Luận văn phép biến đổi fourier rời rạc

BO
• GIÂO DUC
• VÀ DÀO TAO
•
TRlTCÏNG DAI
HOC
SU* PHAM
HÀ NÔI
2
•
•
•
•

BÙI THI THÂO

PHÉP BIEN DÔI FOURIER RÔI RAC

LUÂN
VAN THAC
SI TOÂN HOC
•
•
•

HÀ NQI, 2015


Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
_______________________ •_____________•____________________________ •___________________________ •

BÙI THỊ THẢO

PHÉP BIÉN ĐỎI FOURIER RỜI RAC

Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC
•

•

•

Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Khải

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Văn Khải,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các

thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người
th ân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Tác giả

Bùi Thị Thảo


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải, luận
văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Phép biến đổi Fourier
rời rạc” do tôi tự làm. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn
gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Tác giả

Bùi Thị Thảo


Mục lục
M ỏ đầu

3

1

K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N BỊ

5

1.1

Một vài khái niệm trong giải t í c h .....................

5

1.1.1

Một số định lỷ của lỷ thuyết tích phân

5

1.1.2

Không gian L p (1 < p < oo)

6

1.1.3

Tích chập

................................................

8

1.1.4

Tích phân D i r i c h l e t ...............................

8

Chuỗi Fourier và tích phân F o u r i e r .................

10

1.2.1

Chuỗi F o u r i e r l .........................................

10

1.2.2

Sự hội t ụ ....................................................

10

1.2.3

Tích phân F o u r i e r ..................................

12

1.2

2

................

P H É P B IẾ N D Ồ I F O U R IE R
2.1

2.2

Phép biến đổi Fourier trong L 1 (K)

13
. . .

13

2.1.1

Phép biến dối F o u r i e r .....................

13

2.1.2

Một số dạng biến đỗi Fourier khác

16

2.1.3

Các tính chất

18

..................................

Phép biến đổi Fourier trong L 1 (Rn) . . .

22

2.2.1

Định n g h ĩ a .........................................

22

2.2.2

Tính chất

23

.........................................

1

3

P H É P B IẾ N Đ ồ ĩ F O U R IE R R Ờ I R Ạ C

26

3.1

Chuỗi Fourier ròi rạc

26

3.2

Phép biến đối Fourier ròi rạc

27

3.2.1

Định nghĩa

27

3.2.2

Biểu diên phép biến đối Fourier ròi rạc dưổi dạng
m a trận

3.2.3

3.3
4

32

Tính chất của phép biến đối Fourier ròi rạc

Phép biến đỗi Fourier nhanh

34
41

M Ộ T VÀI Ứ N G D Ụ N G C Ủ A P H É P B ĩ ẾN

đ ỏ i

F O U R IE R

R Ò ĨR Ạ C

46

4.1

46

Phân tích phổ tín hiệu

4.2 Tính tín hiệu ra hệ thống rời rạc LTI
4.3 Bộ lọc hai chiều dùng F F T

K ế t lu ận

.......................................

51

.......................................................

52
54

T ài liệu t h a m k h ả o

55

2


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học
cũng như trong toán học tính toán. Có nhiều bài toán trong toán học và
trong thực tiễn khoa học kỹ th u ật dẫn tới việc nghiên cứu phép biến đổi
Fourier.
Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc, đôi khi còn được gọi là
phép biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho
các tín hiệu thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu
hạn các số thực hoặc số phức, chính vì vậy biến đổi này là một công cụ lý
tưởng để xử lý thông tin trên các máy tính. Đặc biệt, biến đổi này được
sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan tới tích phân

tần số chứa trong một tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng và
để làm các phép như tích chập. Biến đổi này có thể được tính nhanh bởi
th u ật toán biến đổi Fourier nhanh. Nó còn áp dụng vào nhiều ứng dụng
như lọc, nén ảnh, phóng đại ảnh.
Với mong muốn tìm hiểu về phép biến đổi Fourier rời rạc, dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải tôi đã nghiên cứu đề tài: "Phép
biến đổi Fourier rời rạc".

3


2. M ục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu các phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier
rời rạc và một vài ứng dụng của nó.

3. N h iệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier rời rạc, nêu được một số ứng dụng
của nó.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Chuỗi Fourier, tích phân Fourier.
- Phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc.
- ứ n g dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các
vấn đề liên quan tới đề tài.

6. D ự kiến đóng góp
Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi

Fourier rời rạc và nêu một số ứng dụng về phép biến đổi Fourier rời rạc.

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ*
1.1
1.1.1

M ột vài khái niệm trong giải tích
M ộ t số đ ị n h lý c ủ a lý t h u y ế t t í c h p h â n

Mục này nhắc lại một số kết quả về lý thuyết tích phân, được trích dẫn
chủ yếu từ tài liệu [1].
Đ ị n h lý 1.1.1. Cho (f n) là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên tập
íĩ c ~Rn sao cho sup f n f n < oo. Khi đó, (f n) hội tụ hầu khắp nơi trên íĩ
n

về một hàm f khả tích trên ri và \\fn — /II : = f n \fn (X) — / (:r)| d x —»■ 0
khi n —>• 0 0 .
Đ ị n h lý 1.1.2. (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue)
Cho ( / n) là một dẫy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Q c
thoả mãn:
(ỉ) fn bị chặn đều bởi một hàm không âm khả tích trên Í2,
l/n (t)\ < 9 { t ) , Vn > 1, Ví G £1.

(ii) Dãy {/n} hội tụ hầu khắp nơi tới f trên Q.
Khi đó f khả tích và
IIf n - / I I 1 =

lim

[

n->00 Jn

If n ( t ) - ỉ { t ) \ d t = 0.

5


Đ ị n h lý 1.1.3. (Định lý Fubini) Cho F khả tích trên ÍỈ 1 X í ỉ 2. Khi đó với
h ầ u h ế t X € r ỉi t a có

F (X,.) :i—>■F (X, y) khả tích trên ÍỈ 2
a:

/ F ( x , y ) dy khả tích trên íĩi.
J n2
Kết luận tương tự khi đổi vai trò X cho y, ÍỈ 1 cho ÍỈ 2 - Hơn nữa ta có:
dx

F (x,y )d y =
' * 0.2

J Ĩ11

1 .1 .2

dy
fì2

F (x,y )d x =
ÍÌ1

/

F (x,y)d xd y.

J n 1x í i 2

K h ô n g g i a n L p (1 < p < oo)

Đ ị n h n g h ĩa 1 .1 .1 . Cho p £ R , 1 < p < oo, ta định nghĩa:

ư (íĩ) = { / : íl —> M (hoặc c ) ; f đo được và \ f\p khả tích} ,
L°° (íỉ) = { / : Q —> M. (hoặc

c) ;

f đo được và 3 C > 0, I/ (a:)| < c h.k.n}

và ký hiệu:
1
\\f\\p = { / \ ỉ { x ) \ p d x } p
ll/lloo = i n f { C 1; I / 0*01 ^ c

h ầ u k h ắ P n ơ i) •

N h ậ n x é t 1.1.1. Nếu f G L°° (íỉ) thì I / (x)| < ll/ll^ với hầu hết
.
*
Ta kí hiệu q là số liên hợp

X

G

1 1
của p, tức là Pi q > 1và — I— = 1.
p
q

Đ ị n h lý 1.1.4. (Bất đẳng thức Holder)
Cho f e L p và g e L 9 với 1 < p < 00. Khi đó f . g G L 1 và:
I l/.sl <11/11,. M „ .
Trong trường hợp p = q = 2 ta có bất đẳng thức sau:
Bất đẳng thức Schwarz: Nếu f , g £ L 2 thì f . g e L 1 và IIý g ị ^ < \\f\\2 . \\g\\2 .
Do đó:
oo

Ư

\ 2

\f {x )g (x )\d x j
■00
'

p 00

< /

roo

\ f ( x ) \ 2 dx /
\ g (x)\2 dx.
—00
*'—00


Đ ị n h lý 1.1.5. (Fischer - Riesz)
(i) y L p, ||.||PJ là không gian Banach với 1 < p < oo.
(n) Giả sử (f n) ỉà dãy hội tụ về Ị trong không gian L p (1 < p < o o ) , tức
là IIf n — f \ \ p

0, thế thì tồn tại dãy con (fnk)k=i

2

sao ch ° :

f Uk (X) —¥ f (X) hầu khắp nơi
VA:, If n k (a:)| < h (a:) hầu khắp nơi,
với h là một hàm trong L p.
Với Í2 là tập mở trong

ta kí hiệu c k (Í2) là không gian các hàm số

khả vi liên tục đến cấp k và c°° (íỉ) = fifeLi c k ( í ĩ ) . Còn C c (íỉ) là không
gian các hàm số / liên tục trên íỉ sao cho giá (support) của / tức là tập
hợp s u p p f = { x £ í}', f (X) Ỷ 0} là compact chứa trong íĩ. Đặt:
c \ (Q) = c k (Q) n Cc ( í ì ) ,
ơ c°° (fì) = c°° (fì) n Cc ( í ĩ ) .
Đ ị n h lý 1.1.6. Với 1 < p < oo thì C™ trù mật trong ư (íỉ).
Đ ị n h lý 1.1.7. (Rỉemann - Lesbesgue). Cho f G L 1 ( a , ò ) , với (a,ò) là
khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của M thì ta có:
lim

/

N-¥00 J a

/ (a;) c o s N x d x = 0, lim

/

N —>0o J a

/ (a;) s i n N x d x = 0.

Đ ị n h lý 1.1.8. Cho / i , / 2 ,... ẽ L p: nếu f n —y f trên M và

thì:
lim IIf n — /II = 0.

71—>00

ư

7


Đ ị n h lý 1.1.9. Nếu f e ư

thì

lim /
I / (x + t) — / (X) |p dx =
t ^ 0 j _ oo
Đ ị n h lý 1.1.10. Cho / , / ì , / 2 , ••• ẽ L 2,

0.

lim ||/ n — /II = 0 thì cho
Tì—
^rv-1
”

bất kỳ g G L 2 thoả mãn:

1 .1 .3

T íc h c h ập

Đ ị n h n g h ĩ a 1.1.2. Cho hai hàm số / và g xác định trên ~RN thì hàm số
f * g xác định bởi
( / * 9 ) (*) = / f { x - y ) g {y) dy,
Jrn

(giả thiết tích phân ở trên tồn tại) được gọi là tích chập của / và g.
Đ ị n h lý 1.1.11. Giả sử f e L 1 (R N) và g G ư (WN) với 1 < p <
Khi đó, với mỗi

X

00.

ẽ R N , hàm số y —ì f (x — y) g (y ) khả tích trên R N và

Ị * g e ư (Rw) .
Hơn nữa II/ * pll < ll/lli llsllp.
1 .1 .4

T íc h p h â n D iric h le t

Đ ị n h n g h ĩ a 1.1.3. Cho / là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a, 6].
Giả sử p = {x0, X i , x n} là một phân hoạch của đoạn [a,6], nghĩa là
a = x 0 < XI < x 2 < ... < x n = b. Đặt
n
v ự ) = v ự ; a , b ) = s u p E |A /j|,
p i=i
trong đó A f ị = /

(Xị)

— f (Xj_ 1 ) , sup lấy trên tấ t cả các phân hoạch của

[a, 6] . Ta gọi V ( / ) là biến phân toàn phần của / trên [a, 6] . Hàm / gọi là
có biến phân bị chặn trên [a, 6] nếu V ( / ) <

8

00.


T í n h c h ấ t 1.1.1. Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a,ò ].
Khi đó:
(i) f có biến phân bị chặn nếu và chỉ nếu R e [/] và I m [ f ] , tức phần
thực và phần ảo của f , có biến phân bị chặn.
(ii) Nếu f có biến phân bị chặn thì f bị chặn, cụ thể,
I / (z)| < I/ (a)I + V ( / ; a , 6 ) ,Vz G [a,b].
(Ui) Nếu f là hàm thực có biến phân bị chặn thì tồn tại hai hàm thực p, q
đơn điệu tăng trên [a, 6] sao cho f (X) = p (a;) — q (X) , Va; e [a, 6].
Hơn nữa, nếu f liên tục thì p , q cũng liên tục.
B ổ đ ề 1.1.1. (Tích phân Dirichỉet).
Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên (a,b) thoả mẫn một
trong hai điều kiện Dirichlet sau đây:
(i) Tồn tại f (a+) , / ( 6 _ ) và / có biến phân bị chặn trên [a,b], ta xem
như / xác định trên [a,b] với giá trị tại biên ỉà f (a+) và f (b~ ).
(ii) Có hữu hạn điểm thuộc đoạn [a,b] sao cho khi bỏ đi các lân cận bé
tuỳ ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần
còn lại của đoạn [a, tíị; hơn nữa f £ L 1 (a, b) . Khi đó, ta có:
Nếu 0 < a < b thì

Nếu 0 = a < b, 3 f (0+) và f có biến phân bị chặn trên một lân cận
[0, ố] của 0 (ỗ < 0) thì

9

1.2

C huỗi Fourier và tích phân Fourier

1.2.1

C h u ỗ i F o u rie r

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.1. Giả sử / G L 1 [—7T,7r], nghĩa là / khả tích Lebesgue
trên [—7T, 7T] và tuần hoàn với chu kì 27T. Khi đó các hệ số an, bn được xác
định theo công thức:
1 p 7T

/

a n = £- /
7T

//0 (x)
* 0 c o s n x d x , n = 0 , 1 , 2 ,.. .

-7T
1 n

bn — _

f {x) s i n n x d x , 71 = 1 , 2 , . . .

7T ■/_7r

được gọi là hệ số Fourier của hàm / , còn chuỗi hàm lượng giác
00

ữo

2~

+ ^

(a nc o s n x + bns i n n x )

n=l

được gọi là chuỗi Fourier của hàm / .
1 .2 .2

Sự hội tụ

* Sự hội tụ trong L 1 (E).
Đ ị n h lý 1.2.1. Cho

/

G I 1 [— 7T,7r], nếu

trong ( —7T,7r) í / l ì chuỗi Fo u r ie r của f
X £ ( —7T, 7r) m à t ạ i đ ó h à m f

/

thoả m ẫ n điều kiện D ir ic h le t

s ẽ hội tụ về f (x ) tại các điể m

l i ê n t ụ c , h ộ i t ụ v ề — [ f (a^+ ) + / (a?- )] n ế u X

l à đ i ể m g i á n đ o ạ n t h ô n g t h ư ờ n g , h ộ i t ụ v ề — [f (a^+ ) + / (^c- )] t ạ i X = ±7T

nếu f ( —7T+ ) và f (7T_ ) tồn tại.

Đ ị n h lý 1.2.2. (Sự hội tụ đều)
Cho f G L 1 [—7T,7r]. Giả sử f bị chặn, thoả mãn điều kiện Dirichlet trên
( —7T, 7r) và giả sử f

liên tục trên khoảng ( u : v )

c

( —7T,7r). K h i đó chuỗi

Fo u r ie r của f hội tụ đều v ề f trên m ộ t đoạn bất kỳ [a, b]

10

c

(u,v).


* Sự hội tụ trong L 2 (R).

Xét không gian L 2 các hàm bình phương khả tích trên [—7T,7r]. Trong
L 2, dãy hàm {(Pnịn € N} được gọi là một hệ trực giao nếu:
/ ipm (x) ipn (x) dx = 0, Vm ± n.
—7Ĩ
7T

và nếu hệ {(pn \n G N} có thêm tính chất / ip2n (x) dx = 1, Vn thì ta nói hệ
— 7T

{y?n} trực chuẩn.
Cho hàm / e L 2, với hệ trực chuẩn {ipn} ta đặt:

/

7T

f ( x ) ( f n (X) d x , \ / n € N
-7T

00

thì ta gọi Ỵ2 CnVri là chuỗi Fourier của hàm / (ứng với hệ trực chuẩn {í^n})
n =0

và ký hiệu là / ~ X) cnipn.
71= 0
00

B ấ t đ ẳ n g t h ứ c B e sse l. Giả sử Ỵ2 Ckk= 0

hệ trực chuẩn
Khi đó:

/

7T

"~7r

00

f

{ x ) d x > J 2 CỈk= 0

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.2. Hệ trực chuẩn {í^n} được gọi là đầy đủ trong L 2 nghĩa
là:

/

7r

00
f ( x ) d x = ^ 2 CL V/ e £ 2"~7r
k= 0
Đ ị n h lý 1.2.3. Cho hệ trực chuẩn {íPn\ trong L 2. Hệ này là đầy đủ nếu
và chỉ nếu:

VF € C [ - 7T,7t] ,Ve > 0,3crn = a ữípữ + ... + a n<£n, ||F - ơn\\2 < £.
Đ ị n h lý 1.2.4. Chuỗi Fourier của hàm / ẽ L 2 [—7T,7t] sẽ hội tụ trung

bình v ề f theo nghĩa:
2

lim / / ( X ) — Ị — +
n^00 J -n [
V2

(d ỵcoskx + bỵSỈnkx)

k=1

]

) .
11

dx =

0.


1.2.3

T ích p h ân Fourier

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.3. Xét hàm / € L 1 (1R), ta đặt:

1 [°°

ữ\= _

f (t) cosXtdt,

7T J —ao

1

_

f (í) s i n Xt d t .

TT J —oo

Ta cho / liên kết với tích phân sau đây, gọi là tích phân Fourier
POO

f{x)

/
■'0

( CL\Cos\x + b \ S Í n \ x ) dX.

Đ ị n h lý 1.2.5. Cho / ẽ L 1 (M), thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi
khoảng mở hữu hạn. Giả sử f (æ+) và / (x ~) tồn tại, thì ta có
f 00

/
Jữ

1

( d \ C o s \ x + b\ S Ỉn \x ) dX = — [ / ( x + ) + / (æ- )] ,
2

trong đó tích p h â n v ế trái được hiểu là

fq

lim / (Ũ X C O S Ằ X + b \ s i n \ x ) d \ .
q->°° J q

12


Chương 2
PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
2.1

P h ép biến đổi Fourier trong L 1 (R)

2 .1 .1

P h é p b iến đổi F o u rier

Đ ị n h n g h ĩ a 2.1.1. Cho / € L 1 (M), hàm / xác định bởi

ĩ w = 4y / Zr7 ĩ *r' —00 f ^ e~,UẾt

í2'1)

được gọi là phép biến đổi Fourier của / .
V í d ụ 2.1.1. Cho / (X) = e—“1^15OI > 0. Tìm biến đổi Fourier f của f (X).
Lời giải.
Áp dụng công thức biến đổi Fourier ta có:
f (X) =

J
Ọ

e~a^ e ~ iXidt =
/*00

___ /

J

1

ọ

e- “^ (COSẰX — isinXx) dx
/*00

V2ĩtJo

e _ a ^ c o s A :c = ----- - j= /
7ĩ V 2 ĩ t J o

12

f

_

ttỰ ỉ k

I

íe

1 /2 '
7T V

=

+ a [

°
—

'■°0

f ----ì í
7T
A' J q

/2

> 7T

e axs i n \ x d x

J0

e~axdcosXx

— Ịe axcosAx|^° + a
a

e _ a ^£Z sm A :c

ị

e axcosXxdx

- i +a]Ịựix)ị =
13

7T À 2 + a;2


V í dụ 2.1.2. Tìm biến đổi Fourier của hàm
/ x 2e~x
= \ũ

/w

,X > 0
,x<ũ.

Lời giải. Áp dụng công thức biến đổi Fourier ta có:

/

00

1

/*c

■*_ /
/f (rA
(z) p-™*H.r.
e~iXxdx = ~ ^ = /
\Z2
tT J n
y/2ĩĩ -oo
y/2Ĩr
¿0
1

/

2 tt in
>/2

1

x 2e~xe~iXxdx

2

ar2e - (1+iA)*da: = - Ậ

a/27
/2 t (1
a

+ ¿À)

Vậy phép biến đổi Fourier của hàm f ( x ) là : f ( x ) =

3■

1
V Z k ( 1 + Ỉ X ) 3'

Đ ị n h lý 2.1.1. Giả sử f €E L 1 (1R) thì f G c ° với c ° là không gian các
hàm số liên tục tiến dần về 0 tại vô cực. Hơn nữa
1
/

(2 .2 )

1•

Chứng minh. Bất đẳng thức trên suy trực tiếp từ định nghĩa / . Khi
tn—»■t thì
/ (tn) - ĩ (t ) <

\p2/K

/

00

e~itnX - e~itx\dx.
c
-00

Hàm dưới dấu tích phân ở trên bị chặn bởi 2 I/ (:r)| và hội tụ từng điểm
tới 0 khi n —> 00. Vì vậy / (t n) —»■ / (t ) do định lý hội tụ bị chặn. Vậy /
liên tục.
Với một hàm số h (X), ta ký hiệu h a là hàm số định nghĩa bởi
ha {x) = h ( x — a ) .
Vì eiĩr = - 1 nên
/(* ) = “ /

/ 0*0 e- í í (*+^)díE = —

00

í

f n/t (x) e~itxdx,
00

kéo theo

.

/

00

[ / (®) - Ẩ /í (®)] e~ỉtxdx < II/ - A /ílli ,
-00

suy ra / tiến đến 0 khi t —¥ oo.
14


B ổ đ ề 2.1.1. Cho f xác định trên M và với mỗi y Ẽ R , đặt fy là tịnh tiến
của f

x á c đ ị n h b ởi

f y {x ) = f {x - y ) ,Va; G R.
N ế u f & L p ( R ) , 1 < p < o o thì ánh xạ y I—>■ f y t ừ R vào L p ( R ) là liên
tục đều.

Chứng minh. Cho £ > 0 bất kỳ. Ta đã biết Cc (R) trù m ật trong L 1 (R)
nên tồn tại hàm g liên tục trên R và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn
[ - A , A ] sao cho II/ - g\\p < £.
Nhận thấy g liên tục đều trên M nên tồn tại ỗ G (o, A) sao cho
\g (s) - g { t )I < (3 A )_ 1 e , V s , í € R, Ịs - t\ < ỗ ,

vì vậy dẫn đến
\ \ 9 s - 9 t \ \ p < e-

Với h G L p (M) ta có
IIM p = \ \ h { x - a ) \ \ p = Ụ

\ h ( x - a)\p d x Ỵ .

Đặt u = X — a => dx = du. Khi đó
IIM p = ( / Ih { u ) \ p d u Ỵ = Ụ

\ h{x)\ p d x Ỵ = ||/ỉ||p .

Vậy
\\fs

=

f t \ \ p 5Í IIf s

9 s \ \ p “I“ \\9s

9 t \ \ p “t- \\9t

ft\\p

II( / - 9 ) s \ \ p + II9 s - 9t\\p + II ( ơ - f ) t \ \ p < 3 e , V s , t , \ s - t < ỏ \ .

Bổ đề được chứng minh.
Đ ị n h lý 2.1.2. Nếu f , / i , / 2 ,... £ L 1 (R) và nếu \\fn — / ll j —i►0 khi n —>
00

thì lim f n (æ) = / (æ) đều trên R.

n —>00

15


Chứng minh. Theo (2.2) ta có

00

Từ đó ta có đpcm.
Nhận xét. Theo định lý 1.2.5, nếu / thoả mãn điều kiện Dirichlet trên
mọi khoảng mở hữu hạn và / liên tục tại

X

thì ta có
(2.3)

Trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa giá trị chính, tức là

Tích phân trong (2.1) là tích phân thông thường. Để công thức (2.3)
vẫn đúng theo nghĩa tích phân Lesbesgue thì ta có định lý sau:
Đ ị n h lý 2.1.3. Giả sử f G L 1 (R) và f G L 1 (M). Dặt
(2.4)
Khi đó:
(i) g E Cq với

c 0 là không

gian các hàm liên tục trên K và tiến dần về 0

tại vô cực.
(ii) g ịx) = / (a:) hầu hết trên M.
2 .1 .2

M ộ t số d ạ n g b i ế n đ ổ i F o u r i e r k h á c

Đ ị n h n g h ĩ a 2.1.2. (Biến đổi Fourier ngược)
Nếu / ẽ L 1 (R) và / £ L 1 (E) là biến đổi Fourier của / thì ta có

được gọi là biến đổi Fourier ngược của / .
16


C h ú ý 2.1.1. Đối với hàm chỉ xác định với

X

> 0, ta có công thức biến

đổi Fourier dạng sin và dạng cosin. Chẳng hạn với hàm f (X) xác định với
rộng hàm

X > 0, ta m ở

f

cho

giá trị X < 0

bằng định

n g h ĩ a f ( —x ) — / ( X )

và thực hiện biến đổi Fourier cho hàm chẵn ta có:
1

~

/ ( X) = - ^ =

f { x ) e ~ iXxd x

V "7T —oc
11
roo
1
í°
f°°
=
/
/ (x) e~iXxdx H— 7== /
/ (x) e~iXxdx
ự2ñJo
V Z k J - oc
1

1

ự 00

roo

__ /
/ (æ) eTiXxd x H— -ị = / / (a;) eỈXxdx
V 27T J 0
v 2 tĩ
Jo
v

__ í f (x) (e~iXx + eiXx) dx = 2 f
2tĩ J q
J0

f (x) COS (Xx) dx.

= —(eiAæ + e-iAæ) .

cosằx

Từ đó ta có biến đổi Fourier cũng là một hàm chẵn. Do đó:
/w

1
= 4 = /
í(X)e^d\
V
—oc
iXxdẰ

= 4 = / “ / M eiXldA + 4 = / ° / « e‘V 2 7 T * /o
v 27T «/-00
1
/*00
1
/*00
=
/ (A) eiXxd \ + —r== /
/ ( s ) e ‘iXxdẰ
V

¿7 T

*•' — 0 0

V

"7 T 0

1
í
= 2Z— /
/ (x) cos (Ax) c/A.
Æ
■/»
với cosXx
Fourier dạng

= - {eiẰX + e~iXx) .Đặt F (A) — / (A) Ải/iỉ đó ta có biến đổi
cosin của hàm f .

Đ ị n h n g h ĩ a 2.1.3. (Biến đổi Fourier - cosin)
Cho hàm / ẽ L 1 (M+) và / là hàm chẵn ta định nghĩa phép biến đổi
Fourier - cosin của hàm / là hàm
F (À) = J — Ị

V 7T J q

17

f (X) cosXxdx.


Nếu / thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn (a , 6) c K+
và / liên tục tại

X

thì theo định lý 1.2.5 ta có
/ (X) = J — ị

F (À) cosXxdX

V 7T J q

C h ú ý 2.1.2. Nếu ta bắt đầu với hàm f được xây dựng bằng hàm lẻ,tức là
f (—x) = —/ (X) và thực hiện các bước biến đổi như trên

tacũng có công

thức biến đổi Fourier dạng sin của hàm f ( x ) .
Đ ị n h n g h ĩ a 2.1.4. (Biến đổi Fourier - sin)
Cho hàm / G L 1 (R+) và / là hàm lẻ ta định nghĩa phép biến đổi Fourier
- sin của hàm / là hàm
00

/ (X) sinX xdx.
Nếu / thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn (a, b) c M+
và / liên tục tại

X

thì theo định lý 1.2.5 ta có
00

ệ (A) si nXxdX.

2 .1 .3

C ác tín h chất

T í n h c h ấ t 2.1.1. Với r > 0; đặt

(x) =

fr

f (r x

). Ta

có

Chứng minh.
1
ĩr (A) = - j =

í°°
J

f

T í n h c h ấ t 2.1.2. Với n ẽ M , đặt

(r x ) e~iXxdx

fy

(:r) = / (x + y). Ta có

ĩ , ( X ) = e iX’ f ( \ ) .

18


Chứng minh.
ĩy (A) =

1
ĩ 00

AT= /
f(x
V27T J -00

+ y) e~iXxdx

= -V¿27T
r J/ —oo / w

= e
T í n h c h ấ t 2.1.3. Cho f e L 1 (M) thoả mãn s u p p f c [—a ,a ]. Ta có f là
hàm giải tích trên c .
Chứng minh.
/ ( A) = ~ ^ = J a f { x ) e iXxdx
/>s

/ giải tích trên c.
T í n h c h ấ t 2.1.4. CTio dãy
(frì)

hội tụ trong L 1 (M). Khi đó, dãy

( f n ) n = 12

hội tụ đều trên R.
71=1,2,...

Chứng minh.
fm W ~ fn W

1
f°°
< “4 = /
l/m (z) - /n (z)| • |e_iAí| da;
V 27T J —oo

/

00

l/m (®) — f n (®)| dx —>■0 khi m, n —> 00.
-00

T í n h c h ấ t 2.1.5. Cho f & L 1 (R). Ta có f liên tục, bị chặn và f (À) —> 0
khi ỊAỊ

00.

Chứng minh. Ta có / bị chặn do

/

00

\ f{x)\ dx.
-00

Nếu / là hàm đặc trưng của [a, 6] thì
^

/ (A) = - Ậ = f e~iXxdx =
y/2Ĩĩ Jan
\[Ĩk
và là hàm liên tục tiến về 0 khi ỊAỊ —¥ oo.
19

g —i \ a

g — iXb

ìằ


Nếu / là hàm bậc thang thì / là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc
trưng. Từ đó, do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, ta cũng có /
liên tục và tiến về 0 khi |AỊ —> 00.
Nếu / £ L 1 (K), do tập hợp các hàm bậc thang trù m ật trong L 1 (M),
ta tìm được dãy các hàm bậc thang ( / n) =1 2
Theo tính chất 2.1.4, dãy

hội tụ trong L 1 (R) về / .

hội tụ đều về / trên M, suy ra / liên

tục và tiến về 0 khi IAI —> 00.
T í n h c h ấ t 2.1.6. Cho f ẽ L 1 (R) thoả mãn tính chất f ' G L 1 (E) và f
liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn. Khi đó
Ư T

= iXf.

Chứng minh. Vì / liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên
f { x ) = f (0) + f

f (í) dt.

Jữ

Do f E L 1 (M) nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi

X

—> ±

00.

Hơn nữa / G L 1 (M) nên giới hạn đó phải bằng 0.
Vậy

1
=

~\ J kẰ =
TĨ

roo r
/

J — OG

= iM w

r oc
L

e ~ ixxỉ

w

1- 00

+ ix

J — QQ

f t o

e ~ixxễx

.

T í n h c h ấ t 2.1.7. Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L 1 (M) thì f hội
tụ về 0 càng nhanh khi

IÀI

—> OO; nghĩa là

20

T í n h c h ấ t 2.1.8. Cho f G L 1 (M). Nếu f " tồn tại và f " e L 1 (M) thì
ỉ € L1 (R ).

Chứng minh. Do f & L 1 (M) nên / bị chặn (theo tính chất 2.1.5) và
giảm về 0 nhanh hơn

khi IAI —¥ oo theo tính chất 2.1.7. Từ đó ta có

/ e L 1(R ).
T í n h c h ấ t 2.1.9. Cho f & L 1 (R) và thoả mãn I . f ẽ L 1 (R), I là ánh xạ

Chứng minh.

C h ú ý 2.1.3. Tính chất 2.1.9 cho ta thấy nếu f giảm càng nhanh thì /
càng trơn.
T í n h c h ấ t 2.1.10. Với f , g G L 1 (R) ta có ( / * g)A = 2ĩĩf.g.
Chứng minh. Theo định lý Fubini ta có
00

( / * Ò) {?) e~iXxdx
■n o

= 27 T f ( \ ) g ( \ ) .
T í n h c h ấ t 2.1.11. Gọi

s

là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh

tức là f G c°° và Vp, q ẽ N, 3 M > 0, Vx, Ix pf ^ (x)| < M . Khi đó / €E s .
21