 ln khớt nhau

;

69.11 =759


vd: 84 .101 =8484

; 63 .101 =6363

;

c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + .. . + 301

*Chỳ ý: mun nhõn mt s cú 3 ch s vi 1001

d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .. .+ 201.

thỡ kt qu chớnh l 1 s cú c bng cỏch vit

Bài 2: Tính các tổng:

ch s ú 2 ln khớt nhau

a) A = 5 + 8 + 11 + 14 + .. . + 302

b) B =

Ví dụ:123.1001 = 123123

7 + 11 + 15 + 19 + .. .+ 203.

*.Dạng 2: Các bài toán có liên quan đến dãy

c) C = 6 + 11 + 16 + 21 + .. . + 301

số, tập hợp

=8 + 15 + 22 + 29 + .. . + 351.

1:Dãy số cách đều:

Bài 3: Cho tổng S = 5 + 8 + 11 + 14 + .. .

VD: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 49

a)Tìm số hạng thứ100 của tổng.

Ta tính tổng S nh sau:

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên.

Bài 1:Tính tổng sau:

Gii: lu ý: s cui = (s s hng - 1) .

a) A = 1 + 2 + 3 + 4 + .. . + 100

khong cỏch +s u

S s hng c dóy l: (100-1):1+1 = 100
A= (100 + 1) .100 : 2 = 5050

d) D

a. vy s th 100 = (100-1) .3 +5 = 292
b. S= (292 + 5) .100:2 = 23000

b) B = 2 + 4 + 6 + 8 + .. . + 100

Bài 4: Cho tổng S = 7 + 12 + 17 + 22 + .. .

s s hng l: (100-2):2+1 = 49

a)Tìm số hạng thứ50 của tổng.

B=(100 +2).49 :2 = 551 .49 = 2499

b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên.

Bài 5:Tính tổng của tất cả các số tự nhiên x, biết x là số có hai chữ số và 12 < x < 91
Bài 6: Tính tổng của các số tự nhiên a , biết a có ba chữ số và 119 < a < 501.
Tính tổng các chữ số của a.
Bài 7: Tính 1 + 2 + 3 + .. . + 1998 + 1999
Bài 8: Tính tổng của:
a/ Tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. b/ Tất cả các số lẻ có 3 chữ số.
b/ S2 = 101+ 103+ .. . + 997+ 999
Bài 9Tính tổng a/ Tất cả các số: 2, 5, 8, 11, .. ., 296 b/ Tất cả các số: 7, 11, 15, 19, .. ., 283
Bài 10: Cho dãy số:
a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19. b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29. c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, .. .
Hãy tìm công thức biểu diễn các dãy số trên.
Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ là những số không chia hết cho 2, biểu diễn là 2k + 1 , k N

Các số tự nhiên chẵn là những số chia hết cho 2, công thức biểu diễn là 2k , k N)

*Dạng 3: Tìm x
Bài 1:Tỡm x N bit
a)(x 15) .15 = 0

b) 32 (x 10 ) = 32

Bài 2:Tỡm x N bit :


a ) (x – 15 ) – 75 = 0 b)575- (6x +70) =445

a)x –105 :21 =15

c) 315+(125-x)= 435

b) (x- 105) :21 =15

Bµi 3:Tìm x ∈ N biết :
Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết
a( x – 5)(x – 7) = 0

b/ 541 + (218 – x) = 735

c/ 96 – 3(x + 1) = 42

d/ ( x – 47) – 115 = 0
e/ (x – 36):18 = 12
BTNC a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999;

b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số 123….999. tính
tổng các chữ số của số đó.
1.Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có ba chữ số
gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu.
2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được
tổng bằng 1000.
b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được
tổng bằng 1000.
3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có tổng các chữ
số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng : a) 1ab + 36 = ab1 ;
b) abc + acc + dbc = bcc
5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ;
a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c:
b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ
a + b + c.
5. Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ.
hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10

4
10

2
8

(mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở
mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau.
6. Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3…n.
Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5!
7. Trong một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông .trong mỗi ô người ta viết một số tự

nhiên . biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các số trong bốn ô đó đều bằng 4
.hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1.
8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số được viets bảy chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì được
tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ rằng tổng tìm được có ít nhất một chữ số chẵn.
9.Cho bảng gồm 16 ô vuông như hình vẽ .hãy điền vào các
ô bảng của bảng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 31 (mỗi số chỉ
15
29
viết một lần.) sao cho tổng các số trong cùng một hàng,
23
5
cùng một cột , cùng một đường chéo đều bằng nhau
3
17
10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bô na xi) trong đó mỗi số (bắt đầu
9
từ số thứ ba) bằng tổng hai số đứng liền trước nó.chọn trong dãy số đó 8 số liên 27
tiếp tùy ý.chứng minh rằng tổng của 8 số này không phải là một số của dãy đã cho.
11. Một số chắn có bốn chữ số, trong đó chứ số hàng trăm và chứ số hang chục lập thành một số
gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số đó.
12.Tìm các số a,b,c,d trong phếp tính sau:


abcd + abc + ab + a = 4321 .
13.Hai ngi chi mt trũ chi ln lt bc nhng viờn bi t hai hp ra ngoi.mi ngi n lt mỡnh
bc mt s viờn bi tựy ý .ngi bc viờn bi cui cựng i vi cacr hai hp l ngi thng cuc.bit rng
hp th nht cú 190 viờn bi ,hp th hai cú 201 viờn bi.hóy tỡm thut chi m bo ngi bc bi
u tiờn l ngi thng cuc.
Bi tp củng cố
1.

Tớnh giỏ tr ca biu thc mt cỏch hp lớ:
A = 100 + 98 + 96 + .+ 2 - 97 95 - - 1 ;
B = 1 + 2 3 4 + 5 + 6 7 8 + 9 + 10 11 12 + - 299 330 + 301 + 302;
2. Tớnh nhanh
a) 53.39 +47.39 53.21 47.21. b)2.53.12 + 4.6.87 3.8.40; c) 5.7.77 7.60 + 49.25 15.42.
3.Tỡm x bit:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 25) : 15] : x = (450 - 60): 130.
4. Tng ca hai s bng 78293.s ln trong hai s ú co ch s hng dn v l 5 ,ch hng chc 1,ch
s trm l 2.nu ta gch b cỏc ch s ú i thỡ ta c mt s bng s nh nht .tỡm hai s ú.
5.Mt php chia cú thng l 6 d 3 .tng ca s b chia ,s chia v s d l 195.tỡm s b chia v s
chia.
6.Tng ca hai s cú a ch s l 836.ch s hng trm ca s th nht l 5 ,ca s th hai l 3 .nu
gch b cỏc ch s 5 v 3 thỡ s c hai s cú hai ch s m s ny gp 2 ln s kia.tỡm hai s ú.
7.Mt hc sinh khi gii bi toỏn ỏng l phi chia 1 s cho 2 v cng thng tỡm c vi 3 .nhng do
nhõm ln em ú ó nhõn s ú vi 2 v sau ú ly tớch tỡm c tr i 3 .mc dự vy kt qu vn
ỳng .hi s cn phi chia cho 2 l s no?
8. Tỡm s cú ba ch s .bit rng ch s hng trm bng hiu ca ch s hng chc vi ch s hng
n v.chia ch s hng chc cho ch s hng n v thỡ c thng l 2 v d 2.tớch ca s phi tỡm
vi 7 l 1 s cú ch s tn cựng l 1.
9. Tỡm s t nhiờn a 200 .bit rng khi chia a cho s t nhiờn b thỡ c thng l 4 v d 35 .
10. Vit s A bt kỡ cú 3 ch s ,vit tip 3 ch s ú 1 ln na ta c s B cú 6 ch s.chia s B cho
13 ta c s C. chia C cho 11 ta c s D.li chia s D cho 7.tỡm thng ca phộp chia ny.
11. Khi chia s M gm 6 ch s ging nhau cho s N gm 4 ch s ging nhau thỡ c thng l
233 v s d l 1 s r no ú .sau khi b 1 ch s ca s M v 1 ch s ca s N thỡ thng khụng i
v s d gim i 1000.tỡm 2 s M v N?
* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.
Bài toán 1: Tính các tổng sau.
a) 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + n
b) 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2.n
c) 1 + 3 + 5 + ..... + (2.n + 1)

d) 1 + 4 + 7 + 10 + ...... + 2005
e) 2+5+8+.....+2006
g) 1+5+9+....+2001
Giải; a)

(n+ )n
2

b)số số hạng (2n 2) : 2 + 1= n Tổng =

Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .... + 8192
Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+.....+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190.
b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 + 2 + 3 + .... + n = 2004
c) Chứng minh rằng: [ (1 + 2 + 3 + .... + n) 7 ] không chia hết cho 10 n N
Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + 1999.2000
b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh B = 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 1999.1999
c) Tính nhanh : C = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + 48.49.50.
Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trờng hợp tổng quát.
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) 3;8;15; 24;35;.....
b) 3; 24;63;120;195;.....
c) 1;3;6;10;15;......
2;5;10;17; 26;.....
e) 6;14; 24;36;50;.....
g) 4; 28;;70;130;....

d)

Bài toán 7: Cho dãy số 1;1 + 2;1 + 2 + 3;1 + 2 + 3 + 4;.....
Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?.
Bài toán 8: Cho S1 = 1 + 2; S 2 = 3 + 4 + 5; S3 = 6 + 7 + 8 + 9; S4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14;.. . Tính S100 .
Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý.
a) A =

41.66 + 34.41
3 + 7 + 11 + ... + 79

b) B =

1 + 2 + 3 + .. + 200
6 + 8 + 10 + .. + 34

c) C =

1..5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54
1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45

Bài 21. Hãy chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết thành một tích của hai thừa số giống nhau :
11111111 2222
Bài 22. Tìm kết quả của phép nhân sau
{
{
{ {
a) A = 33....3.99...9
b) B = 33...3.33...3
2005 c. s 2005 c . s
2005 c . s 2005c . s

Bài 23. Chứng tỏ rằng các số sau có thể viết đợc thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp
{ 123
a. 111222
b. 444222 c. A= 11....122....2
n c.s1
n c.s2
Giải : Do 111222 : 111 = 1002 nên 111222 = 111.1002 = 111. 3 . 334 = 333.334
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.
a) Viết tập hợp A.
b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0 < a < b < c.
a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên.
b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448. Tìm ba chữ số a, b, c nói trên.
Bài toán 11: Ngời ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,Hỏi chữ số thứ 659 là chữ
số nào ?
Bài toán 12: Cho S = 7 + 10 + 13 + ...... + 100
a) Tính số số hạng của tổng trên. b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng. c) Tính tổng S
{ 123 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A= 11....122....2
n c.s1
n c.s2
Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết bằng 100 chữ số 3, số B đợc viết bằng 100 chữ số 6. Hãy
tính tích A.B
Các bài toán về số và chữ số
Bài1. Một số có 3 chữ số, tận cùng bằng chữ số 7. Nếu chuyển chữ số 7 đó lên đầu thì ta đợc một số
mới mà khi chia cho số cũ thì đợc thơng là 2 d 21. Tìm số đó
Bài 2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng trớc số đó thì đợc một số
lớn gấp 4 lần so với số có đợc bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số đó
Bài 3 . Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên phải và một chữ số
2 vào bên trái của nó thì số ấy tăng gấp 36 lần

Bài 4 . Nếu ta viết thêm chữ số 0 vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số ta đợc một số mới có 3
chữ số lớn hơn số đầu tiên 7 lần . Tìm số đó
Bài 5. Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số của chính số đó, ta đợc một số mới có bốn
chữ số và bằng 99 lần số đầu tiên. Tìm số đó
Bài 6 . Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có hai chữ số một số có hai chữ số kém số đó 1 đơn vị
thì sẽ đợc một số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số đầu tiên. Hãy tìm số đó
Bài 7 . Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự ngợc lại nhân với số phải tìm
thì đợc 3154; số nhỏ trong hai số thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là 27
Bài 8 . Cho số có hai chữ số . Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó
thì đợc thơng là 18 và d 4 . Tìm số đã cho
Bài 9 . Cho hai số có 4 chữ số và 2 chữ số mà tổng của hai số đó bằng 2750. Nếu cả hai số đợc viết
theo thứ tự ngợc lại thì tổng của hai số này bằng 8888 . Tìm hai số đã cho
Bài 10 . Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa hàng nghìn và
hàng trăm thì đợc số mới gấp 9 lần số phải tìm
Bài 11 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 4 ta đợc số gồm bốn chữ số ấy viết
theo thứ tự ngợc lại
Bài 12 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm bốn chữ số ấy viết
theo thứ tự ngợc lại
Bài 13 . Tìm số tự nhiên có năm chữ số, sao cho khi nhân số đó với 9 ta đợc số gồm năm chữ số ấy viết
theo thứ tự ngợc lại
Bài 14 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng trăm thì số ấy giảm 9 lần
Bài 15 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng nghìn thì số ấy giảm 9 lần
Bài 16 . Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng 0 và nếu xoá chữ số 0 đó thì số
ấy giảm 9 lần


Bài 17 . Một số tự nhiên tăng gấp 9 lần nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa các chữ số hàng chục và
hàng đơn vị của nó . Tìm số ấy
Bài 18 . Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó vừa chia hết cho 5 và chia hết cho 9 , hiệu giữa số
đó với số viết theo thứ tự ngợc lại bằng 297

Bµi 1. TÝnh nhanh
a.417 + 235 + 583 + 765
b.5 +8 +11 +14 + ......+ 38 + 41
c.4 . 7 . 16 . 25
d.13 . 8 . 250
c.( 1999 + 313) – 1999
d.( 1435 + 213) – 13
e.2023 - ( 34 + 1560)
f. 1972 – ( 368 + 972)
e.364 – ( 364 – 111)
f. 249 – ( 75 – 51)
Bµi 2. TÝnh nhanh c¸c tæng sau
a. 1+2+3+4+5+....+n
b. e. 2+5+11+....+47+65
c. 1+3+5+7+....+ ( 2n – 1)
d. g. 3+12+48+...+3072+12288
e. 2+4+6+8+.....+2n
f. h. 2+5+7+12+.....+81+131
g. 1+6+11+16+....+46+51
i. 49-51+53-55+57-59+61-63+65
Bµi 3. a. TÝnh nhÈm 204. 36 499.12
601.42 199.41
b. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n thõa sè
nµy, chia thõa sè kia cho cïng mét sè
66.50 72.125 38.5
15.16.125
c. . TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n c¶ sè bÞ
chia vµ sè chia víi cïng mét sè kh¸c

kh«ng
2000 : 25 7300 : 50 4970 : 5
81000 : 125
d. TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dông tÝnh
chÊt ( a ± b ) : c = a : c ± b : c
169 : 13 660 : 15
119 : 7 204 : 12
Bµi 4 . T×m x
a.
(158 - x) :7 = 20
b.
2x – 138 = 23 . 32
c.
231 - (x – 6 ) =1339 :13
d.
10 + 2x = 45 : 43
a. 70 - 5.(2x - 3) = 45
b. 156 – (x + 61) = 82
c. 6.(5x + 35) = 330
d. 936 - (4x + 24) = 72
a. 5.(3 x + 34) = 515
b. (158 - x) : 7 = 20
c. (7x - 28) .13 = 0
d. 218 + (97 - x) = 313
a) (2x – 39) . 7 + 3 = 80
b)[(3x + 1)3 ]5 = 150
c) 2436 . (5x + 103) = 12
d) 294 - (7x - 217) = 38 . 311 : 316 + 62
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 35);
b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60):

130.
a. 420 + 65 . 4 = ( x + 175) : 5 + 30
b. [ ( x + 32) − 17] . 2 = 42
c. ( 32 . 15 ) : 2 = ( x + 70 ) : 14 –
40
d. [ 61 + (53 − x)] .17 = 1785
e. x – 4867 = ( 175 . 2050 . 70 ) :
25 + 23

15.x + 364
= 17
x
x + 350
g. 92.4 – 27 =
+ 315
x

f. 697 :

Bµi 5. TÝnh nhanh

168.168 − 168.58
(456.11 + 912).37
110
13.74
864.48 − 432.96
45.16 − 17
b.
864.48.432
28 + 45.15

7256.4375 − 725
(315 + 372).3 + (372 + 315).7
c.
3650 + 4375.7255
26.13 + 74.14
1978.1979 + 1980.21 + 1958
d.
1980.1979 − 1978.1979
27.45 + 27.55
2 + 4 + 6 + ... + 14 + 16 + 18
26.108 − 26.12
1.
e.
32 − 28 + 24 − 20 + 16 − 12 + 8 − 4

a.

a.127 . 36 + 64. 127 – 27. 100
b.12 : {390 : [500 – (125 + 35 . 7)]}
3.
a. 57 : 55 - 7 . 70
b.125.18 + 36.252 + 4.223.9
4.
a. 50 + 51 + 52 +...+ 99 + 100
b. 12 . 62 . 32 + 32 + 72 + 20
5.
a. 24:{300 : [375 – (150 + 15. 5]}
b.1449 : {[216 + 184 : 8).9]}
6.
56 : 53 + 3 . 32

7.
2195.1952 - 952. 427 - 1952. 1768
8.
20 + 22 + 24 +....96 + 98
9.
H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 . 31 . 32.33
10.
35 + 38 + 41 +... + 92 + 95
11.
A = { 46 – [( 16 + 71.4) : 15 ] }– 2
12.
B = 24 . 5 – [ 131 – ( 13 – 4 )2 ]
13.
222 + 224 + 226 + . . . . + 444
14. 3
3 . 35 : 34 + 22 . 2. 20
15.
(5346 – 2808) : 54 + 51
16.
187 . (38 + 62) – 87 .(62 + 38)
17. 3
2 .16 - 23 . 14
18.
25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}
19.
25.{32 : [12 – 4 + 4. (16 : 8)]}
2.


Chun đề 3: Lũy thừa trong số tự nhiên.

L thõa víi sè mò tù nhiªn
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
n
1. Đònh nghóa: a = a.a……….a
n thừa số
1
0
2. Quy ước: a = a ;
a = 1 ( a ≠ 0)
3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số:

a m .a n = a m + n
a :a = a
m

n

( n ∈ N*)

(m, n ∈ N *)

m−n

(m, n ∈ N *, m ≥ n, a ≠ 0)

4.Lũy thừa của một tích: (a.b)n = an. bn
5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( am )n = am.n
6. Lũy thừa tầng: a m = a ( m )
7. Số chính phương là số mà bằng bình phương của một số tự nhiên.
Ví dụ: các số 0; 1; 4; 9; 16; 25;…. là các số chính phương

. Bài tập:
1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:
a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100..0; (n số 0 );
a) 5 ; 25; 625; 3125;
2.So sánh các số sau:
a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281;
3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ;
4.So sánh:
a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ;
5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m.
a) tính thể tích của hình lập phương;
b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên bao
nhiêu lần.
6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2100 có bao nhiêu chữ số?
SO SÁNH HAI LŨY THỪA
A) KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng về dạng hai lũy thừa
có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (lớn hơn 0) rồi mới so sánh.
Nếu am = an thì m = n, hoặc nếu an = b n thì a = b
Nếu m > n thì am > an (a> 1)
Nếu a > b thì an > b n (n > 0)
2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a < b thì a.c < b.c
(với c > 0)
II/. Bµi tËp
Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biĨu thøc sau b»ng c¸ch dïng l thõa.
a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 =
c, 166 : 42 d, 178: 94e, 1254 : 253f, 414 . 528 = (g, 12n:
b, a . a . a + b . b . b . b =
22n = h. 84. 165b. 540 . 1252 . . 6253

i. 274 . 8110
d. 103 . 1005 . 10004
n

n


k. 410.230
b) 925.27 4.813
c) 2550.1255
d) 643.48.164
a) 5 x.5 x.5 x
b) x1.x 2 .....x 2006
c) x.x 4 .x 7 .....x100
d) x 2 .x5 .x8 .....x 2003
a) 38 : 36 ; ; 197 :193 210 : 83 ; 127 : 67 ; 275 : 813
Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức.

b) 106 :10 ; 58 : 252 ; 49 : 642 ; 225 : 324 ; 183 : 93 ;
1253 : 254
a) 166 : 42 b) 278 : 94 c) 1255 : 253 d) 414.528
e) 12n : 22 n
g) 644.165 : 420

6 4 5
2
453.204.182
213 + 25
a, 38 : 34 + 22 . 23 b, 3 . 42 2 . 32 c, 4 .312.9 d, 21 .14.125
e,

g,
3
5
10
2

6

3

e.

72 g54
108

10

2

4

g.

3

10

.11 + 3 .5
9

4

3 .2

10

h.

2

35 6

2 +2

180

10

.13 + 2 .65
8

2 .104

y. ( 1253 . 75 1755 : 5 ) : 20012002

k. 16 .64 .82 : ( 43. 25. 16)
Bài tập 3: Cho A = 5. 415. 99 4. 320. 89 B = 5.29.619- 7.229.276
C = 2181.729 + 243.81.27
D = 32.92.243 + 18.243.324 + 723. 729
Bài tập 4:

a) (217 + 17 2 ).(915 315 ).(24 42 )
b) (71997 71995 ) : (71994.7)
c) (12 + 23 + 34 + 45 ).(13 + 23 + 33 + 43 ).(38 812 )
d) (28 + 83 ) : (25.23 )
a)

Tính A : B
Tính C : D

210.13 + 210.65
2 8.104

b) (1 + 2 +.+ 100)(12 + 22 + + 102)(65 . 111 13 . 15 . 37)
10
10
a) A = 3 .119 + 43 .5

3 .2
4 5
e) E = 4 .312.9
6
6

10
10
b) B = 2 .138 + 2 .65

c) C = 4 .364 + 64
9

2 .104

f) F = 210 + 22
13

2 +2

5

4

3

d) D = 72 .544

2

16 .100
108
22 7
3
4
2
11.3 .3 915
45 .20 .18 i)
g) G = 21 .14.125
h)
I
=
H=

(2.314 ) 2
355.6
1805
2

Bài tập 5: Tìm x N biết

a, 2x . 4 = 128 b, x15 = x 1
c, (2x + 1)3 = 125
d, (x 5)4 = (x - 5)6
x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3
Bài 1: Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3n
thảo mãn điều kiện: 25 < 3n < 250
Bài 2. Tìm số tự nhiên n biết
a. 5n = 125 34. 3n = 37 27. 3n = 243
49.7n = 2401
b. 9 < 3n < 81 25 5n 125
Bài 3. Tìm x là số tự nhiên, biết rằng :
a. 2x . 4 = 128
b. x15 = x
c. ( 2x + 1 )3 = 125
d. ( x 5 )4 = ( x 5 )6
e. x2006 = x2
Bài 4 : Tìm x N biết
a) 3x.3 = 243
b) x 20 = x
c) 2 x.162 = 1024
d) 64.4 x = 168
Bài 5 Tìm x N biết
d/

g) 2 x 15 = 17
h) (7 x 11)3 = 25.52 + 200
i) 3x + 25 = 26.22 + 2.30
l) 49.7 x = 2041
m) 64.4 x = 45
n) 3x = 243
p) 34.3n = 37
Bài 6: Tìm n N biết:
a) 9 < 3n < 81
a) 50 < 2n < 100
Bài 7 Tìm x biết

b) 25 5n 125
b) 50<7n < 2500

a) ( x 1)3 = 125
b) 2 x + 2 2 x = 96
c) (2 x + 1)3 = 343
d) 720 : [ 41 (2 x 5) ] = 23.5
a) 2x . 7 = 224
b) (3x + 5)2 =
289
c) x. (x2)3 = x5
d) 32x+1 . 11 = 2673
Bài 8: Tìm n N * biết


a) 32 < 2n < 128

b) 2.16 2n > 4

d) (22 : 4).2n = 4

e)

g)

1 n
.2 + 4.2n = 9.25
2

1 4 n
.3 .3 = 37
9
1
h) .27 n = 3n
9

i) 64.4n = 45
k) 27.3n = 243
Bài 9: Tìm x N biết
a) 16 x < 128
x x +1 x + 2
18
{ :2
b) 5 .5 .5 100...0
18 c / s 0

chuyên đề: Các bài toán so sánh hai luỹ thừa

1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.

Nếu m>n thì am>an (a>1).
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.

Nếu a>b thì an>bn ( n>0).
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của
phép nhân.
(aVí dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn hơn.
Hớng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đa 3210 và 1615 về luỹ thừa
cùng cơ số 2.
3210 = (25)10 = 250
1615 = (24)15 = 260
Vì 250 < 260 suy ra 3210 < 1615.
Bài tập 1: So sánh:
Bài 1: So sánh các số sau?
a) 2711 và 818.
b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n N* )
Hớng dẫn:
a) Đa về cùng cơ số 3.
b) Đa về cùng cơ số 5.
c) Đa về cùng số mũ 12.
d) Đa về cùng số mũ n
Bài 2: a) 523 và 6.522
b) 7.213 và 216 c) 2115 và 275.498
Hớng dẫn:
a) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522.

b) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213.
c) Đa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
c, 3500 và 7300
Bài 3: a) 19920 và 200315.
39
21
b) 3 và 11 .
3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
Hớng dẫn :
7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100
a) 19920 < 20020 = (23 .52)20 = 260. 540.
200315 > 200015 = (2.103)15 = (24. 53)15 = 260.545
Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300
b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121.
d, 85 và 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47
Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
45
44
44
43
72 -72 và 72 -72 .
=> 85 < 3 . 47
Hớng dẫn:
e, 202303 và 303202
7245-7244=7245(72-1)=7245.71.
44
44
44
44
72 -72 =72 (72-1)=72 .71.

202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101
Bài 5: 27 và 72
Ta so sánh 2023 và 3032
Ta có: 27 = 128 ; 72 = 49
7
2
Vì 128 > 49 nên 2 > 7
2023 = 23. 101 . 1013 và 3032 => 3032 < 2023
Bài 6 a) 95 và 273 b) 3200 và 2300
3032 = 33. 1012 = 9.1012
a) Ta có: 95 = (32)5 = 310
3
3 3
9
27 = (3 ) = 3
vậy 303202 < 2002303
Vì 310 > 39 nên 95 > 273
f, 321 và 231
b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
300
3 100
100
2 = (2 )
=8
321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2 . 810
Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300


3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231
g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660

371320 = (372)660 = 1369660
Vì 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979

Bài 7: So sách các cặp số sau:
a/ A = 275 và B = 2433 Ta có A = 275 = (33)5 = 315
và B = (35)3 = 315

Vậy A = B

b/ A = 2 300 và B = 3200
A = 2 300 = 33.100 = 8100

và B = 3200 = 32.100 = 9100

Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B.
Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau:
3111 và 1714
Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1)
1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)
Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714
nên
3111 < 1714
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
a) 1030 và 2100
b) 333444 và 444333
c) 1340 và 2161
d) 5300 và 3453
Bài 2: So sánh các số sau
a) 5217 và 11972

b) 2100 và 10249
c) 912 và 27 7
d) 12580 và 25118
e) 540 và 62010
f) 2711 và 818
Bài 3: So sánh các số sau
a) 536 và 1124
b) 6255 và 1257
c) 32 n và 23n (n N * )
d) 523 và 6.522
Bài 4: So sánh các số sau
a) 7.213 và 216
b) 2115 và 275.498
c) 19920 và 200315
d) 339 và 1121
Bài 5: So sánh các số sau
a) 7245 7244 và 7244 7243
b) 2500 và 5200
c) 3111 và 1714
d) 324680 và 237020
e) 21050 và 5450
g) 52 n và 25 n ;(n N )
Bài 6: So sánh các số sau
a) 3500 và 7300
b) 85 và 3.47
c) 9920 và 999910
d) 202303 và 303202
e) 321 và 231
g) 111979 và 371320
h) 1010 và 48.505

i) 199010 + 19909 và 199110
Bài 7: So sánh các số sau
a) 10750 và 7375
b) 291 và 535
c) 544 và 2112
Bài 8: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài giải:
Muốn biết 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2 100 với 1030
và 1031.
* So sánh 2100 với 1030
Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10
1030 = (103)10 = 100010
Vì 102410 > 100010
nên 2100 > 1030 (*)
* So sánh 2100 với 1031


Ta có: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1)
1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
= 231 . 6257. 53 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **)
Từ (*),( **) ta có:
1031 < 2100 < 1031
Số có 31 chữ số nhỏ nhất
Số có 32 chữ số nhỏ nhất
Nên 2100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân.
Bài 10: So sánh A và B biết.

a) A =

19 30 + 5
19 31 + 5

;

B =

19 31 + 5
19 32 + 5

218 3
2 20 3
;
B
=
2 20 3
2 22 3
1 + 5 + 5 2 + ... + 5 9
1 + 3 + 3 2 + ... + 3 9
c) A =
;
B
=
1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8
1 + 3 + 3 2 + ... + 3 8

b)

Bài giải:
90
19.(19 + 5)
19 + 5
19 31 + 95
Nên
19A
=
=
= 1 + 31
31
31
31
19 + 5
19 + 5
19 + 5
19 + 5
31
31
32
90
19.(19 + 5)
19 + 5
19 + 95
B = 32
nên 19B =
=
= 1 + 32
32
32

19 + 5
19 + 5
19 + 5
19 + 5
90
90
Vì 31
> 32
19 + 5
19 + 5
90
90
Suy ra 1 + 31
> 1 + 32
Hay 19A > 19B Nên A > B
19 + 5
19 + 5
9
2 2 .(218 3)
218 3
2 20 12
b) A = 20
nên 22 . A =
=
= 1 - 20
20
22
2 3
2 3
2 3

2 3
2
20
20
22
9
2 .(2 3)
2 3
2 12
B = 22
nên 22.B =
= 22
= 1- 22
22
2 3
2 3
2 3
2 3
9
9
9
9
Vì 20
> 22
Suy ra
1 - 20
< 1- 22
Hay 22 A < 22 B
2 3
2 3

2 3
2 3

A=

30

30

Nên A < B
c) Ta có:

2
9
1 + (5 + 5 2 + ... + 5 9 ) 1 + 5(1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8 )
A = 1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8 =
=
=
2
8
2
8

1 + 5 + 5 + ... + 5

1 + 5 + 5 + ... + 5

1 + 5 + 5 + ... + 5 8

1

+ 3 < 4 (2)
Từ (1) và (2) Ta có
1 + 3 + 3 + ... + 3 8
1
1
+5>5>4>
+ 3 =B nên A > B
2
8
2
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 3 + 3 + .... + 3 8

Tơng tự B =
A=

1 + 5 + 5 + ... + 5

1

2

Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + .. +230
Viết A + 1 dới dạng một lũy thừa
Bài 4: Tìm x N biết
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2

2

+ 5 > 5 (1)

b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2
a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2
( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
552 = ( x +1) 2
55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2

Bài giải:

2

99 1 = ( x - 2)2
+ 1

2


502 = ( x -2 )2
50 = x -2
x = 50 + 2
x = 52
( Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2)
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y N thoả mãn
73 = x2 - y2
Ta thấy: 73 = x2 - y2
( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2

(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là:
x = 28; y = 21
Bài 2: Tìm x N* biết.
A =
111....1
- 777 ...7
2 x chữ số 1
x chữ số 7

là số chính phơng

Bài giải:
+ Nếu x = 1
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM)
+ Nếu x > 1
Ta có A = 111...1 - 777...7 = ......34 2
2x chữ số 1
x chữ số 7 mà ...34 4
Suy ra A không phải là số chính phơng ( loại)
Vậy x = 1
c) Dùng tính chất chia hết
Bài 1: Tìm x; y N biết:
35x + 9 = 2. 5y
*)Nếu x = 0 ta có:
350 + 9 = 2.5y
10 = 2.5y
5y = 5
y =1

*) Nếu x >0
+ Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50
35x + 9 = 2 ( vô lý)
+ Nếu y > 0 ta thấy:
35x + 9 5 vì ( 35x 5 ; 9 5 )
Mà 2. 5y 5 ( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y)
Vậy x = 0 và y = 1
Bài 1: Tính tổng.
A = 1 + 2 + 22+...+ 2100
B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bài giải:
A = 1 + 2 + 22 + ...+ 2 100


=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101
=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) (1 +2 + 22+ ...+2100)
Vậy A = 2101 - 1
B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101
B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101)
4B = 3 - 3101
Vậy B = ( 3- 3101) : 4
Bài 2: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2 + 22 ; 2 + 22 + 23 ; 2 + 22 + 23 + 24
b) Chứng minh rằng: A = 2 + 22 + 23 + ..... + 22004 chia hết cho 3; 7 và 15.
Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích 34 + 35 + 36 + 37
b) Chứng minh rằng: B = 1 + 3 + 32 + .... + 399 M40
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) S1 = 5 + 52 + 53 + ... + 52004 M6;31;156
b) S 2 = 2 + 22 + 23 + .... + 2100 M31
c) s3 = 165 + 215 M33

Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
a) A = 20 + 21 + 22 + .... + 22006
b) B = 1 + 3 + 32 + .... + 3100
c) C = 4 + 42 + 43 + .... + 4n
d) D = 1 + 5 + 52 + .... + 52000
Bài 6 Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + .... + 2200 . Hãy viết A+1 dới dạng một luỹ thừa.
Bài 7 Cho B = 3 + 32 + 33 + ..... + 32005 . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3.
Bài 8 Cho C = 4 + 22 + 23 + .... + 22005 . CMR: C là một luỹ thừa của 2.
Bài 9: Chứng minh rằng:
a) 55 54 + 53 M7
b) 7 6 + 75 7 4 M
c) 109 + 108 + 107 M222
11
e) 106 57 M59
g) 3n + 2 2n + 2 + 3n 2n M
10n N *
h) 817 279 913 M45
i) 810 89 88 M55
k) 109 + 108 + 107 M555
Bài 10 Tính nhanh
a.
S = 1 + 2 + 22 + 23 +........+ 262 + 263
b.
S = 1 + 3 +32+ 33+............+ 320
c.
S = 1 + 4 + 42 + 43+ ...........+ 449
Bài 11 Tính tổng
a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301
Bài giải:

a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200
25 A = 52 + 54+ ...+ 5202
25 A - A = 5202 - 1
Vậy A = ( 5202 -1) : 24
b) Tơng tự
Bài 3: Tính

B=

7 304 + 1
73 +1

1
1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 100
7
7
7
7
4
4
4
4
B = + 2 - 3 + ...+ 200
5
5
5
5

A=

1
1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 100
7
7
7
7
1
1
1
7A = 1 + + 2 + ... + 99
7
7
7

A=

Bài giải:


=> 7A - A = 1 -

1
100




A = 1 −

7
4
4
4
4
B = − + 2 - 3 + ...+ 200
5
5
5
5
4
4
4
5B = -4 + + 3 +...+ 201
5
5
5
4
B+5B = -4 + 200
5
4 

B =  − 4 + 200  : 6
5 


1 
: 6
7 100 

Bµi 3: TÝnh

28
24
20
4
A = 25 30 + 25 28 + 25 26 + ... + 25 2 + 1

25 + 25 + 25

+ ... + 25 + 1

Bµi gi¶i:
BiÕn ®ỉi mÉu sè ta cã:
2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1
= (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252)
= (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1)
= (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252)
VËy A =

1
1
=
2
1 + 25

626

Bµi tËp 11: ViÕt 2100 lµ mét sè cã bao nhiªu ch÷ sè khi tÝnh gi¸ trÞ cđa nã.
Bµi tËp 13: T×m sè tù nhiªn abc biÕt (a + b + c)3 = abc (a ≠ b ≠ c)
Bµi tËp 14: Cã hay kh«ng sè tù nhiªn abcd
(a + b + c + d)4 = abcd
C¸c dÊu hiƯu chia hÕt
A/. Mơc tiªu:
- Häc sinh n¾m v÷ng c¸c tÝnh chÊt chia hÕt vµ c¸c tdÊu hiƯu chia hÕt vµo trong gi¶i bµi tËp.
- VËn dơng thµnh th¹o c¸c phÐp biÕn ®ỉi vµo trong c¸c bµi tËp sè häc.
- RÌn lun cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t duy l« gic ãc ph©n tÝch tỉng hỵp.
B/. Chn bÞ:
Néi dung chuyªn ®Ị, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sư dơng vµ c¸c bµi tËp tù lun.
C/. Néi dung chuyªn ®Ị.
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1) Đònh nghóa: Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0 ).
a = b.q ⇔ a Mb ⇔ a là bội của b ⇔ b là ước của a.
2) Tính chất:
1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
2/ Nếu a Mb và bMc ⇒ a Mc
3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1.
5/ Nếu a Mm và b Mm thì a + b Mm và a − b Mm


6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại
cũng chia hết cho m.
7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.

9/ Nếu a Mm, bMn ⇒ ab Mmn
n
n
Hệ Quả: Nếu a Mb ⇒ a Mb
Nếu a Mm, a Mn , (m, n) = 1 ⇒ a Mmn
A/ LÝ THUYẾT:
Gọi A = an an −1 ...a2 a1a0 Tacó :
AM
2 ⇔a0 M
2, AM
5 ⇔a0 M
5
AM
4 ⇔a1a0 M
4, AM
25 ⇔a1a0 M
25
AM
8 ⇔a2 a1a0 M
8, AM
125 ⇔a2 a1a0 M
125
AM
3 ⇔an +an −1 +... +a2 +a1 +a0 M
3
AM
9 ⇔an +an −1 +... +a2 +a1 +a0 M
9

BÀI TẬP:

1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125.
b/ Số 9 xy 4 chia hết cho 2, cho4, cho 8.
Giải:

a/ 275x M5 ⇔ x ∈ { 0;5} ;

275x M25 ⇔ x ∈ { 0} ; 275x M125 ⇔ x ∈ { 0}

b/ 9 xy 4M2 ⇔ x, y ∈ { 0;1; 2;...;9} ; 9 xy 4M4 ⇔ x ∈ { 0;1; 2;...;9} , y ∈ { 0, 2, 4, 6,8}
9 xy 4M
8 ⇔ x ∈ { 0; 2; 4;6;8} ; y ∈ { 2;6} hoặc x ∈ { 1;3; 5;7;9} ; y ∈ { 0; 4;8} :

LUYỆN TẬP

1) Cho n ∈ N, chứng minh rằng:
a/ 5n – 1 M4
b/ n2 + n + 1 không chia hết cho 4.
c/ 10n - 1 M9
d/ 10n + 8 M9
Giải: a/ + Với n = 0, ta có: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 M4
+ Với n = 1, ta có: 51 -1 = 5 – 1 = 4 M4.
+ Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 M4
Vậy với n ∈ N, 5n – 1 M4 .
b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n 2 + n + 1
là số lẽ nên không chia hết cho 4.
c/ Ta có 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99…..9 M9
n chữ số 0 n chữ số 9
d/ Ta có: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08 M9
n chữ số 0 n-1 chữ số 0

2) Chứng minh rằng:
a/ 1028 + 8 M72
b/ 88 + 220 M17
Giải: a/ Ta có: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08 M9
(1)
28 chữ số 0 27 chữ số 0
28
Số 10 + 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2)
Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72.
b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17 M17
vây 88 + 220 chia hết cho 17.
3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5.
Giải:
Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng
bằng 0; 2; 6. Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5.
4) CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5.
b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5.
Giải: a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 M5
b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0
Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.
Bµi 1:Chứng minh rằng:
a) ab + ba chia hết cho 11.
b) ab − ba Chia hết cho 9 với a > b.
a) Ta có ab + ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) M11 Vậy ab + ba M11.
b) Ta có : ab − ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b) M9
Chú ý : Nếu ab + cd M11 ⇒ abcd M11
Bµi 2 Cho abc − deg M7. Cmr abc deg M7
2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy

viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
3) Cho số abcM27 Chứng minh rằng số bca M27
Giải:
1)Ta có : abc deg = 1000abc + deg = 1001abc − (abc − deg )
= 7.143abc − (abc − deg )

Mà : 7.143 abcM7 và abc − deg M7. Vậy abc deg M7
2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab .( 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9, a,b ∈ N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba
abba = 1000a + 100b + 10b + a
= 1001a + 110b = 7.11.13a + 11.10b M
11
Vậy : abba M
11

3) abcM27


⇒ abc0M27
⇒ 1000a + bc 0M27
⇒ 999a + a + bc0M27
⇒ 27.37a + bca M27
⇒ bca M27 ( Do 27.37a M27)

LUYỆN TẬP
1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp
thì không chia hết cho 4.
2) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì không
chia hết cho 10.
3) Tìm n ∈ N để:

a) 27 – 5n Mn
b) n + 6 Mn + 2
c) 2n + 3 Mn – 2
d) 3n + 1 M11 – 2n
11 thì abc deg M
11
4) Cmr nếu ab + cd + eg M
5) Cho abc + deg M37. Cmr abc deg M37
6) Cho 10 k – 1 M19 với k > 1 CMR: 102k – 1 M19
7) Cho n là số tự nhiên. CMR:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.
8) Chứng minh rằng nếu ab = 2cd ⇒ abcd M67
Giải:
1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) M3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 M3
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.
Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không
chia hết cho 4.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì
không chia hết cho 4.
2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) M10
Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5 M 10.
3) a) 27 – 5n Mn ; 5n Mn => 27 Mn => n ∈ Ư(27) = { 1;3;9; 27} nhưng 5n < 27 nên n < 6
Vậy n ∈ { 1;3}

b) n + 6 Mn + 2 => n + 2 + 4 Mn + 2, mà n +2 Mn + 2 => 4 Mn + 2 => n + 2 ∈ { 1; 2; 4} => n ∈ { 0; 2}

c) 2n + 3 Mn – 2 => 2(n – 2) + 7 Mn -2 => 7 Mn - 2 => n – 2 ∈ { 1;7} => n ∈{ 3;9}

d*) 3n + 1 M11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) M11 – 2n => 35 M11 – 2n
=> 11 – 2n ∈ { 1;5;7;35} nhưng vì n < 6 nên n ∈ { 5;3; 2}


4) Ta có : abc deg = 10000ab + 100cd + eg = 9999ab + 99cd + ( ab + cd + eg )
Do 9999M
11; 99M
11;(ab + cd + eg )M
11
11
Vậy : abc deg M
5) Tacó : abc deg = 1000abc + deg = 999abc + (abc + deg)

= 27.37 abc + (abc + deg)
Do 27.37abc M37; (abc + deg)M37; Vậy : abc deg M37
6) Ta có: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1)
Do 10k - 1 M19 nên 10k(10k – 1) + (10k – 1) M19
Vây 102k – 1 M19
7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )
Khi n chẵn => n = 2k (k ∈ N).
Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2.Khi n lẽ => n =
2k + 1 (k ∈ N).
Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)
= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.
Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2.
b/ Đăt. A = n (n + 1)(n + 2)
+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A chia hết
cho 2.

+ Trường hợp: n = 3k (k ∈ N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.
(1)
Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A
chia hết cho 3.
(2)
Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3 nên A
chia hết cho 3.
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3.
Vậy A chia hết cho cả 2 và 3.
8) Ta có abcd = 100ab + cd
ab = 2cd
Mà:
Suy ra: abcd = 2cdcd = 200cd + cd = 201cd = 3.67cd M67
abcd M67
Vậy:
Bài 3. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều kiên sau:
a) Số đó chia hết cho 5;
a) Số đó chia hết cho 2 và cho 5.
Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết cho 5
là: 950 ; 590 ; 905.
b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho 2 và
cho 5 là: 950 ; 590 ;
Bài 4. Cho số 123x43 y . hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5.
Giải. Số 123x43 y  5 nên y = 0 hoặc y = 5.


•Với y = 0 , ta có số 123x 430 . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3  3
hay 12 + (x+ 1)  3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9.

- Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430
- Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430
- Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430
Với y = 5 , ta có số 123x 435 . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5  3 hay
18 + x  3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435
Bài 5:
1. Điền chữ số vào dấu * để được số :
a) Chia hết cho 2 : 3 * 46 ; 199 * ; 20 *1 ;
a) Chia hết cho 5 : 16 * 5 ; 174 * ; 53 * 6 ;
1. Dùng cả ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số:
a) Lớn nhất và chia hết cho 5;
a) Nhỏ nhất và chia hết cho 2;
3. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và
1995 ≤ n ≤2001 .
4. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5.
5. Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 2;
b) Trong sáu số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 5;
6. Chứng tỏ rằng:
a) (5n + 7 )(4n + 6)  2 với mọi số tự nhiên n;
b) (8n + 1 )(6n + 5) .. . 2 với mọi số tự nhiên n;
7. Người ta viết các số tự nhiên tùy ý sao cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn. tổng các số đã viết có
chia hết cho 2 hay không? Vì sao?
8. Có 5 tờ giấy .người ta xé tờ giấy đó thành 6 mảnh . lại lấy một trong số mảnh giấy nào đó, xé mỗi
mảnh thành 6 mảnh.cứ như vậy sau một số lần , người ta đếm được 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm
đúng hay sai?
9. Cho sáu chữ số : 2 , 3 ,5 ,6 ,7 ,9.
a) cố bao nhiêu số có ba chữ số ,các chữ số trong mỗi số đều khhacs nhau, được lập thành từ các chữ số
trên?
b) Trong các số được lập thành có bao nhiêu số nhỏ hơn 400? Bao nhiêu số là số lẻ ? bao nhiêu số chia

hết cho 5?
Bài tập cñng cè:
1.Điền chữ số vào dấu * để:
a) 2001 + 2 * 3 chia hết cho 3;
b) 5 * 793 * 4 chia hết cho 9;
2. Điền chữ số vào dấu * để được số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 :
51 * và 745 *
3.Dùng ba trong 4 chữ số 3,6,9,0 hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó:
a) Chia hết cho 9;
b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.
4. Phải thay các chữ số x, y bởi chữ số nào để số 123 x44 y  3
5. Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 , cho 9 không?
102001 + 2 ; 102001 – 1 .


6. Tỡm cỏc ch s x,y bit rng s 56 x3 y chia ht cho 2 v 9.
7. Tỡm cỏc ch s x,y bit rng s 71x1 y chia ht cho 445.
8. Tỡm tt c cỏc s cú dng 6a14b , bit rng s ú chai ht cho 3 , cho 4 v cho 5.
9. Tỡm hai s t nhiờn liờn tip , trong ú cú mt ch s chia ht cho 9 , bit rng tng ca hai s ú
tha món cỏc iu kin sau:
a) L sú cú ba ch s;
b) L s chia ht cho 5;
c) Tng ca ch s hng trm v ch s hng n v l s chia ht cho 9;
d) Tng ca ch s hng trm v ch s hng chc l s chia ht cho 4;
Các phơng pháp chứng minh chia hết
Ph ơng pháp 1: để chứng minh AMb ( b 0 ). Ta biểu diễn A = b.k trong đó k N
Bài 1: Cho n N . Chứng minh rằng: (5n)100 M
125
2
2004

Bài 2: Cho A = 2 + 2 + ..... + 2 . Chứng minh rằng: a) AM6
b) AM7
c) AM30
2
1998
Bài 3: Cho S = 3 + 3 + ... + 3 . Chứng minh rằng : a) S M
b) sM39
12
2
100
Bài 4: Cho B = 3 + 3 + ... + 3 Chứng minh rằng: BM
120
Bài 5: Chứng minh rằng
a) 3636 910 M45
b) 810 89 88 M55
c) 55 54 + 53 M7
d) 7 6 + 7 5 7 4 M
e) 2454.5424.210 M7263
g) 817 279 913 M45
11
h) 3n +3 + 3n +1 + 2n +3 + 2n + 2 M6n N
i) (210 + 211 + 212 ) : 7 là một số tự nhiên.
Ph ơng pháp 2: Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng
Nếu a b Mm và a Mm bMm
Ph ơng pháp 3: Để chứng minh một biểu thức chứ chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b ( b 0 )Ta
có thể xét mọi tr ờng hợp về số d khi chia n cho b
Bài 6: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Chứng minh rằng: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24
d) Chứng minh rằng: Tích của 5 số tự nhiên liên liếp chia hết cho 120

(Chú ý: Các bài toán trên đây đợc sử dụng trong chứng minh chia hết, không cần CM lại)
Bài 7: Chứng minh rằng: a) (5n + 7)(4n + 6)M2n N
b) (8n + 1)(6n + 5) không chia hết cho 2 N
Bài 8: Chứng minh rằng: A = n(n + 1)(2n + 1)M6n N
Bài 9: a) Cho n N . Chứng minh rằng: n 2 M3 hoặc n 2 chia 3 d 1
b) CMR: Không tồn tại n N để n 2 + 1 = 300...0
Bài 10: Chứng minh rằng: m, n N ta luôn có m.n(m 2 n 2 ) M3
Bài 11: Chứng minh rằng: (n + 20052006 )(n + 20062005 )M2n N
2
1 4 44 2 4 4 43
Bài 12: CMR không tồn tại n N để n + 1 = 20042004.....2004
15 so 2004

Phơng pháp 4: Để chứng minh AMb . Ta biểu diễn b dới dạng b = m.n . Khi đó
+ Nếu (m, n)=1 thì tìm cách chứng minh AMm và AMn AMm.n hay AMb
+ Nếu (m; n) 1 ta biểu diễn A = a1.a2 rồi tìm cách chứng minh a1 Mm; a2 Mn thì tích a1.a2 Mm.n tức AMb
Bài 13: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.
d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120
Bài 14 : Chứng minh rằng: nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a 2 1M6
Bài 15: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8
b) Chứng minh rằng: Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48
c) Chứng minh rằng: Tích của bốn số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384


Bài 16 : Chứng minh rằng: B = 10n + 18n 1M27
Bài 16: Chứng minh rằng:
a) 10n 36n 1M27n N ; n 2
{ M27

b) số 11...1
27 c / s1

Ph ơng pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết
Bài 17:
Chứng minh rằng:
1020006 + 8M72
{
Bài 18: Chứng minh rằng: a) Số 55...5
không chia hết cho 125 (
nc / s 5

b) 10n + 23 M9
c) 3737 2323 M
10
Bài 19: Chứng minh rằng:
a) 1033 + 8M2;9
b) 1010 + 14M3; 2
c) 1050 + 5M3;5
d) 1025 + 26M2;9
Bài 20: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số biết rằng một số chia hết cho 125, số kia chia hết cho
8.
Bài 21: Chứng minh rằng n N thì
a) 24 n+1 + 3M5
b) 24 n+ 2 + 1M5
c) 92 n+1 + 1M
10
4
n
4

n+
1
d) 7 1M5
e) 3 + 2M5
10
Bài 22 : Chứng minh rằng (2 + 1)10 M25
Bài 23: Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó.
a) Chứng minh rằng: b Ma
b) Giả sử b=k.a. Chứng minh rằng k là ớc của 10.
c) Tìm các số ab nói trên
Ph ơng pháp 6: để chứng minh AMb ta biểu diễn A = A1 + A2 + .... + An và chứng minh các
Ai (i = 1, n)Mb

Bài 1: CMR:

{ M3
a) n N thì A = 2.n + 11...1
nc / s1

{ n).bM9
b) a, b, n N thì B = (10 1).a + (11...1
n

nc / s1

{ 9 + nM9
c) 88...8
nc / s 8

Bài 24: Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng aM9

Bài 25: Tìm các chữ số x, y để 1994 xyM72
Các bài toán tổng hợp:
Bài 1: Tìm n N để
a) n + 6Mn
b) 4.n + 5Mn
c) 38 3n Mn
d) n + 5Mn + 1
e) 3n + 4Mn 1
g) 2n + 1M
16 3n
Bài 2: Tìm n N để:
a) 3n + 2Mn 1
b) n 2 + 2n + 7 Mn + 2
c) n 2 + 1Mn 1
d) n + 8Mn + 3
e) n + 6Mn 1
g) 4n 5M2n 1
h) 12 n M8 n
i) 20Mn
k) 28Mn 1
l) 113 + n M7
m) 113 + n M
13
Bài 3: Tìm n N . để các phân số sau có giá trị là số tự nhiên
a)

n+2
3

Bài 4: Tìm n N để

a) 4n 5M
13
c) 25n + 3M53

b)

7
n 1

c)

n +1
n 1

b) 5n + 1M7
d) 18n + 3M7

d)

2n + 8 n

5
5