BÀI KIỂM TRA GIỮA KỲ MẪU (Môn Toán Rời Rạc 2) BK TPHCM

BÀI KIỂM TRA GIỮA KỲ MẪU
(Môn Toán Rời Rạc 2)
Thời gian làm bài: 60 phút (Được sử dụng tài liệu)

1

Phần trắc nghiệm (4 điểm)

Câu 1. Trong logic mệnh đề, xét biểu thức mệnh đề sau
¬p
với p là một biến mệnh. Khẳng định nào sau đây là đúng?
✄  
✂A ✁ Biểu thức ¬p là hằng sai (contradiction) và không thỏa được (unsatisfiable).
✄  
✂B ✁ Biểu thức ¬p không là hằng đúng (invalid) và không thỏa được (unsatisfiable).
✄  
✂C ✁ Biểu thức ¬p không là hằng đúng (invalid) và thỏa được (satisfiable).
✄  
✂D ✁ Biểu thức ¬p là hằng đúng (valid) và không thỏa được (unsatisfiable).
✄  
✂E ✁ Tất cả các phương án kia đều sai.

Câu 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
✄  
✂A ✁ Không thể có chương trình nào in ra được chính bản thân nó.
✄  
✂B ✁ Phát biểu này không phải là một mệnh đề đúng: ’“Là một phần của câu” là một phần
của câu.’
✄  
✂C ✁ p =: “Câu này sai ” là một biến mệnh đề có thể nhận chân trị đúng hoặc chân trị sai.
✄  

✂D ✁ Phát biểu sau đây là một định lý trong logic vị từ: “Luôn tồn tại một sinh viên trong
lớp học này sao cho khi người này thi trượt thì cả lớp đều trượt.”
✄  
✂E ✁ Tất cả các phương án kia đều sai.

1


Câu 3. Biểu thức mệnh đề nào sau đây diễn tả đúng nhất phát biểu sau?
Khi một ngân hàng thương mại mất tính thanh khoản (k), thì cả hệ thống tài
chính sẽ sụp đổ (s) trừ khi ngân hàng này được quốc hữu hóa (q).
✄  
✂A ✁ (¬s → b) → k
✄  
✂B ✁ (s ∧ ¬q) → ¬k
✄  
✂C ✁ (s ∧ ¬q) → k
✄  
✂D ✁ k → (¬s → q)
✄  
✂E ✁ k → (¬q → ¬s)

Câu 4. Giả sử ta đang có thể chứng minh rằng biểu thức mệnh đề
(p ∧ q) ∧ r → (r ∧ q) ∧ p
là một hằng đúng. Tính chất gì của logic mệnh đề cho phép ta kết luận rằng sẽ có một phép
chứng minh cho định lý (theorem) sau bằng cách sử dụng các quy tắc suy luận tự nhiên
(natural deductions)
(p ∧ q) ∧ r → (r ∧ q) ∧ p?
✄  
✂A ✁ Luật Bài Trung (Law of Excluded Middle - LEM).

✄  
✂B ✁ Luật Modus Tollens (MT).
✄  
✂C ✁ Tính phi mâu thuẫn (soundness) của các quy tắc suy luận tự nhiên.
✄  
✂D ✁ Tính đầy đủ (completeness) của các quy tắc suy luận tự nhiên.
✄  
✂E ✁ Tính compact (compactness) của các quy tắc suy luận tự nhiên.

2


Câu 5. Xét các bước suy luận sau đây để chứng minh tính đúng đắn của phép suy luận
(sequent)
(∀xP (x)) → Q, ∀xP (x) ∀z(P (z) → Q).
(∀xP (x)) → Q
∀xP (x)

1
2
3

tiền đề
tiền đề

x0

4
5
6

∀e 2
→ e 1,2

P (x0 )
Q
P (x0 ) → Q

→ i 4–5

7
∀z(P (z) → Q)
∀i 3–6
Phát biểu nào sau đây về phép chứng minh trên là đúng?
✄  
✂A ✁ Đây không phải là một chứng minh đúng, vì biến z được đưa vào trên Dòng 7 và không
nằm trong một khung nào.
✄  
✂B ✁ Đây không phải là một chứng minh đúng, vì Dòng 5 nằm trong một khung, nhưng sử
dụng Dòng 1 và Dòng 2 là hai dòng không nằm trong một khung nào.
✄  
✂C ✁ Đây không phải là một chứng minh đúng, vì Dòng 3 không có một công thức mệnh
đề nào.
✄  
✂D ✁ Đây không phải là một chứng minh đúng, vì Dòng 4 dùng Dòng 2, là dòng không nằm
trong khung liền trước nó.
✄  
✂E ✁ Cả bốn khẳng định kia đều sai. Phép chứng minh trên là đúng.

Câu 6. Xét biểu thức vị từ φ sau

∀z Q(x) ∧ ∀x P (z) → R(x)

∧ R(z) → R(x)

∧ P (x).

Kết quả của phép thay thế (substitution) x ⇒ f (x, y, z)) φ là gì?
✄  
✂A ✁ ∀z
✄  
✂B ✁ ∀z
✄  
✂C ✁ ∀z
✄  
✂D ✁ ∀z
✄  
✂E ✁ ∀z

Q(f (x, y, z)) ∧ ∀x P (z) → R(f (x, y, z)) ∧ R(z ) → R(f (x, y, z)) ∧ P (f (x, y, z))
Q(f (x, y, z)) ∧ ∀x P (z ) → R(x)

∧ R(z ) → R(f (x, y, z))

∧ P (f (x, y, z))

Q(f (x, y, z)) ∧ ∀x P (z ) → R(f (x, y, z)) ∧ R(z ) → R(f (x, y, z)) ∧P (f (x, y, z))
Q(f (x, y, z )) ∧ ∀x P (z) → R(f (x , y, z )) ∧ R(z ) → R(f (x, y, z )) ∧P (f (x, y, z))
Q(f (x, y, z)) ∧ ∀x P (z) → R(x)

∧ R(z) → R(f (x, y, z))

3

∧ P (f (x, y, z))


Câu 7. Bước đầu tiên trong phương pháp nhánh-cận (branch and bound) trong việc giải
bài toán quy hoạch nguyên là để
✄  
✂A ✁ vẽ đồ thị.
✄  
✂B ✁ đổi các hệ số trong hàm mục tiêu sang số nguyên.
✄  
✂C ✁ giải bài toán gốc bằng cách giải bài toán quy hoạch tuyến tính nhưng cho phép xét
nghiệm không nguyên.
✄  
✂D ✁ so sánh cận dưới (lower bound) với một cận trên (upper bound) chọn trước.
✄  
✂E ✁ làm một việc khác với tất cả các công việc đã nêu.

Câu 8. Nếu nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tình nới lỏng (linear programming
relaxation problem) là nguyên thì nó cũng là
của bài toán quy hoạch
tuyến tính nguyên.
✄  
✂A ✁ một nghiệm thực (real solution)
✄  
✂B ✁ một nghiệm suy biến (a degenerate solution)
✄  
✂C ✁ một nghiệm không chấp nhận được (infeasible solution)

✄  
✂D ✁ nghiệm tối ưu (optimal solution)
✄  
✂E ✁ là một nghiệm chấp nhận được (feasible solution)

4


2

Phần tự luận (6 điểm)

Bài 1. (2 điểm) Hãy giải thích tại sao {∨, ¬} là hệ đầy đủ (adequate set) các liên kết logic,
còn hệ {∧, ∨} thì không?
[viết lời giải vào khoảng trống]
Lời giải Bài 1:

5


Bài 2. (2 điểm) Xét ngôn ngữ gồm một phép toán một ngôi (unary function symbol) f và
một vị từ hai ngôi (binary predicate symbol) R. Xét ba biểu thức sau
φ1 = ∀xR(x, f (x));
φ2 = ∀x∀y∀z(R(x, y) ∧ R(y, z) → R(x, z));
φ3 = ∀x¬R(x, x).
1. Hãy chứng tỏ rằng ba biểu thức trên là nhất quán (consistent).
2. Mô hình của φ1 ∧ φ2 ∧ φ3 có thể hữu hạn (tức là có tập vũ trụ (universe) chỉ gồm hữu
hạn phần tử) hay không? Vì sao?
[viết lời giải vào khoảng trống]

Lời giải Bài 2:

6


Bài 3. (1 điểm) Trong hai phép suy luận sau đây chỉ có một phép suy luận đúng, phép suy
luận còn lại sai. Đối với phép suy luận sai, hãy xây dựng một mô hình để làm phản ví dụ.
1. ∃x P (x) ∧ ∃x Q(x)
2. ∃x(P (x) ∧ Q(x))

∃x(P (x) ∧ Q(x)),
∃x P (x) ∧ ∃x Q(x).

[viết lời giải vào khoảng trống]
Lời giải Bài 3:

7


Bài 4. (1 điểm) Công ty sản xuất bia có 2 kho hàng A, B với số lượng thùng bia ở mỗi kho
lần lượt là: 100, 80. Đồng thời có 3 cửa hàng giải khát (C1, C2, C3) đang cần số lượng bia
tương ứng là: 70, 55, 45. Chi phí vận chuyển bia từ kho hàng đến cửa hàng được cho trong
bảng bên dưới:
Kho hàng A
Kho hàng B

Cửa hàng C1
20000VND
60000VND

Cửa hàng C2
50000VND
90000VND

Cửa hàng C3
80000VND
30000VND

Hãy lập kế hoạch vận chuyển thỏa mãn được nhu cần của mỗi cửa hàng mà chi phí vận
chuyển thấp nhất.
[viết lời giải vào khoảng trống]
Lời giải Bài 4:

8