CHUYÊN ĐỀ ÔN LUYỆN VẬT LÝ 12: DAO ĐỘNG CƠ HỌC

CHUYÊN ĐỀ GIẢNG DẠY VẬT LÝ 12

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CƠ HỌC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG
1. Dao động: Là những chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng. (Vị trí cân bằng là
vị trí tự nhiên của vật khi chưa dao động, ở đó hợp các lực tác dụng lên vật bằng 0)
2. Dao động tuần hoàn: Là dao động mà trạng thái chuyển động của vật lặp lại như cũ sau
những khoảng thời gian bằng nhau. (Trạng thái chuyển động bao gồm tọa độ, vận tốc v gia tốc…
cả về hướng và độ lớn).
3. Dao động điều hòa: là dao động được mô tả theo định luật hình sin (hoặc cosin) theo
thời gian, phương trình có dạng: x = Acos(t + ). Trong đó:
x: là li độ (độ lệch của vật so với vị trí cân bằng)
A: Biên độ dao động, là li độ cực đại, luôn là hằng số dương
: Tần số góc (đo bằng rad/s), luôn là hằng số dương
(t + ): Pha dao động (đo bằng rad), cho phép ta xác định trạng thái dao động của vật
tại thời điểm t; : Pha ban đầu, là hằng số dương hoặc âm phụ thuộc vào cách ta chọn mốc thời
gian (t = t0)
4. Chu kì, tần số dao động:
* Chu kì T (đo bằng giây (s)) là khoảng thời gian ngắn nhất sau đó trạng thái dao động
t
2
lập lại như cuõ hoặc là thời gian để vật thực hiện một dao động. T = N =
(t là thời gian vật

thực hiện được N dao động)
* Tần số ƒ (đo bằng héc: Hz) là số chu kì (hay số dao động) vật thực hiện trong một đơn
N 1

vị thời gian:  = t = T =
(1Hz = 1 dao động/giây)

2
5. Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa: Xét một vật dao động điều hoà có
phương trình: x = Acos(t +).

a. Vận tốc: v = x’ = -Asin(t +)  v = Acos(t +  + )  vmax = A, khi vật qua
2
VTCB
b. Gia tốc: a = v’ = x’’ = -2Acos(t + ) = - 2 x  a = -2x =2Acos(t+ +)
 amax = A2, khi vật ở vị trí biên.
* Cho amax và vmax. Tìm chu kì T, tần số ƒ , biên độ A.
v2
a
Ta dùng công thức:  = max và A = max
amax
vmax
c. Hợp lực F tác dụng lên vật dao động điều hòa, còn gọi là lực hồi phục hay lực kéo về là
lực gây ra dao động điều hòa, có biểu thức: F = ma = -m2x = m.2Acos(t +  + ) lực này
cũng biến thiên điều hòa với tần số ƒ , có chiều luôn hướng về vị trí cân bằng, trái dấu (-), tỷ lệ
(2) và ngược pha với li độ x (như gia tốc a).
Ta nhận thấy:
* Vận tốc và gia tốc cũng biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ.
* Vận tốc sớm pha /2 so với li độ, gia tốc ngược pha với li độ.
* Gia tốc a = - 2x tỷ lệ và trái dấu với li độ (hệ số tỉ lệ là -2) và luôn hướng về vị trí cân
bằng.
6. Đồ thị của dao động điều hòa :
- Giả sử vật dao động điều hòa có phương trình là:
x = Acos(ωt + φ).
- Để đơn giản, ta chọn φ = 0, ta được: x = Acosωt .
Suy ra: v = x ' = - Aωsinωt = Aωcos(ωt + π/2)
Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

-1-


a = - ω2x = - ω2Acosωt
Một số giá trị đặc biệt của x, v, a như sau:
t

0

T/4

T/2

3T/4

T

x

A

0

-A

0

A

v

0

-ωA

0

ωA

0

a

- ω2A

0

ω2A

0

- ω2A

Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin.
▪ Đồ thị cũng cho thấy sau mỗi chu kì dao động thì tọa độ x, vận tốc v và gia tốc a lập lại giá
trị cũ.
 CHÚ Ý:
 Đồ thị của v theo x:
→ Đồ thị có dạng elip (E)

 Đồ thị của a theo x: → Đồ thị có dạng là đoạn thẳng
 Đồ thị của a theo v: → Đồ thị có dạng elip (E)
7. Công thức độc lập với thời gian
a) Giữa tọa độ và vận tốc (v sớm pha hơn x góc π/2)

v2
x   A 2  2



v2
2
2
2

x
v
A  x  2
 2 2 1  

2
A
 A

2
2
v    A  x

|v|
 


A2  x2
b) Giữa gia tốc và vận tốc:
v2
a2
v2 a 2
a2
2
2 2
2
hay

v
=
ω
A
 a2 = ω4A2 - ω2v2


1
A


2
4 2
2
4
2

 A




8. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều:
Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên một đường
tròn tâm O, bán kính A như hình vẽ.
+ Tại thời điểm t = 0 : vị trí của chất điểm là M0, xác định bởi
góc φ
+ Tại thời điểm t : vị trí của chất điểm là M, xác định bởi góc
(ωt + φ)
+ Hình chiếu của M xuống trục xx’ là P, có toạ độ x:
x = OP = OMcos(ωt + φ)
Hay:
x = A.cos(ωt + φ)
Ta thấy: hình chiếu P của chất điểm M dao động điều hoà
quanh điểm O.
Kết luận:
a) Khi một chất điểm chuyển động đều trên (O, A) với tốc độ góc ω, thì chuyển động của hình
chiếu của chất điểm xuống một trục bất kì đi qua tâm O, nằm trong mặt phẳng quỹ đạo là một
dao động điều hoà.
b) Ngược lại, một dao động điều hoà bất kì, có thể coi như hình chiếu của một chuyển động
tròn đều xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo, đường
tròn bán kính bằng biên độ A, tốc độ góc ω bằng tần số góc của dao động
điều hoà.
c) Biểu diễn dao động điều hoà bằng véctơ quay: Có thể biểu diễn một
dao động
 điều hoà có phương trình: x = A.cos(ωt + φ) bằng một vectơ
quay A
Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

-2-


+ Gốc vectơ tại O
+ Độ
 dài: | A | ~A
+ ( A ,Ox ) = φ
9. Độ lệch pha trong dao động điều hòa:
 Khái niệm: là hiệu số giữa các pha dao động.
Kí hiệu: Δφ = φ2 - φ1 (rad)
- Δφ =φ2 - φ1 > 0. Ta nói: đại lượng 2 nhanh ph a(hay sớm pha) hơn đại lượng 1 hoặc đại
lượng 1 chậm pha (hay trễ pha) so với đại lượng 2
- Δφ =φ2 - φ1 < 0. Ta nói: đại lượng 2 chậm pha (hay trễ pha) hơn đại lượng 1 hoặc ngược lại
- Δφ = 2kπ . Ta nói: 2 đại lượng cùng pha
- Δφ =(2k + 1)π. Ta nói: 2 đại lượng ngược pha

- Δφ =(2k+1) . Ta nói: 2 đại lượng vuông pha
2
 Nhận xét:
▪ V sớm pha hơn x góc π/2; a sớm pha hơn v góc π/2; a ngược pha so với x.6. Tóm tắt các
loại dao động:
a. Dao động tắt dần: Là dao động có biên độ giảm dần (hay cơ năng giảm dần) theo thời
gian (nguyên nhân do tác dụng cản của lực ma sát). Lực ma sát lớn quá trình tắt dần càng nhanh
và ngược lại. Ứng dụng trong các hệ thống giảm xóc của ôtô, xe máy, chống rung, cách âm…
b. Dao động tự do: Là dao động có tần số (hay chu kì) chỉ phụ vào các đặc tính cấu tạo
(k,m) của hệ mà không phụ thuộc vào các yếu tố ngoài (ngoại lực). Dao động tự do sẽ tắt dần do
ma sát.
c. Dao động duy trì: Là dao động tự do mà người ta đã bổ sung năng lượng cho vật sau
mỗi chu kì dao động, năng lượng bổ sung đúng bằng năng lượng mất đi. Quá trình bổ sung năng
lượng là để duy trì dao động chứ không làm thay đổi đặc tính cấu tạo, không làm thay đổi bin độ

và chu kì hay tần số dao động của hệ.
d. Dao động cưỡng bức: Là dao động chịu tác dụng của ngoại lực biến thiên tuần hoàn
theo thời gian F = F0cos(t + ) với F0 là biên độ của ngoại lực.
+ Ban đầu dao động của hê là một dao động phức tạp do sự tổng hợp của dao động riêng
và dao động cưỡng bức sau đó dao động riêng tắt dần vật sẽ dao động ổn định với tần số của
ngoại lực.
+ Biên độ của dao động cưỡng bức tăng nếu biên độ ngoại lực (cường độ lực) tăng và
ngược lại.
+ Biên độ của dao động cưỡng bức giảm nếu lực cản môi trường tăng và ngược lại.
+ Biên độ của dao động cưỡng bức tăng nếu độ chênh lệch giữa tần số của ngoại lực và
tần số dao động riêng giảm.
VD: Một vật m có tần số dao động riêng là 0, vật chịu tác dụng của ngoại lực cưỡng bức
có biểu thức F = F0cos(ωt + ) và vật dao động với biên độ A thì khi đó tốc độ cực đại của vật là
vmax = A.; gia tốc cực đại là amax = A.2 và F= m.2.x  F0 = m.A.2
e. Hiện tượng cộng hưởng: Là hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng một cách đột
ngột khi tần số dao động cưỡng bức xấp xỉ bằng tần số dao động riêng của hệ. Khi đó:  = 0 hay
 = 0 hay T = T0 Với , , T và 0, 0, T0 là tần số, tần số góc, chu kỳ của lực cưỡng bức và
của hệ dao động. Biên độ của cộng hưởng phụ thuộc vào lực ma sát, biên độ của cộng hưởng lớn
khi lực ma sát nhỏ và ngược lại.
+ Gọi 0 là tần số dao động riêng,  là tần số ngoại lực cưỡng bức, biên độ dao động
cưỡng bức sẽ tăng dần khi  càng gần với 0. Với cùng cường độ ngoại lực nếu 2 > 1 > 0 thì
A2 < A1 vì 1 gần 0 hơn.
+ Một vật có chu kì dao động riêng là T được treo vào trần xe ôtô, hay tàu hỏa, hay gánh
trên vai người… đang chuyển động trên đường thì điều kiện để vật đó có biên độ dao động lớn
d
nhất (cộng hưởng) khi vận tốc chuyển động của ôtô hay tàu hỏa, hay người gánh là v = với d là
T

A

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

-3-


khoảng cách 2 bước chân của người gánh, hay 2 đầu nối thanh ray của tàu hỏa hay khoảng cách
2 “ổ gà” hay 2 gờ giảm tốc trên đường của ôtô…
) So sánh dao động tuần hoàn và dao động điều hòa:
* Giống nhau: Đều có trạng thái dao động lặp lại như cũ sau mỗi chu kì. Đều phải có điều
kiện là không có lực cản của môi trường. Một vật dao động điều hòa thì sẽ dao động tuần hoàn.
* Khác nhau: Trong dao động điều hòa quỹ đạo dao động phải là đường thẳng, gốc tọa độ
O phải trùng vị trí cân bằng còn dao động tuần hoàn thì không cần điều đó. Một vật dao động
tuần hồn chưa chắc đã dao động điều hòa. Chẳng hạn con lắc đơn dao động với biên độ góc lớn
(lớn hơn 100) không có ma sát sẽ dao động tuần hoàn và không dao động điều hòa vì khi đó quỹ
đạo dao động của con lắc không phải là đường thẳng.
II. CON LẮC LÒ XO
1. Cấu tạo: Con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, một đầu
gắn cố định, đầu kia gắn với vật nặng khối lượng m được đặt theo phương ngang hoặc treo thẳng
đứng.
+ Con lắc lò xo là một hệ dao động điều hòa.
2. Lực kéo về: Lực gây ra dao động điều hòa luôn luôn hướng về vị trí cân bằng và được
gọi là lực kéo về hay lực hồi phục. Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và là lực gây ra gia tốc
cho vật dao động điều hòa.
Biểu thức đại số của lực kéo về: Fkéo về = ma = -mω2x = -kx
- Lực kéo về của con lắc lò xo không phụ thuộc vào khối lưng vật.
k
3. Phương trình dao động : x = A.cos(ωt + φ). Với: ω =
m
2


m
1 k
 Chu kì và tần số dao động của con lắc lò xo: T =
= 2π
và f =
=
k
2 m

2
4. Năng lượng của con lắc lò xo
a) Động năngcủa vật :
1
1
Wđ = mv2 = mω2A2sin2(ωt + φ)
2
2
b) Thế năng của vật:
1 2 1
kx = kA2cos2(ωt+φ)
2
2
c) Cơ năng:

Wt =

W = Wđ + Wt =

1
1

mA2ω2 = kA2 = Wđ max = Wt max = W =hằng số.
2
2

Chú ý.
1  cos 2
1  cos 2
và sin2α=
nên biểu thức động năng và thế năng sau khi hạ
2
2
W W
W W
1
1
 cos( 2t  2) ; Với W = mA2ω2 = kA2
bậc là: Wt =  cos( 2t  2) ; Wđ =
2
2
2
2
2
2
- Vậy động năng và thế năng của vật dao động điều hòa biến thiên với tần số góc ω’=2ω, tần
số f’=2f và chu kì T’= T/2
- Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương biên độ dao động.
- Cơ năng của con lắc lò xo không phụ thuộc vào khối lượng vật.
- Cơ năng của con lắc được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát..
- Động năng của vật đạt cực đại khi vật qua VTCB và cực tiểu tại vị trí biên.
- Thế năng của vật đạt cực đại tại vị trí biên. và cực tiểu khi vật qua VTCB.

III. CON LẮC ĐƠN
Mô tả: Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giãn, vật nặng kích thước
không đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của
vật nặng

- Do cos2α=

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

-4-


. 1. Chu kì, tần số và tần số góc:
g
l
1 l
T = 2π
;ω=
;f=
l
g
2 g
Nhận xét: Chu kì của con lắc đơn
+ tỉ lệ thuận căn bậc 2 của l; tỉ lệ nghịch căn bậc 2 của g
+ chỉ phụ thuộc vào l và g; không phụ thuộc biên độ A và m.
+ ứng dụng đo gia tốc rơi tự do (gia tốc trọng trường g)
2. Phương trình dao động: Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ
qua ma sát, lực cản và α0 << 1 rad hay S0 << l
s = S0cos(ωt+ φ) hoặc α = α0cos(ωt + φ)
Với s = αl, S0 = α0l

v = s’ = -ωS0sin(ωt + φ) = -ωlα0sin(ωt + φ)
a = v’ = -ω2S0cos(ωt + φ) = -ω2lα0cos(ωt + φ) = -ω2s = -ω2αl
Lưu ý: S0 đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x
3. Hệ thức độc lập:
2
2
2
v
v
 v 
2
2
2
2
2
2
* a = - ω s = - ω αl; S 0  s    ;  0        2 
l

 l 
s
4. Lực kéo về : F= -mgsinα = - mgα = -mg = - mω2s
l
+ Đkiện dđ điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α0 << 1 rad hay S0 << l
+ Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng.
+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng.
IV. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
1. Độ lệch pha của 2 dao động điều hòa cùng tần số:
 x  A1 cos(t  1 )
Nếu  1

,  = 2 - 1
 x2  A2 cos(t   2 )
- Nếu  > 0  1 > 2ta nói dao động x1 sớm pha hơn dao động x2
- Nếu  < 0  1 < 2ta nói dao động x1 trễ pha hơn dao động x2
- Nếu  = k.2 (k  Z) ta nói x1 cùng pha x2
- Nếu  = (2k+1) (k  Z) ta nói x1 ngược pha x2

- Nếu  = (2k+1) (k  Z) ta nói x1 vuôngpha x2
2
2. Tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng tần số là
một dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:
 x  A1 cos(t  1 )
- Giả sử cần tổng hợp hai dao động:  1
 x2  A2 cos(t   2 )
 x = x1 + x2 = Acos(t + )
Với A  A12  A 22  2A1A 2 cos( 2  1 )  A 1  A 2  A  A1  A 2
tan  

A1 sin 1  A 2 sin  2
 với 1 ≤  ≤ 2 (nếu 1 ≤ 2 )
A1 cos 1  A 2 cos  2

B. KIẾN THỨC NÂNG CAO
I. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG
1) Tính nhanh chậm và chiều của chuyển động trong dao động điều hòa:
- Nếu v > 0 vật chuyển động cùng chiều dương; nếu v < 0 vật chuyển động theo chiều m.
- Nếu a.v > 0 vật chuyển động nhanh dần; nếu a.v < 0 vật chuyển động chậm dần.
Chú ý: Dao động là loại chuyển động có gia tốc a biến thiên điều hòa nên ta không thể
nói dao động nhanh dần đều hay chậm dần đều vì chuyển động nhanh dần đều hay chậm dần đều
Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

-5-


phải có gia tốc a là hằng số, bởi vậy ta chỉ có thể nói dao động nhanh dần (từ biên về cân bằng)
hay chậm dần (từ cân bằng ra biên).
2) Quãng đường đi được và tốc độ trung bình trong 1 chu kì:
* Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A
* Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A nếu vật xuất phát từ VTCB hoặc vị trí biên (tức là
 = 0; /2; )
quãng_đường S
* Tốc độ trung bình v =
=
thời_gian
t
4A 2A 2vmax
trong một chu kì (hay nửa chu kì): v =
=
=
T


x  x x
* Vận tốc trung bình v bằng độ biến thiên li độ trong 1 đơn vị thời gian: v = 2 1 =
t 2  t1 t
 vận tốc trung bình trong một chu kì bằng 0 (không nên nhầm khái niệm tốc độ trung
bình và vận tốc trung bình!)
* Tốc độ tức thời là độ lớn của vận tốc tức thời tại một thời điểm.
* Thời gian vật đi từ VTCB ra biên hoặc từ biên về VTCB luôn là T/4.
3). Trường hợp dao động có phương trình đặc biệt:

* Nếu phương trình dao động có dạng: x = Acos(t + ) + c với c = const thì:
- x là toạ độ, x0 = Acos(t + ) là li độ  li độ cực đại x0max = A là biên độ
- Biên độ là A, tần số góc là , pha ban đầu 
- Toạ độ vị trí cân bằng x = c, toạ độ vị trí biên x =  A + c
- Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0”  vmax = A.ω và amax = A.ω2
v
- Hệ thức độc lập: a = - x0; A  x   
 
2

2

2

2
0

* Nếu phương trình dao động có dạng: x = Acos2(t + ) + c  x = c +

A A
+ cos(2ωt +
2 2

2)
 Biên độ A/2, tần số góc 2, pha ban đầu 2, tọa độ vị trí cân bằng x = c + A/2; tọa độ
biên x = c + A và x = c
* Nếu phương trình dao động có dạng: x = Asin2(t + ) + c
A A
A A
 x = c + - cos(2ωt + 2) x = c + + cos(2t + 2  )

2 2
2 2
 Biên độ A/2, tần số góc 2, pha ban đầu 2  , tọa độ vị trí cân bằng x = c + A/2;
tọa độ biên x = c + A và x = c
* Nếu phương trình dao động có dạng: x = a.cos(t + ) + b.sin(t + )
a
b
Đặt cosα =
 sinα =
2
2
2
a b
a  b2
 x = a 2  b 2 {cos.cos(t+)+sin.sin(t+)}
 x = a 2  b 2 cos(t+ - )  Có biên độ A = a 2  b 2 , pha ban đầu ’ =  - α
4) Các hệ thức độc lập với thời gian – đồ thị phụ thuộc:
x
Từ phương trình dao động ta có: x = Acos(t +) cos(t + ) = (1)
A
v
Và: v = x’ = -Asin (t + ) sin(t +) = (2)
A
2

2

x  v 
Bình phương 2 vế (1) và (2) và cộng lại:     
 1

 A   A 
Vậy tương tự ta có các hệ thức độc lập với thời gian:

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

-6-


2

2

2

2

x  v 
2
2
*   
 1  v =   A  x
A

A
  

v
v2
a 2 v2
 A = x2  2 =


=

4 2
A2  x 2
2

2

2

 a   v 
 F   v
 x   v 
  
  
  1 ; 
 1 ; 
*    

 A   vmax 
 amax   vmax 
 Fmax   vmax
* Tìm biên độ A và tần số góc  khi biết (x1, v1); (x2, v2):
v22  v12
v12 .x 22  v22 .x12
=
và A =
v12  v22
x12  x22

2


  1


* a = -2x; F = ma = -m2 x
Từ biểu thức độc lập ta suy ra đồ thị phụ thuộc giữa các đại lượng:
* x, v, a, F đều phụ thuộc thời gian theo đồ thị hình sin.
* Các cặp giá trị {x và v}; {a và v}; {F và v} vuông pha nhau nên phụ thuộc nhau theo
đồ thị hình elip.
* Các cặp giá trị {x và a}; {a và F}; {x và F} phụ thuộc nhau theo đồ thị là đoạn thẳng
qua gốc tọa độ xOy.
II. CON LẮC LÒ XO
1. động năng và thế năng của vật dao động điều hòa biến thiên với tần số góc ω’=2ω,
tần số f’=2f và chu kì T’= T/2
- Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương biên độ dao động.
- Cơ năng của con lắc lò xo không phụ thuộc vào khối lượng vật.
- Cơ năng của con lắc được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát..
- Động năng của vật đạt cực đại khi vật qua VTCB và cực tiểu tại vị trí biên.
- Thế năng của vật đạt cực đại tại vị trí biên. và cực tiểu khi vật qua VTCB.
2. Lực đàn hồi khi vật ở vị trí có li độ x.
a. Tổng quát. Fđh(x) = k.|Δℓ| = K|Δℓ0 ±x|
▪ Dấu (+) khi chiều dương của trục tọa độ hướng
xuống dưới
▪ Dấu (-) khi chiều dương của trục tọa độ hướng lên
trên
▪ Δℓ0 là độ biến dạng của lò xo(tính từ vị trí C) đến
VTCB O.

▪ Δℓ = Δℓ0 ± x là độ biến dạng của lò xo (tính từ vị trí
C đến vị trí có li độ x
▪ x là li độ của vật (được tính từ VTCB O)
b. Lực đàn hồi cực đại và cực tiểu Fđhmax; Fđhmin
 Lực đàn hồi cực đại. Fđhmax = K(Δl + A)
A)
* Lực đàn hồi cực đại khi vật ở vị trí thấp nhất của
quỹ đạo(Biên dưới)
 Lực đàn hồi cực tiểu
▪ Khi A ≥ Δl : Fđhmin =0
* Lực đàn hồi cực tiểu khi vật ở vị trí mà lò xo không biến dạng. Khi đó Δl = 0 → |x| = Δl
▪ Khi A < Δl : Fđhmin = K(Δl - A)
* Đây cũng chính là lực đàn hồi khi vật ở vị trí cao nhất của quỹ đạo.
 CHÚ Ý:
K
g
Khi lò xo treo thẳng đứng thì ở vị trí cân bằng ta luôn có: K.Δl0 = m.g nên ω2 =

m l 0

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

-7-


 0
2
m
 2
 2

k
g

- Khi con lắc lò xo đặt trên mặt sàn nằm ngang thì Δl =0. Khi đó lực đàn hồi cũng chính là lực

(Fkéo về)max = kA  Vật ở vị trí biên
kéo về. Khi đó ta có: Fđh(x) = Fkéo về = k|x|  
(Fkéo về)min = kA  Vật ở vị trí cân bằng O

- Lực tác dụng lên điểm treo cũng chính là lực đàn hồi.
3. Chiều dài của lò xo khi vật ở vị trí có li độ x.
lx = ℓ0 + Δl0 ± x
- Dấu ( + ) khi chiều dương của trục tọa độ hướng xuống dưới
- Dấu ( -) khi chiều dương của trục tọa độ hướng lên trên
- Chiều dài cực đại: lmax = l0 + Δl0 + A
l l
MN
- Chiều dài cực tiểu: lmin = l0 + Δl0 - A  A = max min 
2
2
(MN : chiều dài quĩ đạo)
l  l  A
Chú ý. Khi lò xo nằm ngang thì Δl =0 →  max 0
l max  l 0  A

 T=

III. CON LẮC ĐƠN
1. Hệ thức độc lập:
* a = - ω2s = - ω2αl

2
v
2
2
* S0  s   

2

v
 v 
*        2 
l
 l 
2
0

2

2

s
2. Lực kéo về : F= -mgsinα = - mgα = -mg = - mω2s
l
+ Đkiện dđ điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α0 << 1 rad hay S0 << l
+ Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng.
+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng.
3. Chu kì và sự thay đổi chiều dài: Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l1 có chu kỳ T1,
con lắc đơn chiều dài l2 có chu kỳ T2, con lắc đơn chiều dài l1 + l2 có chu kỳ T3, con lắc đơn
chiều dài l1 - l2 (l1 >l2) có chu kỳ T4. Ta có:
T32  T12  T22 và T42  T12  T22

4. Tỉ số số dao động, chu kì tần số và chiều dài: Trong cùng thời gian con lắc có chiều dài l1
thực hiện được n1 dao động, con lắc l2 thực hiện được n2 dao động.
n
T f
l
Ta có: n1T1 = n2T2 hay 1  2  1  2
n 2 T1 f2
l1
C. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH

CHU KÌ CON LẮC LÒ XO – CẮT GHÉP LÒ XO
I. Bài toán liên quan chu kì dao động:
t 1 2
m
- Chu kì dao động của con lắc lò xo: T = = =
= 2
k
T  
- Với con lắc lò xo treo thẳng đứng, tại vị trí cân bằng của lò xo ta có mg = k.l 
 =

2
= 2 =
T

k
=
m

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

g k
=
l m

g
l

-8-


Với k là độ cứng của lò xo (N/m); m: khối lượng vật nặng (kg); Δℓ: độ biến dạng của lò xo (m)
m
l t
1 2
T= =
= 2
= 2
= (t là khoảng thời gian vật thực hiện N dao động)
k
g N
 
m
Chú ý: Từ công thức: T = 2
ta rút ra nhận xét:
k
* Chu kì dao động chỉ phụ thuộc vào đặc tính cấu tạo của hệ (k và m) và khơng phụ thuộc vào
kích thích ban đầu (Tức là không phụ thuộc vào A). Còn biên độ dao động thì phụ thuộc vào
cường độ kích ban đầu.
* Trong mọi hệ quy chiếu chu kì dao động của moät con lắc lò xo đều không thay đổi.Tức là có

mang con lắc lò xo vào thang máy, lên mặt trăng, trong điện-từ trường hay ngoài không gian
không có trọng lượng thì con lắc lò xo đều có chu kì không thay đổi, đây cũng là nguyên lý ‘cân”
phi hành gia.
Bài toán 1: Cho con lắc lò xo có độ cứng k. Khi gắn vật m1 con lắc dao động với chu kì T1, khi
gắn vật m2 nó dao động với chu kì T2. Tính chu kì dao động của con lắc khi gắn cả hai vật.
Bài làm
m1
2 m
Khi gắn vật m1 ta có: T1 = 2
 T12  2  1
k
k
m2
2 m
Khi gắn vật m2 ta có: T2= 2
 T12  2  2
k
k
Khi gắn cả 2 vật ta có: T = 2

m1  m2
...  T = T12  T22
k

Trường hợp tổng quát có n vật gắn vào lò xo thì: T = T12  T22  T32  ...  Tn2
II. Ghép - cắt lò xo.
1. Xét n lò xo ghép nối tiếp:
Lực đàn hồi của mỗi lò xo là: F = F1 = F2 =...= Fn (1)
Độ biến dạng của cả hệ là: Δℓ = Δℓ1 + Δℓ2 +...+ Δℓn (2)
Mà: F = k.Δℓ = k1Δℓ1 = k2Δℓ2 =...= knΔℓn

F
F
F
F
 l1  1 ; l 2  2 ;..., ln  n ; l 
k1
k2
kn
k
F
F F1 F2
Thế vào (2) ta được:
 
 ...  n
k k1 k 2
kn
1 1 1
1
Từ (1)     ... 
k k1 k 2
kn
2. Xét n lò xo ghép song song:
Lực đàn hồi của hệ lò xo là: F = F1 + F2 +...+ Fn (1)
Độ biến dạng của cả hệ là: Δℓ = Δℓ1 = Δℓ2 =...= Δℓn (2)
(1) => kΔℓ= k1Δℓ1 + k2Δℓ2 +...+ knΔℓn
Từ (2) suy ra: k = k1 + k2 +...+ kn
3. Lò xo ghép đối xứng như hình vẽ:
Ta có: k = k1 + k2.
Với n lò xo ghép đối xứng: k = k1 + k2 +...+ kn
4. Cắt lò xo: Cắt lò xo có chiều dài tự nhiên ℓ0 (độ cứng

k0) thành hai lò xo có chiều dài lần lượt ℓ1 (độ cứng k1) và ℓ2 (độ cứng k2). Với: k0 =

ES
l0

Trong đó: E: suất Young (N/m2); S: tiết diện ngang (m2)
 E.S = k0.l0 = k1.l1 = k2.l2 =… = kn.ln
Bài toán 2: Hai lò xo có độ cứng lần lượt là k1, k2. Treo cùng một vật nặng lần lượt vào lò xo
thì chu kì dao động tự do là T1 và T2.
Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

-9-


a). Nối hai lò xo với nhau thành một lò xo có độ dài bằng tổng độ dài của hai lò xo (ghép nối
tiếp). Tính chu kì dao động khi treo vật vào lò xo ghép này. Biết rằng độ cứng k của lò xo ghép
kk
được tính bởi: k = 1 2
k1  k 2
b). Ghép song song hai lò xo. Tính chu kì dao động khi treo vật vào lò xo ghép này. Biết rằng
độ cứng K của hệ lò xo ghép được tính bởi: k = k1 + k2.
Bài làm
2
2  m
m
Ta có: T = 2
k =
k
T2
2

2


2  m
2  m
 k1 =
và k2 =
T22
T12

2 2 m . 2 2 m

2

a). Khi 2 lò xo ghép nối tiếp: k =

2  m = T12
T22
k1k 2

k1  k 2
T2
2 2 m  2 2 m
T12
T22

 T2 = T21 +T22 hay T =

T12  T22

 Tương tự nếu có n lò xo ghép nối tiếp thì T = T12  T22  T32  ...  Tn2
b). Khi 2 lò xo ghép song song: k = k1 + k2 

2 2 m = 2 2 m + 2 2 m
2

2
1

T
T
 Tương tự với trường hợp n lò xo ghép song song:
1
1
1
1
 2  2  ...  2
2
T
T1 T2
Tn

2
2

T



1

1
1
 2  2
2
T
T1 T2

III. Con lắc lò xo trên mặt phẳng nghiêng:
1. Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng.
   
Khi vật ở vị trí cân bằng ta có: P + F + N = 0 (0)

Chiếu (1) lên phương của F ta có:
F - P = 0  k.Δℓ = m.g.cos  k.Δℓ = m.g.cos (vì  +  = 900)  l =
1 2
= 2
2. Chu kì dao động: T = =
 

m
= 2
k

m.g.sin
k

t
l
=
gsin N

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG: x = Acos(.t + )
a
k
g
N
2
1. Tìm :  = = 2 = max 

 2
T
vmax
m
l
t
2. Tìm A:
Đề cho
Phương pháp
Chú ý
- Buông nhẹ, thả  v = 0, x
=A
v2
a2 v2
- Tọa độ x, ứng với vận tốc v A= x 2  2 =
 2 (1)
4
- Kéo ra đoạn x, truyền vận




tốc  v  0.
Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 10 -


Đề cho

Phương pháp
2
- Vận tốc ở VTCB hay gia A = vmax vmax

tốc ở vị trí biên

a max
L l l
A =  max min
- Chiều dài quỹ đạo L
2
2
- Hợp lực tác dụng lên vật
Fph max = k.A
Fph max
- Cho năng lượng E

A=

2E
2E


k
Fph max

Chú ý

ℓmax; ℓmin là độ dài lớn nhất,
nhỏ nhất của lò xo ℓ
- Fph max là lực phục hồi cực
đại (N)
- Đơn vị: k (N/m); A (m)
Đơn vị: E (J)

Đưa vật đến vị trí lò xo
không biến dạng và truyền
cho vật vận tốc v thì dùng
công thức (1) với |x| = Δℓ
3. Tìm : Dựa vào điều kiện ban đầu (t = 0). Xét vật dao động điều hòa với pt: x = Acos(.t +
) thì:
* t = 0 vật qua VTCB theo chiều dương ta có  = -/2
* t = 0 vật qua VTCB theo chiều âm ta có  = /2
* t = 0 vật có li độ x = A ta có  = 0
* t = 0 vật có li độ x = -A ta có  = .
Chú ý: Với phương trình dao động: x = Acos(.t +), khi tìm  ta thường giải ra 2 đáp án  <
0 hoặc  > 0. Nếu bài cho v > 0 thì chọn  < 0, nếu bài cho v < 0 thì chọn  > 0
- Đưa vật đến lò xo không
A = Δℓ
biến dạng rồi thả nhẹ

CHIỀU DÀI LÒ XO - LỰC ĐÀN HỒI - ĐIỀU KIỆN VẬT KHÔNG RỜI NHAU
I. Trường hợp con lắc lò xo treo thẳng đứng (hình vẽ):

1. Chiều dài lò xo.
Vị trí có li độ x bất kì: ℓ = l0 + Δℓ + x
 ℓ max = l0 + Δℓ + A
ℓ min = l0 + Δℓ - A
ℓCB = l0 + Δℓ =lmin+lmaxvà biên độ A = lmax–lmin
2
2
(ℓ0 là chiều dài tự nhiên của con lắc lò xo, là chiều dài khi chưa treo
vật)
2. Lực đàn hồi là lực căng hay lực nén của lò xò:
(xét trục Ox hướng xuống):
Fđh = -k.(Δℓ + x) có độ lớn Fđh = k.|Δℓ + x|
* Fđh cân bằng = k.Δℓ; Fđh max = k.(Δℓ + A)
* Fđh min = 0 nếu A ≥ Δℓ khi x = -Δℓ và Fnén max = k.(A - Δℓ)
* Fđh min = k.(Δℓ - A) nếu A ≤ Δℓ lò xo luôn bị giãn trong suốt
quá trình dao động.
* Khi A > Δℓ thì thời gian lò xo bị nén và giãn trong một chu kì T là:
2
2
l
tnén =
; tgiãn = T - Tnén = Tvới cos =
A


(Chú ý: Với A < Δℓ thì lò xo luôn bị giãn)
+) Lực mà lò xo tác dụng lên điểm treo và lực mà lò xo tác dụng vào vật có độ lớn = lực đàn
hồi.
Chú ý: Khi con lắc lò xo treo thẳng đứng như hình vẽ nhưng trục Ox có chiều dương hướng
lên thì: Fđh = k|Δℓ - x|, độ dài: ℓ= ℓ0 + Δℓ– x

3. Lực phục hồi là hợp lực tác dụng vào vật hay lực kéo về, có xu hướng đưa vật về VTCB và là
lực gây ra dao động cho vật, lực này biến thiên điều hòa cùng tần số với dao động của vật và tỷ
lệ nhưng trái dấu với li độ.
Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 11 -


Fph = - k.x = ma = -mω2.x có độ lớn Fph = k|x|
 Fph max = k.A = Fmax-Fmin(khi vật ở vị trí biên) và Fph min = 0 (khi vật qua VTCB)
2
 Khi nâng hay kéo vật đến vị trí cách vị trí cân bằng đoạn A rồi thả nhẹ thì lực nâng hay kéo
ban đầu đó chính bằng Fph max = k.A
* Một vật chịu tác dụng của hợp lực có biểu thức F = -kx thì vật đó luôn dao động điều hòa.
II. Trường hợp con lắc lò xo nằm ngang (Δℓ = 0):
1. Chiều dài lò xo.
Vị trí có li độ x bất kì: ℓ = ℓ0 + x; ℓmax = ℓ0 + A; ℓ min = ℓ0 - A
2. Lực đàn hồi bằng lực phục hồi:
Fph = Fđh = k.|x| Fph max = Fđh max = k.A và Fph min = Fđh min = 0
III. Điều kiện vật không rời hoặc trượt trên nhau:
1. Vật m1 được đặt trên vật m2 dao động điều hoà theo phương thẳng
đứng. m1 (Hình 1). Để m1 luôn nằm yên trên m2 trong quá trình dao
động thì:
m  m2 g  A  g  m1  m2 g  m  Ak  m
A 1
max
1
2
k
k

g
2
2. Vật m1 và m2 được gắn vào hai đầu lò xo đặt thẳng đứng, m1 dao
động điều m2 hoà (Hình 2). Để m2 nằm yên trên mặt sàn trong quá
trình m1 dao động thì:
m  m2 g  A  m1  m2 g
A 1
max
k
k
3. Vật m1 đặt trên vật m2 dao động điều hoà theo phương ngang. Hệ
số ma sát giữa m1 và m2 là µ, bỏ qua ma sát giữa m2 và mặt sàn. (Hình 3). Để m1 không trượt
trên m2 trong quá trình dao động thì:
m  m2 g hoặc m  Ak  m
g
A  2   1
1
2

k
g
NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CỦA CON LẮC LÒ XO
1. Năng lượng trong dao động điều hòa: Xét 1 con lắc lò xo gồm vật treo nhỏ có khối lượng m
và độ cứng lò xo là k. Phương trình dao động x = Acos(t + ) và biểu thức vận tốc là v = Asin(t + ). Khi đó năng lượng dao động của con lắc lò xo gồm thế năng đàn hồi (bỏ qua thế
năng hấp dẫn) và động năng chuyển động. Chọn mốc thế năng đàn hồi ở vị trí cân bằng của vật
ta có:
1
1
1
a. Thế năng đàn hồi: Et = kx 2  kA2 cos 2 (t   )  Etmax = kA2 (Khi vật ở vị trí biên x

2
2
2
=  A)
2
2
kA2
kA2  1  cos(2t  2 ) 
 Et 
1  cos(2t  2 )   kA  kA cos(2t  2 )

  Et 
2 
2
4
4
4

Gọi ’, T’, f’, ’ lần lượt là tần số góc, chu kì, pha ban đầu của thế năng ta có:
T
’ = 2; T’ = ; f’ = 2f, ’ = 2
2
1
k
b. Động năng chuyển động: Eđ = mv2 với v = -Asin(t+) và 2 =
2
m
m 2 A2
kA2
2

 Eđ 
sin (t   ) 
sin 2 (t   )
2
2
1 2
1
1
 Eđ max = mvmax = mv ( A ) 2 = kA2 (Khi vật qua VTCB)
2
2
2
Dùng phương pháp hạ bậc ta có:

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 12 -


kA 2 kA 2
kA2  1  cos(2t  2 )  kA 2 kA2


cos(
2

t

2


)


cos( ' t  2   )


4
4
4
4
2 
2

Gọi ’, T’, f’, ’ lần lượt là tần số góc, chu kì, pha ban đầu của động năng ta có:
T
’ = 2; T’ = ; f’ = 2f, ’ = 2    Eđ ngược pha với Et
2
c. Cơ năng E: Là năng lượng cơ học của vật nó bao gồm tổng của động năng và thế năng.
kA2
kA2
kA2
kA2
cos 2 (t   ) 
sin 2 (t   ) =
cos2 (t   )  sin 2 (t   ) =
E = E t + Eđ =
2
2
2
2

1 2
1 2
1
Vậy: Et = kx ; Eđ = mv = E - Et = k ( A2  x 2 )
2
2
2
1 2 1 2
1
1 2
1
E = Et + Eđ = kx + mv = Et max = kA2 = Eđ max = mvmax
= m 2 A 2
2
2
2
2
2
Từ các ý trên ta có thể kết luận sau:
* Trong quá trình dao của con lắc luôn có sự biến đổi năng lượng qua lại giữa động năng và thế
năng nhưng tổng của chúng tức cơ năng luôn bảo toàn v tỉ lệ với A2.
(Đơn vị k là N/m, m là kg, của A, x là mét, của vận tốc là m/s thì đơn vị E là jun).
1
* Từ công thức E = kA2 ta thấy cơ năng chỉ phụ thuộc vào độ cứng lò xo (đặc tính của hệ) và
2
biên độ (cường độ kích thích ban đầu) mà không phụ thuộc vào khối lượng vật treo.
* Trong dao động điều hòa của vật Eđ và Et biến thiên tuần hoàn nhưng ngược pha nhau với
chu kì bằng nửa chu kì dao động của vật và tần số bằng 2 lần tần số dao động của vật.
* Trong dao động điều hòa của vật Eđ và Et biến thiên tuần hoàn quanh giá trị trung bình
1 2

1
kA và luôn có giá trị dương (biến thiên từ giá trị 0 đến E = kA2 ).
4
2
* Thời gian liên tiếp để động năng bằng thế năng trong 1 chu kì là t0 = T/4 (T là chu kì dao
động của vật)
* Thời điểm đầu tiên để động năng bằng thế năng khi vật xuất phát từ VTCB hoặc vị trí biên là
t0 = T/8
* Thời gian liên tiếp để động năng (hoặc thế năng) đạt cực đại là T/2.
Bài toán 1: Vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(t + ) với A,  là những hằng số
đã biết. Tìm vị trí của vật mà tại đó động năng bằng n lần thế năng (với n > 0 ).
Bài làm
2
kA
Ta có: Cơ năng E = Et + Eđ =
2
kA2
kx 2
Theo bài nra: Eđ = n.Et  E = Et + Eđ = Et + n.Et = (n+1)Et 
=(n+1)
x=
2
2
A

n 1
A
Vậy tại những vị trí x = 
ta có động năng bằng n lần thế năng.
n 1

Fph max
a
v
Tương tự khi Eđ = n.Et ta cũng có tỉ lệ về độ lớn: a = max ; Fph =
; v = max
n 1
1
n 1
1
n
Bài toán 2 (Bài toán kích thích dao động bằng va chạm): Vật m gắn
vào lò xo có phương ngang và m đang đứng yên, ta cho vật m0 có
vận tốc v0 va chạm với m theo phương của lò xo thì:
a. Nếu m đang đứng yên ở vị trí cân bằng thì vận tốc của m
ngay sau va chạm là vật tốc dao động cực đại vmax của m:
 Eđ 



Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên



- 13 -


* Nếu va chạm đàn hồi: vm = vmax =

m m
2m0 v0

; vật m0 có vận tốc sau va chạm v0,  0
v0
m0  m
m  m0

 biên độ dao động của m sau va chạm là: A =

vm



k
m

với ω =

* Nếu va chạm mềm và 2 vật dính liền sau va chạm thì vận tốc hệ (m + m0): v = vmax =
vm

m0 v0
m0  m

k

m  m0
b. Nếu m đang ở vị trí biên độ A thì vận tốc của m ngay sau va chạm là vm và biên độ của m
sau va chạm là A’:
m m
2m0 v0
* Nếu va chạm đàn hồi: vm = vmax =

; vật m0 có vận tốc sau va chạm v0,  0
v0
m0  m
m  m0

 biên độ dao động của hệ (m + m0) sau va chạm là: A =

2

 biên độ dao động của m sau va chạm là: A’ = A 

vm2



2

với ω =

k
m

với ω =

* Nếu va chạm mềm và 2 vật dính liền sau va chạm thì vận tốc hệ (m + m0): v = vmax =
v2

m0 v0
m0  m

k
m  m0

Bài toán 3: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k = 80 N/m. Một đầu
của lò xo được cố định, kéo m khỏi vị trí O (vị trí lò xo có độ dài
bằng độ dài tự nhiên) đoạn 10cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho
vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là  =
0,1 (g = 10m/s2).
a. Tìm chiều dài quãng đường mà vật đi được cho tới lúc dùng.
b. Chứng minh độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.
c. Tìm số dao động vật thực hiện được đến lúc dừng lại.
d. Tính thời gian dao động của vật.
e. Vật dừng lại tại vị trí cách vị trí O đoạn xa nhất ℓmax bằng bao nhiêu?
f. Tìm tốc độ lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình dao động?
Bài giải
a. Chiều dài quãng đường đo được khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến lúc dừng lại. Ở
kA2
80.0,12
1 2

 2m
đây cơ năng bằng công cản E = kA = Fma sát.S = .mg.S  S =
2
2mg 1.0,1.0,2.10
b. Độ giảm biên độ: Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở vị trí biên có độ lớn A1 sau 1/2 chu kì
vật đến vị trí biên có độ lớn A2. Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đường (A1
+ A2) là (A1 - A2)
1
1
2mg

 kA12  kA22  .m.g.( A1  A2 )  A1 - A2 =
2
2
k
2mg
Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A3 thì A2 - A3 =
k
4.mg
Vậy độ giảm biên độ trong cả chu kì là: A =
= const
k
c. Số dao động thực hiện được đến lúc dừng lại:
4.0,1.0,2.10
Tính ΔA =
= 0,01m = 1 cm
80
A
Vậy số dao động thực hiện được đến lúc dừng lại N =
= 10 chu kỳ
A

 biên độ dao động của hệ (m + m0) sau va chạm là: A’ =

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

A2 

2

với ω2 =

- 14 -


d. Thời gian dao động là: t = N.T = 3,14 (s).
e. Vật dừng lại tại vị trí cách vị trí cân bằng O đoạn xa nhất Δℓmax bằng:
mg
mg
Vật dừng lại khi Fđàn hồi  Fma sát  k.Δℓ  .mg  Δℓ 
 Δℓmax=
= 2,5 mm
k
k
f. Tốc độ lớn nhất mà vật đạt được là lúc hợp lực tác dụng lên vật bằng 0. Nếu vật dao động điều
hòa thì tốc độ lớn nhất mà vật đạt được là khi vật qua vị trí cân bằng, nhưng trong trường hợp
này vì có lực cản nên tốc độ lớn nhất mà vật đạt được là thời điểm đầu tiên hợp lực tác dụng lên
vật bằng 0 (thời điểm đầu tiên Fđàn hồi = Fma sát).
mg
= 2,5 mm
Vị trí đó có tọa độ x = Δℓmax thỏa: Fđàn hồi = Fma sát k.Δℓmax = .mg  Δℓmax=
k
2
kl max
mv 2
kA2
 max 
 mg ( A  l ) [Với μ.m.g(A - Δℓ) là công cản]
Cơ năng còn lại: E =
2
2

2
2
2
 kA 2  klmax
 2 mg ( A  lmax ) = 1,95(m/s) (khi không có ma sát thì vmax = A.ω =
 mvmax
2m/s)
Vậy từ bài toán trên ta có kết luận:
* Một con lắc lò xo dao động tắt dần với biên độ A, hệ số ma sát khô µ. Quãng đường vật đi
kA2
kA2
 2 A2
(Nếu bài toán cho lực cản thì Fcản = µ.m.g)
được đến lúc dừng lại là: S =


2mg 2 Fcan
2 g
4.mg
* Một vật dao động tắt dần thì độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là: ΔA =
k
4F
4 g
= can  2 =const
k

A
Ak
Ak
2 A

 Fcan =
* Số dao động thực hiện được đến lúc dừng lại là: N =



A 4mg 4 Fcan 4g
Ak
4N
AkT
AkT A
* Thời gian từ lúc bắt đầu dao động đến lúc dừng lại là: Δt = N.T =


4mg 4 Fcan 2 g
mg
* Vật dừng lại tại vị trí cách vị trí O đoạn xa nhất Δℓ max bằng: Δℓmax =
k
* Tốc độ lớn nhất của vật trong quá trình dao động thỏa mãn:
2
2
mvmax  kA 2  klmax
 2 mg ( A  lmax )
XÁC ĐỊNH THỜI GIAN - QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Chuyển động tròn và dao động điều hòa
- Xét vật M chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính R
=A. Thời điểm ban đầu 0M tạo với phương ngang 1 góc . Sau thời gian
t vật tạo với phương ngang 1 góc (t +, với  là vận tốc góc.
- Hình chiếu của M trên trục Ox là M’, vị trí M’ trên Ox được xác định
bởi công thức: x =Acos(t+) là một dao động điều hòa.
- Vậy dao động điều hòa là hình chiếu của chuyển động tròn đều lên

một trục thuộc mặt phẳng chứa đường tròn đó.
* Bảng tương quan giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn
đều:
Chuyển động tròn đều (O, R = A)
Dao động điều hòa x = Acos(t+)
A là biên độ
R = A là bán kính
 là tần số góc
 là tốc độ góc
(t+) là pha dao động
(t+) là tọa độ góc
vmax = A là tốc độ cực đại
v = R. = A. là tốc độ dài
Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 15 -


amax = A2 là gia tốc cực đại
aht = A2 = R2 là gia tốc hướng tâm
Fphmax = mA2 là hợp lực cực đại tác dụng lên Fphmax = mA2 là lực hướng tâm tác dụng lên
vật
vật
Chú ý:
S
* Tốc độ trung bình v = . Trong đó S là quãng đường vật đi được trong thời gian t.
t
x  x1 x
* Vận tốc trung bình v bằng độ biến thiên li độ trong 1 đơn vị thời gian: v  2
=

t 2  t1 t
* Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A
* Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A nếu vật xuất phát từ VTCB hoặc vị trí biên (tức là  =
0;  /2; )
* Thời gian vật đi từ VTCB ra biên hoặc từ biên về VTCB luôn là T/4.
* Đường tròn lượng giác - Thời gian chuyển động và quãng đường tương ứng:

2. Một số bài toán liên quan:
Bài toán 1: Tìm quãng đường dài nhất S vật đi được trong thời gian t với 0 < t < T/2 (hoặc
thời gian ngắn nhất t để vật đi được S với 0 < S < 2A hoặc tốc độ trung bình lớn nhất v của
vật trong thời gian t).
Bài làm.
Ta dựa vào tính chất của dao động là vật chuyển động càng nhanh
khi càng gần vị trí cân bằng cho nên quãng đường dài nhất S vật đi
được trong thời gian t với 0 < t < T/2 phải đối xứng qua vị trí cân
bằng (hình vẽ)

Tính  = T  tính  = 2A.sin
2
S
tốc độ trung bình v =
t
 Trong trường hợp này vận tốc trung bình có độ lớn bằng tốc độ.
Bài toán 2: Tìm quãng đường ngắn nhất S vật đi được trong thời gian t với 0 < t < T/2 (hoặc
thời gian dài nhất t để vật đi được S với 0 < S < 2A hoặc tốc độ trung bình nhỏ nhất v của
vật trong thời gian t)
Bài làm.
Ta dựa vào tính chất của dao động là vật chuyển động càng chậm
khi càng gần vị trí biên cho nên quãng đường ngắn nhất S vật đi
được trong thời giant với 0 < t < T/2 phải đối xứng qua vị trí biên

(hình vẽ)
Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 16 -



Tính  = .t tính S = 2A.(1 - cos )
2
S
 tốc độ trung bình v =
t
 Trong trường hợp này vận tốc trung bình v = 0.
Bài toán 3: Tìm quãng đường dài nhất S vật đi được trong thời gian t với t > T/2 (hoặc thời
gian ngắn nhất t để vật đi được S với S > 2A hoặc tốc độ trung bình lớn nhất v của vật trong
thời gian t)
Bài làm.
Tính β = .t  phân tích β = n. +  (với 0 <  < 
S

 tính S = 2A.sin
 S = n.2A + S  v =
2
t
S
 Trong trường hợp này vận tốc trung bình có độ lớn v =
t
Bài toán 4: Tìm quãng đường ngắn nhất S vật đi được trong thời gian t với t > T/2 (hoặc thời
gian dài nhất t để vật đi được S với S > 2A hoặc tốc độ trung bình nhỏ nhất v của vật trong thời
gian t)

Bài làm.
Tính β = .t  phân tích β = n. +  (với 0 <  < )

 tính S = 2A.(1 - cos ) S = n.2A + S
2
S
 tốc độ trung bình v =
t
 Trong trường hợp này vận tốc trung bình v = 0
Bài toán 5: Vật m dao động điều hòa có phương trình x = Acos(t
+ ) với chu kì dao động là T. Gọi gia tốc a0 có giá trị nào đó (với
a
a0 < amax). Đặt cos = 0 (với 0 <  < ) khi đó:
amax
* Gọi t là thời gian trong một chu kì để gia tốc a có độ lớn
lớn hơn giá trị a0.
4 4
=
.T
Thì: t =

2
* Gọi t là thời gian trong một chu kì để gia tốc a có độ lớn nhỏ hơn giá trị a0.
4
4
Thì: t =T =T.T

2
* Gọi t là thời gian trong một chu kì để gia tốc a có giá trị đại số lớn hơn giá trị a0.
2 2

=
.T
Thì: t =

2
* Gọi t là thời gian trong một chu kì để gia tốc a có giá trị đại số nhỏ hơn giá trị a0.
2 2
Thì: t = T =
.T

2
Vậy: Sẽ làm tương tự nếu bài toán yêu cầu tìm thời gian trong một chu kì T để vật dao động có
giá trị {x, v, F} lớn hơn hay nhỏ hơn giá trị {x0, v0, F0} nào đó.
Bài toán 6: Tìm thời gian vật đên vị trí x0 lần thứ n kể từ thời điểm ban đầu:
a. Tìm thời gian tn vật đến vị trí x0 lần thứ n kể từ thời điểm ban đầu (không xét chiều chuyển
động):
n 1
T  t 1 trong đó t1 là thời gian vật đi từ thời điểm đầu đến vị trí x0
* Nếu n là số lẻ thì t n 
2
Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 17 -


lần thứ 1; * Nếu n là số chẵn thì t n 

n2
T  t 2 trong đó t2 là thời gian vật đi từ thời điểm đầu
2

đến vị trí x0 lần thứ 2
b. Tìm thời gian tn vật đến vị trí x0 lần thứ n theo chiều dương (hoặc chiều âm) kể từ thời điểm
ban đầu: thì tn = (n-1)T + t1. Trong đó t1 là thời gian vật đi từ thời điểm đầu đến vị trí x0 lần thứ
1.
c. Tìm thời gian tn vật cách vị trí cân bằng một đoạn |x| lần thứ n kể từ thời điểm ban đầu:
n
m
Trước tiên ta phân tích số n theo hệ thức n = k.4 + m hoặc = k + ; trong đó m = {1, 2, 3,
4
4
4}
Ví dụ: với n = 2014 thì có k = 503 và m =2 hoặc n = 2016 thì có k = 503 và m = 4
Khi đó thời gian tn vật cách vị trí cân bằng một đoạn |x| lần thứ n kể từ thời điểm ban đầu và tn
= k.T + tm; trong đó tm là thời gian vật cách vị trí cân bằng đoạn |x| lần thứ m với m = {1, 2, 3, 4}
Vậy: Sẽ làm tương tự nếu bài toán yêu cầu tìm thời gian tn để vật dao động có {v, a, F}
đạt giá trị {vi, ai, Fi} nào đó lần thứ n.
CHU KÌ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ĐƠN
g
l
2
1 
1. Công thức:  =
; T = = 2
; = =
T

2
l
g

M
Trong đó: g = G 2 là gia tốc trọng trường (m/s2); ℓ là chiều dài dây treo (m)
R
Chú ý:
* T tăng con lắc dao động chậm lại, T giảm con lắc dao động nhanh hơn
* Chu kì dao động của con lắc đơn chỉ phụ thuộc vào vị trí địa lí và độ dài dây treo mà
không phụ thuộc vào khối lượng vật nặng, biên độ góc dao động của con lắc và cách kích thích
dao động.
2. Nguyên nhân làm thay đổi chu kì:
- Do ℓ biến thiên (tăng hoặc giảm chiều dài). Do g biến thiên (thay đổi vị trí đặt con lắc)
3. Các trường hợp riêng:
T
l
T
g2
- Nếu g không đổi: 1  1
- Nếu ℓ không đổi: 1 
T2
l2
T2
g1
4. Bài toán: Con lắc đơn có độ dài l1 dao động với chu kì T1, con lắc đơn có độ dài l2 dao động
với chu kì T2 (l1 >l2). Hỏi con lắc đơn có độ dài ℓ = l1  l2 dao động với chu kì bao nhiêu?
Bài làm
l l 
l l 
l
l l
Ta có T = 2
 2 1 2  T 2  (2 ) 2  1 2   (2 ) 2  1  2   T12  T22 =

g
g
 g 
g g
5. Bài toán trùng phùng: Hai con lắc đơn ℓ1, ℓ2 đặt gần nhau dao động bé với chu kì lần lượt là
T1 và T2 trên hai mặt phẳng song song. Thời điểm ban đầu cả 2 con lắc đi qua vị trí cân bằng
theo cùng 1 chiều. Tìm thời điểm cả hai đi qua vị trí cân bằng theo cùng chiều lần thứ n (không
kể thời điểm ban đầu)
Gọi t là thời gian xảy ra hiện tượng trùng, trong thời gian t con lắc ℓ1 thực hiện được N1 dao
động, con lắc ℓ2 thực hiện được N2 dao động: t = N1.T1 = N2.T2
N 2 T1
l
a a.n
a
Lập tỉ lệ:
(Trong đó là phân số tối giản, n là số lần trùng

 1  
b
N1 T2
l 2 b b.n
phương)
N  a.n
 2
 t = a.n.T2 =b.n.T1;
N1  b.n
Ví dụ: lần đầu trùng phương (n =1) và t = a.T2 = b.T1 =
Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

T1T2

T1  T2

- 18 -


CHU KÌ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC TRONG HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH
HOẶC CON LẮC ĐƠN TÍCH ĐIỆN ĐẶT TRONG ĐIỆN TRƯỜNG.
1. Con lắc đơn trong hệ quy chiếu không quán tính:

Hệ quy chiếu không quán tính là hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc a . Vật có khối lượng m


đặt trong hệ quy chiếu không quán tính sẽ chịu tác dụng của lực quán tính Fqt  ma lực này tỉ

lệ và ngược chiều với a
a. Con lắc đơn trong thang máy
- Trường hợp con lắc treo trong thang máy chuyển động đi lên chậm dần đều hoặc đi xuống
l
nhanh dần đều với gia tốc a thì: g’= |g – a|  T’ = 2
g a
- Trường hợp con lắc treo trong thang máy chuyển động đi lên nhanh dần đều hoặc đi xuống
l
chậm dần đều với gia tốc a thì: g’= (g + a)  T’ = 2
ga
VD: Gọi T là chu kì con lắc khi thang máy đứng yên, T1, T2, lần lượt là chu kì con lắc khi thang
2T 2 .T 2
máy đi lên nhanh dần và xuống chậm dần với cùng gia tốc a thì ta có T 2  2 1 22
T1  T2
b. Con lắc đơn trong xe chuyển động có gia tốc theo phương ngang
* Trường hợp con treo trong xe ôtô chuyển động biến đổi đều (nhanh dần

l
hoặc chậm dần đều) với gia tốc a thì: g ' = g 2  a 2  T’= 2
<
g 2  a2
T
* Vị trí cân bằng mới của con lắc là O’, lệch phương so với phương thẳng
Fqt a
g

đứng một góc : với cos =
và tan =

g’
P g
l
l. cos
 2
 T . cos
g
g'
2. Con lắc đơn nhiễm điện trong điện trường có phương ngang.




q  0, E  F
a. Lực điện trường F  q.E với: 


q  0, E  F


( E : vecto cường độ điện trường (V/m; q: điện tích (C))
U
b. Trường hợp tụ điện phẳng: E =
d
với: U là hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện
d là khoảng cách giữa hai bản
c. Trọng lực hiệu dụng. Gia tốc hiệu dụng
- Gọi trọng lực hiệu dụng là P’, và có gia tốc hiệu dụng g’ khi
đó:
 

  


q.E

 PF  

 q.E
 g  a (1) với F  q.E  m.a  a 
 Độ lớn a =
P'  P  F  mg '  g ' 
m
m
m
- Chiếu (1) lên phương sợi dây ta có:
+ Gia tốc hiệu dụng:
T '  2

2
l
l. cos
g
 qE 
2
2
2
 2
 T . cos
g’=
= g a  g 
  T '  2
g'
g
cos
 m

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 19 -


+ Vị trí cân bằng mới của con lắc là O’, lệch phương so với phương thẳng đứng một góc :
F a
tan = =
P g
3. Con lắc đơn nhiễm điện trong điện trường có phương thẳng đứng.





q  0, E  F
a. Lực điện trường F  q.E với: 


q  0, E  F

( E : vecto cường độ điện trường (V/m; q: điện tích (C))
- Gọi trọng lực hiệu dụng là P’, và có gia tốc hiệu dụng g’ khi đó:
 

  


q.E

 PF  

 q.E
P'  P  F  mg '  g ' 
 g  a (1) với F  q.E  m.a  a 
=> Độ lớn a =
m
m
m
* Trường hợp lực điện trường hướng lên (ngược chiều trọng lực): g’= |g – a|  T’ =
l
2
g a

VD: Gọi T là chu kì con lắc không có điện trường, T1, T2, lần lượt là chu kì con lắc điện trường
2T 2 .T 2
hướng lên và hướng xuống với cùng cường độ thì ta có T 2  2 1 22
T1  T2
4. Con lắc đơn dao động trong lưu chất
Gọi D0 là khối lượng riêng của lưu chất (chất lỏng hay chất khí), D là khối lượng riêng của vật
1
đó khi chu kì dao động của vật trong lưu chất là T = 2
 D 
g 1  0 
D

5. Treo một con lắc đơn trong một toa xe chuyển động xuống dốc nghiêng góc  so với
phương ngang, hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đường là . Khi đó chu kì dao động nhỏ của
l
con lắc là:
T = 2
g . cos  1   2
CHU KÌ CON LẮC BIẾN THIÊN DO THAY ĐỔI ĐỘ SÂU – ĐỘ CAO – NHIỆT ĐỘ.
Bài toán 1: Một con lắc đồng hồ chạy đúng ở mặt đất với chu kì T nơi có gia tốc trọng trường g.
Người ta đưa con lắc này lên độ cao h nơi có nhiệt độ không đổi so với ở mặt đất. Hỏi con lắc
chạy nhanh hay chậm? Nhanh, chậm bao nhiêu trong 1 chu kì, trong 1 khoảng thời gian t, thời
gian con lắc đã chỉ sai t’, thời gian sai khác là bao nhiêu?
Bài giải
M
l
Chu kì của con lắc ở mặt đất là: T = 2
với g = G 2
R
g

Chu kì của con lắc ở độ cao h là T’: T’ = 2
Lập tỷ lệ:

T'

T

M
l
với g h = G
( R  h) 2
gh

g
Rh
h

 1   1  T' > T  Đồng hồ chạy chậm hơn so với ở mặt
gh
R
R

đất
T'
h
T'
h
T 'T h
T h
h

 1  1  
 
  T  .T
T
R
T
R
T
R
T
R
R
h
 Thời gian đồng hồ chạy sai trong 1 chu kì là: T = R.T

- Từ biểu thức

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 20 -


- Số dao động mà con lắc đồng hồ chạy sai trong thời gian t là N: N =

t
T’

h
T
- Thời gian mà đồng hồ chạy sai đã chỉ là t’: t’ = N.T = t.T’ = t(1- R)

- Thời gian bị sai khác là:

 


T
h
h
1  
1  
  t 1  (1  )   t.
t = t - t’ = t - N.T = t  t  t 1    t 1 
h 
T'  T'  
R 
R

  1 
T
R

 


Bài toán 2: Một con lắc đồng hồ chạy đúng ở mặt đất với chu kì T nơi có gia tốc trọng trường g.
Người ta đưa con lắc này xuống giếng mỏ có độ sâu h nơi có nhiệt độ không đổi so với ở mặt
đất. Hỏi con lắc chạy nhanh hay chậm? Nhanh, chậm bao nhiêu trong 1 chu kì, trong 1 khoảng
thời gian t, thời gian con lắc đã chỉ sai t’ và thời gian sai khác là bao nhiêu? Coi trái đất có dạng
hình cầu đồng chất và có khối lượng riêng là D.
Bài giải

4
- Khối lượng trái đất là: M = V.D = .R3.D với R là bán kính
3
trái đất
- Khối lượng phần trái đất tính từ độ sâu h đến tâm là:
4
M’ = V’.D = .(R-h)3.D
3
M
- Gia tốc trọng trường trên mặt đất là: g = G 2
R
M'
- Gia tốc trọng trường ở độ sâu h là: g’ = G
R  h2
- Gọi T là chu kì của con lắc trên mặt đất là: T = 2

l
g

- Gọi T’ là chu kì của con lắc ở độ sâu h là T’: T’ = 2

h
 1
 1  T' > T  Đồng hồ chạy chậm hơn
h
2R
1
R
T'
h

T'
h
T 'T
h
T
h
h
 1
 1 




 T 
.T
T
2R
T
2R
T
2R
T
2R
2R

- Ta có:

T'

T

g

g'

R

Rh

l
g'

1

h
 Thời gian chạy chậm hơn trong 1 chu kì là: T = 2R.T
 Số dao động mà con lắc đồng hồ chạy sai trong thời gian t là N: N = t/T’
T
h
 Thời gian mà đồng hồ chạy sai đã chỉ là t’: t' = N.T = t.T’ = t(1 - 2R)
 Thời gian bị sai khác là:

 


T
h 
h
1  
1  

  t 1  (1 
t = t - t’ = t  t  t 1    t 1 
)   t.
h  
T'  T'  
2R 
2R

  1

2R 
 T  

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 21 -


Bài toán 3: Ở nhiệt độ t1 con lắc đồng hộ dao động với chu kì T1, ở nhiệt độ t2 con lắc dao động
với chu kì T2. Cho g không đổi. Hỏi khi ở nhiệt độ t2 con lắc đồng hồ chạy nhanh hay chậm?
Nhanh, chậm bao nhiêu trong 1 chu kì, trong 1 khoảng thời gian , thời gian con lắc đã chỉ sai ’
và thời gian sai khác là bao nhiêu? Biết dây treo đồng hồ bằng kim loại có hệ số giãn nở vì nhiệt
là .
Bài giải
l
- Chu kì của con lắc ở nhiệt độ t1 là T1 = 2 1 với ℓ1 = ℓ0(1+.t1)
g
- Chu kì của con lắc ở nhiệt độ t2 là T2 = 2

l2

với ℓ2 = ℓ0(1+.t2)
g




T2
l
1   .t 2
 2 
 1  .t 2  .t1  1  .(t 2  t1 ) (phép biến đổi có sử dụng công
T1
l1 1   .t1
2
2
2
thức gần đúng)
T
T
 Nếu t2 > t1 thì 2 >1 đồng hồ chạy chậm hơn và Nếu t2 < t1 thì 2 <1 đồng hồ chạy nhanh
T1
T1
hơn.
T
T
T T 


* Từ biểu thức: 2  1  .(t 2  t1 )  2  1  .(t 2  t1 )  2 1  .(t 2  t1 )
T1

2
T1
2
T1
2
T 

 t 2  t1  T  t 2  t1 .T1 cho T = |T2-T1|

T
2
2

Lập tỷ lệ:

 Thời gian đồng hồ chạy sai trong 1 chu kì là: T 


2

t 2  t1 .T1

* Số dao động mà con lắc đồng hồ chạy sai trong thời gian  là N: N 


T2

Thời gian mà đồng hồ chạy sai đã chỉ là ’:

 '  N .T1   .

1
1
 

.
  .1  t 2  t1 

T2
 2

1  t 2  t1
T1
2


Thời gian bị sai khác là:  = | - ’| = . 2 |t2 - t1|
Bài toán 4: Một con lắc đồng hồ chạy ở mặt đất nơi có gia tốc trọng trường g và nhiệt độ t1.
Người ta đưa con lắc này lên độ cao h nơi có nhiệt độ t2. Hỏi con lắc chạy nhanh hay chậm?
Nhanh, chậm bao nhiêu trong 1 chu kì, trong 1 khoảng thời gian . thời gian con lắc đã chỉ sai ’
là bao nhiêu?
Bài giải
l
- Chu kì của con lắc ở mặt đất có nhiệt độ t1 là T1: T1 = 2 1 với ℓ1 = ℓ0(1+.t1) và g =
g
M
G 2
R
l
- Chu kì của con lắc ở độ cao h có nhiệt độ t2 là T2: T2 = 2 2 với ℓ2 = ℓ0(1+.t2) và g =

gh

M
( R  h) 2
Lập tỷ lệ (các phép biến đổi có sử dụng công thức gần đúng):
G

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 22 -


T2
g

T1
gh

l 2 R  h 1  t 2 
h  
 

  1   1  .t 2  .t1  
l1
R
1  t1  R  2
2 

h  
h 



 1   1  .(t 2  t1 )   1   .(t 2  t1 )
R 2
 R  2

h 

+ Nếu   .(t 2  t1 ) > 0 thì đồng hồ chạy chậm
R 2

h 

+ Nếu   .(t 2  t1 ) < 0 thì đồng hồ chạy nhanh
R 2

Từ biểu thức:
T2
h 
T
h 
T T
h 
 1   .( t 2  t1 )  2  1   .( t 2  t 1 )  2 1   .( t 2  t 1 )
T1
R 2
T1
R 2
T1
R 2



T
h 
h 
  .(t 2  t1 )  T   .(t 2  t1 ) .T1 cho T = |T2-T1|
T1
R 2
R 2

 Thời gian đồng hồ chạy sai trong 1 chu kì là: T 

h 
 .(t 2  t1 ) .T1
R 2

 Số dao động mà con lắc đồng hồ chạy sai trong thời gian  là N: N =


N2

 Thời gian mà đồng hồ chạy sai đã chỉ là ’:
 h 
T
1
1

 '  NT1   1   .  
  1    (t 2  t1 ) 

T2
T2

h 

 R 2
1    (t 2  t1 ) 
T1

R 2
 Thời gian bị sai khác là:  = | - ’| = 

h 
 (t 2  t1 )
R 2

Chú ý: Khi đưa con lắc lên cao mà chu kỳ không đổi  T = 0 là vì ở trên cao nhiệt độ giảm,
khi đó:
h 
h 
2h
T = 0   (t 2  t1 ) =0   (t1  t 2 )  t1  t 2 
R 2
R 2
R.
Tóm lại: với các bài toán 1, 2, 3, 4 nếu độ biến thiên chu kì là rất nhỏ thì ta có thể áp dụng
d dT dl dg dt 0 dh sâu dh cao

 




công thức sau đây:

T 2l 2g
2
2R
2R
0
Với dτ, dT, dℓ, dg, dt , dhsâu, dhcao là độ biến thiên rất nhỏ của thời gian (thời gian sai khác),
chu kì, chiều dài, gia tốc trọng trường, độ sâu, độ cao. Nếu đại lượng nào không đổi thì cho độ
biến thiên dx = 0
NĂNG LƯỢNG - VẬN TỐC - LỰC CĂNG DÂY
I. Con lắc đơn dao động tuần hoàn (0 > 100)
1. Năng lượng: Xét một con lắc dây có độ dài ℓ, vật nặng
có khối lượng m, dao động với biên độ góc 0.
Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng O.
- Thế năng: Et = mghB = mgℓ(1 - cos)
- Năng lượng: E =Et max= mghmax= mgℓ(1 - cos0)
(Năng lượng bằng thế năng cực đại ở biên)
mv 2
- Động năng: Eđ = E – Et =
2
 Eđ = mgℓ(cos - cos0)

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 23 -

2
mvmax
= Et max = mgℓ(1 - cos0)
2
(Năng lượng bằng động năng cực đại ở VTCB)
2. Vận tốc: Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:
1
E = EB = EA  mv 2  mghB  mghA  v 2  2 g (hA  hB )
2
h  l  l cos 0
Với  A
 v  2 gl (cos  cos 0 ) (1)


h
l
l
cos

 B
 vmax  2 gl (1  cos 0 ) tại VTCB và vmin = 0 tại vị trí biên

3. Lực căng T của dây treo:

 
Xét tại vị trí B, hợp lực tác dụng lên quả nặng là lực hướng tâm: Fht  T  P (2)

v2
v2
Chiếu (2) lên hướng T ta được: Fht = maht = m =T - Pcos  T = m +m.g.cos

R
R
Thế R = ℓ vào (1) và (3) ta được T = mg(3cos - 2cos0)
 Tmin =m.g.cos0 < P (tại vị trí biên) và Tmax = mg(3 - 2cos0) > P (Tại vị trí cân bằng) 
Tmin II. Khi 0  100 (hoặc khi 0  0,175 rad) hay khi con lắc đơn dao động điều hòa cos  1 2
2
m.g .l. 2
m.g.l. 02 m.g.x02

- Thế năng Et 
và năng lượng E 
2
2
2l
(x0 = ℓ.0 là biên độ dao động của con lắc)
x0
0
- Con lắc đơn dao động điều hòa khi Eđ = n.Et ta có: x  
hay   
n 1
n 1

 Eđ max = E =





- Vận tốc: v  g.l.  02   2  v   0 g .l

 2 
3 

- Lực căng: T  m.g 1   02   2   Tmax =m.g(1+ 20) và Tmin = m.g 1  0 
2 
2 


Chú ý: trong các phép tính này  phải dùng đơn vị radian: Gọi  là số đo bằng độ của 1 góc,
 .
a là số đo tính bằng radian tương ứng với  độ khi đó ta có phép biến đổi sau: a =
(rad);
180
180.a

(độ)



III. Bài toán liên quan đến hiện tượng va chạm:
- Va chạm mềm là hiện tượng sau va chạm các vật bị biến dạng hoặc dính liền nhau, trong
hiện tượng va chạm mềm chỉ có động lượng bảo toàn còn động năng thì không bảo toàn do động
năng bị chuyển hóa thành năng lượng gây biến dạng. Gọi v1, v2, v3 ’, v4 ’ là vận tốc của 2 vật m1,
m2 trước và sau va chạm.




Ta có: m1v1  m2 v2  m1v1 'm2 v2 '
-Va chạm đàn hồi là hiện tượng sau va chạm không có sự bị biến dạng các vật, trong va chạm

đàn hồi cả động lượng và động năng của hệ được bảo toàn.




Ta có: m1v1  m2 v2  m1v1 'm2 v2 ' và m1v12  m2 v22  m1v1, 2  m2 v2, 2
- Nếu va chạm đàn hồi xuyên tâm thì ngay sau va chạm các vật vẫn giữ nguyên phương
chuyển động tức là: m1 v1 +m2v2 = m1v1’ + m1v2’ và m1v12  m2 v22  m1v1, 2  m2 v2, 2 , giải 2 phương
trình này ta được:
2m2 v2  (m1  m2 )v1
2m1v1  (m2  m1 )v2
và v' 2 
v'1 
m1  m2
m1  m2
Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 24 -


 Trong trường hợp va chạm đàn hồi xuyên tâm và m1 = m2, nếu trước va chạm m1 chuyển
động với tốc độ v1 còn m2 đứng yên (v2 = 0) dùng công thức trên ta
có v3 = 0 và v4 = v1
IV. Bài toán dao động tắt dần của con lắc đơn: Một con lắc đơn
vật treo khối lượng có là m, dây treo có chiều dài ℓ, biên độ góc
ban đầu là α0 (α0 coi là rất nhỏ) dao động tắt dần do tác dụng lực
cản Fcản không đổi, Fcản luôn có chiều ngược chiều chuyển động
của vật. Hãy tìm:
a. Độ giảm biên độ của con lắc sau mỗi chu kỳ, sau N chu kì?
b. Hỏi sau bao nhiêu chu kì dao động con lắc sẽ dừng hẳn?

c. Thời gian từ lúc bắt đầu dao động đến lúc dừng lại?
d. Quãng đường đi được đến lúc dừng lại?
Bài làm
a. Độ giảm biên độ của con lắc sau mỗi chu kỳ và sau N chu kì?
Gọi Fc là lực cản tác dụng vào quả cầu con lắc khi con lắc dao động tắt dần và S là quãng
đường mà vật đi được sau một nửa chu kỳ đầu tiên. Gọi biên độ góc còn lại sau một nửa chu kỳ
đầu tiên là α1.
Ta có S = ℓ(α0 + α1).
1
1
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có: mgl 02  mgl12  Fc .S  Fc l ( 0  1 )
2
2
2
F
1
 mgl ( 02  12 )  Fc l ( 0  1 )  1   0  1  c (1) với α1 là độ giảm biên độ sau
2
m.g
nửa chu kì
Tương tự gọi α2 là biên độ và α2 là độ giảm biên sau một nửa chu kỳ tiếp theo (hay là biên độ
ở cuối chu kỳ đầu tiên).
1
1
mgl12  mgl 22  Fc .l (1   2 )
Ta
có:

2
2

2F
1
mgl (12   22 )  Fc l ( 0  1 )   2  1   2  c (2)
2
m.g
Từ (1) và (2) ta có độ giảm biên độ góc sau mỗi chu kì là không đổi và bằng α = α1 + α2 =
4F
α0 - α2 = c
m.g
4lFc
 Độ giảm biên độ dài sau mỗi chu kì là không đổi và bằng S = α. ℓ =
m.g

 Công của lực cản trong mỗi chu kì dao động là: W = α.l.mg(α0 ) (bằng độ giảm
2
năng lượng)
4.N .Fc
- Độ giảm biên độ dao động của con lắc sau N chu kì là: N.Δα =
m.g
b. Hỏi sau bao nhiêu chu kì dao động con lắc sẽ dừng hẳn và số lần con lắc qua VTCB?
4.N .Fc
= 0 hay số chu kì vật dao động được
- Nếu sau N chu kì mà vật dừng lại thì: N.Δα =
m.g
m.g. 0
là: N =
4.Fc
1

(Trong đó E0 = mgα20 là cơ năng ban đầu của con lắc, W = α.l.mg(α0 ) là công của lực

2
2
cản trong mỗi chu kì).
- Do một chu kì vật đi qua VTCB hai lần nên số lần vật đi qua VTCB cho đến lúc dừng lại là:

Lưu Hải An - THPT Ngô Sĩ Liên

- 25 -