bài tập điển hình cơ lưu chất

Bài 1.8:
Người ta nén không khí vào bình thể tích v=0,3m3 dưới áp suất p1=100at.
Sau thời gian bị rò, áp suất không khí trong bình hạ xuống p2=90at. Bỏ qua sự biến
dạng của bình, xác định thể tích không khí bị rò trong thời gian đó ( ứng với áp
suất khí trời ) nếu coi nhiệt độ không đổi và áp suất khí trời pa= 1at.
Giải
Ta có:
V1 = 0,3m3
P1= 100at
3
V2 = 0,3m
P2= 90at
Gọi V3 là thể tích không khí thoát ra, P3 = Pa = 1at
Ta có:
P1V1 = n1RT
P2V2 = n2RT
Do nhiệt độ và thể tích không đổi nên:
=>

P1` n1
n
100
9

 1 
 n 2  n1
P2 n 2
n2
90
10

Gọi n3 là số mol khí thoát ra:
n3  n1  n2 

1
n1
10

P3V3=n3RT
P1V1=n1RT
Do nhiệt độ không đổi nên:


P3V3 n3
PV n

 V3  1 1 3 
P1V1 n1
P3 n1

100 .0,3.

1
n1
10  3m 3 

1.n1

Vậy thể tích không khí bị rò là 3m3.
Bài 1.9:
Một piston đường kính 50mm chuyển động đều trong xylanh đường kính

50,1mm. xác định độ giảm của lực tác dụng lên piston ( theo % ) khi lớp dầu bôi
trơn được đun nóng lên từ 200C đến 1200C (dầu loại SAE10)
Giải
Ta có:
Fm s1  1 S

du
dy

Fms2   2 S

du
dy

 Fms  Fms1  Fms2  S

du
1   2 
dy




S

Fm s

Fm s1

du

1   2 
dy
  2
 1
d
1
1 S u
dy

1  0 e  .20
 2   0 e  .120
  0,02  0,03
1

2



Fms 1   2 e 0,02.20  e 0,03.120


.100%  96%
Fms1
1
e 0, 02.20

Vậy:độ giảm của lực tác dụng lên piston = 96%

Bài 2.28 :
Một đập bê tông trọng lực có thiết diện như hình vẽ .tỷ trọng của bê tông là

2,4
Áp suất thấm trên nền đất phân bố theo quy luật tuyến tính từ áp suất mặt thượng
lưu đến áp suất mặt hạ lưu
a.xác định hệ số ma sát f gữa đáy đập và nền đập để đập không bị trượt
b. kiểm tra nguy cơ lật của đập

321m

321m

A

8.1m

323m
321m

H

321m

B

P1

H
321m

G
267m

244m

321m

C

321m




321m

321m

D



T

321m

F

258m

321m

E
K

P

H1

P2

317m


Giải :
ta tính áp lực của chất lỏng tác dụng lên thành phẳng :
Gọi bề rộng thành phẳng là b
H2
Với thành phẳng BC : ta có P1 = nước .b
=1458.bnước
2
23
Với thành phẳng CD: ta có P2 = nước .b.65,5.
=1536,3.b.nước
cos 
H12
Với thành phẳng FE: ta có P3 = nước
.b = 119,6.b.nước
2.cos

F= 1458.bnước+1506,5.bnước - 98 bnước =2866,5 b.nước
Với các thông số đã cho

Ta có tg =1/5   =11,3 0
  =35 0
tg =1/1,42
bây giờ ta tính áp lực do đập tác dụng lên bề mặt đáy :
Q=P + P2 sin + P3 sin
Với P = mg =bt.V= 2,4 nước.V
V = (SCDT + SGKE + SAHKT ).b
SCDT
SGKE
SAHKT

1
. 23.4,6 = 53
2
1
= .73.51,4 = 1876
2

=

=

8,1.79 = 640

 V = 2569.b
 P = mg = bt.V = 2,4 nước.V =6165,6 .b. nước
 Q=P + P2 sin + P3 sin = (6165,6+301,032+68,6) nước .b =6535,23.nước .b

Ta có : lực ma sát ở đáy đập : fms = f.Q =F.6535,23.nước .b
Để cho đập thỏa mãn yêu cầu thì ta có : fms  F  f.6535,23.nước .b  2866,5 bnước

(P + P2 .cos  - P3.cos  )  fms = f.Q
 f  0,877
2. kiểm tra nguy cơ lật của đập ta có :
Để đập không lật thì mô men giữ phải lớn hơn hoặc bằng mô men lật ta có hệ số
an toàn
k=

Mg
Ml

nguy cơ lật của đập là quanh điểm E
ta có M g = P 16,26+61,8 .P2 sin.+ P3 sin.4,93+ P3.cos .7 = 119999. nước .b


M l = P1.50 + P2 .cos  .11,5 = (72900+17324,75) =90224,75nước .b

Ta có k =

Mg

=1,330

Ml

Vậy hệ số an toàn là 1,33 ,đập không bị lật với hệ số an toàn trên .
Bài:2.31
Một cửa van có dạng hình trụ khối lượng m=6000kg đường kính d=0.6m
dài L=3m được bố trí như hình vẽ (Hình:2.31)
Giải
Lực tác dụng vào F X van bao gồm 2 thành phần: F X và

F

Z

E
Fz1

D?u(0.8)

Fx

F

Fa
P=60000N

Fz2

Fb
B

Thành phần:

F
F

X

X

F

X

d
2

=  . hcx . s x =  . .d.L = 0,8.9,81.10 3 .0,3.3 = 423,92 N

hướng theo trục x.

Thành phần F Z : gồm

F
=

Z1

=  .

F

Z1

tác dụng lên mặt EF và

= (R 2 L –

EF

F

Z2

tác dụng lên mặt FB.

1
1
.  .R 2 .L) = 0,8.9,81.10 3 .(0,3 2 .3 - .  .0,3 2 .3) =
4
4

454,73 N.

F

1
.  .R 2 .L)
4
1
= 0,8.9,81.10 3 .(0,3 2 .3 + .  .0,3 2 .3) =
4

Z2

=  .

Phương của
Để tìm

FB

F
F

=  .( R 2 L +

Z1
A

3783,18 N.

và F Z 2 như trên hình vẽ.
và F B ta chiếu các véc tơ lực( F X , F Z1 và

(đã được chọn ở trên hình).

F

Z2

) lên tọa độ x,y

A

x


Phương x:

0
F A = F X + ( F Z1 + F Z 2 ).cos45 = 4237,92+(454,73+3783,18). 2 /2 =
7234,57 N.
Phương y:
0
F B = P – ( F Z 2 - F Z1 ).cos45 = 60000- (3783,18 – 454,73).
57646,43 N.

2 /2 =

Bài 2.48 :
Cho bồn chứa đầy dầu  =0,8 được đậy bằng van hình trụ bán kính R=2m,
dài 5m .nếu cả hệ thống bồn và xy lanh chuyển động thẳng ử dưới lên nhanh dần
đều với gia tốc a=2m/s2 .
Tính lực tác dụng lên xy lanh
Giải

0,2at
m

3m

2m
m

Dầu  =0,8

Áp lực theo phương ngang do chất lỏng tác dụng lên thành cong
Px = (po + hcx ) x =
Với po =0,2.98100=19620 N/m2

x = 3.5 =15 m2
hcx =1,5 m


=0,8.9810=7848 N/m3
 Px =470880 N
Áp lực theo phương thẳng đứng tác dụng lên thành cong
Pz = W
W1 =25,26m3
 Pz = W =7848.25,26 =198240
P = px2  pz2 =511 KN
Khi cả hệ thống chuyển động thì
Từ phương trình ơ le : Xdx+Ydy+Zdz =

1
dP


Khi hệ thống đứng yên thì Z = -g
Khi chuyển động có gia tốc :
Với X=O,Y=O,Z=(-g-2) nên ta có (-g-2)dz =

1
dP


1
2
2
.p  -g (   .  ).Z = p  p= -(1  )Z


g
g
Từ phương trình trên ta thấy khi cả hệ thống chuyển động với gia tốc a = 2m/s2 thì

(-g-2).Z =

áp suất thay đổi là tăng lên với hệ số t = 1 

2
=1,2038
g

Do đó ta có áp lực toàn phần tác dụng lên hệ thống thành là P = 615 KN
z

2m

z

g
z

x
z

y
Bài: 3.13
Vận tốc của lưu chất không nén được, chuyển động 2 chiều trong hệ tọa độ
cực như sau:

2
2
u r  K cos (1  b / r )
u   K sin  (1  b / r )


Hỏi chuyển động có hiện hữu không?
Giải
Ta có phương trinh vi phân liên tục trong hệ tọa độ cực đô với chât lỏng
Vr Vr 1 V


0
không nén được : r  r r 

Chuyển động là hiện hữu nếu U r ,U thỏa mãn phương trình trên.
ur 2kb cos 


r
r3
Thật vậy:
u
b
 k (1  2 ) cos 

r
U r U r 1 V k
b
2kb cos  k

b



 (1  2 ) 
 (1  2 )
3
r
r
r 
r
r
r
r
r
k ( r 2  b)
2kb
k ( r 2  b)
cos


cos


cos 
r3
r3
r3
k
 3 cos  .(r 2  b  2b  r 2  b)  0

r


Đến đây ta có thể kết luận chuyển động hiện hữu.
Bài 4.19:
Một quả thủy lôi được phóng trong nước tĩnh, chuyển động với vận tốc
V=15m/s trong mặt phẳng ngang ở đó sâu 10m. Xác định áp suất ở đầu mũi thủy
lôi. Biết rằng ở độ sâu đó nước có khối lượng riêng   1,02.10 3 kg / m 3 .

Giải:
Ta có cột áp toàn phần tại mũi thủy lôi là:

htđ  ht  hđ
Lại có : - Cột áp tĩnh :

ht  z


v2
- Cột áp động : hđ 
2g
v2
15 2
 10 
 21,5(m)
Suy ra : htđ  z 
2g
2  9,81
Áp suất ở đầu mũi thủy lôi là :

p  p0  h  h  ghtđ

 p  1,02.10 3  9,81 21,5  215133 ,3Pa  2,193at
Bài 4.39:
Đường ống A dẫn nước vào nhà máy thủy điện có D=1,2m chia làm hai
nhánh B, C trong mặt phẳng ngang, mỗi nhánh có d=0,85m; cấp nước cho một
turbine.
Xác định lực nằm ngang tác dụng lên chạc ba. Biết rằng lưu lượng Q=6m3/s
chia đều cho hai nhánh: áp suất dư tại A là 5MPa. Bỏ qua mất năng.

Giải:

Q1
2
Ta có :
Q1  6m 3 / s
Q2  Q3 

Lại có:


Q1
6

 5,305m / s
A1  1,2 2
4
3
V2  V3 
 5,287 m / s

 0,85 2
4

V1 


F
Mặt khác:    Đlra   Đlvào
Chiếu theo trục Ox :

Q V

2 2



 Q3V3 cos 450  Q1V1  F1  Rx  F2  F3 cos 450 (1)

Chiếu theo trục Oy :

 Q3V3 sin 45 0  F3 sin 45 0  R y (2)
Viết phương trình Bernouli :

z1 

P1





 1V12
2g

 z2 

P2





 2V22
2g

V12  V22
 (V12  V22 )

 
 p 2  p1 


2g
2
P2

P1

1000 (5,305 2  5,287 2 )
 5000095 Pa

Vậy p3  p 2  5.10 
2
2
6  1,2
6

F1  p1 A1  5.10

 5654867 N
4
F2  F3  p3 A3  2837306 N

Từ (1), (2) ta suy ra :





R x  F1  F2  F3 cos 45 0  Q2V2  Q3V3 cos 45 0  Q1V1
R y  F3 sin 45 0  Q3V3 sin 45 0
Thế các dữ liệu vào ta được :
Rx  816,038 KN

R y  2017 ,493 KN
 R  Rx2  R y2  2176 ,281KN


Bài: 5.9
Lực cản F D tác dụng lên tàu thủy phụ thuộc vào vận tốc tàu V, chiều dài
đặc trưng L, độ nhám bề mặt vỏ tàu  , tính chất  ,  của nước biển và gia tốc

trọng trường g . Tìm liên hệ các vô thứ nguyên.
Giải
Ta có hàm quan hệ của các đại lượng: F D = f(V, L,  ,  ,  , g).
Phân tích thứ nguyên các đại lượng:
2
 : ML 3
F D : MLT
 : ML 1 T 1
: LT 1
: L
g : LT 2

:L
Số đại lương có thứ nguyên: n = 7
Số đại lượng có thứ nguyên độc lập: m = 3
Chọn 3 đại lượng lặp :  , V, L.
Số đại lương vô thứ nguyên :  = 7-3 = 4
Xác định số  :

V
L

1 =

FD
MLT 2
1
=

 a1V b1 Lc1

( ML3 ) a1 .( LT 1 ) b1 .( L) c1

Cân bằng theo :
M : 1  a1
a1  1
FD


.
 L : 1  3a1  b1  c1  b1  2   1 =
V 2 L2
T : 2  b
c  2
1

 1

2=


L
.
 1=
3 a 2
b2 c2
( ML ) .( LT 1 ) b 2 .Lc 2
 V L
a2

Cân bằng theo :

M : 0  a 2
a 2  0



 L : 1  3a 2  b2  c 2  b2  0   2 = .
L
T : 0  b
c  1
2

 2

3 =


 a V b3 Lc 3.
3

Cân băng theo :

ML1T 1
 1=
( ML3 ) a 3 .( LT 1 ) b 3 .Lc 3


M : 1 a 3
a  1




 L : 1  3a3  b3  c3  b  1   3 =
VL
T : 1  b
c  1
3



4=

LT 2
g
1=
.

( ML3 ) a 4 .( LT 1 ) b 4 .Lc 4
 a 4V b 4 Lc 4

Cân bằng theo :
M : 0  a 4
a 4  0
g


 L : 1  3a 4  b4  c 4  b4  2   4 = 2 1 .
V L
T : 2  b
c  1
4


 4

Vậy :

FD
  gL
= f
.
.
2 2
L VL V 2
V L

  F D = V 2 L2 . f 
V 2 L2 . f 

  gL
.
.
L VL V 2


.Re.Fr
D

=

 .

Bài 1.6
Một bình bằng thép có thể tích tăng 1% khi áp suất tăng thêm 70Mpa. ở điều kiện
chuẩn (áp suất p=101,3 Kpa) , bình chứa đầy 450kg nước (  = 1000kg/m3).
Biết suất đàn hồi K= 2,06.109 Pa.
Hỏi khối lượng nước cần thêm vào để tăng áp suất lên thêm 70Mpa.
Giải
Ta có hệ số đàn hồi :
p
k = -v
=2,06.109 (Pa)
V

70.106
= 2,06.109 (Pa)
 -0,45.
ΔVmoi
 ΔVmoi = -15,3.10-3 (m3)

Do áp suất tăng thì V giảm
Để đầy bình ta phải thêm vào
mthêm = 15,3 (kg) + mban đầu .

1
=19,8 (kg)
100


Bài 1.7
Xác định sự thay đổi thể tích của 3m3 không khí khi áp suất tăng từ 100Kpa đến
500Kpa. Không khí ở nhiệt độ 23oC ( xem như không khí lý tưởng)

Giải
Nhiệt độ không khí không đổi (23oC - xem như không khí lý tưởng)
 PV = const  P1V1 = P2V2
Ta có:

P1 V2
100 V2

  V2  0, 6

P2 V1
500 3

 V  3  0,6  2, 4 (m3)


Bài 2.12
Một ống chứa đầy dầu   0.85 nối 2 bình A và B như hình vẽ, xác định áp suất
tại 2 điểm C và D

Giải
Tỉ trọng  =0,85
 d =0,85.1000.9,81 = 8338,5 (N/m3)
Pa = 0, chọn mặt đẳng áp tại mặt thoáng bình A
Ta có: PB =  d .0,5=4169,25 (Pa) =4,17 (kPa)
PD =  d .2,5 = 20846,25 (Pa) = 20,846 (kPa)
Bài 2.15


Xác định trọng lượng riêng của lưu chất X nếu biết độ chênh áp suất pA – pB

= 1Kpa

Giải
Theo đề ta có : PA – PB = 1 kPa
 1 =1   1 =9,81.103 (N/m3)
 2 =1,5   2 =9,81.1,5. 103 = 14,715 (N/m3)
PC = PA +  1 .0,1
(1)
PD = PC +  x .0,15 (2)
PD = PB +  2 .0,2
(3)
(2)  PD - PC =  x .0,15
 PB +  2 .0,2 - PA -  1 .0,1 =  x .0,15
 -1000 + 14,715.103.0,2 – 0,1.9,81.103 =  x .0,15
  x = 6413 N/m3


Bài 2.32
Một cửa van cung gồm một mặt cong có bán kính 5,4m, tâm C. van có thể quay
quanh trục nằm ngang qua O. Khối lượng 1m dài của van là 3000kg . trọng lượng
đặt tại tâm G
1). Xác định áp lực nước tác dụng lên cửa van
2). Xác định momen cần để kéo van cửa.

Giải
Xác định áp lực nước
Lực ngang
Fx = (PG)x . AABG =YH2O.hG.2,4. 1 (1)
Xét cung ABG, như hình nửa elip
 ytrọng tâm =

4 h 4 2, 4

 1, 02(m)
3 3 

 hG = 2,4 -1,02 = 1,38 (m)

(1)  Fx = 9,81.103.1,38.2,4 = 32. 103(N) = 32(kN)


Lực thẳng đứng
F2 = YH2O . V1
Ta có:
Xét tam giác BHC, ta có :
BH= 5, 22  3,32 = 4,3 (m)
Xét tam giác AIC, ta có :
AI = 5, 22  0,92 = 5,3 (m)
Vậy ta suy ra trọng tâm G không nằm trong diện tích cung AB
Diện tính nửa elip :
 hb  (5,3  4,3).2, 4
S=
=
= 1,885(m2)
4
4
 V1 = 2,4 – 1,885 = 0,515 (m2)


Fz = 9,81.103 . 0,515 = 5,05215 . 103

Vậy áp lực H2O tác dụng lên cửa van
F=

Fx2  Fz2 = 32,4 (kN)

Điểm đặt lực

tg 

Fx
= 6,4
Fz

b) Momen cần để kéo van :

ta có :
momen cần Mx + Mz > M ( momen O và P )
M = ( mg ).3,6 = 3000.9,81.3,6 = 105948 (N)
Vậy muốn kéo van phải tạo momen lớn hơn độ lớn 105948 (N)
Bài 3.7 trang 65
Các thành phần vận tốc của 1 phân tử lưu chất là :


Ux = x2 ; uy = y2 ; uz = z2
Xác định phương trình đường dòng đi qua A(2,4,-6)
Giải
Phương trình chuyển động Lagrange:

dx dy dz
dx dy dz



 2  2  2
ux uy uz
x
y
z
Có:

dx dy

x2 y2

Lấy tích phân 2 vế :

1
1
dx
dy
yx


C



 C1
1
 x2  y2
x

y
xy

Có

(1)

dy dz

y2 z2

Lấy tích phân 2 vế:

dx
dy
zy
1
1


 C2


C

2
2
1
y z
zy

y
z

(2)

Do phương trình đường dòng qua A(2,4,-6)
Lấy tọa độ điểm A thế vào phương trình (1) và (2)
(1)  C1 

42 1

4.2 4

6  4 5

24 12
Vậy phương trình đường dòng đi qua A(2,4,-6) là:
zy 5
yx 1


;
zy
12
xy
4
(2)  C2 

Bài 4.41
Nước chảy qua 1 đập tràn như hình vẽ . chiều cao đập so với đáy kênh thượng

lưu là L1 = 6m, so với đáy kênh hạ lưu là L2 = 7m. cột nước trên đỉnh đập là H =
2,3m. độ sâuco hẹp hc = 0,7m. lưu lượng nước qua 1m chiều dài đập là 8 m3/s.m
1) tính năng lượng qua đập.


2) tính lực nằm ngang tác dụng lên 1m chiều dài đập.
Bài 4.35
ống borda như hình vẽ. chiều dài ống đủ dài để vận tốc của chất lỏng ở gần đáy
xem như bằng 0.tính tỉ số giữa diện tích của tia nước A, và diện tích ống Borda.
Bài 5.7
1 đĩa phẳng đường kính D quay quanh trục của nó với vận tốc x trong lưu chấtcó
khối lượng riêng x, hệ số nhớt động học x. Chứng tỏ rằng công suất N có thể diễn
tả:

N   3 D 5 f (

V
V 3
 D2
)
)f(
)
hay N  (
 D2
D
v

Giải
Ta có hàm quan hệ 5 đại lượng N = f(
Số đại lượng thứ nguyên : n=5

Số đại lượng thứ nguyên độc lập m = 3
Chọn 3 đại lượng lặp lại là D, p, v.
Số đại lượng vô thứ nguyên
Ta có
[N] = ML2T3
[D] = L
[P] = ML-3
[V] = L2T1
[  ]= T2
Xác định số 
1 =

[n]
ML2 T 3

1

C1
Da1 p b1 v c1
La1 ( ML3 )b1 ( L2T )c1

ML2T3 = L(a1 -3b1 + 2c1) .Mb1.Tc1
b1  1
N

 c1  3   1  1 1 3
D pv
a  1
 1


 2  a2 b2 c2
D p v
1

T1
La2 ( ML3 )b2 ( L2T ) c2


a2  3b2  2c2  0 a2  2



 b2  0   2  2
 b2  0
D T
c  1
c  1
 2
 2

Vậy ta có quan hệ thứ nguyên
p1V 3  D 2 
f
N=

D

 T 