Luận văn phép biến đổi fourier rời rạc

BO GIÂO DUC VÀ DÀO TAO TRlTCÏNG DAI HOC
SU* PHAM HÀ NÔI 2

BÙI THI THÂO

PHÉP BIEN DÔI FOURIER RÔI RAC

LUÂN VAN THAC SI TOÂN HOC

HÀ NQI, 2015



Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2


Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn KhảiHÀ NỘI, 201

5LỜI

CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Văn Khải.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Văn Khải, người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy
cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác
giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn
động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả

Bùi Thị Thảo


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải, luận văn Thạc sỹ
chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Phép biến đổi Fourier rời rạc” do tôi tự làm. Các
kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luậ n văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả

Bùi Thị Thả


o

Mục lục

Mỏ đ ầu

1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Một vài khái niệm trong giải tích ..........................

1.1.1

7
7

Một số đ ịnh lỷ của lỷ thuyết tích phân


1.1.2

Không gian L p (1 < p < oo)
................

1.2

1.1.3

Tích chập .....................................................

1.1.4

Tích phân Dirichlet .....................................

Chuỗi Fourier và tích phân Fourier .......................

1.2.1

8
8

Chuỗi Fourierl .............................................


2

1.2.2

Sự hội tụ .......................................................

1.2.3

Tích phân Fourier.......................................

PHÉP BIẾN DỒI FOURIER

Phép biến đổi Fourier trong L 1 (K) . . .

2.1

2.1.1

9
9

Phép biến dối Fourier ..........................


2.1.2

Một số dạng biế n đ ỗi Fourier khác

2.1.3

Các tính chất ........................................

Phép biến đổi Fourier trong L 1 (R n ) . . .

2.2

10
10

2.2.1

Đ ịnh nghĩa .............................................

2.2.2

Tính chất ..............................................

2.2.3

26

26

27

11
11

PHÉP BIẾ N Đ ồĩ FOURIER RỜI RẠC


27

2.3

Chuỗi Fourier ròi rạc

2.4

Phép biế n đ ối Fourier ròi rạc

Đ ịnh nghĩa

2.4.1

12
12

Biểu diên phép biế n đ ối Fourier ròi rạ c dư ổi dạng


32

34

41

ma trận

2.4.2

Tính chất của phép biế n đ ối Fourier ròi rạc


2.5 Phép biế n đ ỗi Fourier nhanh

4 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP B Ĩ Ế N

46

46

RÒĨRẠC

4.1

Phân tích phổ tín hiệu

Đ ỎI

FOURIER


4.2 Tính tín hiệu ra hệ thống rời rạc LTI ................................................

51

.......................................................

52

4.3 Bộ lọc hai chiều dùng FFT

54

Kết luận

55


Tài liệu tham khảo

Mở đầu

Lí do chọn đề tài

Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học cũng

như trong toán học tính toán. Có nhiều bài toán trong toán học và trong thực tiễn
khoa học kỹ thuật dẫn tới việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier.

Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc, đôi khi còn được gọi là phép
biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu
thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số thực
hoặc số phức, chính vì vậy biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông
tin trên các máy tính. Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý
tín hiệu và các ngành liên quan tới tích phân tần số chứa trong một tín hiệ u, để
giải phương trình đạo hàm riêng và để làm các phép như tích chập. Biến đổi này
có thể được tính nhanh bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh. Nó còn áp dụng
vào nhiều ứng dụng như lọc, nén ảnh, phóng đại ảnh.


Với mong muốn tìm hiểu về phép biến đổi Fourier rời rạc, dưới sự hướng dẫn
của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải tôi đã nghiên cứu đề tài: "Phép biến đổi
Fourier rời rạc".

Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu các phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc
và một vài ứng dụng của nó.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier rời rạc, nêu được một số ứng dụng của
nó.


Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Chuỗi Fourier, tích phân Fourier.

- Phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc.

- ứng dụng.

-

Phương pháp nghiên cứu


Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các vấn
đề liên quan tới đề tài.

Dự kiến đóng góp

Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi
Fourier rời rạc và nêu một số ứng dụng về phép biến đổi Fourier rời rạc.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

*


Một vài khái niệm
trong giải tích

1.1

Một số định lý của lý thuyết tích phân

Mục này nhắc lại một số kết quả về lý thuyết tích phân, được trích dẫn chủ
yếu từ tài liệu [1].
Định lý 1.1.1. Cho (f n ) là dãy tăng các hàm kh ả tích Lesbesgue trên tập íĩ c
~R N sao cho sup f n f n < oo. Khi đó, (f n ) hội tụ hầu khắp nơi trên íĩ
n

về một hàm f khả tích trên ri và \\fn — /II : = f n \ fn (X) — / (:r)| dx —»■ 0
khi n —>•

00.

Định lý 1.1.2. (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue)
Cho (/ n ) là một dẫy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Q c thoả
mãn:
(ỉ) fn bị chặn đều bởi một hàm không âm khả tích trên Í2,
l/n ( t ) \ < 9 { t ) , Vn > 1, Ví G £ 1 .

(ii) Dãy {/n} hội tụ hầu khắ p nơi tới f trên Q.
Khi đó f kh ả tích và
II f n - /II 1 = lim [ I f n ( t ) - ỉ { t ) \ d t = 0.

n->00 J


n

Định lý 1.1.3. (Định lý Fubini) Cho F khả tích trên ÍỈ 1 X íỉ 2 . Khi đó với

h ế t X € rỉi t a c ó

F (X,.) :i—>■ F (X, y) khả tích trên ÍỈ 2
a:

/ F
Jn 2

(x,y)

dy khả tích trên íĩi.

Kết luận tương tự khi đổi vai trò X cho y, ÍỈ 1 cho ÍỈ 2- Hơn nữa ta
có: dx F(x,y)dy= dy F(x,y)dx= / F(x,y)dxdy.
J Ĩ11

1.1.1

' * 0.2

fì 2

ÍÌ 1

J

n1xíi2

Không gian L p (1 < p < oo)

Định nghĩa 1.1.1. Cho p £ R , 1 < p < o o , ta định nghĩa:

hầu


ư (íĩ) =
{/ : íl —> M (hoặc
khả tích} ,

L°° (íỉ) = {/ :

Q —> M. (hoặc

(a:)| < c

h.k.n}

c) ; f đo được

c) ;

f đo

và

được và 3C > 0, I/

và ký hiệu:

1
\\f\\p = {/ \ỉ{x)\ p dx}p ll/lloo =

in

f

\f\ p

{C 1 ; I/ 0*01 ^

c

hầu khắ

Nhận xét 1.1.1. Nếu f G L°° (íỉ) thì I/ (x)| < ll/ll^ với hầu hết

X

P

G

nơi

)•


.*

Ta kí hiệu q

11

là số liên hợp
và —I— = 1.

của p, tức là Pi q > 1
p q

Định lý 1.1.4. (Bất đẳng thức Holder)
Cho f e L p và g e L 9 với 1 < p < 00. Khi đó f.g G L 1 và:
I l/.sl <11/11,. M„.
Trong trường hợp p = q = 2 ta có bất đẳng thức sau:
Bất đẳng thức Schwarz: Nếu f,g £ L 2 thì f.g e L 1 và IIýgị^ < \\f\\ 2 .
\\g\\ 2 . Do đó:

Ư

oo \ 2

\f(x)\ 2 dx

\f {x)g(x)\dxj < /

■00

p 00

'

— 00

roo

/

\g(x)\ 2 dx.

*'—00


Định lý 1.1.5. (Fischer - Riesz)
(i)

yL p , ||.||PJ là không gian Banach với 1 < p < oo.

(n) Giả sử ( f n ) ỉà dãy hội tụ về Ị trong không gian L p (1 < p <
oo), tức là II f n — f\\ p 0, thế thì tồn tại dãy con (fn k )k=i

2

sao c

h° :

f U k (X) —¥ f (X) hầu khắp nơi

VA:, I fn k (a:)| < h (a:) hầu khắp nơi,
với h là một hàm trong L p .

Với Í2 là tập mở trong ta kí hiệu c k (Í2) là không gian các hàm số khả vi liên tụ c
đến cấp k và c°° (íỉ) = fifeLi c k (íĩ). Còn C c (íỉ) là không gian các hàm số / liên
tục trên íỉ sao cho giá (support) của / tức là tập hợp suppf = {x £ í}', f (X) Ỷ 0}
là compact chứa trong íĩ. Đặt:
c\ (Q) = c k (Q) n C c (íì),

ơ c °° (fì) = c°° (fì) n C c (íĩ).


Định lý 1.1.6. Với 1 < p < oo thì C™ trù mật trong ư (íỉ).
Định lý 1.1.7. (Rỉemann - Lesbesgue). Cho f G L 1 (a,ò), với (a,ò) là khoảng
hữu hạn hoặc vô hạn của M thì ta có:

lim / / (a;) cosNxdx = 0, lim / / (a;) sinNxdx = 0.

N-¥00 Ja

N—>0o Ja

Định lý 1.1.8. Cho /i, / 2,... ẽ L p : nếu f n —y f trên M và

lim IIf n — /II = 0.