Tập giá trị của hàm số và ứng dụng

ĐẠI HỌC THĂNG LONG

PHẠM TUẤN KHƯƠNG

TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thăng Long - Năm 2015


ĐẠI HỌC THĂNG LONG

PHẠM TUẤN KHƯƠNG

TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. VŨ HOÀI AN

Thăng Long - Năm 2015

Thang Long University Libraty


i

Mục lục
Các kí hiệu và Danh mục các từ viết tắt

ii

Mở đầu

1

1 Tập giá trị của hàm số

5

1.1

Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

Các định lí của hàm số liên tục liên quan đến
vấn đề nhận giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2

1.2

5

Các định lí cơ bản của hàm số khả vi liên quan
với vấn đề nhận giá trị. . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3

5

8

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Các phương pháp xác định tập giá trị của hàm số
thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1

Phương pháp thứ nhất và ví dụ áp dụng. . . . 13

1.2.2

Phương pháp thứ hai và ví dụ áp dụng . . . . 18

1.2.3

Phương pháp thứ ba và ví dụ áp dụng . . . . 23

2 Ứng dụng Tập giá trị của hàm số thực vào phương trình,
bất phương trình.
2.1

2.2

28

Ứng dụng vào phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1

Các phương pháp ứng dụng. . . . . . . . . . . . 29

2.1.2

Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Ứng dụng vào bất phương trình. . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1

Các phương pháp ứng dụng. . . . . . . . . . . . 43


i

2.2.2
2.3

Ví dụ ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Kết Luận

72

Tài liệu tham khảo

73

Thang Long University Libraty


ii

Các kí hiệu

• R: Tập số thực.
• f : Hàm số thực.
• [a; b]: Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• (a;b): Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• ∀: Với mọi.
• ∃: Tồn tại
•A

B : Hợp của hai tập hợp A và B .

•A

B :Giao của hai tập hợp A và B .

• TXĐ: Tập xác định.
• SBT: Sự biến thiên.
• BBT: Bảng biến thiên.
• CĐ: Cực đại.
• CT: Cực tiểu.
• TCĐ: Tiệm cận đứng.

• TCN: Tiệm cận ngang.
• GTLN: Giá trị lớn nhất.
• GTNN: Giá trị nhỏ nhất.


1

I. MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài
Trong toán học phổ thông, các bài toán liên quan đến tập giá trị của
hàm số như
Biện luận theo m số nghiệm phương trình, tìm m để phương trình, bất
phương trình có nghiệm, tìm giá trị nhỏ nhất - giá trị lớn nhất của hàm
số... là những bài toán khó, các bài toán này thường xuất hiện trong các đề
thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia, đề thi tuyển sinh cao đẳng,
đại học và các đề thi học sinh giỏi môn toán. Vấn đề này ngày càng thu
hút sự quan tâm của nhiều học sinh và giáo viên trung học phổ thông.
Tập giá trị của hàm số là một khái niệm cơ bản. Khái niệm này liên quan
đến những vấn đề sau của toán học cao cấp.
Vấn đề A.
Giả sử A, B là hai tập khác rỗng, f là ánh xạ từ A đến B và b ∈ B .Khi
đó, f có nhận giá trị b?

Chú ý rằng, Vấn đề A được phát biểu theo ngôn ngữ phương trình như
sau:
Vấn đề B.
Giả sử A, B là hai tập khác rỗng, f là ánh xạ từ A đến B và b ∈ B . Khi
đó, phương trình f (x) = b có nghiệm trong A?

Đối với toán học phổ thông, ta thường gặp vấn đề sau:
Vấn đề C.
Cho bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa tham
số m. Tìm m để bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình

Thang Long University Libraty


2

thỏa mãn điều kiện nào đó của nghiệm.
Vấn đề B, Vấn đề C thường xuyên xuất hiện trong Báo Toán học và
Tuổi trẻ, trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông, đề thi đại học, đề thi học
sinh giỏi môn toán, trong các tài liệu toán nâng cao dành cho học sinh,
giáo viên toán trung học cơ sở, trung học phổ thông.
Đối với hàm số thực trong toán học cao cấp, trong [1], Nguyễn Văn Khuê
- Phạm Ngọc Thao - Lê Mậu Hải - Nguyễn Đình Sang đã đề cập đến vấn
đề nhận giá trị, xác định tập giá trị thông qua các định lý về hàm liên tục
và hàm khả vi. Các định lý này là cơ sở để giải quyết Vấn đề B, Vấn đề C
Quy trình giải quyết Vấn đề C gồm các bước:
- Bước 1: Thiết lập hàm f với tập xác định là A phù hợp với bất phương
trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình.
- Bước 2. Xác định f (A).
- Bước 3. Cho b ∈ f (A).

Quy trình giải quyết Vấn đề C gồm các bước:
- Bước 1: Thiết lập hàm f với tập xác định là A phù hợp với bất phương
trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình.
- Bước 2. Xác định f (A).
- Bước 3. Cho Cho m ∈ f (A).

Chú ý rằng, trong Bước 1, nhiều khi phải đặt ẩn phụ. Khi đó, cần tìm điều
kiện cho ẩn phụ thông qua việc tìm tập giá trị của hàm số.
Với cách tiếp cận trên đây, chúng ta thấy rằng: Trong toán học phổ thông,
các vấn đề của phương trình với ẩn số thực được gắn kết với các vấn đề
của hàm số thực dưới góc độ của Lý thuyết phân bố giá trị.
Theo hướng tiếp cận trên đây, luận văn nhằm nghiên cứu vấn đề:


3

Tập giá trị của hàm số và Ứng dụng
Đây là một trong những vấn đề cơ bản của Toán học sơ cấp.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn tổng hợp và trình bày các định lý của hàm số thực liên quan
đến Tập giá trị của nó; tổng hợp và trình bày các phương pháp tìm Tập
giá trị của hàm số thực trong toán học phổ thông cùng các ứng dụng vào
phương trình, bất phương trình. Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo, tài liệu
ôn tập, ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông dành cho học sinh trung
học phổ thông, giáo viên toán trung học phổ thông, trung học cơ sở, học
viên cao học chuyên ngành Phương phápToán sơ cấp.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu:
- Tập giá trị của hàm số thực trong toán học phổ thông.
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là:
- Ứng dụng Tập giá trị của hàm số thực trong toán học phổ thông vào
phương trình, bất phương trình.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu: Sách giáo khoa giải tích 12, Báo toán học và tuổi
trẻ, các đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học môn toán, các tài liệu tham

khảo môn toán nâng cao.
II. NỘI DUNG
Luận văn được chia thành 2 chương cùng với phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo.
Chương 1: Tập giá trị của hàm số.
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu Vấn đề A, Vấn đề B. Mục tiêu là
tổng hợp và trình bày các định lý của hàm số thực liên quan đến Tập giá

Thang Long University Libraty


4

trị của nó.
Tổng hợp và trình bày các phương pháp tìm Tập giá trị của hàm số của
hàm số thực trong toán học phổ thông.
Chương 2: Ứng dụng Tập giá trị của hàm số thực vào phương
trình , bất phương trình.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu Vấn đề C. Mục tiêu là tổng hợp
và trình bày các ứng dụng Tập giá trị của hàm số của hàm số thực trong
toán học phổ thông vào phương trình, bất phương trình.
Trong quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp
đỡ tận tình của TS. Vũ Hoài An. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc nhất đến thầy.Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học toán
khóa 1 của trường Đại học Thăng Long đã mang đến cho tôi nhiều kiến
thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống.
Cuối cùng tôi xin trân trọng cảm ơn trường Đại học Thăng Long đã tạo
điều kiện cho tôi được học tập trong môi trường tốt nhất.
Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và trong khuôn khổ luận văn
thạc sĩ, nên chắc chắn trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi sai

sót, tác giả rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của các quý thầy,
cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4 năm 2015
Tác giả: Phạm Tuấn Khương.


5

Chương 1

Tập giá trị của hàm số
Trước tiên chúng tôi trình bày lại các định lý về hàm liên tục và hàm khả
vi ở trong [1]. Các định lý này là cơ sở để giải quyết vấn đề nhận giá trị
của hàm số thực.Tổng hợp và trình bày các phương pháp tìm Tập giá trị
của hàm số của hàm số thực trong toán học phổ thông và kèm theo một
số Ví dụ minh họa.

1.1
1.1.1

Hàm số liên tục
Các định lí của hàm số liên tục liên quan đến vấn đề nhận giá trị

Định nghĩa 1.1. Cho hàm f : A −→ R; x0 ∈ A.

Nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0,sao cho ∀x ∈ A : |x − x0 | < δ : |f (x) − f (x0 )| < ε
thì ta nói f liên tục tại điểm x0 .

Nếu f liên tục tại mọi điểm x0 ∈ A thì ta nói f liên tục trên A.

Nếu f không liên tục tại điểm x0 ∈ A thì ta nói f gián đoạn tại điểm x0 .
Nhận xét 1.2.

1. f liên tục tại x0 khi và chỉ khi với mọi lân cận V của f (x0 ) bao giờ cũng
tồn tại một lân cận U của x0 sao cho: f (U ∩ A) ⊂ V.
2. Nếu x0 ∈ A và là điểm cô lập thì f liên tục tại x0 .

Định lý 1.3. Điều kiên cần và đủ để f liên tục tại x0 là mọi dãy {xn } ⊂ A
mà x −→ x0 thì lim f (xn ) = f (x0 ).
n−→∞

Định lý 1.4. Nếu f và g là hai hàm cùng xác định trên A và liên tục tại

Thang Long University Libraty


6

x0 ∈ A thì f+g; a.f (với a là hằng số); f.g đều là những hàm số liên tục tại
f
x0 . Nếu g(x) = 0 thì cũng liên tục tại x0 .
g
Định lý 1.5. Một hàm liên tục trên [a; b] thì nó bị chặn.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử hàm f liên tục trên [a;b] nhưng không bị chặn. Khi đó ∀n ∈

N, ∃xn ∈ [a,b] sao cho |f (xn )| > n. Ta có thể xem {xn } là dãy phân biệt vì

nó là dãy bị chặn trên. Ta trích ra dãy con {xnk } hội tụ đến x0 ∈[a,b].Vì

[a,b] là một tập đóng nên : lim |f (xnk )| = +∞ khác |f (x0 )|. Điều này
k−→∞

trái với giả thiết f liên tục tại x0 . Vậy f phải bị chặn.

Định lý 1.6. Nếu f liên tục trên [a; b] thì nó đạt cân trên đúng và cận
dưới đúng , tức là tồn tại hai số x0 và x′0 thuộc [a; b] sao cho :

f (x0 ) = max f (x) và f (x′0 ) = min f (x).
Chứng minh. Đặt M = sup f (x) < +∞.Vì f bị chặn trên [a,b] nên theo
định nghĩa supremum:∃ {xn } ⊂[a;b] sao cho :M = lim f (xn ).
n−→∞

Từ dãy {xn } ta trích ra dãy con {xnk } hội tụ : xnk −→ x0 . Do a ≤ xnk ≤ b
nên x0 ∈[a,b] và M = lim f (xnk ) = f (x0 ).
Tương tự :

∃x′0

k−→∞

∈ [a, b] sao cho : f (x′0 ) = inf(f (x)) ⇔ f (x′0 ) = min f (x).

Định lý 1.7. (Định lí về không điểm)
Nếu f liên tục trên [a; b] và f (a).f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm

c ∈ [a; b] sao cho f (c) = 0.
Chứng minh. Ta xét trường hợp f (a) > 0, f (b) < 0 ,trường hợp còn lại

ta chứng minh tương tự.
Đặt A = {t ∈ [a; b] : f (x) > 0, ∀x ∈ [a; t]}.Hiển nhiên a ∈ A nên A = ∅.

Gọi t∗ = sup A −→ t∗ ∈ [a; b]. Ta chứng minh f (t∗ ) = 0.

Theo định nghĩa của Sup: ∃ {tn } ⊂ A sao cho t∗ = lim tn . Vì f liên tục
tại t∗ nên

n−→∞


7

f (t∗ ) = lim tn ≥ 0.
n−→∞

Do f (b) < 0 nên t∗ = b ⇒ t∗ < b. Nếu f (t∗ ) > 0 thì theo tính liên tục của

f tại t∗ sẽ ∃δ > 0 sao cho f (x) > 0,
tính Sup A = t∗ . Vậy f (t∗ ) = 0.

∀x ∈ [t∗ − δ; t∗ + δ] ⊂ [a; b] trái với

Định lý 1.8. (Định lí về quan hệ giữa tính đơn điệu và tính liên tục)
Cho f là một hàm đơn điệu. Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục trên

[a; b] là miền giá trị của nó là một đoạn với hai đầu mút là f (a) và f (b).
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp f là hàm tăng, trường hợp

f là hàm giảm chứng minh tương tự.

Điều kiện cần: Nếu f tăng trên [a; b], ta cần chứng minh:f ([a; b]) =
[f (a); f (b)]. Lấy x ∈ [a; b] , khi đó a ≤ x ≤ b.Vì f là hàm tăng nên
f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) ⇒ f ([a; b]) ⊂ [f (a); f (b)].
Ngược lại, với λ ∈ [f (a); f (b)]. Vì f liên tục trên [a; b] nên ∃c ∈ [a; b] :
λ = f (c) ⇒ [f (a); f (b)] ⊂ f ([a; b]). Vậy f ([a; b]) = [f (a); f (b)].
Điều kiện đủ: Giả sử f là hàm tăng trên [a; b] và có miền giá trị là
[f (a); f (b)], ta sẽ chứng minh f liên tục trên [a; b].
Giả sử f không liên tục trên [a; b] và x0 ∈ [a; b] là điểm gián đoạn của nó.
Khi đó gọi α = sup f (x); β = inf f (x).
Do f tăng và gián đoạn tại x0 , nếu α < f (x0 ) hoặc β > f (x0 ) trong trường
hợp đầu f ([a; b]) không chứa (α; f (x0 )). Còn trường hợp sau f ([a; b]) không
chứa (f (x0 ); β). Điều này mâu thẫu với giả thiết f ([a; b]) = [f (a); f (b)].
Do đó f phải liên tục trên [a; b].
Ví dụ 1.9.
Hàm y = x liên tục tại mọi điểm mọi điểm trên R.
Thật vậy, lấy x0 ∈ R bất kì ,∀ε > 0 chọn δ = ε thì khi |x − x0 | < δ ta có

|f (x) − f (x0 )| < ε.
Ví dụ 1.10.

Hàm y = sin x liên tục tại mọi điểm mọi điểm trên R.

Thang Long University Libraty


8

Thật vậy ta có

x + x′

x − x′
x − x′
| sin x − sin x | = 2| cos
|| sin
| ≤ 2|
| = |x − x′ |.
2
2
2
π
π
Vì | sin t| ≤ |t|, ∀0 ≤ |t| ≤ . Do đó ∀ε > 0, ∃δ = min(ε; )
2
2
nên | sin x − sin x′ | < ε.
′

Nhận xét: Tính liên tục của hàm y = cosx, ta chứng minh tương tự.
1.1.2

Các định lí cơ bản của hàm số khả vi liên quan với vấn đề nhận giá
trị.

Định nghĩa 1.11. Ta nói hàm f có cực đại địa phương (hay cực tiểu địa
phương)tại điểm x0 nếu f xác định trong một lân cận (a, b) của x0 và tồn
tại số δ > 0 đủ bé sao cho

f (x) ≤ f (x0 ) ∀x ∈ (x0 −δ; x0 +δ) (hayf (x) ≥ f (x0 ) ∀x ∈ (x0 −δ; x0 +δ)).
Điểm mà tại đó đạt cực đại hay cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Nếu f (x) < f (x0 )∀x ∈ (x0 − δ; x0 + δ), x = x0 thì x0 gọi là điểm cực đại

địa phương thực sự.
Nếu f (x) > f (x0 )∀x ∈ (x0 − δ; x0 + δ), x = x0 thì x0 gọi là điểm cực tiểu
địa phương thực sự.
Định lý 1.12 (Định lí Ferma).
Giả sử f : (a; b) −→ R. Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm c ∈ (a; b) và f

có đạo hàm tại điểm c thì f ′ (c) = 0.

Chứng minh. Xét trường hợp f đạt cực đại tại c. Khi đó ∀h > 0 đủ nhỏ

ta có

f (c − h) − f (c)
f (c + h) − f (c)
≤0 ;
≥ 0.
h
h
Mặt khác f có đạo hàm tại điểm c nên f ′ (c) = f+′ (c) = f−′ (c).
Từ đó suy ra f ′ (c) = 0.
Trường hợp f đạt cực tiểu tai c ta chứng minh tương tự.


9

Định lý 1.13 (Định lí Rolle).
Giả sử f : [a; b] −→ R có tính chất
i. f liên tục trên [a; b].

ii. f khả vi trên (a; b).

iii.f (a) = f (b).
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f ′ (c) = 0.
Chứng minh. Do f liên tục [a; b] nên lấy x1 , x2 ∈ [a, b] sao cho f (x1 ) =

sup f = M và f (x2 ) = inf f = m. Ta xét hai trường hợp có thể xảy ra :
Trường hợp 1: M=m.
Khi đó f (x) = m ∀x ∈ [a; b] nên f ′ (x) = 0 ∀x ∈ [a; b].
Trường hợp 2: M>m.
Vì f (a) = f (b) nên xảy ra f (x1 ) = f (a) = f (b) hoặc f (x2 ) = f (a) = f (b).
Nếu f (x1 ) = f (a) thì a < x1 < b. theo Định lí Rolle thì f ′ (x1 ) = 0.
Nếu f (x2 ) = f (a) thì a < x2 < b. theo Định lí Rolle thì f ′ (x2 ) = 0.
Định lý 1.14 (Định lí Lagrange). Giả sử f : [a; b] −→ R có tính chất
i) f liên tục trên [a; b].

ii) f khả vi trên (a; b).
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho

f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a).
Chứng minh.
Nếu a = b thì định lí luôn đúng.

f (b) − f (a)
.
b−a
Khi đó F (b) = F (a) = 0, thỏa mãn định lí Rolle nên ∃c ∈ (a; b) sao cho
Nếu a < b, xét hàm F (x) = f (x) − f (a) − (x − a)

F ′ (c) = f ′ (c) −

f (b) − f (a)

= 0.
b−a

⇔ f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a).
Định lý 1.15 (Cauchy). Giả sử
i) f và g là hai hàm liên tục trên [a; b], a < b.

Thang Long University Libraty


10

ii) f và g đều khả vi trên (a; b).
iii) g ′ (x) = 0∀x ∈ (a; b).

Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a) f ′ (c)
= ′ .
g(b) − g(a)
g (c)

(∗)

Chứng minh. Xét hàm h(x) = (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x).

Hàm h(x) có h(a) = h(b) và thỏa mãn các điều kiện của định lí Rolle nên
tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

(f (b) − f (a))g ′ (c) = (g(b) − g(a))f ′ (c).

Nhận xét 1.16. Một trường hợp riêng của định lí Cauchy là khi ta lấy

g(x) = x thì ta nhận được Định lí Lagrange.
Sau đây chúng tôi nêu một số bài tập áp dụng
1.1.3

Bài tập áp dụng

Bài tập 1.1.
Cho hàm số

f (x) = x3 −3x, f1 (x) =

x+1
, f2 (x) =
x−2

x2 − 3x + 2, f3 (x) =

√

√
x + 1+ 1 − x.

A = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 3}, A1 = {x ∈ R : 4 ≤ x ≤ 6},
A2 = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2}, A3 = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 1}. Tìm
1) f (A) = {f (x)|x ∈ A} = {x3 − 3x|1 ≤ x ≤ 3}.
x+1
|4 ≤ x ≤ 6}.
2) f1 (A1 ) = {f1 (x)|x ∈ A1 } = {

x−2
√
3) f2 (A2 ) = {f2 (x)|x ∈ A2 } = { x2 − 3x + 2|1 ≤ x ≤ 2}.
√
√
4) f3 (A3 ) = {f3 (x)|x ∈ A3 } = { x + 1 + 1 − x| − 1 ≤ x ≤ 1}.
Lời giải.
1) Tìm f (A) = {f (x)|x ∈ A} = {x3 − 3x|1 ≤ x ≤ 3}.


11

Ta có :f ′ (x) = 3x2 − 3.

f ′ (x) = 0 ⇔ 3x2 − 3 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 1.
Bảng biến thiên
x −∞
-1
1
3
+∞
+

f ′ (x)

0

-

0

+

2

f (x)

✟✟

✯ ❍❍
✟✟
❍❍
✟
✟

❍
❥
❍

✏
✏✏

✏✏

-2

−∞
Vậy f (A) = [−2; 18].

2) Tìm f1 (A1 ) = {f1 (x)|x ∈ A1 } = {

−3
.
(x − 2)2
Bảng biến thiên
−∞
2
x
Ta có f1′ (x) =

f1 (x)

4

-

f1′ (x)
1

€€
€

+∞
✶
✏
✏✏
18
✏
✏

x+1
|4 ≤ x ≤ 6}.
x−2

6

+∞

-

€€
q
€

−∞

+∞

€5€

2

7
4

€€
€

€€
q

1

5 7
Vậy f1 (A1 ) = [ ; ].
2 4
√
3) Tìm f2 (A2 ) = {f2 (x)|x ∈ A2 } = { x2 − 3x + 2|1 ≤ x ≤ 2}.
2x − 3
.
Ta có f2′ (x) = √
2 x2 − 3x + 2
2x − 3
3
f2′ (x) = 0 ⇔ √
=0⇔x= .
2
2 x2 − 3x + 2

Thang Long University Libraty


12

Bảng biến thiên
x 1

3
2
0

-

f2′ (x)

2
+

0 ❍❍

❍❍

f2 (x)

❍❍
❍
❍❍
❥

1
Vậy f2 (A2 ) = [− ; 0].
4

1
4

✏
✏✏

✏✏

✶
✏
✏✏
✏✏

0

√
√
4) Tìm f3 (A3 ) = {f3 (x)|x ∈ A3 } = { x + 1 + 1 − x| − 1 ≤ x ≤ 1}.
1
1
1
1
Ta có f3′ (x) = √
, f3′ (x) = 0 ⇔ √
=0
− √
− √
2
1
−
x
2
1
−
x
2
x

+
1
2
x
+
1
√
√
⇔ x + 1 = 1 − x ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên
x -1

+

f3′ (x)
f3 (x)

0

√

✟
✟
2 ✟✟

✟✟
✟✟

1

0
✯
✟
✟

2

❍❍

❍
❍❍

❍
❍❍

❍
❥
❍

√

2

√
Vậy f3 (A3 ) = [ 2; 2].

Bài tập 1.2.
Cho y = g(x) = sin4 2x − 2 sin2 2x − 3,

1) Tìm tập giá trị của y .

2) Tìm tập giá trị của g◦ f trên B = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 0}.
Lời giải.
1) Tìm tập giá trị của y .
Đặt sin2x = t(t ∈ [−1, 1]).

⇒ h(t) = t4 − 2t2 − 3.
Ta có h′ (t) = 4t3 − 4t.


13

h′ (t) = 0 ⇔ 4t3 − 4t = 0 ⇔ t = −1; t = 0; t = 1.
Bảng biến thiên:
t
−∞
-1
0
1
+∞
- 0

h′ (t)
h(t)

+∞
❳

❳❳
③

❳

+

-4 ✘✘✘

0

-

0 +

-3

+∞

✿ ❳❳❳
✘
✘
✿
✘
✘
❳❳
③ -4 ✘✘

Vậy tập giá trị của hàm g là: [−4; −3].
2) Tìm tập giá trị của g◦ f trên B = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 0}.
Ta có

g◦ f (B) = g(f (x)) : −3 ≤ x ≤ 0} = {sin4 (x3 − 3x) − 2 sin(x3 − 3x) − 3 :

−3 ≤ x ≤ 0} = {sin4 t − 2 sin2 t − 3 : −18 ≤ t ≤ 2}.
Đặt z = sin t. Do [−π; 0] chứa trong đoạn [−18; 2] nên −1 ≤ sin t ≤ 1.
Vậy −1 ≤ z ≤ 1. Do đó g◦ f (B) = {z 4 − 2z 2 − 3 : −1 ≤ z ≤ 1}.
Từ bảng biến thiên ta được tập giá trị của g◦ f trên B là [−4; −3].
Sau đây chúng tôi nêu một số phương pháp xác định tập giá trị của
hàm số thực.

1.2
1.2.1

Các phương pháp xác định tập giá trị của hàm số thực
Phương pháp thứ nhất và ví dụ áp dụng.

Trong phương pháp này ta dùng định nghĩa và các định lí về hàm liên tục
để tìm tập giá trị của hàm số thực.
Trước tiên ta nhắc lại điều kiện có nghiệm của phương trình

a cos x + b sin x = c; a2 + b2 > 0 là: a2 + b2 ≥ c2 .
Sau đây chúng tôi đưa ra các ví dụ minh họa cho phương pháp này.

Thang Long University Libraty


14

Ví dụ 1.17. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
2x2 + 7x + 3
1) y = f1 (x) = 2
.
x + 2x + 10

cosx
.
2) y = f2 (x) =
sinx + cosx + 2
cosx + sinx
3) y = f3 (x) =
.
sinx + cosx + 2
2sinx + cosx + 1
4) y = f4 (x) =
.
sinx − 2cosx + 3
Lời giải.
1) Vì x2 + 2x + 10 > 0, ∀x ∈ R nên ta có
2x2 + 7x + 3
⇔ 2x2 + 7x + 3 = y x2 + 2x + 10
y= 2
x + 2x + 10
⇔ (y − 2) x2 + (2y − 7) x + 10y − 23 = 0 (1) .
Nếu y = 2 thì phương trình (1) có nghiệm x = -1.

Nếu y = 2 thì phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

(2y − 7)2 − 4 (y − 2) (10y − 23) 0 ⇔ 4y 2 − 16y + 15 0
3
5
y
, y = 2.
⇔
2

2
5
5
3
3
y
, y = khi x = 2 và y = khi x = −4 .
Kết hợp lại ta được
2
2
2
2
3 5
Vậy tập giá trị của hàm số là T1 = ; .
2 2
2) Phương trình
cosx
⇔ cosx = y (sinx + cosx + 2)
y=
sinx + cosx + 2
⇔ (1 − y) cosx − ysinx = 2y ,vì sinx + cosx + 2 > 0, ∀x ∈ R.
Phương trình trên có nghiệm khi và chi khi
√
√
3
3
−1
−
−1
+

(1 − y)2 + y 2 4y 2 ⇔ 2y 2 + 2y − 1 0 ⇔
y
.
2
2
√
√
−1 − 3 −1 + 3
;
.
Vậy tập giá trị của hàm số là T2 =
2
2
3) Phương trình
cosx + sinx
y=
⇔ cosx + sinx = y (sinx + cosx + 2)
sinx + cosx + 2
⇔ (1 − y) cosx+ (1 − y) sinx = 2y ,vì sinx + cosx + 2 > 0, ∀x ∈ R.
Phương trình trên có nghiệm khi và chi khi


15

√
√
2(1 − y)2 4y 2 ⇔ 2y 2 + 4y − 2 0 ⇔ −1 − 2 y −1 + 2.
√
√
Vậy tập giá trị của hàm số là T3 = −1 − 2; −1 + 2 .

4) Phương trình
2sinx + cosx + 1
y=
⇔ 2sinx + cosx + 1 = y (sinx − 2cosx + 3)
sinx − 2cosx + 3
⇔ (y − 2) sinx− (2y + 1) cosx = 1 − 3y ,vì sinx − 2cosx + 3 > 0, ∀x ∈ R.
Phương trình trên có nghiệm khi và chi khi

(y − 2)2 + (2y + 1)2

(1 − 3y)2 ⇔ 2y 2 − 3y − 2
1
Vậy tập giá trị của hàm số là T4 = − ; 2 .
2

0 ⇔ − 21

y

2.

Ví dụ 1.18. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
2 x2 + 6xy
biết x, y là hai số thực thỏa mãn x2 + y 2 = 1.
P =
2
1 + 2xy + 2y
Lời giải.
Do x2 + y 2 = 1, nên ta đặt x = sin α, y = cosα với α ∈ [0; 2π].

2sin2 α + 12 sin αcosα
1 − cos2α + 6 sin 2α
Khi đó P =
=
.
1 + 2 sin αcosα
+ 2cos2 α
sin 2α + cos2α + 2
√
Do |sin 2α + cos2α|
2,∀α ∈ [0; 2π]⇒ sin 2α + cos2α + 2 > 0,

∀α ∈ [0; 2π].
Từ đó ta có phương trình
1 − cos2α + 6 sin 2α
P =
⇔ 1−cos2α+6 sin 2α = P (sin 2α + cos2α + 2)
sin 2α + cos2α + 2
⇔ (6 − P ) sin 2α − (1 + P ) cos2α = 2m − 1 (1).
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
(6 − P )2 + (1 + P )2 (2P − 1)2 ⇔ 2P 2 − 3P − 9 0 ⇔ −6 P 3.
Vậy maxP = 3 , minP = -6 khi x2 + y 2 = 1.
Ví dụ 1.19. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
x + 2y + 1
biết x, y là hai số thực tùy ý.
P = 2
x + y2 + 7

Thang Long University Libraty

16

Lời giải.

x + 2y + 1
⇔ P x2 −x+P y 2 −2y+7P −1 = 0 (1).
2
2
x +y +7
Nếu P = 0 thì (1) có dạng x + 2y + 1 = 0 ta thấy x = −1, y = 0 thỏa
mãn. Vậy P = 0 là một giá trị của biểu thức.
Nếu P = 0. Vì (1) có nghiệm nên ta xét
∆ = 1 − 4P P y 2 − 2y + 7P − 1
0
⇔ 4P 2 y 2 − 8P y + 28P 2 − 4P − 1 0 (2).
Ta sử dụng kết quả sau: Bất phương trình at2 + bt + c
0, (a > 0) có
nghiệm khi
b2 − 4ac 0 do a = 4P 2 > 0 nên BPT (2) có nghiệm khi
δ ′ = 16P 2 − 4P 2 28P 2 − 4P − 1
0 ⇔ 28P 2 − 4P − 5 0
1
15
P
, (P = 0)
do P 2 > 0 ⇔ −
14
2
15

1
Kết hợp lại ta được −
P
.
14
2
Mặt khác ta có
1
P = ⇔ (x − 1)2 + (y − 2)2 = 0 ⇔ x = 1 và y = 2.
2
7 2
14
14 2
7
5
+ y+
= 0 ⇔ x = − và y = − .
P =− ⇔ x+
14
5
5
5
5
Vậy ta có
1
5
7
14
max P = khi x = 1, y = 2. min P = − khi x = − , y = − .
2

14
5
5
Xét phương trình P =

Nhận xét 1.20. Việc tìm các tập giá trị của các hàm số và biểu thức ở
các ví dụ trên là ta dùng định nghĩa , định lí về hàm số liên tục và điều
kiện có nghiệm.
Ví dụ 1.21. Cho f hàm số thực với tập xác định là D. Hãy xác định các
tập sau
1) A1 = z ∈ D|z = x2 + y 2 , x + y = 1, x
2) A2 = z ∈ D|z = 2x + 3y, 2x2 + 3y 2
3) A3 = z ∈ D|z = sin4 2x + cos4 2x .
2

4) A4 = z ∈ D|z = 4sin x + 4cos

2

x

.

0, y
5 .

0 .


17

5) A5 = z ∈ D|z =

√

1−x+

√

1+x .

Lời giải.
1) Từ điều kiện suy ra 0

x

1, 0

y

1 do đó x2

x, y 2

y ⇒

x2 + y 2 1 .
Dấu bằng xảy ra khi x = 1, y = 0 hoặc x = 0, y = 1. Vậy maxz = 1.
Mặt khác dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được
1 = (x + y)2 = (1.x + 1.y)2

12 + 12 x2 + y 2 ⇒ z 21 .
1
1
Dấu bằng xảy ra khi x = y = . Vậy minz = , kết hợp lại ta được
2
2
1
A1 = ; 1 ∩ D.
2
2) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được
2
√ √
√ √
(2x + 3y)2 =
(2 + 3) 2x2 + 3y 2
2. 2x + 3. 3y
25
⇒ −5 2x + 3y 5.
Ta có: 2x + 3y = −5 khi x = y = −1, 2x + 3y = 5 khi x = y = 1.
Vậy A2 = [−5; 5] ∩ D.
3) Ta có
1
2
sin4 2x + cos4 2x = sin2 2x + cos2 2x − 2sin2 2xcos2 2x = 1 − sin2 4x.
2
Ta lại có
1 2
1
1
1

0 sin2 4x 1 ⇒ 0
sin 4x
⇒−
− sin2 4x 0
2
2
2
2
1
1 2
1
1 − sin 4x 1. Vậy A3 = ; 1 ∩ D.
⇒
2
2
2
4) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
√
2
2
2
2
4sin x + 4cos x 2 41 = 4,dấu bằng xảy ra khi 4sin x = 4cos x
π
π
⇒ x = + k . (1)
4
2
2
2

2
sin2 x
Ta lại có 4
− 1 0, 4cos x − 1 0 ⇒ 4sin x − 1 4cos x − 1
0
2

2

⇒ 4sin x + 4cos x 5. Dấu bằng xảy ra khi cosx = 0 hoặc sinx = 0. (2)
Từ (1) và (2) ta có A4 = [4; 5] ∩ D.
√
√
5) Hàm số z = 1 − x + 1 + x xác định khi |x| 1 và khi đó z 0.
√
Ta có z 2 = 2 + 2 1 − x2 dễ thấy khi −1 x 1 ⇒ 0 1 − x2 1.

Thang Long University Libraty


18

√
Từ đó ta có 2 z 2 4, vì z 0 nên 2 z 2 .
√
√
z = 2 khi x = ±1, z = 2 khi x = 0. Vậy A5 =
2; 2 ∩ D.
Nhận xét 1.22. Việc tìm các tập Ai với i=1,2,3,4,5 ở Ví dụ 1.21 là ta
dùng định nghĩa và các đánh giá ,các định lí về hàm số liên tục.

1.2.2

Phương pháp thứ hai và ví dụ áp dụng

Trong phương pháp này ta dùng bảng biến thiên và các định lí về hàm
liên tục để tìm tập giá trị của hàm số.Tiếp theo chúng tôi đưa ra các ví
dụ áp dụng cho phương pháp thư hai.
Ví dụ 1.23. Cho các hàm số sau

f1 (x) = x3 + 3x2 − 4.
2x2 + 3x + 3
f2 (x) =
.
x+1
f3 (x) = x4 − 2x2 + 1.
1
Các tập A1 = −3; − ; A2 = [−2; 2] ; A3 = [1; 4] ; A4 = [0; 3] .
2
1.Khảo sát sự biến thiên của các hàm số fi , i = 1, 2, 3.
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm fi , i = 1, 2, 3 trên
Aj với j = 1, 2, 3, 4.
3.Tìm tập giá trị của hàm số fi , i = 1, 2, 3 trên Aj với j = 1, 2, 3, 4.

Lời giải.
* Xét hàm f1 (x).
- TXĐ:D = R.
- Sự biến thiên.
+ Chiều biến thiên

f1′ (x) = 3x2 + 6x, f1′ (x) = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = −2.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2) và (0;+∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0).


19

+ Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x =-2 ⇒ y = 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ y = −4.

+ Giới hạn

lim f1 (x) = +∞;

x−→+∞

lim f1 (x) = −∞.

x−→−∞

+ Bảng biến thiên
x

−∞
+

f1′ (x)
f1 (x)
−∞

0

−2
0

✶
✏✏
✏✏

0

-

0

+∞
+

❳❳ ❳
✶+∞
✏
✏✏
❳❳
③−4 ✏✏
❳

2x2 + 3x + 3
.
*f2 (x) =

x+1
- TXĐ:D = R\ {−1}.
- Sự biến thiên.
+ Chiều biến thiên
2x2 + 4x ′
f2 ′ (x) =
, f2 (x) = 0 ⇒ x = −2 hoặc x = 0.
(x + 1)2
Hàm số NB trên khoảng (−2; −1) và (−1; 0).
Hàm số ĐB trên khoảng (−∞; −2) và (0; +∞).
+ Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = −2 ⇒ y = −5.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ y = −3.
+ Giới hạn
lim f2 (x) = +∞; lim f2 (x) = −∞.
x−→+∞

x−→−∞

lim f2 (x) = −∞; lim + f2 (x) = +∞.

x→−1−

x→−1

Thang Long University Libraty


20

+ Bảng biến thiên
x −∞ -2
-1

f2′ (x)

+ 0

f2 (x)

 
✒
 

 
 

-5

❆
❆
❆
❯
❆

-

+∞

0

+

+∞
❆

−∞

−∞

0

❆
❆
❆
❆❯

 
 
3

 

✒
 
 

+∞

* Xét hàm f3 (x) = x4 − 2x2 + 1.

- TXĐ :D = R.

- Sự biến thiên.
+ Chiều biến thiên

f3′ (x) = 4x3 − 4x, f3′ (x) = 0 ⇒ x = −1 hoặc x = 1 hoặc x = 0.
Hàm số NB trên các khoảng (-∞;-1) và (0;1).
Hàm số ĐB trên khoảng (-1;0)và (1;+∞)..
+ Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇒ y = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1 ⇒ y = 0.
+ Giới hạn
lim f3 (x) = +∞; lim f3 (x) = −∞.
x−→−∞

x−→+∞

+ Bảng biến thiên

x

- 0

f3′ (x)
f3 (x)

-1

−∞

+∞
❳

❳❳
③
❳

0

0
+
✘✘✘

0

1
-

1

+∞

0 +

+∞

✿ ❳❳❳
✘
✘
✿

✘
✘
❳❳
③ 0 ✘✘

2. Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của các hàm đã cho trên Aj với

j = 1, 2, 3.
* Xét với hàm f1 (x) = x3 + 3x2 − 4.