Một số vấn đề về tích hai hàm suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG THỊ DUYÊN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH HAI
HÀM SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG THỊ DUYÊN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH HAI
HÀM SUY RỘNG
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí .
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Tạ Ngọc Trí. Sự
giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình làm luận văn
đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn
đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành
Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo
điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành
luận văn này.

Hà Nội, tháng 08 năm 2015

Hoàng Thị Duyên


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa
học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 08 năm 2015

Hoàng Thị Duyên


Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Không gian các hàm thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 Không gian hàm suy rộng Schwartz
2.1

2.2

9

Không gian hàm suy rộng D (Ω) . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.2

Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.3

Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng D (Ω)

Vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schwartz . . . . . . . . . . 14
2.2.1

Tích chập của hai hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 14

2.2.2

Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng . . . . 15

2.2.3

Tích hai hàm suy rộng bất kỳ

2.2.4

Sự không tồn tại tích các hàm suy rộng tổng quát

. . . . . . . . . . . . 16

3 Hàm suy rộng Colombeau
3.1

3.2

. . 13

. 20
22

Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1

Hàm suy rộng Colombeau ( G - suy rộng) trên Rn . . 22

3.1.2

Hàm suy rộng Colombeau trên tập mở Ω ⊂ Rn . . . 25

Các tính chất về vi phân trong đại số G(Rn )
1

. . . . . . . . 26


3.3

Số phức suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4

Giá trị tại điểm của hàm G - suy rộng . . . . . . . . . . . . 33

3.5

Tích phân của hàm G− suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6

Khái niệm bằng nhau trong G(Rn )

3.7

Hàm G− suy rộng tăng chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8

. . . . . . . . . . . . . 38

3.7.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7.2

Tích phân của hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . 45

3.7.3

Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . . 48

Một số ví dụ cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

54


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Có thể nói rằng lý thuyết hàm suy rộng phát triển bởi L. Schwartz đã
mở cửa cho sự phát triển trong một số những lĩnh vực của toán học hiện
đại, chẳng hạn như trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng. Lý thuyết
của L.Schwartz cũng làm sáng tỏ các vấn đề trong vật lý mà trước đó toán
học chưa thể lý giải một cách hoàn hảo được.
Sau khi hoàn thành việc xây dựng lý thuyết hàm suy rộng thì L.Schwartz
đã công bố một công trình cho thấy rằng không thể lấy tích số của hai
hàm suy rộng tùy ý. Điều này dẫn đến việc tiếp tục nghiên cứu để tìm
cách xác định tích hai hàm suy rộng trong một số trường hợp cụ thể mà
thực tiễn đặt ra. Nhiều nhà toán học khác nhau đã tham gia vào quá trình

này để giải quyết vấn đề tích của hai hàm suy rộng. Một số trong đó đã
thành công trong việc xác định tích của hai hàm suy rộng trong một số
trường hợp, như cách của Mikusinski hay cách xác định dựa vào biến đổi
Fourier. Trong trường hợp tổng quát, để định nghĩa một cách tổng quát
rõ ràng không thể dừng lại trong lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz,
phải có một đại số nào đấy mà trong đó các hàm suy rộng L.Schwartz là
một tập con ( theo một nghĩa nào đó) và từ đó mới có thể lấy được tích
một cách tùy ý.
Cuối cùng vào những năm 80 của thế kỷ 20, một lý thuyết mới về hàm
suy rộng đã được nhà toán học người Pháp là J. F. Colombeau giới thiệu.


2

Ở hai chuyên khảo liên tiếp [9] và [10] ông đã trình bày cách xây dựng
đại số của hàm suy rộng mới, hàm suy rộng Colombeau. Trong đại số này,
như mong muốn các hàm suy rộng của L. Schwartz được nhúng vào như
một tập con, và từ đó về mặt lý thuyết ta có thể xác định được tích hai
hàm suy rộng đó.
Đại số các hàm suy rộng của J.F.Colombeau sau khi ra đời đã giúp một
số nhà toán học ứng dụng và đưa ra những kết quả nghiên cứu trong việc
giải các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Hiện nay, các nhóm nghiên
cứu này (chẳng hạn ở Đại học Bách khoa Viên- Áo) vẫn hoạt động và
thường xuyên đưa ra các kết quả mới.
Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại,
được sự định hướng và hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn
đề tài "Một số vấn đề về tích hai hàm suy rộng" cho luận văn tốt
nghiệp khóa học thạc sỹ của mình. Trong luận văn này, tôi sẽ nghiên cứu
các kết quả cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng của L. Schwartz và kết quả
tại sao không thể thể lấy được tích của hai hàm suy rộng một cách tổng

quát. Tiếp theo tôi sẽ đi tìm hiểu một số cách xác định tích của hai hàm
suy rộng để có thể giải quyết được một số ví dụ cụ thể về tích hai hàm
suy rộng. Phần cuối luận văn sẽ trình bày những vấn đề cơ bản nhất trong
đại số hàm suy rộng của J.F.Colombeau và tìm hiểu một số ví dụ cụ thể
về tích của hai hàm suy rộng Colombeau được công bố gần đây.

2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu tìm hiểu về sự phát triển của bài toán tích hai hàm suy
rộng.
- Tìm hiểu về không gian các hàm suy rộng L.Schwartz và đại số hàm
suy rộng Colombeau.


3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên , nhiệm vụ nghiên cứu của luận
văn là:
- Trình bày các định nghĩa, các ví dụ cụ thể về hàm suy rộng.
- Một số vấn đề của thực tiễn dẫn đến việc phải nghiên cứu tích hai hàm
suy rộng.
- Một số giải pháp tìm cách xác định tích của hai hàm suy rộng và những
vấn đề liên quan.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Hàm suy rộng L. Schwartz, một số phương
pháp tìm cách xác định tích của hai hàm suy rộng; đại số hàm suy rộng
Colombeau và một số vấn đề liên quan.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến tích hai hàm suy rộng.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kiến thức, phương pháp và công cụ của giải tích hàm để
tiếp cận vấn đề.
- Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo
mới về vấn đề tích hai hàm suy rộng.

6. Đóng góp mới
-Đây là một tài liệu giúp cho người quan tâm tìm hiểu được các vấn đề
liên quan đến sự phát triển của bài toán tích các hàm suy rộng.


4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này hệ thống lại một số thuật ngữ, khái niệm và kết quả về
những không gian để làm cơ sở cho việc tiếp cận các kiến thức ở chương
tiếp theo. Các kiến thức ở đây được tham khảo trong các tài liệu [3], [4]
và [14].

1.1

Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản

Ta gọi mỗi phần tử α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn là một n- chỉ số (hay đa
chỉ số) với bậc |α| = α1 + α2 + ... + αn .
Với mỗi đa chỉ số α , toán tử vi phân ký hiệu ∂ α = ∂ α1 ∂ α2 ...∂ αn , ở đây

∂j =

∂
∂xj

và toán tử Dα = D1α1 D2α2 ...Dnαn , trong đó Dj =

∂
i∂xi

= −i∂j , j =

1, 2, ..., n.
Với mỗi α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn , β = (β1 , β2 , ..., βn ) ∈ Nn thì β ≤ α
nghĩa là βj ≤ αj , j = 1, 2, ..., n . Nếu β ≤ α ta viết:

Cαβ = Cαβ11 Cαβ22 ...Cαβnn ,
trong đó

Cαβjj =

αj !
; j = 1, 2, ..., n.
βj !(αj − βj )!

Ta ký hiệu C k (Ω) là tập hợp các hàm khả vi liên tục đến cấp k . Với


5

f, g ∈ C k (Ω) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz

∂ α (f g) =
Dα (f g) =

α!
∂ β f ∂ α−β g,
β! (α − β)!
β≤α

(1.1)

α!
Dβ f Dα−β g,
β! (α − β)!
β≤α

(1.2)

trong đó α! = α1 !α2 !... αn !.

1.2

Không gian các hàm thử

Cho Ω là một tập khác rỗng và Ω ⊂ Rn . Ta ký hiệu C ∞ (Ω) là tập hợp
những hàm f giá trị phức xác định trên Ω sao cho ∂ α f tồn tại với mọi đa
chỉ số α. Giá của hàm liên tục f : Ω → C là tập hợp ký hiệu suppf , được
xác định bởi suppf = cl {x ∈ Ω : f (x) = 0}. Nếu K là một tập compact
trong Rn , ta ký hiệu DK là tập hợp {f ∈ C ∞ (Rn ) : suppf ⊆ K}. Ta thừa
nhận các bổ đề sau
Bổ đề 1.1. Cho Ω ⊂ Rn , Ω = ∅. Khi đó tồn tại các tập compact

∞

{Kj } , j = 1, 2, 3, ... thỏa mãn Kj ⊂ intKj+1 , ∪ Kj = Ω .
j=1

Vì vậy, kể từ đây, trong luận văn này ta ký hiệu K là một tập compact
của Ω và Kj là một trong các tập compact trong họ Kj nói trong bổ đề
trên.
Bổ đề 1.2. C ∞ (Ω) là một không gian Fréchet và DK là không gian con
đóng của C ∞ (Ω) với mọi K ⊂ Ω .
Chọn các tập compact Kj , j = 1, 2, ... , sao cho Kj nằm trong phần
∞

trong của Kj+1 (ký hiệu intKj+1 ) và Ω = ∪ Kj . Họ các nửa chuẩn pN
j=1

với N = 1, 2, ..., xác định bởi pN (f ) = max {|∂ α f (x)| : x ∈ KN , |α| ≤ N }
có tính chất: các điểm tách thuộc C ∞ (Ω) và tạo một tôpô với một cơ sở
địa phương đếm được. Từ đó ta có định nghĩa 1.1 và định lý 1.1


6

Như vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω thì DK (Ω) là một không gian
Fréchet. Hợp tất cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử.
Định nghĩa 1.1. Ta ký hiệu D(Ω) là tập hợp

D(Ω) = {φ ∈ C ∞ (Ω) : suppφ là tập compact trong Ω }
Khi đó ta gọi D(Ω) là không gian các hàm thử (test function).
∞

Ta thấy D(Ω) = ∪ DK j (Ω) , nên D(Ω) là không gian vectơ, đó còn là
j=1

không gian vectơ lồi địa phương. Điều này được thể hiện qua định lý sau
Định lý 1.1. Không gian các hàm thử D(Ω) là một không gian vectơ tôpô
lồi địa phương.
Chứng minh. Theo nhận xét trên ta có DK (Ω) là không gian Fréchet. Ta
ký hiệu τK là tôpô trên không gian DK (Ω) , β là họ tất cả các hợp W tập
cân, lồi của D(Ω) sao cho DK ∩ W ∈ τK với mọi tập compact K ⊂ Ω .
Gọi τ là họ tất cả các tập hợp có dạng φ + W với φ ∈ D(Ω) và W ∈ β .
a) Ta chứng minh τ là một tôpô trên D(Ω) và β là một cơ sở lân cận của

τ
Thật vậy, với V1 , V2 ∈ τ và φ ∈ V1 ∩ V2 ta chỉ cần chứng minh tồn tại

W ∈ β sao cho φ + W ∈ V1 ∩ V2 . Ta có, do φ ∈ Vi , (i = 1, 2) nên tồn tại
φi ∈ D(Ω) và Wi ∈ β sao cho
φ ∈ φi + Wi , i = 1, 2
Chọn tập compact K ⊂ Ω sao cho φ, φi ∈ DK , i = 1, 2 . Do DK ∩ Wi mở
trong DK nên tồn tại δi > 0, i = 1, 2 sao cho

φ − φi ∈ (1 − δi )Wi .
Do Wi là tập lồi nên

φ − φi + δi Wi ⊂ (1 − δi )Wi + δi Wi = Wi .


7

Suy ra

φ + δi Wi ⊂ φi + Wi , i = 1, 2.
Từ đó ta chọn W = (δ1 W1 ) ∩ (δ2 W2 ) thì φ + W ∈ V1 ∩ V2 . Vậy τ là một
tôpô trong D(Ω) . Hiển nhiên β là một cơ sở của τ . Giả sử φ1 , φ2 là hai
phần tử tùy ý của D(Ω) . Với mỗi φ ∈ D(Ω) ta đặt

φ

0

= sup |φ(x)|
x∈Ω

và

W = {φ ∈ D(Ω) : φ

0

< φ1 − φ2 0 }

thì W ∈ β và φ1 ⊂ φ2 + W . Suy ra mọi tập một điểm là đóng trong D(Ω)
theo tôpô τ .
b) Bây giờ ta chứng minh các phép toán trên D(Ω) liên tục với tôpô

τ . Với mọi φ1 , φ2 ∈ D(Ω) và φ1 + φ2 + W ∈ τ với W ∈ β . Khi đó,
1
1
1

do W là cân nên W ∈ β , suy ra φ1 + W ∈ τ và φ2 + W ∈ τ và
2
2
2
1
1
φ1 + W ∈ τ + φ2 + W ∈ τ ⊆ φ1 + φ2 + W . Vậy phép cộng hai phần tử
2
2
trong D(Ω) là liên tục theo τ .
Với α0 ∈ C và φ0 ∈ D(Ω) ta có

αφ − α0 φ0 = α(φ − φ0 ) + (α − α0 )φ0 .
1
1
W . Đặt c =
,
2
2 (|α0 | + δ)
do W là tập lồi và cân nên ta có αφ − α0 φ0 ∈ W với mọi |α − α0 | < δ và

Với mọi W ∈ β tồn tại δ > 0 sao cho δφ0 ∈

φ ∈ φ0 + cW . Vậy phép nhân với phần tử vô hướng là liên tục trong D(Ω)
theo tôpô τ . Điều này chứng tỏ không gian các hàm thử D(Ω) là không
gian vectơ tôpô và hơn nữa còn là không gian lồi địa phương.
Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích
hiện đại. Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như mở rộng

8

các khái niệm đã có. Sau đây, ta thừa nhận các tính chất của D(Ω) (xem
các tài liệu tham khảo của [14]).
Định lý 1.2. Cho không gian D(Ω) với tôpô τ . Ta có
1. Dãy các hàm thử {φl }∞
l=1 hội tụ theo tôpô τ tới φ0 trong D(Ω) khi và
chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho suppφl ⊂ Kj với mọi l ∈ N∗ và φl → φ0
trong DKj (Ω), nghĩa là

sup |∂ α φl (x) − ∂ α φ0 (x)| → 0 khi l → ∞

(1.3)

x∈Kj

với mọi đa chỉ số α.
2. Tập E ⊂ D(Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho E là tập con bị
chặn trong DKj (Ω). Đặc biệt, nếu {φl }∞
l=1 là dãy Cauchy trong D(Ω) thì
tồn tại j ∈ N∗ sao cho φl hội tụ trong DKj (Ω) và do đó hội tụ trong D(Ω).
3. Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D(Ω) → C liên tục khi và chỉ khi với
mọi j ∈ N tồn tại Nj ∈ N và hằng số cj > 0 sao cho

sup
φ∈DKj (Ω)

|Λ(φ)| ≤ cj sup {|∂ α φ(x)| : |α| ≤ Nj } .

(1.4)

x∈Kj

Định lý 1.3. Trong không gian các hàm thử
1. Phép lấy vi phân ∂ α : φ → ∂ α φ là tuyến tính và liên tục trên D(Ω) với
mọi đa chỉ số α.
2. Với mọi f ∈ C ∞ (Ω) thì ánh xạ Mf : φ → f φ cũng là tuyến tính liên
tục trên D(Ω).


9

Chương 2
Không gian hàm suy rộng Schwartz
Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết
hàm suy rộng Schwartz và vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schwartz. Các
kiến thức này được tham khảo trong các tài liệu [4] và [14].

2.1
2.1.1

Không gian hàm suy rộng D (Ω)
Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Mỗi phiếm hàm u : D(Ω) → C tuyến tính liên tục với
tôpô trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz.
Không gian các hàm suy rộng trên Ω được kí hiệu D (Ω). Với mỗi hàm
suy rộng u ∈ D (Ω) tác động lên mỗi φ ∈ D(Ω) được viết là u, φ . Hai
hàm suy rộng u, v ∈ D (Ω) được gọi là bằng nhau nếu

u, φ = v, φ , ∀φ ∈ D(Ω).
Chú ý 2.1.1. D (Ω) là không gian vectơ với các phép toán được xây dựng
trên C như sau:
. Phép công: Với mọi u, v ∈ D (Ω) ta định nghĩa u+v như sau: u + v, φ =

u, φ + v, φ , ∀φ ∈ D(Ω). Khi đó u + v ∈ D (Ω).
. Phép nhân với phần tử vô hướng: Với mọi u ∈ D (Ω) và mọi số λ ta định
nghĩa λu như sau: λu, φ = λ u, φ , ∀φ ∈ D(Ω). Khi đó λu ∈ D (Ω).


10

Định nghĩa 2.2. Cho u ∈ D (Ω)
1. Hàm suy rộng u được gọi là bằng 0 trên tập mở K ⊂ Ω, kí hiệu u |K = 0
nếu

u, φ = 0, ∀φ ∈ D(K).
2. Giá của hàm suy rộng u được kí hiệu là suppu và được xác định bởi:

suppu = Ω\ ∪ K K mở

⊂ Ω và u |K = 0 .

Nếu u có suppu là tập compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy rộng có
giá compact.
Ví dụ 2.1. Mỗi hàm f ∈ Lloc (Ω) là một hàm suy rộng được xác định
như sau: f : φ → f, φ =

f (x)φ(x)dx. Thật vậy, với mỗi tập compact
Ω

K ⊂ Ω và mọi hàm φ ∈ D(Ω) sao cho suppφ ⊂ K ta có
| f, φ | =

f (x)φ(x)dx =
Ω

≤

f (x)φ(x)dx
K

|f (x)| |φ(x)| dx ≤ sup |φ(x)|
K

K

|f (x)| dx.

(2.1)

K

Tương tự, mọi hàm f ∈ Lp (Ω) cũng là một hàm suy rộng.
Ví dụ 2.2. (Hàm Dirac) Hàm Dirac ký hiệu là δ được xác định như sau

δ : D(Rn ) → C và δ, φ = φ(0)
là một hàm suy rộng. Thật vậy, ta có φ ∈ D(Rn ) nên φ là hàm khả vi liên
tục mọi cấp và

(δ, φ) = |φ(0)| ≤ 1. sup |φ(x)| , ∀φ ∈ D(Rn ).
Mà suppφ ⊂ K − compact ⊂ Rn . Do đó δ là một hàm suy rộng (gọi là
hàm suy rộng Dirac hay hàm Delta Dirac).


11

Ví dụ 2.3. Hàm

|x| : D(R) → C
φ → |x| , φ =

|x| φ(x)dx
R

là một hàm suy rộng.
Thật vậy, với suppφ ⊂ K, K là tập compact trong R ta có:

| |x| , φ | =

|x| φ(x)dx
R

≤

|x| |φ(x)| dx
R

≤

|x| dx = sup φ(x)

|x| sup |φ(x)| dx = sup φ(x)
R

R

R

R

K

|x| dx .
K

Vậy |x| là một hàm suy rộng.
Ví dụ 2.4. Với mỗi hàm f ∈ L1loc (Ω) và với α ∈ Nn ,
ánh xạ uf,α : φ →

Ω f (x)(∂

α

φ)(x)dx là một hàm suy rộng.

Định lý 2.1. Một phiếm hàm tuyến tính u xác định trên D(Ω) là một
hàm suy rộng khi và chỉ khi

lim u, φj = 0,

j→∞

với mọi dãy {φj } hội tụ tới 0 khi j → ∞.

2.1.2

Đạo hàm suy rộng

Trong không gian D (Ω) ta có:
Bổ đề 2.1. Cho u ∈ D (Ω) là một hàm suy rộng. Khi đó, với mỗi đa chỉ
số α ∈ Nn toán tử tuyến tính được ký hiệu ∂ α u xác định bởi

∂ α u, φ = (−1)|α| u, ∂ α φ , φ ∈ D(Ω)
là một hàm suy rộng.

(2.2)


12

Chứng minh. Vì u ∈ D (Ω) nên | u, φ | ≤ c. φ , ∀φ ∈ D(Ω). Do đó

| ∂ α u, φ | ≤ c ∂ α φ

N

≤c φ

N +|α| .

Vậy ∂ α u ∈ D (Ω).
Định nghĩa 2.3. Cho u ∈ D (Ω). Hàm suy rộng xác định bởi (2.2) được
gọi là đạo hàm cấp α của hàm suy rộng u .
Ví dụ 2.5. Hàm Heaviside xác định bởi

1 nếu x ≥ 0
0 nếu x < 0

H(x) =

có ∂H = δ . Thật vậy, với Ω = R, ∀φ ∈ D(Ω) ta có
∞

∂φ(x)dx = −φ(x) |∞
0 = φ(0) = δ, φ ,

∂H, φ = (−1)1 H, ∂φ = −
0

do đó ∂H = δ .
Trong trường hợp Ω = R , với u, U ∈ D (R), ta nói U là nguyên hàm
suy rộng của hàm suy rộng u nếu đạo hàm suy rộng của U là u , nghĩa là

∂U = u.
Mệnh đề 2.1. Mọi hàm suy rộng u ∈ D (R) đều có nguyên hàm suy rộng.
Chứng minh. Với mỗi ϕ ∈ C0∞ (R) đặt
+∞

ψ(x) = ϕ(x) − ρ(x)

ϕ(t)dt,
−∞

x

Ψ(x) =

ψ(t)dt.
−∞

Có Ψ(x) ∈ C0∞ (R) nên với mỗi hàm suy rộng u ∈ D (R), ta có thể đặt

U, ϕ = u, Ψ . Khi đó U ∈ D (R) và
x

∂U, ϕ = U, ϕ =

u, ϕ(x) −

+∞

ρ(y)
−∞

ϕ (t)dtdy
−∞

= u, ϕ .

13

Nếu hàm suy rộng U có đạo hàm suy rộng ∂U = 0 thì
+∞

U, ϕ = U, ψ +

ϕ(t)dt

U, ρ

−∞
+∞

ϕ(t)dt

= ∂U, Ψ +

U, ρ

−∞
+∞

=

ϕ(t)dt

U, ρ .

−∞

Do đó nếu hàm suy rộng U có đạo hàm suy rộng ∂U = 0 thì U tương
ứng với hàm hằng U ≡ U, ρ trong lớp hàm khả tích địa phương L1loc (R)
Khi đó, với mỗi hàm suy rộng u ∈ D (R), luôn có một họ các nguyên hàm
suy rộng mà hai nguyên hàm trong họ sai khác nhau một hàm suy rộng
có thể biểu diễn dưới dạng hàm khả tích địa phương hằng.

2.1.3

Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng D (Ω)

Định nghĩa 2.4. Cho uk , u ∈ D (Ω), k = 1, 2, .... Ta nói rằng dãy {uk }∞
k=1
hội tụ đến u trong D (Ω) khi k → ∞ nếu

lim uk , φ = u, φ , ∀φ ∈ D (Ω).

k→∞

Khi đó ta viết D _ lim uk = u.
k→∞

Ví dụ 2.6. D _ lim ρ k1 = δ.
k→∞

Thật vậy, với mỗi φ ∈ C0∞ (Rn ) ta có

| f, φ | =

f (x)φ(x)dx =
Ω

≤

|f (x)| |φ(x)| dx ≤ sup |φ(x)|
K

Nên lim

k→∞

f (x)φ(x)dx
K

K

|f (x)| dx.
K

ρ k1 , φ − φ(0) = 0 hay ta có điều phải chứng minh.

(2.3)


14

2.2
2.2.1

Vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schwartz
Tích chập của hai hàm suy rộng

Định nghĩa 2.5. Cho u, v ∈ D (Rn ), tích chập của hai hàm suy rộng u, v
là một phiếm hàm tuyến tính, ký hiệu u ∗ v , xác định bởi:

u ∗ v, φ = u(y), v(x), φ(x + y) , φ ∈ D(Rn ).
Chú ý 2.2.1. (i) u ∗ δ = δ ∗ u = u với mọi u ∈ D (Rn ). Thật vậy, ta có δ
có giá compact và

u ∗ δ, φ = u(y), δ(x), φ(x + y)

= u(y), φ(y) = u, φ .

Mặt khác

δ ∗ u, φ = δ(y), u(x), φ(x + y)

= u(x), φ(x) = u, φ .

Vậy nên u ∗ δ = δ ∗ u = u với mọi u ∈ D (Rn ).
(ii) Định nghĩa tích chập ở trên cũng hợp lệ với f, g ∈ L1 (Rn ). Thật vậy,
với φ ∈ D(Rn ) tùy ý đặt:

h(y) =

g(x)φ(x + y)dx,
n

thì ta có h ∈ L1 (Rn ), hơn nữa ta có

|h(x)| ≤

|g(x)φ(x + y)| dx =
Rn

≤ sup |φ(t)|
t∈suppφ

|g(t − y)| |φ(t)| dt
Rn

|g(t − y)| dt = c g
Rn

L1 .

Với y ∈ Rn thì

f (y), g(x), φ(x + y)

= f (y), h(y) =

f (y)h(y)dy
Rn


15

và |f (y)h(y)| ≤ c g

L1

|f (y)|. Do đó f (y), g(x), φ(x + y)

luôn tồn tại

nên f ∗ g tồn tại. Mặt khác theo Fubini ta có

f ∗ g, φ =

f (y)g(x)φ(x + y)dxdy
Rn ×Rn

f (y)g(t − y) φ(t)dt

=
Rn

Rn

f (y)g(t − y)dy, φ(t)

=
Rn

nên (f ∗ g) (x) =

2.2.2

Rn

f (y)φ(t − y)dy xác định.

Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng

Định nghĩa 2.6. Cho f ∈ C ∞ (Ω), u ∈ D (Ω) tùy ý. Tích của hàm f và
hàm suy rộng u ký hiệu là f u được xác định như sau:

f u, φ = u, f φ

∀φ ∈ D(Ω).

(2.4)

Ta nhận thấy φ ∈ D(Ω) nên f φ ∈ D(Ω). Do đó vế phải của (2.4) hoàn
toàn xác định một hàm suy rộng. Nghĩa là định nghĩa trên hoàn toàn xác
định trong D (Ω).
Ví dụ 2.7. 1. Với δ ∈ D (R) thì ta có xδ, φ = δ, xφ = (xφ) (0) =

0, ∀φ ∈ D(R) nên xδ = 0 trong D (R).
1
1
2. Với u = thì x = 1 trong D (R).
x
x
Thật vậy, ta có:
1
x ,φ
x

=

1
, xφ
x
 −ε

= lim+ 
ε→0

+∞

xφ(x)
dx +
x

−∞
+∞

=

φ(x)dx
−∞

= 1, φ , ∀φ ∈ D(R).



xφ(x) 

dx
x
ε


16

Tích của một hàm trơn với một hàm suy rộng cũng thỏa mãn công thức
Leibniz về lấy đạo hàm.
Định lý 2.2. Cho f ∈ C ∞ (Ω), u ∈ D (Ω) và α là một đa chỉ số tùy ý.
Khi đó ta có:

∂ α (f u) =

α!
∂ β f ∂ α−β u.
β! (α − β)!
β≤α

(2.5)

Chứng minh. Với hai hàm f, φ ∈ C ∞ ta có ∂j (f u) = (∂j f )u + f ∂j u với
∂
∂j =
. Do đó ta có với mọi φ ∈ D(Ω) thì
∂xj

∂j (uf ), φ = f u, −∂j φ = u, −f ∂j φ = u, −∂j (f φ) + (∂j f )φ
= ∂j u, f φ + (∂j f )u, φ = f ∂j u + (∂j f )u, φ
Định lý được chứng minh.

2.2.3

Tích hai hàm suy rộng bất kỳ

Ở phần trên, chúng ta đã định nghĩa tích của một hàm trơn f ∈ C ∞ (Ω)
và một hàm suy rộng u ∈ D (Ω). Bây giờ chúng ta muốn định nghĩa tích
của hai hàm suy rộng tùy ý, nói riêng trên Rm , rõ ràng không thể dùng
định nghĩa 2.6 cho 2 hàm suy rộng vì f φ có thể không là hàm thử nếu

f ∈ D (Rm ); φ ∈ D(Rm ). Sau đây chúng ta sẽ xét một số cách định nghĩa
tích hai hàm suy rộng. Trước tiên là định nghĩa tích hai hàm suy rộng của
Mikusinski
Định nghĩa 2.7. Một dãy (δn ), n = 1, 2, ... các phần tử của D(Rm ) được
gọi là một dãy Delta nếu thỏa mãn:
a) suppδn ⊂ {x ∈ Rm : |x| ≤ εn } với lim εn = 0,
n→∞

b)

Rm δn (x)dx

= 1.


17

Định nghĩa 2.8. (Mikusinski) Ta nói rằng S và T có thể lấy tích S.T nếu
với mọi dãy Delta (δn ), n = 1, 2, ..., thì giới hạn lim (S ∗ δn )(T ∗ δn ) tồn
n→∞

m

tại trong D (R ) và giới hạn đó không phụ thuộc vào việc chọn dãy Delta.
Cơ sở của định nghĩa 2.8 là do lim δn = δ trong D (Rm ) do đó lim (S ∗
n→∞

n→∞

m

δn ) = S và lim (T ∗ δn ) = T trong D (R ).
n→∞

1
Ví dụ 2.8. Trong D (R), theo cách định nghĩa của Mikusinski ta có δ =
x
1
− δ.
2
Chứng minh: Đặt δn− (x) = δn (−x), n = 1, 2, ... ta có:
1
∗ δn . (δ ∗ δn ) , φ
x

1
∗ δn .δn , φ
x
1
∗ δn , δn φ

x

=
=
=

1
, δn ∗ δn− φ
x

∀φ ∈ D(R).

Khai triển φ(x) = φ(0) + xφ (0) + x2 ψ(x) ta có:

1
∗ δn . (δ ∗ δn ) , φ
x
1 −
1 −
= φ(0)
, δn ∗ δn + φ (0)
, δ ∗ (xδn ) +
x
x n

1 −
, δn ∗ (x2 ψ)δn .
x

Ta có thể chứng minh số hạng cuối cùng của vế phải dần tới 0 khi

n → ∞.
Số hạng đầu tiên dần tới 0 khi n → ∞ vì δn− ∗ δn là hàm chẵn. Ta sẽ đi
1
chứng minh số hạng thứ hai ở vế phải hội tụ tới φ (0). Thật vậy, ta có:
2

1 −
φ (0)
, δ ∗ (xδn )
x n

+∞

=
−∞

1
αn (x)dx,
x

trong đó αn = δn− ∗(xδn ), nên αn− = δn ∗[(−x)δn− ] = −x(δn ∗δn− )+(xδn )∗δn− ,
vì rõ ràng nếu ψ1 , ψ2 ∈ L1 (R) thì x(ψ1 ∗ ψ2 ) = (xψ1 ) ∗ ψ2 + ψ1 ∗ (xψ2 ).


18

Do đó ta có αn − αn− = x(δn ∗ δn− ) và

1

, αn
x

=

1
2

1
1
, αn + αn− +
x
2

1
, αn − αn−
x

=

1
2

1
, αn − αn− ,
x

vì αn − αn− là lẻ. Điều đó chứng tỏ:

1

, αn
x

1
=
2

do δn ∈ D(R), n = 1, 2, ... và

lim

n→∞

hay lim

n→∞

R δn (x)dx

1
∗ δn . (δ ∗ δn ) , φ
x

+∞

1
=
2

1

, x δn ∗ δn−
x

−∞

1
δn ∗ δn− (x)dx = ,
2

= 1. Từ đó ta có:

1
1
= φ (0) = − δ , φ , ∀φ ∈ D(R)
2
2

1
1
1
∗ δn . (δ ∗ δn ) = − δ trong D (R). Do đó, chúng ta có .δ =
x
2
x

1
− δ trong D (R).
2
Với định nghĩa tích hai hàm suy rộng của Mikusinski ta có thể lấy tích
của hai hàm suy rộng. Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng thực hiện

được. Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 2.2. Trong D (R) ta không thể lấy tích δ.δ theo định nghĩa 2.8.
Chứng minh. Giả sử rằng tồn tại δ 2 ∈ D (R). Lấy dãy Delta tùy ý (δn ), n =

1, 2, ..., ta có giới hạn lim δ 2 , φ luôn tồn tại ∀φ ∈ D(R). Chọn φ ∈ D(R)
n→∞

sao cho φ ≡ 1 trong lân cận của 0. Khi đó ta có
+∞
2

+∞
2

δ ,φ =

δ 2 dx.

δ φdx =
−∞

−∞

Do sự tồn tại của giới hạn lim δ 2 , φ nên ta có dãy (δn ), n = 1, 2, ...
n→∞

bị chặn trong L2 (R). Mà trong L2 (R) thì hình cầu đơn vị là compact yếu
nên tồn tại dãy con (δnk ), k = 1, 2, ... của dãy (δn ), n = 1, 2, ... hội tụ
yếu tới g ∈ L2 (R). Bởi vậy ∀φ ∈ L2 (R) thì g, φ = lim δnk , φ , nhưng
k→∞

do φ ∈ D(R) nên ta lại có lim δnk , φ = g, φ . Điều đó chứng tỏ rằng
k→∞


19

δ = g ∈ L2 (R) dẫn đến mâu thuẫn. Vậy chứng tỏ không tồn tại δ 2 theo
định nghĩa 2.8. Ta cũng có thể kết luận rằng dãy (δn2 ), n = 1, 2, ... không
hội tụ trong D (R).
Như vậy cách định nghĩa của Mikusinski chưa giải quyết triệt để việc
lấy tích hai hàm suy rộng. Bây giờ chúng ta nói đến một cách định nghĩa
tích của hàm suy rộng dựa trên khai triển Fourier
Với u ∈ D (Rm ), có giá compact, ta đặt:

u∧ (ξ) = u(x), e−ix.ξ , u∨ (x) =

1
iξ.x
m u(ξ), e
(2π)

Gọi M (Rm ) bao gồm tất cả các cặp (u, v) ∈ D (Rm ) × D (Rm ) sao cho

∀x ∈ Rm tồn tại một lân cận Ωx của x sao cho
1. (ωu)∧ (ψv)∨ khả tích trên Rm với mọi ω, ψ ∈ D(Ωx ),
2.
3.

Rm

Rm

(ωu)∧ (ψv)∨ dx =

Rm

(ψu)∧ (ωv)∨ dx với mọi ω, ψ ∈ D(Ωx ),

(ωu)∧ (ψv)∨ dx phụ thuộc liên tục vào ω ∈ D(Ωx ), ∀ψ ∈ D(Ωx ).

Định nghĩa 2.9. (Dựa trên biến đổi Fourier) Nếu u, v ∈ M (Rm ), tích của

u và v trong D (Ωx ) ký hiệu uv xác định trên Ωx như sau:
(ωu)∧ (ψv)∨ dx,

uv, ω =
Rm

với mọi ω ∈ D(Ωx ), ψ ∈ D(Ωx ) được chọn sao cho ψ(x) = 1 trên suppω .
Ta có thể kiểm tra định nghĩa trên hoàn toàn xác định và không phụ
thuộc vào việc lựa chọn ψ .
Tuy nhiên, định nghĩa này có hạn chế đó là ta không thể lấy tích chẳng
hạn là δ 2 hay x1 δ .
Thật vậy nếu tồn tại δ 2 , ta lấy x = 0 và ω, ψ ∈ D(Ω0 ) sao cho ω(0) =

ψ(0) = 1 và ψ = 1 trên suppω , ở đây Ω0 là một lân cận của điểm 0. Giả
sử rằng δ ∈ M (R) thì (ωδ)∧ (ψδ)∨ khả tích trên R. Mặt khác ta lại có