Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Phần 1: Hệ toạ độ trong không gian
A. Lý thuyết cần nhớ
Hệ trục tọa độ Oxyz gồm …………………...đôi một vuông góc với nhau với
r
ur
r uur ur r
i
=
j
=
k
=1 .
i
,
j
,
k
các……………………tương ứng là
ur

ur

r

ur

(

uur

)

B. a = ( a1; a 2 ; a 3 ) ⇔ a = a1 i + a 2 j + a 3 k ;

uuuur
r
r
r
Và M (x;y;z) ⇔ OM = x.i + y.j + z.k

C. Tọa độ véctơ
ur
ur
Cho u = (x; y; z), v = (x'; y'; z')

r
k ( 0;0;1)

⎧ x = x'
⎪
u = v ⇔ ⎨ y = y'
1.
⎪z = z'
⎩
ur

ur

ur

y

ur

2. u ± v = ( x ± x'; y ± y ';z ± z ' )
ur
3. α u = (α x ; α y; α z )
4.

O

r
i (1; 0;0 )

ur ur

r
j ( 0;1;0 )

x

u.v = x.x '+ y.y'+ z.z'
ur

z

ur

ur ur
5. u ⊥ v ⇔ u.v = 0
ur
2
2
2
u
6. = x + y + z

ur ur
⎛y z z x x y⎞
⎡ u,v ⎤ = ⎜
⎦ ⎜ y' z' ; z' x' ; x' y' ⎟⎟ = ( yz' − y'z;zx' − z'x; xy '− x'y )
7. ⎣
⎝
⎠
ur ur
ur ur r
8. u,v cùng phương ⇔ [u , v] = 0
uur ur
u.v
rr
cos u,v = ur ur
9.
u.v .

( )

D. Tọa độ điểm :

cho A (xA; yA; zA), B (xB; yB; zB)
uuur
1. AB = (x B − x A ; y B − y A ; z B − z A )
2
2
2
2. AB = (x B − x A ) + (y B − y A ) + (z B − z A )
3.G là trọng tâm của tam giác ABC ta có:

Đt : 0914449230

1

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh

xG =

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

xA + xB + xC
y A + y B + yC
y
=
G
;
;
3

3

zG =

zA + zB + zC
3

Đặc biệt : M là trung điểm AB:

xM =

xA + xB
y + yB
z + zB
; yM = A
; zM = A
.
2
2
2
uuur uuur

5. A,B,C lập tam giác ⇔ A,B,C không thẳng hàng ⇔ AB, AC không cùng

uuur uuuur
r
1
⎡ AB, AC ⎤ ≠ 0
phương ⇔ ⎣
khi đó diện tích tam giác ABC là S = 2

⎦
Bàir tập
:
r 1 :rtrong
uur cho
r hệr trụcr tọa rđộ Oxyz
r các
r vectơ
r
u = i − 2 j, v = 3i + 5 j − 5k, w = 2i + 3j − k

uuur uuur
⎡ AB, AC ⎤
⎣
⎦

r r
r r
r r
u,
v
u,
i
k,
v
a/ Tìm tọa độ các vectơ đó b/ tính cosin của góc
,
,
r r
r uur r uur r r

u.v,
u.w,
v.w, u. j
c/ Tính các tích vô hướng
r
r
r uur
ur r
r uur
d/ Tìm tọa độ các vectơ sau : e = 2u − 4 v + 3w , α = u + 5 v − 2w ,
uur
r
r r r r
r
r r r
3 r 1 r uur
m = − u + v−w ,
n = −3u + v − 2i + 5j ,
r = 3u + 5i − 3k
2
2

( ) ( ) ( )

Bài tập bổ sung : Cho ba vectơ a = (2;−5;3); b = (0;2;−1); c = (1;7;2) .
1
d
=
4
a

−
b + 3c và e = a − 4 b − 2 c
Tìm toạ độ các vectơ sau đây:
3
Bài tập 2 : Tìm toạ độ của vectơ x và y biết rằng
a) a + 2 x = 0 và a = (1;−2;1)

b) 2 a + x = 4 i và a = (0;−2;1)

c) a + 2 x = −b , − a + 2 y = 3b
r
a
Soạn : Cho = (5; −4; 7) và

với a = (5;4;−1) ; b = (2;−5;3)

r
x

r r r
thỏa x + y = 0

uur r
r
r
b/ Tìm vectơ y thỏa 2y − a = 3b

a/ Tìm vectơ
Bài tậpr 3 : Phân tích vectơ r
r

r
u
=
4,
0,
−
7
theo
a
=
−
2,
1,
0
,
b
=
1,
3,
−
2
,
c
(
)
(
)
(
) = ( 2, 4, 3)
a/

r
r
r
r
b/ d = ( −4, 5, − 1) theo a = ( 2, 4,1) , b = ( −3, 0, 3 ) , c = (1, − 1, − 1)
uur
r
r
r
c/ m = ( 3, 2, − 8 ) theo a = (1, 0, − 2 ) , b = ( −2, 1, 3 ) , c = ( −4, 3, 5 )
r
r
r
r
d/ q = ( −4, 12, 4 ) theo a = ( 3, − 7, 0 ) , b = ( 2, − 3,1) , c = ( 3, 2, 4 )
Đt : 0914449230

2

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh

r r HÌNH
r GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bài tập 4 : Viết dưới dạng xi + y j + z k
r ⎛
r ⎛
r

r
1
π⎞
11 ⎞
d
=
2,
,
−
b
=
0,
0,
−
c
=
1,
3,
−
2
a = (1, 0, − 2 ) ;
⎜
⎟
⎜
⎟
;
3⎠ ;
2 6⎠
⎝
⎝

Bài tập 5 : Trong không gian Oxyz cho A(2; − 3 ; 1), B(1; − 1; 4) và C( − 2; 1; 6)
a/ Tìm tọa độ trọng tâmuuu
Grcủa
giác
ABC
uuutam
r uuu
r uuu
r uuur uuur
b/ Tính các vectơ sau : AB, AC, BC, 2AB + 3AC − 4BC
uuur uuur uuur
c/ Tính: 2AB − AC .BC
uuuur
uuur
MA = −2MB
d/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : uuur
uuur uuur
e/ Tìm tọa độ điểm K sao cho : KA − 2KB = 2CB
uuur uuur uuur r
PA
+ 2PB − 4PC = 0
f/ Tìm tọa độ điểm P sao cho :
g/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Bài tập 6: Cho ba điểm: A(−3;2;1) ; B (3;−1;2) ; C (0;−4;2) .
CMR tam giác ABC cân
Bài tập 7 :
D'
C'
a/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với
A(1; 0 ; 1), B(2; 1; 2) , C’(4; 5; − 5), D(1; − 1; 1). Tìm tọa độ các

A'
B'
đỉnh còn lại
B
b/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với
A( − 1; 2 ; 3), C(1; 4; 5) , B’( − 3; 3; − 2), D’(5; 3; 2). Tìm tọa độ các
D
A
đỉnh còn lại
c/ Trong khôgn gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(4;1;-2),
B’(4;5;10). C(-3;-2;17), D’(-7;-2;11). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
Bài tập 8 : Tìm góc giữa hai vectơ sau:

(

(

)

)

a) a = (4;3;1) ; b = (−1;2;3) b) a = (2;5;4) ; b = (6;0;3) c) a = (1;−1;1) ; b = (0;1;3)
Bài tập 9:
a/ Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm: A(3;1;0) ; B (−2;4;1)
b/ Trên trục Ox, tìm điểm cách đều hai điểm: A(1;0;1) ; B ( 2;1;2)
c/ Trên trục x’Ox, tìm điểm M cách đều hai điểm: A( 2;−1;1) ; C (3;−2;−1)
(ĐS : (4;0;0) )
Bài tập 10:
a/ Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm: A(1;1;1) ; B (−1;1;0) ; C (3;1;−1) .
b/ Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm: A(2;−1;1) ; B (1;3;4) ; C (3;−2;−1)

Đt : 0914449230

3

Email :

C


GV. Nguyễn Vũ Minh

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
⎛ 26 14 ⎞
(ĐS : ⎜ 3 ; 3 ;0 ⎟ )
⎝
⎠
Bài 7: Cho A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(-1;-2;2).
1/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác.
2/ Tính cosin của 3 góc ΔABC
3/ Tìm trên Ox điểm cách đều A và B.
4/ Tìm trên Oz điểm cách đều C và B.
5/ Tìm trên mặt phẳng
uuur xOy điểm cách đều A, B, C.
Bài tập 11: cho AC = ( 3, 2, −5) với C (1, 0,3) . Tìm A
Bài tập 12: Cho điểm M( − 3;4;7). Tìm tọa độ hình chiếu của M trên.
a/ Các trục tọa độ
b/ Các mặt phẳng tọa độ
Bài tập 13: Cho tam giác ABC với A(0;−2;1) ; B (3;2;2) ; C ( 4;1;−2) .
a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC.
c) Tìm chân D của đường phân giác trong AD của góc A.
r
r
E. Hai vectơ cùng phương Cho a = ( a1 , a 2 , a 3 ) , b= ( b1 , b 2 , b3 )
r r
r
r
a , b cùng phương ⇔ ∃k ∈ R sao cho a = k.b

⇔

a1 a 2 a 3
=
=
b1 b 2 b 3

Ghi chú : ……………………………………………………………………….
r
r
r
Ví dụ 1 : a = ( 3, − 1, 2 ) , b = ( −9, 3, − 6 ) , c = ( 6, − 2,1)
r r
a/ CMR a , b là hai vectơ ngược hướng
r
r
a
c
b/ CMR và là hai vectơ không cùng phương
Giải :

r
r
r
3 −1 2
1
1r
=
=
=
−
a
=
−
b
a/ Vì
nên
suy ra a và b ngược hướng
−9 3 − 6
3
3
r
6 1 r
≠
a
c
b/ Vì
và là hai vectơ không cùng phương
2 2
Ví dụ 2 : Cho A(−3;1;4) ; B ( 2;3;6) ; C (3;−4;1) .
a/ CMR A,B,C lập tam giác

uuuur uuur
b/ Tìm tọa độ điểm M ( x; y;−6) sao cho AM, BC cùng hướng
uuur Giải : uuur
a/ AB = ( 5; 2; 2 ) , AC = ( 6; −5; −3)
Đt : 0914449230

4

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
uuur
uuur
5 2
≠
nên AB và AC là hai vectơ không cùng phương
Vì
6 −5
Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Vậy
là ba đỉnh của uuu
một
uuuuA,B,C
r
r tam giác
b/ AM = ( x + 3; y − 1; −10 ) , BC = (1; −7; −5)
uuuur uuur
x + 3 y − 1 −10

=
=
>0
AM, BC cùng hướng nghĩa là chúng cùng phương ⇔
−7
−5
1
⎧x+3
⎪⎪ 1 = 2
⎧ x = −1
⇔⎨
⇔⎨
⎩ y = −13 Vậy M ( −1; −13; −6 )
⎪ y −1 = 2
⎩⎪ −7
Bài tập 14:
a/ Cho A(1;1;1) ; B (14;0;−5) ; C ( 2;3;1) . Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên BC và
tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC
b/ Cho A(5;2;5) ; B ( 2;−1;2) ; C (3;1;6) . Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên BC và
tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC
(ĐS : H (3;1;6) và A' (1;0;7) )
c/ Cho A(2;−1;3) ; B (3;0;−2) ; C (5;−1;−6) . Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên
BC và tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC
(ĐS : H (1;1;2) và A' (0;3;1) )
r r rr
r
Bài tập 15: Cho a = 3i − 2 j, b = (2;3; −1), c = ( −2; 4; 2) .
r
rr
r r

rr
a/ Tìm x sao cho a.x = 2 , b.x = −1 , c ⊥ x
r r r
⎡ r 1r ⎤r
và
b/ Tìm tọa độ của: (a.3b)c
⎢ (−2c)( a) ⎥ b
⎣

5

⎦

F. Tích
r có hướng vàrsự đồng phẳngr
Cho a = ( a1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b1 , b 2 , b3 ) , c = ( c1 , c2 , c3 )

r
+ a,
r
+ a,

r r
r
r
⎡
⎤
b cùng phương ⎣a, b ⎦ = 0
r r r
r r

⎡
b, c đồng phẳng ⎣a, b ⎤⎦ .c = 0

uuur uuur uuuur
Chú ý : A,B,C,D lập tứ diện ⇔ AB, AC, AD không đồng phẳng
uuur uuur uuur
⎡ AB, AC ⎤ .AD ≠ 0
⇔ ⎣
⎦

Đt : 0914449230

5

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
1
1 ⎡ uuur uuur ⎤ uuur
V
=
SBCD .h
V
,
,
=
AB
AC

AD
Và A.BCD 6 ⎣
hoặc
⎦
3

(h là chân đường cao hạ từ đỉnh A)

r r r
Bài tập 16: Xét sự đồng phẳng của 3 vectơ a, b, c biết:

r
r
a
=
(1;
−
1;1)
a/
; b = (0;1; 2) ;
r
r
b/ a = (1; 2;1) ; b = (1; −2;3) ;

r
c = (4; 2;3)
r
c = (2; 6;1)

r

r r r
r
r r r
c
=
−
4i
+2j+k
b
=
(
−
1;3;5)
a
=
2i
−
3k
c/
;
;
Soạn :

d/ a = (4;3;4) ; b = (2;−1;2) ; c = (1;2;1) .
e/ a = (4;2;5) ; b = (3;1;3) ; c = (2;0;1) .
f/ a = (−3;1;−2) ; b = (1;1;1) ; c = (−2;2;1) .

Bài tập 17:

r

r
r
a/ Tìm m để 3 vectơ a = (1; 2;3) ; b = (2;1; m) ; c = (2; m;1) đồng phẳng
r
r
r
b/ CMR 3 vectơ a = (1;1; m) ; b = (1;1; m + 1) ; c = (1; −1; m) không đồng phẳng

với mọi m
Bài tập 18: Xét tính đồng đẳng của 4 điểm sau:
a/ A(1;2;1), B(–1;2;3), C(2;0; –2), D(0;1; –4)
b/ A(1;1;1),
B(–1;2;4), C(3;0; –2), D(–2;1;0)
r
r
a
=
(1;
−
1;3)
Bài tập 19:
; b = (2; 2; −5)
r r

a/ Tính ⎡⎣ a, b ⎤⎦
r
r
b/ Cho c = (1; −1; 2), x = (m; m + 2; m − 2) . Tìm m để

r

⎡ a,
⎣

r
b ⎤⎦ = 2 3 (ĐS : 0, -12/7)

Bài tập 20: Cho bốn điểm: A(1;−1;1) ; B (3;1;−2) ; C (−1;2;4) ; D (5;−6;9)
a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
b) Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD.
c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A.
Bài tập 21: Cho bốn điểm: A( 2;3;1) ; B ( 4;1;−2) ; C (6;3;7 ) ; D ( −5;−4;8)
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (Chứng minh A, B, C, D
không đồng phẳng).
b) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
c) Tìm tọa độ của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D.

-------------------------------------------------------Đt : 0914449230

6

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Phần 2: Phương trình mặt cầu.

A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) , bán kính R:

Dạng chính tắc: ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R
2

2

2

R

2

I

Dạng khai triển: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
(điều kiện để có mặt cầu : …………………………..)
2

2

2

Bán kính: R = a + b + c − d
B. Bài tập:
Ví dụ 3 : Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình
x 2 + y 2 + z 2 − 6x + 8y − 4z + 2 = 0
2

2

2

2
2
2
Giải : so sánh với phương trình x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0

⎧−2a = −6
⎧a = 3
⎪−2b = 8
⎪b = −4
⎪
⎪
⇔⎨
⎨
Ta có −2c = −4
suy ra mặt cầu có tâm I (3; – 4;2)
⎪
⎪c = 2
⎪⎩d = 2
⎪⎩d = 2

và bán kính R = a 2 + b 2 + c2 − d = 9 + 16 + 4 − 2 = 3 3
Bài tập 22: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
2
2
2
2
2
2

a) x + y + z − 8 x + 2 y + 1 = 0
b) x + y + z + 4 x + 8 y − 2 z − 4 = 0
2
2
2
2
2
2
c) x + y + z − 2 x − 4 y + 4 z = 0
d) 3 x + 3 y + 3 z + 6 x − 3 y + 15 z − 2 = 0
2
2
2
2
2
2
e) x + y + z − 3 x + 4 y = 0
f) x + y + z − 6 z − 7 = 0
2
2
2
2
2
2
g) x + y + z − 6 x + 4 y − 2 z − 86 = 0 h) x + y + z − 12 x + 4 y − 6 z + 24 = 0
2
2
2
2
2

2
k) x + y + z − 6 x − 12 y + 12 z + 72 = 0 l) x + y + z − 8 x + 4 y + 2 z − 4 = 0
Bài tập 23: cho phương trình :
2
2
2
2
a/ x + y + z − 2mx + 4 ( m + 1) y − 2 ( m − 2 ) z + 7m + 8 = 0 (1) .Xác định

tham số m để (1) là phương trình của một mặt cầu (S). Khi đó xác định m để mặt
cầu (S) có bán kính lớn nhất (ĐS : 0 < m < 4 và m = 2 )
2
2
2
2
b/ x + y + z − 2 ( m + 1) x + 4 ( m − 1) y + 2mz + 7m − 7 = 0 (1) .Xác định
tham số m để (1) là phương trình của một mặt cầu có bán kính bằng 3
(ĐS : m = −3 ± 2 3 )
2
2
2
2
c/ x + y + z − 4mx + 4y + 2mz + m + 4m = 0 (1) .Xác định tham số m để
Đt : 0914449230

7

Email :

GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
(1) là phương trình của một mặt cầu (S). Khi đó xác định m để mặt cầu (S) có bán
kính nhỏ nhất (ĐS : ∀m ∈ R và m = 1 / 2 )
Ví dụ 4 : Viết phương trình mặt cầu nếu biết:

a/ Tâm I(2; 2; –1), bán kính R = 2 2
b/ Tâm I(2; 0; 1) và qua điểm A(2; 1; 5)
c/ Qua 4 điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(–3; 1; 6), D(3; –8; 0)
Giải :

☺a/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; -1), bán kính R = 2 2
(S) : ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = ( 2 2 )
☺ b/ mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; 1) và qua điểmuurA(2; 1; 5)
2

2

2

2

nên có bán kính R = IA = 02 + 12 + 42 = 17 với IA = ( 0;1; 4 )
(S) : ( x − 2 ) + y + ( z − 1) = 17
2

2

R

A

I

2

☺ c/ mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2; 2; 1), B(3; 2; 2), C(-3; 1; 6), D(3; -8; 0)
2
2
2
gọi pt (S) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
⎧22 + 22 + 12 − 4a − 4b − 2c + d = 0
⎧A ( 2; 2;1) ∈ (S)
⎪ 2
⎪
2
2
3
+
2
+
2
− 6a − 4b − 24c + d = 0
B
3;
2;
2
∈
(S)
(

)
⎪
⎪
⇔⎨
⎨
2
2
2
Ta có ⎪C ( −3;1;6 ) ∈ (S)
⎪( −3) + 1 + 6 + 6a − 2b − 12c + d = 0
2
⎪
⎪ 2
3
+
−
8
+ 02 − 6a + 16b + d = 0
(
)
⎩D ( 3; −8;0 ) ∈ (S)
⎩
⎧9 − 4a − 4b − 2c + d = 0 (1)
⎪17 − 6a − 4b − 24c + d = 0 (2)
⎪
⇔⎨
⎪46 + 6a − 2b − 12c + d = 0 (3) Lần lượt trừ các vế tương ứng của phương trình
⎪⎩73 − 6a + 16b + d = 0
(4)

⎧2a + 2c = 8
⎪
⎨
(1) cho các phương trình (2), (3), (4) ta có hệ : 10a + 2b − 10c = −37
⎪2a − 20b − 2c = 64
⎩
⎧a = 1/ 2
⎪
Giải hệ này ta được : ⎨b = −7 / 2 thay vào (4) ta được d = −14
⎪c = 7 / 2
⎩
2
2
2
Vậy phương trình (S) : x + y + z − x + 7y − 7z − 14 = 0

Đt : 0914449230

8

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bài tập 24: Viết phương trình mặt cầu nếu biết:
a) Tâm I(5; –3; 7). bán kính R = 2.
b) Tâm I(3; –2; 1) và qua điểm A(2; 1; –3).
c) Tâm I(4; –4; –2) và đi qua gốc toạ độ.
d) Hai đầu đường kính là A(4; –3; –3) và B(2; 1; 5).

e) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7).
Soạn : a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính R = 3 .
b) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4)
c) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3).
Bài tập 25: Viết phương trình mặt cầu (S):
a/ (ĐH Bách Khoa Hà Nội – 96) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(3; 2; 6),
B(3;-1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1; -1). (ĐS: x 2 + y2 + z 2 + 2x + 3y − 8z − 13 = 0 )
b/ (ĐH Văn Lang – 98) đi qua bốn điểm A(0; 0; 0), B(0;0; 4), C(0; 4; 0), D(4; 0; 0).
c/ Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2).
d/ Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
e/ Đi qua bốn điểm: A(1 ; 0 ; 0) ; B(0 ; 1 ; 0) ; C(0 ; 0 ; 1); D (-2 ; 1 ; -1)
(ĐS : x2 + y2 + z2 + 5 x + 5 y + 5 z - 8 = 0)
3

3

3

3

f/ Đi qua bốn điểm: A(–1; 2; 0), B(2; –3; –1), C(0; –2; –2), D(–2; 0; 1).
Bài tập 26: Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ:
a) A(−1,−3,1) ; B (−3,1,5) .
b) A(6,2,−5) ; B (−4;0;7) .
c) A(1,−2,4) ; B (3,−4,−2) .
d) A( 4,−3,7) ; B ( 2;1;3) .
---------------------------------------------Phần 3: Phương trình mặt phẳng
A. Kiến thức cần nhớ
a) Phương trình tổng quát:
2

2
2
Ax + By + Cz + D = 0 với A + B + C > 0

r
n

n = ( A; B; C ) là vecto pháp tuyến của mp.
b) Phương trình mặt phẳng đi qua M ( x0 ; y0 ; z 0 )

và có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) có dạng:

A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

Đt : 0914449230

9

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

có dạng:

x y z
+ + =1
a b c

z

B b

Ghi chú : ………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

C
c

O

y

A
x

a

d) các trường hợp đặc biệt : (P) : Ax + By + Cz + D = 0
+ nếu D = 0 : (P) : Ax + By + Cz = 0 thì (P) đi qua gốc O

+ Các mp tọa độ cần nhớ : (Oxy) : z = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Ozy) : x = 0
Ví dụ 5 : lập phương trình mp (P) trong các trường
hợp sau :
r

a/ qua A(2; 1; 5) và có vectơ pháp tuyến là n = ( 2; −3; −2 )
b/ cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2)
c/ qua 3 điểm A(1; –2; 4), B(3; 2; –1), C(–2; 1; -3) không thẳng hàng
d/ (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(3; -2; 5), B(-5; 4; 7)
e/ qua ba điểm A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu của A(-3; 2; -4) lên các trục
Ox, Oy, Oz
f/ qua điểm A(1; 2; 2) và song song với mp (R) : 2x − 3y − z + 2013 = 0
r
Giải :
a/ (P)qua A(2; 1; 5) và có vectơ pháp tuyến là n = ( 2; −3; −2 )

☺

Phương trình (P) : 2 ( x − 2 ) − 3 ( y − 1) − 2 ( z − 5 ) = 0 ⇔ 2x − 3y − 2z + 9 = 0

☺b/ (P) cắt 3 trục tọa độ tại 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -2)
nên (P) chính là mặt phẳng đoạn chắn :

x y z
+ +
= 1 ⇔ x + 2y − z − 2 = 0
2 1 −2

☺c/ qua 3 điểm A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C(-2; 1; -3) không thẳng hàng
nên (P) có cặp vectơ chỉ phương là
uuur
⎧⎪ AB = ( 2; 4; −5 )
⎨ uuur
⎪⎩ AC = ( −3;3; −7 )
Đt : 0914449230

B
A

10

C

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
r
uuur uuur
⎡
n
=
AB,
AC ⎤⎦ = ( −13; 29;18 )
suy ra vectơ pháp tuyến của (P) là
⎣
vậy phương trình (P) cần tìm là :
−13 ( x − 1) + 29 ( y + 2 ) − 18 ( z − 4 ) = 0 ⇔ −13x + 29y − 18z + 1 = 0
A
d/ Gọi M là trung điểm của AB thì M(–1;1;6)
uuur
AB
= ( −8;6; 2 )

(P) qua M(-1;1;6) và có VTPT là
M
r
hay n = ( −4;3;1) cũng là một VTPT của (P)
vậy phương trình (P) cần tìm là :
4 ( x + 1) − 3 ( y − 1) + 1( z − 6 ) = 0 ⇔ 4x − 3y + z − 13 = 0

☺

☺e/ hình chiếu của A(-3; 2; -4) lên các trục Ox, Oy, Oz là

B

A1(-3;0; 0), A2(0; 2; 0), A3(0; 0; -4) nên (P) chính là mp đoạn chắn
vậy phương trình (P) cần tìm là :
x y z
+ +
= 1 ⇔ 4x − 6y + 3z + 12 = 0
−3 2 −4

☺f/ (P) song song với mp (R) : 2x − 3y − z + 2013 = 0
Nên (P) có phương trình : 2x − 3y − z + D = 0
A (1; 2; 2 ) ∈ (P) : 2x − 3y − z + D = 0

( D ≠ 2013)

nên 2. (1) − 3 ( 2 ) − ( 2 ) + D = 0 ⇔ D = 6 ≠ 2013
Vậy (P) : 2x − 3y − z + 6 = 0
Bài tập 27: Viết phương trình mặt phẳng:
1/ Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến n = (−3;4;1) .

2/ Đi qua M(1; –3; 7) và có vectơ pháp n = (3;2;0) .
3/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy.
4/ Đi qua M(1; 0; 5) và vuông góc với trục Ox.
5/ Đi qua điểm M(1; 3; –2) và vuông góc với đường thẳng M1M2 với M1(0; 2; –3)
và M2(1; –4; 1).
6/ Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3; –1; 0), C(2; 1; 1)
7/ Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mặt phẳng 2x – y + 3z + 4 = 0.
p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x – 3y + 2z + 13 = 0.
8/ Qua các hình chiếu của A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ.
9/ Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ u = (3;1;−1) và v = (1;−2;1) .

Đt : 0914449230

11

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

10/ Qua A(-2; 4; 1) và có cặp vectơ chỉ phương a = (3;−5;2 ) và b = (1;−4;3)

11/ Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ a = (3;−1;−4) .
12/ Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
13/ Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2).
14/ Qua A(2; –4; 0), B(5; 1; 7), C(–1; –1; –1).
15/ Chứa tam giác ABC với A(1; –1; 2), B(–3; 0; 4), C(1; 1; 0).
16/ Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – 2y + z + 3 = 0.

17/ Qua P(3; 1; –1), Q(2; –1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x – y + 3z – 1= 0.
18/ Chứa Oz và qua R(2; 1; 0).
19/ Chứa Ox và qua M(4; 1; 2).
20/ Qua M(2; –1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng
(R) 2x – y + 3z + 4 = 0.
21/ Qua P(8; –3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y – 7z – 21 = 0.
22/ Qua I(3; –1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; –1), N(1 ; –2, 3).
23/ Qua K(–1; –2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P1):x + 2y – 3z + 1 = 0 và
(P2):2x – 3y + z + 1 = 0.
24/ Qua M(1; 0; –2) và vuông góc với 2mp (P1): 2x + y – z – 2 = 0 và
(P2): x – y – z – 3 = 0.
25/ Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0.
26/ Qua A(1; 0; 2), song song với a = (2;3;1) và vuông góc với mặt phẳng
(T) : 2x – y – 5z = 0.
27/ Qua các hình chiếu vuông góc của M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ
(Oxy), (Oyz), (Ozx).
28/ Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y – z = 0.
Bài tập 28: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng sau:
b) MN với M(1; 3; 2), N(–3; 5; 6).
a) PQ với P(3; –1; –2), Q(-3; 1; 2).
d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; –1).
c) EF với E(1; 2; – 4), F(5; 4; 2).
e) M1M2 với M1(2; 3; – 4), M2(4; –1; 0). f) AB với A(–1; 2; 3), B(0; 3; –1).
Bài tập 29: Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và
vuông góc với cạnh đối diện.
a/ Tam giác ABC với A(3; –5; 2), B(1; –2; 0), C(0; –3; 7) .
b/ Tam giác MNP với M(–3; 5; 7), N(0; –1; 1), P(3; 1; –2).
Bài tập 30: Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Với:
a) A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6).
b) A(3; –1; 5), B(4; 2; –1), C(1 ; –2, 3).

c) A(–1; 1; 2), B(3; –1; 0), C(2; 1; 1).
d) A(2; 1; 3), B(–1; –2; 4), C(4; 2; 1).
e) A(2; –3; 1), B(–2; 0; 5), C(3; 2; 0).
Đt : 0914449230

12

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
f) A(5; 0; 0), B(0; –3; 0), C(0; 0; –5).
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn z
(P) : đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
B b

có dạng:

x y z
+ + =1
a b c

O

Chú ý :
……………….………………..………………...

C
y

A
x

………………..………………..………………..

Ví dụ 6 : lập phương trình mp (P) đi qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt
tại A,B,C có tọa độ dương sao cho thể tích tứ diện O.ABC nhỏ nhất

1
a.b.c
x y z
V
=
OA.OB.OC
=
(P):
+ + =1
Giải : O.ABC
6
6 ,
a b c
1 2 3
M (1; 2;3) ∈ (P) ⇔ + + = 1 và a,b,c là các số dương
a b c
Áp dụng BĐT C.S :
1 2 3
1 2 3
6
abc

≥ 27 ⇔ V ≥ 2 7
+ + ≥ 33 . . ⇔ 1 ≥ 33
⇔
6
a b c
a b c
abc
⎧1 2 3
⎧a = 3
⎪⎪ a + b + c = 1 1 2 3 1 ⎪
x y z
⇔ = = = ⇔ ⎨b = 6
Vmin = 27 ⇔ ⎨
(P):
+ + =1
Vậy
Nên
a b c 3 ⎪
⎪1 = 2 = 3
3
6 9
c=9
⎩
⎪⎩ a b c
Ví dụ 7 : lập phương trình mp (P) đi qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt
tại các điểm A,B,C có tọa độ là số dương sao cho tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện O.ABC là I(1;1;1)
Giải : từ trung điểm E của AB ta dựng trục d của
z
C

tam giác vuông OAB và d//Oz. Từ trung điểm M của OC
d
dựng trục của OC cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
⎛a b c⎞
⎝
⎠

hình chóp O.ABC và I ⎜ ; ; ⎟
2 2 2

M

Mặt khác theo giả thiết I(1;1;1)
a b c
nên = = = 1 ⇔ a = b = c = 2
2 2 2
Đt : 0914449230

I
O
x
13

B

y

E
A
Email :

GV. Nguyễn Vũ Minh

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

x y z
(P): + + = 1 ⇔ x + y + z − 2 = 0
2 2 2
Bài tập 31:
a/ Lập phương trình mp (P) đi qua M(1;2;3) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C
tọa độ dương sao cho OA = 2OB = 3OC
(ĐS : (P):

x y z
+ + = 1)
14 7 14

b/ Lập phương trình mp (P) song song với (R) x + y + z + 2 = 0 và (P) cắt Ox, Oy,
Oz lần lượt tại A,B,C khác gốc O sao cho thể tích tứ diện O.ABC bằng 1/6
(ĐS : (P): x + y + z + 1 = 0 ∨ x + y + z − 1 = 0 )
c/ Lập phương trình mp (P) đi qua M(– 1;2;4) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại
A,B,C tọa độ dương sao cho OA = OB = OC
(ĐS : (P): x + y + z − 5 = 0 )
d/ Lập phương trình mp (P) qua M(2;1;4) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C tọa
độ dương sao cho ABC là tam giác đều
(ĐS : (P): x + y + z − 7 = 0 )
e/ Lập phương trình mp (P) qua M(-6;10;-1), cắt Ox tại điểm có hoành độ là 2 và
cắt Oz tại điểm có cao độ là 3
f/ Lập phương trình mp (P) qua G(1;3;2) và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C

khác O sao cho ABC nhận G là trọng tâm
(ĐS : (P): 6x + 2y + 3z − 18 = 0 )
Bài tập 32: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :
a/ Qua A(1; 2; 0), B(-1; 1; 3), C(2; 0; – 1) và có tâm nằm trong mp(Oxz)
b/ Qua A(1; – 4; 2), B(1; 1; – 3), C(2; 3; 2) và có tâm nằm trong mp(Oxy)
c/ (D – 2004) Qua ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và có tâm nằm trong
mp (P): x + y + z − 2 = 0 .
B. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song.
1. Khoảng cách từ M ( x0 ; y 0 ; z0 ) đến mặt phẳng (P) Ax + by + Cz + D = 0 là:
M
Ax0 + By0 + Cz0 + D
d(M,(P)) = MH =
.
2
2
2
A + B +C
VD :
H

Đt : 0914449230

14

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

2. Khoảng cách giữa hai mp // là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng
này đến mặt phẳng kia
M

d ( ( P ) , ( Q ) ) = d ( M, ( Q ) )

P

Q

3. Vị trí của hai điểm A( x A ; y A ; z A ) và B( xB ; y B ; z B ) đối với mặt phẳng (P):
- Nếu ( Ax A + By A + Cz A + D).( AxB + ByB + Cz B + D) > 0 thì A và B nằm
về cùng một phía của (P):.
- Nếu ( AxA + By A + Cz A + D).( AxB + ByB + CzB + D) < 0 thì A và B nằm
về hai phía của (P):.
Bài tập 33: Tính khoảng cách từ một điểm đến mp(P):
a/ A(2; 0; 1), (P): x + y + z − 2 = 0 . b/ B(–2; 3; 0), (P): 2x + y + 3z + 1 = 0 .
.......................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Bài tập 34: Tính khoảng cách từ mp(Q) đến mp(P):
(P): 4x + 3y − 5z − 8 = 0
và
(Q): 4x + 3y − 5z + 12 = 0 .
Bài tập 35: Cho mặt phẳng (α ) : 2x – 3y + z – 7 = 0
và các điểm M(0; 2; – 1), N(2; 1; 8), P(– 1; – 3; 0).
a) Hai điểm nào cùng phía đối với (α ) . b) Hai điểm nào khác phía đối với (α ) .
Ví dụ 8 : Tìm điểm M trên Oz cách đều điểm A(2;3;4) và (P) : 2x + 3y + z − 17 = 0

uuuur
Giải : Vì M ∈ Oz nên M(0; 0; m); AM = ( 2;3; 4 − m )
M
M cách đều điểm A(2;3;4) nên ta có AM = d ( M, ( P ) )
m − 17
2
⇔ 22 + 33 + ( 4 − m ) =
14
A
⇔ m 2 − 6m + 9 = 0 ⇔ m = 3
Vậy : M(0;0;3)
Bài tập 36:
a/ Tìm điểm trên trục Oy cách đều hai mp (P): x + y − z + 1 = 0
và (Q): x − y + z − 5 = 0
(ĐS : M ( 0; −3;0 ) )
Đt : 0914449230

15

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
b/ Tìm điểm trên trục Ox cách mp (P): 2x + y − 2z + 3 = 0 là 1
c/ Tìm điểm trên trục Oy cách đều điểm A(2;4;3) và mp (R): 2x + y + 3z − 17 = 0
(ĐS : M ( 0;3;0 ) )
Bài tập 37: Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a) x – 2y + 3z + 1 =0 và 2x – y + 3z + 5 = 0.
b) 6x – 2y + z + 1 = 0 và 6x – 2y + z – 3 = 0.

Soạn : c) 2x – y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y – z – 1 = 0.
d) 4x – y + 8z + 1 và 4x – y + 8z + 5 = 0.
e) 2x – y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y – z – 1 = 0.
f) 3x + 6y – 3z + 7 = 0 và x + 2y – z + 1 = 0.
4. Tiếp diện
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R và mp (P)
(P) là tiếp diện của m/c (S)

⇔ d ( I, ( P ) ) = R

I

H là ....................
Và (P) ................................................................

R
P

H

Ví dụ 9 : lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt
phẳng (P) : x + 2y − 2z + 11 = 0
Giải : (P) chính là tiếp diện của (S) và
−2 + 2 − 2 + 11
R = d ( I, ( P ) ) =
= 3 nên (S) : ( x + 2 )2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 9
2
12 + 22 + ( −2 )
Bài tập 38: Viết phương trình mặt cầu:
a) Tâm I(3; –5; –2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x – y – 3z + 1 = 0.

b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y –7z +42 = 0.
c) Tâm K(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0.
d) Tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y – 2z + 5 = 0.
e) Bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0
tại điểm M(1; 1; –3).
2
2
2
Ví dụ 10 : (S) : x + y + z − 6x − 4y + 2z − 3 = 0 . Viết phương trình tiếp
diện của mặt cầu (S) tại điểm A(3; 6; -2). (CĐKT ĐN -2000)
(S) có tâm I(3;2;-1) và bán kính R = 17 .
Tiếp diện (P) đi qua
r Auur
I
và có pháp vectơ n = IA = ( 0; 4; −1)
A
Đt : 0914449230

16

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
(P) : 0 ( x − 3) + 4 ( y − 6 ) − 1( z + 2 ) = 0 ⇔ 4y − z − 26 = 0
Bài tập 39: Viết pt mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (.................................)
2
2
2

a) Tiếp xúc với mặt cầu: ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 2) = 24 tại điểm M(– 1; 3; 0).
2
2
2
b) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − 6 x − 2 y + 4 z + 5 = 0 tại M(4; 3; 0).
2
2
2
c) Tiếp xúc với mặt cầu: ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2) = 49 tại M(7; – 1; 5).
Bài tập 40: Viết pt mặt phẳng
2
2
2
a) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − 2 x − 2 y − 2 z − 22 = 0
và song song với mp: 3x– 2y + 6z + 14=0.
2
2
2
b) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − 6 x + 4 y + 2 z − 11 = 0
và song song với mp: 4x +3z – 17 = 0.
2
2
2
c) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − 2 x − 4 y + 4 z = 0
và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0.
2
2
2
d) ĐH GTVT 98. tiếp xúc với mặt cầu (S): x + y + z − 2x − 4y − 6z − 2 = 0
và song song với mặt phẳng (Q): 4x + 3y – 12z + 1=0.

C. Vị Trí tương đối của hai MP
Cho hai mặt phẳng
(P): Ax + By + Cz + D = 0
Và
(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
A B C D
1. ( P) //(Q) ⇔ = = ≠
A' B' C ' D'
A B C D
(
P
)
≡
(
Q
)
⇔
= =
=
2.
A' B ' C ' D '
3. (P) ⊥ (Q) ⇔ AA' + BB' + CC' = 0.

B C
A C
A B
≠
≠
≠
hoặc

hoặc
B' C '
A' C '
A' B '
Bài tập 41: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng có phương trình sau:
a) x + 2y - z + 5 = 0;
2x + 3y – 7z – 4 = 0.
b) x – 2y + z + 3 = 0;
2x – y + 4z – 2 = 0.
c) x + y + z – 1 = 0;
2x + 2y – 2z + 3 = 0.
d) 3x – 2y –3z + 5 = 0;
9x – 6y -9z - 5 = 0.
e) x – y + 2z + 4 = 0;
10x – 10y + 20z + 40 = 0.
f) 5x + 6y – 3z + 8 = 0;
–5x + 6y – 12 = 0.
g) 2x – 2y – 4z + 5 = 0;
5x – 5y – 10z + 25/2 = 0.
h) 3x – 4y + 3z + 6 = 0;
3x – 2y + 5z – 3 = 0.
Bài tập 42: Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc:
a) 2x – 7y + mz + 2; 3x + y – 2z + 15. b) 4x - 3y - 3z = 0; mx + 2y – 7z – 1 = 0.
4. ( P) ∩ (Q ) ⇔

Đt : 0914449230

17

Email :

GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
c) 3x - 5y + mz - 3 = 0; x + 3y + 2z + 5 = 0.
d) 7x - 2y - z = 0; mx + y - 3z - 1 = 0.
Bài tập 43: Xác định m, n, λ để các cặp đường thẳng sau song song với nhau:
a) 3x + my – 2z – 7 = 0;
nx + 7y – 6z + 4 = 0.
b) 5x – 2y + mz – 11 = 0;
3x + ny + z – 5 = 0.
c) 2x + my + 3z – 5 = 0;
nx – 6y – 6z + 2 = 0.
d) 3x – y + mz – 9 =0;
2x + ny + 2z – 3 = 0.
Bài tập 44: Viết phương trình mặt phẳng:
a) Qua M(1; 3; – 2) và song song với mặt phẳng 2x + 2y – 5z + 1 = 0
b) Qua gốc toạ độ và song song với mặt phẳng 6x – 5y + z – 7 = 0.
c) Qua M(2;– 3; 1) và song song với mặt phẳng (Oyz).
d) (P) song song với mp (Q) : 2x – 3y – 6z – 14= 0 và khoảng cách từ O
đến (P) bằng 5
e) (P) song song với mp (Q) : 2x – 3y – 5z + 1= 0 và khoảng cách từ M(–1;
3; 1) đến (P) bằng 3
Soạn : a) Qua M(3; – 2;–7) và song song với mặt phẳng 2x + y – 3z + 5 = 0.
b) Qua M(1; 4; – 2) và song song với mp (Oxz).
Bài tập 45:
a/ Viết ptmp (P) qua A(2;0;0) , B(0;3;0) và cách gốc O một khoảng bằng 6/7
ĐS : 3x + 2y ± 6z − 6 = 0
b/ (P) : x + y + z − 3 = 0 ; (Q) : x − y + z − 1 = 0 . Viết pt mp (R) vuông góc với (P)
và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2. (ĐH Khối D – 2010)

c/ A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c dương và mp (P) : y − z + 1 = 0 .
Xác định b, c biết mp (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ O đến (ABC)
bằng 1/3. (ĐS : b = c = 1) (ĐH Khối B – 2010)
d/ A(1; 2; 1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1), D(0; 3; 1). Viết pt mp (P) đi qua A,B sao
cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). (ĐH Khối B – 2009)
e/ Lập pt mp (P) qua điểm A(5; 2; 0) đồng thời khoảng cách từ B(6; 1; –1) đến
(P) bằng 1 và khoảng cách từ C(0; 5; 4) đến (P) bằng 3.
f/ Viết ptmp (P) qua A(–1; 1; 1) , B(3; 0; 2) và khoảng cách từ C(1; 0; –2) đến
(P) bằng 2.
ĐS : x + 2y − 2z + 1 = 0 ∨ x + 8y + 4z − 11 = 0
Chú ý : Cách nhận biết. …………………………

………………………………………………………………………………………

Đt : 0914449230

18

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Phần 4: Phương trình đường thẳng
A. Phương trình đường thẳng
( P)
⎧ Ax + By + Cz + D = 0
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng d : ⎨ A' x + B' y + C ' z + D ' = 0 (Q)
⎩

r
uuur uuur
⎡
là giao tuyến của hai mp(P) và (Q) có vectơ chỉ phương : u = ⎣ n (P) , n (Q) ⎤⎦

d

P

Q

⎧ x = x0 + at
⎪
⎨ y = y 0 + bt
2. Phương trình tham số:
⎪ z = z + ct
0
⎩

r
là đường thẳng qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương u = ( a; b; c )

x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
a
b
c
r
là đường thẳng qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương u = ( a; b; c )

3. Phương trình chính tắc:

r

VD : viết ptđt (d) qua M(5;3; –1) và có VTCP là u = ( −1; 2; 4 )
………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Bài tập 46:Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng:
⎧x + z − 1 = 0
⎧2 x − 3 y + 3 z − 4 = 0
⎧3 x + 3 y − 4 z + 7 = 0
⎨
⎨
a/ x + 2 y − z + 3 = 0
b/ x + 6 y + 2 z − 6 = 0
c/ ⎨ y − 2 = 0
⎩
⎩
⎩
⎧2 x + y − z + 3 = 0
⎧x − y + z − 5 = 0
⎧2 x + y + z − 1 = 0
⎨
⎨
Soạn : a/ x + y + z − 1 = 0
b/ x − 3 y + 6 = 0

c/ ⎨ x + z − 1 = 0
⎩
⎩
⎩
Đt : 0914449230

19

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bài tập 47: Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng trong
các trường hợp sau:
a) Qua (2; 0; –1) và có vectơ chỉ phương a = (−1;3;5).
soạn : a/ Qua (–2; 0; 5) và có vectơ chỉ phương a = (0;1; 4).
b) Qua M(2; 0; –1)và song song với đường thẳng AB với A(2; 3; –1) và B(1; 2; 4).
c) Qua hai điểm A(3; 1; –5) và B(2; 1; –1).
soạn : b/ Qua hai điểm A(1; 2; –7) và B(1; 2; 4).
c/ Qua hai điểm A(–2; 1; 3) và B(4; 2; –2).
d/ Qua A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2).
e/ Qua hai điểm A(1; –1; 0) và B(0; 1; 2).
d) Qua (3; 4; 1) và song song với đường thẳng (d): x = 1 + 25t, y = – 4t, z = 5 + 3t.
x −1 y + 5 z − 2
=
=
.
e) Qua (2; 0; –5) và song song với đường thẳng (d):
0

−2
3
f) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Ox.
g) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oy.
h) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oz.
i) Qua A(1; 3; –1) và song song với vectơ a = (1;2;−1).
j) Qua A(2; 3; 5) và vuông góc với mỗi mặt phẳng toạ độ.
⎧6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0
k) Qua A(1; 4; –2) và song song với đường thẳng ⎨3 x − 5 y − 2 z − 1 = 0 .
⎩
l) (ĐH Thùy Sản 1998) Qua M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng
⎧3 x − y + 2 z − 7 = 0
(d) ⎨ x + 3 y − 2 z + 3 = 0 .
⎩
m) Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường
⎧ x = −3 + 2t
⎪
.
thẳng d’: ⎨ y = 1 − t
⎪ z = −1 + 4t
⎩
n) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(–1;0;2) và song song với đường
⎧ x = −3 − 2t
⎪
thẳng d’: ⎨ y = 1 + 3t .
⎪ z = −1 − 4t
⎩
Bài tập 48: Cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + z + 2 = 0, (Q): x + y + 2z – 1 = 0.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng trên cắt nhau.
b) Viết phương trình tham số của giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài tập 49 :
Đt : 0914449230

20

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
a/ A(1; 3; 2) , B(1; 2; 1) , C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số đường thẳng (d)
đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).
(ĐS : (d): x = 1 + t, y = 2, z = 2)
b/ (Cao Đẳng 2009) Cho tam giác ABC với A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) và có trọng
tâm G(0; 2; –1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C và vuông góc mặt
phẳng (ABC).
Bài tập 50 :
a/ (ĐH Thủy lợi 96) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) có
phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 10x + 2y + 26z − 113 = 0 và song song với hai đường

thẳng:

x + 5 y − 1 z + 13
d:
=
=
,
2
−3
2

⎧ x= − 7+3t
⎪
d': ⎨ y= − 1+2t .
⎪ z=8
⎩

⎧x = 1 + 2t
⎪
⎨
b/ (ĐHBK HN 98). Cho đường thẳng d: y = 2 − t và mp(P): 2x – y – 2z +1=0.
⎪ z = 3t
⎩

Tìm tọa độ các điểm thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng
(P) bằng 1.
c/ (ĐH Khối A – 2005) . Cho đường thẳng d:

x −1 y + 3 z − 3
=
=
và mp (P):
1
2
1

2x + y – 2z + 9=0. Tìm tọa độ các điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm
đó đến mặt phẳng (P) bằng 2.
(ĐS: I(–3; 5; 7), I(3 ; –7; 1))
⎧ x = x0 + at

⎪
⎨
Ghi chú : Cho đường thẳng d có phương trình tham số: y = y0 + bt .
⎪ z = z + ct
0
⎩
Cần nhớ:
+ Đường thẳng là tập hợp vô số điểm.
+ Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là: M ( x 0 + at;y 0 + bt;z 0 + ct ) .

d/ (CĐ Kinh Tế - 2007) . Cho đường thẳng d:

x − 3 y −1 z − 5
=
=
và mp (P):
2
1
2

x + y – z – 1 = 0. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm
đó đến mặt phẳng (P) bằng

3.

x −1 y + 2 z
=
= và A(1; 4; 2),
−1
1

2
2
2
B(–1; 2; 4). Tìm tọa độ các điểm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất
x y z −1
f/ (Cao Đẳng 2008). Cho điểm A(1; 1; 3) và đường thẳng d: = =
1 −1
2

e/ (ĐH Khối D – 2007) . Cho đường thẳng d :

Đt : 0914449230

21

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. Tìm tọa độ M
thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O.
x y −1 z
=
= và
g/ (Cao Đẳng 2010). Cho đường thẳng d:
1
1
−2
mp (P): 2x – y + 2z –2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với

(P). Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P).
h/ Trong hệ trục tọa độ Oxyz tìm điểm M thuộc đường thẳng
(d): x = 1 + t, y = – t, z = 2 – t và cách mp (Q) : 2x – 2y + z + 1 = 0 một khoảng là 1
⎧ x = 1 + 2t
⎪
k/ (soạn) Tìm điểm A thuộc d: ⎨ y = 2 − t sao cho khoảng cách từ A đến
⎪ z = 3t
⎩

(P): 2x – y – 2z + 1=0 bằng 1.
x −1 y + 2 z +1
Δ
:
=
=
(
)
l/ Tìm điểm M thuộc
sao cho AM = 35
2
1
−3
với A(2; –5; –6).
ĐS : M(1; –2; –1) và M(5; 0; –7)
⎧x = 1+ t
⎪
m/ Cho M(2;1;4) và d: ⎨ y = 2 + t . Tìm H thuộc d sao cho MH ngắn nhất.
⎪ z = 1 + 2t
⎩
⎧x = −t

⎪
n/ (soạn) Cho M(–2;3;1) và d: ⎨y = 5 + 3t . Tìm N thuộc d sao cho MN= 11 .
⎪
⎩z = 4 + 2t

B. Vị trí tương đối của đường thẳng
và mặt phẳng
r
Cho mp (α ) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) đường thẳng (d) có vectơ chỉ
r
phương u = ( a; b; c )

1. (d) ⊂ (α ) ⇔ n.u = Aa + Bb + Cc = 0 và ∀M ∈ ( d ) → M ∈ (α ).
2. (d) // (α ) ⇔ n.u = Aa + Bb + Cc = 0 và ∀M ∈ (d ) → M ∉ (α ).
3. (d ) ∩ (α ) ⇔ n.u = Aa + Bb + Cc ≠ 0 .
Cách khác: Giải hệ phương trình của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
1. Hệ vô nghiệm ⇔ ( d ) //( P ).
2. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ (d ) ∩ (α ).

3. Hệ có vô số nghiệm ⇔ ( d ) ⊂ (α ).
Bài tập 51 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
Đt : 0914449230

22

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh
HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

x − 12 y − 9 z − 1
=
=
a) (d):
; (P): 3x + 5y – z – 2 = 0.
4
3
1
x + 11 y − 3 z
=
= ;
(P): 3x – 3y + 2z – 5 = 0.
b) (d):
2
4
3
x − 13 y − 1 z − 4
=
=
c) (d):
;
8
2
3

(P): x + 2y – 4z + 1 = 0.

d) (d): x = 2t, y = 1– t, z = 3 + t; (P): x + y + z – 10 = 0.
x−7 y −4 z −5
=

=
; (P): 3x – y + 2z – 5 = 0.
e) (d):
5
1
4
⎧3x + 5 y + 7 z + 16 = 0
f) (d): ⎨2 x − y + z − 6 = 0 ; (P): 5x – z – 4 = 0.
⎩
⎧2 x + 3 y + 6 z − 10 = 0
g) (d): ⎨ x + y + z + 5 = 0
; (P): y + 4z + 17 = 0.
⎩
(P): x + y + z – 10 = 0.
h) (d): x = 2t, y = 1– t, z = 3 + t;
Bài tập 52 : Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các truờng hợp sau :
⎧ x = 1 − 2t
⎧x = 1 − t
⎪
⎪
y
=
2
+
t
⎨
⎨
a/ Chứa đường thẳng d:
và song song đường thẳng d’: y = 2 − 2t .
⎪z = 3 − t

⎪z = 3
⎩
⎩
⎧ x = 1 − 2t
⎪
b/ Đi qua trung điểm của A, B và vuông góc với đường thẳng d: ⎨ y = 2 + t
⎪z = 3 − t
⎩

biết A(1;2;3),
B(1; –2; –3).
⎧ x = 1 − 2t
⎧x = 1 − t
⎪
⎪
y = 2+ t
y = 2 − 2t
⎨
⎨
và d’:
c/ Chứa hai đường thẳng d:
.
⎪z = 3 − t
⎪z = 3
⎩
⎩
x y − 2 z +1
=
d/ qua M(2; 3; –1) và chứa đường thẳng ( Δ ) : =
3

1
1
(ĐS : x – 2y – z + 3 = 0)
--------Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Gọi H là giao điểm của d và (P).

Đt : 0914449230

23

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
⎧ x = x0 + a t
⎪ y = y + bt
⎪
0
⎨
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt: ⎪ z = z 0 + c t
⎪⎩ A x + B y+ C z + D = 0
Giải hpt tìm t ⇒ x, y, z ⇒ H.
Bài tập 53 : Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
⎧x = 1+ t
⎪
1/
d: ⎨ y = 3 − t
và mp(P): 2x + y + 2z=0.

⎪z = 2 + t
⎩

2/

⎧ x = 12 + 4t
⎪
d: ⎨ y = 9 + 3t và mp(P): 3x + 5y – z – 2=0.
⎪z = 1+ t
⎩

x+2
=
d:
1
x−2
=
d:
2

y z +3
=
và mp(P): 2x + y – z – 5 = 0.
3/
−2
2
y +1 z −1
=
4/
và mp(P): 2x + y + z – 8 = 0.

3
−5
⎧ x = −2 + t
⎪
Soạn : a/ d: ⎨ y = 1 + 2t và mp(P): x + 2y – 2z – 9 = 0.
⎪ z = −2t
⎩

b/ d:

x + 3 y +1 z − 3
=
=
2
1
1

và

mp(P): x + 2y – z + 5 = 0.

Bài tập 54 :
a/ (ĐH Tài Chính KT – 1995) chứng tỏ rằng đường thẳng
⎧5x − 3y + 2z − 5 = 0
⎨
nằm trong mặt phẳng : 4x – 3y + 7z – 7 = 0
⎩ 2x − y − z − 1 = 0

b/ (ĐH Khối D – 2003) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng
⎧ x + 3ky − z + 2 = 0

(d k ): ⎨
. Tìm k để dk vuông góc mp (P) : x – y – 2z + 5 = 0.
⎩ kx − y + z + 1 = 0

(ĐS : k = 1)
Bài tập 55 : Các dạng nâng cao
a/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; –1;0), vuông góc và cắt
⎧5x + y + z + 2 = 0

đường thẳng (d) : ⎨ x − y + 2z + 1 = 0 (ĐH Thương Mại – 2000)
⎩
Đt : 0914449230

24

Email :


GV. Nguyễn Vũ Minh

b/ (d1 ):

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

x − 2 y + 2 z −1
x −7 y−3 z−9
x +1 y + 3 z − 2
=
=
=

=
=
=
, (d 2 ):
, (d 3 ):
.
−2
−1
3
4
1
1
2
3
−1

Lập phương trình đường thẳng cắt d1, d2 và song song với d3 (ĐH GTVT – 2000)
⎧ x − 2z = 0

c/ Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d1 ): ⎨3x − 2y + z − 3 = 0 và
⎩
vuông góc với mp (P) : x – 2y + z + 5 = 0. (ĐH Văn Lang – 97)
(ĐS : 11x – 2y – 15z –3 = 0)
d/ Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 5; 0) và cắt cả hai đường thẳng
⎧ 2x − z − 1 = 0
⎧3x + y − 2 = 0
(d1 ): ⎨
(d
):
và 2 ⎨ y − z − 2 = 0 (ĐH XDHN – 94)

⎩x + y − 4 = 0
⎩
x −1 y − 5 z
=
= )
(ĐS : (Δ):
0
1
3

e/ Lập phương trình đường thẳng qua M(0;1; 1), vuông góc với đường thẳng
⎧x + y − z + 2 = 0
x −1 y + 2 z
=
= và cắt đường thẳng (d 2 ): ⎨
(ĐHYD HN – 98)
1
3
1
⎩x + 1 = 0
x y −1 z −1
=
(ĐS : (Δ): =
)
1
−1
−2
⎧x − 2 y + z − 4 = 0
và
f/ Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d: ⎨

⎩x + 2 y − 2z + 4 = 0

(d1 ):

⎧x = 1+ t
⎪
d’: ⎨ y = 2 + t . Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’ .
⎪ z = 1 + 2t
⎩

(ĐS: (P): 2x – z = 0 ). (ĐH Khối A – 2002)
g/ (ĐH Khối D – 2009) Cho đường thẳng d:

x+2 y−2 z
=
=
và
−1
1
1

mp(P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) cắt d và
vuông góc với d.
h/ (ĐH Khối A – 2007) Cho hai đường thẳng d :

x y −1 z + 2
=
=
,
2

−1
1

⎧x = −1 + 2t
⎪
d’: ⎨y = 1 + t . Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P) và
⎪z = 3
⎩

cắt cả hai đường thẳng d và d’
k/ (ĐH Khối D – 2006) Cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng d:
Đt : 0914449230

25

Email :