Sự tồn tại vector riêng của toán tử uo lõm chính quy tác dụng trong không gian banach với nón cực trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THƯ HÀ

Sự TỒN TẠI VECTOR RIÊNG
CỦA TOÁN TỬ Uo- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN

cực TRỊ

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN
VĂN THẠC
S ĩ TO ÁN HỌC
•
•
•
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy người thày đã

hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích của
trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô trong thư viện nhà trường, các bạn học
viên cao học Toán giải tích KI 7 đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực
hiện luận văn này.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn
gốc.

Hà Nội, tháng 7 năm 2015
z _

• ĩ

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU............................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu...................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu..................................................................................2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

.............................................................. 2

5. Phương pháp nghiên c ứ u ............................................................................... 2
6. Những đóng góp của luận văn

................................................................... 3

Chương 1: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.

........................................................ 4

Không gian Banach nửa sắp thứ t ự ....................................................... 4

1.1.1. Định nghĩa nón và một số tính chất sơ cấp .............................................4
1.1.2. Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach ....................................... 7
1.2.

Quan hệ thong ước giữa các phàn tử

1.3.

Phần tử u0 - đo đư ợc.............................................................................11

1.4.

Nón chuẩn tắc và nón cực trị

1.4.1. Nón chuẩn tắc và tính chất

..................................................9

........................................................... 15
................................................................ 15

1.4.2. Nón cực trị...........................................................................................19
1.5.

Không gian Banach nửa sắp thứ tự R” , C[a.b] ................................. 19

1.5.1. Không gian Rn ,ne N*

...................................................................... 19

1.5.2. Không gian cfa.b]............................................................................29
Chương 2. S ự TỒN s ự TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
uO- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH
VỚI NÓN c ự c TRỊ

.............................................................................. 40

2.1. Định nghĩa toán tử u0 - lõm chính quy và tính chất sơ cấp....................... 40
2.2.Toán tử u0 -lõm chính quy tác dụng trong các không gian Banach ...... 43

2.3. Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử Uo - lõm chính quy tác dụng trong
không gian Banach với nón cực tri...................................................................46
2.3.1. Đạo hàm tiệm cận của toán tử
2.3.2. u0 - đạo hàm Fréchet của toán tử

............................................................47
......................................................50

2.4.VÍ dụ .....................................................................................................54
KẾT LUẬN ............................................................................................... 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO

60


1

M Ở ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một ngành toán học lý thuyết có nhiều ứng
dụng. Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau
và gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Lipschitz,
Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec,... Các nhà toán học đã xét các toán tử khác
nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Frechet hay đạo
hàm tiệm cận, toán tử lõm....
Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu các nghiệm riêng
của các phương trình toán tử (1962), toán tử lõm tác dụng ừong không gian
Banach thực với một nón cố định (1956).

GS .TS. Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không tuyến tính với các
toán tử lõm và lõm đều (1959), các nghiệm dương của các phương trình
không tuyến tính với các toán tử lõm (1984), sau đó mở rộng cho toán tử
(K, Uo) - lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao
nhau khác rỗng (1984).
Các lớp toán tử được các giáo sư Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu và
công bố những kết quả về lớp toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach
với một nón cố định, các toán tử có chung tính chất Uo - đo được .
Năm 1987, PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về các vectơ riêng của
toán tử lõm chính quy và các vectơ riêng dương của toán tử (K, Uo) -lõm
chính quy (2013). Tác giả đã mở rộng và phát triển các kết quả về toán tử lõm
cho lớp toán tử lõm chính quy tác dụng ừong không gian Banach với một nón
cố định nhưng không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được .
Để chứng minh sự tồn tại vector riêng của các toán tử, trong công trình
của các nhà toán học kể trên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho các toán
tử.


2

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử này, nhờ sự giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình của Thày giáo, PGS.TS. Nguyễn Phụ Hy tôi chọn nghiên
cứu đề tài: “Sự tồn tại vector riêng của toán tử

Uo-

lõm chính quy tác dụng

trong không gian Banach với nón cực trị
2. Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lí về sự tồn tại vectơ
riêng của toán tử Uo - lõm chính quy theo hướng bổ sung các điều kiện cho
nón.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự .
Tìm hiểu về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử toán tử u0- lõm chính quy
tác dụng ừong không gian Banach với nón cực trị.
Toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian R".
Sự mở rộng của định lí tồn tại vectơ riêng.
4. Đổi tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán
tử Uo - lõm chính quy. Sự tồn tại vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác
dụng trong không gian Banach với nón cực t r ị .
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước có liên
quan đến vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính quy tác dụng ừong không gian
Banach với nón cực t r ị .
5. Phưong pháp nghiền cứu
Thu thập tài liệu và các bài báo về vectơ riêng của toán tử u0- lõm chính
quy tác dụng trong không gian Banach với nón cực trị.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.


3

6. Những đóng góp của ỉuận văn
Luận văn trình bày tổng quát về:
Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
Một số tính chất về toán tử u0- lõm và u0- lõm chính quy.
Toán tử u0- lõm chính quy tác dụng trong không gian R".

Sự mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng.
Các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lớp toán tử khác. Hy
vọng luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc.


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
•

1.1. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.1.1 Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1.
Cho không gian Banach thực E. к là tập con khác rỗng của E. Tập к được
gọi là một nón, nếu К thỏa mãn các điều kiện sau:
Ni, К là một tập đóng ừong không gian E ;
N2, Nếu xG К và y € к , ta có X + y G к ;
N3, Neu X G К và t là số thực không âm, ta có tx e к ;
N4, Neu X G К và X

0 ta có -X Ể к ( 0 là kí hiệu phàn tử không của không

gian E).
Đinh lí 1.1.2.
Nếu К là một nón trong không gian định chuẩn thực thì 0 G к và к là một
tập lồi.
Thật vậy
*) V X G К, V t G R, t > 0 ta có tx € к do đó với t = 0 ta có 0 = 0.X G к .
*) V X, у e к , V t e [ 0; 1] ta có tx e к , (1- t)y e К suy ra tx + ( l - t ) y 6 K .

Vậy К là tập lồi. _
Đinh lí 1.1.3.
»

Giao của một số hữu hạn tùy ý nón chứa ít nhất hai phần tử là một nón.
Gọi Ki, K2, K
К=П
j= \

n là các nón ( n e N*, n > 2 ) trong không gian E và

chứa ít nhất hai phần tử.
-

Ta chứng minh к là một nón.
*) Do các tập Kl, K2,..,Kn là các tập đóng, nên tập к đóng trong không gian E.


5

*) V X, y G К ứiì X, y E Kj, (j = l,n) =^> X + y 6 Kj, (j = l,n) => X + y 6 K.

*) V X e K, t > 0 thì X 6 Kj, (j = l,n) nên tx G Kj, (j = l,n) ^ tx G K.
*) V X e К, X Ф 0 thì X e Kj, (j = l,n) nên - X Ể Kj, (j = l,n) => - X Ể K.
Vậy К là một nón. J
Đỉnh lí 1.1.4.
»

Giả sử F là một tập con khác rỗng ừong không gian E. Nếu F là một tập
lồi, đóng, bị chặn ttong không gian E và không chứa phần tử không, thì tập

K(F) = { z 6 E : z = tx, x 6 F , t e R+ } là một nón.
Chứng minh.
Ta thấy F с K(F) mà F Ф 0 nên K(F) Ф 0. Với mọi X 6 F ta chứng minh tồn
tại 2 số thực dương m, M sao cho m < ||x|| < M .
Thật vậy, do tập F bị chặn nên tồn tại M > 0 : ||x|| < M, Vx e F.
Đặt m = inf||x||.
xeF
Giả sử m = 0 thì tồn tai dãy {хп}°° czF sao cho limllx 1= 0 hay lim xn =0
”_1
72—
^00 1
n-»00
trong không gian E. Do F là tập đóng nên 0 G F, trái với giả thiết F không
chứa phần tử không.
Vậy m > 0 và ||x|| > inf ||x|| = m > 0, Vx GF.
xeF
+) K(F) là tập đóng.
Lấy dãy bất kì {z }°° с= K(F) sao cho lim z = z trong không gian E.
n_1

n->00

Neu z = 0 thì z = o.x, x G F = > z = 6 6 K(F).
Ill|z I|> 0 ,3 n 0 g N * :V n > n 0 tacó ịzn - z | < e = —
1|||z|.
N êuz^0thìvới 8= —
Khi đó

zn - F

^11
I 1|| П 1 .............. Зп „ w ^
< z„ -z < —z =>— z < z„ < —z , Vn > ĩln.
11 n 1 2 1 2 ........ 11 2 1

Vì zn e K(F) nên zn = tn.xn với tn > 0, xn 6 F


6

1 ............................... 3 ...............
Vậy ị\\z \ < IMnl = t„ |x n| < ị\\z\\ =^>|x„I > 0, Vn e N
^
1 II I 43 HI
và —n— J z < t „ < —n— ũZ.
2x.
n 2||x.
Theo chứng minh trên (Vn e N *) c ó m <

X

< M , nên —1—Iz I < t < 3 z ,
2M
2m

Vn > n0 tức là dãy { tn} bị chặn.
Vì vậy tồn tại dãy con {t } <= {tn} sao cho limt = t0.
V *^
i->00 ^
Suy ra

1 I II
3 II I
z < t 0 < - — z nên to >0.
2M
2m

——

Ta có
z _ 1
x „ ---«i t
ÍqV
l0
*0

to-tn,
to

_ 1
2

tu
nx Iiị
n -t riị x„nị + t Iiị x„Iiị -z

*0

< 1 v t ni

*0

zn
ni -z

zn
ni -z —^ 0 khi i -»00,

2
do vậy x „ --- —> 0 khi i ->oo nên x„ —^ khi i -» oo.
‘ tLo
1 tLfl
Mặt khác, F đóng suy ra —z € F do đó z = t0(—z) e K(F).
to
to
Vậy K(F) đóng.
+) Ta chứng minh z, z’ € K(F) thì az + |3z’ G K(F) (a > 0, p > 0).
Do z, z’ G K(F) nên z = tiX i, z’ = t2x2 ( ti > 0, t2 > 0, Xi, x2 G F ).
Nếu at1+pt2 = 0 => at1=pt2=0 => z+z'=at1x1+pt2x2=0 GK(F)
Nếu a.t1H-pt2 ^ 0 ta có
az+pz'=(at1+pt2) _ i L x + p*2
at1+pt2 1 at1+pt2
Do F lồi nên biểu thức trong ngoặc vuông thuộc F. Vậy az + |3z’ 6 K(F).


7

+) Ta chứng minh K(F) n (-K(F)) = {0}
Giả sử điều này không đúng, khi đó tồn tại x0 Ẽ F sao cho -toXo £ K(F), to > 0
suy ra -toXo = tiXi với ti > 0, Xi 6 F v ì vậy

e=t0x0+t1x1=(t0+ ti)[-t^ - x 0+ - tỉ—x1] => “ Xq+ —
t0+ti
to+ц
to+ц
to+ц
mà tập F lồi nên

=0

to xn+ — —X, GF=> 0 e F trái giả thiết.
to+ч
to+tl

Vậy u e K(F) thì -u Ể K(F).
Do đó K(F) ứiỏa mãn các điều kiện của nón, vậy K(F) là một nón. J
1.1.2. Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach
Định nghĩa 1.1.5.
Giả sử E là không gian Banach thực, к là một nón trong không gian E.
Với X, у e E, ta viết х< у nếu y - x e к , X < у nếu y - X E K\{ 0}.
Đinh lí 1.1.6.
Quan hệ “ < “ xác định trong định nghĩa 1.1.5 là một quan hệ sắp thứ tự
trong không gian E.
Chứng minh.
Thật vậy:
*) (V xeE )x< x, vì X—X = 0 e K .
Quan hệ “ < “ có tính chất phản xạ.
*) (Vx, y, z e E : X=> z - X = (z - у )+ ( y - x ) G к = > X < z.

Quan hệ “ < “ có tính chất bắc cầu.
*) ( VX, y G E : X < y, y < X ) ta chứng minh X = y.
Neu X ф у thì у -

X

ф 0, theo giả thiết x < y = > y - x 6 K = > x - y g

thuẫn với giả thiết y < x . Vậyx = y.
Quan hệ “ < “ có tính chất phản đối xứng.

к

mâu


8

Vậy quan hệ “ < “ là một quan hệ sắp thứ tự trên không gian E theo nón K. _
Khi đó ta nói: Không gian Banach E nửa sắp thứ tự theo nón K.
Định nghĩa 1.1.7.
Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K.
Dãy điểm (x" )

e E goi là dãy không giảm, nếu Xi < x2 < . .. < xn < . ..

Dãy điểm (x” ì

(EE goi là dãy không tăng, nếu Xi > x2 > .. . xn > . . .

V

'

'n =1

'n=l

Các dãy điểm không giảm, dãy điểm không tăng gọi là dãy đơn điệu.
Định nghĩa 1.1.8.
Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, M là
một tập con trong không gian E.
Tập M gọi là bị chặn trên bởi phàn tử u GE, nếu ( Vx GM) XTập M gọi là bị chặn dưới bởi phần tử

V G E,

nếu (Vx G M)

V< x.

Định nghĩa 1.1.9.
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, M là một
tập con trong không gian E.
Phần tử z GE gọi là cận trên đúng của tập M, kí hiệu z = sup M, nếu
*) (VxeM ) x*) Nếu (3 ug E)(V xg M) x < u thì z < u .
Phàn tử w g E gọi là cận dưới đúng của tập M, kí hiệu w = inf M, nếu
*) (VxeM) w* )Nếu (3veE )(V xeM ) v

Đinh lí 1.1.10.
Các phần tử cận trên đúng và cận dưới đúng ( nếu tồn tại ) là duy nhất.
Chứng minh.
• Giả sử tập M có hai cận trên đúng là z và z’ , z G E, z’ G E thì


9

( Vx GM) Xđịnh lí 1.1.6 thì z = z’.
Vậy cận trên đứng (nếu có) là duy nhất.
• Giả sử tập M có hai cận dưới đúng là w và w ’ , w G E, w’e

E thì

( Vx g M) w Theo định lí 1.1.6 ứiì w = w’.
Vậy cận dưới đứng (nếu có) là duy nhất. _
1.2. Quan hệ thông ước giữa các phần tử.
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K c E.
Định nghĩa 1.2.1.
Giả sử X, y e E. Phàn tử X được gọi là thông ước với phần tử y, nếu tồn tại
hai số dương a , ß sao cho a y < X < ßy.

Đinh lí 1.2.2.
Quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E.
Chứng minh.
+) Quan hệ thông ước có tính chất phản xạ.
V X 6 E thì X thông ước với X, vì tồn tại số 1 > 0 để l.x < X < l.x.
+) Quan hệ thông ước có tính chất đối xứng.

Giả sử X, y thuộc tập E : X thông ước với y. Khi đó, tồn tại hai số dương a, ß
sao cho ay < X < ßy =>

ß

a

Vậy y thông ước với X.

+) Quan hệ thông ước có tính chất bắc càu.
Giả sử X, y, z thuộc tập E sao cho X thông ước với y, y thông ước với z.
Khi đó tồn tại các số dương a, b, c, d sao cho ay < X < by, cz < y < dz
=> (a.c)z < X < (b.d)z . Vậy X thông ước với z.
Vậy quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E. _


10

Giả sử Uo E K\{0}. Kí hiệu K(u0) là tập tất cả phàn tử của không gian E thông
ước với phần tử u0 .
Đỉnh
s lí 1.2.3.
K(u0) là một tập lồi và K(uo) с K\{0}.
Chứng minh.
*) K(uo) là tập lồi.
Thật vậy :
Vx, y G K(u0) thì tồn tại các số thực dươnga, ß, a b ßi
auo <

X

saocho

< ßu0 , aiUo < y < ßiUo .

Với t = 0 ta có tx + (1 - t)y = o.x + y = y e K(u0).
Với t = 1 ta có tx + (1 - t)y = l.x + o.y = X G K(u0).
Với t € (0; 1) thì tauo < tx < tßu0 và (1 - t)aiU0 < (1 - t)y < (1 - t)ßiU0
nên tauo + (1 - t)aiu0 < tx + (1 - t)y < tßuo + (1 - t)ßiUo
=> (ta+ (1 - t)ai)u0 < tx + (1 - t)y < (tß + (1 - t)ßi)uo
Do các số ta+ (1 - t)ơi và tß + (1 - t)ßi là số thực dương nên
tx + (1 - t)y € K(u0).
Vậy Vx, y G K(uo), vt G [0; 1] thì tx + (1 - t)y G K(u0). Do đó K(u0) là tập
lồi.
*) K(uo) с K\{0}.
Thật vậy :
Vx 6 K(u0) thì tồn tại hai số thực dương a,ßsao choauo < X < ßuo .
Do u0 G K\{0} nên au0 G K\{0}.
Vì auo <

X

=> x-au0 e к .

Neu X = 0 thì -auo G к mâu thuẫn điều kiện к là nón, vậy X Ф 0.
Ta có x=au0+(x-au0) Suy ra Vx 6 K(uo) =>XẼ K\{0}. Vậy K(uo) с K\{0}. J


11

1.3. Phần tử Uo - đo được
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K c E,
Uo e K\{0}.
Định nghĩa 1.3.1.
Phần tử XeE gọi là u0 - đo được, nếu tồn tại các số không âm ti, t2 sao
cho

-t^ o < X <

t2u0.

Kí hiệu Eu là tập tất cả các phần tử xe E có tính chất Uo - đo được.
Đinh lí 1.3.2.
»

Với mỗi X GEU tồn tại các số không âm nhỏ nhất a = a(x), ß = ß(x) sao
c h o - auo < X < ßuo.

Chứng minh.
Giả sử X e Eu khi đó tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho

-tịiÌQ < x < t2u 0 .

• Trước hết ta chỉ ra tồn tại số ß không âm nhỏ nhất sao cho X < ßu0.
Thật vậy: Xét ánh xạ

f : R —> E
t

f(t) = tuo - X .

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với
một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục. Và từ tính đóng của
nón К trong không gian E suy ra f 1(K) là tập đóng trong không gian R.
Giả sử inf f *(K) = - 00.
Khi đó 3 (t„ )°° с f _1(K) sao cho tnu0 71-1

X

6 к và lim tn = - 00 .
n—
»00

Với n đủ lớn tn < 0, nên
- u 0+ -^x= --^(tnu0-x) e K.
n
n

1

Cho qua giới hạn trong biêu thức -u0+ —X khi n —» 00 ta được -u 0 Ẽ K, mâu
ứiuẫn với tính chất của nón K.


12

D o đ ó in f f 1(K) = | 3 e f 1(K).
Ta xét tập A = { t > 0 : t u 0- x e K } . Hiển nhiên, t2 E A hay A ^ 0.
Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : tu0 - X e K } = P(x) e f _1(K).

nghĩa là X < P(x)u0 .
Vậy tồn tại số không âm (3(x) nhỏ nhất sao cho

X<

(3(x)u0 .

• Ta chỉ ra tồn tại số thực a(x) > 0 nhỏ nhất sao cho -a(x)u0 < X.
Xét ánh xạ

f : R —> E
t I—> f(t) = x+ tu0 .

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với
một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục. Và từ tính đóng của
nón K trong không gian E suy ra f 1(K) là tập đóng trong không gian R.
Giả sử inf f 1(K) = - QOthì 3 (tn)°° c: f _1(K) sao cho lim tn = - 00 .
7l-»00

Khi đó, (3 n0G N*)(Vn > n0) tn < 0. Do đó

(x+tnu0) e K = > - u 0 e K

^•n

1

Cho qua giới hạn trong biêu thức -u0+ —X khi n —» 00 ta được -u 0 Ẽ K, mâu
ửiuẫn với tính chất của nón K. Nên inf f ■
l(K) e f !(K).

Ta xét tập B = { t > 0 : x + tu0 Ẽ K }. Hiển nhiên, ti 6 B hay B ^ 0.
Theo chứng minh trên, tồn tại inf { t > 0 : x + tu0 E K } = a(x) Ef _1(K).
nghĩa là -a(x)u0 < X.

Vậy tồn tại số không âm a(x) nhỏ nhất sao cho

-

a(x)u0 < X.

Định lí được chứng minh.
Đinh lí 1.3.3.
Eu là không gian tuyến tính con của không gian E.
Chứng minh.


13

*) Ta thấy 0 Ẽ Eu , vì với mọi t > 0 ta có -tu 0 < 0 < tu0. Suy ra Eu khác
rỗng.
*) (Vx,y € Eu XBtj > 0,3t2 ^ 0,3t3 > 0,3t4 > 0) sao cho :
-tj.U o ^ x ^ .U o và - t 3.u0 < y < t 4.u0.
Khi đó : -(?! + t3).M0 < X + y < (t2 + t4).M0

x + y G Eu .

*) (Vx e Eu )(3íj > 0,312 > 0) sao cho - t vuữ < X < t2.uữ. Khi đó Va 6 R ta có :
Neu а > о => - tl.uo < X < t2.u0 và a ti > о, а t2 > 0
= > - { а . ц ) . и 0 < a . x < ( a . t 2) .u 0

Neu а < о => -tl.uo < X < t2.u0 và -a ti > о, -a t2 > 0
=> -{-at^MQ < - a x < (-a t2)u0
=> - (- a .t2).u0 < a.x < (~a.tì).uữ
Do đó Va 6 R thì ax e Eu“0 .
Vậy Eu là không gian tuyến túứi con của không gian E, có thể coi Eu là
không gian tuyến tính độc lập. _
Đinh lí 1.3.4.
Ánh xạ :
1М1ц,:£Ц ,-^Л

x\-»Il III^Q max{a(x),ß{у)}
là một chuẩn trên không gian Eu , trong đó a(x), ß(x) xác định trong định
lí 1.3.2.
Chứng minh.
Thật vậy, I • Ц là một ánh xạ từ Eu vào tập số thực không âm R+ , do định
nghĩa tính u0 - đo được của phần tử X. Ta kiểm ưa các tiên đề về chuẩn :


14

•

> 0 ,И и =0<=>тах{а(х);Дх)} = 0
• о а(х) - /?(х) - о <^> X = в.

•

{Ух <ЕЕи ) (Ằ, Е R) ta tìm được số không âm ti, t2 sao cho :
-ti.Uo < x < t 2.u0 .

Suy ra : Neu X > 0 ta có : - Ẫtl,u0 < Ảx< Ẳt2.uữ.
Neu X < 0 thì -X > 0 và ta có
— ( —Л ) ^ . и 0 < —Ằ x < ( —Ẳ ) t 2.u ữ

<^>—(—Ẫ.t2).u0 < Ẳx < {-Ẳ.tx).uữ.
Khi đó
Với Ả > 0 :
inf (Ẩíj ) = Ẳ inf íj = Ẳa(x)
h
h
inf (/ừ2) = ĂirỂ t 2 =Äß{x)
h
h
=^>max I Ä a ( x ) , Ẳ P ( x ) } = /tma J t { a ( x ) , ß ( x ) } = л |л |

=|^|.||jc|| .

Với к < 0 :
inf (-/Ц ) = - Я inf tj = - Ầ a ( x )
h
h
inf (~Ầt2) = - Я inf t 2 = -Ä ß{x)
h
h

ax{a(x),ß(x)
Lu0.
^>rữ3L^\—
V Ẳa{x),-Ẳfi{x)} =-Ằm
V

)}=-/l||j
IIc|Wu0 =I|/ìị|IW
II W
Vì vậy, (Ух&Еи )(AeÆ)||Ajt|| = 1^111*1 .
•

(Ух, у е Еи ) ta có 3 ti, t2, t3, tị > 0 sao cho
—tvUQ< X < t2M0, —t3.u0 < y< t4.u0.

Suy ra


15

||jt||

= maxlinft] ,inft2} ,ịy ị

=m a x { in ft 3,inft4} , ta CÓ:

||jc|| + 1y\\ > inf tị + inf t3 > inf(tj+ i3) ,
||jc|| + |y |

>inf t2 + in fi4 >inf(t2+ i4)

Nên ||jc|| + | j |

>max{inf(t1+ í3),inf(t2+Í 4 ) = |A: + y| .

V ậ y ||j c + y |L

I

n«0 ^ I W
11 Ln“o + |1y | Ln“o ■

Do đó ánh xạ I . \\u là một chuẩn trên không gian Eu . J
Chuẩn I . \\u được gọi là Uo - chuẩn.
1.4. Nón chuẩn tắc và nón cực
■ trị
•
1.4.1. Nón chuẩn ú c và tính chất
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K<= E,
u0 e K\{0}.
Định nghĩa 1.4.1.
Nón K được gọi là nón chuẩn tắc, nếu:
(^S>Q)(yel,e2 &K\\e-^ = \e2\ = \) thì

+e2!><!>.

Đinh lí 1.4.2.
Các mệnh đề sau đây tương đương.
1, K là nón chuẩn tắc ;
2, (3 M > 0 )(V y e K \{ ớ } )(V x e £ y)||x||£
(1.1)

3, ( 3 N > 0 ) ( V x , y e K : x < y )
Chứng minh 1) ^>2)
Giả sử K là nón chuẩn tắc nhưng bất đẳng thức (1.1) không xảy ra, nghĩa là

(V n G N * )(3 yn * ớ ) ( 3 x nGEyn)\\xn\\E >n.\\xn\\y .\\yn\\E .
Hệ thức (1.2) chứng tỏ xn í 0, (xnỴn=l c E ,(yn)“=1 c= K \ {6},

(1.2)


16

11yn

X,n\\E

<

và tò định nghĩa chuẩn ừong không gian E yn

n ưn

x„n Y < x„ĩl < n •yn .
sn
yn
Suy ra

1 4 7 n< ^ < - ^ f y „ , V n e N
n ưn
n ưn

Đặt
go n =x„n +

I1 f y e K , h„
y n’=—xn
n
n+

n WJVn\\E

In
y„ GlK
yn
n\\yn\

Khi đó, với mọi n > 2 ta có
h
lklL ^ H e - ~ Ì l t I \\yn\\E = k L (1- -n)'> 0 ;
n'№
\\h„

L

>

I ly (1_I)>0

\\x„

n.|W lí

«

Suy ra g„ G K\{0}, hn € K\{0}, V n = 2, 3 , . . .
Ta lại có
1 1 * 4 ^ 1 * 4 + ^ y rk b 4 = h l U 1 + - > , n = 1 , 2 , 3 , . .
n

.

J

1

"

11/1

n

11/1

1,
+ - ? y \\yn\\E = k l L ( 1 + ^n ) »n = ! » 2’ 3’ ■■
n -ưn

\\hn\\E
Mặt khác
8n
II5 »IIe
I I I I

Ị K

I\\hn\\E

= 8n

I K

+

K

K

II^hIIe ll^nlL
n\\E
2 X”11E
£°n\\e
-yn +
\ \ k

llỗ

Suy ra

II

°n \\E

I n\\E h

— \\h

n | | £ l l

\\h

n\\E


Điều này mâu thuẫn với tính chuẩn tắc của nón K. Vì vậy
(3M >0)(Vy G K\{<9})( V x e £ y)|x |£ Chứng minh 2) =>3)
Giả sử mệnh đề 2) thỏa mãn. Giả sử

X,

y e к,

X<

y.

Nếu y = 0 = > x = 0=> ||jc||£ = \\y\\E = 0 . Khi đó \\x\\E= 0 < 0 =M.|| j||£.

Nếu y ^ 0 = > x + y ^ 0 hay x + yẼ к\{0}, X e Ex+y, vì -(x + y) < X< X+ y,
nên IIIjcIllx
I +y
. <1 .

Từ đó và từ mênh đề 2) 1*1
Il WtL <М .Ы

II |

.||j|L
II ll£r II ll£( .

Do đó ( 3 N = M >0)(Vx,y e K : х< у) ||дг||£ Chứng minh 3) =>1)
Giả sử mệnh đề 3) thỏa mãn.
Giả sử eb e2 É K, 1^1=1^21=1.
Ta có ei G K\{0} , ei + e2 G K\{0}, ei < ei + e2 nên 1 = \c\\E ^ N . \\ßi+e21|£ .
Do đó (3 ổ = — >0)\\e1+e2L > s .

N

Vậy К là nón chuẩn tắc.
Vậy 3 mệnh đề tương đương.
Đinh lí 1.4.3.
Nếu К là nón chuẩn tắc thì một dãy hội tụ theo u0 - chuẩn cũng hội tụ theo


18

chuẩn trên không gian E và Eu là không gian Banach theo Uo - chuẩn.
Chứng minh
•

Trước hết ta chứng minh một dãy điểm (*„)”=! c: Eu hội tụ tới

xG Eu theo Uo - chuẩn thì dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E. Thật

vậy, giả sử dãy điểm (*„)”=! c Eu hội tụ tới x e E u theo

Uo

- chuẩn nghĩa là

limlbc„ —jc|| = 0 hay ( V £ > 0 ) ( 3 n 0€jV*)(Vn>n0) | k - * | TM*»1 n "“0
J
"“0
Từ định nghĩa u0 - chuẩn suy ra
- 8 u ũ
Do đó 0 < x n- x + s u ữ<2suữy n >nữ.
Vì K là nón chuẩn tắc nên tò xn—x + su ữ< 2 suữ ta có
£Ur

< Xn —X + £ U 0

<2Ns

Ur

, Vn > nữ.

Từ đó ta có :
||x„-x||£ < £( ì +2N)\\u0\\e với Vn>n0.
limbcn-jc

=0.

Vậy dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E.
• Tiếp theo ta chứng minh Eu là không gian Banach theo Uo - chuẩn.
Giả sử (*„)”=! là một dãy cơ bản bất kì trong không gian Eu theo Uo - chuẩn,
nghĩa là: ( V f > 0)(3n0eN* ) (V n,rn>n0)\\xn- x m\\u <£.
Từ định nghĩa u0 - chuẩn suy ra
- £ u 0Do đó 0 < x n- x m+ suữ< 2 suữ, Vn,m > nữ.

(1.3)


19

Vì К là nón chuẩn tắc nên tò xn - xm+ £Uữ< 2suữ ta có
xn - x m

£U r

< X n — X m +£Ur>0

<2N s

Ur

, V n , m > nữ.

Từ đó ta có :
к

~ xm L - * a + 2 tf)h L

v ớ i V n ’m ^ «o •

Điều này cho ta thấy dãy (■*„)”=! là dãy cơ bản trong không gian Banach E
nên Зх e E sao cho limll* -л:|| =0.
Qua giới hạn ừong hệ thức (1.3) khi m — >00 ta nhận được:
—EU0 < x n —x < £U0, \ / n > n 0 .

Chứng tỏ xn - X 6 Eu . Do đó X = xn - (xn - X ) 6 Eu và
k - * I L - £ »^ n - n0 » hay dãy ( xn)"=1 hội tụ trong Eu theo u0 - chuẩn.
Vậy Eu là không gian Banach theo Uo - chuẩn. J
1.4.2. Nón cưc
tri
•
•
Định nghĩa 1.4.4.
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K c E. Nón К
được gọi là cực trị, nếu đối mỗi dãy (хи)”=1 с К không giảm, bị chặn ừên bởi
u 6 K, bị chặn theo chuẩn và đối với mỗi dãy ( y„)“=1 с К không tăng, bị chặn
dưới bởi V 6 K, bị chặn theo chuẩn đều tồn tại

suP(*Xde*. infơ ,X ie^1.5. Các không gian nửa sắp thứ tự Rn, С[а.Ь]
1.5.1. Không gừin Rn, n e N*
a)

Không gian Rn = { X = (xb x2, x

cùng với hai phép toán thông thường
X + у = ( Xi+ Уь x 2+ y2, . . , xn+ yn),

n ) : Xi 6 R, i = 1, 2

, n } ( n e N* )


20

ax = ( axi, ax2, . . axn),
trong đó a e R,

X

= (xi, x2,

xn ) e Rn, y = (yi, y2,

yn ) e Rn là một

không gian tuyến tính thực với phần tử không là 0 = ( 0, 0 , . . 0 ) .
b) Ta có Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn được xác định như sau:
V x e R n ,x = (x ì,x2,...,xn)

,

w 2*

(1.4)

Ta kiểm tra điều kiện của chuẩn.

*) V X G Rn thì

i=1

- 0 n®n NI - 0 ■

=0<^>Xị =0,v/ =l,2,...,n«>x =ớ.

*) V X G R" , V a 6 R, |ajc| =

= ^ |a 2^ (jcf) = \a\||jc||

*) V X = (xi, x2, x n) e Rn, y = (yi, y2, y „ ) e Rn

\x+y f =ẳ(*i
+y,)2=i=l + yĩ+2xiyi)
i=1
= p ĩ + ị y ĩ + %x,y,
i=1
i=l
i=1

í p ỉ + ị y ỉ +l j ỹ j £ ỹ ỉ
i=1

i=í Vi=1

Vi=l

J P + J P } = ( I H M M ) 2Do đó ||jc + y||<||jc|| + ||j||.

Vậy công ứiức (1.4) là một chuẩn ừên không gian Rn. Chuẩn (1.4) còn gọi là
chuẩn Eukleides, không gian R” cùng với chuẩn (1.4) còn gọi là không gian
Eukleides.
c) Sự hội tụ trong không gian R” tương ứng với sự hội tụ theo tọa độ.