Sự tồn tại vector riêng của toán tử uo lõm chính quy tác dụng trong không gian banach với nón cực trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM H N I

NGUYỄN THỊ THU H

SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG
CỦA TOÁN TỬ u0- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy

HÀ N I – 2015


LỜI CẢM ƠN
ăn

ng ĐH

T

t ơn
ôi trong su

T
tr

ơ
ng ĐH

H
T

ộ

is h

H

PGS.TS. Nguy

h

H

G T
c

H
n văn.

G ,T
ộ

T

,

,

y cô trong th
7

ct

ă
Hà Nộ ,

7 ăm 2015
T
T

T

H


L I CAM ĐOAN
ă

Tôi xin cam
d

G T

is h

ên c
H

Tôi xin cam oan r
ơ

n văn
n trong lu n văn

g c.
Hà Nộ ,

7 ăm 2015
T

T

T

H


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU...................................................................................................... ....1
1. Lý do ch n ề tài ......................................................................................1
2. M c ích nghiên c u.................................................................................2
3. Nhi m v nghiên c u................................................................................2
4. Đ i t

ng và ph m vi nghiên c u

...........................................................2

5. Ph ơng pháp nghiên c u ...........................................................................2
6. Những óng góp c a lu n văn

..................................................................3

Chƣơng : KI N THỨC CHUẨN BỊ
1.1.

.....................................................4

Không gian Banach n a s p th t .....................................................4

1.1.1. Đ

ộ

t sơ

...........................................4

p th t trong không gian Banach .....................................7
1.2.
1.3.

c giữ
u0 - o

................................................9

c ..........................................................................11

1.4.

.........................................................15
..............................................................15
.........................................................................................19

1.5.

1
Không gian Banach n a s p th t Rn , C[a;b]
................................19

1.5.1. Không gian Rn ,n∈ N*

....................................................................19

1
1.5.2. Không gian C[a;b]
............................................................................29

Chƣơng 2. SỰ TỒN SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
u0- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH
VỚI NÓN CỰC TRỊ

...............................................................................40

2.1. Đ nh ngh a toán t u0 - lõm chí

ính ch t sơ c p............. ........40

2.2.Toán t u0 –lõm chính quy tác d

ông gian Banach .......43


2.3. S t n t i vectơ

án t u0 – lõm chính quy tác d ng trong

không gian Banach v

................................................................46

2.3.1. Đ
2.3.2. u0 –
V

.........................................................47
F

...................................................50

....................................................................................................54

KẾT LUẬN ...............................................................................................59

TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................60


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
ý

ể
ý

ộ
ể

ý

ề

ộ

ề

và

ộ

ề

ổ

ề

ổ

: Lipschitz,

Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec,... C
:T

ơ

,

,

F

,
ổ
ơ
B

( 96 ),
ộ

ong không gian

( 956)

GS .TS. B

ề

ơ

ề ( 959),

ơ

ơ

( 98 ),
(K, u0) -

B

trong
ỗ

ở ộ

( 98 )

C

,B
ữ
ộ
ă

ề

B

,

0

987, G T

H

( 0 3) T

ề

ơ

ơ

ở ộ

ơ
( , u0) -lõm

ể

ề
B

ộ

u0 Để

, rong công trình

tor riêng
ể

ổ

ề

h

ù


2

V

ể

â

T

h

ề

ơ

ề

,

,

H

, PGS.TS.

:“

0-

lõm chính

“.

trong không gian Banach
. Mục đích nghiên cứu
Đề

,
0

ở ộ

ộ

ề
ổ

-

ơ
ề

nón.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
T

ể

ề

T

ể

ề

B
ơ

u0- lõm chính quy

B
T

Rn.

u0ở ộ

ơ

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đ

:C

ơ ở

,

ơ

u0 - lõm chính quy.

ề

u0- lõm chính quy tác

B
:C

,

ơ

u0-

B
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
T

ề

ơ

u0- lõm chính

B
Tổ
T

, phân tích,
ý

.
,

.


3

6. Những đóng góp của luận văn
ă

ổ

Không g

B
ề

Mộ
T
S

ề:

u0- lõm và u0- lõm chính quy.
Rn.

u0ở ộ

ý

C

ơ
ể

ă

ể

ở ộ

ộ

. Hy


4

CHƢƠNG
KI N THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1.
Cho không gian Banach
ộ

E

ỗ

,

ề

N1,

ộ

N2,

x∈ K

N3,

x∈K

N4,

x∈K

E T

:
E;

y∈ ,

x+y∈K;
tx ∈ K ;

â ,
x≠θ

-x  K ( θ

gian E).
Định

1.1. .
θ∈K

ộ

ộ

T
*) ∀ x ∈ K, ∀ t ∈ ,

0

*) ∀ x, y ∈ K, ∀ t ∈ [ 0;
V

tx ∈ K

=0

θ = 0.x ∈ K.

tx ∈ K, (1- t)y ∈ K suy ra tx + ( 1 – t )y ∈ K .

.

Định

1.1.3.

G

ộ

G
K

1,

ữ

ù ý

ộ

( ∈ N*, n ≥ )

K2, ...., Kn

.

E

n
j1

Kj

.

T
*) Do

ộ
1,

K2,..,Kn là

,

trong không gian E.


5

x, y ∈ Kj, ( j  1,n)  x + y ∈ Kj, (j  1,n)  x + y ∈ K.

*) ∀ x, y ∈
*) ∀ x ∈ ,

x ∈ Kj, ( j  1,n) nên tx ∈ Kj, ( j  1,n)  tx ∈ K.

0

x ∈ Kj, ( j  1,n) nên - x  Kj, (j  1,n)  - x  K.

*) ∀ x ∈ K, x ≠ θ
V

ộ

Định

1.1. .

G

F

,

ộ

,

ỗ

E

trong không gian E
ộ

.
F

T

T
Đ

ộ
,

K(F) = { z ∈ E : z = tx, x ∈ F, t ∈ R+ }
C

F

(F)

F

ơ

,

,

∅

∅. V

(F)

x∈F

m x M.

> 0 : x  M, x  F.

F

m  inf x .
xF

G

x n n1  F

=0

sao cho lim x n  0 hay lim x n  θ
n

n

θ ∈ F,

trong không gian E D F

F

.
V

>0

x  inf x  m  0, x  F.
xF

+) (F)

z n n 1  K(F)
=θ
θ

sao cho lim z n  z trong không gian E.
n 

z = 0.x, x ∈ F  z = θ ∈ K(F).

ε

1
z  0, n 0  N* : n  n 0
2

z n  z  z n -z 
V zn ∈ K(F) nên zn = tn.xn

zn  z  ε 

1
1
3
z  z  z n  z , n  n 0 .
2
2
2
tn ≥ 0, xn ∈ F.

1
z.
2


6

1
3
z  t n x n  t n x n  z  x n  0, n  N*
2
2

V

1
3
z  tn 
z.
2 xn
2 xn

(∀n ∈ N*)

T
 n  n0

tn}

m  x n  M , nên

.

t   t  sao cho lim t

V

ni

Suy ra

1
3
z  tn 
z ,
2M
2m

n

i

ni

 t 0.

1
3
z  t0 

z nên t0 > 0.
2M
2m

T
x ni 

z
1
1
1
1
 t 0 x ni -z  t 0 x ni -t ni x ni +t ni x ni -z  t 0 -t ni x ni + z ni -z
t0 t0
t0
t0
t0

M
1
t 0 -t ni + z ni -z  0 khi i  ,
t0
t0
x ni -

z
z
 0 khi i →∞, nên x ni  khi i → ∞.
t0
t0

1
zF
t0

,F
V

z = t0 (

1
z)  K(F) .
t0

(F)
, ’ ∈ (F)

+) T

αz + β ’ ∈ K(F) (α ≥ 0, β ≥ 0).

Do , ’ ∈ K(F) nên z = t1x1, ’ = t2x2 ( t1 ≥ 0, t2 ≥ 0, x1 , x2 ∈ F ).
αt1 +βt 2  0  αt1 =βt 2 =0  z+z'=αt1x1 +βt 2 x 2 =θ  K(F)

αt1 +βt 2  0

 αt1

βt 2
αz+βz'=(αt1 +βt 2 ) 

x1 +
x2  .
αt1 +βt 2 
 αt1 +βt 2

D F

ể

ộ F V

αz + β ’ ∈ K(F).


7

K(F) ∩ (-K(F)) = {θ}

+) T
G

ề

suy ra -t0x0 = t1x1
θ=t 0 x 0 +t1x1 =(t 0 +t1 )[

u ∈ (F)

D

t1 > 0, x1 ∈ F
t0
t
t
t
x 0 + 1 x1 ]  0 x 0 + 1 x1 =θ
t 0 +t1
t 0 +t1
t 0 +t1
t 0 +t1

t0
t
x 0 + 1 x1  F  θ  F
t 0 +t1
t 0 +t1

F
V

x0 ∈ F sao cho -t0x0 ∈ K(F), t0 > 0

,

-u  K(F).

(F)

ề

,

(F)

ộ

1.1. . uan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach
Định nghĩa 1.1.5.
G
V

E

B
x y

x, y  E,

Định

,

ộ

y – x  K, x < y

E.
y – x  K\{ θ}.

1.1. .

“  “

5

ộ

trong không gian E.
C
T

:

*) ( x E) x  x, vì x – x = θ ∈ K .
“ “
*) (  x, y, z ∈ E : x ≤ , ≤ )  x – y ∈ K, y – z ∈ K
 z – x = (z – y )+( y – x) ∈ K  x ≤ .

“ “
*) (  x, y ∈ E :
≠

≤ , ≤ )

=

– x ≠ θ,
≤ . V
“ “

≤

=
.

 y – x ∈ K x – y 

â


8
“ “

V

ộ

:

không gian E theo nón K.
B

E

Định nghĩa 1.1. .
G

E

ộ

Dãy

ể

x 

Dãy

ể

 

Các dãy

n 

xn

ể

n 1

n 1

B
∈E

,

∈E

không

ă
,

ể

x1 ≤

,

x1

2

≤

≤

2

n

≤

n

ă

ơ

Định nghĩa 1.1.8.
G

E

ộ

B

ộ

,

E

T

ở

u  E,

T

ở

 E,

( x  M) x  u.
(x  M) v  x .

Định nghĩa 1.1. .
G

E

B

,

E

E

,

=

,

*) ( x  M) x  z;
(uE)(  xM) x  u

*)

z  u.

w E

,

=

,

*) ( x  M) w  x;
*)

( vE)(  xM) v  x

Định

1.1.1 .

C

v  w.

(

)

C
 G

’ , z  E, ’ ∈ E

ộ

9
( x  M) x  z; x  z' ,
6

z ≤ ’ , ’ ≤ z. Th

= ’

V

(

)
’ , w  E, ’ ∈ E

 G
( x  M) w  x; w '  x ,
T

6

V

≤

’≤

’,

= ’

(

)

1.2. Quan hệ thông ƣớc giữa các phần tử.
G

E

B

K  E.

Định nghĩa 1. .1.
G

,
ơ

Định

∈ E.

x

α, β sao cho αy ≤ x ≤ βy.

1. .2.
ộ

C

y,

n

ơ

ơ

E.

minh.

+)
∀ x ∈ E thì x thô

> 0 ể 1.x ≤ x ≤ 1.x.

x, v

+)
G

,

ộ

E:

,

ơ

1
1
sao cho αy  x  βy  x  y  x . V
β
α
+)
G

, ,

ộ

E
ơ

,
ay ≤ x ≤ by, cz ≤ y ≤ dz

, , ,

 (a.c)z ≤ x ≤ (b.d)z V

V

ộ

ơ

ơ

E

α, β


10

G

∈ K\{θ}

0

( 0)

a không gian E

u0 .
Định

1. . .

K(u0)

( 0)  K\ θ}

ộ

C
*) K(u0)
T

:

∀x, y ∈ K(u0)
α

0

≤

≤β

ơ
0

, α1u0 ≤

α, β, α1, β1 sao cho

≤ β1u0 .

V

t=0

tx + (1 – t)y = 0.x + y = y ∈ K(u0).

V

t=1

tx + (1 – t)y = 1.x + 0.y = x ∈ K(u0).

V

t ∈ (0; 1)

nên tα

0

tα

0

≤

≤ β

+ (1 – t)α1u0 ≤

 (tα+ (1 – t)α1)u0 ≤

D

(1 – t)α1u0 ≤ ( – t)y ≤ (1 – )β1u0

0

+ ( – t)y ≤ β

0

+ (1 – )β1u0

+ ( – t)y ≤ ( β + (1 – )β1)u0

tα+ (1 – t)α1

β + (1 – )β1

ơ

tx + (1 – t)y ∈ K(u0).
V

∀x, y ∈ K(u0), ∀t ∈ [0; 1

tx + (1 – t)y ∈ K(u0) D

( 0)

*) K(u0)  K\ θ}
T

:

∀x ∈ K(u0)

ơ

Do u0 ∈ K\ θ}
V α

0

0

α

0

≤

≤β

∈ K\ θ}.

≤ x  x-αu 0  K .

=θ
T

α

α, β

-α

0

∈K

â

ề

,

x=αu 0 +(x-αu 0 )  K .

Suy ra ∀x ∈ K(u0)  x ∈

θ} V

( 0)  K\ θ}

≠ θ.

0

.


11

1.3. Phần tử u0 - đo đƣợc
G

E

K  E,

B

u0 ∈ K\ θ}.
Định nghĩa 1. .1.
x E

,

u0 -

â

s

t1, t2 sao

cho  t1u 0  x  t 2u 0 .


E u0

Định

E

0

-

1. . .

V

∈ E u0 t

ỗ

cho – α

0

â

α = α( ), β = β( )

≤ ≤ β 0.

C
∈ E u0

G

â

 T
T

β
:

:

ộ
ộ

B

â

E,
-1

E

( )

ộ

V
ng trong không gian R.

inf f-1(K) = - ∞

∃  t n n1  f 1 (K) sao cho tnu0 – x ∈


lim t n   .

n

tn < 0, nên
u 0 +

C

cho x ≤ βu0.

â

f(t) = tu0 - x .

D

V

sao cho t1u0  x  t2u0 .

→ E
t

G

1, t2

1
1
x=- (t n u 0 -x)  K.
tn
tn

ể

-u 0 +

1
x
tn

→∞

–u0 ∈

,

â


12

inf f-1(K) = β ∈ f -1 (K) .

D

A = { t ≥ 0 : tu0 – x ∈

T
T

} Hể

,

2

∈ A hay A ≠ ∅.

≥ 0 : tu0 – x ∈ K } = β(x) ∈ f -1 (K) .

,
≤ β(x)u0 .
không âm β(x)

V
 T

≤ β(x)u0 .

ho
α(x) > 0

:

-α(x)u0 ≤

→ E
t

f(t) = x+ tu0 .

D

ộ
ộ

B

-1

E,

V

( )

.

∃  t n n1  f -1 (K) sao cho lim t n   .


(K) = - ∞

n

, (∃ n0 ∈ N*)(∀n ≥ n0) tn < 0 D

Khi

ộ

-1

E
G

â

C

ể

-u 0 +

-

1
x
(x+t n u 0 )  K  - -u 0  K
tn
tn

1
x
tn

→∞

–u0 ∈

,

â

Nên inf f-1(K) ∈ f-1(K).
T

B=

≥ 0 : x + tu0 ∈

T

} Hể

,

1

∈ B hay B ≠ ∅.

≥ 0 : x + tu0 ∈ K } = α(x) ∈ f -1 (K) .

,
-α(x)u0 ≤ x.

V

â

α(x)

– α(x)u0 ≤ .

Đ
Định
E u0

C

1. . .
E.


13

θ ∈ E u0 ,

*) T

≥0

–tu0 ≤ θ ≤ tu0. Suy ra E u 0

ỗ

*) (x,y  E u 0 )(t1  0, t 2  0, t 3  0, t 4  0) sao cho :
-t1.u 0  x  t 2 .u 0 và  t 3.u 0  y  t 4 .u 0 .

: (t1  t 3 ).u0  x  y  (t2  t 4 ).u0  x  y  Eu0 .
*) (x  Eu0 )(t1  0, t2  0) sao cho t1.u0  x  t2 .u0
0  - t1.u0 ≤ ≤ 2.u0

α

α

1

0, α

-α

1

0, -α

∀α ∈ R ta có :

0

2

 ( .t1 ).u0   .x  ( .t2 ).u0
α < 0  -t1.u0 ≤ ≤ 2.u0

2

0

 ( t1 ).u0   x  ( t2 )u0

 ( .t2 ).u0   .x  ( .t1 ).u0

∀α ∈

D
V

α ∈ Eu0 .

Eu0

ộ
Định
Á

ể

hông gian E,

Eu0 là

.

1.3.4.

:
. u : Eu0  R
0
x u  max{ ( x) ,  ( y )}
0

x

ộ

Eu0 ,

α( ), β( )

3
C
T

ng minh.
, . u0
u0 -

ộ

â

Eu0

T

ể

ề ề

R+ ,
:


14
 (x  Eu0 ) x u  0, x u  0  max{ (x);  (x)}  0
0

0

  ( x)   (x)  0  x   .

 (x  Eu0 ) (λ ∈ R)

â

t1, t2 sao cho :

-t1.u0 ≤ ≤ 2.u0 .
:

λ

0 ta có :  t1.u0  x  t 2 .u0 .

λ < 0 thì -λ > 0 và ta có

 ( )t1.u0  x  ( )t 2 .u0
 (.t 2 ).u0  x  (.t1 ).u0 .
V

0 :

inf (t1 )   inf t1   ( x)
t1

t1

inf (t 2 )   inf t 2   ( x)
t2

t2

 max   ( x),  ( x) } =  max  ( x),  ( x)    x u   . x u .
0

V

0

λ<0:

inf (t1 )   inf t1   ( x)
t1

t1

inf (t 2 )   inf t 2   ( x)
t2

t2

 max  ( x),  ( x)} =   max  ( x),  ( x)

  

, (x  Eu0 )(  R)  x u   x u .

V

0

 (x, y  Eu0 )

0

∃ t1, t2, t3, t4 > 0 sao cho

t1.u0  x  t2 .u0 , t3.u0  y  t4 .u0 .

Suy ra

x

u0

 . x

u0

.


15

x u  max{inft1 , inft2 }, y

u0

0

 max{inft3 , inft4} ,

xu  y

u0

 inf t1  inf t3  inf(t1  t3 ) ,

xu  y

u0

 inf t2  inf t4  inf(t 2  t4 )

0

0

Nên x u  y
0

x y

V

u0

D

u0

 max{inf(t1  t3 ),inf(t 2  t4 )  x  y

 xu  y
0

u0

. u
0

u0

.

.

ộ

. u
0

C

:

Eu0 .
0

–

1.4. Nón chuẩn tắc và nón cực trị
1.4.1. Nón chu n tắc và t nh ch t
G

E

 E,

B

u0 ∈ K\ θ}.
Định nghĩa 1. .1.
,

:

(  0)(e1, e2  K : e1  e2  1)

Định

e1  e2   .

1. .2.

C

ề

,

â

ơ

ơ

.

;

2, (  M  0)( y  K\ { })(  xE y ) x
3, (  N  0)(  x, y K : x  y ) x

E

M. x y . y E ;

(1.1)

 N. y E ;

1)  2 )

C
G

,

(1.1)

(  n N * )(yn   )(  xn  E y ) xn
n

H

E

(

)

 n. xn y . yn
n

E

.

θ,  xn n1  E ,  yn n1  K \ { } ,


n

E



(1.2)


16

xn



yn

 xn

yn

xn
n yn

E yn :

E

 xn  xn


Suy ra

E

xn

. yn .
xn

yn  xn 

E

n yn

yn

n yn

E

yn , ∀n ∈ N*.

E
E

Đ
xn

g n  xn 

n yn

hn

E

E

 xn
 xn

E

xn

yn  K .

E

n yn

E

n2

,

gn

yn K , hn   xn 

E

E

E



xn

n. yn
xn



E

yn

1

(1

)0 ;
E
n

E

 xn

1
(1

)0
E
n

E

E

n. yn

E

 xn

yn
E

Suy ra gn ∈ K\{θ}, hn ∈ K\{θ}, ∀ n = 2, 3, . . .
T

gn

hn

E

E

 xn

E

  xn



E

xn

E

yn

n. yn

E

xn

E



n. yn

E

yn

 xn

E

1
(1

) , n = 1, 2, 3, . . .
E
n

 xn

E

1
(1


) , n = 1, 2, 3, . . .
E
n

gn
h
g
h
 n  n  n 
gn E
hn E
gn E
gn E


Suy ra

2 xn
n yn

E

yn 

E

gn

hn

h
 n
hn E
gn E

E

gn

E

gn

 hn
E

hn

E
E

hn .


17

gn
h
 n
gn E

hn E

lim

nên

n 

Đề



2 xn

E

n gn

E

gn
h
 n
gn E
hn E

gn



E

 hn

gn

E

E



4
( n  2,3,... ) ,
n 1

 0.
E

â

V

(  M  0)( y  K\{ })(  x E y ) x E  M . x y . y E .
2 )  3)

C
G

ề )

=θ  x

=θ 

θ  x+
nên x

x y

E

 y

x E 0 0  M. y E .

0

E

θ hay x + y ∈ K\{θ}, x ∈ Ex+y,

ề )

x

E

M. x

y x

. y

(  N  M  0)(x, y  K: x  y ) x

D
C

3)  1)

G

ề 3)

G

1,

1
 0) e1  e2
N

V

E

E

M. y E .

 N. y E .

E

1

≤

1

+ e2 nên 1 = e1

E

 N . e1  e2 E .

.

.
3

Định

+ ,

e2 ∈ K, e1  e2 1.

( 

D

≤

.

e1 ∈ K\ θ} , e1 + e2 ∈ K\ θ},

T

–( + ) ≤

1 .

T

V

x, y ∈ K, ≤

G

ề

ơ

ơ

1. .3.
ộ

ộ

o u0 –

ộ


18

E

B

E u0

theo u0 –

.

C


T

ộ

x∈ Eu0 theo u0 –
,

( xn ) n 1  E u ộ

0

ể

ộ

( xn ) n 1  E u ộ
0

ể

E T
x∈ E u 0 theo u0 –

*
lim xn  x u  0 hay (    0 ) (  n0  N ) (  n  n0 ) xn  x

n

0

T

u0 –

u0



suy ra

  u0  xn  x   u0 , n  n0 .

  xn  x   u0  2 u0 , n  n0 .

D

xn  x   u0  2 u0

V

xn  x

E

T

  u0

E

 xn  x   u0

E

 2N u0

E

, n  n0 .

:

xn  x

E

  (1 2 N ) u0

 lim xn  x
n

V

E

 n  n0 .

E

0 .

ộ

E

 T
G

E u0

( xn ) n 1

ộ

B

ơ

*
: (    0 ) (  n0  N ) (  n, m  n0 ) xn  xm

T

u0 –

–

E u 0 theo u0 –
u0

.
,

 .

suy ra

  u0  xn  xm   u0 , n, m  n0 .
D

0

  xn  xm   u0  2 u0 , n, m  n0 .

( 1.3 )


19

xn  xm   u0  2 u0

V

xn  xm

E

T

  u0

E

 xn  xm   u0

 2N u0

E

E

, n, m  n0 .

:

xn  xm

E

  (1 2 N ) u0

 n, m  n0 .

E

( xn )n 1

Đề

ơ

B

E

xn  x E  0 .
nên ∃x ∈ E sao cho lim
n

( 3)

Qua

→∞

:

  u0  xn  x   u0 ,  n  n0 .
C

xn  x
V

u0

xn – x ∈ Eu0 D

=

  ,  n  n0 ,

( xn )n 1

B

E u0

n

0

- (xn - x ) ∈ E u 0

–

ộ

trong E u 0 theo u0 –

.

.

1.4. . ón cực trị
Định nghĩa 1. .4.
G

E

K E

B
,

ỗ

( xn ) n 1  K k

u ∈ K,

ở

ỗ
∈ ,

( yn )n 1 

,

ở
ă ,

ề

sup (xn )n 1  K , inf ( yn ) n 1  K .
1
1.5. Các không gian nửa sắp thứ tự Rn, C[a;b]
*
1.5.1. Không gian Rn , n  N

a) Không gian Rn = { x = (x1, x2, ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n } ( n ∈ N* )
ù
x + y = ( x1+ y1, x2+ y2, . . , xn+ yn),


20

α = ( α 1, α 2,

, α n),

α ∈ R, x = (x1, x2, ..., xn ) ∈ Rn, y = (y1, y2, ..., yn ) ∈ Rn
θ = ( 0, 0,

:

 x R , x  ( x1 , x2 ,..., xn ), x 
n

T

, 0)

n

b) T

ể

ề

n

 (x )

2

i

i 1

.

(1.4)

.
n

 xi2  0

*) ∀ x ∈ Rn

nên x  0 .

i 1

n

x  0   x12  0  x1  0, i  1,2,...,n  x   .
i 1

*) ∀ x ∈ Rn , ∀ α ∈ R,  x 

n

n

i 1

i 1

 ( xi2 )   2  ( xi2 )  

x .

*) ∀ x = (x1, x2, ..., xn ) ∈ Rn, y = (y1, y2, ..., yn ) ∈ Rn
n

n

i 1

i 1

x  y   ( xi  yi ) 2   ( xi2  yi2  2 x i yi )
2

n

n

n

i 1

i 1

i 1

n

n

i 1

i 1

=  xi2   yi2  2 xi yi
  xi2   yi2  2

=



D

x y  x  y .

V

(
E

)
,

n

 xi2 
i 1

n

n

i 1

i 1

 xi2  yi2


2
y
 i    x  y
i 1

n

Rn C

ộ
Rn ù

(

(



2

.

)

)

Eukleides.
c)

ộ

ộ

n

ơ

ộ

ộ