Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

Luận văn tốt nghiệp 2011

MỞ ĐẦU
Trong hai thập kỉ cuối thế kỉ XX, tiến bộ của vật lý chất rắn cả lý thuyết và
thực nghiệm được đặc trưng bởi việc chuyển đối tượng nghiên cứu chính từ các
khối tinh thể sang các màng mỏng và các cấu trúc thấp chiều (các hố lượng tử
(quantum wells), các cấu trúc siêu mạng (supelattices), các dây lượng tử (quantum
wires), các chấm lượng tử (quantum dots)…). Trong đó hệ một chiều đã và đang
được nghiên cứu và đã có được những kết quả có ứng dụng thực tế.
Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều. Dây lượng tử có thể
được chế tạo nhờ phương pháp epytaxi chùm phân tử (MBE), hoặc kết tủa hóa hữu
cơ kim loại MOCVD, hoặc sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng
trường (bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai
chiều)[1,2].
Chúng ta biết rằng trong hệ một chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn
hai chiều, vì vậy chúng chỉ chuyển động tự do theo một chiều. Sự giam giữ của điện
tử trong hệ này làm thay đổi đáng kể độ linh động của chúng [7]. Điều này dẫn đến
xuất hiện nhiều hiện tượng mới lạ liên quan đến việc giảm số chiều của hệ. Các hiệu
ứng này rất khác so với trong bán dẫn khối thông thường.
Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên các tính chất vật lý của bán dẫn nói
chung. Khi chuyển từ bán dẫn khối sang hệ thấp chiều [2 chiều (2D), 1 chiều (1D),
không chiều (0D)], hay chuyển từ hệ điện tử 3D sang 2D cũng như từ 2D sang 1D
đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều tính chất vật
lý trong đó có tính chất quang của vật liệu do hiệu ứng giảm kích thước gây lên đã
làm thay đổi một loạt các tính chất vật lý. Chính những sự thay đổi vể tính chất vật
lý cả vể định tính và định lượng do hiệu ứng giảm kích thước đã giúp tạo ra các
thiết bị, linh kiện điện tử hiện đại, công nghệ cao có tính chất cách mạng về khoa
học, đồng thời là cơ sơ tạo ra các linh kiện điện tử thế hệ mới siêu nhỏ, đa năng,
thông minh như hiện nay và trong tương lai.

Nguyễn Thị Quyên

1


Luận văn tốt nghiệp 2011
Trong hệ bán dẫn thấp chiều, hiệu ứng giảm kích thước làm biến đổi các đại
lượng vật lý trong đó có làm thay đổi tốc độ thay đổi phonon âm (gia tăng phonon,
hấp thụ phonon), bởi trường sóng điện từ do tương tác điện tử - phonon gây ra.
Hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối đã được nghiên
cứu [4,5,9,11,13,14,19,27], các công trình này đã xét các cấu trúc bán dẫn suy biến
[13,14] và bán dẫn không suy biến [4,5,9,11,27]…. Trong hố lượng tử, bài toán
cũng đã được giải quyết [6,21].
Trong hệ một chiều, hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam
cầm đã được nghiên cứu [8, 24]. Nhưng hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm)
giam cầm trong dây lượng tử thì cả thực nghiệm và bài toán vật lý (lý thuyết) vẫn
còn bỏ ngỏ. Trong luận văn này, tôi nghiên cứu bài toán vật lý (lý thuyết) còn bỏ
ngỏ đó, đó là: Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.
• Phương pháp nghiên cứu:
Để giải quyết những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương
pháp lý thuyết khác nhau. Để tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam
cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn từ góc độ lý thuyết cổ điển
ta sử dụng phương trình động cổ điển Boltzmann…còn từ góc độ lượng tử ta sử
dụng phương pháp hàm Green, phương trình động lượng tử, phương pháp tích phân
phiếm hàm… Khi nghiên cứu và tính toán ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật
hố thế cao vô hạn, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử.
• Mục đích nghiên cứu:
Tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ
laser trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn trên cơ sơ phương trình

động lượng tử cho phonon, thu được biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm, phân tích sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm vào vectơ sóng của phonon (qz) , tần số (Ω), cường độ (E0)
của trường bức xạ laser, nhiệt độ (T) của hệ và các tham số đặc trưng cho dây lượng

Nguyễn Thị Quyên

2


Luận văn tốt nghiệp 2011
tử (Lx, Ly), chỉ số đặc trưng cho sự giam cầm phonon (m, k). Tốc độ gia tăng sóng
âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc không tuyến tính vào các đại lượng vật lý
trên. Tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl và so sánh kết quả
chính thu được với tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử hình
chữ nhật hố thế cao vô hạn nhưng chưa kể đến giam cầm phonon.
• Cấu trúc luận văn:
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn được chia làm ba chương:
Chương 1: Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối và
trong dây lượng tử (nhưng không kể đến giam cầm phonon).
Chương 2: Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của
điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn và phương trình động
lượng tử cho phonon giam cầm trong dây lượng tử.
Chương 3:Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên tốc độ gia tăng sóng
âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.
Trong đó, chương 2 và chương 3 là hai chương chứa đựng kết quả chính của
luận văn. Các kết quả đều được tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử
GaAs/GaAsAl.
Kết quả thu được của luận văn đã báo cáo ở hội nghị Vật lý lý thuyết toàn
quốc tháng 8 năm 2011 (Quy Nhơn/2011) và gửi đăng ở Tạp chí Nghiên cứu Khoa

học và Công nghệ Quân sự, viện Khoa học và Công nghệ Quân sự.

Nguyễn Thị Quyên

3


Luận văn tốt nghiệp 2011

CHƯƠNG 1.
LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) TRONG
BÁN DẪN KHỐI VÀ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ
(NHƯNG KHÔNG KỂ ĐẾN GIAM CẦM PHONON).
1.1. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối.
1.1.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn
khối khi có mặt trường sóng điện từ.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt trường
bức xạ laser E = E 0 sin(Ωt) :
2

1 
+
+
+
e  +

a
b b a a + b
H(t) = ∑


q q q + ∑Cq p+q p (b−q
p 2m  p −c A(t) ap p +q ∑ωp,q

q

)

(1.1)

Trong đó ap+ và ap ( bq+ và bq ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của
điện tử (phonon);

p và ( p + q) là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ;

p (q) là vectơ sóng của điện tử (phonon) trong bán dẫn khối;
2

e

1
p−
là năng lượng điện tử;
2m 
c A(t)


ωq là năng lượng của phonon âm; c là vận tốc ánh sáng; m và e tương ứng

là khối lượng và điện tích của điện tử;
Cq là hằng số tương tác điện tử - phonon;

A(t) là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi

biểu thức:


1 d A(t ) 
−
= E 0 sin(Ωt)

c dt

Nguyễn Thị Quyên

4

(1.2)


Luận văn tốt nghiệp 2011
Từ Hamilton (1.1) ta có:

∂

i
bq∂t 2m


t

t



,

2


1
=  bq , H (t ) 
=

∑ ω

+



k

e 
∑p  p −c A(t )  bq

bq , bkkb

+

∑



+
k

a a 

p p  +

t

+

 a
 + b
C k t
bq , ap+
+ k p (b−+k k )  .
t

p ,k

(1.3)

Thực hiện phép biến đổi, và chú ý các hệ thức toán tử, ta có:

= ω q bq

∂
i
bq

∂t

+ C q

∑a

p+ − q p


t



t


p

a

t

(1.4)

Ta thiết lập phương trình cho a p − q p a
+

:

t

 ap−qap , H(t) = 1 ∑ p'− e A(t)  2a+p−qap , ap+ 'ap '  +
∂t   t 2m p' c    t

∂
a
i ap−q 
p =
+

+

t
t
a p , a p'+ +k p' (b−+k +bk ) .(1.5)
+∑hωk  ap+−qpa ,bk bk  +∑ Cka  ap+−q
 t p ',k

t




k



t

+

t

t

eqthức (1.5), ta thu được:
Thực
đổi đại số toán tử biểu
∂ hiện biến

i a +p − q p
∂t mc
a a

t

+

= ε p −p ε− q −



 A(t ) a p+− q p


∑C

(b−+k + bk ) −a +p + k a p (b−+k + bk )


k

k

{aa }

Từ (1.6) ta tìm được:

a 
a
+





+



t

+
p p −k

{

= −i ∫t dt1∑Ck a a


t

t

 

+

−∞

k

  p

e 
1

t

+



t

 mc ∫t
× exp i(ε p − ε p−q )(t1 − t) − i qA(t2 )dt2 



Nguyễn Thị Quyên



5

(1.6)


p−q p t

(1.7)

p p−k

(b


Luận văn tốt nghiệp 2011
Thay (1.7) vào (1.4), ta có:
∂ 
+iω
∂t bq q q =

∑C


{

t

∫ dt ∑ a

C

q k
p,k

+p
t     p−k

1
k −∞

(b−+k +bk ) ap++k
ap (b−+k +bk )
t

t

}×

t

e 1


×expi(ε p
−ε p−q )(t1 −t) −i qA(t2)dt2 

mc ∫t

(1.8)

+



Trong gần đúng bậc hai của Cq , ta có thể bỏ qua b− q t , và sẽ thu được:
1

∂
bq
∂t

t

+ iωq bq

t

=C

∑ (n

2

q

p p ,k



t

− n p − q ) ∫ dt1 bq
−∞

t1

×
t


e 
× exp i(ε p
− ε p − q )(t1 − t ) − i qA(t2 )dt2 

 mc ∫t
1

(1.9)

Với:




cE
= cos(Ω
t 0

A(t 2 ) = 0−∫cE
sin( Ω t)dt
2 2
2 )
Ω

(1.10)

Thay (1.10) vào (1.9) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi:
∞

exp( ± iz sinϕ )=

∫

J n ( z ) exp( ± inϕ )

n=-∞

J n ( z) là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có :

∂
∂t


t

t

) − il Ω− q )(t1

× exp {i (ε p− ε − t p

+ iω q

q

bq b     (    −nn p×
= Ct1 q ∑

p

t + isΩ t}

1

t

p−q

∑J

) ∫ dt1 bq

−∞

+∞
l



l , s = −∞

 (1.11)

 eE 0 q   eE 0 q 

2 J s 
 m Ω   m Ω 2

Phương trình (1.11) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong
bán dấn khối [3]
1.1.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp
hấp thụ một photon).

Nguyễn Thị Quyên

6


Luận văn tốt nghiệp 2011
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
+∞

 B q ( ω ) = ∫

−∞

1
 b q =


t
2π


b q

e iωdtt

t

+∞

− iω t

∫

−∞

∂
bq =t −iω bq
∂t

B q ( ω ) e d ω
(1.12)

t

Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có

−iω b

+ iω b





t


q

qt


t1

=C

2


∑ (n



p




 eE0 q  eE0 q 
× ∑ J l  J s   exp i (ε p
l , s = −∞
 mΩ 2   mΩ 2
+∞

{

t

− nq

p − q

q p p −q

)

∫ dt

1

−∞

 −
)(t
1 ε

×

bq

}

) − ilΩ
t−+ tisΩt

1

(1.13)

Hay viết dưới dạng khác:
1
− iω
2π

+∞

+∞
− iω t

1
B (ω ) e d ω + iω
∫− ∞
− ∞∫ B q (ω ) 2
eπ d ω =

+∞
 eE 0 q   eE 0 q 
 − n

= C q ∑ ( n p p−q ) ∑ Jl   Js   ×
p
l , s = −∞
 mΩ
 2  2 m Ω
+∞

t

×

1

∫ d t∫ 2π

−∞

∑(n

p

−∞

∫

−∞

B q (ω ) e d ω e x p {i ( ε

− n J  J  )×

p  p l − qs

+∞

1
2π

×



− iω t

1

= Cq

− iω t
q


q

∑

)( t1

+∞

l , s = −∞

t1 + is Ω t}


p

−p ε− 
q

− t ) − il Ω


 eE 0 q   eE 0 q



mΩ



2

B q (ω ) e − iω t − il Ω t + ílΩ t
i (ε p
− ε p − q − l Ω − ω − iδ )

2

mΩ

dω

Trong đó: δ ( x) là hàm Delta-Dirac.
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
+∞

∫ B (ω )e

q

− iω t − il Ω t + ísΩ t
q

−∞

Nguyễn Thị Quyên

+∞

d ω =
−∞

∫ B [ω + ( s − l )Ω ] e
7

− iω t

dω

Luận văn tốt nghiệp 2011
Nên:
1
− iω
2π
= C q ∑ ( n p p − q ) ∑
p

×

1
2π

+∞

1
B q ( ω ) e d ω + iω
2 π− ∞∫ B q ( ω ) e d ω
∫− ∞

+∞
 eE 0 q   eE 0 q 
 − n
Jl   Js   ×
l , s = −∞
 mΩ
 2  2 m Ω
B q [ω + ( s − l ) Ω

+∞

∫

−∞

+∞
− iω t

− iω t
q

] e − iω t

dω

i ( ε p
− ε p − q − l Ω − ω − iδ )

(1.14)

Từ phương trình (1.14) ta có:

n p
− np−q

ω)=
− iω B (ω ) +q qiω Bq2 (∑
C
×
q

i(ε
− ε − l Ω − ω − iδ )

eE
0
q


eE 0 q 

+∞
×∑
J l  J s   Bq [ω + ( s − l )Ω ]
 mΩ 2   mΩ 2
p p p−q

(1.15)

l , s = −∞


eE0
mΩ 2


Từ (1.15) đặt a =

n − n p −q
− ε − lΩ − ω − iδ )

∏(ω ) = ∑ (ε

,

p
pq
p
p −q



;δ → +0

(1.16)

Ta sẽ có:

q
q
q

(ω − ω )B (ω) = C

2



∑ J ( aq )J ( aq ) ∏(ω + lΩ)B [ω + (s − l)Ω]
+∞

l

l ,s =−∞



q

s

(1.17)

q

Nhận xét rằng trong phương trình (1.17) các số hạng với l ≠ s bên vế phải sẽ
cho đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với l = s .
Vậy có thể đặt l=s trong công thức (1.17) và thu được phương trình tán sắc:

q
q
q

(ω − ω ) B ( ω ) − C

2



∑ J ( aq )∏ (ω + lΩ ) = 0

+∞

l = −∞

2
l

(1.18)



q

Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:


α (q) = − Im(ω)
= −π Cq

∑ J ( aq )∑( n
l

2 +∞ 2


l =−∞ p



)δ (ε



p −q
p
p

−n

− ε p −q − lΩ − ωq

)

Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.19) ta tính hệ


số hấp thụ sóng âm α (q) cho bán dẫn.

Nguyễn Thị Quyên

8

(1.19)


Luận văn tốt nghiệp 2011
Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một
photon, với giả thiết q>>pF; Ω >> ε F , thu được hệ số hấp thụ sóng âm:


 2

λ 2 m 2  eE 0 q   q m Ω   q m Ω 

 θ  pF − −
2 
2q
4πρs mΩ
  2 q 



eE0
mΩ

Trong đó ρ là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm, λ =

PF là xung lượng Fermi của điện tử; θ ( z) lầ hàm có bước nhảy:

θ(z)=

 1, z > 0
 0, z < 0.


Ở điểm q = 2mΩ , α (q) sẽ đổi dấu và với:

2 m Ω sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm (α (q) < 0)

2 m Ω + pF − pF ≤ q ≤

Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi đối số của
 λ
eE 0
hàm Bessel rất nhỏ sao cho aq ≡ Ω < < 1 với λ = m Ω .



Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:
n


p

3/2

 − p2 
2π 
= A exp 
 ; A = n0 

 2 m kT 
 m kT 

(1.20)

Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:
C q

2

=

ξ2 q
V0 2 ρ s

Vói V0 thể tích của tinh thể, thương chọn V0=1;

ξ - hằng số thế biến dạng.
S – vận tốc sóng âm.

ρ - mật độ tinh thể.
Đặt (1.20), (1.21) vào công hức chung (1.19).


Chuyển từ tổng sang tích phân theo p , thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ
sóng âm đối với trường hợp hấp thụ một photon như sau:

Nguyễn Thị Quyên

9

(1.21)


Luận văn tốt nghiệp 2011

1/ 2

2

 n ξ2
α (q ) = 0
     exp ( 2S qωq Ω ) sh 
ρ s  2kT   2Ω  
 2kT 

+

 ωq + Ω     2

2

(1.22)

q4  












S q =

Ở đây :

m
2

K là hằng số Boltzmann;
N0 là mật độ điện tử;
T là nhiệt độ của hệ.
Từ công thức (1.22), trong trường hợp bất đẳng thức ωq >> Ω được thực hiện, ta


có α (q) > 0 và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong vùng sóng


âm thỏa mãn bất đẳng thức ωq << Ω ta có α (q) < 0 và có dạng tường minh sau:

n 0ξ 2  π m 
α(q)=
 

1/ 2

2

sh
 
 

2 2




(1.23)

q4   
+Ω+



Công thức (1.23) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm (α (q) > 0 ) đã chuyển


thành hệ số gia tăng sóng âm (α (q) < 0 ). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm bởi
trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp hấp thụ một
photon [3].


1.1.3. Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng
âm (phonon âm) và điều kiện gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán
dẫn khối.
Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.19) dưới dạng khác:
2

   
l =−∞ p

l



p+q

p

+ exp ( −2 S ω Ω ) sh 





 ωq − Ω 



  exp  − S q

λ
q

q

ω +Ω+ 

 



− ε − lΩ + ω

2kT 4m2

2 q kT
10

Nguyễn Thị Quyên

 λ   Ω
    sh ( 2 S qω q Ω ) ×
 2Ω   2kT
× exp  − S q  ω q



+∞

∑ J (∑aqn) {δ (ε
2




 
4 m2


}

−εplΩωq)−δ(εp−q (1.24)

Đặt ε± = ε p ±q − ε p − lΩ ωq trong trường hợp Ω > 1 , dùng công thức biến đổi:

Luận văn tốt nghiệp 2011

∞

∑

l = −∞

2

λ
J  δ (ε ± − lΩ ) =
Ω

2
l

2

π λ 2 − ε ±2

Ta sẽ thu được:

α ( q ) = C q

2

(

2

)

2

( )

 θ λ 2 − ε + − θ −2λ −
ε
2 2
2 2
∑p n p 

π λ − ε+
− 



(1.25)


eE0
λ=
mΩ

Trong đó:

Sử dụng:


q 2 pq
q2
pz q
ε + = ε p
+ q −p ε
−
lΩ − ωq = + − ωq = + − ωq
2m 2m 2m 2m

q 2 pq
q2
pz q
ε − = ε p
− q −p ε
−
lΩ + ω q = − + ωq = − + ωq
2m 2m 2m 2m
Công thức biến đổi tổng thành tích phân
∞

2π

1
∑p ... = ( 2π ) 3∫0 dθ .dP⊥..P⊥. ∫ dPz ....
−∞
Và xét bán dẫn không suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.22) phương trình sau:


A C q

α(q)=
( 2π )3

2

2π ∞

dθ .

∫ ∫
0

0

∞

 − P⊥2 
 − Pz2 
dP⊥..P⊥. exp  2 mkT
 ∫ dPz exp   ×
2 mkT
 0
 
2

2

 2



 q2
2
zq
 θ  λ −   q 2 + pz q θ− pω
− + ω q   
q  
λ−
 2 m    2 m 2 m

  
  2 m
−
×

2
2
2
2


q
pz q 
 q pz q 
 + − ωq  − + ωq   2 m 2 m
 2 m 2 m





Nguyễn Thị Quyên

11

(1.26)


Luận văn tốt nghiệp 2011

Tiếp theo ta tính tích phân theo Pz, P⊥ của (1.26), ta nhận được:

ξ 2 m .n 0


α(q)=

k T .2 2 ρ s

  q2
 

 exp  −
2 q kT
   
 


m
− 2ω q  + λ 2   ×
  



2

2
m





∞
Γ (
 + 1 / 2 )  λ   λ m  q 2  
× ∑
!
2
q 2

− ω q
l=0


2m 

2
  q2
m + 2 ω q + λ 2   ×
− exp  −

 2 q kT   2 m    


∞

∑

×

!

l=0

 q kT 

2 m

 I   − ω q   −











Γ (  + 1 / 2 )    λ m  q   

 I   + ω q   

2

q 2
2

+ ω q


2m 

 q kT 


2 m 

(1.27)



Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn
bởi trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:

2
mλ 2  1/ 2
 q 2
1/ 2
 ξ 2 n0  m 


m   exp  − 
exp  −  − ω q   ×
α (q ) =
2q 2kT2
2m
2
q
kT




2 ρ s  2 kT 





∞

×∑
l=0

Γ ( + 1 / 2 )  λ   λ m  q 2  
!
 q 2− ω 
q 
 2m
−





kT   q 2
+ ω q
     
2m 



  I  2  − ω q   −
 q kT  2 m 



λmq 2

q kT  2m


 ωq     
− exp     I 2 + ω q   

(1.28)



Từ (1.28) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:









 

   2  I  2  − ωq  >  2 I  2  + ωq 
 q − ωq  2m q kT q   2m  q kT
+ ωq 

 2m 
 2m 


Thì α (q) > 0 ,còn nếu:

Nguyễn Thị Quyên

12


(1.29)



Luận văn tốt nghiệp 2011









  



 
 
 2  I  2  − ωq  <  2  I  2  + ωq 
2m q kT q   2m
 q  

 − ωq 
 + ωq  
 2m 
 2m 





q kT 



(1.30)



Ta có α (q) < 0 và có dạng tường minh như sau:

α (q ) = −

∞

×∑
l=0

1/ 2

 q2
mλ 2 
exp  −
2  exp  −

 2q kT  2m
  2q
 kT

1/ 2

 m

 
2 ρ s  2kT 



Γ ( + 1 / 2)   ωq   λ   λ m  q2
!
 kT






− 2 
 q − ωq  
 2m 


− ωq   ×

2





2

q kT  2m

  q + ωq 
 2m


exp  −    I 2  + ωq   −









 
λmq
I  2  − ω q  
q
kT 
2m

2

(1.31)




Công thức (1.31) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm α (q) > 0 đã


chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm α (q) < 0 . Nghĩa là một lần nữa ta thu nhận
được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường
bức xạ Laser [3]
Vậy: các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối là
ωq << Ω và hệ số gia tăng sóng âm (1.23) trong quá trình hấp thụ một photon, cũng

như các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm trong quá trình hấp thụ nhiều
photon (1.30),(1.31) được thu nhận dưới dạnh giải tích.

1.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử (nhưng
không kể đến giam cầm phonon).
1.2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng tử.
Nguyễn Thị Quyên

13




Luận văn tốt nghiệp 2011

Khi đặt thêm trường ngoài (chẳng hạn trường bức xạ Laser: E = E 0 sin(Ωt) ),
sự tương tác điện tử - phonon được mô tả bằng Hamiltonian sau:

 +

e  + a


bb
aq +b−+q ).
kA(t)
H(t)=∑ εn,l 
an,l,k n,l,k +∑ωq q q + ∑ Cn,l,n',l ' (q) an,l,k+q n',l',k(b
 c
n,l,k
q
n,l,n',l
'

k,q

Trong đó: ε n,l 

(1.32)

 e
k −là A(t

phổ) năng lượng của điện tử trong trường ngoài. an+,l ,k
c 

và an,l ,k ( bq+ và bq ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của điện tử (phonon);


Planck, m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử ; A(t) là thế vectơ
và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu thức:

1 d A(t )
= E 0 sin(Ωt )
c dt

−
C

n , l , n ', l '


( q ) là hằng số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử, được tính

bởi công thức:


C n , l , n ', l ' ( q )= C q I n , l , n ', l ' ( q )
 iqr2 R

 iq r 
Với: I 2, l , n ', l ' ( q ) = n , l , k e n ', l ', k ' = ∫ ψ * ( r , θ )e ψ ( r , θ )dr
n
R0

2
=
C q
2 ρ v sV
Trong đó: V là thể tích chuẩn hóa; ξ là hằng số thế biến dạng; vs là tốc độ sóng
âm, ρ là mật độ tinh thể.
Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon có dạng:

b=q  bq ,=H∑(t ε)n,l 
k −
a
bq ,A(t
a +,l),k
n ,l ,k  +
t
∂t        


c

+ bp
b
q
,
b
p
 + ∑ Cn,l ,n ',l ', ( p) bq , at n+,l ,k + p n ',l ',k a(b−+p + bp ) . t

+∑
ω p 

i


t
t

p

Nguyễn Thị Quyên

n,l ,
k

n
,l ,n ',l '
p ,k

(1.33)

14


Luận văn tốt nghiệp 2011
Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:


∂
=
ω

q q + ∑ Cn,l,n',l ' (−q) an+,l,k−q n',l ',k .
∂t bbq
n,l,n',l ',k
a

i

t

t

Ta thiết lập phương trình cho

a n+, l , k − q n ', l ', k a

t

:

∂t an,l,k −q n',l',k = an+,l,k−q n',l',k, H(t) =
i ∂ +aa
t
t

A(t)
= ∑ εn ,l 
 p− e

a
+l,k−qan',l',k ,a+,l , pan ,l , p  +∑ω a
c

 
j
n l, , p
1

1 1

11

+

∑C

( j) a
 n+,l,k−q
 n',l',k,an+
,l ,na

n1 1 1 1',l '

n1,l,n
',l '
1

(1.34)

t

1 1,l

a
+b

, p+j n1 1',l ', p

t

(b−+j

t
j

) .

 
+a



,b b

+
+
n,l,k −q n',l ',k j j
t

(1.35)

11

p, j

Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:

i

∂t  m c 

an+,l,k−q n',l ',k = εn',l ' (k ) −εn,l (k − q) − * qA(t) an+,l,k−q n',l ',k +
∂
 e 
a                          
t
 a
t
+∑
',k
 Cn,l,n',l ' ( j) (b−+j j ) an+,l,k−q
 n',l ',k−j n+',l ',k−q+j n',l
(1.36)
j
+ ba − a

(

)

a

Để giải phương trình (1.36) trước tiên ta giải phương
trình vi
∂ 
ephân
 thuần nhất:

an+,l,k−q n',l ',k 0= εn',l ' (k) −εn,l (k − q) − * qA(t) an+,l,k−q n',l ',ka
mc
i
a
∂t t 


0

(1.37)

t

tìm nghiệm của phương trình (1.36) bằng phương pháp biến thiên hằng số nghiệm
của phương trình (1.37).
Giải thiết ở t = −∞ hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động:


bq

= an+,l ,k −t = −∞
q an ',l ', k

t = −∞

=0

Ta tìm được nghiệm của phương trình (1.36):

( )

+
−
×
an+,l,k−q n',l ',k = − t
n
a

',l
',k−j
n
a
',l ',k−q+j na ',l ',k
i ∫−∞ ∑j Cn,l ,n',l ' ( j ) (b+−j jb+ ) an,l,k−q
+
a
t

 ie 
 i

×exp  εn',l ' (k ) −εn,l (k − q)(t −t1 ) − * ∫ qA(tt 2 )dt2 dt1



mc t

1

Nguyễn Thị Quyên

15

t1

(1.38)

t


Luận văn tốt nghiệp 2011
Thay phương trình (1.38) vào (1.34), ta được:

∂
∂t

i

t

bq

q

bq

t

−

i


C n ,l ,n ',l ' (−q )Cn ,l ,n ',l ' ( j ) ×

∑

 n,l,n ',l ',
k,j

t

(

+ b
a −a
×∫(b− )a+,lk−qn',+'l,k−qn,l'k

−∞

)

a



(1.39)

t



 i
× exp  ε n ',l ' (k ) − ε n ,l (k − q )  (t − t1 ) −



×
t1

ie 1

* q A(t2 )dt2  dt1
m c ∫t



Vì Cq* = C− q nên C n , l , n ', l ' ( − q ) C n , l , n ', l ' ( q ) = C n , l , n ', l ' ( q )

2

 

Chỉ lấy j = q và trong gần đúng bậc hai theo hằng số tương tác Cq2 , bỏ qua sự đóng
+

góp của b− q .

t

Từ (2.8) ta được:

∂
bq
∂t

i

t

t

×

∫b

q

−∞

t1

=ω bq

q

(a

t

i

−

∑


n ,l , n ',l ', k



2
C n ,l , n ',l ' (− q ) ×

)

+

n ,l , k − q n ',l ', k −j

− an+',l ', k
a − q +j n ',l ', k

a

×
t1

t



i 

× exp  ε n ',l ' (k ) − ε n ,l (k − q )  (t − t1 ) −


ie 1
* q A(t 2 )dt 2  dt1
m c ∫t


(1.40)

+

Kí hiệu hàm phân bố của điện tử là nn,l (k ) = an,l ,k n,l ,ka
Do A(t) =

c
cos ( Ωt ) nên:
Ω

ie ieE0 q tieE
0q
* ∫t q A(t2 2 =
mc
m *Ω
1

Đặt λ =

t





∫

t

t1

)dt

cos(Ω t 2 )dt 2 =

e E 0 q z
m* Ω

( sin(Ωt1 ) − sin(Ωt ) )
(1.41)

Áp dụng công thức:

Nguyễn Thị Quyên

m*Ω 2

16


Luận văn tốt nghiệp 2011

e

± iz sin( Ω t )

+∞

=∑

J s ( z ).e is Ω t

s = −∞

Với J s ( z) là hàm Bessel đối số thực.
Ta được:

{

t
ie 1
)d (t
*
mct




exp  ± ∫ q A (t1 1 ) = exp


±

iλ
Ω

(sin( Ω t1 ) − sin( Ω t ))

=

∞ ∞
λ λ
∑ ∑
J s ( ) J l ( ) exp( ± isΩ t ) exp(
ilΩt ) =
1
s = −∞ l = −∞ Ω Ω

=

λ λ
J s ( ) J l ( ) exp
s ,l = −∞ Ω Ω
∞

}

=

∑
1 i ( 1l − s ) Ω t ± ilΩ (t − t )



Từ (1.40) ta thu được phương trình động lượng tử cho phonon âm trong dây lượng
tử:

∂
bq
∂t
×

t

∞
∑
s,l =−∞

+ iω q bq

t

=−

i
2

2

Cn ,l , n ',l ' (q ) ×

∑

n ,l ,n ',l '

λ λ
J s ( ) J l ( )∑ nn,l k −q −nn ',l '( k ) ×
ΩΩ k 


(

)

(1.42)

t



i

× ∫ exp  ε n ',l ' (k ) − ε n ,l (k − q ) (t − t1) − isΩ
1t + ilΩt  bq
−∞



t1

dt1

Đây là phương trình động lương tử tổng quát cho sóng âm (phonon âm)
trong dây lượng tử [8]. Từ phương trình này, ta tiếp tục biến đổi để thu được biểu
thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử.
1.2.2. Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm).
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
+∞


 B q (ω ) =q∫t −e∞dtb

 bq
 t


=

1

iω t

+∞

(ω ) e d ω
2π ∫− ∞ B

− iω t

q

Nguyễn Thị Quyên

17


Luận văn tốt nghiệp 2011

∂
b q
∂t

= − iω b q

t

(1.43)

 t

Từ phương trình (1.42) và (1.43) ta có
+∞

i
−
2π
1
2

=
×

∫ωB


q

(ω ) e

− iω t
q

+∞

1
2 −∞
π

d ω + iω


−∞


C n ,l , n ', l ' ( q )

∑

2

n , l , n ', l '

∫

Js(

)Jl(

)

−∞

− iω t

B q (ω ) e d ω


∑ n n , l k − q − n n ', l ' ( k ) 
k

(

+∞

t

∞λλ
∑

∫

1

∫

s , l = − ∞  Ω Ω 2 π

)

×
− iω t

−∞

B q (ω ) e d ω ×



 i  × exp  ε n ', l ' ( k ) −
ε n ,l ( k − q ) ( t − t1 ) − is Ω t1 + il Ω t  d t1
 

Do bq

t =−∞

(1.44)



, thêm thừa số eδ t , trong đó: δ → +0

(1.44) được viết lại ở dạng:
+∞

∫ (ω − ω ) B

−i

q

q

−∞

×

1
− iω t
(ω )e d ω =  2

∑

n ,l , n ',l '

2
C n ,l ,n ',l ' ( q ) ×

∞

λ λ
∑
kn −',lq' (−kn) ×
J s ( ) J l ( ) ∑  nn ,l
s ,l = − ∞
 Ω Ω k 


(

+∞

)

t


i

× ∫ B (q (kω −
) ∫ qexp) − εε n ,l n ',l ' ( k ) + l Ω  t  ×



−∞
 
i

×
exp


ε
n ',l ' ( k ) − ε n ,l ( k − q ) − ω − s Ω − i δ  t1  dt1.d ω
 


−∞

(1.45)

Tính tích phân theo dt1 ta có:
+∞

−i
×

∫ (ω − ω ) B
q

−∞

1

− iω t

q

(ω )e d ω =

2

∑

n ,l , n ',l '

2
C n ,l , n ',l ' (q ) ×

∞
λ λ
∑
J
s
(
) J l ( ) ∑  nn,l
nk',l− 'q( −k )n ×
s ,l = −∞

Ω k 

Ω

×

(

∫ B (ω )

+∞


q

−∞

i


Nguyễn Thị Quyên

)

e i ( lΩ −ω − sΩ ) t

 


18

dω

(1.46)


Luận văn tốt nghiệp 2011
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
+∞

∫

+∞

−i(ω+(s−l)Ω)t

B(ω)e

q

∫

dω=

−∞

−∞

B q [ω + ( s − l ) Ω

]e

− iω t

dω

Nên:
+∞

∫ (ω − ω ) B (ω )e

q


q

− iωt

1


dω =

−∞

∞
∑
s,l =−∞

∑

2
,n ,l n ',l '

λ λ
J s ( ) J l ( ) ∑ nn,l n ',lk −q
' ( k−n
)×
Ω
Ω k

(

)

+∞

×

Cn ,l , n ',l ' (q ) ×

∫ B [ω + (s − l )Ω]
q



e − iωt


dω

(1.47)

−∞

Hay:



(ω − ω ) B (ω) = 1 ∑

q


q



2 k

n ,l ,n ',l '

)

k −q −nn ',l ' (k )×



Js( )Jl( )

×∑

Cn ,l ,n ',l ' (q) × ∑ nn,l (



∞

ΩΩ ε n ',l ' (k )−ε n,l (k −q )−ω −sΩ−iδ

s,l =−∞

q ω +( s −l )Ω

Đây là phương trình vô hạn với thành phần Fourier

B 



(1.48)
và không

thể giải được. Giả thiết trường bức xạ laser không ảnh hưởng đến tính chất dao
động của mạng tinh thể (bỏ qua hệ số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn hai)
s=l và lấy ω ≈ ωq , khi đó (1.48) có dạng:

(ω − ω ) =1 ∑
∞ λ


q







2 k
n ,l , n ',l ' 

s = −∞ sΩ ε n ',l ' ( k ) −ε n ,l ( k − q ) −ω − sΩ −iδ

×

∑J( )

2

C n ,l , n ',l ' (q ) × ∑  nn ,l ( k −

)

q − nn ',l ' ( k ) ×

1

(1.49)
Đây là phương trình tán sắc của phonon âm trong dây lượng tử.
Sử dụng công thức:

Nguyễn Thị Quyên

19


Luận văn tốt nghiệp 2011

1

1

=δ
x − x0 − iδ x − x0

+ iπδ ( x − x0 ) với δ → +0

Cho phương trình (1.49) ta được biểu thức cho hệ số hấp thụ sóng âm:



α ( q ) = − Im (ω )
π

∑

=−

 n , l , n ', l '

∞
∑
s =−∞

×

J

 2
C n , l , n ', l ' ( q ) ×



∑ n n ,l k − q − n n ',l ' ( k )  ×
k

(

)

λ 
(
)δ ε n ',l ' ( k ) − ε n ,l ( k − q ) − ω − s Ω .
s
Ω

(

2

(1.50)

)

Đây là biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm trong dây lượng tử [8].
Biểu thức này là chung cho cả khí điện tử suy biến và khí điện tử không suy biến.
1.2.3. Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hấp thụ một photon.
Dưới đây ta sẽ giả thiết khí điện tử không suy biến và tính toán cụ thể cho đối
số của hàm Bessel rất nhỏ (do λ chứa số hạng E0 – trường bức xạ laser là yếu)
e
λ
=
qE0 << 1

m*Ω 2
Ω

Ta có gần đúng:
∞

∑J

2
s

s =−∞

λ
λ
λ λ
+J
=J −21 0 + J122
ΩΩΩΩ

Loại trường hợp s=0 do vi phạm định luật bảo toàn năng lượng.
Theo định nghĩa:

J s ( x) = ∑

s +2i
( −1) i
x

i =0 Γ ( i + 1) Γ ( s + i + 1)  2 

∞

s

J ( x) = J
Và tính chất hàm Bessel: J − s ( x) =s (−1)
s (−x)
Ta có: J

2
−1

λ
λ
+ J 12 Ω
 Ω



2



= 
 2 Ω 

2

2

  2Ω  n,l ,n ',l '


k

((kε)−εn,l (k −q )−ω+Ω
× δ( εn ',l ' 
(k )−εn,l(k −q)−ω−Ω
n ',l+)' δ


Nguyễn Thị Quyên



20

) .

(1.51)


Luận văn tốt nghiệp 2011
Sử dụng:




+ Chọn chiều vecto q trùng với chiều vecto k (trùng với trục của dây).
+ Giả thiết khí điện tử không suy biến, áp dụng phân bố Fermi – Dirac:

nn,l

  1



()

 2k 2

()

 k BT



c

2m





k = exp  − ε n.l k  = exp  −β
n,l 

Trong đó: β = kBT , kB là hằng số Boltzmann.
+ Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân:

∑

L∞
⇒ ∫ dk
2π −∞

k

Với L là chiều dài dây;
+ Sử dụng tính chất của hàm Delta:
1, z > 0

δ(z)=

 0, z < 0 .

Thực hiện tính toán ta thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm đối với
trường hợp hấp thụ một photon như sau:


α(q)=

L m * λ 2 2
C n , l , n∑
', l ' ( q ) Λ n , l , n ', l ' ( q , Ω ) ×
4 5 q Ω 2 n , l , n ', l '

× e x p − β ε n ', l ' −



2 2 q 2


( a +

2

)

Ω2  .
(1.52)

Trong đó:

a=ε

c
n,l

−ε

c
n ',l '

2 q2
;
2 m*
βΩ   ωq + Ω 

+ ω q +


Λ n ,l ,n ',l ' (q , Ω) = e exp  −

+e

Nguyễn Thị Quyên

β ωq

+q2 2  sh 2β   +

β
/ 2 exp 
 β m*Ωa − βΩ   ωq − Ω 
 sh 
q 2
2



21



.
2



(1.53)

*

+ε


Luận văn tốt nghiệp 2011

Từ công thức (1.53) ta thấy, trong trường hợp giới hạn ωq << Ω , ta được:
βωql 2

βωql 2

  β m*Ωa
βΩ   β m*Ωa
βΩ 
− + − exp
−
 
 β m*Ωa
βΩ 
−


(1.54)

Điều kiện xung lương k:

*

2 qq
Thay công thức (1.54) vào (1.52) ta được biểu thức hệ số gia tăng sóng âm (do

α (q) < 0 ) [8]:


α (q) = −
exp

2 



5 2

βωq

 m*βΩ 

2

2



1.2.4. Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hâp thụ nhiều photon.
Xuất phát từ biểu thức (1.50), viết lại nó ở dạng:


α ( q ) = α1 ( q ) − α 2 ( q ).

Trong đó:
∞
n , l , n ', l '



∑(

 × nn',l(k−


s = −∞

2
s

)


k

(1.57)
∞
s = −∞

n , l , n ', l '

×

2
s



∑



k

Λn,l ,n',l ' (q, Ω) = −e sh(βΩ / 2) exp 


sh(βΩ / 2) sh 

= −e
Nguyễn Thị Quyên

22

(1.58)

 

q2q
2   2 2
q2

2

.

q m
m*
k ≥ + 2 ε n,l − ε n',l ' +ωq ± Ω

(

)

Lm*λ 2

βm
2 qΩ ∑,n,l n ',l ' Cn,l ,n ',l ' (q) × exp  −βε nc',l ' − 22q2 ( a +2Ω )2  ×
*

1c c
ωq + (ε n,l − ε n ',l ' )  .
 


sh 
q







∑

2






C n , l , n ', l ' ( q ) ×

∑

(1.55)

J( )×
Ω

q )δ ε n ',l ' ( k ) − ε n ,l ( k − q ) − ω − s Ω

2



∑

J( )×
C n , l , n ', l ' ( q ) × ∑

Ω

n n ', l ' ( k )δ ε (n ',l ' ( k ) − ε n ,l ( k − q ) − ω − s Ω .

)


Luận văn tốt nghiệp 2011

Khi hấp thụ nhiều photon (trường laser mạnh), đối số của hàm Bessel lớn:

λ
Ω >> 1 .

Sử dụng biểu thức biến đổi:
θ ( λ2 − E2 )
λ
J
s2  δ ( E − sΩ) =
∑s Ω 
π λ2 − E2

(1.59)

z>0
z < 0.

1,
θ ( z) = 
0,

Xét khí điện tử không suy biến, hàm phân bố điện tử tuân theo phân bố Fermi:


k=e

()

nn,l

()

− β ε n ,l k



− β ε nc ,l

=e

.e

 2β k

−

2m

.

2
*

(1.60)

Sử dụng công thức chuyển tổng thành tich phân:
L
2π

∑ (...) =


k

∞

∫ (...) dk

−∞

Thực hiện biến đổi phương trình (1.57), (1.58). ta được:





2

2 N n , l , n ', l '
∞

∑

Γ

( s + 1/ 2 )  λ  s
s !  M  

s=0

×e

(2MN

Is

*

− β ε nc , l − N M

*

2

×

λ ).
(1.61)
N =  2q
m*

ωq
Trong đó: M = ε n ,l − ε n ',l ' − 2 q 22+
m*
Do tính chất của hàm delta, chỉ có điện tử thỏa mãn:
k<− +

q m* c
−ε
2 2 q

(ε

+ ω

c
n ', l '

n,l

q

−λ



)

(1.62)

Mới đóng góp vào (1.61)



2 N n , l , n ', l '
∞

∑

Γ

s=0

Nguyễn Thị Quyên

C n , l , n ', l ' ( q )

( s + 1/ 2 )  λ
s!


M1



s

Is

23

2

(2M

− βε

c
n,l

N* λ

).

×e

1

*

−NM

2
1

×

(1.63)